MATEMÁTICAS OCTAVO GRADO

INSTITUCION EDUCATIVA COLEGIO PUERTO SANTANDER

CREACIÓN ACUERDO N° 10 DE 15 DE MAYO DE 1978 RESOLUCIÓN DE APROBACION No. 005664 DEL 01 DE NOVIEMBRE DE 2019

DANE 254001004761 NIT 890-234-1

GUIA DE APOYO PEDAGOGICO N° 1 FECHA _28_ /_03__ /_2020

DOCENTE Javier Alfonso Corredor Camargo AREA Matemáticas

TEMA Expresiones algebraicas y polinomios PERIODO 2020

DESEMPEÑO

ESTUDIANTE GRADO 8

MATEMÁTICAS OCTAVO GRADO

Expresiones algebraicas y polinomios – Guías y Documentos de clase.

1. NOTACIÓN ALGEBRAICA

Los símbolos usados en Álgebra para representar las cantidades son los números

y las letras.

1. Los números se emplean para representar cantidades conocidas y

determinadas.

2. Las letras se emplean para representar toda clase de cantidades, ya sean

conocidas o desconocidas.

Las cantidades conocidas se expresan por las primeras letras del alfabeto:

a, b, c, d,...

Las cantidades desconocidas se representan por las últimas letras del

alfabeto: u, v, w, x, y, z.

Una misma letra puede representar distintos valores diferenciándolos por medio de

comillas; por ejemplo: a', a'', a''', que se leen a prima, a segunda, a tercera, o también

por medio de subíndices; por ejemplo: a1, a2, a3, que se leen a - subuno, a - subdos,

a - subtres.

2. FORMULAS

Consecuencia de la generalización que implica la representación de las cantidades

por medio de letras, son las formulas algebraicas.

Una Formula algebraica es la representación, por medio de letras, de una regla o

de un principio general.

Ejemplo: la Geometría enseña que el área de un rectángulo es igual al producto de

su base por su altura; luego, llamando A (al área del rectángulo), B (a la base del

rectángulo) y H (a la altura del rectángulo), la formula se puede escribir:

A=B x H

Esta expresión representará de un modo general el área de cualquier rectángulo,

pues el área de un rectángulo dado se obtendrá con solo sustituir B y H en la formula



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anterior por sus valores en el caso dado. Así, si la base de un rectángulo es B= 3

mts y su altura H = 2 mts, entonces su área será:

A=B x H = 3 mts x 2 mts = 6 mts2

3. SIGNOS DEL ÁLGEBRA

Los signos empleados en Álgebra son de tres clases:

3.1. Signos de operación

En Álgebra, al igual que en la Aritmética, se usan las mismas operaciones: suma,

resta, multiplicación, división, elevación a potencias y extracción de raíces.

El signo de la suma es +, que se lee más. Así, a + b se lee "a mas b".

El signo de la resta es -, que se lee menos. Así, a - b se lee "a menos b".

El signo de la multiplicación es x, que se lee “multiplicado por”. Así, a x b se lee

"a multiplicado por b".

El signo de la división es ÷, que se lee “dividido por”. Así, a ÷ b se lee "a dividido

por b".

EL signo de elevación a potencia sirve para representar la cantidad de veces

que se debe multiplicar un determinado número sobre sí mismo. Las potencias

están formadas por la base y por el exponente. La base es el número que se

está multiplicando varias veces con base en el valor del exponente. Por ejemplo,

la base es 3 y el exponente es 2:

32 = 3 x 3 = 9

Cuando una letra o número no tiene exponente, su exponente es igual a uno (1).

El signo de raíz es √, llamado también signo radical. Cuando es utilizado, se le

obtiene la raíz al número o letra que este seguido a este signo. Si no tiene ningún

exponente antes de la raíz, es una raíz cuadrada (√a), es decir, la cantidad que

elevada al cuadrado reproduce la cantidad a.

3.2. Signos de relación

Se emplean para indicar la relación que existe entre dos cantidades. Los principales

son:

=, Que se lee “igual a”. Asi, a = b se lee “a igual a b”.

<, Que se lee “menor que”. Asi, x < y se lee “x menor que y”.



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>, Que se lee “mayor que”. Asi, m > n se lee “m mayor que n”.

3.3. Signos de agrupación

Estos signos indican que la operación que está entre ellos es la primera que se debe

efectuar. Los signos de agrupación son el paréntesis ordinario ( ), al paréntesis

angular o corchete [ ] y las llaves { }.

3.4. Coeficiente

Un coeficiente numérico es un factor constante de un objeto específico. El objeto

puede ser tales como una variable, un vector, una función. Este suele estar junto a

la letra que acompaña a la fracción algebraica. Por ejemplo, en la expresión 9X2, el

coeficiente de X2 es 9. En álgebra los coeficientes numéricos de términos

semejantes se agrupan para simplificar las expresiones algebraicas.

4. NOMENCLATURA ALGEBRAICA

4.1. Expresión algebraica

Es la representación de un símbolo algebraico o de una o más operaciones

algebraicas. También se puede definir como la expresión que enlaza variables y/o

constantes mediante un número finito de adiciones, sustracciones, multiplicaciones,

divisiones, potenciaciones, y/o radicaciones, y donde los exponentes e índices son

constantes; se llama expresión algebraica. Por Ejemplo:

a 6x √4𝑏 (m + n) * p (2x – 5y)

𝑥3

Así mismo, y como ya se comentó en el numeral 1, la representación simbólica, que

permite reconocer quienes son las variables y constantes de una expresión

algebraica se denomina “notación algebraica”.

4.1.1 Término

Es una expresión algebraica que consta de un solo símbolo (letra o número) o de

varios símbolos no separados entre sí por el signo más (+) o menos (-). Por ejemplo:

Termino: a



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Termino: 6x

Termino: √4𝑏

Termino: (2y )

𝑥3

Los elementos de un término son los siguientes: el signo, el coeficiente, la parte

literal y el grado.

El signo. Los términos pueden ser positivos (+, por ejemplo: +x o +3y) o

negativos (-, por ejemplo: -x o -3y)).

El signo más (+) suele omitirse delante de los términos positivos. Por lo tanto,

+a = a.

El coeficiente. Es un factor cualquiera, generalmente el primero de los factores

del término. Por ejemplo para “3y”, el coeficiente es 3.

La parte literal, son las letras que haya en el término. Por ejemplo para “3y”, La

parte literal es “y”.

El grado. Puede ser de dos clases:

o Grado absoluto de un término es la suma de los exponentes de sus factores

literales. Pueden ser de primer grado, segundo, tercero, cuarto, etc.

o Grado de un término con relación a una letra. Es el exponente de dicha letra.

4.1.2 Clases de términos

Término entero. Es el que no tiene denominador literal. Por ejemplo:

a 6x (2x)

3

Término fraccionario. Es el que tiene denominador literal (letra).Por ejemplo:

(2x)

𝑦

Término racional. Es el que no tiene radical (signo de extracción de raíz). Como

por ejemplo, los anteriores.

Término irracional. Es el que tiene radical. Por ejemplo: √4𝑏

TALLER DE EJERCICIOS No. 1

1. Dígase qué clase de términos son los siguientes atendiendo al signo, a si tienen

o no denominador y a si tienen o no radical:



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5𝑎2 ; −4𝑎3𝑏 ; 2𝑎

3 ; −

5𝑏2

6 ; √𝑎 ; −√5𝑏23

; √𝑎

6 ; −

4𝑎2𝑏3

√6𝑎

Desarrollo: La solución de este primer punto puede observarse a continuación:

2. Dígase el grado absoluto de los términos siguientes:

5𝑎 ; −6𝑎2𝑏 ; 𝑎2𝑏2 ; −5𝑎3𝑏4𝑐 ; 8𝑥5𝑦6 ; 4𝑚2𝑛3 ; −𝑥𝑦𝑧5 Desarrollo: La solución de este punto puede observarse a continuación:

3. Dígase el grado de los términos siguientes respecto de cada uno de sus factores

literales:

−𝑎3𝑏2 ; −5𝑥4𝑦3 ; 6𝑎2𝑏𝑥3 ; −4𝑎𝑏𝑐𝑥2 ; 10𝑚2𝑛3𝑏4𝑐5

Desarrollo: La solución de este punto puede observarse a continuación:



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4. De los términos siguientes escoger cuatro que sean homogéneos y tres

heterogéneos:

−4𝑎3𝑏2 ; 6𝑎𝑏3 ; −𝑥5 ; 6𝑥4𝑦 ; −4𝑎3𝑏2 ; −2𝑎𝑐 ; 4𝑎𝑏𝑐𝑥2


5. Escribir tres términos enteros; dos fraccionarios; dos positivos, enteros y

racionales; tres negativos, fraccionarios e irracionales.


6. Escribir un término de cada uno de los grados absolutos siguientes: tercer grado,

quinto grado, undécimo grado, décimo quinto grado, vigésimo grado.




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7. Escribir un término de dos factores literales que sea de cuarto grado con relación

a la x; otro de cuatro factores literales que sea de séptimo grado con relación a

la y; otro de cinco factores literales que sea de décimo grado con relación a la b.


La solución de los anteriores puntos, puede observarse en Línea, haciendo click en

el siguiente enlace de internet: https://youtu.be/xDo_u9JZK4s

4.2. Clasificación de las expresiones algebraicas

4.2.1 Monomio

Es una expresión algebraica que consta de un solo término. Ejemplos:

5𝑎 ; −6𝑎2𝑏 ; 𝑎2𝑏2 ; −5𝑎3𝑏4𝑐

4.2.2 Polinomio

Es una expresión algebraica que consta de más de un término. Ejemplos:

𝑎 + 𝑏 ; 𝑎 + 𝑥 − 𝑦 ; 𝑎3 + 2𝑎2 + 𝑎 + 5

Los polinomios reciben su nombre de acuerdo al número de términos que los

integran. Por ejemplo:

Binomio: es un polinomio que consta de solo dos términos. Ejemplos:

𝑎 + 𝑏 ; 𝑥 − 𝑦 ; 𝑎2

3−

𝑚𝑥3

6𝑏

Trinomio: es un polinomio que consta de solo tres términos. Ejemplos:

𝑎 + 𝑏 + 𝑐 ; 𝑥2 − 5 𝑥 + 6 ; 5𝑥2 − 8𝑦3 +𝑎2

3

4.2.3 Grado de un polinomio

El grado de un polinomio puede ser: absoluto y con relación a una letra.

https://youtu.be/xDo_u9JZK4s



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Grado absoluto: Es el grado del término que tenga el mayor exponente o

grado en la expresión algebraica. En el siguiente polinomio: 𝑥4 − 5𝑥3 +2𝑥2 −

3𝑥 + 6, hay términos de cero, primero, segundo, tercero y cuarto grado. El

término del más alto grado o exponente es del termino 𝑥4, razón por la cual

este polinomio es de cuarto grado.

Grado de un polinomio con relación a una letra: es el mayor exponente de

dicha letra en el polinomio. En el siguiente polinomio: 𝑎6 + 𝑥3𝑎4 −𝑎2𝑥4, es de

sexto grado con relación a la a y de cuarto grado con relación a la x.


1. Dígase el grado absoluto de los siguientes polinomios:

𝑎) 𝑥 + 𝑥2 + 𝑥3 ; 𝑏) 5𝑎 − 3𝑎2 + 4𝑎4 − 6 ; 𝑐) 𝑎3𝑏 − 𝑎2𝑏2 + 𝑎𝑏3 − 𝑏4 ;

𝑑) 𝑥5 − 6𝑥4𝑦3 − 4𝑎𝑏2 + 𝑥2𝑦4 − 3𝑦6

Desarrollo: La solución de este primer punto puede observarse a continuación:

2. Dígase el grado de los siguientes polinomios con relación a cada una de sus

letras:

𝑎) 𝑎3 + 𝑎2 − 𝑎𝑏3 ; 𝑏) 𝑥4 + 4𝑥3 − 6𝑥2𝑦4 − 4𝑥𝑦5 ;

𝑐) 6𝑎4𝑏7 − 4𝑎2𝑥 + 𝑎𝑏9 − 5𝑎3𝑏8𝑥6 ;

𝑑) 𝑚4𝑛2 − 𝑚𝑛6 + 𝑚𝑥4𝑦3 − 𝑥8 + 𝑦15 − 𝑚11




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el siguiente enlace de internet: https://youtu.be/w1fBcZtyX6c

4.2.4 Clases de polinomios

Polinomio entero

Un polinomio es entero cuando ninguno de sus términos tiene un literal en

sus denominadores (denominador con letras). Ejemplos:

5𝑥2 − 8𝑦3 +𝑎2

3 ; 𝑥2 + 5𝑥 + 4 ;

1

2−

𝑎

5+

𝑎2

3

Polinomio fraccionario

Un polinomio es fraccionario cuando en alguno de sus términos existe uno o

varios denominadores literales (denominador con letras). Ejemplos:

5𝑥2 − 8𝑦3 +𝑎2

3𝑦 ;

1

2−

𝑎

5𝑥+

𝑦2

3𝑎

Polinomio racional

Un polinomio es racional cuando en ninguno de sus términos (numeradores

o denominadores) existe un radical (extracción de raíz cuadrada, cúbica,

etc.). Ver ejemplos anteriores.

Polinomio irracional

Un polinomio es irracional cuando contiene en alguno de sus términos, un

radical (extracción de raíz cuadrada, cúbica, etc). Ejemplo

√𝑎 + 3𝑎 − 2

Polinomio homogéneo

Un polinomio es homogéneo cuando todos sus términos son del mismo grado

absoluto (recuerde que el grado absoluto de un término es la suma de los

exponentes de sus factores literales o letras). Ejemplo:

4𝑥3 + 3𝑥2𝑦 + 2𝑥𝑦2 + 𝑦3



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Polinomio heterogéneo

Un polinomio es heterogéneo cuando sus términos no son del mismo grado

absoluto. Ejemplo:

𝑥3 + 𝑥2 + 𝑥 + 1

Polinomio completo

Un polinomio completo, con relación a una letra, es el que contiene todos los

exponentes sucesivos de dicha letra, desde el más alto al más bajo que tenga

dicha letra. Ejemplo:

4𝑥5 + 3𝑥4 − 2𝑥3 + 𝑥2 − 5𝑥

El siguiente ejemplo, muestra un polinomio completo con relación a la letra

“a” conteniendo todos los exponentes sucesivos desde el grado 4 hasta el

grado 1:

3𝑎4 − 2𝑎3𝑏 + 𝑎2𝑏2 + 𝑎𝑏3

Polinomio ordenado

Un polinomio ordenado con relación a una letra es un polinomio en el cual los

exponentes de una letra escogida, llamada ordenatriz, van aumentando o

disminuyendo. Ejemplos:

4𝑥5 + 3𝑥4 − 2𝑥3 + 𝑥2 − 5𝑥 + 1

3𝑎4 − 2𝑎3𝑏 + 𝑎2𝑏2 + 𝑎𝑏3 − 𝑏

Ordenar un polinomio

En todos los casos, es preferible realizar esta actividad. Ordenar un polinomio

consiste en escribir sus términos de modo que los exponentes de una letra

escogida como letra ordenatriz queden en orden ascendente o descendente.

Ejemplo (forma descendente):

−2𝑥3 + 𝑥2 + 4𝑥5 − 5𝑥 + 1 + 3𝑥4 → 4𝑥5 + 3𝑥4 − 2𝑥3 + 𝑥2 − 5𝑥 + 1

Ejemplo (forma ascendente):

−2𝑥4𝑦 + 𝑥2𝑦3 + 4𝑥5 − 5𝑥𝑦4 + 𝑦5 + 3𝑥3𝑦2

→ 𝑠𝑒 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛𝑎 𝑟𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐𝑡𝑜 𝑎 𝑥 𝑦5 − 5𝑥𝑦4 + 𝑥2𝑦3 + 3𝑥3𝑦2 − 2𝑥4𝑦 + 4𝑥5



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Término independiente de un polinomio

Es aquel término que no contiene una letra. Ejemplo:

𝑎) 4𝑥5 + 3𝑥4 − 2𝑥3 + 𝑥2 − 5𝑥 + 1 →

El término "1" es independiente con respecto a x.

𝑏) 3𝑎4 − 2𝑎3𝑏 + 𝑎2𝑏2 + 𝑎𝑏3 − 𝑏

El término "b" es independiente con respecto a “a” y a su vez, El término

"3a4" es independiente con respecto a b.

El término independiente con relación a una letra puede considerarse que

tiene esa letra con exponente cero porque toda cantidad elevada a la cero

potencia equivale a 1. Ejemplo:

𝑎3 − 2𝑎2𝑏 + 𝑎𝑏2 − 𝑏3

Para este ejemplo, el término "a3" es equivalente a “a3b0“ y a su vez, el

término "b3" es equivalente a "b3a0".


1. Atendiendo a si tienen o no denominador literal y a si tienen o no radical, dígase

qué clase son los polinomios siguientes:

𝑎) 𝑎3 + 2𝑎2 − 3𝑎 ; 𝑏)𝑎4

2−

𝑎3

3+

𝑎2

2− 𝑎 ; 𝑐) √𝑎 + √𝑏 − 2𝑐 + √𝑑 ;

𝑑) 4𝑎 + √𝑎

2 − 6𝑏 + 4


2 2. Escribir un polinomio de tercer grado absoluto; de quinto grado absoluto; de

octavo grado absoluto; de décimo quinto grado absoluto.



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Definición: "El grado absoluto de un polinomio es el grado de su término de

mayor grado absoluto".

3 3. Escribir un trinomio de segundo grado respecto de la “x”; un polinomio de quinto

grado respecto de la “a”; un polinomio de noveno grado respecto de la “m”.


4. De los siguientes polinomios:

Escoger dos que sean homogéneos y dos heterogéneos.


Definición 1: "Un polinomio es homogéneo cuando todos sus términos son del

mismo grado absoluto".

Definición 2: "Un polinomio es heterogéneo cuando sus términos no son del

mismo grado absoluto".

Definición 3: "El grado absoluto de un término es la suma de los exponentes

de sus factores literales".

Los polinomios homogéneos serían: “a)” y “e)” {en (a) todos los términos son

de tercer grado absoluto, y en (e) todos los términos son de quinto grado

absoluto}.

Por tanto, los polinomios heterogéneos serían:”c)” y “d)”.



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5. De los siguientes polinomios:

Mencione cuáles son completos y respecto de cuáles letras.


El polinomio (a) es completo respecto a la “a”.

El polinomio (c) es completo respecto a la “y”.

El polinomio (e) es completo respecto a la “b” y a la “y”.

6 6. Escribir tres polinomios homogéneos de tercer grado absoluto; cuatro de quinto

grado absoluto; dos polinomios completos.


7 7. Ordenar los siguientes polinomios respecto de cualquier letra en orden

descendente:




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8 8. Ordenar los siguientes polinomios respecto de cualquier letra en orden

ascendente:



el siguiente enlace de internet:

https://youtu.be/--DC4S5t-xU?list=PLq_SQwoOZHo2bcotCUqxjrc653jE5LJxU

https://youtu.be/qTxsKH_OLGU?list=PLq_SQwoOZHo2bcotCUqxjrc653jE5LJxU

https://youtu.be/5TnPQTjXys4?list=PLq_SQwoOZHo2bcotCUqxjrc653jE5LJxU

https://youtu.be/suPksm3XcE8?list=PLq_SQwoOZHo2bcotCUqxjrc653jE5LJxU

https://youtu.be/--DC4S5t-xU?list=PLq_SQwoOZHo2bcotCUqxjrc653jE5LJxU

https://youtu.be/qTxsKH_OLGU?list=PLq_SQwoOZHo2bcotCUqxjrc653jE5LJxU

https://youtu.be/5TnPQTjXys4?list=PLq_SQwoOZHo2bcotCUqxjrc653jE5LJxU

https://youtu.be/suPksm3XcE8?list=PLq_SQwoOZHo2bcotCUqxjrc653jE5LJxU



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https://youtu.be/ZD2D8KxlpLo?list=PLq_SQwoOZHo2bcotCUqxjrc653jE5LJxU

https://youtu.be/IO55fvNgVAM?list=PLq_SQwoOZHo2bcotCUqxjrc653jE5LJxU

https://youtu.be/J06Hf_8oMpE?list=PLq_SQwoOZHo2bcotCUqxjrc653jE5LJxU

https://youtu.be/vUjDWx7gvaI?list=PLq_SQwoOZHo2bcotCUqxjrc653jE5LJxU

5. BIBLIOGRAFÍA

Baldor, Aurelio. (2007). Algebra de Baldor. México. Grupo Editorial Patria. Beltrán Beltrán, Juan Carlos. Algebra de Baldor – procedimientos. [Notas de autor]. Recuperado de: https://www.algebra.jcbmat.com/

https://youtu.be/ZD2D8KxlpLo?list=PLq_SQwoOZHo2bcotCUqxjrc653jE5LJxU

https://youtu.be/IO55fvNgVAM?list=PLq_SQwoOZHo2bcotCUqxjrc653jE5LJxU

https://youtu.be/J06Hf_8oMpE?list=PLq_SQwoOZHo2bcotCUqxjrc653jE5LJxU

https://youtu.be/vUjDWx7gvaI?list=PLq_SQwoOZHo2bcotCUqxjrc653jE5LJxU

https://www.algebra.jcbmat.com/

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