MATHCAD pentru începători

Gabriela IANCULESCU

MATHCAD pentru începători

Ovidius University Press Constanţa – 2008

Prefaţă

PREFAŢĂ

Programul Mathcad – elaborat de firma MathSoft, Inc., Cambridge, SUA – constituie unul dintre cele mai puternice programe pentru aplicaţii matematice, remarcându-se prin viteza de calcul, acurateţea, modul simplu de utilizare şi facilităţile grafice.

Interfaţa documentelor Mathcad oferă o modalitate facilă pentru lucrul cu ecuaţii, în ceea ce priveşte introducerea şi editarea acestora, dar şi actualizarea automată a calculelor. Programul permite lucrul cu informaţii de tip text, matematic şi grafic într-un acelaşi document, prin aceasta facilitându-se modul de vizualizare şi de ilustrare.

Domeniile de proiectare care presupun rezolvarea unor modele matematice sofisticate, bazate pe calcule laborioase, constituie un sector distinct. Produsul Mathcad este un astfel de instrument, destinat cu precădere proiectării asistate de calculator. Programele de tip CAD constituie instrumente comune pentru activităţile de proiectare din cele mai diverse domenii: construcţii, arhitectură, dezvoltare tehnologică, cercetări aplicative de toate tipurile, analiză statistică etc.

Versiunea Mathcad 2001 este mai puternică şi are mai multe facilităţi decât versiunile anterioare, prin aceea că: • oferă posibilitatea de a face legături între fişierele Mathcad cu alte aplicaţii şi sisteme; • permite realizarea documentelor şi a cărţilor în format electronic şi, totodată, permite efectuarea unor prezentări în fişiere Mathcad cu calcule, tabele, legături şi indexuri; • are inclus un pachet de simulări care permite utilizatorului de a putea modela, simula şi controla procesele de sistem.

În prezent există circa 1,5 milioane de ingineri şi oameni de ştiinţă care utilizează programul Mathcad pentru a analiza, redacta şi comunica diverse lucrări ştiinţifice. Pentru a realiza un proiect de la început până la sfârşit, nu există program mai simplu de utilizat decât Mathcad 2001.

Mathcad 2001 Professional constituie soluţia industrială standard pentru matematici aplicate, fundamentul programelor din această familie – programe puternice şi uşor de folosit.

Mathcad 2001 Premium constituie soluţia fundamentală pentru proiectare în inginerie, pentru determinarea soluţiilor complexe ale unor probleme date. Având încorporate facilităţile din Mathcad 2001 Professional, acesta conţine mai multe instrumente şi facilităţi pentru a îmbunătăţi rezultatele calculelor.

3

Cuprins

CUPRINS

Introducere........................................................................................................... 7 1. Prezentare generală a programului Mathcad .............................................. 9 2. Efectuarea calculelor numerice ................................................................... 24

2.1. Operatori............................................................................................... 24 2.1.1. Operatori Mathcad .................................................................... 24 2.1.2. Operatori algebrici .................................................................... 25

2.2. Identificatori Mathcad.......................................................................... 25 2.3. Tipuri de date ....................................................................................... 26

2.3.1. Variabile numerice reale şi complexe....................................... 26 2.3.2. Variabile şir............................................................................... 26 2.3.3. Variabile tablou – vectori şi matrice......................................... 27 2.3.4. Funcţii ....................................................................................... 28

3. Ecuaţii şi sisteme de ecuaţii .......................................................................... 29

3.1. Ecuaţii................................................................................................... 29 3.1.1. Ecuaţii liniare ............................................................................ 29 3.1.2. Ecuaţii de gradul 2 .................................................................... 30

3.1.2.1. Prin utilizarea funcţiei polyroots ................................. 30 3.1.2.2. Prin vectorizare ............................................................ 31

3.1.3. Ecuaţii de gradul 3 .................................................................... 32 3.1.4. Ecuaţii de gradul „n”................................................................. 33

3.2. Sisteme de ecuaţii................................................................................. 35 3.2.1. Sisteme liniare........................................................................... 35 3.2.2. Sisteme neliniare ....................................................................... 37

4. Lucrul cu tablouri (vectori şi matrice) ........................................................ 39

4.1. Transpusa, inversa şi determinantul unei matrice................................ 39 4.2. Extragerea unei linii sau coloane specificate ale unei matrice ............ 40 4.3. Utilizarea vectorilor pentru rezolvarea unei ecuaţii de gradul 2.......... 41 4.4. Utilizarea tablourilor pentru rezolvarea unui sistem de ecuaţii liniare.... 41

5

Mathcad – ghidul începătorului

5. Evaluări simbolice ......................................................................................... 43

5.1. Evaluarea simbolică a derivatei unei funcţii ........................................ 43 5.2. Evaluarea simbolică a integralei unei funcţii....................................... 44 5.3. Limita unei funcţii într-un punct.......................................................... 45

6. Reprezentări grafice...................................................................................... 46

6.1. Reprezentări plane................................................................................ 46 6.2. Reprezentări spaţiale ............................................................................ 48

7. Animaţie ......................................................................................................... 60

7.1. Crearea efectelor de animaţie............................................................... 60 7.2. Derularea animaţiei cadru cu cadru ..................................................... 60 7.3. Salvarea unei animaţii .......................................................................... 60 7.4. Exemplificări........................................................................................ 61

Bibliografie......................................................................................................... 65

6

Introducere

INTRODUCERE

Produsul Mathcad are scopul de a asista proiectanţii şi cercetătorii care, în activitatea lor, au nevoie de rezolvarea unor probleme complexe de matematică.

Lucrarea de faţă se doreşte a fi un manual care se adresează utilizatorilor începători, având ca scop principal iniţializarea acestora cu modul de lucru şi cu facilităţile pe care programul le oferă. Este structurată pe şapte capitole, fiind concepută într-un limbaj simplist, pe înţelesul tuturor, având o realizare grafică relevantă şi edificatoare.

Primul capitol face o prezentare generală a sistemului de programe, începând de la ecranul Mathcad şi continuând cu detalierea meniului principal.

Capitolul 2 prezintă modalităţi de efectuare a calculelor numerice, incluzând operatori (aritmetici şi Mathcad), identificatori Mathcad şi tipuri de date cu care lucrează programul.

În capitolul 3 sunt prezentate moduri de rezolvare a ecuaţiilor şi sistemelor de ecuaţii liniare şi neliniare, având coeficienţi atât în mulţimea numerelor reale, cât şi în mulţimea numerelor complexe.

Capitolul 4 detaliază lucrul cu tablouri (vectori şi matrice): moduri de determinare a transpusei, inversei şi determinantului unei matrice, extragerea unei linii sau coloane specificate a unei matrice, dar şi utilizarea tablourilor pentru rezolvarea ecuaţiilor şi sistemelor de ecuaţii.

În capitolul 5 sunt tratate, de o manieră suficient de explicită, evaluările simbolice pentru diferite expresii.

Capitolul 6 – unul dintre cele mai ample capitole din lucrare – detaliază modul de reprezentare grafică a funcţiilor, atât liniare, cât şi neliniare. Graficele au fost structurate în: reprezentări grafice plane şi reprezentări grafice spaţiale (inclusiv suprafeţe de rotaţie).

În capitolul 7 este prezentat modul de creare a animaţiilor. Fiecare capitol conţine exemple care să edifice noţiunile teoretice

prezentate. Pentru fiecare tip de problemă sunt precizate datele necesare, comenzile, instrucţiunile prin care se formulează problema şi soluţiile acesteia, dar şi facilităţile grafice acolo unde este cazul.

Gabriela Ianculescu

7

Prezentare generală a programului Mathcad

1 PREZENTARE GENERALĂ A PROGRAMULUI MATHCAD

Standard

Formatting

Math Fig. 1.1. Ecranul MathCad

1

2

3

4

5

7

8

9

6

Fig. 1.2. Barele de instrumente ale barei Math Toolbar

9

Capitolul 1

H

ELP

Mat

hcad

Hel

p D

evel

oper

’s R

efer

ence

Aut

hor’

s Ref

eren

ce

Res

ourc

e C

ente

r Ti

p of

the

Day

...

Ope

n B

ook.

.. M

athc

ad U

pdat

e A

bout

Mat

hcad

...

WIN

DO

W

Cas

cade

Ti

le H

oriz

onta

l Ti

le V

ertic

al

Arr

ange

Icon

s

SYM

BO

LIC

S Ev

alua

te

Sym

bolic

ally

Fl

oatin

g Po

int..

. C

ompl

ex

Sim

plify

Ex

pand

Fa

ctor

C

olle

ct

Poly

nom

ial C

oeff

icie

nts

Var

iabl

e So

lve

Subs

titut

e D

iffer

entia

te

Inte

grat

e Ex

pand

to S

erie

s...

Con

vert

to P

artia

l Fra

ctio

n

Mat

rix

Tran

spos

e In

vert

Det

erm

inan

t Tr

ansf

orm

Fo

urie

r In

vers

e Fo

urie

r La

plac

e In

vers

e La

plac

e Z In

vers

e Z

Eval

uatio

n St

yle.

..

MA

TH

Cal

cula

te

Cal

cula

te W

orks

heet

A

utom

atic

Cal

cula

tion

Opt

imiz

atio

n O

ptio

ns...

FOR

MA

T Eq

uatio

n...

Res

ult..

. Te

xt...

Pa

ragr

aph.

.. Ta

bs...

St

yle.

.. Pr

oper

ties..

. G

raph

X

-Y P

lot..

. Po

lar P

lot..

. 3D

Plo

t...

Trac

e...

Zoom

...

Col

or

Bac

kgro

und.

.. H

ighl

ight

...

Ann

otat

ion.

.. U

se D

efau

lt Pa

lette

O

ptim

ize

Pale

tte

Sepa

rate

Reg

ions

A

lign

Reg

ions

A

cros

s D

own

Are

a Lock

...

Unl

ock.

.. C

olla

pse

Expa

nd

Hea

ders

/Foo

ters

...

Rep

agin

ate

Now

INSE

RT

Gra

ph

X-Y

Plo

t Po

lar P

lot

3D P

lot

Wiz

ard.

.. Su

rfac

e Pl

ot

Con

tour

Plo

t 3D

Sca

tter P

lot

3D B

ar C

hart

Vec

tor F

ield

Plo

t M

atrix

...

Func

tion.

.. U

nit..

. Pi

ctur

e A

rea

Mat

h R

egio

n Te

xt R

egio

n

Page

Bre

ak

Hyp

erlin

k...

Ref

eren

ce

Com

pone

nt

Obj

ect..

.

VIE

W

Tool

bars

St

anda

rd

Form

attin

g M

ath

Stat

us B

ar

Rul

er

Reg

ions

Zo

om...

R

efre

sh

Ani

mat

e...

Play

back

...

Pref

eren

ces

EDIT

U

ndo

Red

o C

ut

Cop

y

Past

e Pa

ste

Spec

ial..

. D

elet

e

Sele

ct A

ll

Find

...

Rep

lace

...

Go

to P

age.

.. C

heck

Spe

lling

...

Link

s...

Obj

ect

FILE

N

ew

Ope

n...

Clo

se

Save

Sa

ve A

s...

Page

Set

up...

Pr

int P

revi

ew

Prin

t Ex

it

Tabe

lul 1

.1

10


La lansarea în execuţie a programului, apare ecranul din fig. 1.1, în care se identifică cele 3 bare de instrumente: Standard, Formatting, Math (fig. 1.2).

În cele ce urmează, în acest capitol sunt detaliate principalele opţiuni ale meniului principal (tabelul 1.1). File

File / New - deschide un fişier nou File / Open... - deschide un fişier existent File / Close - închide fereastra activă File / Save - salvează fişierul în format Mathcad 6, Mathcad 7, Mathcad 8, Mathcad 2000, Mathcad Template (*.mct), Rich Text Format File (*.rtf), HTML File (*.htm) File / Save As... - salvează fişierul cu un alt nume, în format Mathcad 6, Mathcad 7, Mathcad 8, Mathcad 2000, Mathcad Template (*.mct), Rich Text Format File (*.rtf), HTML File (*.htm) File / Page Setup... - deschide o fereastră de dialog care permite setarea pentru: formatul, orientarea paginii şi marginile acesteia (fig. 1.3)

Fig. 1.3. Fereastra File / Page Setup

11

Capitolul 1

File / Exit - închide aplicaţia

Edit Edit / Cut Edit / Copy Edit / Paste Edit / Paste Special... Clipboard Memoria temporară Clipboard înmagazinează ultima informaţie tăiată cu CUT sau copiată cu COPY. La fiecare nouă operaţie de tăiere sau copiere, informaţia precedentă dispare. Pentru a lipi în document informaţia din memoria Clipboard, se poziţionează cursorul în document, în locul unde se doreşte plasarea informaţiei şi se alege comanda EDIT / PASTE din meniul principal. Edit / Delete - şterge informaţia selectată Edit / Select All - selectează toate regiunile; după selectare, regiunile pot fi decupate (CUT), copiate (COPY), şterse (DELETE) sau separate Edit / Find... - caut o anumită informaţie în document Edit / Replace... - înlocuieşte o anumită informaţie cu o alta specificată Edit / Go to Page... - face saltul la o pagină specificată Edit / Check Spelling... - corectează gramatical textul selectat sau întregul text din document, făcând abstracţie de ecuaţii Edit / Links... - editează obiectele din document; obiectele sunt introduse în document alegând INSERT / OBJECT din meniul principal sau EDIT / PASTE SPECIAL Edit / Object - editează obiectele din document

12


View

View / Toolbars - se vizualizează sau se ascund barele de instrumente: Standard, Formatting, Math View / Regions - vizualizează toate regiunile din document View / Zoom... - reglează gradul de vizualizare View / Refresh - redesenează ecranul View / Animate... - deschide o fereastră de dialog pentru a crea o animaţie, cadru cu cadru (fig. 1.4)

Fig. 1.4. Fereastra View / Animate

View / Playback... - deschide o fereastră pentru a rula o animaţie existentă

Insert Insert / Graph - inserează un grafic specificat în document, în locul unde este plasat cursorul Insert / Matrix... - deschide o fereastră de dialog pentru a crea un vector sau o matrice, sau pentru a le edita (fig. 1.5)

13

Capitolul 1

Fig. 1.5. Fereastra de creare pentru un vector sau o matrice

Insert / Function... - deschide o fereastră care conţine o listă cu toate funcţiile (fig. 1.6)

Fig. 1.6. Fereastra de dialog pentru inserarea unei funcţii

Insert / Unit... - inserează unităţi de măsură(fig. 1.7)

Fig. 1.7. Fereastra de inserare a unităţilor de măsură

14


Insert / Picture - inserează o imagine Insert / Area - inserează o arie delimitată Insert / Math Region - inserează o regiune de relaţii matematice Insert / Text Region - inserează o regiune de text Insert / Page Break - inserează o „ruptură de pagină”; din punctul unde este poziţionat cursorul va începe o altă pagină Insert / Object... - inserează un obiect în documentul activ, în locul unde este plasat cursorul pe pagină (fig. 1.8)

a)

b)

Fig. 1.8. Fereastra de dialog pentru inserarea unui obiect în document

15

Capitolul 1

Format

Format / Equation... - afişează o listă de stiluri matematice (fig. 1.9)

Fig. 1.9. Fereastra de formatare a ecuaţiilor

Format / Result - permite controlul asupra modului de afişare a rezultatelor (fig. 1.10)

a) b)

c) d)

Fig. 1.10. Fereastra de setare a modului de afişare a rezultatelor

16


Format / Text... - deschide o fereastră de dialog pentru a modifica caracterele, mărimea, culoarea şi stilul textului selectat (fig. 1.11)

Fig. 1.11. Fereastra de dialog pentru setarea stilului textului selectat Format / Paragraph... - deschide o fereastră de dialog pentru a modifica alinierea şi indentarea pentru o regiune de text selectată (fig. 1.12) Alinierea Un text poate fi aliniat la stânga, la dreapta sau la centru în cadrul unei regiuni text. Indentarea Liniile din cadrul unei regiuni text pot fi indentate toate la fel sau poate fi indentată doar prima linie a paragrafului.

Fig. 1.12. Fereastra de dialog pentru modificarea proprietăţilor unui paragraf

Format / Tabs - permite stabilirea dimensiunilor tabulatorilor Format / Style - permite modificarea stilului de lucru în cadrul paragrafelor (fig. 1.13)

17

Capitolul 1

Fig. 1.13. Fereastra de dialog pentru modificarea stilului unui paragraf Format / Properties - deschide o fereastră pentru a putea:

- evidenţia fundalul unei regiuni într-o culoare specificată - introduce sau şterge chenarul unui desen - afişa un desen la mărimea originală etc.

Format / Graph / X-Y Plot... - controlează caracteristicile implicite ale graficelor: grosimea liniilor; gridul, tipul graficului, markere pentru fiecare punct al graficului, culoarea curbelor, legendă, tipul axelor (liniare sau logaritmice) (fig. 1.14)

a) b)

18


c) d)

Fig. 1.14. Fereastra de modificare a caracteristicilor unui grafic selectat Format / Graph / 3D Plot... - controlează caracteristicile pentru un grafic 3D selectat: tipul graficului (contur, suprafaţă, chart); titlul; gridul şi axele Format / Graph / Trace... - permite reglarea curbelor unui grafic în ceea ce priveşte: simbolul, tipul liniei, culoarea şi tipul liniei şi grosimea acesteia (fig. 1.14.b)

Math Math / Calculate - permite actualizarea calculelor Math / Calculate Worksheet Math / Automatic Calculation - permite actualizarea automată a calculelor, la fiecare modificare efectuată de utilizator Math / Optimization Math / Options - permite modificarea opţiunilor de lucru în Mathcad (fig. 1.15)

19

Capitolul 1

a) b)

c) d)

e)

Fig. 1.15. Fereastra de modificare a opţiunilor

20


Symbolics

Symbolics / Evaluate / Symbolically - redă evaluarea simbolică pentru integrale definite, derivate, sume, produse, funcţii şi alte expresii algebrice şi matriciale Symbolics / Evaluate / Floating Point... - redă evaluarea simbolică şi întoarce un număr ca rezultat ori de câte ori este posibil Symbolics / Evaluate / Complex - redă evaluarea simbolică şi întoarce rezultatul într-o formă complexă ori de câte ori este posibil. Symbolics / Simplify - simplifică expresia selectată, realizează calcule aritmetice, scoate factori comuni şi foloseşte funcţii trigonometrice uzuale Symbolics / Expand - degrupează toţi exponenţii şi produsele din sumele expresiei selectate Symbolics / Factor - converteşte expresia selectată într-un produs dacă întreaga expresie poate fi scrisă ca un produs Symbolics / Collect - grupează termenii având aceeaşi putere dintr-o subexpresie; subexpresia poate fi o variabilă sau o funcţie cu argument. Rezultatul este un polinom în cadrul subexpresiei selectate Symbolics / Polynomial Coefficients - găseşte coeficienţii unei expresii când este rescrisă ca un polinom în subexpresia selectată Symbolics / Variable / Solve - găseşte valoarea variabilei selectate astfel încât expresia ce o conţine să fie egală cu zero - dacă se selectează variabila într-o ecuaţie sau inegalitate, această comandă rezolvă ecuaţia sau inegalitatea Symbolics / Variable / Substitute - înlocuieşte toate referirile la variabila selectată cu conţinutul din clipboard

21

Capitolul 1

- pentru a folosi această comandă se procedează astfel: - se face CUT sau COPY expresiei cu care se va înlocui variabila; - click pe variabila care se doreşte a se înlocui şi apoi Symbolics / Variable / Substitute

Symbolics / Variable / Differentiate - derivează întreaga expresie în raport cu variabila selectată, celelalte variabile fiind considerate constante Symbolics / Variable / Integrate - integrează întreaga expresie în raport cu variabila selectată Symbolics / Variable / Expand to Series... - derivează o serie de puteri pentru o expresie în raport cu variabila selectată, specificându-se ordinul seriei Symbolics / Variable / Convert to Partial Fraction - generează o fracţie parţială pentru o expresie Symbolics / Matrix / Transpose - transformă liniile în coloane şi invers pentru o matrice selectată Symbolics / Matrix / Invert - întoarce inversa unei matrici pătratice (nr. linii = nr. coloane) Symbolics / Matrix / Determinant - întoarce determinantul unei matrici pătratice selectate Symbolics / Transform / Fourier - evaluează transformata Fourier a unei expresii în raport cu o variabilă selectată Symbolics / Transform / Inverse Fourier - evaluează inversa transformatei Fourier a unei expresii în raport cu o variabilă selectată Symbolics / Transform / Laplace - evaluează transformata Laplace a unei expresii în raport cu o variabilă selectată Symbolics / Transform / Inverse Laplace - evaluează inversa transformatei Laplace a unei expresii în raport cu o variabilă selectată

22


Transform / z Symbolics / Transforms / Z - evaluează transformata Z a unei expresii în raport cu o variabilă selectată Transform / Inverse z Symbolics / Transform / Inverse Z - evaluează inversa transformatei Z a unei expresii în raport cu o variabilă selectată Evaluation Style... Symbolics / Evaluation Style... - verifică unde anume sunt plasate rezultatele:

- după expresia selectată, cu sau fără comentarii - în dreapta expresiei selectate, cu sau fără comentarii - în locul expresiei selectate.

23

Capitolul 2

2 EFECTUAREA CALCULELOR NUMERICE

2.1. OPERATORI

2.1.1. Operatori MathCad a. Operatorul de definire globală (fig. 2.1)

d - se realizează prin tasta ~ sau se ia din Evaluation Toolbar - se utilizează pentru fixarea sau modificarea unor parametri Mathcad la nivel global, având valabilitate pentru întregul document

Fig. 2.1. Operatorul de definire globală

b. Operatorul de atribuire (fig. 2.2)

- se realizează prin tasta : sau se poate lua fie din Calculator Toolbar, fie din Evaluation Toolbar - se utilizează pentru a atribui o constantă unei variabile sau pentru a atribui o expresie unei funcţii

Fig. 2.2. Operatorul de atribuire

24

Efectuarea calculelor numerice

c. Operatorul de evaluări booleene (fig. 2.3)

- se realizează prin tasta Ctrl + = sau se regăseşte în Boolean Toolbar - se utilizează pentru egalarea forţată a două expresii; se foloseşte în cadrul secvenţelor de rezolvare a ecuaţiilor şi sistemelor de ecuaţii

Fig. 2.3. Operatorul de evaluări booleene

d. Operatorul de afişare (fig. 2.4)

= - se realizează cu tasta = sau se regăseşte fie în Calculator Toolbar, fie în Evaluation Toolbar - se utilizează pentru afişarea unui rezultat calculat

Fig. 2.4. Operatorul de afişare

2.1.2. Operatori algebrici

Adunare Scădere Înmulţire Împărţire Ridicare la putere

+ - * / ^

2.2. IDENTIFICATORI MATHCAD

Identificatorii Mathcad sunt, de fapt, numele dat variabilelor utilizate. Acestea sunt: - litere latine mari sau mici; - cifre; - litere greceşti; - caractere speciale ( _ % ` . ); - caractere internaţionale.

25

Capitolul 2

2.3. TIPURI DE DATE

2.3.1. Variabile numerice reale şi complexe

Pentru a defini o variabilă, este necesar să se indice: - numele variabilei; - operatorul de definiţie; - expresia care defineşte variabila. Ex. Se calculează valoarea expresiei y

x 0.5

y x2 5 x 29

y 26.75=

2.3.2. Variabile şir

Variabilele şir se împart în: - variabile şir definite prin progresii aritmetice (ex. 1); - variabile şir definite prin variabile indice (ex. 2). Ex. 1. Progresii aritmetice variabilă_şir := val_iniţială,val_următoare..val_finală

Ex. 2. Variabile indice variabilă_şirvariabilă_indice := expresie

26

Efectuarea calculelor numerice

2.3.3. Variabile tablou – vectori şi matrice

În lucrul cu vectori şi matrice, în MathCad, indexul începe întotdeauna de la 0. Ex. 1. Vectori

În ex. 1, primul element are indexul 0, astfel încât v0 = 21.

Ex. 2. Matrice

27

Capitolul 2

În ex. 2, primul element are indexul 0, astfel încât primul element al

matricei este M0,0 = 1, iar prima coloană este

2.3.4. Funcţii

Ex. 1. Funcţii trigonometrice

απ2

:=

sin α( ) 1=

Ex. 2. Funcţii logaritmice

ln e( ) 1=

ln e3( ) 3=

log 10( ) 1=

log 105( ) 5=

28

Ecuaţii şi sisteme de ecuaţii

3 ECUAŢII ŞI SISTEME DE ECUAŢII

Funcţii utilizate pentru rezolvarea ecuaţiilor şi sistemelor de ecuaţii: find(x,y,...) Returnează valorile variabilelor x, y, ... care satisfac blocul

restricţiilor definit de instrucţiunea „given”; numărul maxim de variabile: 50

minerr(x,y,...) Returnează valorile variabilelor x, y, ... care minimizează eroarea restricţiilor definite de instrucţiunea „given”

root(f(x),x) Returnează valoarea variabilei x care anulează funcţia f(x) polyroots(v) Returnează, sub formă de vector, rădăcinile polinomului având

coeficienţii în vectorul „v”; vectorul „v” se defineşte ca fiind vectorul coeficienţilor, în ordinea crescătoare a puterilor variabilei

lsolve(M,v) Returnează, sub formă de vector, soluţiile unui sistem de ecuaţii; matricea „M” se defineşte ca fiind matricea coeficienţilor variabilelor, iar „v” se defineşte ca fiind vectorul coeficienţilor, în ordinea crescătoare a puterilor variabilei

3.1. ECUAŢII 3.1.1. Ecuaţii liniare A. Ecuaţii cu coeficienţi în mulţimea numerelor reale

Se va afla soluţia ecuaţiei: x 5 0+ =

Pentru simplificarea calculelor, se face notaţia: f (x) x 5= +

a) Folosind funcţia FIND

x 0

given

f x( ) 0

find x( ) 5=

29

Capitolul 3

b) Folosind funcţia MINERR

x 0

given

f x( ) 0

minerr x( ) 5= c) Folosind funcţia ROOT

x 0

sol root f x( ) x,( )

sol 5=

B. Ecuaţii cu coeficienţi în mulţimea numerelor complexe Se va afla soluţia ecuaţiei:

( )1 2i x 5 0+ + = Ecuaţia se rezolvă folosind funcţia POLYROOTS Se creează vectorul coeficienţilor:

3.1.2. Ecuaţii de gradul 2

3.1.2.1. Prin utilizarea funcţiei POLYROOTS A. Ecuaţii cu coeficienţi în mulţimea numerelor reale

Se vor afla soluţiile ecuaţiei: 22x 3x 9 0+ − =

Se creează vectorul coeficienţilor:

30


B. Ecuaţii cu coeficienţi în mulţimea numerelor complexe

Se vor afla soluţiile ecuaţiei: ( ) ( ) ( )21 2i x 1 3i x 1 9i 0+ + − − + =

Se creează vectorul coeficienţilor:

3.1.2.2. Prin vectorizare Simbolul pentru vectorizare se regăseşte în Vector and Matrix Toolbar

(fig. 3.1).

Fig. 3.1. Simbolul pentru vectorizare

Se consideră ecuaţiile de gradul 2 având coeficienţii a, b, c, din mulţimea

numerelor reale, definiţi ca vectori:

Relaţiile de calcul vectorizate sunt:

xb− b2 4a c⋅−+

2a

→⎯⎯⎯⎯⎯⎯

:=

31

Capitolul 3

yb− b2 4 a⋅ c⋅−−

2a

→⎯⎯⎯⎯⎯⎯

:=

având valorile:

3.1.3. Ecuaţii de gradul 3 Aceste ecuaţii se rezolvă, de regulă, utilizând funcţia POLYROOTS.

A. Ecuaţii cu coeficienţi în mulţimea numerelor reale

a) Se vor afla soluţiile ecuaţiei:

3 2x 5x 10x 12+ − − = 0 Se creează vectorul coeficienţilor:

b) Se vor afla soluţiile ecuaţiei:

3 2x 5x 10x 12+ − + = 0 Se creează vectorul coeficienţilor:

32


B. Ecuaţii cu coeficienţi în mulţimea numerelor complexe Se vor afla soluţiile ecuaţiei:

( ) ( ) ( ) ( )3 21 2i x 5 2i x 10 3i x 1 2i 0− + + − − − + = Se creează vectorul coeficienţilor:

3.1.4. Ecuaţii de gradul „n”

A. Ecuaţii cu coeficienţi în mulţimea numerelor reale

Se vor afla soluţiile ecuaţiei:

13 2x 5x 10x 12+ − + = 0 Se creează vectorul coeficienţilor:

33

Capitolul 3

B. Ecuaţii cu coeficienţi în mulţimea numerelor complexe

Se vor afla soluţiile ecuaţiei:

( ) ( ) ( ) ( )13 21 2i x 5 2i x 10 3i x 1 2i 0− + + − − + + = Se creează vectorul coeficienţilor:

34


3.2. SISTEME DE ECUAŢII 3.2.1. Sisteme liniare

Se vor determina soluţiile sistemului de ecuaţii liniare:

35

Capitolul 3

x y z 02x y 3z 33x 2y 5z 0

+ − =⎧⎪ + − =⎨⎪ + − =⎩

a) Metoda 1 (folosind funcţia „FIND”)

b) Metoda 2 (folosind funcţia „MINERR”)

c) Metoda 3 (folosind funcţia „LSOLVE”)

x y+ z− 0

2x y+ 3z− 3

3x 2y+ 5z− 0

36


3.2.2. Sisteme neliniare

Se vor determina soluţiile sistemului de ecuaţii neliniare:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=−+

=−+

=−+

0z5y2x33z3yx2

0zyx

2

2

2

a) Metoda 1 (folosind funcţia „FIND”)

37

Capitolul 3

b) Metoda 2 (folosind funcţia „MINERR”)

38

Lucrul cu tablouri

4 LUCRUL CU TABLOURI (VECTORI ŞI MATRICE)

4.1. TRANSPUSA, INVERSA ŞI DETERMINANTUL UNEI MATRICE

Se consideră matricea pătratică M pentru care se vor determina: inversa,

transpusa şi determinantul matricei M:

Elementul maxim şi cel minim ale acestei matrice sunt:

max M( ) 8=

min M( ) 3−=

39

Capitolul 4

4.2. EXTRAGEREA UNEI LINII SAU COLOANE SPECIFICATE

ALE UNEI MATRICE Se consideră matricea:

Se determină nr. de coloane şi nr. de linii:

cols M( ) 4=

rows M( ) 5= Se vor extrage pe rând coloanele 1, 2, 3, 4:

Se vor extrage pe rând liniile 1, 2, 3, 4, 5:

40

Lucrul cu tablouri

4.3. UTILIZAREA VECTORILOR PENTRU REZOLVAREA UNEI ECUAŢII DE GRADUL 2

Se consideră funcţia având forma generală f(x) = x2 – 2x – 8 Pentru rezolvarea acestei ecuaţiei f (x) 0= cu ajutorul funcţiei

„POLYROOTS” trebuie definit în prealabil vectorul „v” al coeficienţilor variabilei, în ordinea crescătoare a puterilor acesteia.

4.4. UTILIZAREA TABLOURILOR

PENTRU REZOLVAREA UNUI SISTEM DE ECUAŢII LINIARE

Vectorii şi matricele pot fi utilizate şi pentru rezolvarea sistemelor de

ecuaţii liniare. Astfel, în continuare este redată rezolvarea unui sistem de „4” ecuaţii cu „4” necunoscute, utilizând funcţia „LSOLVE”.

0.3w 0.2x+ 6.6y+ 1.1z− 1

4.5w 1.8x− 0.3y− 6.5z+ 0.1

7.3− w 9.7x+ 10.9y+ 4.1z− 0.01

8.1w 2.7x− 8.7y+ 8.9z+ 0.001 Corespunzător acestui sistem se defineşte matricea „M” a coeficienţilor

variabilelor (în acest caz ordinea fiind „w”, „x”, „y”, „z”) şi respectiv vectorul „v” al termenilor liberi:

41

Capitolul 4

Se determină soluţiile sistemului:

42

Evaluări simbolice

5 EVALUĂRI SIMBOLICE

Simbolul pentru evaluări simbolice se găseşte în Symbolic Keyword Toolbar (fig. 5.1).

Fig. 5.1. Simbolul pentru evaluări simbolice

5.1. EVALUAREA SIMBOLICĂ A DERIVATEI UNEI FUNCŢII

Simbolul pentru derivate se găseşte în Calculus Toolbar (fig. 5.2).

Fig. 5.2. Simbolul pentru derivate

43

Capitolul 5

Se consideră funcţia:

Prima derivată:

Derivata de ordin n:

5.2. EVALUAREA SIMBOLICĂ A INTEGRALEI UNEI FUNCŢII

Simbolul pentru derivate se găseşte în Calculus Toolbar (fig. 5.3).

Fig. 5.3. Simbolul pentru integrale


44

Evaluări simbolice

5.3. LIMITA UNEI FUNCŢII ÎNTR-UN PUNCT

Simbolul pentru limite se găseşte în Calculus Toolbar (fig. 5.4).

Fig. 5.4. Simbolul pentru limite


f x( )sin x( )

x:=

Punctul în care se calculează limita:

Limitele la stânga şi la dreapta punctului p: - limita la stânga:

- limita la dreapta:

45

Capitolul 6

6 REPREZENTĂRI GRAFICE

6.1. REPREZENTĂRI PLANE a) Se vor ridica graficele funcţiei f(x) şi a derivatei sale

f x( )sin x( ) cos x( )⋅( )

x:=

b) Se consideră matricea M, din care se extrag coloanele X şi respectiv Y, pentru care se ridică graficul X-Y

46

Reprezentări grafice

c) Graficul unor funcţii care depind de acelaşi parametru

d) Se realizează graficul unui cerc pentru care se specifică centrul şi raza. Se consideră că cercul are raza „r”, iar centrul cercului are coordonatele (xc,yc).

47

Capitolul 6

6.2. REPREZENTĂRI SPAŢIALE a) Reprezentarea unei sfere. Se scriu ecuaţiile sferei:

X φ θ,( ) sin φ( ) cos θ( )⋅:=

Y φ θ,( ) sin φ( ) sin θ( )⋅:=

Z φ θ,( ) cos φ( ):= Se realizează graficul, apelând butonul 3D Scatter Plot:

a) b)

Pentru a modifica imaginea implicită a) în imaginea modificată b), se modifică proprietăţile, printr-un dublu click pe grafic (fig. 6.1).

Fig. 6.1. Fereastra de modificare a proprietăţilor unui grafic 3D pentru o sferă

b) Reprezentarea grafică a unei suprafeţe de revoluţie în jurul axei x pentru funcţia f(x). Pentru aceasta, se urmăresc anumiţi paşi: - se defineşte funcţia f(x)

48


f x( ) x sin x( )2⋅:= - se definesc limitele a şi b între care variază variabila x

a π−:=

b 2:= - se defineşte numărul de ochiuri ale plasei

mesh 30:= - se scriu ecuaţiile parametrice pentru suprafaţa de revoluţie

F u v,( ) u:=

G u v,( ) f u( ) cos v( )⋅:=

H u v,( ) f u( ) sin v( )⋅:= - se ridică graficul funcţiei f(x)

- se defineşte suprafaţa de revoluţie

S CreateMesh F G, H, a, b, 0, 2π, mesh,( ):= - se ridică graficul funcţiei S prin accesarea butonului 3D Scatter Plot

a) b)


49

Capitolul 6

Fig. 6.2. Fereastra de modificare a proprietăţilor unui grafic 3D

pentru o suprafaţă de revoluţie în jurul axei x

c) Reprezentarea grafică a unei suprafeţe de revoluţie în jurul axei y pentru funcţia f(x). Pentru aceasta, se urmăresc anumiţi paşi: - se defineşte funcţia f(x)

f x( ) x sin x( )2⋅:= - se definesc limitele a şi b între care variază variabila x

a 0:=

b π:= - se defineşte numărul de ochiuri ale plasei

mesh 30:= - se scriu ecuaţiile parametrice pentru suprafaţa de revoluţie

F u v,( ) u sin v( )⋅:=

G u v,( ) u cos v( )⋅:=

H u v,( ) f u( ):= - se ridică graficul funcţiei f(x)

- se defineşte suprafaţa de revoluţie

S CreateMesh F G, H, a, b, π−, π, mesh,( ):= - se ridică graficul funcţiei S prin accesarea butonului 3D Scatter Plot

50


a) b)



pentru o suprafaţă de revoluţie în jurul axei y

d) Reprezentarea grafică 3D a unei funcţii f(x,y). Pentru aceasta, se urmăresc anumiţi paşi: - se defineşte funcţia f(x,y)

f x y,( ) x3 sin 4 y⋅( )⋅ y2 cos 3 x⋅( )⋅+:= - se definesc paşii pentru variabilele x şi y

xr π:=

yr π:= - se defineşte numărul de ochiuri ale plasei

mesh 20:= - se defineşte suprafaţa S

S CreateMesh f xr−, xr, yr−, yr, mesh,( ):=

51

Capitolul 6

- se ridică graficul funcţiei S prin accesarea butonului 3D Scatter Plot

a) b)



pentru o suprafaţă determinată de o funcţie f(x,y)

52


e) Reprezentarea grafică a unei funcţii cu variabilă complexă - se defineşte funcţia f(z)

f z( ) z2:=

N 30:=

m 0 N..:=

n 0 N..:= - se definesc partea reală şi respectiv partea imaginară

rzm 2− m4N⋅+:=

izn 2− n4N⋅+:=

- se defineşte matricea funcţiei complexe care va fi reprezentată grafic

Cm n, f rzm i izn⋅+( ):= - se reprezintă grafic partea reală Re(C) a funcţiei f(z) ca o suprafaţă (3D) prin accesarea butonului Surface Plot

a) b)


53

Capitolul 6

Fig. 6.5. Fereastra de modificare a proprietăţilor unui grafic 3D pentru partea reală Re(C) a funcţiei f(z) cu variabilă complexă,

reprezentată ca suprafaţă

- se reprezintă grafic partea reală Re(C) a funcţiei f(z) ca un contur (2D) prin accesarea butonului Surface Plot

a) b)

54



Fig. 6.6. Fereastra de modificare a proprietăţilor unui grafic 3D pentru partea reală Re(C) a funcţiei f(z) cu variabilă complexă,

reprezentată ca un contur

- se reprezintă grafic partea imaginară Im(C)a funcţiei f(z) prin accesarea butonului Surface Plot

55

Capitolul 6

a) b)


56



pentru partea imaginară Im(C) a funcţiei f(z) cu variabilă complexă, reprezentată ca suprafaţă

- se reprezintă grafic partea reală Re(C) a funcţiei f(z) ca un contur (2D) prin accesarea butonului Surface Plot

a) b)


57

Capitolul 6


pentru partea imaginară Im(C) a funcţiei f(z) cu variabilă complexă, reprezentată ca un contur

e) Reprezentarea grafică a unei funcţii matriciale - se defineşte funcţia F(x,y)

F x y,( ) 800 x2− y2−:= - se definesc valorile maxime pentru x şi y

m 20:=

n 20:= - se defineşte matricea M

M matrix m n, F,( ):= - se reprezintă graficul funcţiei M prin accesarea butonului Surface Plot

58


a) b)


Fig. 6.9. Fereastra de modificare a proprietăţilor unui grafic

pentru o funcţie matricială

59

Capitolul 7

7 ANIMAŢIE

Animaţia poate fi creată în Mathcad utilizând în ecuaţie o variabilă numită FRAME. Fiecare cadru (FRAME) este generat de valorile pe care le ia variabila FRAME din şirul specificat.

Variabila FRAME se utilizează numai în fereastra de dialog pentru animaţie.

7.1. CREAREA EFECTELOR DE ANIMAŢIE Poate fi animat orice grafic sau rezultat numeric definit în funcţie de o

variabilă FRAME. Paşii necesari pentru a crea o animaţie:

• Se creează o regiune care depinde de variabila FRAME; • Fişierul de lucru trebuie sa fie în modul de lucru Automatic; • Se alege opţiunea VIEW din meniul principal, apoi ANIMATE; • Se delimitează regiunea care se animează; • În fereastra de dialog se specifică prima şi ultima valoare pentru variabila

FRAME; • Click ANIMATE în fereastra de dialog.

În fereastra de dialog apare desenul cu efectele de animaţie, acesta fiind creat prin atribuirea fiecărei valori a variabilei FRAME.

7.2. DERULAREA ANIMAŢIEI CADRU CU CADRU O animaţie creată se poate vizualiza şi cadru cu cadru, prin apăsarea

butonului Play back.

7.3. SALVAREA UNEI ANIMAŢII Odată creată o animaţie, ea poate fi salvată. Acest lucru permite rularea sa

ulterioară, fără a fi nevoie sa fie reînregistrată. Salvarea se face cu extensia AVI: • Fereastra de dialog trebuie să fie deschisă;

60

Animaţie

• În fereastra de dialog trebuie să fie primul cadru; • Dacă este nevoie, se poate schimba metoda de compresie, cu ajutorul

butonului Options; • Se apasă butonul Save As

7.4. EXEMPLIFICĂRI Exemplul 1. O funcţie şi tangenta sa

Se consideră o funcţie f(x) şi derivata sa:

f x( ) x sin x( )⋅:=

f' x( )x

f x( )dd

:=

Tangenta are expresia: y a x,( ) f' a( ) x a−( )⋅ f a( )+:=

Se defineşte parametrul „a” în funcţie de variabila FRAME:

a πFRAME

5+:=

a 3.142= Se dau valori lui „x”:

x 0 0.1, 4 π⋅..:= Se ridică graficul:

0 5 10

10

10

f x( )

y a x,( )

f a( )

x x, a, Efectele de animaţie se pot vizualiza în fereastra corespunzătoare (fig. 7.1): View / Animate

61

Capitolul 7

Fig. 7.1. Fereastra de animaţie pentru tangenta unei funcţii

Exemplul 2. Spirala


r x( ) x:= Se defineşte „x” în funcţie de variabila FRAME:

x 0 0.1, FRAME..:= Se ridică graficul:

62

Animaţie

Efectele de animaţie se pot vizualiza în fereastra corespunzătoare (fig. 7.2): View / Animate

Fig. 7.2. Fereastra de animaţie pentru o spirală

63

Bibliografie

BIBLIOGRAFIE

1. Scheiber, E. Lixăndroiu, D.

MathCAD – Prezentare şi probleme rezolvate, Editura Tehnică, Bucureşti, 1994

2. * * * Mathcad 2001 Professional

3. * * * http://www.mathcad.com

4. * * * http://www.mathsoft.com

5. * * * http://www.ptc.com

6. * * * http://www.adeptscience.co.uk

65

Documents

MATHCAD pentru începători