Matriks - pustaka.ut.ac.id · Modul 1 Matriks R. J. Pamuntjak Warsito istem persamaan linear (SPL) yang muncul hampir dalam semua penerapan aljabar linear, juga sangat diperlukan

Modul 1

Matriks

R. J. Pamuntjak Warsito

istem persamaan linear (SPL) yang muncul hampir dalam semua

penerapan aljabar linear, juga sangat diperlukan sebagai landasan dalam

pembahasan bagian lain aljabar linear elementer. Mencari dan menganalisis

selesaian SPL sangat dimudahkan dengan menggunakan matriks. Oleh sebab

itu, modul pertama perkuliahan Aljabar Linear Elementer I ini kita isi dengan

pembahasan matriks dan pengenalan operasinya seperti penjumlahan,

perkalian dua matriks, dan perkalian matriks dengan skalar.

Pada materi aljabar linear elementer, pengertian bilangan akan kita batasi

dengan bilangan real. Oleh karena itu, untuk mengerti sifat-sifat operasi

pada matriks dan juga untuk memahami materi penting lain aljabar linear

elementer ini, diperlukan pemahaman sifat-sifat bilangan real yang sudah

Anda kenal sejak di sekolah dasar.

Setelah mempelajari modul ini Anda diharapkan akan dapat memahami

pengertian, operasi, dan sifat-sifat matriks. Secara lebih rinci Anda

diharapkan mampu:

1. menjelaskan pengertian matriks;

2. menentukan ukuran matriks;

3. menentukan jenis matriks;

4. menjumlahkan dua matriks, mengalikan matriks dengan bilangan real,

dan mengalikan dua buah matriks;

5. menentukan suatu matriks merupakan matriks bujur sangkar;

6. menentukan matriks singular atau non singular;

7. menentukan invers matriks berukuran 2 2 berdasarkan definisinya;

8. menjelaskan sifat-sifat matriks invers;

9. menentukan transpos matriks; dan

10. menentukan matriks simetri.

S

PENDAHULUAN

1.2 Aljabar Linear Elementer I

Kegiatan Belajar 1

Pengertian Matriks

alam kehidupan sehari-hari sering digunakan daftar yang memuat

bilangan yang tersusun dalam kolom dan baris, misalnya daftar

jumlah kemeja merek tertentu yang laku terjual selama sebulan pada suatu

toko pakaian menurut ukuran dan warnanya.

Pengertian susunan bilangan real yang teratur dalam baris dan kolom

inilah yang nantinya akan mendasari konsep matriks. Oleh karena itu,

sebelum sampai pengertian matriks, kita akan mulai mengingat kembali

bilangan real dan sifat-sifatnya.

Bilangan Real dan Sifat-sifatnya

Catatan: (1) ( )a b ditulis a b , penjumlahan dengan inversnya

(pengurangan).

(2) 1( )( )a b ditulis

a

b, perkalian dengan inversnya (pembagian).

D

Misalkan a , b , dan c R , maka memenuhi sifat-sifat:

(i) a. a b R tertutup penjumlahan

b. .a b R tertutup perkalian

(ii) a. a b b a komutatif penjumlahan

b. . .a b b a komutatif perkalian

(iii) a. ( ) ( )a b c a b c asosiatif penjumlahan

b. ( . ). .( . )a b c a b c asosiatif perkalian

(iv) a. 0 0a a 0 unsur satuan penjumlahan

b. 1 .1a a 1 unsur satuan perkalian

(v) a. a , ( )a ( ) 0a a ( )a unsur invers penjumlahan

b. 0a , 1( )a 1( ). 1a a 1a unsur invers perkalian

(vi) a. .( ) . .a b c a b a c distributif

b. ( ). . .a b c a c b c distributif

MATA4112/MODUL 1 1.3

(3) Sifat-sifat bilangan real tidak dibuktikan disini, jika lupa

silahkan melihat BMP Pengantar Matematika atau Kalkulus I.

Sekarang mari kita mulai membahas materi matriks.

A. PENGERTIAN MATRIKS

Sekarang perhatikan daftar jumlah kemeja merek tertentu yang laku

terjual selama sebulan pada suatu toko pakaian menurut ukuran dan

warnanya didepan sebagai ilustrasi/contoh lebih lengkap berikut ini.

Contoh 1.1.1

a. Daftar banyaknya kemeja polos merek “A” yang terjual dalam bulan

Juni 1996 digambarkan pada Tabel 1.1.1.

b. Daftar kadar gizi dan harga bahan makanan per kg (kilo gram).

Tabel 1.1.2

Gizi Bahan

Protein Lemak Hidrat.Arang Rupiah

Beras Giling 68 7 789 1200

Kentang 17 0,85 62,35 1000

Tahu 78 46 16 800

Bandeng 160 38,4 0 4000

Telur Ayam 115,2 103,5 6,3 2500

Tabel 1.1.1 di samping kanan

menggambarkan jumlah hasil

penjualan kemeja yang dikelom-

pokkan menurut dua karakteris-

tik, yaitu warna dan ukuran.

Angka dalam daftar adalah

jumlah anggota masing-masing

kelompok tersusun dalam empat

baris dan empat kolom.

Tabel 1.1.1


Pada Tabel 1.1.2 termuat daftar kadar gizi dan nilai rupiah dari beberapa

bahan makanan. Kadar gizi dalam gram per kg dan harga dalam rupiah per

kg. Daftar pada contoh kedua ini berisi bilangan yang tersusun dalam 5

(lima) baris dan 4 (empat) kolom.

Susunan bilangan seperti yang terdapat pada kedua contoh di atas disebut

matriks, yang definisi formalnya akan kita tuliskan sebagai berikut. Definisi 1.1.1 (Pengertian Matriks)

Cara menuliskan matriks (umum) berukuran m n :

11 12 13 1

21 22 23 2

31 32 33 3

1 2 3

1, , = ,

1, ,

n

n

i jn

m m m mn

a a a a

a a a ai m

A aa a a aj n

a a a a

Angka pertama (kiri) pada indeks suatu unsur menyatakan nomor atau

urutan tempat baris yang ditempati unsur itu (dari atas ke bawah).

Angka kedua (kanan) pada indeks suatu unsur menyatakan nomor atau

urutan tempat kolom yang ditempati unsur itu (dari kiri ke kanan).

Jadi ija adalah unsur matriks A yang terdapat pada baris ke -i (dari atas),

pada kolom ke - j (dari kiri), i dan j bilangan asli dengan 1 i m dan

1 j n . Misalnya, 37a adalah unsur matriks A pada baris ke-3 dan kolom

ke-7.

Contoh 1.1.2

a. Matriks yang terbentuk dari Tabel 1.1.1 pada Contoh 1.1.1a adalah

i. Matriks adalah jajaran bilangan real berbentuk persegi panjang.

ii. Bilangan real yang terdapat dalam jajaran yang membentuk matriks

disebut unsur matriks.

iii. Matriks (berukuran) m n adalah matriks yang terdiri dari m baris

dan n kolom, setiap baris memuat n bilangan, dan tiap kolom

memuat m bilangan.


15 20 10 5

12 15 8 4 ,

14 16 9 6

11 13 7 2

K

dan matriks yang terbentuk dari Tabel 1.1.2 pada Contoh 1.1.1b adalah

68 7 789 1200

17 0,85 62,35 1000

78 46 16 800

160 38,4 0 4000

115,2 103,5 6,3 2500

G

Matriks K berukuran 4 4 dan matriks G berukuran 5 4.

b. Pandang matriks

17

2 7 5 1,7

0 2,2 12 1

21 17 1 6

A

e

.

Matriks A berukuran 35. Unsur pada baris ke-2 kolom ke-4 adalah

24 12a . Untuk lebih memahaminya, diberikan ilustrasi sebagai berikut.

17

2 7 5 1,7

0 2,2 12 1

21 17 1 6

A

e

baris ke-2

kolom ke-4

c. Contoh bukan matriks

1 3 21 5 1 5 2

, = 0 , = 0 2 1,2 3 0

1 1 6

A B C

.

Menurut pengertian (definisi) A , B , dan C bukan matriks, karena:

i. A mempunyai unsur yang bukan bilangan real, yakni dan .


ii. B tidak terdapat unsur yang bertempat pada baris ke-2, kolom ke-3.

Baris kedua dan kolom ketiga hanya mempunyai dua unsur.

iii. C terdapat unsur yang berupa bilangan kompleks yakni 5 (bukan

bilangan real). Walaupun demikian, adakalanya kita memerlukan

matriks dengan unsur bilangan kompleks, tetapi bukan pada Aljabar

Linear Elementer I ini. Pada pendahuluan sudah dijelaskan bahwa

pada pembahasan aljabar linear elementer ini dibatasi hanya untuk

bilangan real.

B. JENIS-JENIS MATRIKS MENURUT UKURANNYA Definisi 1.1.2

Contoh 1.1.3

a. Matriks baris 0 1 3 1 adalah matriks 1 4A

b. Matriks kolom

01

72 adalah matriks 4 1, dan adalah matriks 5 1

02

13

B C

.

Definisi 1.1.3

Contoh 1.1.4

Contoh-contoh berikut adalah matriks bujur sangkar dan ordenya.

Matriks bujur sangkar orde n adalah matriks berukuran n n

i. Matriks baris adalah matriks 1 n

ii. Matriks kolom adalah matriks 1m


Unsur-unsur diagonal

Unsur-unsur bawah diagonal

Bukan unsur-unsur diagonal !!!

a. [3]A orde 1; b.0 1

5B

orde 2; c.

2

4 1 0 1

2 2 1orde 4

3 2 0

5 0 7 5

C

.

Unsur-unsur matriks bujur sangkar dapat dikelompokkan menurut posisinya

dalam matriks. Definisi 1.1.4

Untuk jelasnya lihatlah ilustrasi berikut ini.

0 1 3 1

2,1 9 1

1 5 2 0

2 3 1 4

Definisi 1.1.5

Contoh 1.1.5

a. Matriks-matriks berikut adalah matriks segitiga bawah

Matriks segitiga bawah adalah matriks bujur sangkar yang semua unsur

atas diagonalnya adalah 0.

i. Unsur kka , dengan 1, 2,3, ,k n disebut unsur diagonal.

ii. Unsur ija dengan , 1, 2,3, , ; 1, 2,3, ,j i i n j n disebut

unsur atas diagonal.

iii. Unsur ija dengan , 1, 2,3, , ; 1, 2,3, ,j i i n j n disebut

unsur bawah diagonal.

Perhatikan!

Yang dimaksud dengan

diagonal suatu matriks

adalah diagonal “kiri atas

– kanan bawah” (yang

bergaris penuh), bukan

yang “kiri bawah – kanan

atas” (garis terputus).

Unsur-unsur atas diagonal


2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

1 1 0 , 1 1 0 , 1 1 0 , 0 0 0

1 5 1 3 0 2 1 0 0 1 1 0

P Q R S

karena semua unsur atas diagonal adalah 0. Unsur-unsur diagonal dan

bawah diagonal boleh nol atau tidak nol, karena pada definisi matriks

segitiga tidak ada pembatasan nol atau tidak nol untuk unsur-unsur

diagonal ini.

b. Matriks berikut bukan matriks segitiga bawah, karena ada unsur atas

diagonal yang tidak 0 (yang dilingkari).

0 0 2 0 0 0 0 0 0

0 1 1 , 0 0 1 , 0 0 2

1 2 3 0 0 15 0 3 21

A B C

Definisi 1.1.6

Contoh 1.1.6

a. Matriks-matriks berikut adalah matriks segitiga atas, karena semua

unsur-unsur bawah diagonal adalah 0.

1 2 1

0 1 1

0 0 3

,

1 2 2

0 0 0

0 0 1

,

1 0 1

0 0 2

0 0 0

,

3 0 0

0 1 0

0 0 2

,

0 0 0

0 0 0

0 0 1

,

0 0 0

0 0 0

0 0 0

.

b. Matriks-matriks bujur sangkar berikut bukan matriks segitiga atas,

karena ada unsur bawah diagonalnya yang tidak nol.

Matriks segitiga atas adalah matriks bujur sangkar yang semua unsur

bawah diagonalnya adalah 0.


1 2 1 0 2 1 3 0 0 0 1 0

1 3 0 , 0 0 0 , 1 0 0 , 2 0 0

2 0 0 2 1 0 0 3 0 0 0 0

.

Definisi 1.1.7

Dapat juga dikatakan bahwa matriks diagonal adalah matriks bujur sangkar

1, ,= ,

1, ,i j

i nA a

j n

dengan 0 jika . i ja i j

Matriks diagonal adalah sekaligus matriks segitiga atas dan segitiga bawah.

Perhatikan ilustrasi di bawah ini.

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

a

b

c

d

Tak ada pembatasan pada unsur-unsur diagonal apakah 0 atau tidak 0. Unsur-

unsur diagonal a , b , c , dan d boleh 0 atau tidak 0.

Contoh 1.1.7

a. Matriks-matriks berikut adalah matriks diagonal

1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0

0 1 0 , 0 1 0 , 0 0 0 , 0 0 0 , 0 1 0

0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

i. Matriks diagonal adalah matriks bujur sangkar yang semua unsur luar

diagonal yakni unsur atas diagonal atau bawah diagonalnya adalah 0.

ii. Matriks diagonal yang semua unsur diagonalnya adalah 1 disebut

matriks satuan diberi notasi nI ( n banyak baris atau kolom).

Semua unsur bawah diagonal adalah 0

Semua unsur atas diagonal adalah 0


b. Matriks-matriks berikut bukan matriks diagonal

0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 6 1

0 2 0 , 0 2 0 , 0 0 0 , 3 0 3

5 0 0 1 0 0 0 0 0 2 1 0

karena untuk tiap matriks ada unsur luar diagonal yang nilainya tak nol.

Silahkan tunjukkanlah sendiri!

c. Matriks-matriks berikut adalah matriks satuan.

2

1 0

0 1I

, 3

1 0 0

0 1 0

0 0 1

I

, ...,

1 0 0

0 1 0

0 0 1

nI

C. KESAMAAN DUA MATRIKS

Definisi 1.1.8

Jadi dua matriks sama, apabila ukurannya sama dan unsur-unsur pada posisi

(baris dan kolom) yang sama juga sama.

Contoh 1.1.8

a. Jika diketahui 1 1 2

3 4 6A

dan

1 1 2

3 4 6B

, maka A B

karena ukuran kedua matriks sama yakni 2 3 dan setiap unsur pada

posisi yang sama juga sama.

b. Diketahui 1 2

9P

p

dan 1 2

9 3Q

. Jika diketahui bahwa P Q

maka haruslah 3p .

Matriks

1, , ,

1, ,i j

i mA a

j n

sama dengan

1, , ,

1, ,i j

i mB b

j n

ditulis A B apabila

1, 2,..., ,

1, 2,...,i j i j

i ma b

j n

[ n baris,

n kolom]


D. PENJUMLAHAN MATRIKS

Contoh 1.1.9

Di sebuah toko pakaian setelah tutup pada akhir bulan terdapat persediaan

kemeja polos merek “A” warna putih dan biru ukuran S, M, dan L seperti

dalam daftar berikut.

Tabel 1.1.3

Ukuran

Warna S M L

Putih 15 20 10

Biru 12 15 8

Pada keesokan harinya, jadi pada tanggal satu bulan berikutnya, sebelum

buka toko, datang persediaan baru yang dipesan sebelumnya yang jumlahnya

seperti dalam daftar berikut.

Tabel 1.1.4

Ukuran

Warna S M L

Putih 100 160 80

Biru 80 120 60

Bagaimanakah caranya mendapatkan daftar persediaan pada tanggal satu

sebelum buka toko? Untuk itu kita buat dulu catatan persediaan berikut.

S M L

Kemarin 15 20 10

Putih Tambahan 100 160 80

+ + +

Sekarang 115 180 90

S M L

Kemarin 12 15 8

Biru Tambahan 80 120 60

+ + +

Sekarang 92 135 68


Dengan demikian, diperoleh persediaan sekarang sebagai berikut.

Tabel 1.1.5

Ukuran

Warna S M L

Putih 115 180 90

Biru 92 135 68

Untuk mendapatkan bilangan pada posisi tertentu pada daftar terakhir,

bilangan-bilangan pada posisi yang sama pada daftar pertama (saat tutup toko

kemarin) dan kedua (saat buka toko hari ini) dijumlahkan.

Kita lihat, ukuran matriks yang pada daftar pertama dan pada daftar kedua,

sama. Unsur pada posisi tertentu pada matriks terakhir adalah jumlah unsur

matriks yang pertama dan matriks yang kedua pada posisi itu.

Sesungguhnya begitulah cara menjumlahkan matriks, menurut definisi yang

akan kita tuliskan, matriks terakhir adalah jumlah matriks pertama dengan

matriks kedua.

Definisi 1.1.9

Dari Definisi 1.1.9 jelas bahwa yang dapat dijumlahkan adalah matriks

yang berukuran sama. Matriks yang ukurannya berlainan, tidak dapat

dijumlahkan.

Contoh 1.1.10

a. Pandang matriks-matriks berikut ini.

Apabila

1,2, , ,

1, 2, ,i j

i mA a

j n

, dan

1,2, , ,

1, 2, ,i j

i mB b

j n

,

maka penjumlahan matriks A dan matriks B adalah

1,2,..., ,

1, 2,...,i j i j

i mA B a b

j n


2 12 1 0 1 1 1 2 2 1 0

, = , 1 0 , 0 2 1 1 0 3 1 1 3 1

1 2

A B C D

Apabila dijumlahkan, maka:

A B , B C , C D masing-masing tidak punya arti, dengan kata

lain penjumlahan tidak dapat dikerjakan karena ukuran matriks berbeda.

1 1 2 2 1 0 1 2 1 1 2 0 3 0 2

.0 3 1 1 3 1 0 1 3 3 1 1 1 0 2

B D

b. Lihat kembali Contoh 1.1.9, Tabel 1.1.3 dan Tabel 1.1.4 dalam bentuk

matriks masing-masing adalah,

15 20 10

12 15 8P

dan 100 160 80

80 120 60Q

.

Kalau kedua matriks tersebut dijumlahkan, maka menghasilkan

15 100 20 160 10 80 115 180 90

12 80 15 120 8 60 92 135 68S P Q

.

Mudah dilihat bahwa sifat penjumlahan pada bilangan real berlaku juga

untuk penjumlahan pada matriks.

Arti pengurangan matriks dapat kita lihat pada contoh berikut.

Contoh 1.1.11

Andaikan persediaan kemeja polos merek tertentu pada sebuah toko pada

awal bulan adalah sebagai berikut.

Tabel 1.1.6

Ukuran

Warna S M L

Putih 115 180 90

Biru 92 135 68

Jumlah kemeja yang laku terjual pada bulan tersebut dapat dilihat pada

daftar berikut.


Tabel 1.1.7 Yang terjual

Ukuran

Warna S M L

Putih 62 85 40

Biru 55 72 35

Susunan bilangan daftar persediaan pada akhir bulan adalah matriks dari

bilangan pada Tabel 1.1.6 (persediaan awal bulan) dikurangi dengan matriks

dari bilangan pada Tabel 1.1.7 (yang laku pada bulan tersebut), yaitu:

115 180 90 62 85 40 115 62 180 85 90 40 53 95 50= .

92 135 68 55 72 35 92 55 135 72 68 35 37 63 33

E. PERKALIAN MATRIKS

Bahasan perkalian matriks terdiri dari perkalian matriks dengan skalar

(bilangan real) dan perkalian dua buah matriks. Perkalian matriks baris dan

matriks kolom akan mendahului perkalian dua matriks secara umum, karena

setiap unsur pada perkalian dua matriks ditentukan oleh perkalian matriks

baris dan matriks kolom.

1. Perkalian Matriks dengan Bilangan Real/Skalar

Perkalian matriks dengan bilangan real adalah matriks dengan ukuran

sama dan setiap unsurnya merupakan hasil kali unsur-unsur matriks yang

dikalikan dengan skalar tersebut. Definisi formal sebagai berikut.

Defnisi 1.1.10

Jika 1, ,

,1, ,

ij

i mA a

j n

dan p bilangan real, maka [ ]ijpA pa

atau

jika

11 12 1

21 22 2

1 2

n

n

m m mn

a a a

a a aA

a a a

, maka

11 12 1

21 22 2

1 2

n

n

m m mn

pa pa pa

pa pa papA

pa pa pa

.

Ukuran matriks pA sama dengan ukuran matriks A .


Contoh 1.1.12

Jika matriks 1 1 3

0 1 4A

, maka:

a. 1 1 3 (2)(1) (2)( 2) (2)(3) 2 2 6

2 20 1 4 (2)(0) (2)(1) (2)( 4) 0 2 8

A

.

b. 31 1

2 2 21 12 2 1

2

1 1 3( )

0 20 1 4A

.

c. 1 1 3 1 1 3

( 1) ( 1)0 1 4 0 1 4

A A

.

Contoh 1.1.13

Jika

6 1

2 3

3 0

B

, maka:

a.

6 1 18 3

3 3 2 3 6 9

3 0 9 0

B

, b.

13

1 1 23 3 3

6 1 2

( ) 2 3 1

3 0 1 0

B

c.

6 1 3 0,5

(0,5) (0,5) 2 3 1 1,5

3 0 1,5 0

B

2. Perkalian matriks baris dan matriks kolom

Kita mulai dengan perkalian matriks baris dengan matriks kolom. Definisi 1.1.11

Perkalian matriks baris 1 2 3 mA a a a a dan matriks kolom

1

2

3

...

m

b

b

B b

b

adalah 1 1 2 2 3 3 m mAB a b a b a b a b


Contoh 1.1.14

a. Jika 1 3P dan 3

2Q

, maka

3

1 3 1 3 ( 3) 2 3 6 32

PQ

.

b. Jika 1 1 2A dan

3

2

1

B

, maka

3

= 1 1 2 2 1 3 ( 1) 2 2 1 3 2 2 3

1

AB

3. Perkalian dua Matriks

Baris dari matriks A yang berukuran m k dapat dipandang sebagai

matriks baris berukuran 1 k . Kolom dari matriks B yang berukuran k n

dapat dipandang sebagai matriks kolom berukuran k 1. Dengan demikian,

matriks A terdiri dari m buah baris, matriks B terdiri dari n buah kolom.

Jadi banyaknya kolom matriks A sama dengan banyaknya baris matriks B .

Matriks A dan B yang seperti ini yang dapat dikalikan. Definisi tepatnya

dituangkan sebagai berikut.

Definisi 1.1.12

Jadi matriks A dapat dikalikan dengan matriks B apabila banyaknya

kolom matriks A sama dengan banyaknya baris matriks B .

Jika matriks baris ke- i dari matriks A adalah

1 2 3i i i ika a a a

dan matriks kolom ke- j dari B adalah

Hasil kali matriks A yang berukuran m k dengan matriks B yang

berukuran k n adalah matriks AB yang berukuran m n yang unsur

pada baris ke- i kolom ke- j adalah perkalian matriks baris ke- i dari A

dengan matriks kolom ke- j dari matriks B .


1

2

3

j

j

j

k j

b

b

b

b

,

maka unsur matriks AB pada baris ke- i kolom ke- j adalah

1 2 3i i i ika a a a

1

2

3

j

j

j

k j

b

b

b

b

= 1 1 2 2 3 3i j i j i j ik kja b a b a b a b

1

k

im m j

m

a b

.

Hasil kali matriks AB dapat digambarkan sebagai berikut.

11 12 1

11 12 1 121 22 2

21 22 2 2

1 2

1 2

1 2

k

j nk

j n

i i ik

k k k j kn

m m mk

a a a

b b b ba a a

b b b b

a a a

b b b b

a a a

=

[ A :berukuran m k ] [ B :berukuran k n ]

11 11 12 21 1 1 11 12 12 22 1 2 11 1 12 2 1

21 11 22 21 2 1 21 12 22 22 2 2 21 1 22 2 2

1 11 2 21 1 1 12 2 22

... ... ... ...

... ... ... ...

... ... ... ...

...

k k k k n n k kn

k k k k n n k kn

m m mk k m m

a b a b a b a b a b a b a b a b a b

a b a b a b a b a b a b a b a b a b

a b a b a b a b a b

2 1 1 2 2... ... ...mk k m n m n mk kna b a b a b a b

[ AB :berukuran m n ]

Unsur pada baris ke- i kolom ke- j matriks AB adalah hasil kali

matriks baris ke- i dari matriks A dengan matriks kolom ke- j matriks B.


Contoh 1.1.15

a. Jika 2 1 0

1 2 3P

dan

3

1

2

Q

, maka p

PQq

dengan

3

2 1 0 1

2

p

= 2 3 + 1 1 + 0 2 = 6 + 1 + 0 = 7

dan

3

1 2 3 1

2

q

= 1 3 + 2 1 + 3 2 = 3 + 2 + 6 = 11.

Jadi 7

11PQ

.

Sedangkan

32 1 0

11 2 3

2

QP

tak dapat dikalikan, karena banyaknya

kolom Q (yaitu 1) tidak sama dengan banyaknya baris P (yaitu 2).

b. Jika 0 3 2

2 1 1A

dan

2 0

3 1 ,

1 2

B

maka:

0 3 2

2 1 1AB

2 0

3 1

1 2

0 2 3 3 2 1 0 0 3 1+2 2

2 2+1 3+1 1 2 0+1 1+1 2

0 9 2 0 3 4

4 3 1 0 1 2

11 7

8 3

dan

2 0

3 1

1 2

BA

0 3 2

2 1 1

2 0 0 2 2 3 0 1 2 2 0 1

3 0 1 2 3 3 1 1 3 2 1 1

1 0 2 2 1 3 2 1 1 2 2 1


0 6 4

2 10 7

4 5 4

.

Terlihat bahwa AB BA tidak komutatif.

c. Jika1 2

1 0R

dan 1 1

0 1S

, maka 1 2 1 1

1 0 0 1

RS

= 1 3

,1 1

sedangkan 1 1

0 1SR

1 2

1 0

= 2 2 1 3

1 0 1 1

RS

.

d. Jika 1 2

1 3K

dan 2 0

0 2L

, maka 1 2

1 3KL

2 0

0 2

= 2 4

2 6

sedangkan 2 0

0 2LK

1 2

1 3

= 2 4

= .2 6

KL

e. Bila

1

1

2

U

, dan 2 2 1V , maka

1

1

2

UV

2 2 1 =

1 2 1 2 1 1

1 2 1 2 1 1

2 2 2 2 2 1

=

2 2 1

2 2 1

4 4 2

,

sedangkan 2 2 1VU

1

1

2

= 21 + 2(1) + 12 = 2.

Dari Contoh 1.1.12 jelas terlihat bahwa pada umumnya perkalian matriks

tidak komutatif. Kesesuaian ukuran matriks yang dapat dikalikan mirip

dengan aturan penyambungan domino seperti berikut ini.

P Q R

Dalam permainan domino kita dapat menyusun kartu domino seperti di

atas. Kartu domino P[5|3] dapat disambungkan dengan kartu Q[3|4]. Kartu Q

ini selanjutnya dapat pula disambungkan dengan kartu R[4|2]. Posisi yang


terbuka sekarang adalah sama dengan posisi satu kartu [5|2] yang berarti kita

dapat menyambung di kiri dengan kartu [m|5] di kanan dengan kartu [2|n].

Hal ini serupa dengan mengalikan matriks A berukuran 53, di kanan

dengan matriks B berukuran 34, dilanjutkan dengan mengalikan di kanan

dengan matriks C berukuran 42.

1) Diketahui bentuk-bentuk sebagai berikut:

21 3 0 1 1 0 0 0

, , , = , = 1 , 1 2 2 0 0 0 0

5

A B C D E

1 0

,0 1

F

1 2

0 0 0 , 1 0

G H

, dan 0 1

1 1K

.

Berilah tanda silang (x) pada kotak yang sesuai!

A B C D E F G H K

matriks

matriks baris

matriks kolom

matris bujur sangkar

matriks segitiga bawah

matriks segitiga atas

matriks diagonal

2) Diketahui matriks1 2 0

2 1 1P

dan

0 1 2

1 2 1Q

.

Hitunglah:

a. P Q , b. 3Q , c. P Q , d. 3 2P Q , e. 2 3Q P ,

f. Jika R P sQ , tentukan s supaya 21 0r .

LATIHAN

Untuk memperdalam pemahaman Anda mengenai materi di atas,

kerjakanlah latihan berikut!


3) Jika 1 1 1 2

, , 1 2 ,1 1 1 1

A B C

dan 1

2D

.

Hitunglah: a. AB , b. AC , c. AD , d. BA , e.2A .

4) Diketahui

1 0 11 2 1

1 2 , , 20 1 3

0 3 1

A B C

, dan 2

5D

.

Hitunglah, penjumlahan dan perkalian matriks-matriks berikut ini.

a. AB , b. BA , c. BC , d. CB , e. 2BD C , f. 2BC D ,

g. 2AB C , h. 2AC B .

5) Diketahui matriks

1 01

, 0 1 ,0

0 0

aa

A B aa

a

dan

0 1

0 0

0 0

a

C a

a

.

a. Hitunglah , dann n nA B C untuk 0a dan 1n , n bilangan asli.

b. Hitunglah , dann n nA B C untuk 0a dan 2n , 3n .

Petunjuk Jawaban Latihan

1) A B C D E F G H K

matriks x x x x x x x

matriks baris x

matriks kolom

matris bujur sangkar x x x x x

matriks segitiga bawah x x

matriks segitiga atas x x x

matriks diagonal x x

E bukan matriks karena ada unsur blangan kompleks, yaitu 5 .

Q buka matriks karena ada unsur bukan bilangan real , , dan .

2) Diketahui matriks1 2 0

2 1 1P

dan

0 1 2

1 2 1Q

.


a. 1 2 0 0 1 2 1 0 2 1 0 2

2 1 1 1 2 1 2 1 1 2 1 1P Q

... ... ...

... ... ...

b. 3 3Q 0 1 2

1 2 1

=( 3)0 ( 3)1 ( 3)2 0 3 6

( 3)( 1) ( 3)2 ( 3)1 3 6 3

c. 1 2 0 0 1 2 ... ... ...

( )2 1 1 1 2 1 ... ... ...

P Q P Q

d. 1 2 0 0 1 2

3 2 3 2 ...2 1 1 1 2 1

P Q

.

e. 0 1 2 1 2 0

2 3 2 3( ) 2 31 2 1 2 1 1

Q P Q P

.

f. R P sQ =1 2 0

2 1 1

+

0 1 2

1 2 1s

= … = ... ... ...

2 ... ...s

21 2 0r s , jadi ...s .

3) a. AB 1 1

1 1

1 2

1 1

= (1)(1) (1)( 1) (1)(2) (1)(1)

( 1)(1) ( 1)( 1) ( 1)(2) ( 1)(1)

= 0 3

0 3

.

b. AC =1 1

1 1

1 2 tidak dapat dikalikan karena banyaknya kolom

matriks A tidak sama dengan banyaknya baris matriks C .

c. AD = 1 1

1 1

1

2

= (1)(1) (1)(2) ...

( 1)(1) ( 1)(2) ...

d. BA =1 2

1 1

1 1

1 1

=(1)(1) (2)( 1) ...

... ( 1)(1) (1)( 1)

1 ...

... 2

.

e. 2A

1 1

1 1

1 1

1 1

=... ... 0 0

... ... 0 0

.


4) a. AB =

1 0

1 2

0 3

1 2 1

0 1 3

=

(1)(1) (0)(0) (1)( 2) (0)(1) (1)(1) (0)( 3)

... ... ...

... (0)( 2) (3)(1) ...

... ... ...

... ... ...

... ... ...

b. BA =1 2 1

0 1 3

1 0

1 2

0 3

=(1)(1) ( 2)( 1) (1)(0) ...

(0)(1) (1)( 1) ( 3)(0) ...

=

... ...

... ...

c. BC = 1 2 1

0 1 3

1

2

1

= ...

...

d. CB =

1

2

1

1 2 1

0 1 3

tidak dapat dikalikan karena banyak kolom

matriks C tidak sama dengan banyaknya baris matriks B .

e. 2BD C = 1 2 1

0 1 3

2

5

+

1

2 2

1

, BD tidak dapat dikalikan

karena ......, sehingga 2BD C tidak dapat dioperasikan.

f. 2BC D =21 2 1

0 1 3

1

2

1

+ 2

5

= 2...

...

+ 2

5

= ...

...

g. 2AB C =2

... ... ...

... ... ...

... ... ...

+

1

2

1

, tidak dapat dijumlahkan karena

ukuran matriks AB tidak sama dengan ukuran matriks C .


h. 2AC B =

1 0

2 1 2

0 3

1

2

1

+1 2 1

0 1 3

. AC tidak dapat dikalikan

karena banyaknya kolom A tidak sama dengan banyaknya baris C

sehingga 2AC B juga tidak dapat dioperasikan.

5) a. Untuk 0a dan 1n ; n bilangan asli.

2 0 1 0 1 0 0

0 0 0 0 0 0A AA .....

0 0

0 0

nA

2

0 0 1 0 0 1

0 0 0 0 0 0 ...,

0 0 0 0 0 0

B BB

…..

0 0 0

0 0 0

0 0 0

nB

Dengan cara yang sama dapat

0 0 0

0 0 0

0 0 0

nC

.

b. Kasus 0a :

22

2

2

0

a aA

a

,

3 23

3

3

0

a aA

a

, ….., ...nA .

2

2 2

2

2 11 0 1 0

0 1 0 1 0 2

0 0 0 0 0 0

a aa a

B BB a a a a

a a a

, 3 ...B .

2

0 0 0 0

0 0 0 0 ...

0 0 0 0

a a

C a a

a a

,

0

0 0

0 0

n n

n n

n

a na

C a

a

.


1) Matriks m n adalah susunan bilangan real yang berbentuk persegi

panjang yang terdiri dari m baris dan n kolom (lajur), tiap baris memuat

n bilangan, tiap kolom memuat m bilangan.

2) Untuk matriks bujur sangkar [ ]ijA a , 1,2, ,i m ; 1,2, ,j n .

a. unsur iia , 1,2, ,i n disebut unsur diagonal,

b. unsur ija , dengan j i disebut unsur atas diagonal,

c. unsur ija , dengan j i disebut unsur bawah diagonal.

3) Jenis matriks, menurut ukurannya:

a. 1m , matriks baris,

b. 1n , matriks kolom,

c. m n , matriks bujur sangkar;

Untuk matriks bujur sangkar, menurut tempat unsur nol:

a. semua unsur atas diagonal adalah nol: matriks segitiga bawah,

b. semua unsur bawah diagonal adalah nol: matriks segitiga atas,

c. semua unsur bukan diagonal adalah nol: matriks diagonal.

4) Jika

1,2, ,= ,

1, 2, ,i j

i mA a

j n

, dan

1,2, ,= ,

1, 2, ,i j

i mB b

j n

, maka

penjumlahan matriks A dan matriks B adalah

1,2,..., ,

1, 2,...,i j i j

i mA B a b

j n

.

5) Perkalian matriks dengan bilangan real/skalar

Jika 1, ,

,1, ,

ij

i mA a

j n

dan p bilangan real, maka [ ]ijpA pa

6) Perkalian matriks baris 1 2 3 mA a a a a dan matriks kolom

1

2

3

m

b

b

B b

b

,

adalah 1 1 2 2 3 3 + m mAB a b a b a b a b

RANGKUMAN


7) Hasil kali matriks A yang berukuran m k dengan matriks B yang

berukuran k n adalah matriks AB yang berukuran m n yang unsur

pada baris ke i kolom ke j nya adalah hasil kali matriks baris ke i dari

A dengan kolom ke j dari matriks B .

Perhatikan: Setiap soal bernilai 1, kecuali No.17) bernilai 12.

Untuk soal No.1) dan No.2) berkaitan dengan bentuk-bentuk:

1 0

2 3A ,

0 2 4

1 3 5B ,

0 2 4

3 5C

, 1 * 2D

12

2

eE

e,

2 1

4 5

1 3 0

F ,

2 0 0 0

0 2 0 0

0 0 2 0

G , dan

1 1

1 1

1 1

1 1

H .

1) Yang termasuk matriks adalah ....

A. semua bentuk adalah matriks. C. , , , ,A B C G dan H .

B. , , , ,A C E G dan H . D. , , ,A B C dan G .

2) Yang bukan matriks adalah ....

A. , , ,B C D E dan F . C. , ,B D dan F .

B. , , , ,B C D E F dan H . D. , , ,A B C dan G .

Untuk soal No.3) s/d No.9) berkaitan dengan matriks-matriks berikut ini:

1 1 21 0 0

0 2 3 1 2 0 00 1 0 , , ,

0 0 2 1 1 0 01 0 2

0 0 0

P Q R

TES FORMATIF 1

Pilihlah satu jawaban paling tepat/kerjakan langkah demi langkah!


0 0 1 0 0 0 0 0 1

0 1 0 , 0 1 0 , = 0 1 0

1 0 0 0 0 0 2 0 1

S T U

, dan

0 0 0

0 2 3

0 0 0

V

.

3) Apabila matriks [ ]ijP p , maka unsur 31p .

A. 31 1p B.

31 0p

4) Apabila matriks [ ]ijQ q , maka unsur 23q .

A. 23 0q B.

23 3q

5) Apabila matriks [ ]ijR r , maka unsur 12r .

A. 12 1r B.

12 2r

6) Yang termasuk matriks bujur sangkar adalah ....

A. Q dan R C. P dan R

B. Q dan V D. , , , ,P S T U dan V

7) Yang termasuk matriks segitiga atas adalah ....

A. T dan V C. P

B. Q , T dan V D. Q

8) Yang termasuk matriks segitiga bawah adalah ....

A. S dan V C. P dan T

B. Q , T dan V D. S dan V

9) Yang termasuk matriks diagonal adalah ....

A. S C. S dan T

B. T D. Q dan V

Untuk soal No.10) s/d No.16) berkaitan dengan matriks-matriks berikut ini:

1 0

1 2A ,

0 1 1

1 2 2B ,

1 1 1

2 1 1C , dan

1 1

2 1

0 2

D .


10) A B tidak dapat dioperasikan ( A tidak dapat dijumlah dengan B ).

A. Salah B. Benar

11) B C tidak dapat dioperasikan.

A. Salah B. Benar

12) AB dapat dioperasikan ( A dapat dikalikan dengan B )

A. Salah B. Benar

13) AD dapat dioperasikan.

A. Salah B. Benar

14) 3 2B C

A. 1 1 1

5 4 4 C.

1 1 1

5 4 4

B. 1 1 1

5 4 4 D.

2 1 1

7 4 4

15) AC

A. 3 1 3

1 3 1 C.

1 1 1

3 3 3

B. 3 3 3

1 1 1 D.

1 3 1

3 1 3

16) CD

A.

4 3 1

1 2 1

2 0 3

C. 1 2 1

4 3 1

B. 4 3 1

1 2 1 D.

1 2

4 1

17) Tentukan: a. ABD

b. DBA


Untuk soal No.18) s/d No.21) berkaitan dengan matriks-matriks:

2

0 1

0 0A

, 3

0 1 1

0 0 1

0 0 0

A

, dan 4

0 1 1 1

0 0 1 1

0 0 0 1

0 0 0 0

A

.

18) Matriks 2 2,A A dan 4A memiliki rumusan definisi yang sama, yaitu:

A. 0,

[ ]1,

n ij

i jA a

i j, 2,3,4n

B. 0,

[ ]1,

n ij

i jA a

i j, 2,3,4n

19) 2

2

0 0( )

0 0A O (matriks dengan semua unsur 0).

A. Salah B. Benar

20) 2

3( )A O (matriks dengan semua unsur 0).

A. Salah B. Benar

21) Agar 3( )mA O (matriks dengan semua unsur 0)

A. 3m B. 4m


Cocokkanlah jawaban Anda dengan Kunci Jawaban Tes Formatif 1 yang

terdapat di bagian akhir modul ini. Hitunglah jawaban yang benar.

Kemudian, gunakan rumus berikut untuk mengetahui tingkat penguasaan

Anda terhadap materi Kegiatan Belajar 1.

Arti tingkat penguasaan: 90 - 100% = baik sekali

80 - 89% = baik

70 - 79% = cukup

< 70% = kurang

Apabila mencapai tingkat penguasaan 80% atau lebih, Anda dapat

meneruskan dengan Kegiatan Belajar 2. Bagus! Jika masih di bawah 80%,

Anda harus mengulangi materi Kegiatan Belajar 1, terutama bagian yang

belum dikuasai.

Tingkat penguasaan = Jumlah Nilai

100%32


Kegiatan Belajar 2

Sifat Operasi Matriks

ada Kegiatan Belajar 1 sudah kita bicarakan penjumlahan dan perkalian

matriks dan perkalian dengan skalar. Pada BMP Pengantar

Matematika/MATA4101 dan Kalkulus I/MATA4110, kita membahas sifat-

sifat bilangan real. Hal ini mendorong kita untuk meninjau lebih lanjut sifat-

sifat operasi matriks. Sudah kita ketahui penjumlahan matriks adalah

komutatif, sedangkan perkalian matriks tak komutatif.

Keasosiatifan berlaku untuk penjumlahan matriks. Akan kita perlihatkan

kelak bahwa perkalian matriks juga asosiatif. Perkalian matriks dengan skalar

ternyata ekivalen dengan mengalikan matriks itu dengan suatu matriks

diagonal yang setiap unsur diagonalnya adalah skalar itu. Beberapa sifat

perkalian bilangan real yang diturunkan dari sifat grup bilangan real, seperti

hukum kanselasi ternyata tak berlaku untuk perkalian matriks.

A. SIFAT ASOSIATIF PERKALIAN MATRIKS

Untuk membahas keasosiatifan perkalian matriks, perhatikan Contoh 1.2.1

berikut ini.

Contoh 1.2.1

Diketahui matriks

2 1 0 1 21 1 2

, 1 2 1 , dan 2 02 1 0

0 1 1 0 1

A B C

maka:

2 1 01 1 2 3 5 3

1 2 12 1 0 5 4 1

0 1 1

AB

dan

2 1 0 1 2 4 4

1 2 1 2 0 5 3

0 1 1 0 1 2 1

BC

.

Kemudian,

o

1 23 5 3 13 9

( ) 2 05 4 1 13 11

0 1

AB C

P


o

4 41 1 2 13 9

( ) 5 32 1 0 13 11

2 1

A BC

jadi, ( ) ( )AB C A BC .

Contoh 1.2.1 menunjukkan keberlakuan sifat asosiatif untuk perkalian,

yaitu ( ) ( )AB C A BC . Sifat asosiatif ini juga berlaku umum untuk perkalian

matriks yang dinyatakan dalam Dalil 1.2.1 berikut ini.

Dalil 1.2.1 (Sifat Asosiatif)

Bukti:

Tulis, [ ]; 1,.., ; 1,..,ihAB P p i m h k ; [ ]ijAB C PC R r dan

[ ]ijBC M m , [ ]ijA BC AM S s ,

maka akan dibuktikan R S . Jelaslah R dan S berukuran sama, yaitu

m q .

1

, 1,...,

n

ih it th

t

p a b i m

, 1,..,h k ,

1

, 1,..., , 1,...,

k

ij th hj

h

m b c i m j q

;

1 1 1 1 1

( )

k k n k n

ij ih hj it th hj it th hj

h h t h t

r p c a b c a b c

;

1

n

ij it tj

t

s a m

=

1 1 1 1

( )

n k k n

it th hj it th hj

t h h t

a b c a b c

, 1,..., , 1,...,i m j q .

Dengan demikian, , 1,..., , 1,...,ij ijr s i m j q , dan ( ) ( )AB C A BC .

Dengan berlakunya sifat asosiatif pada perkalian matriks, baik ( )AB C

maupun ( )A BC dapat dinyatakan dengan ABC saja.

Jika A matriks berukuran m n , B matriks berukuran n k , dan C

matriks berukuran k q , maka ( ) ( )AB C A BC .


B. SIFAT DISTRIBUTIF PERKALIAN MATRIKS

Untuk membahas sifat distributif, perhatikan Contoh 1.2.2a dan Contoh

1.2.2b berikut ini.

Contoh 1.2.2a

Diketahui matriks

11 1 0

, 2 ,1 2 1

1

A B

dan

1

0

2

C

maka:

0

2

3

B C

dan

01 1 0 2

( ) 21 2 1 7

3

A B C

11 1 0 3

21 2 1 6

1

AB

dan

11 1 0 1

01 2 1 1

2

AC

sehingga 3 1 2

6 1 7AB AC

jadi, ( )A B C AB AC .

Contoh 1.2.2b

Diketahui matriks 0 1 1 1 0 1

, ,1 2 0 0 2 1

P Q

dan

1

0

1

R

maka:

11 1 2 1 1 2 1

dan ( ) 01 4 1 1 4 1 0

1

P Q P Q R

10 1 1 1

01 2 0 1

1

PR

dan

11 0 1 0

00 2 1 1

1

QR

1 0 1

1 1 0PR QR


jadi, ( )P Q R PR QR .

Contoh 1.2.2a dan Contoh 1.2.2b menunjukkan keberlakuan sifat

distributif. Sifat distributif secara umum dinyatakan sebagai Dalil 1.2.2

berikut ini.

Dalil 1.2.2 (Sifat Distributif)

Bukti:

a. Unsur pada baris ke i kolom ke j matriks ( )A B C adalah

1 1 1

( )

n n n

is sj sj is sj is sj

s s s

a b c a b a c

. Ruas kanan adalah unsur pada

baris ke i kolom ke j matriks .AB AC

b. Unsur pada baris ke i kolom ke j matriks ( )P Q R adalah

1 1 1

( )s s s

ih ih hj ih hj ih hj

h h h

p q r p r q r

.

Ruas kanan adalah unsur pada baris ke i kolom ke j matriks .PR QR

C. SIFAT PERKALIAN MATRIKS DENGAN BILANGAN REAL

DAN MATRIKS DIAGONAL

Perkalian matriks dengan bilangan real (di kiri atau di kanan) adalah

mengalikan setiap unsur matriks dengan bilangan real tersebut. Dapat dilihat

nanti bahwa hal ini ekivalen dengan mengalikan matriks tersebut dengan

suatu matriks diagonal di kiri atau di kanan. Untuk memperoleh

gambarannya, perhatikan Contoh 1.2.3a dan Contoh 1.2.3b berikut ini.

i. Jika A matriks m n , B dan C matriks n k , maka

( )A B C AB AC .

ii. Jika P dan Q matriks p s dan R matriks s t , maka

( )P Q R PR QR .


Contoh 1.2.3a

Diketahui matriks 13

23

1 1

2

0

A

, matriks diagonal

3 0 0

0 3 0

0 0 3

C

, matriks

diagonal 3 0

0 3D

, dan bilangan real 3c .

Maka dapat diperoleh:

13

23

3 1 3 ( 1)

3 3 2

3 0 3

cA Ac

=

3 3

1 6

0 2

.

3 0 0

0 3 0

0 0 3

CA

1 1

1/ 3 2

0 2 / 3

=

3 3

1 6

0 2

.

1 1

1/ 3 2

0 2 / 3

AD

3 0

0 3

=

3 3

1 6

0 2

.

Pada Contoh 1.2.3a, matriks A berukuran 32, matriks diagonal C

berukuran 33 dengan unsur diagonal 3, dan matriks diagonal D berukuran

22 dengan unsur diagonal 3 memenuhi CA AD cA Ac dengan 3c .

Contoh 1.2.3b

Diketahui matriks 1 1 12 2 2

3

1 0 3B

, matriks diagonal

2 3 0 0

0 2 3 0

0 0 2 3

E

, matriks diagonal 2 3 0

0 2 3F

, dan bilangan

real 2 3d .

Maka dapat diperoleh:


1 1 12 2 2

2 3 2 3 3 2 3 ( )

2 3 1 2 3 0 2 3 ( 3)dB Bd

=3 3 3

2 3 0 6

.

2 3 0

0 2 3FB

1 1 12 2 2

3

1 0 3

= 3 3 3

2 3 0 6

= 2 3B .

BE 1 1 12 2 2

3

1 0 3

2 3 0 0

0 2 3 0

0 0 2 3

=3 3 3

2 3 0 6

= 2 3B .

Pada Contoh 1.2.3b, matriks B berukuran 23, matriks diagonal E

berukuran 33 dengan unsur diagonal 2 3 , matriks diagonal F berukuran

22 dengan unsur diagonal 2 3 memenuhi FB BE cB Bc dengan

2 3c .

Sesungguhnya, dari Contoh 1.2.3a dan Contoh 1.2.3b berlaku secara

umum yang dinyatakan oleh Dalil 1.2.3 berikut ini.

Dalil 1.2.3 (Perkalian Matriks dengan Bilangan Real dan matriks Diagonal)

Bukti:

Ukuran matriks CA , AD , dan cA sama yaitu m n .

Tuliskan [ ]ijA a , [ ]ijCA P p , dan [ ]ijAD Q q maka:

1

m

ij ik kj ii ij ij

k

p c a c a ca

karena 0ikc bila i k dan ikc c

bila i k . Sehingga [ ] [ ]ij ijCA P p c a cA .

ijq =

1

n

ik kj

k

a d

= ij jja d = ija c = ijc a , sehingga diperoleh

[ ] [ ]ij ijAD Q q c a cA .

Jadi, CA AD cA [terbukti].

Jika A matriks m n , c bilangan real, C matriks diagonal m m

yang unsur diagonalnya c , dan D matriks diagonal n n yang unsur

diagonalnya c , maka CA AD cA .


Contoh 1.2.4

Diketahui A = 1 1 1 0

0 1 2 1

dan c = 2 . Maka menurut Dalil 1.2.3, bila

matriks 2 0

0 2C

dan

2 0 0 0

0 2 0 0

0 0 2 0

0 0 0 2

D

maka memenuhi

2CA AD A .

Khususnya, untuk 1c maka Dalil 1.2.3 memberikan arti

m nI A AI A dengan mI matriks satuan orde m dan nI matriks satuan

orde n . Jika A matriks diagonal orde m , maka m mAI I A A .

Dari sifat-sifat bilangan real, dengan mudah dapat dibuktikan Dalil 1.2.4

berikut ini.

Dalil 1.2.4

Bukti:

i. Unsur pada baris ke i kolom ke j matriks c dA : ( ) ( )ij ijc da cd a .

Unsur pada baris ke i kolom ke j matriks : ( ) ijd cA c cd ad .

Jadi c dA cd A d cA [terbukti].

ii. Unsur baris ke i kolom ke j matriks A cB ialah

1

( )

n

is sj

s

a cb

=

1

( )

n

is sj

s

ca b

=

1

n

is sj

s

c a b

, yang berarti

A cB cA B c AB [terbukti].

Jika A matriks m n , B matriks n k , c dan d bilangan real,

maka:

i. c dA cd A d cA

ii. A cB cA B c AB


Contoh 1.2.5

Contoh ini menunjukkan keberlakuan Dalil 1.2.4.

Ambil 1 1 0

0 1 2A

,

1 0 2

2 1 1

1 1 1

B

, 2c , dan 1d maka:

i.

( )

( ) (2)( 1) 2

( ) 2( 1

( ) ( 1)(2)

2

2

)

cd A A A

d

c dA

A

A A

cA A

dan 1 1 0 2 2 0

0 1 2 0 22 2

4A

.

Terlihat bahwa c dA cd A d cA .

ii.

2 0 41 1 0

( ) (2 ) 4 2 20 1 2

2 2 2

A cB A B6 2 6

8 6 2

.

( ) (2 )cA B A B

1 0 22 2 0

2 1 10 2 4

1 1 1

6 2 6

8 6 2

.

1 0 21 1 0

( ) 2 2 1 10 1 2

1 1 1

c AB3 1 3

24 3 1

=

6 2 6

8 6 2

Terlihat bahwa A cB cA B c AB .

Seperti halnya Dalil 1.2.4, sifat-sifat distributif lain yang dinyatakan

Dalil 1.2.5 berikut juga dapat dibuktikan menggunakan sifat-sifat bilangan

real.

Dalil 1.2.5

Jika A dan B matriks berukuran m n , c dan d bilangan real, maka:

(1) cA dA c d A

(2) )(cA cB c A B

(3) cd A c dA

(4) 1A A

(5) aA B A aB a AB


Bukti:

(Di sini akan dibuktikan (1) dan (2), yang lainnya untuk latihan sendiri).

Pandang unsur pada baris ke i kolom ke j tiap matriks. [ ]ijA a dan

[ ]ijB b

(1) untuk cA dA : ij ijca da

untuk c d A : ( ) ij ij ijc d a ca da .

Jadi, c d A cA dA [terbukti].

(2) untuk cA cB : ij ijca cb

untuk c A B : ( )ij ijc a b .

Jadi, cA cB c A B [terbukti].

Beberapa dari sifat di atas akan diperlukan nanti dalam pembahasan

ruang vektor.

D. MATRIKS BUJUR SANGKAR DAN SIFAT-SIFATNYA

Karena matriks bujur sangkar adalah juga matriks, maka semua sifat

operasi matriks juga berlaku untuk matriks bujur sangkar.

Pandang himpunan matriks bujur sangkar orde m . Pada himpunan

matriks ini perkalian matriks adalah suatu operasi biner. Unsur satuan adalah

matriks satuan orde m , mI , unsur invers mungkin ada.

Definisi 1.2.1

Dari Definisi 1.2.1, jelas bahwa invers dari 1A

adalah A sendiri, jadi 1 1( )A A .

Invers matriks adalah tunggal, karena andaikan ada 2 invers P dan Q maka

AP PA I dan AQ QA I . Kemudian, menurut Dalil 1.2.1

P AQ PA Q sehingga PI IQ . Jadi P Q , sehingga invers adalah

tunggal.

Invers suatu matriks bujur sangkar A (orde m ) adalah matriks bujur

sangkar 1A

yang memenuhi 1 1mAA A A I ( mI matriks satuan orde

m ).


Contoh 1.2.6

Tentukan invers matriks 1 0

0 2A

.

Penyelesaian:

Agar A memiliki invers, maka 1 12AA A A I harus dipenuhi.

Tuliskan 1 p q

Ar s

, maka:

1

2AA I 1 0 1 0

0 2 0 1

p q

r s

1 0

2 2 0 1

p q

r s

yang memberikan 1, 0p q , 2 0 0r r , dan 12

2 1s s .

1

2A A I 1 0 1 0

0 2 0 1

p q

r s

1 0

2 2 0 1

p q

r s

yang memberikan 1, 0p q , 2 0 0r r , dan 12

2 1s s .

Jadi diperoleh invers A , yaitu 1

1

2

1 0

0A

.

Tidak semua matriks bujur sangkar mempunyai invers. Hal ini akan

diperlihatkan pada contoh berikut ini.

Contoh 1.2.7

Tentukan invers matriks 1 1

1 1B

, jika ada.

Penyelesaian:

Andaikan B mempunyai invers yaitu 1 p q

Br s

, maka:

1 1 1

1 1BB

p q

r s

= p r q s

p r q s

= 1 0

0 1

yang menghasilkan 4 persamaan, yaitu: (1) 1p r ; (2) 0p r ;

(3) 0q s ; dan (4) 1q s .

Jika persamaan (1) dan (2) dijumlahkan, maka diperoleh: 1p r

0p r +

0 1


berarti menghasilkan pertentangan 0 1 . Pertentangan ini diakibatkan karena

pengandaian bahwa B mempunyai invers. Jadi, penandaian bahwa B

mempunyai invers adalah salah, yang benar adalah B tidak mempunyai

invers. Matriks yang tidak memiliki invers disebut matriks singular, yang

definisi lengkapnya sebagai berikut.

Definisi 1.2.2

Jadi, matriks A pada Contoh 1.2.6 adalah matriks tak singular, dan matriks B

pada Contoh 1.2.7 adalah matriks singular.

Di SMU Anda sudah mengenal determinan matriks 22, yaitu untuk

matriks

a bA

c d

, maka deta b

A ad bcc d

.

Untuk Contoh 1.2.6, det A = ( 1 2) (0) (0) 2 0 . Sedangkan Contoh

1.2.7, det (1) ( 1) (1) ( 1) 0B . Tampaknya ada kaitan antara

kenolan determinan matriks dengan kesingularannya. Keterkaitan antara

kenolan determinan matriks dengan kesingularan dinyatakan pada Dalil 1.2.6

berikut ini.

Dalil 1.2.6

Bukti: (untuk matriks 22)

[diketahui A tak sngular maka harus dibuktikan det 0A ]

Andaikan A punya invers. Akan kita nyatakan matriks invers dalam

unsur-unsur dari A , yaitu , , , dana b c d . Misalkan 1 p q

A Pr s

,

maka , , ,p q r s memenuhi

Matriks A tak singular jika dan hanya jika det 0A .

i. Matriks bujur sangkar tak punya invers disebut matriks singular.

ii. Matriks bujur sangkar yang bukan matriks singular, disebut

matriks tak singular.


a b

c d

p q

r s

=ap br aq bs

cp dr cq ds

=

1 0

0 1

,

yang memberikan 4 persamaan, yaitu:

(i) 1,ap br (ii) 0,cp dr (iii) 0,aq bs (iv) 1cq ds .

Persamaan (i) dikalikan dengan c menghasilkan cap cbr c ,

persamaan (ii) dikalikan dengan a menjadi 0acp adr , sehingga

diperoleh ( )/r c ad bc , / ( )p d ad bc . Dari persamaan (iii) dan

(iv) kita peroleh / ( )s a ad bc dan ( )/q b ad bc , sehingga

1 1 d bA

c aad bc

.

Karena invers ini ada, maka haruslah 0ad bc atau det 0A

[terbukti].

[diketahui det 0A maka harus dibuktikan A tak singular]

Andaikan 0ad bc atau det 0A , maka matriks

1

( )

d bP

c aad bc

memenuhi 2AP PA I . Jadi A mempunyai invers yakni P berarti

A tak singular [terbukti].

Dari Dalil 1.2.6 juga dapat disimpulkan bahwa untuk setiap matriks

a bA

c d

, jika det – 0A ad bc maka A tidak mempunyai invers.

Contoh 1.2.8

Periksa, apakah matriks 2 1

2 1P

punya invers atau tidak.

Jawab:

Kita periksa determinannya:

det (2)(1) ( 2)( 1) 0P .

Jadi, karena det 0P maka P tidak punya invers.


Matriks apa sajakah yang inversnya dirinya sendiri? Matriks yang

inversnya dirinya sendiri adalah matriks yang memenuhi 1A A atau

AA I .

Contoh 1.2.9

Carilah matriks A yang berukuran 22 yang memenuhi AA I (yakni A

merupakan invers dari dirinya sendiri).

Penyelesaian:

Misalkan a b

Ac d

, maka:

2 2

2 2

( ) 1 0

0 1( )

a b a b a bc ab bd a bc b a dAA

c d c d ca dc cb d c a d cb d

(*)

menghasilkan 4 persamaan dengan 4 bilangan yang harus dicari, yaitu:

(1) 2 1a bc ; (2) ( ) 0b a d ; (3) ( ) 0c a d ; dan (4) 2 1cb d .

Perhatikan persamaan (2), ada dua opsi (kemungkinan), yaitu: 0a d atau

0a d .

Opsi 1, 0a d .

Karena 0a d maka d a , sehingga persamaan (*) menjadi:

A A = a b

c a

a b

c a

=

2

2

0

0

a bc

a bc

= 1 0

0 1

,

dan diperoleh persamaan 2 1a bc . Dengan demikian

1a bc dan 1d bc jika 1bc .

Jadi, 1

1

a b bc bA

c a c bc

. (**)

Untuk opsi 1): - ada matriks invers dirinya sendiri jika 1bc .

- tak ada matriks invers dirinya sendiri jika 1bc .

Opsi 2, 0a d

Karena 0a d , maka persamaan 0b a d dan 0c a d

mengharuskan 0b c . Kemudian substitusikan ke persamaan (1) 2 1a bc dan (4) 2 1cb d maka diperoleh 1a dan 1d ,

sehingga menghasilkan


1 0

0 1A

, atau 1 0

0 1A

.

Jadi, dari opsi 1 dan opsi 2 kita peroleh matriks A yang memenuhi AA I

(suatu matriks yang inversnya matriks itu sendiri) adalah :

1 0

0 1A

, dan

1

1

bc bA

c bc

untuk 1bc .

Sebagai contoh untuk persamaan (**):

a. 0b c , 1 0

0 1A

, b. 0b ,

1 0

1A

c

,

c. 0c , 1

0 1

bA

, d. 1bc , 1

0,

0b

bA

e. 1 dan 0bc bc ,

12 4

3 12

b

b

A

.

E. SIFAT-SIFAT INVERS

Sudah dibahas bahwa invers suatu matriks bujur sangkar adalah tunggal,

begitu pula invers dari suatu matriks yang inversnya matriks itu sendiri.

Sekarang akan dibahas sifat-sifat invers lainnya. Sebelumnya kita bahas

Contoh 1.2.10 terlebih dahulu yang akan mengantarkan kepada sifat-sifat

invers tersebut.

Contoh 1.2.10

Diketahui matriks 1 2

2 1A

dan

2 1

1 2B

.

Tentukan: a. AB , b.1A

, c.1B

, d.1 1B A

, e. 1( )AB .

Penyelesaian:

a. 1 2

2 1AB

2 1

1 2

4 3

3 4

.


b. Misalkan 1 p q

Ar s

, , ,p q r dan s dicari dari persamaan 1AA I :

1 2

2 1

p q

r s

=2 2

2 2

p r q s

p r q s=

1 0

0 1

memberikan 4 persamaan:

(a) 2 1p r , (b) 2 0p r , (c) 2 0q s , dan (d) 2 1q s .

Persamaan (a)dikalikan 2 diperoleh 2 4 2p r , dikurangi persamaan (b)

menghasilkan 5 2r atau 25

r , disubstitusikan ke persamaan (b)

menghasilkan 12 5rp .

Persamaan (c) dikalikan 2, dikurangi persamaan (d) menghasilkan

5 1s atau 15

s , disubstitusikan ke persamaan (c) diperoleh

25

2q s .

Dengan demikian, 1 p q

Ar s

=

1 25 5

2 15 5

.

c. Dengan cara yang serupa dengan b., maka kita peroleh

2 11 5 5

1 25 5

B

.

d.

2 11 1 5 5

1 25 5

B A

1 25 5

2 15 5

=

3425 25

3 425 25

e. Misalkan 1( )

p qAB

r s

, kemudian , , ,p q r s dicari dari persamaan

1 4 3 4 3 4 3 1 0( )( )

3 4 3 4 3 4 0 1

p q p r q sAB AB I

r s p r q s,

( )AB4 3

3 4

dari jawaban a.

Dari sini timbul 4 persamaan: 4 – 3 1p r , 3 4 0p r , 4 – 3 0q s , dan

3 4 1q s , yang menghasilkan 3 3425 25 25

, ,p q r dan 425

s

[silahkan dihitung sendiri!].

Jadi, 1( )AB

3425 25

3 425 25

= 1 1B A

[lihat jawaban d.]


Jawaban d. yaitu 1( )AB 1 1B A

dapat berlaku umum yang dikukuhkan

oleh Dalil 1.2.7 berikut ini.

Dalil 1.2.7

Bukti:

Jika A dan B tak singular, maka 1A

dan 1B

ada. 1 1( )( )AB B A =

1 1( )A BB A =1AIA=

1AA= I , begitu pula 1 1( )( )B A AB = 1 1( )B A A B =

1B IB=

1B B= I . Dengan demikian 1( )AB ada dan 1( )AB = 1 1( )B A

[terbukti].

Selanjutnya untuk A B , Dalil 1.2.7 menghasilkan 2 1 1 2( ) ( )A A ,

dan dituliskan sebagai 2A

. Begitu pula 3 1( )A = 2 1( )A A = 1 2 1( )A A =

1 1 2( )A A = 1 3( )A = 3A

. Dengan demikian untuk setiap n asli dapat pula

dibuktikan 1 1( ) ( )n n nA A A .

Kalau pada bilangan real setiap bilangan yang tak nol punya invers,

tetapi kalau pada himpunan matriks bujur sangkar maka ada matriks tak nol

yang tak punya invers (singular), seperti terlihat pada Contoh 1.2.11 berikut.

Contoh 1.2.11

Buktikan bahwa matriks tak nol 1 1

2 2A

tak punya invers.

Bukti:

Andaikan A punya invers dan 1 p q

Ar s

, maka 1AA I .

1AA=

1 1

2 2

p q

r s

= 2 2 2 2

p r q s

p r q S =

1 0

0 1

,

Jika A dan B matriks tak singular berukuran sama, maka AB

mepunyai invers dan berlaku 1 1 1( )AB B A .


kita peroleh 4 persamaan: (1) – 1p r ; (2) 2 2 0p r ; (3) 0q s ; dan

(4) 2 2 1q s . Jika (1) dikalikan 2 kemudian ditambahkan ke (2) maka

diperoleh 0 2 , suatu kontradiksi. Jadi pengandaian A punya invers tidak

benar. Jadi, yang benar A tidak punya invers [terbukti].

Pada bilangan real berlaku sifat: 0ab dan 0a berakibat 0b . Sifat

ini tidak berlaku untuk matriks: jika AB O dan A O tidak menjamin

B O . Ini diperlihatkan pada Contoh 1.2.12 berikut.

Contoh 1.2.12

Misalkan 1 2

2 4A

dan

p qB

r s

.

1 2

2 4AB

p q

r s

= 2 2

2 4 2 4

p r q s

p r q s

= 0 0

0 0

,

menghasilkan 2 persamaan:

(1) 2 0p r atau 2p r ; (2) 2 0 q s atau 2q s untuk , , p q r dan s real.

Ambil 1r s maka 2p q , sehingga 2 2

1 1B

memenuhi

0AB karena 1 2

2 4AB

2 2

1 1

= 0 0

0 0

.

Jelaslah bahwa AB O dan A O tidak menjamin B O .

F. TRANSPOS MATRIKS

Definisi 1.2.3

Catatan: (a) transpose [ ]ijA a adalah [ ] [ ]T Tij jiA a a .

(b) ) ]( ][ [T T Tji ijA a a A .

Transpos matriks [ ]ijA a berukuran m n adalah T

jiA a yaitu

matriks berukuran n m .


Karena penunjuk (indeks) baris untuk matriks A menjadi penunjuk kolom

untuk TA , maka baris matriks

TA adalah kolom matriks A dan sebaliknya,

seperti terlihat pada Contoh 1.2.13 berikut ini.

Contoh 1.2.13

a. Transpos matriks 2 0 1

1 1 3A

adalah

2 1

0 1

1 3

TA

.

b. Transpos matriks 1 3 0 2B adalah

1

3

0

2

TB

.

c. Transpos matriks

3 2 1

1 0 2

1 4 2

C

adalah

3 1 1

2 0 4

1 2 2

TC

.

d. Transpos matriks

1 2 1

2 0 1

1 1 3

D

adalah

1 2 1

2 0 1

1 1 3

TD D

.

e. Transpos matriks 1 3

3 0E adalah

1 3

3 0

TE E .

Perhatikan, transpos matriks D dan E masing-masing adalah dirinya

sendiri. Matriks seperti ini disebut matriks simetri, yang definisi formalnya

sebagai berikut.

Definisi 1.2.4

Jika A suatu matriks berukuran m n , maka TA matriks berukuran

n m , menurut Definisi 1.2.3. Untuk matriks simetri, TA A . Ini berarti A

dan TA berukuran sama yang hanya mungkin bila m n . Dengan demikian

suatu matriks simetri adalah matriks bujur sangkar. Matriks diagonal adalah

juga matriks simetri (jelaskan apa sebabnya).

Matriks yang sama dengan transposnya disebut matriks simetri.


Contoh 1.2.14

Periksa, matriks-matriks berikut matriks simetri atau bukan!

a.

1 0 1

0 3 2

1 2 2

A , b.

1 2 1

1 3 0

2 1 2

B , c.

1 1 2 0

1 2 4 5

2 4 0 3

0 5 3 1

C

d. 1 2 0

3 0 2D e.

1 1

0 2

8 3

E f.

1 1 2 0

1 2 4 5

2 4 0 2

0 5 3 1

F

Jawab:

a.

1 0 1

0 3 2

1 2 2

TA A , jadi A matriks simetri.

b.

1 1 2

2 3 0

1 0 2

TB B , jadi B bukan matriks simetri.

c.

1 1 2 0

1 2 4 5

2 4 0 3

0 5 3 1

TC C , jadi C matriks simetri.

d. D dan e. E bukan matriks simetri karena dua-duanya bukan matriks bujur

sangkar.

f.

1 1 2 0

1 2 4 5

2 4 0 3

0 5 2 1

TF F , jadi F bukan matriks simetri.


1) Diketahui

1 11 2 1 2 1

0 2 , , ,2 1 0 1 1

2 1

A B C

dan 1 0

1 2D

.

Tentukan: a. ( )AB C b. ( )A BC c. AB AD d. ( )A B D

e. Apakah ( )AB C = ( )A BC , asosiatif?

f. Apakah AB AD = ( )A B D , distributif?

2) Jika A = 1 0

0 1

, B = 1 0

0 1

, C =

1 0

0 1

, dan D =

1 0

0 1

.

Tunjukkan bahwa perkalian antar matriks yaitu kolom dikalikan baris,

menghasilkan matriks-matriks yang disajikan pada tabel berikut ini:

A B C D

A A B C D

B B A D C

C C D A B

D D C B A

3) Diketahui A =1 1

1 1

dan B =3 0

0 2

Pertanyaan: a. tunjukkan bahwa invers A adalah 1 1

1 2 2

1 1

2 2

A

,

b. tentukan 1B

c. tentukan 1( )AB dengan menggunakan Dalil 1.2.7.

LATIHAN

Untuk memperdalam pemahaman Anda mengenai materi di atas,

kerjakanlah latihan berikut!

Harus tunjukkan bahwa:

AA = A, BA = B, CA = C, dan DA = D

AB = B, BB = A, CB = D, dan DB = C

............................................................

DA = D, DB = C, DC = B, dan DD = A


4) Diketahui matriks: A =2 1

1 0

, B =

0 1

1 2

1 3

, C =2 0 3

1 1 2

,

D =

2

1

3

, dan E =

3 1 2

1 0 3

2 3 4

Tentukan: a. TA , b.

TB , c. TC , d. TD , e.

TE

f. periksa, apakah T TA B AB .

g. periksa, apakah T TCB B C .

h. periksa, apakah T TD E E D

Petunjuk Jawaban Latihan

1) a. AB =

1 1

0 2

2 1

1 2

2 1

=

1 1

4 2

4 5

, ( )AB C =

1 1

4 2

4 5

1 2 1

0 1 1

=....

b. BC =1 2

2 1

1 2 1

0 1 1

=

1 4 1

2 5 1

,

( )A BC =

1 1

0 2

2 1

1 4 1

2 5 1

=

c. AD =

1 1

0 2

2 1

1 0

1 2

=

0 2

2 4

3 2

,

AB AD =

1 1

0 2

2 1

+

0 2

2 4

3 2

=

d. B D =1 2

2 1

+1 0

1 2

= 2 2

3 3

,


( )A B D =

1 1

0 2

2 1

2 2

3 3

=

e. Apakah ( )AB C = ( )A BC (asosiatif), lihat hasil 1)a. dan 1)b.

f. Apakah AB AD = ( )A B D (distributif), lihat hasil 1)c. dan 1)d.

2) AA1 0

0 1

1 0

0 1

=(1)(1) (0)(0) (1)(0) (0)(1)

(0)(1) (1)(0) (0)(0) (1)(1)

=

1 0

0 1

= A ,

BA 1 0

0 1

1 0

0 1

=1 0

0 1

= B

CA 1 0

0 1

1 0

0 1

= = C

..... silahkan dilanjutkan!

x A B C D

A A ... ... ...

B B ... ... ...

C C ... ... ...

D ... ... ... ...

3). a. Harus ditunjukkan 1AA I .

1AA=

1 1

1 1

1 12 21 12 2

= =1 0

0 1

= I .

b. Misalkan invers B adalah 1B=

p q

r s

, maka haruslah1BB I .

3 0

0 2

p q

r s

=1 0

0 1

menghasilkan 1

3p , 0q , 0r , 1

2s .

Jadi 1B=

13

12

0

0


c. 1( )AB =1B 1A

=

1 1 13 2 2

1 112 22

0

0

= ... ...

... ...

.

4) a. A =2 1

1 0

maka TA =

2 1

1 0

b. B =

0 1

1 2

1 3

maka TB =

0 1 1

1 2 3

c. TC , d. TD , e.

TE dapat dicoba sendiri!

f. hitung masing-masing TA B dan

TAB , kemudian bandingkan!

g. hitung masing-masing CB dan T TB C , kemudian bandingkan!

h. hitung masing-masing TD E dan

TE D , kemudian bandingkan!

1. Penjumlahan matriks dan perkalian dengan skalar memenuhi:

a. c A B cA cB ;

b. c d A cA dA ;

c. cd A c dA ; dan

d. 1. A A .

2. Perkalian matriks (yang dapat dikalikan) mempunyai sifat umum:

a. asosiatif: A BC AB C ; dan

b. tidak komutatif.

3. Penjumlahan dan perkalian matriks mempunyai sifat distributif:

a. A B C AB AC ; dan

b. A B C AC BC .

4. Perkalian matriks dan perkalian dengan skalar bersifat:

a. Bila A matriks m n , C matriks diagonal orde m dengan unsur

diagonal c , D matriks diagonal orde n dengan unsur diagonal d ,

maka CA cA dan AD Ad .

b. Bila A dan B dapat dikalikan, maka A aB a AB .

RANGKUMAN


5. Khususnya untuk himpunan matriks bujur sangkar berukuran sama.

a. Ada matriks tak nol yang tak punya invers, yang mengakibatkan tak

berlakunya hukum kanselasi.

b. Ada matriks tak nol (yang tak punya invers)

A dan B (sehingga) AB O .

c. Jika A dan B dua matriks bujur sangkar berukuran sama yang punya

invers (disebut matriks tak singular) maka 1 1 1AB B A .

6. Transpos ijA a berukuran m n adalah matriks TA berukuran n m

yaitu Tij

T

jiA a a , dan memenuhi:

a. T T TAB B A , dan

T T TP Q P Q , bila AB dan P Q

mempunyai arti.

b. T TcA cA dan

TTA A .

c. Khusus untuk matriks bujur sangkar (tak singular): 1

1( )T TA A .

7. Matriks simetri adalah suatu matriks yang sama dengan matriks

transposnya. Matriks TAA dan

TA A adalah matriks simetri berukuran

m m dan n n , bila A matriks m n .

Perhatian: Setiap soal bernilai 1, kecuali No.10) bernilai 13.

Untuk soal No.1) s/d No.6) berkaitan dengan matriks-matriks berikut ini.

1 1

2 1A

, 2 1 0

0 1 1B

,

1

2

0

C

, dan

1

0

2

D

.

1) ( )AB C .

A. 6 10 B. 6

10

2) ( )A BC .

TES FORMATIF 2

Pilihlah satu jawaban paling tepat/kerjakan langkah demi langkah!


A. 6

10 B. 6 10

3) Dari soal 1) dan 2) dapat disimpulkan bahwa ( ) ( )AB C A BC

A. Salah B. Benar

4) BC BD

A. 4

2 B.

2

4

5) ( )B C D

A. 2

4 B.

4

2

6) Dari jawaban soal 4) dan 5) dapat disimpulkan ( )BC BD B C D

A. Salah B. Benar


1 2

1 1A dan

1 1

0 2B .

7) Invers 1A A

A. 1 2

1 1 B.

12

12

1

1

8) Invers 1B B

A. 1

1 2

12

1

0B B.

11 2

12

1

0B

9) Matriks AB .

A. 1 5

1 3 B.

5 3

1 1


10) Hitunglah 1( )AB

11) Matriks 1 1B A

A. 3 52 2

1 12 2

B. 3 52 2

1 12 2

12) Matriks 1 1 1( )B A AB

A. Salah B. Benar


1 4

2 5

3 6

P

,

1 2 3

2 4 0

3 0 1

Q

,

1 0 1

1 0 1

0 0 0

R

, dan 1 0

0 5S

13) Transpos matriks TP P

A. 1 2 3

4 5 6

TP

B. 4 5 6

1 2 3

TP

14) Transpos matriks TQ Q

A.

3 0 1

2 4 0

1 2 3

TQ

B.

1 2 3

2 4 0

3 0 1

TQ

15) Yang termasuk matriks simetris adalah ....

A. Q dan R B. Q dan S


Cocokkanlah jawaban Anda dengan Kunci Jawaban Tes Formatif 2 yang

terdapat di bagian akhir modul ini. Hitunglah jawaban yang benar.

Kemudian, gunakan rumus berikut untuk mengetahui tingkat penguasaan

Anda terhadap materi Kegiatan Belajar 2.

Arti tingkat penguasaan: 90 - 100% = baik sekali

80 - 89% = baik

70 - 79% = cukup

< 70% = kurang

Apabila mencapai tingkat penguasaan 80% atau lebih, Anda dapat

meneruskan dengan modul selanjutnya. Bagus! Jika masih di bawah 80%,

Anda harus mengulangi materi Kegiatan Belajar 2, terutama bagian yang

belum dikuasai.

Tingkat penguasaan = Jumlah Nilai

100%27


Kunci Jawaban Tes Formatif

Tes Formatif 1 Nilai

1) B 9) B

2) C 10) B

3) A 11) A

4) B 12) B

5) B 13) A

6) D 14) D

7) A 15) C

8) C 16) D

17) a. menentukan ABD :

AB 1 0 0 1 1

1 2 1 2 2 (1)

(1)(0) (0)(1) (1)( 1) (0)(2) (1)(1) (0)( 2)

( 1)(0) (2)(1 ( 1)( 1) (2)(2) ( 1)(1) (2)( 2) (1)

0 1 1

2 5 5 (1)

ABD

1 10 1 1

2 12 5 5

0 2

(1)

(0)(1) ( 1)( 2) (1)(0) (0)( 1) ( 1)(1) (1)(2)

(2)(1) (5)( 2) ( 5)(0) (2)( 1) (5)(1) ( 5)(2) (1)

2 1

8 7. (1)

b. menentukan DBA :

DB

1 10 1 1

2 11 2 2

0 2

(1)

(1)(0) ( 1)(1) (1)( 1) ( 1)(2) (1)(1) ( 1)( 2)

( 2)(0) (1)(1) ( 2)( 1) (1)(2) ( 2)(1) (1)( 2)

(0)(0) (2)(1) (0)( 1) (2)(2) (0)(1) (2)( 2)

(1)


1 3 3

1 4 4

2 4 4

(1)

1 3 31 0

( )( ) 1 4 41 2

2 4 4

DBA DB A (1)

Karena DB berukuran 3 3 dan A berukuran 2 2 , maka (1)

DB tidak dapat dikalikan dengan A . (1)

18) A 20) A

19) B 21) B

Tes Formatif 2 Nilai

1) A 11) A

2) B 12) B

3) B 13) A

4) B 14) B

5) A 15) B

6) B

7) A

8) B

9) A

10) 1 2 1 1 (1)(1) (2)(0) (1)(1) (2)(2) 1 5

1 1 0 2 (1)(1) (1)(0) (1)(1) (1)(2) 1 3AB (3)

Misalkan invers AB adalah 1( )

a bAB

c d, maka harus (1)

ditunjukkan bahwa 1 1 5 1 0

( )( )1 3 0 1

a bAB AB

c d (2)

5 5 1 0

3 3 0 1

a c b d

a c b d (1)

muncul sistem 4 persamaan dengan 4 bilangan harus dicari:


5 1 ...(1)

3 0 ...(2)

5 0 ...(3)

3 1 ...(4)

a c

a c

b d

b d

(1)

Dari (1) dan (2) diperoleh 32

a dan 12

c ; (2)

Dari (3) dan (4) diperoleh 52

b dan 12

d . (2)

Jadi 3 5

1 2 21 12 2

( )AB (1)


Daftar Pustaka

Bernard Kolman. (1993). Introductory Linear Algebra with Application.

Macmillan.

Howard Anton. (1991). Elementary Linear Algebra. Wiley.

Wono Setya Budhi. (1995). Aljabar Linear. Jakarta: Gramedia.

Documents

Matriks - pustaka.ut.ac.id · Modul 1 Matriks R. J. Pamuntjak Warsito istem persamaan linear (SPL) yang muncul hampir dalam semua penerapan aljabar linear, juga sangat diperlukan