MATEMÁTICAS GRADO 9

Página 1 de 40

MATEMÁTICAS GRADO 9

PERIODO 2

EXPRESIONES

ALGEBRAICAS

Página 2 de 40

NOMBRE DE LA UNIDAD EXPRESIONES ALGEBRÁICA.

TEMAS DE LA UNIDAD Operaciones entre expresiones algebráica, Factorizacion , Fracciones algebráica, Números complejos.

PREGUNTA PROBLEMATIZADORA

¿Pueden las expresiones algebráica explicar el origen del universo?

RESULTADO DE LA UNIDAD El estudiante justificara las operaciones entre expresiones algebráica mediante la resolución de problemas.

CONOCIMIENTO PREVIOS Concepto de monomios y polinomios

Expresiones algebraicas.

Operaciones de fracciones.

COMPETENCIAS

TRANSVERSALES

La resolución y el planteamiento de problemas.

Socialización

COMPETENCIAS DEL AREA Algebráica

DBA Y/O ESTÁNDARES DBA NRO 1 Exploración de la potenciación y radicación de números reales.

ESTÁNDARES 21. Identifico relaciones entre propiedades de las gráficas y propiedades de las ecuaciones algebraica. 22. Construyo expresiones algebraica equivalentes a una expresión algebraica dada. 23. Uso procesos inductivos y lenguaje algebraico para formular y poner a prueba conjeturas. 24. Modelo situaciones de variación con funciones polinómicas.

PLAN DE APOYO

R : P1

talleres en clases sobre expresiones algebráica , salidas al tablero para la solucion de ejercios

matematicos.

PRESENTACIÓN Plan de Unidad

Página 3 de 40

SIMPLIFICAR

N: P1

Desarrollar en casa la solucion de ejercicios matematicos y exposición de resolución de problemas.

P : P1

Desarrollo de actividades extracurriculares.

Aplica las identidades notables para descomponer los siguientes Polinomios:

RECURSOS Cinta métrica, cartulinas , reglas, lápiz, marcadores, borradores, calculadora ,computador.

AREAS INTERDISCIPLINARES Sociales: porque existen problemas de la vida cotidiana que pueden ser traducidos a un lenguaje matemático.

Español: para resolver un problema matemático es necesario la interpretación del enunciado en diferentes

contextos.

Artística: el manejo de líneas, ubicación de puntos en un plano cartesiano son necesarios para desarrollar problemas de números enteros y reales.

PROPÓSITO DEL DOCENTE

Página 4 de 40

Lograr que los estudiantes reconozcan las operaciones de potenciación y radicación con sus propiedades, además de realizar la racionalización de fracciones algebráica.

METODOLOGIA POR

APRENDIZAJE BASADO EN PROBLEMAS (HOWARD S. BARROWS)

Consiste en que un grupo de estudiantes de manera autónoma, aunque guiados por el profesor, deben

encontrar la respuesta a una pregunta o solución a un problema de forma que al conseguir resolverlo

correctamente suponga que los estudiantes tuvieron que buscar, entender e integrar y aplicar los conceptos

básicos del contenido del problema así como los relacionados. Los estudiantes, de este modo, consiguen

elaborar un diagnóstico de las necesidades de aprendizaje, construir el conocimiento de la materia y trabajar

cooperativamente.

SEMANA 1-2

TEMAS Operaciones entre expresiones algebráica

Por qué este tema es importante ?

Las expresiones algebráica nos permiten hallar áreas y volúmenes.

Horas semanales

COMPETENCIA A DESARROLLAR Algebraica

ESTÁNDAR NRO. 21

Identifico relaciones entre propiedades de las gráficas y propiedades de las ecuaciones algebráica.

DBA NRO 1

Exploración de la potenciación y radicación de números reales.

ACTIVIDADES EXPLORACIÓN

Para activar las ideas previas, se presenta a los estudiantes la siguiente actividad:

Indica cuales de las siguientes expresiones son monomios. En caso afirmativo, indica su grado y

coeficiente.

Página 5 de 40

Para finalizar la exploración de saberes, se pide a los estudiantes socializar las respuestas ante sus compañeros.

INTRODUCCIÓN En esta fase se realizá la explicación sobre el tema para que los estudiantes modelen algunas situaciones problemáticas

vinculadas a expresiones algebráica. Expresiones algebráicas Una expresión algebraica es una combinación de letras y números relacionadas por los signos de las operaciones: adición,

sustracción, multiplicación, división y potenciación. Las expresiones algebráicas nos permiten, por ejemplo, hallar áreas y volúmenes. Longitud de la circunferencia: L = 2r, donde r es el radio de la circunferencia. Área del cuadrado: S = l2, donde l es el lado del cuadrado. Volumen del cubo: V = a3, donde a es la arista del cubo.

Página 6 de 40

Página 7 de 40

Página 8 de 40

DESARROLLO Se desarrollan diferentes talleres para que los estudiantes aprendan a efectuar operaciones con expresiones algebráica. TALLER GRUPAL Efectúa las siguintes operaciones

Página 9 de 40

TALLER INDIVIDUAL

1. Escribe diferente situaciones en las que utilices

potenciación y radicación.

2. Simplifica las siguientes expresiones usando las

propiedades de la radicación y la potenciación.

APLICACIÓN

MATERIALES

Bibliográficos Tecnológicos Laboratorio Didáctico Otros

Matemáticas 9º/caminos del saber

Computadores Calculadoras

Fotocopias Imágenes Libro Cuaderno Lapiz Reglas

Webgrafía https://www.youtube.com/watch?v=IN_CIbJF0-s

Evaluación

¿Qué va a evaluar de esta parte?:

¿Cómo va a evaluar?

¿Con qué instrumentos?

Se evaluará los aportes propositivos que hagan los estudiantes durante las clases y la entrega puntual de talleres y actividades.

Se evaluará por medio de examen oral , examen escrito,solucion de problemas y trabajo de campo

EVALUACIÓN

AUTOEVALUACIÓN X

COHEVALUACIÓN X

HETEROEVALUACIÓN x

https://www.youtube.com/watch?v=IN_CIbJF0-s

Página 10 de 40

¿Qué porcentaje le da del periodo?

Los instrumentos a utilizar son los criterios conceptual, procedimental y aptitudinal.

El porcentaje será 25%

Semana 3-4-5

TEMAS Factorización


La factorización es un procedimiento de gran importancia ya que permite simplificar fracciones algebráica y resolver ecuaciones .

Horas semanales

COMPETENCIA A DESARROLLAR

Algebraica

ESTÁNDAR NRO. 23

Uso procesos inductivos y lenguaje algebraico para formular y poner a prueba conjeturas.

DBA 1


ACTIVIDADES

EXPLORACION

La factorización de expresiones algebraica tiene múltiples Aplicaciones matemáticas, ya que

permite simplificar expresiones complejas, resolver ciertas clases de ecuaciones y calcular límites

y derivadas de funciones de manera más sencilla. •Consulta acerca del significado de la palabra “factorizar”.

Para activar los conocimientos previos de los estudiantes, se plantea la siguiente actividad:

ESCRIBE

Página 11 de 40

El RSA y la factorización

El algoritmo de clave pública RSA fue creado en 1977 por Ronald Rivest, Adi Shamir y Leonard Adelman. Es el sistema criptográfico asimétrico más conocido y usado. Los tres analistas se basaron en el artículo de Diffie-Hellman sobre sistemas de llave pública, crearon su algoritmo y fundaron la empresa RSA Data Security Inc., que es actualmente una de las más prestigiosas en el entorno de la protección de datos.

El sistema RSA se basa en el hecho matemático de la dificultad de factorizar números muy grandes. Para factorizar un número, el sistema más lógico consiste en empezar a dividir sucesivamente este entre 2,entre 3, entre 4,..., y así sucesivamente, buscando que el resultado de la división sea exacto, es decir, de resto 0, con lo que ya tendremos un divisor del número.

Ahora bien, si el número considerado es un número primo (el que solo es divisible por 1 y por él mismo), tendremos que para factorizarlo habría que empezar por 1, 2, 3... hasta llegar a él mismo, ya que por ser primo ninguno de los números anteriores es divisor suyo. Además, si el número primo es lo suficientemente grande, el proceso de factorización es complicado y lleva mucho tiempo. [...]

El cálculo de estas claves se realiza en secreto en la máquina en la que se va a guardar la clave privada y, una vez que es generada, conviene protegerla mediante un algoritmo criptográfico simétrico.

Networking and Emerging Optimization (2015). RSA. España: Recuperado de http://neo.lcc.uma.es/evirtual/cdd/tutorial/presentacion/rsa.html

Actividades

Interpreta

1. ¿En qué hecho matemático se basa el sistema RSA?

Argumenta

2. Los sistemas criptográficos como el RSA se usan para enviar mensajes de manera confidencial. ¿Por qué crees que se generó esta necesidad?

3. ¿Qué aspectos consideras que debe tener un sistema criptográfico que genere confianza en su uso?

Propón

4. Reúnete con un compañero y creen un lenguaje secreto. Luego, compárenlo con el trabajo hecho por otros de sus compañeros de clase.

INTRODUCCIÓN Seguidamente se realiza la explicación del tema retomando los conocimientos previos demostrados por los estudiantes en la fase anterior.

FACTORIZACIÓN

Factorizar un polinomio es expresarlo como producto de factores primos que son polinomios diferentes a el.

Página 12 de 40

Por ejemplo : X2 – 5X – 24 se puede expresar como el producto de x – 8 y x + 3 . Asi,

X2 – 5X – 24 =( x – 8) ( x + 3)

DESARROLLO

Acontinuacion se desarrollan talleres para descubrir la aplicación de la factorizacion .

TALLER INDIVIDUAL

Factorizar los siguientes polinomios

Página 13 de 40

1) a2b - ab2 =

2) 6p2q + 24pq2 =

3) 12x3y - 48x2y2 =

4) 9m2n + 18 mn2 - 27mn=

7) x2 - 8x + 16 =

8) 16y2 + 24y + 9 =

9) 36a2 - 12a + 1 =

10) 4x2 + 20xy + 25y2 =

Página 14 de 40

APLICACIÓN

TALLER GRUPAL

Halla la descomposición en factores primos de los siguientes polinomios

Página 15 de 40

Página 16 de 40

MATERIALES Bibliograficos Tecnologicos Laboratorio Didáctico Otros

Página 17 de 40

Matematicas9º/caminos del saber


Tablero Marcadores Libro Cuaderno Lapiz Reglas

https://www.youtube.com/watch?v=R3UoCe-r6aM

EVALUACIÓN

Que va a evaluar de esta ¿Qué va a evaluar de esta parte?:



¿Qué porcentaje le da del periodo? : 25%

Se evaluará los aportes que realicen los estudiantes durante las clases, la entrega puntual de las actividades y talleres asignados, salidas al tablero.

Se evaluara por medio de examen oral, examen escrito, solución de problemas y trabajo de campo

Los instrumentos a utilizar son los criterios conceptual, procedimental y actitudinal.


EVALUACIÓN SEMANA 3

AUTOEVALUACIÓN

COHEVALUACIÓN X

HETEROEVALUACIÓN X

SEMANA 6-7-8

TEMAS FRACCIONES ALGEBRÁICA


Las fracciones algebráica aparecen en diferentes contextos como: medida, reparto equitativo, probabilidad, etc.

Horas semanales


ESTÁNDAR NRO. 22.

Construyo expresiones algebráica equivalentes a una expresión algebraica dada.

DBA NRO 1


ACTIVIDADES



Página 18 de 40

EXPLORACION Para desarrollar la exploracion de sabares previos en los estudiantes se desarrolla la siguiente actividad.

INTRODUCCIÓN Seguidamente el docente explica el tema con la intención de que que los estudiantes reconozcan y aprendan a resolver fracciones algebráica.

Fracciones algebráica

Una fracción algebraica es una expresión fraccionaria en la que numerador y denominador son polinomios. En un recurso interactivo de seleccionar, los estudiantes deben escoger las expresiones que representen fracciones algebráica.

cuando las fracciones algebráica tienen denominadores con raíces se utiliza la racionalización para eliminarlos y se debe distinguir entre monomios y binomios.

DESARROLLO Seguidamente se solicita a los estudiantes que resuelvan los siguientes ejercicios. Racionalizar las siguientes fracciones.

Página 19 de 40

Página 20 de 40

Página 21 de 40

APLICACIÓN

taller grupal

Realizar un mapa conceptual sobre fracciones algebráica.

Página 22 de 40

MATERIALES

Bibliograficos Tecnologicos Laboratorio Didáctico Otros

Matematicas 9º/caminos del saber

https://sites.google.com/site/matematicasdenovenogrado/tema-

5-fracciones-algebráica

calculadora computador

Fotocopias Cuaderno Lapiz

https://sites.google.com/site/matematicasdenovenogrado/tema-5-fracciones-algebraicas

https://sites.google.com/site/matematicasdenovenogrado/tema-5-fracciones-algebraicas

Página 23 de 40

EVALUACIÓN





Se evaluará la comprensión de las fracciones algebraicas, la participación de la clase, la entrega puntual de las actividades y talleres asignados.

Se evaluará por medio de examen oral , examen escrito,solucion de problemas.



EVALUACIÓN

AUTOEVALUACIÓN

COHEVALUACIÓN X

HETEROEVALUACIÓN X

SEMANA 9-10

TEMAS Números Complejos.

¿Por qué este tema es importante ?

Los números complejos permiten resolver situaciones que con otros conjuntos

numéricos no es posible.

Horas semanales


ESTÁNDAR NRO. 24

Modelo situaciones de variación con funciones polinómicas.

DBA NRO 1


ACTIVIDADES

EXPLORACION

Se les presenta a los estudiantes una situacion en tablero para que respondan los interrogantes :

1) Si tenemos una calculadora que solo resuelve operaciones en el campo de los números naturales (N):

a. ¿Cuáles de las siguientes operaciones se podrían realizar?

8 + 2 =

2 - 8 =

8 - 2 =

8 : 2 =

2 : 8 =

Página 24 de 40

b. ¿Por qué hay operaciones que no se pueden hacer con la calculadora? ¿Cómo podríamos resolver este problema?

INTRODUCCIÓN

En esta estapa se explicara el tema a desarrollar en la clase retomando los conocimientos previos y despejando las dudas ,para que los estudiantes comprendan la tematica.

NÚMEROS COMPLEJOS

El conjunto de los números complejos esta formado por los números de la forma a + b i, donde a y b son números reales. Este conjunto se simboliza con la letra C.

DESARROLLO

En esta fase se realizaran analisis del tema con la finalidad de que los estudiantes modelen algunas situaciones en diversos contextos

TALLER INDIVIDUAL

Realiza las siguientes operaciones:

Página 25 de 40

NÚMEROS COMPLEJOS

Se puede considerar C como el conjunto de los pares ordenados de números reales z=(x,y) con las siguientes operaciones:

Con estas operaciones C tiene la estructura de cuerpo conmutativo

Elemento neutro:

Elemento opuesto:

Elemento unidad:

Elemento inverso: , siempre que

Nótese que el complejo (0,1) verifica , es decir, (link a explicación de extensión

de R añadiendo raices de ecuaciones algebráica )

El cuerpo de los complejos es lo que se denomina un cuerpo algebraicamente cerrado, es decir, toda ecuación algebraica (polinómica) con coeficientes complejos tiene siempre al menos una raíz compleja (y por tanto las

http://wmatem.eis.uva.es/~matpag/CONTENIDOS/Operaciones/operaciones/node6.html

Página 26 de 40

tiene todas).

El cuerpo de los complejos no es un cuerpo ordenado. No puede darse en C una relación de orden total que respete las operaciones de suma y producto. No tiene por tanto sentido comparar dos números complejos en la manera en que estamos acostumbrados a hacer con los reales.

OTRAS FORMAS DE REPRESENTAR LOS NÚMEROS COMPLEJOS

1. Forma binómica.

Podemos considerar C como un espacio vectorial isomorfo a , de este modo se tiene:

Gráficamente, podemos representar (y por tanto C) como un plano.

Página 27 de 40

Para cada número complejo z, la primera componente, x, se denomina parte real y la segunda, y, se denomina parte imaginaria.

Obviamente, dos números complejos son iguales si y sólo si lo son simultáneamente sus partes reales y sus partes imaginarias.

Usando este tipo de representación, la suma de complejos se corresponde con la suma de vectores.

Dados dos vectores y su

suma es

Se define el módulo de un número complejo como el módulo del vector que lo representa, es decir,

si , entonces el módulo

de es .

El conjugado de un número complejo se define como su simétrico respecto del eje real, es decir, si ,

entonces el conjugado de es .

El opuesto de un número complejo es su simétrico respecto del origen.

Página 28 de 40

Página 29 de 40

Es fácil ver que se cumple, , por tanto podemos expresar el inverso de un número en la

forma .

En vez de usar coordenadas cartesianas para representar a los puntos del plano podemos usar coordenadas polares, lo que da lugar a la siguiente forma de representación de los números complejos.

Página 30 de 40

2. Forma polar o módulo-argumento

Otra forma de expresar un número complejo es la forma polar o forma módulo-argumento,

donde es el módulo de , y donde q es un argumento de , esto es, q es un ángulo tal que

, .

Página 31 de 40

NOTA: Un número complejo tiene infinitos argumentos distintos. De hecho se puede definir el argumento de un número complejo no nulo como el conjunto de todos los posibles valores q que verifican lo anterior, es decir,

Es claro, por tanto, que si es un valor particular del argumento de , entonces

Página 32 de 40

Se denomina argumento principal al único valor tal que , y se denota

Se verifica entonces que

.

Dos números complejos y , representados en forma polar

son iguales si y sólo si sus módulos son iguales , y sus argumentos se diferencian en un número entero de

vueltas, es decir, , con .

La forma polar de un número complejo es especialmente cómoda a la hora de multiplicar, ya que basta con multiplicar

los módulos y sumar los argumentos, es decir, si , y , entonces

Página 33 de 40

Del mismo modo se puede calcular el cociente de un complejo por otro no nulo sin más que dividir los módulos y restar los argumentos:

,

siempre que .

Página 34 de 40

Las fórmulas anteriores pueden generalizarse para el producto de varios complejos, así,

si , para , entonces

Finalmente, en el caso en que todos los factores sean iguales se obtiene la fórmula de Moivre:

Esta fórmula es también válida para exponentes enteros negativos, siempre que .

En particular tenemos otra expresión para el inverso de un número no nulo, .

(Aquí puedes ver una aplicación de la fórmula de Moivre)

Cambio de forma binómica a polar y viceversa:

Cambio de binómica a polar Cambio de polar a binómica

3. Forma exponencial

http://wmatem.eis.uva.es/~matpag/CONTENIDOS/Complejos/moivre.html

Página 35 de 40

Una variante de la forma polar se obtiene al tener en cuenta la conocida como fórmula de Euler:

para .

Esto nos permite escribir un número complejo en la forma siguiente, denominada forma exponencial:

Esta nueva forma es especialmente cómoda para expresar productos y cocientes ya que sólo hay que tener en cuenta las propiedades de la función exponencial (para multiplicar se suman exponentes y para dividir se restan). En

particular, para potencias con exponentes enteros se tiene .

Esto nos permite dar una nueva expresión para el inverso de un complejo no nulo en la

forma .

RAÍCES N-ÉSIMAS DE UN NÚMERO COMPLEJO

Estudiemos ahora las potencias con exponente racional de un número complejo. Dado , sea , para un número natural p.

Si , puesto que , es decir, . Por

tanto, , y además, , o sea, , para .

De todos estos valores sólo p consecutivos son distintos, el resto resulta ser repetición sucesiva de valores ya obtenidos. Por tanto, un número complejo tiene siempre p raíces p-ésimas distintas

Página 36 de 40

, para .

Se puede observar que las p raíces pésimas tienen todas el mismo módulo, y sus argumentos se diferencian

en cada uno del siguiente, esto es, las raíces p-ésimas se encuentran en los vértices de un polígono regular de p lados incrito en la circunferencia de centro 0 y

radio .

Como ejemplo, en la siguiente gráfica podemos ver las raíces quintas

de

Puede verse lo mismo en la siguiente animación:

Página 37 de 40

APLICACIÓN

Trabajo grupal

Investigar y exponer las APLICACIÓNes de los nuemeros complejos en las distintas áreas.

TALLER DE APOYO

MATERIALES

Bibliograficos Tecnologic

os Laboratorio

Didáctico Otros

Página 38 de 40

Matematicas9º/caminos del saber

http://matematicasparapalomar.blogspot.com/20

12/04/grado-9-números-complejos.html


Tablero Marcadores Cuaderno Lapiz Reglas

https://www.youtube.com/watch?v=mSdDyGvfInc

EVALUACIÓN





Se evaluar la participación en clase, la entrega puntual de las actividades y talleres asignados.

Se evaluará por medio de examen oral , examen escrito,solucion de problemas.



EVALUACIÓN

AUTOEVALUACIÓN X

COHEVALUACIÓN

HETEROEVALUACIÓN x

http://matematicasparapalomar.blogspot.com/2012/04/grado-9-numeros-complejos.html

http://matematicasparapalomar.blogspot.com/2012/04/grado-9-numeros-complejos.html



Página 39 de 40

SUPERIOR ALTO BÁSICO BAJO

Reconoce las equivalencias entre expresiones numéricas

Identifica la potenciación y radicación de expresiones algebráica.

Representa gráficamente números complejos.

Aplica las propiedades de la potenciación en la simplificación de expresiones algebráica.

Utiliza lenguaje algebraico para formular y poner a prueba conjeturas.

Efectúa operaciones entre expresiones algebráica,

Participa activamente en los procesos de trabajo en equipo.






















INDICADORES

U2

Página 40 de 40

Colabora con el desarrollo de las actividades realizadas dentro del aula.




Documents

MATEMÁTICAS GRADO 9