TUGAS ALJABAR LINIEAR - dewapurnama Kuliah Aljabar Linear Elementer. STT Telkom. Aljabar Linear vi . Matriks dan operasi – operasinya 1 BAB I Matriks dan Operasi – Operasinya I.1 Pendahuluan

  • View
    219

  • Download
    4

Embed Size (px)

Transcript

  • TUGAS ALJABAR LINIEAR

  • Aljabar Linear

    ii

    Kata Pengantar

  • Aljabar Linear

    iii

    DAFTAR ISI 1. Matriks dan Operasi Operasinya . I.1 Pendahuluan ...

    I.2 Jenis jenis matriks .

    I.3 Operasi operasi matriks . I.4 Matriks Invers 2. Sistem Persamaan Linear

    ... II.1 Pendahuluan .. II.2 Operasi baris elementer . II.3 Sistem persamaan linear Homogen ... II.4 Menentukan invers matriks .. 3. Determinan matriks ...

    III.1 Pendahuluan ..

    III.2 Metode perhitungan determinan ...

    III.3 Menentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan linier dengan metode Crammer ..

    III.4 Hubungan determinan, invers matriks dan penyelesaian untuk sistem persaman linier

    4. Vektor Vektor di bidang dan di ruang

    IV.1 Pendahuluan

    . IV.2 Operasi operasi pada vektor

    . IV.3 Hasil kali titik , panjang vektor dan jarak antara dua vektor IV.4 Proyeksi orthogonal IV.5 Perkalian silang vektor

    01 01 01 01 04

    06 06 07 10 12

    15 15 16

    18

    19

    22 22 22 23 25 27

    31 31 32 33 34 37 38 39

  • Aljabar Linear

    iv

    5. Ruang Ruang Vektor

    .... V.1 Ruang n Euclides

    . V.2 Ruang vektor umum

    V.3 Subruang vektor . V.4 Membangun dan bebas linier ...

    V.5 Basis dan Dimensi

    V.6 Basis ruang baris dan basis ruang kolom . V.7 Basis ruang solusi 6. Ruang Hasil Kali Dalam

    .. VI.1 Hasil kali dalam

    VI.2 Panjang vektor , jarak antar vektor ,dan besar

    sudut dalam RHD VI.3 Basis orthonormal

    VI.4 Perubahan Basis

    7. Ruang Eigen ... VII.1 Nilai Eigen suatu matriks

    44 44 45 46 50

    54 54 56 60

    63 63 64 65

  • Aljabar Linear

    v

    VII.2 Diagonalisasi VII.3 Diagonalisasi orthogonal 8. Transformasi Linear ... VIII.1 Pendahuluan

    VIII.2 Kernel ( inti ) dan Jangkauan

    VIII.3 Matriks transformasi

    Daftar Pustaka

    1. Anton , H .( 1991) Elementary Linear Algebra .John Wiley and Sons 2. Leon , S.J.( 2001 ) . Aljabar Linear Dan Aplikasinya edisi 5 . Penerbit

    Erlangga 3. Mursita D. ( 2000 ). Diktat Kuliah Aljabar Linear Elementer. STT Telkom

  • Aljabar Linear

    vi

  • Matriks dan operasi operasinya

    1

    BAB I Matriks dan Operasi Operasinya

    I.1 Pendahuluan Definisi : Matriks adalah susunan segi empat siku siku dari bilangan yang dibatasi dengan tanda kurung. Suatu matriks tersusun atas baris dan kolom, jika matriks tersusun atas m baris dan n kolom maka dikatakan matriks tersebut berukuran ( berordo ) m x n. Penulisan matriks biasanya menggunakan huruf besar A, B, C dan seterusnya, sedangkan penulisan matriks beserta ukurannya (matriks dengan m baris dan n kolom ) adalah Amxn, Bmxn dan seterusnya. Bentuk umum Bentuk umum dari Amxn adalah :

    Amxn =

    mnmm

    n

    n

    aaa

    aaaaaa

    ...::::::

    ...

    ...

    21

    22221

    11211

    ,

    aij disebut elemen dari A yang terletak pada baris i dan kolom j. I.2 Jenis jenis matriks Ada beberapa jenis matriks yang perlu diketahui dan sering digunakan pada pembahasan selanjutnya, yaitu : a. Matriks Bujur sangkar

    Matriks bujur sangkar adalah matriks yang jumlah barisnya sama dengan jumlah kolomnya. Karena sifatnya yang demikian ini, dalam matriks bujur sangkar dikenal istilah elemen diagonal yang berjumlah n untuk matriks bujur sangkar yang berukuran nxn, yaitu : a11, a22, , ann.

    Contoh 1.2.1

    A2x2 =

    2221

    1211

    aaaa dengan elemen diagonal a11 dan a22

    A3x3 =

    333231

    232221

    131211

    aaaaaaaaa

    dengan elemen diagonal a11 ,a22 dan a33

    b. Matriks Diagonal

    Matriks diagonal adalah matriks yang elemen bukan diagonalnya bernilai nol. Dalam hal ini tidak disyaratkan bahwa elemen diagonal harus tak nol.

    Contoh 1.2.2

    A =

    3001 B =

    0001 , C =

    0000

  • Matriks dan operasi operasinya

    2

    c. Matriks Nol

    Mariks Nol merupakan matriks yang semua elemennya bernilai nol.

    d. Matriks Segitiga Matriks segitiga adalah matriks bujur sangkar yang elemen elemen dibawah atau diatas elemen diagonal bernilai nol. Jika yang bernilai nol adalah elemen elemen dibawah elemen diagonal maka disebut matriks segitiga atas , sebaliknya disebut matriks segitiga bawah. Dalam hal ini, juga tidak disyaratkan bahwa elemen diagonal harus bernilai tak nol. Contoh 1.2.3

    A =

    100200101

    , B =

    010001000

    , C =

    200010001

    Matriks A adalah matriks segitiga bawah, matriks B adalah matriks segitiga atas

    sedangkan matriks C merupakan matriks segitiga bawah dan juga matriks segitiga atas.

    e. Matriks Identitas Matriks identitas adalah matriks diagonal yang elemen diagonalnya bernilai 1 f. Matriks dalam bentuk eselon baris tereduksi Suatu matriks dikatakan memiliki bentuk eselon baris tereduksi jika memenuhi

    syarat syarat berikut : 1. Untuk semua baris yang elemen elemennya taknol , maka bilangan

    pertama pada baris tersebut haruslah = 1 ( disebut satu utama ). 2. Untuk sembarang dua baris yang berurutan, maka satu utama yang

    terletak pada baris yang lebih bawah harus terletak lebih ke kanan daripada satu utama pada baris yang lebih atas.

    3. Jika suatu baris semua elemennya adalah nol, maka baris tersebut diletakkan pada bagian bawah matriks.

    4. Kolom yang memiliki satu utama harus memiliki elemen nol ditempat lainnya.

    Contoh 1.2.4

    A =

    000011002011

    , B =

    100010001

    , C =

    000000100010

    Matriks A , B dan C adalah matriks matriks dalam bentuk eselon baris tereduksi

    dan notasi 1 menyatakan satu utamanya. Contoh berikut menyatakan matriks matriks yang bukan dalam bentuk eselon baris tereduksi.

  • Matriks dan operasi operasinya

    3

    Contoh 1.2.5

    D =

    000001102011

    , E =

    201000000000011

    Matriks D bukan dalam bentuk eselon baris tereduksi karena elemen d12 bernilai 1

    sehingga tidak memenuhi syarat ke 4 ( harusnya = 0 ), sedangkan matriks E tidak memenuhi karena baris kedua yang merupakan baris nol letaknya mendahului baris ketiga yang merupakan baris tak nol, sehingga syarat ketiga tidak terpenuhi.

    Jika suatu matriks hanya memenuhi syarat 13 saja, maka dikatakan matriks

    tersebut memiliki bentuk eselon baris. I.3 Operasi operasi matriks a. Penjumlahan matriks

    Operasi penjumlahan dapat dilakukan pada dua buah matriks yang memiliki ukuran yang sama. Aturan penjumlahan Dengan menjumlahkan elemen elemen yang bersesuaian pada kedua matriks Contoh:

    ++++

    =

    +

    hdgcfbea

    hgfe

    dcba

    b. Perkalian matriks dengan matriks Operasi perkalian matriks dapat dilakukan pada dua buah matriks ( A dan B) jika

    jumlah kolom matriks A = jumlah baris matriks B. Aturan perkalian Misalkan Amn dan Bnk maka Amn Bnk = Cmk dimana elemen elemen dari C( cij) merupakan penjumlahan dari perkalian elemenelemen A baris i dengan elemenelemen B kolom j Contoh :

    A =

    fedcba , B =

    pmolnk

    maka A23 B32 = C22 =

    ++++++++

    fpeodnfmeldkcpboancmblak

    c. Perkalian matriks dengan skalar

    Suatu matriks dapat dikalikan suatu skalar k dengan aturan tiap tiap elemen pada A dikalikan dengan k. Contoh 1.3.1

    3

    fedcba =

    fedcba

    333333

  • Matriks dan operasi operasinya

    4

    d. Transpose matriks Transpose matriks A ( dinotasikan At ) didefinisikan sebagai matriks yang baris

    barisnya merupakan kolom dari A.

    Contoh : A =

    654321 At =

    635241

    Sifat sifat dari operasi matriks

    - A+B = B+A - A+ ( B+C ) = ( A+B) + C - AB BA - A ( BC ) = ( AB ) C - ( At )t = A - ( AB )t = BtAt

    I.4 Matriks Invers Definisi Jika A, B matriks bujur sangkar dan berlaku AB = BA = I ( I matriks identitas ), maka dikatakan bahwa A dapat dibalik dan B adalah matriks invers dari A ( notasi A1 ).

    Contoh : A =

    3152 , B =

    2153 AB = BA =

    1001

    Maka B = A1 dan A = B1 Sifat yang berlaku :

    - ( A1 )1 = A - ( AB )1 = B1A1

    Latihan I 1. Tentukan jenis dari matriks matriks dibawah ini ( jika memenuhi lebih dari satu,

    tuliskan semua ) !

    A =

    1001 , B =

    101000001

    , C =

    000210201

    , D =

    100000221

    2. Diketahui A =

    1001 , B =

    021201 dan C =

    322111

    a. Hitung B + C ! b. Hitung AB dan AC , kemudian tentukan AB + AC c. Dari perhitungan B + C sebelumya, hitung A ( B + C ) kemudian bandingkan

    hasilnya dengan jawaban dari b !

  • Matriks dan operasi operasinya

    5

    3. Dari soal nomor 2, tentukan

    a. ( AB )t dan ( AC )t ! b. Hitung BtAt dan CtAt , kemudian bandingkan hasilnya dengan jawaban a !

    4. Tunjukkan apakah matriks B merupakan invers A !

    a. A =

    0242 dan B =

    2240

    81

    b. A =

    0031 dan B =

    1001

  • Sistem persamaan linear

    6

    BAB II Sistem Persamaan Linear

    II.1 Pendahuluan Bentuk umum Suatu persamaan linear yang mengandung n peubah x1, x2 ,,xn dinyatakan dalam bentuk a1x1 + a2x2 + + anxn = b dengan a1, a2, , an , b adalah konstanta riil. Dalam hal ini, peubah yang dimaksud bukan merupakan fungsi trigonometri