Matrix Analysis Note cover

매트릭스구조해석노트

구조기술사시험대비용

Matrix Structural Analysis Note For Preparing Test of PE of Structural Engineering

Edited by lupin66

Version : 0.8

Date : Dec. 03, 2008

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i

머 릿 글 일반적으로 토목을 전공한 사람은 학부에서 순수 역학 분야로 정역학 1학기, 동역학 1학기, 재료역학 2학기, 구조역학 2학기 그리고 매트릭스 구조해석 1학기를 배우고 졸업합니다. 사회에 나가 구조분야에 종사하게 되는 사람들에게 이 과목에서 전하는 기초적인 지식은 평생을 살아가는데 디딤돌이라고 할 수 있습니다. 이 디딤돌위에 현대 구조해석의 총아라고 할 수 있는 유한요소해석 Finite Element Analysis : FEA 에 대한 기본적인 지식을 공부하는 것도 필수적이라고 할 수 있지만 대부분의 학부과정에서는 배우지 않습니다. 심지어 학부를 졸업한지 오래된 경우 매트릭스 구조해석을 배우지 않았다는 사람들도 많습니다. 대부분의 토목 또는 건축 구조물의 거동이 매우 복잡하므로 수계산으로 구조해석을 하는 것은 많은 가정을 도입하지 않으면 불가능합니다. 그러므로 구조해석 프로그램을 능숙하게 다루는 것은 현업에서 설계를 하는 구조인이 가지고 있어야할 필수적인 능력 중 하나입니다. 그러나 구조해석 프로그램의 사용은 구조물의 거동에 대한 깊은 이해없이 복잡한 구조물을 해석할 수 있는 마법의 상자이기도 하지만 어떤 면에서는 프로그램의 결과를 검증하지 않은 체 절대적으로 추종하게 만드는 양날을 지닌 칼이기도 합니다. 이러한 칼날에 손이 베이지 않으려면 구조해석시 사용할 요소에 대한 이해와 비선형 해석의 경우 수렴하는 방법 등에 대한 깊은 지식이 수반되어야합니다. 그러나 대학원 과정에 있는 유한요소해석 수업 조차 따라가기 힘든 것이 실정인데 학부과정만 마친 많은 설계인들이 유한요소해석을 자습하는 것은 매우 어려운 일입니다. 유한요소 입문 서적을 보고 자습을 시작하다가 포기하고 마는 구조인을 보기도 했습니다. 트러스 요소나 보 요소와 같은 line element의 경우 매트릭스 해석이나 유한요소 해석이나 거의 동일합니다. 그래서 일부 교수님들은 대학교 강의에서 매트릭스 구조해석을 제외하고 유한요소입문으로 대치하여야 한다고 주장합니다. 그 분들의 주장에 일리가 있기는 하지만 학부생들이 학부수업에서 배운 재료역학만을 가지고는 유한요소해석 수업을 소화하지 못한다는 문제점도 존재합니다. 제 생각에 학부에서는 매트릭스 구조해석을 충실하게 가르치고 대학원에서는 유한요소해석을 2학기 가르치는 것이 타당하다고 생각합니다. 학부에서 배울 매트릭스 구조해석 수업의 내용은 학부만을 마치고 설계분야에 종사하게 되는 분들이 스스로 유한요소 해석을 자습할 수 있도록 충분한 토대를 만들어 주는 것으로 충분하다고 생각합니다. 구조 기술사를 도전하는 많은 분들이 매트릭스 해석에 익숙하지 않다는 이유로 매트릭스 해석을 제외하고 공부를 하는 것을 많이 보았습니다. 기술사 대비용으로 고전적인 해석법이라고 할 수 있는 변위일치법, 처짐각법, 모멘트분배법을 공부하는 것도 좋지만 앞으로 더 유능한 구조인이 되기 위해 정복하여야 할 유한요소해석의 기초가 될 수 있는 매트릭스 구조해석을 공부하는 것이 더 효율적이라고 생각합니다. 이 노트는 졸업한지 오래되서 학부에서 받은 매트릭스 해석 수업 내용이 기억이 안나는 사람들이나 아니면 아예 수업조차 받지 못한 구조인들을 위해 만들어졌습니다. 가능한 한도 내에서 많은 예제를 수록하여 빠른 이해가 가능하도록 하였으며 부족한 부분을 해결하기위해 각 장의 말미에 연습문제를 수록하였습니다. 다른 구조해석 책들과는 달리 모든 연습문제의 해답의 전부 또는 일부분을 수록하여 독자 스스로 자신의 해답을 검증하는 것을 가능하게 하였습니다. 1장에서는 구조해석에서 주로 사용하는 변위법과 응력법에 대한 일반적인 사항과 매트릭스 변위법과 응력법을 유도하는데 사용하게 될 가상일의 원리와 에너지 방법을 주로 설명하였습니다. 2장 매트릭스 변위법에서는 매트릭스 변위법을 유도한 후에 구조 기술사에 자주 출제되는 문제들을 유형별로 설명하였고 3장 매트릭스 응력법에서는 자유도가 높고 부정정력의 수가 적은 구조의 해석을 설명하였고 4장에서는 구조해석 프로그램에서 사용되는 직접 강성법의 기초적인 사항에 대하여 설명하였습니다. 5장 Special Topic는 구조 기술사 문제 수준을 떠나서 앞으로 유한요소해석을 자습하고 싶은 사람들에게 힘이 되어 줄 수 있는 내용을 포함시켰습니다. 자격증을 시급하게 필요하고 공부할 시간이 너무 없는 분들을 위해 목차에서 꼭 공부를 해야하는 부분은 ooo 으로 표기를 하였으니 급하신 분들은 우선 그 부분부터 순서대로 공부하기를 바랍니다. 그러나 기초를 든든히 만드는 것이 역학을 공부하는 가장 빠른 지름길이라 사실을 되새겨보면 이 노트를 순서대로 차근차근 이해하는 것

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ii

이 가장 좋은 공부법이라고 생각합니다. 제 매트릭스 해석 노트의 예제와 연습문제의 눈높이는 대부분 구조기술사 수준에 맞추어 놓았습니다. 그러나 몇몇 예제나 연습문제는 기술사 시험보다 수준이 높다고 여겨지며 그럴 경우에는 문제에 *** 표기를 하였습니다. 노트의 분량은 300쪽 정도이나 예제를 조밀하게 배열하였으므로 꽤 많은 분량이라고 생각합니다. 이 노트에 있는 내용을 모두 이해하였을 경우 케이블 해석 문제 외에는 대부분의 기술사 구조해석 문제를 해결할 수 있는 능력을 지니게 될 것이라고 자부합니다. 이 노트에서 힘과 변위의 방향은 오른손 벡터 법칙을 따릅니다. 대부분의 예제와 연습문제에서 우측에서 좌측으로 향하는 방향을 x축으로 하고 아래에서 위로 향하는 방향을 y축으로 하였으며 노트를 뚫고 나오는 방향이 z축 입니다. 그러므로 평면해석의 경우 반시계 방향이 회전 변위에 대한 양의 값입니다. 그림에서 힘은 화살표

, 변위 또는 변형은 화살표 로 표현하였습니다. 본문에서는 매트릭스나 벡터의 경우 굵은 폰트의 영문으로 표기하였습니다. 이 노트는 기초적인 매트릭스 해석을 다루므로 미소 변형을 기본으로 식을 유도하였고 모든 연습 문제의 가정도 특별한 언급이 없는 경우 미소 변형입니다. 연속보나 평면 프레임 예제와 연습문제의 경우 특별한 가정이 없는 한 기술사 시험수준에 맞추어 축방향 변형과 전단변형은 무시한다는 가정하에 문제를 풀었습니다. 예제를 풀 때 CAS 기능이 있는 계산기를 사용하였으므로 중간 매트릭스 계산과정 또는 적분 등을 상세하게 보여주지는 않았습니다. 예제는 MathCAD를 사용하여 계산을 재검증하였으며 MathCAD 파일은 선민호님의 홈페이지 www.designbridge.net DB 에 올려놓았으니 참조하십시요. CAS 기능이 있는 계산기에 대해서는 제 블로그인 http://blog.naver.com/lupin66/100050843195 에 글을 올려놓았습니다. 노트의 오류를 발견하거나 노트의 내용에 질문이 있을 경우 제게 이메일을 보내거나 DB의 Q&A란에 내용을 올려주십시요. 가능한 신속하게 대답을 드리겠습니다. 역학적인 내용을 설명하면서 가능하면 참고서적의 문구를 그대로 옮기는 행동은 하지 않았습니다. 그러나 몇몇의 경우 제가 이해한 것을 적는 것보다 참고서적의 글을 직접 인용하는 것이 독자의 이해를 돕겠다고 판단이 되었을 경우 참고서적의 원전을 알리고 따옴표로 표현하였습니다. 그리고 이 노트에서 사용되는 예제 또는 연습문제의 대부분은 제 창작이 아니라 참고서적들에 수록되어있는 문제들입니다. 물론 풀이 과정을 베끼지는 않았지만 문제 사용 자체가 저작권 위배라고 생각하므로 제가 사용한 문제의 저작권자가 이의를 제기한 경우 즉시 삭제하겠습니다. 이 노트를 만들면서 가장 많이 참고한 것은 제가 대학원 시절에 받은 강의 내용이며 그 외 다수의 서적을 참고하였습니다. 이 자리를 빌어 제게 구조에 대한 지식을 가르쳐주신 교수님들에게 감사를 드리며 좋은 구조서적을 만들어 제 지혜를 넓혀준 참고 서적의 저자들에게도 존경을 표합니다. 그리고 이 노트를 만들게 된 자극을 준 장소인 designbridge.net 를 만든 선민호님과 운영자 분들에게 고마움을 표합니다.

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iii

목 차

Chapter 1 매트릭스 구조해석을 위한 구조역학 개론

1.1 연속체로서의 구조해석 1.1.1 축방향 부재의 지배 미분 방정식

1.1.2 휨 부재의 지배 미분 방정식

1.2 이산체로서의 구조해석 1.2.1 하중법 Force Method 또는 연성도법 Flexibility Method 1.2.2 변위법 Displacement Method 또는 강성도법 Stiffness Method

1.3 에너지 방법 1.3.1 일 Work & 상보일 Complementary Work ooo 1.3.2 변형 에너지 Strain Energy & 상보 변형 에너지 Complementary Strain Energy ooo 1.3.3 가상 변위의 원리 The Principle of Virtual Displacement ooo 1.3.4 가상힘의 원리 The Principle of Virtual Force 1.3.5 Clayperon 정리 1.3.6 Castigliano 제1정리 1.3.7 Engesser‐Crotti 정리 & Castigliano 제2정리 1.3.8 최소일의 정리 Least Work Theorem ooo 1.3.9 최소 포텐셜 에너지 원리 Theory of Minimum Total Potential Energy 1.3.10 Ritz 방법 Ritz Method 1.3.11 Betti 상반 정리 & Maxwell 상반 정리

Chapter 2 매트릭스 변위법

2.1 Notation

2.2 독립 변위 r 과 종속 변위 y ooo

2.3 외력에 대한 평형방정식 ooo

2.4 부재 강성 매트릭스 k 2.4.1 축방향력을 받는 부재 트러스 부재 ooo 2.4.2 St Venant 비틀림 모멘트를 받는 원형 단면의 부재 ooo 2.4.3 휨 모멘트를 받는 부재 보 부재 : 축방향 변형과 전단 변형을 무시한 경우 ooo 2.4.4 전단변형을 고려한 부재의 강성 매트릭스 k 2.4.5 변단면 부재의 강성 매트릭스

2.5 적합 매트릭스 A , A , C , C

2.5.1 변형 적합 매트릭스 , ooo

2.5.2 변위 적합 매트릭스 , ooo

2.6 가상변위의 원리를 이용한 매트릭스 변위법 유도 2.6.1 외력 R과 관련된 매트릭스 해석 ooo 2.6.1 반력 Q와 관련된 매트릭스 해석

2.7 K A T k A 을 이용하여 모든 DOF 를 고려한 부재 강성 매트릭스 구성 2.7.1 2 2 크기의 트러스 부재 2.7.2 트러스 요소의 Stiffness Matrix in Global Coordinate ooo

2.7.3 4 4 크기의 Local Stiffness Matrix k ooo 2.7.4 원형 아치 Ring Beam 부재의 강성 매트릭스

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iv

2.8 Static Condensation 매트릭스 축약

2.9 대칭과 역대칭을 이용한 구조해석 2.9.1 대칭과 역대칭 ooo 2.9.2 대칭의 모델링 ooo 2.9.3 역대칭의 모델링 ooo 2.9.4 대칭과 역대칭의 예 ooo

2.10 절점 사이에 작용하는 하중 2.10.1 고정단 하중을 이용한 방법 ooo 2.10.2 여러 경우의 고정단 모멘트 : 전단변형 무시 ooo 2.10.3 전단변형을 고려할 경우 고정단 하중

2.11 종속 변위에 대응하는 하중 ooo

2.12 탄성 스프링을 지닌 구조의 매트릭스 해석 ooo

2.13 온도 하중, 제작 오차 & 지점 이동 2.13.1 온도 하중 ooo 2.13.2 제작 오차 ooo 2.13.3 지점 이동 ooo

2.14 이동 가능한 경사진 지점

2.15 게이블 프레임 Gable Frame

2.16 부정정 구조의 영향선 2.16.1 반력의 영향선 모델링 2.16.2 전단력의 영향선 모델링 2.16.3 휨모멘트의 영향선 모델링

Chapter 3 매트릭스 응력법

3.1 Notation

3.2 트러스 부재와 보 부재의 연성 매트릭스 3.2.1 트러스 부재의 연성 매트릭스 3.2.2 휨변형만 고려한 보 부재의 연성매트릭스 3.2.3 힌지 절점을 지닌 보 부재의 휨변형만 고려한 연성 매트릭스

3.3 정정구조와 부정정구조에서 매트릭스 응력법 3.3.1 정정구조에서 매트릭스 응력법 3.3.2 부정정구조에서 매트릭스 응력법

3.4 절점과 절점 사이에 작용하는 하중

3.5 온도 하중, 제작 오차, 지점 이동 3.5.1 온도 하중 3.5.2 제작 오차 3.5.3 지점 이동

Chapter 4 직접 강성법

4.1 변형 적합 매트릭스를 이용한 매트릭스 변위법 vs 직접 강성법

4.2 부재 국부 좌표계에서 부재 강성 매트릭스 4.2.1 트러스 부재

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v

4.2.1 보 부재

4.3 좌표 변환 매트릭스 T ooo

4.4 부재의 국부 강성 매트릭스의 좌표 변환 ooo

4.5 구조 강성 매트릭스 조합 K ooo

4.6 강성 매트릭스 K 정의를 이용한 직접 강성법

4.6.1 트러스 구조 4.6.2 보 & 프레임

4.7 직접 강성법에서 부재력 계산

4.8 절점과 절점 사이에 작용하는 하중

4.9 종속 변위에 대응하는 하중 ooo

4.10 온도 하중, 제작 오차, 지점 이동 4.10.1 온도하중 & 제작오차 4.10.2 지점 이동

Chapter 5 Special Topics

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1‐1

Chapter 1. 매트릭스 구조해석을 위한 구조역학 개론 1.1 연속체로서의 구조해석 구조물에 외력이 작용할 경우 변형체인 구조물에 변위가 발생하고 이 변위를 구하는 것을 구조해석이라고 합니

다. 반력과 부재의 단면력은 변위를 구하면 부수적으로 계산 가능한 물리량입니다. 작용하중과 변위의 관계를 수학적으로 표현한 식이 지배 방정식 Governing Equations 이고 이 지배 방정식을 구하기위하여 평형방정식, 구성방정식 그리고 적합방정식이 필요합니다. 평형 방정식 Equilibrium Equations 은 FBD에서 정적 또는 동적인 상태의 힘의 평형조건을 이끌어내는 식입니

다. 구성 방정식 Constitution Equations 은 재료의 특성치를 나타내는 식으로 응력과 변형률과의 관계식이며 대표적으로 Hooke의 법칙을 들 수 있습니다. 적합방정식 Compatibility Equation 은 구조물의 연속성과 단부조

건 등 변위와 변형에 관련된 식으로 대표적인 적합방정식은 변형일치법에 사용하는 적합조건과 탄성론과 연속

체 역학에서는 변형률과 변위의 관계식입니다. 일반적으로 물체의 x축 방향 변위를 u x, y, z , y축 방향 변위를 v x, y, z 그리고 z축 방향 변위를 w x, y, z 로 표현합니다. 이 노트에서는 2장의 변형 벡터와의 혼동을 막기위해 x축 방향 변위를 , y축 방향 변위를 , z축 방향 변위를 라고 표현하겠습니다. 1.1.1 축방향 부재의 지배 미분 방정식

그림 1.1‐1에서 축방향 하중을 받는 등단면 부재의 FBD를 보여줍니다. 평형 방정식, 적합 방정식 그리고 구성 방정식을 사용하여 축방향 하중을 받는 부재의 지배 미분 방정식을 구하면 다음과 같습니다. 축방향 변위 즉 x 축 방향 변위를 라고 표현하겠습니다.

미소 부분에서 F 0 ; N x q x dx N x dx 0 평형 방정식

From Taylor Series, N x dx N xdN xdx dx

12 d N xdx dx N x

dN xdx dx HOT 무시

N x q x dx N xdN xdx dx

dN xdx q x 0

ε xd xdx 적합 방정식 & N x σ x A E ε x A 구성 방정식 N x E

d xdx A EA

d xdx

EA d d x

dxdx q x dx 0 EA

d xdx q x 0

N x

x dx

N x dx

q x q xq x

그림 1.1‐1 축방향 하중을 받는 부재

x

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1‐2

1.1.2 휨 부재의 지배 미분 방정식

그림 1.1‐2에서 휨모멘트를 받는 부재의 변형을 보여주었습니다. 재료역학에서 순수 휨을 받는 부재의 곡률과 휨모멘트의 관계식은 다음과 같습니다. 축방향 변위 는 무시하고 보의 y 방향 변위를 라고 표현하겠습니다.

1ρ

MEI

그림 1.1‐2 b 에서

ρ dθ dS ρdSdθ

dθdS

dx 와 d 가 미소하므로 ddx tan θ θ tan

ddx

dθdS

dθdx

dxdS

ddx tan

ddx

dxdS ·········· a

ddx tan

ddx

ddx

1 ddx

·········· b ddx tan a

11 a

dadx

dx, dy 와 ds 가 미소하므로 dS dx d dS dx 1ddx

dxdS

1

1 ddx

·········· c

b 와 c 를 a 에 대입하면 곡률은 다음과 같습니다.

ddx

1 ddx

미소변형의 경우 ddx 0 이므로 곡률은 다음과 같습니다.

ddx

MEI

그림 1.1‐3에서 재료역학에서 공부한 하중과 전단력과 휨모멘트의 관계를 보여주었습니다. 미소변형의 곡률식

을 하중과 전단력과 휨모멘트의 관련식에 대입하여 휨변형에 대한 지배 미분방정식을 구합니다.

dθ

dx x

ρ

x

y,

A B

dθ

A

B

dS

θ

θ dθ

d

dxx

x

a 보의 휨 변형 b 미소 요소의 휨 변형

그림 1.1‐2 휨모멘트를 받는 부재

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1‐3

dMdx

ddx EI

ddx EI

ddx V

dVdx

ddx EI

ddx EI

ddx w x

EI ddx w x 0 휨변형에 대한 지배 미분방정식

3 Boundary Conditions

i 축방향력에 대한 지배미분방정식으로 부터 EAddx γ A 0 2 EA C γ A 0

ii A에서 보의 처짐은 0 이므로 y 0 0 C 0

iii A에서 축방향력은 γ A L 이므로 N 0 E ε 0 A EA d 0dx γ A L EA C γ A L

3개의 식을 연립해서 풀면 C 0, Cγ LE , C

γ 2 E

γE L x

12 x & ∆B L

γ L2 E

검토 ∆B dεL 1

E dσL dN x

EA

L γ A L xEA

Ldx

γ L2 E O. K

Solution :

1 작용하중식 q x

A

B

x 축

q x γ A

2 축방향 변형에 대한 지배미분방정식과 해

EA ddx q x 0 EA

ddx γ A 0

C C x C x

단위중량 γ는 균일

EA constant

L

A

B

예제 1.1‐1

Give :

Req’d : 자중에 의한 처짐식과 B에서 처짐값을 구하시오.

V dV

M dM

V

M

w x

dx

F 0 ; V w x dx V dV 0 dVdx w x

M@ C 0 ; M V dx w x dxdx2 M dM 0

dMdx V

C

그림 1.1‐3 하중과 전단력과 휨모멘트의 관계

H.O.T

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1‐4

Given : A B

L

EI constantw

Req’d : 처짐 곡선식과 A & B에서 휨모멘트

4 반력 & B의 휨모멘트

i M EI ddx

w8 3 L x 4 x M x L

w L8

ii V EI ddx

w8 3 L 8 x V x 0

3 w L8 & V x L

5 w L8

3 w L8

VA3 w L8

5 w L8

A

VB 25 w L8

5 w L4

B


i 휨에 대한 지배미분방정식으로 부터 EIddx w 0 24 EI C w 0

ii A에서 보의 처짐은 0 이므로 0 0 C 0

iii A에서 휨모멘트는 0 이므로 EI d 0dx 0 2 EI C 0

iv B에서 보의 처짐은 0 이므로 L 0 C C L C L C L C L 0

v B에서 보의 처짐각은 0 이므로 d Ldx 0 C 2 C L 3 C L 4 C L 0

5개의 식을 연립해서 풀면 C 0, Cw L48 EI, C 0, C

w L16 EI , C

w24 EI

w

48 EI L x 3 L x 2 x

Solution :

1 대칭성을 이용하여 모델링 2.9 참조

A B L

w

2 휨 변형만 고려시 지배미분 방정식과 해

EIddx w x 0 EI

ddx w 0

C C x C x C x C x

예제 1.1‐2

Given :

A B CL L

EI constantw

Req’d : 처짐 곡선식, 반력과 B에서 휨모멘트

예제 1.1‐3

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1‐5

4 A & B의 휨모멘트

MA EI d 0dx

w L30 , MB EI

d Ldx

w L20


i 휨에 대한 지배미분방정식으로 부터 EIddx

wL x 0 120 EI C x

wL x 0 120 EI C

wL 0

ii A에서 보의 처짐은 0 이므로 0 0 C 0

iii A에서 보의 처짐각은 0 이므로 d 0dx 0 C 0

iv B에서 보의 처짐은 0 이므로 L 0 C C L C L C L C L 0

v B에서 보의 처짐각은 0 이므로 d Ldx 0 C 2 C L 3 C L 5 C L 0

5개의 식을 연립해서 풀면 C 0, C 0, Cw L60 EI, C

w L40 EI , C

w120 EI L

w

120 EI L 2 L x 3 L x x

Solution :

1 작용하중 식 w x 2 휨 변형만 고려시 지배미분 방정식과 해

EI ddx w x EI

ddx

wL x 0

C C x C x C x C x

w xwL x

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1‐6

1.2 이산체로서의 구조해석 Discrete System 구조물은 여러 연속체의 결합입니다. 각각의 연속체의 경우 지배미분 방정식으로 해석이 가능하나 지배 미분 방정식의 해를 만드는 것은 너무 복잡하고 또 가능한 경우도 적어 실질적으로 불가능합니다. 그러므로 구조물

을 연속체로 보지 않고 절점과 절점 사이를 부재로 연결한 이산체로 가정하고 해석을 합니다. 이산체로서의 구조해석을 하기 위하여는 절점과 절점 사이의 부재의 강성 매트릭스 또는 연성 매트릭스를 미리 알고 있어야 합니다. 이산체로서의 구조해석을 하였을 경우 구조물 해석은 연립방정식의 해를 푸는 것이며 해석 결과는 절점

에서의 변위와 내력의 값으로 나옵니다. 일반적으로 절점은 구조물이 불연속이거나 하중이 작용하는데 위치시

키며 부재 중간에 변위 또는 내력의 값을 알고 싶은 곳에 절점을 위치시키도 합니다. 구조 기술사 시험에서 구조계산 문제는 주로 부정정 구조물의 해석이며 대부분의 수험생들은 이산체로서의 구조해석법을 사용하여 해석합니다. 부정정구조의 해석법은 크게 변위법과 하중법으로 나누어집니다. 1.2.1 하중법 Force Method 또는 연성도법 Flexibility Method 가장 기본적인 구조해석법으로 미지수를 하중으로 놓고 해석하는 방법입니다. 평형방정식만으로 해석할 수 있는 구조물을 정정구조물 Statically Determinant Structure 라고 하며 평형방정식만으로는 해석이 불가능한 구조물을 부정정구조물 Statically Indeterminant Structure 라고 합니다. 하중법은 미지수가 하중이므로 정정구

조물 해석과 부정정구조물 해석의 절차가 다릅니다. 하중법으로 부정정구조를 해석시 미지의 단면력과 반력의 수가 사용가능한 평형방정식의 수보다 n 만큼 많을 경우 n차 부정정구조라고 합니다. n차 부정정구조를 해석하

기 위해서는 n개의 적합방정식이 필요합니다. 부정정도 Degree of Static Indeterminancy : SI 는 다음과 같은 식으로 나타낼 수 있으며 그림 1.2‐1에서는 여러 종류의 부재에서 미지의 단면력의 수를 보여주었습니다. 이러한 미지의 단면력들은 2개 이상의 부재가 연결된 절점의 FBD에서 평형 방정식을 만족시켜야 합니다. 부재를 연결

하는 절점이 강절점일 경우 3개의 평형 방정식이 사용가능하며 힌지일 경우 2개의 평형 방정식이 사용가능 합니다. 지점 반력은 지점과 연결된 부재의 한 절점에 있는 부재력과 동일하므로 반력을 따로 고려하지 않아도 됩니다. SI 미지의 단면력 수 연결된 절점에서 미지의 반력 수 연결된 절점에서 사용 가능한 평형 방정식의 수

S

S S S

S

S 절점 i : 강절점

부재 단면력 수 6 , 평형방정식 수 3

미지의 단면력 수 6 3 3

S

SSS

S



a 강절점 사이의 부재 b 강절점과 힌지 사이의 부재

S

S

S

S



c 힌지 사이의 부재 : 트러스 부재

S

S

절점 j : 롤러



d 강절점과 롤러 사이의 부재

S

절점 j : 강절점 절점 i : 강절점 절점 j : 힌지

절점 i : 힌지 절점 j : 힌지 절점 i : 강절점

그림 1.2‐1 부재에서 미지의 단면력 수

S

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1‐7

부정정구조 해석시 하중법에는 변위일치법, 최소일의 원리, 삼연모멘트법, 기둥 유사법과 매트릭스 응력법 등이 있습니다. 그 중에서 최소일의 원리는 부재의 일반적인 강성 매트릭스가 존재하지 않다고도 할 수 있는 아치 구조물 해석시 주로 사용되며 1.3 에너지 방법에서 설명하겠습니다. 이 절에서는 가장 대표적인 하중법이라고 할 수 있는 변위일치법을 설명하겠습니다.

그림 1.2‐2 a 에서 2경간 연속보를 보여줍니다. 부재 AB는 강절점과 힌지사이의 부재이고 부재 BC 는 강절과 롤러를 연결하는 부재이므로 미지의 단면력 수 2 1 3 입니다. 절점 B 만 연결된 절점이므로 사용가능한 평형 방정식의 수는 3 이고 연결된 절점의 미지의 반력 수는 1 입니다. 그러므로 부정정 차수 SI 3 1 3 1 입니다. 원래의 부정정구조물에서 부정정력을 모두 제외한 정정구조물을 기본구조물이라고 하며 기본구조물에 외력만 작용하였을 경우 변위와 부정정력만 작용하였을 경우 변위를 중첩시키면 원래 구조물의 변위를 구할 수 있습니다. 재료역학에서 배운 연성도 flexibility f 를 사용하여 지점 B의 수직방향 변위를 구하면 기본구조물에

외력만 작용하였을 경우 B의 변위 ∆B fBD P 이고 부정정력만 작용하였을 경우 B의 변위 ∆B fBB VB 입니다.

지점 B는 이동하지 않아므로 구조해석을 위해 필요한 적합방정식은 ∆B ∆B 이고 각각의 변위를 대입하면 풀

면 미지수인 부정정력 VB fBB fBD P 입니다. 부정정력을 구하기 위한 식 속에 연성도가 있으므로 하중법을 연성도법이라고도 합니다.

Solution :

1 미지의 단면력 수 3 9 2 4 1 1 36

강절점과 힌지 사이의 부재 수 4강절점 사이의 부재 수 9 강절점과 롤러 사이의 부재 수 1

예제 1.2‐1 from 토목구조기술사 80회 1‐5

Given : P

P

Req’d : 부정정 차수

P

VB

∆B

그림 1.2‐2 변위 일치법

a 2경간 연속보 b 외력 작용시 B의 변위

A B C

P ∆B

c 부정정력 작용시 B의 변위

D

[email protected]

1‐8

1.2.2 변위법 Displacement Method 또는 강성도법 Stiffness Method 미지수를 변위로 놓고 해석하는 방법을 변위법이라고 하며 고차의 부정정 구조를 해석하기 위한 가장 일반적인

해석법입니다. 변위법에는 처짐각법, 모멘트 분배법, 매트릭스 변위법과 유한요소법 등이 있습니다. Sidesway

가 발생하는 평면 프레임의 수계산시 가장 일반적으로 사용되는 처짐각법은 축방향 변형이 없는 보 요소를 사용

할 경우의 매트릭스 변위법과 매우 유사한 해석 방법입니다. Cross Hardy가 개발한 모멘트 분배법은 20세기 초

반 구조해석에 획기적인 전환점을 마련한 구조해석법으로 기본적으로 처짐각법에서 발생하는 연립방정식을

시행오차에 의해 풀어내는 방법입니다. 물리적으로는 각 절점에서 모멘트의 흐름을 몸으로 익힐 수 있는 방법

이나 컴퓨터 시대에는 적합하지 않은 풀이법이라서 근래에는 널리 쓰이지는 않고 있습니다. 유한요소법은

1960년부터 개발되기 시작한 비교적 새로운 해석방법으로 컴퓨터의 발전과 함께 여러 분야에서 사용되는 해석

법입니다. 대부분의 구조해석 프로그램들이 유한요소법으로 프로그래밍되어 있으므로 유한요소법에 대한 기

본적인 이해는 구조인으로서 꼭 알아두어야하는 필수 사항입니다. 유한요소법에서 요소의 강성매트릭스는 형

상함수 shape function 과 에너지법을 사용하여 유도됩니다. 필요한 적합 방정식의 수를 부정정도에 의하여 결정하는 하중법과는 다르게 변위법에서는 이동가능한 변위의

수를 의미하는 자유도 Degree of Freedom : DOF 에 의해서 연립 방정식의 수가 결정됩니다. 기본적으로 하나의

절점은 입체 구조물의 경우 6개의 자유도 r , r , rZ , θ , θ , θ 를 가지고 평면 구조물의 경우 3개의 자유도

r , r , θ 를 가집니다. 평면구조에서 내측 힌지 절점의 경우 2개의 자유도 r , r 를 가집니다. 지점이 힌지인

경우 1개의 자유도 θ 를 가지며 지점이 롤러인 경우 2개의 자유도 r or r , θ 를 가집니다. 구조물의 각각의

절점에서 이동 또는 회전이 가능한 변위의 총합이 자유도입니다. 그림 1.2‐3 에서 여러가지 종류의 구조물에서

자유도를 보여주었습니다.

2 연결된 절점에서 사용 가능한 평형 방정식 수 3 8 2 1 26

연결된 힌지 절점 수 1연결된 강절점 수 8

3 연결된 절점에서 미지의 반력수 0

4 부정정 차수 SI 36 0 26 10

[email protected]

1‐9

대부분의 평면 프레임 구조의 해석시 부재의 축방향 변형이 전체 구조의 해석에 미치는 영향은 매우 작습니다.

그러므로 기술사 시험 등 수계산을 할 경우 계산의 편리를 위하여 부재의 축방향 변형을 무시하고 해석합니다.

이런 종류의 변형 제약을 부재의 내적 구속조건이라고 합니다. 이러한 부재의 내적 구속조건에 의하여 DOF는

독립변위와 종속변위로 나누어질 수 있으며 수계산시 독립변위만을 가지고 해석합니다. 독립변위와 종속변위

의 자세한 설명은 2.2에서 설명하겠습니다. 그림 1.2‐4에서는 여러 경우의 구조에서 축방향 변형을 무시하였을

경우 독립변위r 과 종속변위 y 를 보여줍니다.


Given : 예제 1.3‐1와 동일한 구조물

Req’d : 자유도

r r y r

yr r

y

y r r

y

a DOF 2 b DOF 3 c DOF 2

그림 1.2‐4 축방향 변형이 구속되어 있을 경우 DOF

r

r r

y

d DOF 3

r

r

e DOF 4

r

r

f DOF 4

y y yr

r

y

rr

y

y y

y

r r r r

rr r

r

r r r

r

a DOF 3 b DOF 5 c DOF 4

그림 1.2‐3 여러가지 구조에서 DOF

r

r r

r

d DOF 6

r

r r

e DOF 6

r

r r r

f DOF 7

r r r r

r

r r

rr

[email protected]

1‐10

1 자유도 3 8 2 1 2 1 28

힌지 절점 수 1강절점 수 8

Solution :

롤러 지지점 수 1

[email protected]

1‐11

1.3 에너지 방법 Energy Method 에너지 방법은 기초적인 역학부터 고급 역학까지 광범위한 범위에서 구조해석에 사용되는 식의 유도에 사용되

고 구조해석에 직접적으로 사용되기도 합니다. 에너지 방법에는 가상일의 원리인 가상변위의 방법과 가상힘의 방법, Clapeyron 정리, Engesser‐Crotti 정리, Castigliano 제1정리와 제2정리, 최소일의 원리, Maxwell‐Betti 상반

정리와 최소 포텐셜에너지 원리 등이 있습니다. 이 노트에서 매트릭스 변위법은 가상변위의 방법을 사용하여 유도되었고 매트릭스 응력법은 가상힘의 방법을 사용하여 유도되었습니다. 유한요소해석에서 대부분의 요소

들은 최소 포텐셜에너지 원리를 사용하여 강성 매트릭스가 유도되었습니다. 에너지 방법을 사용하기 위해 먼저 일 work 과 변형에너지 strain energy 에 대한 개념부터 먼저 수립되어야 합니다. 1.3.1 일 Work & 상보일 Complementary Work

그림 1.3‐1 a 에서 힘 에 의해 하중의 작용점 A가 B로 이동하는 변위 가 발생할 경우 벡터 와 벡터 의 스칼라 곱을 일이라고 정의합니다. 이 노트에서는 구조물의 정적 거동만을 고려할 것이므로 그림 1.3‐1 b 와 같이 0에서부터 점진적으로 증가할 것입니다. 힘 P가 ∆ 의 증분 d∆ 에 한 미소일 dW 는 다음과 같이 정의합니다. dW · d P d∆ 미소일 dW 를 적분하면 일 W 이 구해집니다. W dW P d∆

그림 1.3‐1 c 에서 상보일 complementary work W 을 보여줍니다. 상보일은 특정한 물리적인 의미는 없으나 역학의 여러방면에서 사용하는 개념입니다. 미소 상보일 dW 는 다음과 같이 정의합니다. dW · d ∆ dP 미소 상보일 dW 를 적분하면 상보일 dW 이 구해집니다. W dW ∆ dP

힘과 변위의 관계가 선형인 경우 일과 상보일은 같은 값이며 다음과 같습니다.

W W P d∆ ∆ dP12 P ∆

힘과 변위는 크기와 방향을 가지고 있는 벡터이나 둘의 스칼라 곱인 일과 상보일은 모두 스칼라 양입니다. 일은 힘과 변위가 같은 방향일 경우 이고 반대 방향일 경우 ‐ 입니다.

∆

A

B

∆d∆

W

PW

∆

P

dP

b 일 : Work c 상보일 : Complementary Worka 하중 P 와 변위 u

그림 1.3‐1 일W와 상보일W

[email protected]

1‐12

선형 탄성체에 n 개의 외력이 작용하는 경우 각각의 외력은 0 에서부터 최종적인 외력 P , P , , P 까지 점진

적으로 증가합니다. 각각의 외력에 대응하는 변위가 ∆ , ∆ , , ∆ 이며 i 번째 외력 P에 대응하는 변위 ∆ 를 변위를 나타내는 함수 f 로 표현하면 ∆ f P , P , , P 입니다. 변위 ∆ 는 모든 외력의 함수이므로 일이나 상보일에 중첩의 원리를 적용할 수 없습니다. n 개의 외력이 한 일은 다음과 같습니다.

W W P d∆12 P ∆

12 P ∆

12 P ∆

변위를 함수 ∆ P 로 나타낼 경우 일은 다음과 같고 중첩이 불가능함을 수학적으로 알 수 있습니다.

W12 P ∆ P , P , , P

12 P ∆ P , P , , P

12 P ∆ P , P , , P

Solution :

1 선형 탄성체이므로 변위는 중첩의 원리를 사용하여 구할 수 있다.

∆ ∆ ∆ & ∆ ∆ ∆

2 일 Work

i case a : P & P 작용시 W A12 P ∆

12 P ∆

12 P ∆ ∆

12 P ∆ ∆

ii case b : P 작용시 W B12 P ∆

iii case c : P 작용시 W C12 P ∆

W A W B W C 중첩의 원리 적용 불가

예제 1.3‐1

Given : P

A B A B A B

∆

P

∆

P

∆ ∆ ∆ ∆

Req’d : 선형 탄성체인 구조에 외력 P 과 P 가 작용할 경우 변위는 다음과 같이 중첩을 하여 구할 수 있다. 외력에 의해 한 일은 중첩의 원리를 사용할 수 없음을 보이시요.

a b c

P

[email protected]

1‐13

1.3.2 변형 에너지 Strain Energy & 상보 변형 에너지 Complementary Strain Energy 외력에 의해 탄성체가 변형을 하였을 경우 외력이 한 일은 물체의 내부에 운동 에너지, 열 에너지 또는 변형 에너

지 형태로 변환됩니다. 이 노트는 정역학 범위내이므로 운동에너지와 열 에너지를 무시할 경우 외력이 한 일은 물체에 변형 에너지로 저장되며 탄성체에 발생하는 응력과 응력에 대응하는 변형률의 곱한 값으로 정의됩니다. 단위체적내에 변형에너지를 변형 에너지 밀도 strain energy density : U 라고 정의합니다. 변형에너지 밀도는 다음과 같은 식으로 표현합니다.

U σ dε σ dε σ dε σ dε τ dγ τ dγ τ dγ

탄성체 전 체적에 걸쳐 저장된 에너지를 변형 에너지 strain energy : U 라고 정의하며 다음과 같은 식으로 표현합니다.

U U dVV

σ dε dVV

그림 1.3‐2에서는 탄성체에 발생하는 응력과 변형률의 관계를 보여주며 일반적으로 응력을 변형률의 함수 σ ε 로 표현하지만 역으로 변형률을 응력의 함수 ε σ 로 표현할 수도 있습니다. 응력을 변형률의 함수로 표

현하고 그것을 단위체적내로 적분한 값을 상보 변형 에너지 밀도 complementary strain energy density :U 라고 정의하며 다음과 같은 식으로 표현합니다.

U ε dσ ε dσ ε dσ ε dσ γ dτ γ dτ γ dτ

상보 변형 에너지 complementary strain energy : U 는 상보 변형 에너지 밀도를 전 체적에 걸쳐 적분하여 구합

니다.

U U dVV

ε dσ dVV

그림 1.3‐2 b 와 같은 선형탄성 거동의 경우 변형 에너지 U 와 상보 변형 에너지 U 는 동일한 값을 가지게 됩니

다. 상보일과 마찬가지로 상보 변형 에너지도 물리적인 의미는 없으나 역학의 여러방면에서 사용되고 있는 개념입니다. 선형탄성체의 변형은 수직 변형률에 관련된 모양은 변하지 않고 크기만 변하는 변형 dilatation 과 전단 변형률

관 관련된 크기는 변하지 않고 모양만 변하는 변형 distortion 으로 이루어져있습니다. 선형탄성체에서 수직응

력에 대한 변형 에너지 밀도와 변형 에너지는 다음과 같습니다.

εdε

u

σ u dσ

그림 1.3‐2 변형 에너지 & 상보 변형 에너지

ε dε

U

σ

Udσ

a 변형 에너지 U b 상보 변형 에너지 U

[email protected]

1‐14

U σ dε E ε dεE ε2

σ2 E

12σ ε

U u dVV

σ2 E dVV

선형탄성체에서 전단응력에 대한 변형 에너지 밀도와 변형 에너지는 다음과 같습니다.

U τ dγ G γ dγG γ2

τ2 G

12 τ γ

U U dVV

τ2 G dV

V

이 책에서 다룰 기초적인 역학에서는 어느 한 점에서의 값인 응력을 사용하여 구조의 변형 에너지를 구하는 것보다 어느 한 단면의 stress resultants 인 단면력을 사용하여 구조의 변형 에너지를 구하는 것이 편리합니다. 단면력에는 축방향력, 전단력, 휨모멘트와 비틀림모멘트가 있습니다. 1 축방향력에 의한 변형 에너지

Uσ2 E dVV

12 E

N xA x A x dx

L

N x2 E A x A x dx

L

12

N xE A x dx

L dV A x dx

축방향력 N이 축방향으로 동일하고 길이가 L인 등단면 부재에 작용하여 축방향 변형이 ∆N 일 경우 변형 에너지

는 다음과 같습니다.

UN L2 E A

EA2 L ∆N

12 N ∆N

2 휨모멘트에 의한 변형 에너지

Uσ2 E dVV

12 E

M xI x y dV

L

12 E

M xI x y dA

A dx

L

12 E

M xI x I x dx

L

12

M xE I x dx

L

길이가 L인 등단면 부재에 휨모멘트 M x 가 작용하여 곡률이 x 일 경우 변형 에너지는 다음과 같습니다.

U1

2 E I M x dxL 1

2 M x M xEI dx

L 12 M x x dx

L EI2 x dx

L EI2

d ydx dx

L

3 St. Venant 비틀림에 의한 변형 에너지

Uτ2 G dV

V

12 G

T xJ x ρ dV

L

12 G

T xJ x ρ dA

A dx

L

12 G

T xJ x J x dx

L

12

T xG J x dx

L

길이가 L인 등단면 부재에 비틀림모멘트 T x 가 작용할 경우 변형 에너지는 다음과 같습니다.

U1

2 G J T x dxL

[email protected]

1‐15

St. Venant 비틀림 외에 뒴비틀림 Warping Torsion 에 의한 변형 에너지는 이 노트의 범위를 넘어가므로 참고서

적을 보십시요. 4 전단력에 의한 변형 에너지

Uτ2 G dV

V

12 G

V x Q xI x b x dV

L

V x2 G A x

A xI x

Q xb dA

A dx

L

αV x V x2 G A x dx

L

where, αV xA xI x

Q xb x dA

A 형상계수

형상계수 αV 는 단면의 형상에 의해 결정되는 값이며 그림 1.3‐3에서 여러 종류의 단면에서 형상계수 값을 보여

줍니다.

길이가 L인 등단면 부재에 전단력 V x 가 작용할 경우 변형 에너지는 다음과 같습니다.

UαV2 G A V x dx

L

일과 마찬가지로 선형 탄성체의 변형에너지는 중첩의 원리를 적용하여 구할 수 없습니다. 변형 에너지는 단면

력의 제곱을 적분하여 구하므로 수학적으로 다음과 같이 보여줄 수 있습니다. S S dx S dx S dx

a 직사각형 단면 αV65 b 원형 단면 αV

109

c 원형 중공 단면 αV 2

d I 형 단면,채널 단면, 박스 단면 αVA

A

그림 1.3‐3 형상계수 αV

[email protected]

1‐16

1.3.3 가상 변위의 원리 The Principle of Virtual Displacement 가상일의 원리 Principle of Virtual Work 는 구조역학에서 가장 많이 쓰이는 원리 중 하나입니다. 이 노트에서 가상일의 원리는 매트릭스 변위법과 매트릭스 응력법 그리고 유한요소 해석 등에서 사용될 것입니다. 가상일의 원리는 가상변위의 방법과 가상힘의 방법이 있습니다. 가상변위의 방법은 일 Work 에 대한 것이고 가상힘의 방법은 상보일 Complementary Work 에 대한 것이므로 일부 책에서는 가상변위의 방법을 가상일의 원리라고 하고 가상힘의 방법은 가상상보일의 원리라고 명칭하기도 합니다. 여기서 가상변위는 실제 변위와 무관한 가상

의 변위로서 지점의 경계조건과 변형률 적합조건을 위반하지 않고 가상변위에 의해 가상일이 발생하는 동안 작용하중에 변화는 없습니다. 가상변위의 방법은 강체에 적용하는 경우와 변형체에 적용하는 경우가 있으며 그 원리는 동일합니다. 1 강체에 적용하는 경우 for rigid body 평형상태에 있는 강체에 경계조건에 적합한 가상변위를 가했을 경우 실제 외력이 가상변위에 의한 가상일은 0 이다. 즉 이다. 그림 1.3‐4 a 에서와 같이 절점에 F , F , F 의 힘이 작용하고 이 절점에 가상변위 δr 를 줍니다. 외력 총합의 가상변위 방향 분력을 F 이라고 하면 가상일은 다음과 같습니다. F F F F · n

δW F δ 0 F 0 평형방정식 2 변형체에 적용하는 경우 for deformable body 평형상태에 있는 변형체에 경계조건과 변형률 적합조건에 적합한 가상변위를 가했을 경우 실제 외력이 가상변

위에 한 외적 가상일과 내력이 가상변위에 한 내적 가상일의 합은 0 이다. 즉 이다. 그림 1.3‐4 b 에서와 같이 변형체의 한 절점에 외력 FE , FE , FE 과 내력FI , FI , FI 이 작용하고 이 절점에

가상변위 δr 를 줍니다. 외력의 총합의 가상변위 방향 분력이FE 이고 내력의 총합의 가상변위 방향 분력이 FI

이면 가상일은 다음과 같습니다. FE FE FE FE · n

FI FI FI FI · n

δW δWE δWI FE δ FI δ FE FI δ 0 FE FI 0 절점에서 평형방정식

δ

F

F F

F F

FEFE

FE

FE

FI

FIFI

FI

FE FI

δ

a 강체의 절점 b 변형체의 절점

그림 1.3‐4 가상변위 방법

[email protected]

1‐17

가상변위의 방법은 다음과 같은 특징이 있습니다.

‐ 어떠한 응력‐변형률 관계에서도 적용 가능합니다. 예 : 소성해석

‐ 가상변위는 실제 변위와 무관하므로 대변형에서도 적용가능합니다.

‐ Non‐conservative system에서도 적용 가능합니다.

‐ 적용시 제한은 단지 가상변위가 단부조건과 변형률 적합조건에 적합하다는 것 한가지입니다.

‐ 앞의 증명에서 알 수 있듯이 가상변위에 방법은 평형 방정식을 유도합니다. 예 : 매트릭스 변위법 유도

4 B에 수직방향으로 가상변위 δV를 준다.

P δW P

13 δV w

12 δV 30 VB δV 0

VBP3 15 w

δV

13 δV

VB

VA

HA

23 δV

Solution :

1 가상변위의 방법을 사용하라고 문제에서 주어진 경우 평형방정식을 사용하면 안된다.

2 A에 수직방향으로 가상변위 δV를 준다.

P

δW P13 δV VA δV w

12 δV 30 0

VAP3 15 w

δV

13 δV VB

VA

HA

δV

3 A에 수평방향으로 가상변위 δH를 준다.

P δH VB

VA

HA

δW P δH HA δH 0

HA P

23 δV

w w

예제 1.3‐2

Given :

A

B

10 m

10 m P

Req’d : 가상변위의 방법을 사용하여 반력을 구하시오.

30 m

w

[email protected]

1‐18

2 C에 가상변위 δC 를 작용시키면.

VB

∆C

P 12 ∆C

VC

δC 12 δC

δW P δC VB12δC VC δC k ∆C

12 δC k ∆C δC P

32 k ∆C δC 0

δC 0 이므로, ∆C 2 P3 k

Solution :

1 적합조건에 따라 보에 작용하는 힘을 계

VB

∆C

P 12 ∆C

VC

VB 2 k12∆C k ∆C , VC k ∆C

예제 1.3‐3 from 토목 구조기술사 79회 3‐6

Given :

2 k k

A B C

P

보 AC는 강체

Req’d : 가상변위의 방법을 사용하여 C의 처짐을 계산하시오.

[email protected]

1‐19

1.3.4 가상힘의 원리 The Principle of Virtual Force 변형체에서 변위와 변형률이 적합할 경우 가상 외력이 실제 변위에 한 외적 가상 상보일과 가상 내력 또는 가상 응력 이 실제 변형 또는 실제 변형률 에 한 내적 가상 상보일의 합은 0이다. 즉 이다 외력 traction force 와 body force 로 외적 가상 상보일을 표현하면 다음과 같습니다.

δWE · ∆ dVV

· ∆ dSS

δfB ∆ dVV

δσ n ∆ dSS

·

δWE 의 우측항에 그린의 공식을 적용하면

δσ n ∆ dSS

∂δ σ ∆∂x dV

V

∂δσ∂x ∆ dV

Vδσ

∂∆∂x dV

V

∂δσ∂x ∆ dV

Vδσ ε dV

V

δWE δfB ∆ dVV

∂δσ∂x ∆ dV

Vδσ ε dV

V

내적 가상 상보일은 다음과 같습니다.

δWI δσ ε dVV

가상상보일은 다음과 같습니다.

δW δWE δWI δfB ∆ dVV

∂δσ∂x ∆ dV

Vδσ ε dV

Vδσ ε dV

V

δfB∂δσ∂x ∆ dV

V0 δfB

∂δσ∂x 0 평형 방정식

가상힘의 원리는 가상 상보일에 대한 것이므로 상보 가상일의 원리 The Principle of Complementary Virtual Work 이라고도 합니다. 가상변위의 원리가 평형조건을 유도하는 것과 달리 가상힘의 원리는 적합조건식을 유도하므로 응력법의 기본 원리가 됩니다. 기초적인 구조역학에서는 물체의 체적과 관련된 fB 0 이고 응력 대신 단면력을 그리고 변형률 대신 변형을 사용하여 가상힘의 원리를 표현합니다. 단면력을 S 그리고 단면에서 변형을 v 라고 하면 가상힘의 원리는 다음과 같습니다.

선형 탄성체일 경우 가상힘은 다음과 같습니다. 적색 글자체는 가상의 힘과 단면력을 청색 글자체는 실제 변위

와 변형을 나타냅니다.

δP ∆ δN x d∆NL

δN x N xEA dx

L

1EA δN x N x dx

L

δM θ δM x dθL

δM x dθdx dxL

δM x d ydx dx

LδM x

M xEI dx

L

1EI δM x M x dx

L

단위하중법은 선형탄성체에 가상힘의 원리를 적용한 것으로 ∆P 1 또는 ∆M 1 을 사용하여 실제 처짐을 구하

는 방법입니다. 다수의 변위를 구해야할 경우 변위의 수만큼 단위하중법을 수행하여야 합니다.

δP ∆ δS v

가상힘‐가상단면력

실제 변위‐실제 변형

δWE δP ∆

δWI δS v

δWE δWI 0

[email protected]

1‐20

Solution :

1 보의 단면 이차모멘트

C I

IAC IBC

x x

2 I IAC I 2

xL

IBC I 1xL

2 실제 휨모멘트

C

MAC MBC

x x

M M MAC MBC M

예제 1.3‐5 from 토목구조 기술사 86회 1‐13

Given :

A B C

M M2 I

I

L3

2 L3

Req’d : C에서의 처짐이 ∆C 일 경우 A와 B의 작용 모멘트M

보의 단면이차모멘트가 A에서 C로 선형변화

δM θC δPH ∆H δPV ∆V 2 M LEI δMC

3 M L2 EI δPH

M LEI δPV

δM , δPH , δPV 는 임의적이고 서로 독립이므로 θC2 M LEI , ∆H

3 M L2 EI , ∆V

M LEI

3 가상힘의 원리

δM θC δPH ∆H δPV ∆V 1EI δMCB MCB dx

L 1EI δMBA MBA dx

L

1EI δMC δPH x M dx

L 1EI δMC δPH L δPV L M dx

L

Solution :

1 실제 휨모멘트 M

MCB x

MBA MCB M

MBA M

δPHM

2 가상힘 δMC , δPH , δPV

x

δMCB δMC δPH x δMBA δMC δPH L δPV L

δMC

δPV

δMBA

δMCBx x

예제 1.3‐4

Given :

Req’d : 가상힘의 방법을 사용하여 C의 수평처짐과 수직 처짐과 회전각을 구하시오.

A B

C M

EI constant

L

L

[email protected]

1‐21

Solution :

1 부재 CB의 단면력

q ds sin θ

θ q ds cos θ

θ

θ

q

MCB

VCB

NCBO

C

θ

FX 0 ; NCB cos θ VCB sin θ q ds cos θ NCB cos θ VCB sin θ q cos θ L dθ 0

FY 0 ; NCB sin θ VCB cos θ q ds sin θ NCB sin θ VCB cos θ q sin θ L dθ 0

M@ O 0 ; MCB NCB L q ds L MCB NCB L q L dθ 0

3개의 식을 연립해서 풀면, NCB q L sin θ , VCB q L 1 cos θ , MCB q L – θ sin θ

VCB

NCB

예제 1.3‐6 ***

Given :

Req’d : BC 부재가 축방향 등분포하중을 받고 있을 경우 가상힘의 방법을 사용하여 C의 회전각, 수평처짐과 회전

각을 구하시오. 단 부재의 축방향 변형과 휨변형만을 고려하시오.

A B

C q

구조는 선형탄성체

EI constantEA constant

2 L

2 L R L O

3 가상힘에 의한 단면력

C

δMAC δMBC

x x

δP

δMAC2 δP3 x , δMBC

δP3 x

2 δP3

δP3

WE δP ∆C

WI δMAC MAC

E IACdx

L

δMBC MBC

E IBCdx

L

MEI δP

2 x

3 2 xLdx

L

x

3 1 xLdx

L

M LEI δP

13 4 ℓ 2L 5ℓ 5L ℓ 5L 5ℓ 3

M L3 EI δP 4 ℓ 2L ℓ 5L ℓ L ℓ 5L 5ℓ 3

M L3 EI δP 4 ℓ

25 ℓ

15 5ℓ 3

M L3 EI δP 0.07282

WE WI M 13.7325EIL ∆C


[email protected]

1‐22


δM θC δPH ∆H δPV ∆V 1EI δMBA MBA dx

L 1EA δNCB NCB L dx

1EI δMCB MCB L dx

π 2 q L

2 EI δMCπ 4 q L

2 EI δPHπ q L2 EA

9π 32 q L6 EI δPV

δM , δPH , δPV 는 임의적이고 서로 독립이므로

θCπ 2 q L

2 EI , ∆Hπ 4 q L

2 EI , ∆Vπ q L2 EA

9π 32 q L6 EI

δMCB δVCB

O

θ

δNCB

δMC

δPV δPH

M@ 0 ; δM δPV L sin θ δPH L 1 cos θ δMCB 0

δMCB δM δPV L sin θ δPH L 1 cos θ

M@ O 0 ; δM δPH L δMCB δNCB L 0

δM δPH L δM δPV L sin θ δPH L 1 cos θ δNCB L 0

δNCB δPV sin θ δPH cos θ

3 가상 부재력

x

δMBA

δPHδMC

δPV

F 0 ; δNBA δPH

M@ 0 ; δM δPH 2 L δPV x δMBA 0

δMBA δM δPV x 2 L δPH

δNBA

2 부재 BA의 단면력

x

MB M π q π R q π L

VB V π 2 q R 2 q L

NB N π 0

MBA q π L 2 q L x , NBA 0

q π L

2 q L MBA

[email protected]

1‐23

1.3.5 Clayperon 정리 초기 응력과 온도 변화가 작용하지 않는 선형탄성체에 외력이 작용할 경우, 외력이 한 일과 탄성체에 저장된 변형 에너지는 같다. 즉 이다.

그림 1.3‐6 a 의 선형 탄성 구조물에 외력 P가 작용하여 P 방향으로 변위 ∆가 발생할 경우 외력이 한 일과 구조

물에 저장되는 탄성에너지는 다음과 같습니다.

WE12 P ∆

U12

N xE A x dx

L

12

M xE I x dx

L

12

T xG J x dx

L

αV x V x2 G A x dx

L

Solution :

1 휨변형에 의한 처짐만 고려한다.

∆

P

2 외력이 한 일WE

WE12 P ∆

4 변형 에너지 U

U1

2 E I M x dxL 1

2 E I P x dxL P L

6 E I

3 휨모멘트.

P M

M P xx

5 WE U

12 P ∆

P L6 E I ∆

P L3 E I

예제 1.3‐7

P

L

EI constant

Given :

A B

Req’d : Clayperon 정리를 사용하여 B의 처짐 계산

WE

b 외력이 한 일WE

∆

P P

∆ a 선형탄성체의 외력 P와 변위 ∆

WE

그림 1.3‐6 선형탄성체의 외력‐변위 및 외력이 한 일

[email protected]

1‐24

1.3.6 Castigliano 제1정리 평형상태에 있는 탄성체에 외력들이 작용할 경우, 특정한 외력은 변형 에너지를 특정한 외력 방향의 변위로 편미분한 값이다.

∆

Castigliano 제1정리는 가상변위의 방법을 탄성체에 적용하여 유도할 수 있습니다. δWE P δ∆ & WI δU

δWE δWI 0 P δ∆ δU∂U∂∆ δ∆ P

∂U∂∆

그림 1.3‐7에서 탄성체에 1개의 힘 P가 작용시 미소 일 dW과 미소 변형 에너지 dU는 동일하다는 것을 이용하여 Castigliano 제1정리를 더욱 간단하게 유도하였습니다.

Castigliano 제1정리는 비선형 탄성체에서도 적용이 가능하나 변형 에너지 U를 변위의 함수로 표현하기가 어렵

습니다.

Solution :

1 ∆ 0 & ∆ 0 ∆√2

2 ∆ 0 & ∆ 0

∆

∆

∆√2

3 부재 변형 v

vAC ∆

vBC∆√2

∆√2

예제 1.3‐8

Given :

L

A

B

L

P C

PA

B

∆

C∆

a 외력 b 변위

Req’d : 트러스 구조 변위가 ∆ , ∆ 일 경우 Castigliano 제1정리를 사용하여 외력 P 과 P 를 구하시오.

EA constant

d∆

dW dU

P

그림 1.3‐7 미소 일 dW

dW P d∆ dU

PdUd∆

[email protected]

1‐25

5 계산의 편리를 위해 Sine 함수를 사용할 경우

∆ sinπL x U

22 EI M x dx

L1EI EI

ddx dx

Lπ EI ∆4 L

PdUd∆

dd∆

π EI ∆4 L

π EI ∆2 L 오차

π2 4848 100 1.468 %

4 Castigliano 제1정리

PdUd∆

dd∆

24 EI ∆L

48 EI ∆L

3 휨에 의한 변형 에너지 U

U22 EI M x dx

L1EI EI

ddx dx

L24 EI ∆

L


i A에서 보의 처짐은 0 이므로 0 0 C 0

ii C에서 보의 처짐은 ∆ 이므로 L2 ∆ C

C L2

C L4

C L8 ∆

iii C에서 보의 처짐각은 0 이므로 d L

2dx 0 C C L

3 C L4 0

iv A에서 휨모멘트는 0 이므로 EI d L

2dx 0 2 EI C 0

4개의 식을 연립해서 풀면, C 0 , C3 ∆L , C 0 , C

4 ∆L y

3 ∆L x

4 ∆L x

Solution :

1 집중하중이 작용하므로 C C x C x C x 0 xL2

예제 1.3‐9 ***

Given :

∆ L2

L2

EI constant

Req’d : Castigliano 제1정리를 사용하여 하중 P를 구하시오.

A B C

P


P∂U∂∆

∆ ∆ EA2√2 L

, P∂U∂∆P

√2 ∆ 4 √2 ∆ EA4 L

UN L2 EA

12 EAL ∆

EA2

vACL

vBC√2 L

EA2

∆L

∆√2

∆√2

1√2 L


[email protected]

1‐26

1.3.7 Engesser‐Crotti 정리 & Castigliano 제2정리 i Engesser‐Crotti 정리 평형상태에 있는 탄성체에 외력들이 작용할 경우, 특정한 변위는 상보 변형 에너지를 특정한 변위 방향의 외력

으로 편미분한 값이다.

∆

Engesser‐Crotti 정리는 가상힘의 방법을 탄성체에 적용하여 유도할 수 있습니다. δWE ∆ δP & WI δU

δWE δWI 0 ∆ δP δU∂U∂P δP ∆

∂U∂P

∆ ∂U∂P

그림 1.3‐7에서 탄성체에 1개의 힘 P가 작용시 미소 상보일 dW 와 미소 상보 변형 에너지 dU 가 동일하다는 것을 이용하여 Engesser‐Crotti 정리를 더욱 간단하게 유도하였습니다.

Engesser‐Crotti 정리는 비선형 탄성체에서도 사용이 가능하나 상보 변형 에너지를 구하는 것이 어렸습니다. ii Castiglian 제2정리 평형상태에 있는 선형 탄성체에 외력들이 작용할 경우, 특정한 변위는 변형 에너지를 특정한 변위 방향의 외력

으로 편미분한 값이다.

∆

Castiglian 제2정리는 Engesser‐Crotti 정리를 선형 탄성체에 적용한 것입니다. 선형 탄성체의 경우 변형 에너지

와 상보 변형 에너지가 동일하므로 U U 상보 변형 에너지 대신 변형 에너지를 사용하여 Engesser‐Crotti 정리를 표현한 것입니다. Castigliano 제2정리는 선형 탄성체에만 적용할 수 있다는 한계에도 불구하고 하중을 사용하여 변형 에너지를 구하기 쉽다는 편리성 때문에 가장 많이 사용되고 있는 정리입니다. 특히 하중법인 변위

일치법으로 부정정 구조를 해석시 정정구조인 기본 구조물의 변위를 구하는데 많이 사용되고 있습니다. 변형에

너지를 적분하여야 하는 경우 계산의 편리를 위해 적분식 안의 단면력의 제곱을 미리 외력으로 편미분한 식을 사용하기도 합니다. 등단면일 경우 더욱 간단하게 다음과 같이 표현할 수 있습니다.

∆ ∂U∂P

1EA N x

∂N x∂P dx

L

1EI M x

∂M x∂P dx

L

1GJ T x

∂T x∂P dx

L

αVGA V x

∂V x∂P dx

L

∆

dPdW dU

dW ∆ dP dU

∆dUdP

그림 1.3‐8 미소 상보일 dW

[email protected]

1‐27


∆∂U∂P

1 2√2 P P LEA , ∆

∂U∂P

P P LEA


UN L2 EA

12 EA NAC L NBC √2 L

12 EA √2 P L P P √2 L

Solution :

1 부재력

P @ joint C

P NAC

NBC

FY 0 ; PNBC√2

0 NBC √2 P

FX 0 ; NACNBC√2

P NAC P P 0

NAC P P

예제 1.3‐10

Given :

L

A

B

L

P

C P

A

B

∆

C∆

a 외력 b 변위

Req’d : 트러스 구조에 P 과 P 가 작용할 경우 Castigliano 제2정리를 사용하여 C의 변위 ∆ , ∆ 를 구하시오.

EA constant

[email protected]

1‐28

1.3.8 최소일의 정리 Least Work Theorem 선형 탄성인 부정정구조물에 외력이 작용할 경우 이 외력과 평형을 이루는 단면력 그리고 부정정력들의 조합 중에서 연속 및 적합을 만족시키는 부정정력의 조합은 변형에너지가 최소인 경우이다.

최소일의 정리를 잘 설명한 책이 참고서적 1.1 심재수, 변형도로 배우는 구조역학 입니다. 참고서적 1.1의 최소일의 정리의 설명을 직접 인용하면다음과 같습니다. 따옴표 안의 글이 인용한 부분입니다. 최소일의 정리는 Castigliano 제2정리와 매우 유사합니다. Castigliano 제2정리에서 변형에너지를 외력으로 편미

분하면 외력 방향의 변위가 구해지며 변위일치법에서는 이 변위를 적합조건식에서 사용합니다. “최소일의 정리

에서는 변형에너지를 부정정력으로 한번 편미분하면 부정정력에 대응하는 상대 변위는 0 이 됩니다. 상대변위가 0 이라는 의미는 지점침하나 온도변화의 영향은 고려하지 않고 자기평형 self‐equilibrium 상태의 부정정력에 의한 변위와 외력에 의한 변위만을 고려하므로 부정정력에 대응하는 변위가 연속임을 의미합니다.” 부정정구조 해석시 최소일의 정리는 이미 적합조건식을 포함하고 있으므로 Castigliano 제2정리로 변위를 찾아서 적합조건을 세워야하는 변위일치법보다 편리합니다. 최소일의 정리를 부정정력 방향으로 변위가 존재하지 않는 구조물의 해석시 적용하는 Castigliano 제2정리의 특수한 경우라고 언급하고 온도하중이 작용하거나 지점 이동이 있는 부정정구조의 해석시에는 사용할 수 없다고 언급한 책들도 있고 나름 이유있는 설명이기도 합니다. 이 노트에서는 변형 에너지를 외력으로 편미분하여 외력 방향의 변위를 구할 경우는 Castigliano 제2정리라고 하고 변형 에너지를 부정정력으로 편미분할 경우에는 최소일의 정리라고 하겠습니다. 최소일의 정리가 부정정력은 변형에너지를 최소로 만든다는 정의에 주안점을 두면 Castigliano 제2정리와 차이점이 있다는 것을 알 수 있습니다. 최소일의 정리는 약간의 주의만 기울이면 온도 변화 또는 지점 이동이 있는 부정정구조의 해석에서도 사용할 수 있습니다.

δWE ∆ δX δX ∆ δU∂U∂X δX

∆ ∂U∂X ∆ 0 부정정력에 의한 상대처짐은 0 이다. 즉 최소일의 정리입니다.

그림 1.3‐9에서 contact gap 가 존재하는 구조물을 보여줍니다. 지점침하의 경우와 같은 방법으로 contact gap

구조에 최소일의 정리를 적용할 경우 다음과 같습니다. ∂U∂X ∆ 0

∂U∂X ∆ &

∂U∂X ∆ 0

∂U∂X ∆

a 의 경우 ‐ 가 붙는 이유는 부정정력과 변위 ∆ 과 부정정력의 방향이 반대이기 때문입니다.

∆

∆

after loading

w

∆

∆

after loading

w

X Xa b

그림 1.3‐9 gap contact 구조

[email protected]

1‐29

적합조건을 그림을 통해 따로 구할 필요가 없다는 장점 때문에 최소일의 정리는 기술사 시험 등 수계산시 탄성 스프링이 달려있는 구조물, 온도 하중을 받는 구조물, 지점 이동이 있는 구조물 그리고 부정정 아치를 해석할 경우 널리 쓰이고 있습니다.


A

B

R 10 m

C

P 50 kN

EI 30000 kN · m

Given :

Req’d : M

3 적합조건식

∂U∂X

∂∂X U U

1EI MBA

∂MBA

∂X dxL 1

EI MCD ∂MCD

∂X dxL X

kS0

2 X P L3 EI

XkS

0 적합조건식

XP

3 EIkS L

2

kS ∞ XP2 & kS 0 X

P 3 EIkS L

2

P kS L3 EI 2 kS L

0

최소일의 정리는 적합조건이 포함되어 있으므로 그림을 그리지 않고 최소일의 정리만 사용한다.

Solution:

1 기본구조물과 부정정력 X

P

A

kS

X

DX

x

MBA

x

MCD 2 변형에너지 U

MBA P X x

MCD X x

U12 EI MBA dx

LMCD dxL

UX2 kS

예제 1.3‐11 from 토목 구조기술사 50회

Given :

P

A

Req’d : 스프링에 작용하는 힘을 부정정력으로 하여 적합조건식을 구하시오.

kS B

C D

L L

[email protected]

1‐30

3 변형 에너지

U12 X ∆H

X2 k

X R2 EI

U 12 EI M ds

12 EI M R dθ

Solution:

1 기본구조물과 부정정력 X

P X

2 휨모멘트

PXθ

MM@ 0 ; M X R sin θ P R 1 cos θ 0

M X R sin θ P R 1 cos θ


Given :

P

A

B

R

k

kEIR

EI constant

Req’d : A의 처짐

4 M

M 10 22.957 sin θ 250 1 cos θ 55.303 229.57 sin θ 250 cos θ 305.303

3 최소일의 정리

∂U∂X

2EI M

∂M∂X ds

2EI M

∂M∂X 10 dθ

1EI 500 π X 200 X 2500 0

∂U∂X

2EI M

∂M∂X ds

2EI M

∂M∂X 10 dθ

1EI 200 X 10 π X 5000 2500 π 0

2개의 식을 연립해서 풀면 X 22.957 , X 55.303 , X 0.1211 Q R

Solution :

1 기지의 반력 및 부정정력 X

C

P 50 kN

VA 25 VC 25

X XX X

2 휨모멘트

XXVA 25

θ

M

M 10 X sin θ 250 1 cos θ X

R 10 m

[email protected]

1‐31

3 휨모멘트

i 보 AC X MHA

x

VA1R X X

M@ 0 ; X1R X X x M 0

M X1R X X x

Solution :

1 부정정력 X

Q

X

X

X

X

2 반력

Q

X

X

X

X

HA

VA

HB

VB

M@B 0 ; HA R Q R X X 0

HA1R X X Q

FX 0 ; HB1R X X Q

FY 0 ; VA VB Q 0

X XHA

VA

M@ C 0 ; VA R X X 0

VA1R X X

VB1R X X Q


Given :

Q

B

A

R

EI constant

Req’d : A & B 의 휨모멘트와 C 의 처짐

C

EA ∞

5 A의 변위

∆HXk

2 Pπ 4

EIR

2 P Rπ 4 EI 0.2800

P REI

M2

π 4 P R sin θ P R 1 cos θ 이고 Castigliano 제2정리를 사용하면

∆V∂U∂P

1EI M

∂M∂P R dθ

∂∂P

2 Pπ 4

R2 EI

P REI

3 π 4 π 364 π 16 0.2162

P REI


∂U∂X

∂U

∂X∂U∂X

1EI M

∂M∂X R dθ

X REI 0

R4 EI π 4 X 2 P 0 적합조건식

X2 Pπ 4

[email protected]

1‐32

Solution :

1 기본구조물 & 부정정력

P

∆

X

2 휨모멘트

PM

x X

P M

x

M X x 0 x12

X

M X x P x12

12 x 1

예제 1.3‐15 from Boresi & Sidebottom, Advanced Mechanics of Materials Example 5.12 c

Given :

∆P L32 EI

A B P

L2

L2

Req’d : B의 지점침하가 발생시 B의 수직반력

5 C 의 처짐 계산

Castigliano 제2정리를 이용

M X1R X X x 0.1185 QR

1R 0.1185 QR 0.1211 QR x 0.1185 QR 0.0026 Q x

M X X X QR sin θ X X QR 1 cos θ 0.3318QR 0.1185QR 0.3318QR QR sin θ 0.1185QR 0.1211Q R QR 1 cos θ

∆V ∂U∂Q

1EI M

∂M∂X dx

RM

∂M∂X R dθ

0.0597 Q REI

3개의 적합조건식을 연립해서 풀면 X 0.1185 Q R , X 0.3318 Q R , X 0.1211 Q R

MA 0.1185 Q R , MB 0.3318 Q R

Tip : 최소일의 정리와 Castigliano 제2정리 모두 가상힘의 방법에서 유도가 가능하며 원칙적으로 상보 가상일과

상보 변형에너지에 대한 것입니다. 가상힘이 적합조건을 유도하므로 위의 3개의 식은 flexibility 를 포함한 적합

조건식입니다. 위와 같은 문제를 중간 검토하는 방법은 위의 3개의 식이 대칭이 되는지 확인하는 것입니다.


∂U∂X

1EI M

∂M∂X dx

RM

∂M∂X R dθ

REI 0.4749 X 0.1438 X 0.3015 X 0.1416 Q R 0

∂U∂X

1EI M

∂M∂X dx

RM

∂M∂X R dθ

REI 0.1438 X 0.3562 X 0.0708 X 0.1416 Q R 0

∂U∂X

1EI M

∂M∂X dx

RM

∂M∂X R dθ

REI 0.3105 X 0.0708 X 0.6895 X 0.1438 Q R 0

ii 아치 BC

X HB

VB

θ

M M@ 0 ; X HB R sin θ VB R 1 cos θ M 0

M X HB R sin θ HB R 1 cos θ

X X X Q R sin θ X X Q R 1 cos θ

[email protected]

1‐33

예제 1.3‐17 from 심재수, 변형도로 배우는 구조역학 예제 6.40

Given :

A

B C ∆T

∆T

L

L

E constant

AB & BC 부재의 휨 저항 단면

b

h

Req’d : B와 C의 휨모멘트

4 A 에서 휨모멘트

MA X x P x13

70 P 81135 1 P 1

13

4 P27

35


∂U∂X ∆

1EI M

∂M∂X dx M

∂M∂X dx ∆

1200 M

∂M∂X dx M

∂M∂X dx ∆ 0

14 P 27 X8100 0.005 X

70 P 81135

Solution :

1 부정정력 X P 2 휨모멘트

M

xX X

M X x 0 x13

M

x X

P P

M X x P x13

13 x 1


Given :

∆ 0.2 cmA B

C

23 m

Req’d : C가 지점과 접촉한 후 A의 휨모멘트를 구하시오.

EI 200 kgf · m

13 m

P


∂U∂X

1EI M

∂M∂X dx M

∂M∂X dx ∆

16 X 5 P L48 EI

P L32 EI 0

X7 P32

[email protected]

1‐34

Note

만약 변형에너지를 구한 후에 부정정력으로 편미분하는 식을 사용할 경우 온도하중은 점진적으로 작용한 하중

이 아니므로 온도하중이 직접 가해지는 부재의 휨에 대한 변형에너지의 계산에는 1 2 항이 존재하지 않는다.

온도하중을 받는 부재의 변형 에너지는 다음과 같다.

U∆T x M xL

dx

6 B와 C의 휨모멘트

MB MC3 EI α ∆T

2 h

∂U∂X

MEI

∂M∂X dx

L MEI T

∂M∂X dx

L 4 L3 EI X

2 α ∆T Lh X 0

X3 EI α ∆T

2 h


곡률 MEI 이므로

MEI

MEI M M

MEI T M 으로 표현 가능하다.

열을 받는 부재 BC의 경우 휨모멘트에 의한 곡률과 열에 의한 곡률이 존재한다.

3 휨모멘트 X

VA

HA

HC

M

M

x

x

M HA xXL x

M X

4 BC 부재의 열에 의한 곡률

h T2 α ∆Th

α ∆T

α ∆T

Solution :

1 부정정력 X

X

2 반력

X

VA

HA

HC M@C 0 ; HA L X 0

HAXL

FX 0 ; HB HAXL

FY 0 ; VA 0

[email protected]

1‐35

7 적합조건에 의한 스프링 강성 k

∆ ⁄ 14 ∆ ⁄

W LEI

5 k L 162 EI48 k L 144 EI

14

9 W L8 EI

k243 EI17 L

∆ ⁄ ∂U∂W

W LEI

5 k L 162 EI48 k L 144 EI

∆ ⁄ 9 W L8 EI

i 스프링이 있을 경우

ii 스프링이 없을 경우 k 0

6 자유단의 처짐

변형에너지 U 에 X 을 대입하면 UW LEI

5 k L 162 EI96 k L 288 EI


∂U∂X

LEI

4 X 7 W12

Xk 0 X

7 k W L4 k L 12 EI

3 스프링의 변형 에너지

UX2 k

4 보의 변형에너지

U U U12 EI M dx

. LM dx

. L

. L

X2 k

L

48 EI 8 X 28 W X 27WX2 k

kS VA

X

Solution :

1 부정정력 X 2 휨모멘트

x

M

W

W

i 0 x 0.5 L

M W x

W

X

M x

M W x X x 0.5 L

ii 0.5 L x 1.5 L

0.5 L L

k

w


Given : EI constant

Req d 1.5 L 인 캔틸리버 보에 수직 스프링을 설치시 자유단의 처짐이14 감소하였다. k 를 구하시오.

Answer k243 EI17 L

[email protected]

1‐36

4 최소일의 원리

1EI Mx

dMxdX dx

.Mx

dMxdX dx

.

.Mx

dMxdX dx

. dUAdX

dUBdX

dUCdX 0

1EI 1398.36 X 5.76825 10

1k 1.5 X 3000 0

그러므로 반력은 VA 3491.12, VB X 2017.76 , VC 491.12 kN

윗식을 풀면 X 2017.76

3 스프링의 변형 에너지

UAVA2 k

4500 X2

2 k , UBX2 k , UC

VC2 k

1500 X2

2 k

kS

부정정력을 X 으로 하면

kS kS

6000 kN

B C

VA X VC

Solution :

1 부정정력 X

VA 4500X2 , VB 1500

X2

2 휨모멘트

A

VA

Mx

VA

A

6000 kN

Mx C

VCx

Mx x

A

x

Mx VA x 4500X2 x

Mx VA x – 6000 x 10.16

4500X2 x – 6000 x 10.16

Mx VC x 1500X2 x

kS

A

kS kS

6000 kN

B C

10.16 m

10.16 m

20.32 m

EI 6912 10 kN · m

kS 62500 kN/m

예제 1.3‐19 from 옥재호 “토목구조기술사”, p.1076

Given :

Req’d : 반력

[email protected]

1‐37

1.3.9 최소 포텐셜 에너지 원리 Theory of Minimum Total Potential Energy 물체의 경계조건을 만족시키는 모든 변위 중에서 평형 조건을 만족시키는 변위는 전체 포텐셜 에너지가 최소인 경우이다. 즉 δΠ δ U V 0 이다. 최소 포텐셜 에너지 원리는 가상변위의 원리를 탄성체에 적용하여 유도할 수 있습니다. 최소 포텐셜 에너지 원리를 사용하는 변분법은 고급 역학에서 사용되므로 지금까지 기초역학에서 사용하기 편리하게 일을 외력과 변위 그리고 변형에너지를 단면력과 변형으로 설명한 것과는 달리 외력은 traction force 와 body force 로 그리고 변형에너지는 응력과 변형률의 개념으로 설명하겠습니다. 기초적인 정역학에서는 물체의 체적에 관련있

는 fB 0 입니다.

δWE · ∆ dVV

· ∆ dSS

δWI δU U dVV

σ δε dVV

δW δWE δWI · ∆ dVV

· ∆ dSS

σ δε dVV

0

외력의 포텐셜 에너지 V는 변형된 상태에 작용하는 외력이 원래의 상태로 돌아가려고 하는 일을 의미합니다. 그림 1.3‐10에서는 질량을 지닌 물체의 중력에 대한 포텔셜 에너지 위치 에너지 와 외력이 작용하였을 경우 포텐

셜 에너지를 보여줍니다. 탄성체에 외력인 traction force 와 body force 가 작용하였을 경우 외력에 의한 포텐셜 에너지는 다음과 같습니다.

V · ∆ dVV

· ∆ dSS

전체 포텐셜 에너지 Total Potential Energy Π U V 을 사용하여 가상변위의 원리를 표현하면 다음과 같습

니다.

δΠ δ U V σ δε dVV

· ∆ dVV

· ∆ dSS

0

탄성체에 가상변위의 원리를 적용한 경우와 마찬가지로 최소 포텐셜 에너지 정리도 구조의 평형조건을 유도합

니다. 가상변위의 원리와 최소 전체 포텐셜 에너지의 큰 차이점은 가상변위의 원리에서는 평형조건이 응력 또는 단면력의 형태로 평형방정식이 구성되고 최소 포텐셜 에너지 정리에서는 변형률 또는 변위의 형태로 평형 방정식이 구성된다는 것입니다. 전체 포텐셜 에너지의 1차 변분이 평형 조건을은 내포하고 있는 반면에 전체 포텐

h

h

m

m g 변형 전 기준선

변형 후 상태

변형 후 상태

V m g h

V m g hm

그림 1.3‐10 포텐셜 에너지 V

m g

변형 전 기준선

Δ

P

V P Δ

a 물체의 중력에 의한 포텐셜 에너지 b 외력 의한 포텐셜 에너지

[email protected]

1‐38

셜 에너지의 2차 변분은 구조의 안정 조건을 내포하고 있습니다. 기둥이나 판의 후좌굴안정 post buckling stability 등 구조물의 안정상태를 다음과 같이 판정합니다.

δ Π δ δΠ δ∂Π∂Δ δΔ

∂ Π∂Δ δΔ δ Π 0 안정 , δ Π 0 불안정, δ Π 0 중립

포텐셜 에너지 일정의 원리 Stationary Total Potential Energy 는 최소 포텐셜 에너지 원리와 본질적으로 동일한 원리이며 수학적으로도 같은 의미임을 알 수 있습니다. 포텐셜 에너지 일정의 원리를 에너지 보존의 원리라고 표현하기도 합니다.

Π U V σ δε dVV

· ∆ dVV

· ∆ dSS

constant

4 급가하중 Suddenly applied loading 이 작용할 경우 보 중앙에서의 처짐 ∆

h 0 이므로, Δ 2 Δ

3 포텐셜 에너지 정류의 원리

Π@ U V@ 0 W h ∆

Π@ U V@ W2 Δ ∆ 0

Π@ Π@ W h ∆W2 Δ ∆

∆ 2 Δ Δ 2 Δ h 0

위의 식을 Δ 에 대해 풀면, Δ Δ Δ 2 Δ h

Δ 0 이므로, Δ Δ 1 12 hΔ

2 물체의 포텐셜 에너지 V

V@ W h ∆A C

W

V@ 0

h ∆W

Solution :

1 중앙에 처짐 Δ 발생할 경우 변형 에너지 U

U WE12 W ∆

12 kBB ∆ ∆

12 kBB ∆ Clayperon정리

여기서 KBBWΔ 이므로, U

W2 Δ ∆

예제 1.3‐20

Given :

∆

L2

L2

EI constant

Req’d : 1 ∆ 2 정하중 W 작용시 중앙의 처짐을 ∆ 라고 할 경우 급가하중 작용시 처짐 ∆ 를 구하시오.

A B C

W h

W

자중W의 물체가 h 높이에서 자유낙하. 물체와 보 사이의 반동은 무시한다.

[email protected]

1‐39

Solution :

1 변형된 상태

P

∆

∆L2 1 cos θ

L3 1 cos θ

L6 1 cos θ

L 1 12 cos θ

13 cos θ

16 cos θ

θ

θ

θ


U12 k θ θ

12 k θ θ

예제 1.3‐22 from 건축구조 기술사 85회 4‐3

Given :

L2

P

Req’d : 좌굴 하중 P

rigid bar

L3

L6

k k

4 후좌굴 안정 검토

δ Π∂∂θ U V δθ k L cos θ k L sin θ P L cos θ δθ 0

P에 P k L cos θ 를 대입하고 정리하면

δ Π sin θ 0 후좌굴은 불안정임.

bifurcation buckling 는 미소변형 θ 1 sin θ θ, cos θ 1

k L cos θ P L k L P L 0

P k L cos θ k L

3 최소 포텐셜 에너지 정리

Π U V 12 k L sin θ P L 1 cos θ

δΠ δ U V∂∂θ U V δθ k L sin θ cos θ P L sin θ δθ 0

Solution :

1 변형된 상태

A

L 1 cos θ

P F

θ L sin θ

2 변형 에너지 U & 외력 P에 의한 포텐셜 에너지 V

U12 F L sin θ

12 k L sin θ

V P L 1 cos θ

예제 1.3‐21

Given : A

L

k

B P

Req’d : 좌굴 하중 P

rigid bar

[email protected]

1‐40

4 좌굴하중 P

| |136 L P

718 k L P k L P

136 L P

718 k L P k L P 0

P 0 , 7 √13 k

L , 7 √13 k

L

P7 √13 k

L 3.3945 kL

Eigen value 문제이므로 A의 determinant는 0.

P에 관하여 풀면

Π U V12 k θ θ

12 k θ θ P L 1

12 cos θ

13 cos θ

16 cos θ

∂Π∂θ k θ

P L2 sin θ k θ 0

∂Π∂θ k θ 2 k θ

P L3 sin θ k θ 0

∂Π∂θ k θ k θ

P L2 sin θ 0

kP L2 k 0

k 2 kP L3 k

0 k kP L6

θ

θ

θ

0

0

0

미소변형으로 가정하면 sin θ θ 이고 매트릭스 형태로 정리하면

3 최소 포텐셜 에너지 δΠ 0

[email protected]

1‐41

1.3.10 Ritz 방법 Ritz Method Ritz 방법은 변분법을 사용하여 지배 방정식의 근사해를 구하는 방법입니다. 지배 방정식의 근사해를 다음과 같이 가정합니다.

uN x C xN

where, C 선형이며 독립적인 정해지지 않은 실수

형상함수 shape funtion 형상함수 x 는 경계조건을 만족시키면서 x 영역내에서 연속이며 예상되는 변위의 형태를 적절하게 나타낼 수 있는 함수이어야 합니다. 근사해를 전체 포텐셜 에너지 식에 대입하고 체적 또는 면적에 대한 적분을 하면 전체 포텐셜 에너지는 C 의 함수가 되고 최소 포텐셜 원리를 적용하면 다음과 같습니다. Π Π C , C , , CN

δΠ∂Π∂∆ δ∆

∂Π∂∆ δ∆

∂Π∂∆N

δ∆N∂Π∂∆ δ∆

N

0

C 는 선형이고 독립적이므로 다음과 같이 표현할 수 있습니다. ∂Π∂∆ 0 for i 1, 2, , N

Ritz 방법은 구조물의 변위, 좌굴 하중 또는 구조물의 자유진동수 등을 근사적으로 구할 수 있는 강력한 방법입

니다. Ritz 방법에 의해 구한 해의 정확성은 얼마나 합당한 형상함수를 사용하였느냐에 달려있습니다. 구조물마

다 합당한 형상함수는 달라질 수 있으나 일반적으로 Sine 함수와 Cosine 함수의 직교성을 이용하여 조합한 Fourier 급수를 사용하여 해석하는 경우가 많습니다.

Solution :

1 축방향 변형

∆ ds dxL

dx d dxL

1ddx 1 dx

L

From Taylor Series, 1ddx 1

12ddx

18ddx 1

12ddx

∆ 112ddx 1 dx

L 12

ddx dx

L

∆ ∆ ∆ ddx dx

L 12

ddx dx

L

휨변형에 의한 축방향 변형은 다음과 같습니다.

예제 1.3‐23 from Chen & Lui, Structural Stability example 6.2 ***

Given :

L2

L2

P P EI constant

Req’d : 좌굴하중

[email protected]

1‐42

구조물의 고유진동수를 구할 때 사용하는 근사해법으로 Ritz 방법의 특수한 경우인 Rayleigh 방법이 있습니다. Conservative Syetem 에너지보존계 에서 동적인 거동에 가상변위의 원리를 적용하면 Lagrangian 식을 구할 수 있습니다. L K Π constant

δ L δ K Π 0

where , K12m

du tdt 물체의 운동 에너지 Kinetic Energy

무감쇠 구조의 고유진동수는 P t 0 Free Vibration 상태 이므로 전체 포텐셜 에너지 Π U 입니다. 항상 K Π 는 아니지만 그림 1.3‐11에서 보여주는 것과 같이 물체의 운동에너지가 최고인 상태에서 변형에너지는 0이고 변형에너지가 최고인 상태에서 운동에너지는 0 입니다. 식으로 표현하면 다음과 같습니다. K 0 0 U K U

동적 거동은 거리 x와 시간 t의 함수이므로 변위의 함수와 시간의 함수로 uncoupling 하여 계산하면 편리합니다. 구조물의 변위를 shape function 과 시간에 따른 거동을 조화함수로 표현하면 다음과 같습니다. u x, t x sinω t u x, t x

u x, t ω x cosω t u x, t ω x

max. | u t, x | & u t, x 0 U & K 0

그림 1.3‐11 내민 보에서 무감쇠 자유진동

u t

u t, x 0 & max. | u t, x | U 0 & K

max. | u t, x | & u t, x 0 U & K 0

5 Rayleigh‐Ritz Method for Buckling Load

Π U VEI C π 64 L

C π 3π 2 P32 L

∂Π∂C

EI C π 32 L

C π 3π 2 P16 L 0

Pπ EI

6π 4 L2.0880 EI

L Chen의 책에서 정확해는2.067 EI

L 로 약 1.01 % 의 오차를 보임.

4 외력에 의한 포텐셜 에너지 V

V2 P2

ddx dx

LP2

ddx dx

L

L

C π 3π 2 P32 L

좌굴하중 산정시 가정이 축방향력에 변형은 무시한다이므로 휨에 의한 축방향 변형만 고려한다.

3 변형에너지 U

U12 EI

ddx dx

L EI C π 64 L

2 형상함수 선정

C 1 cosπ x2 L essential BCs 검토 y 0 0 , y L 0

내민보의 형상함수로는 다음과 같은 식이 자주 사용된다.

[email protected]

1‐43

휨변형만을 고려할 경우 변형 에너지는 다음과 같습니다.

U12 EI

ddx dx

L

질량이 보에 분포되어 있을 경우 m ρ A x 운동 에너지는 다음과 같습니다.

K12 m ω dx

L

K U ωEI ddx dxL

m dxL

Rayleigh quotient

alternatively, polynomial 형상함수를 사용.

1 Shape Function

x C C x C x C x

BC 1 0 0 C 0

BC 2 ddx 0 0 C 0

BC 3 ddx 0 0 C 6 C L 0

4 U K

U K C π EI64 L

12 Wg C ω

ωπ EI

32Wg L

π g EI32 W L

3 운동 에너지의 최대값 K

보 끝에서 최대 속도 u ω L ω C

K12 Wg u

12 C

Wg ω

2 변형 에너지의 최대값 U

U12 EI

ddx dx

L

C π EI64 L

Solution :

1 Shape Function

x C 1 cosπ x2 L

ddx x

C π4 L cos

π x2 L

예제 1.3‐24

A

L

W

massless, EIGiven :

Req’d : Rayleigh 방법으로 구한 고유진동수와 실제 고유진동수를 비교하시오.

[email protected]

1‐44


U12 EI

ddx dx

L

1.5220 C EIL

Solution :

1 Shape Function

x C 1 cosπ x2 L

ddx x

C π4 L cos

π x2 L

예제 1.3‐25 from 건축구조 기술사 85회 3‐3

Given :

L2

L2 L

보의 질량 분포 m L⁄

W W

Req’d : 휨강성 EI 는 일정하고 내민보의 질량분포는m/L 일 경우 집중하중W가 a 와 b 와 같이 작용할 경우

각각의 고유 진동수를 Rayleigh 방법을 사용하여 구하시오.

a b

A B

C AB C

5 U K

구조의 강성 K3 EIL 이고 집중된 질량 m

Wg 이므로 고유진동수ω

Km

3 g EIW L 이다.

질량이 보에 등분포 되어있는 경우 C 6 L x 4 L x x 를 사용한 결과와 x C 1 cosπ x2 L 를

위에서 계산한 결과와 비교하면 정확한 형상함수를 사용하여 Rayleigh 방법으로 구한 값과 일치하고 Cosine 함

수로 가정하여 구한 고유진동수 값의 오차는 0.73 % 이다.

사용한 결과는 약 3.8 % 의 차이를 보여준다.

4 U K

U K 6 C EI L 2 C Wg ω

ω3 g EIW L

3 운동 에너지의 최대값 K

보 끝에서 최대 속도 u ω L 2 C ω L

K12 Wg u 2 C

Wg ω


U12 EI

ddx dx

L6 C EI L

x C 3 L x x

ddx x 6 C L x

[email protected]

1‐45

보에 분포하중과 집중하중이 작용할 경우 보의 휨에 의한 처짐식은 y C C x C x C x C x 이고 이 식에 경계조건을 적용하여 구한 식을 형상함수로 선택하는 것이 좋은 방법이다. 그러나 집중하중 W와 질량

분포 m 의 값이 주어지지 않으면 정확한 처짐식을 구하기 어려울 뿐만 아니라 집중하중 W에 의해 발생하는 처짐이 상대적으로 클 경우 case a 와 case b 의 형상함수를 따로 구하여야 한다. 이와 같이 4차식을 형상함수로 사용할 경우 시험에서 주어진 시간에 결과를 구하기 힘들 것으로 판단된다.

6 U K

U K K B 1.5220 C EI

L 0.1134 m 0.0429 Wg C ω

ω1.5220 EI

0.1134 m 0.0429 Wg L

i Case a

U K K C 1.5220 C EI

L 0.11338 m 0.5 Wg C ω

ω1.5220 EI

0.1134 m 0.5 Wg L

ii Case b

5 집중하중 W가 보 끝에 위치에 있을 경우 운동 에너지의 최대값 K C

보 끝에서 최대 속도 u ω L ω C

K C12 Wg u 0.5 C

Wg ω

4 집중하중 W가 보 중앙에 위치에 있을 경우 운동 에너지의 최대값 K B

보 중앙에서 최대 속도 u ω L2 ω C 1

1√2

K B12 Wg u 0.04289 C

Wg ω

3 등분포 질량에 대한 운동 에너지의 최대값 K

K12

mL ω dx

L0.11338 C mω

[email protected]

1‐46

1.3.11 Betti 상반 정리 & Maxwell 상반 정리 i Betti 상반 정리 선형탄성체에 2개의 외력계가 별개로 작용할 경우 첫번째 하중계가 두번째 하중계에 의해 발생한 변위에 한 일은 두번째 하중계가 첫번째 하중계에 의해 발생한 변위에 한 일과 같다. 즉 이다. 선형탄성체에 외력군 이 작용한 후 다른 일계의 외력군 작용시켰을 경우 외력들이 한 일 W 은 다음과 같습

니다.

W 12 P ∆

M

P ∆M

12 P ∆

N

W W W

위와 역으로 외력군 이 작용한 후 다른 일계의 외력군 작용시켰을 경우 외력들이 한 일 W 은 다음과 같습

니다.

W12 P ∆

N

P ∆N

12 P ∆

M

W W W

선형탄성체에 외력이 한 일은 순서와 무관하게 동일하므로 둘을 정리하면 다음과 같습니다.

W W P ∆M

P ∆N

W W

ii Maxwell 상반 정리 선형탄성체에 2개의 단위하중이 작용하는 경우 첫번째 단위하중에 의해 두번째 단위하중의 작용점에 발생하는 변위는 두번째 단위하중에 의해 첫번째 단위하중의 작용점에 발생하는 변위와 같다. 즉 ∆ ∆ 입니다. Maxwell 상반정리는 Betti 정리에서 1 인 특수한 경우에 해당합니다. Betti 정리를 정리하면 다음과 같

습니다. ∆ P 1 ∆ P 1 연성도 f 와 같이 표현하면, ∆ ∆ 강성도와 연성도가 좌우 대칭인 것이 증명됨.

2 B의 수직반력의 영향선

B의 수직 구속을 제거한 구조물에 외력과 반력이 작용한 하중계를 i 그리고 B에 반력방향으로 수직변위 ∆ 이

발생하는 하중 V 을 하중계 j 라고 한다.

1 Muller‐Breslau 정리

Solution :

부정정 구조에서 반력 또는 부재력의 영향선은 특정 위치에서 구하고자 하는 힘에 대응하는 구속을 제거하고

힘의 방향으로 단위변위를 주었을 경우 구조물의 변형과 동일하다

예제 1.3‐26 from Naschie, Stress, Stability and Chaos, 11.5

Given :

Req’d : A에서 휨모멘트의 영향선과 B에서 수직반력의 영향선을 예를 들어Muller‐Breslau 정리를 증명하시오.

L

A B EI constant

[email protected]

1‐47

2 실제하중계와 가상하중계

δ x

하중계 i 하중계 j

보를 이동하는 하중을 하중계 i 그리고 가상힘이 C에 작용할 경우를 하중계 j 라고 한다.

P

∆C

x δP

x

1 변위의 영향선

Solution :

가상변위의 원리를 이용한 Muller‐Breslau 정리로 구하는 힘의 영향선과는 달리 변위의 영향선은 가상힘의 원

리와 Betti 상반정리를 사용하여 구합니다.

예제 1.3‐27 from 심재수, 변형도로 배우는 구조역학 예제 8‐11

Given :

Req’d : C에서 변위의 영향선을 구하시오.

a

A B EI constant

C

L

b

3 A에서 휨모멘트의 영향선

P

θ x

하중계 i 하중계 j

MA M

MA 1 P x 0 MA x

Betti 상반 정리를 적용하면W MA θ P x 과 W M θB 는 동일하다. 지점 A에서 회전변위

θB 는 0 이고 Muller‐Breslau 정리와 동일하게 P 1과 θ 1를 대입하면 다음과 같다.

A의 회전 구속을 제거한 구조물에 외력과 반력이 작용한 하중계를 i 그리고 A에 휨모멘트 방향으로 회전

변위 θ 이 발생하는 하중 M 을 하중계 j 라고 한다.

P

VB

∆x

하중계 i 하중계 jV

1 x VB 1 0 VB x

Betti 상반 정리를 적용하면 W P x VB ∆ 과 W V ∆B 는 동일하다. 지점 B에서 변위 ∆B 는

0 이고 Muller‐Breslau 정리와 동일하게 P 1과 ∆ 1를 대입하면 다음과 같다.

[email protected]

1‐48

3 case c

FS

P

j i

FS k ∆

∆ f P f FS0.75P P

0.75P 0.5 k k ∆

∆0.75 P 0.375 k

P

윗 식을 ∆ 에 대해서 풀면

1 case a

Solution :

P

i j

∆ f P 0.75 f0.75P

2 case b

FS

P

ji

FS k ∆ 0.5 k

∆ f P FS 0.5 f0.75

P 0.5 k


Given :

Req’d : a 의 경우 1/4 의 위치에 하중 P가 작용할 경우 보의 중앙에서 처짐이 0.75 발생하였다. 보의 처짐을 줄

이기 위해 b 와 같이 보의 중앙에 스프링 지점을 설치한 후 동일한 하중 P를 보의 중앙에 설치하였더니

중앙에서 처짐은 0.5가 발생하였다. c 와 같이 스프링 지점이 설치되고 1/4 의 위치에 하중 P가 작용할

경우 보의 중앙에서 처짐을 구하시오.

∆ 0.75

P

L2

L2

L

a

P

k∆ 0.5

L

b

P

k

∆

L2

L2

L

c

L

3 변위의 영향선

변위의 영향선은 알고자 하는 위치에 변위 방향으로 단위하중을 작용시켰을 때 발생하는 구조물의 변형과 같

다.

1 δ x 1 ∆C 0 ∆C δ x

Betti 상반 정리를 적용하면W P δ x 과 W δP ∆C 는 동일하다. 영향선의 작용하중 P 1과 가상

힘 δP 1를 대입하면 다음과 같다.

[email protected]

1‐49

연습문제 1.1~1.2 아래 문제들을 가상힘의 원리 또는 단위하중법으로 풀으시오

연습문제 1.3~1.8 아래의 문제들을 최소일의 원리로 풀으시오.

1.4 from 건축 구조기술사 1986년

Given :

Q

B

A

R

EI constant

Req’d : A & B 의 휨모멘트와 C 의 처짐

C

EA ∞

Answer MA 0.2004 Q R , MB 0.3228 Q R , ∆0.0668 Q R

EI

1.3 from 토목구조기술사 74회 2‐5

Given : 2 tonf/m

R 4 m

EI constant

Req’d : BMD

Answer M 10 sin θ 16 cos θ 1 cos θ8 π 20

π x@ 부터 90°까지

2 tonf/m

5 tonf 5 tonf

1.2 from 기술고시 2003년

Given : 단면이차모멘트는 선형 변환

Req’d : θA , θB & ∆ Answer θA 7.312 10 rad , ∆C 2.189 10 m

A

MA

B 15 m

IA 15000 cm , IB 10000 cmE 2 10 kgf cm⁄ , MA 4 tonf · m

1.1 from 건축구조 기술사 80회 4‐2

Given :

I x2 xL I L

2

w

A

C

Req’d : θA & ∆C Answer θA3 w L32 EI , ∆C

w L48 EI

B

L2

[email protected]

1‐50

1.8 from 옥재호, 토목구조 기술사 p. 1084

Given : A

B

w EI constant

Req’d : 3개의 지점의 수직 반력이 같아지게 하는 B의 지점 침하량

∆B

Answer ∆B7 w L72 EI

L L

1.7

Given :

k 2 k

A B C

w 3 kN/m

kEI1 m EI kN m⁄

EI constant

Req’d : 반력

4 m 4 m

Answer MAB 6.692 kN · m , VA 7.149 kN , VB 11.443 kN , VC 5.408 kN


Given :

8 tonf/m

4 m

800 tonf

Req’d : B의 휨모멘트

Hint & Answer MB를 부정정력으로 계산하면 편리. MB 3.334 tonf · m closed joint

B

C

A

3 m

E 800 10 kgf/cm

I 900 cm constant

단면적 AAB ∞ , ABC 80 cm

1.5 from 건축 구조기술사 74회 2‐2

Given : A

B

6 m

4 m

C 10 tonf

케이블 BC A 6.83 cm

AB 부재 A 683 cm I 12800 cm

Req’d : 보의 축방향 변형도 고려할 경우 BC 부재의 부재력 Answer : FAC 5.054 tonf

4 m

[email protected]

1‐51

연습문제 1.9~1.12 아래의 문제들을 에너지 방법으로 풀으시오.

1.12 from 김상식, 변분구조해석 예제 7.2 ***

Given : EI constantA constant

Req’d : 단위질량이 ρ 인 등단면 양단 고정보의 수직 변형에 대한 고유 진동수

L

Exact answer 1st mode ω22.37L

EIρA

1.11 from Chen & Lui, Structural Stability Problem 2.3 ***

Given :

P

I는 선형 변화

Req’d : 좌굴하중 Answer C sin 1π x2 L P

4.2011 EIL

L

2 I I


Given : P EI constant

Req’d : 좌굴하중 Answer C sinπ xL P

1.0336 EIL

L2

L2

P


Given :

L

2 I

PEI constant

Req’d : 좌굴하중

I

L

Exact answer P1.0336 EI

L

[email protected]

1‐52

참고 문헌 1.1 심재수, 변형도로 배우는 구조역학, 피어슨 에듀케이션 코리아, 2001 1.2 김상식, 변분구조해석, 인하대학교 출판부, 2004 1.3 양창현, 구조역학, 청문각, 2006 1.4 한국산업인력공단, 토목 구조기술사 기출문제, 63회‐86회 1.5 한국산업인력공단, 건축 구조기술사 기출문제, 63회‐86회 1.6 옥재호, 토목구조 기술사, 건설정보사, 2008 1.7 W. M. McGuire, R. H. Gallagher and R. D. Ziemian, Matrix Structural Analysis, 2nd edition, John Wiley &

Sons, 2000 1.8 R. L. Sack, Matrix Structural Analysis, PWS‐KENT Pub., 1989 1.9 F. P. Beer, E. R. Johnston Jr., J. T. DeWolf, Mechanics of Materials, 4th edition, McGraw‐Hill, 2006 1.10 A. P. Boresi, R. J. Schmidt and O. M. Sidebottom, Advanced Mechanics of Materials, 5th edition, John Wiley,

1993 1.11 J. N. Reddy, Energy Principles and Variational Methods in Applied Mechanics, 2nd edition, John Wiley, 2002 1.12 D. V. Wallerstein, A Variational Approach to Structural Analysis, Wiley‐Interscience, 2001 1.13 H. L. Langhaar, Energy Methods in Applied Mechanics, John Wiley & Sons, 1962 1.14 W. F. Chen and E. M. Lui, Structural Stability : theory and implementation, Elsevier, 1987 1.15 A. C. Ugural and S. K. Fenster, Advanced Strength and Applied Elasticity, 3rd edition, Prentice Hall, 1995 1.16 M. S. El Naschie, Stress, Stability and Chaos in Structural Engineering : An Energy Approach, McGraw‐Hill,

1991 1.17 R. C. Hibbeler, Structural Analysis, 5th edition, Prentice Hall, 2001

[email protected]

2‐1

Chapter 2. 매트릭스 변위법 2.1 Notation 독립 변위 벡터 vs 독립 변위에 대응하는 외력 벡터

종속 변위 벡터 vs 종속 변위에 대응하는 외력 벡터

지점 변위 벡터 vs 지점 변위에 대응하는 반력 벡터

부재 변형 벡터 vs 부재 변형에 대응하는 부재력 벡터

변형 적합 매트릭스

변형 적합 매트릭스

변위 적합 매트릭스

변위 적합 매트릭스

부재 강성 매트릭스

독립변위 에 대한 구조의 강성 매트릭스 제 풀이의 대부분은 매트릭스 변위법입니다. 많은 구조 문제 풀이를 올려놓은 것 같은데 다른 분들에게 도움이 된 것 같지는 않습니다. 그 이유 중 하나가 생소한 notation 때문이라고 생각합니다. 제가 매트릭스 변위법에서 사용하는 notation을 적어놓았습니다. 이들 중에서 주의하여야 할 것이 종속변위입니다. 1장에서 설명한 것과 같이 해석의 어떠한 가정조건 또는 구조

물의 기하학적 조건 때문에 발생하는 종속적인 변위입니다. 이것을 고려하는 것이 귀찮아서 독립변위에 종속변

위도 포함시켜 강성매트릭스를 구할 경우 이 강성매트릭스의 determinant는 0이 되곤 합니다. 종속변위에 작용

하는 하중을 고려하기 위해 변위 적합 매트릭스 과 가 사용됩니다. 반력 Q와 지점변위 q도 생소하리라 생각

되지만 뒤에서 어떻게 사용하는 지를 보여줄 것입니다. 눈여겨보면 알 수 있는 것이 아주 기초적인 index notation을 충실히 따라가고 있습니다. 물론 당연한 것이지만

요. 예를 들어 과 같이 아래 첨자 뒤에는 아래 첨자와 같은 변위가 곱해져야 합니다. 이런 것

을 텐서에서 dummy index 라고 합니다. 쉽게 생각해서 매트릭스 곱셈에서 G , H , J , 이 되는 것과 비

슷한 이치입니다.

[email protected]

2‐2

2.2 독립 변위 r 과 종속 변위 y 구조물 해석방법의 하나인 변위법은 구하고자 하는 미지수가 변위입니다. 변위는 크게 독립 변위 r과 종속 변위 y로 나눌 수 있습니다. 부재의 내적 구속조건이나 구조물의 변형의 대칭성에 의해 발생하는 구속조건에 의하여 변위 중 일부가 다른 변위의 함수로 표현 가능할 경우 이 변위들을 종속 변위라고 합니다. 독립변위를 결정하는

데 벡터의 이동을 이용한 수학적 방법과 기하학적 방법이 있습니다. 여기서는 기하학적 방법을 통해서 독립 변위를 결정하겠습니다. 기하학적인 방법은 특정한 독립 변위를 발생시켰을 경우 부재의 내적 구속조건에 의해 불가피하게 발생하는 절점 변위가 하나 이상 존재한다면 특정변위와 파생적인 절점 변위들은 서로 종속관계입

니다. 만약 특정 변위를 독립 변위로 하였을 경우 나머지 파생적인 절점변위들은 종속 변위가 됩니다.

그림 2.2‐1 축 방향 변형과 전단 변형을 무시한 평면 프레임 구조의 병진 변위

평면 프레임 구조는 일반적으로 축방향 변형과 전단 변형을 무시하고 해석합니다. 그림 2.2‐1의 구조에서 축방

향 변형 0 즉 EA ∞ 라는 부재의 내적 구속조건을 고려할 경우 가능한 변위는 xB, θB, xC, θC 총 4개입니다. 그러나 xB 발생시 xC xB이므로 xB를 독립 변위로 하였을 경우 xC는 종속 변위가 됩니다. 그러므로 병진 독립 변위가 1개임을 알 수 있습니다. 위의 구조에 부재가 하나 더 연결되면 병진 독립 변위도 1개 늘어납니다.

그림 2.2‐2 평면 트러스 구조의 병진 변위

그림 2.2‐2의 평면 트러스 구조에서 부재 BD의 강성이 무한합니다. 독립 변위 xB가 발생할 경우 부재 BD의 길이

가 변하지 않기 위해서 xD가 발생하며 그 값은 xB의 값으로부터 구할 수 있습니다. 따라서 xB를 독립 변위로 선정할 경우 xD는 종속 변위가 됩니다. 종속 변위를 수학적으로 구하는 방법은 이수곤 교수의 구조해석특론 2를 참조하십시요

A

B C

D

EA ∞

A

D

B

C

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2‐3

2.3 외력에 대한 평형방정식

그림 2.3‐1 구조의 힘–변위 관계

그림 2.3‐1의 구조물은 간단한 정정구조물로서 DOF 3 이고 반력은 3개입니다. 반력도 외력이므로 독립변위를 d1~d3, 지점변위를 d4~d6 라고 나타낼 수 있습니다. 강성매트릭스 K 의 정의가 j의 변위에 대응하는 변위 i에서

의 힘이므로 각각의 변위에 대응하는 절점력에 대한 평형방정식은 아래와 같습니다. 이중 파란색 글자로 표현

된 부분은 독립변위와 관련이 있는 부분으로 보통 매트릭스 해석을 수계산으로 할 경우 구하는 부분입니다

d ~d 를 독립 변위 r ~r 에 대응시키고 d ~d 를 지점변위 q ~q 에 대응시킨 후 매트릭스 형태로 나타내면 다음과 같이 표현할 수 있습니다.

여기서 , , , 는 위의 평형방정식으로부터 구한 전체 강성매트릭스를 기지의 외력 R과 미지의 반력

Q로 matrix partioning 한 결과입니다. 주의하여야 할 것이 외력과 변위는 하나가 미지수 unknown 이고 하나는 기지수 known 이라는 것입니다. 쉽게 설명해서 하중 R known – r unknown 이고 반력 Q unknown – q known 으로 짝지어 있다는 것이지요. 그래서 계산이 가능해지는 것이고요. 미지수인 독립 변위 r과 반력 Q는 다음과 같은 과정 구할 수 있습니다.

F K d K d K d K d K d K d






q

q

q r

r

r

F d

F d

F d

F d

F d

F d

독립변위 r과 지점변위 q 힘 F –변위 d

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2‐4

2.4 부재 강성 매트릭스 k 이산체로서의 구조해석은 절점의 변위와 부재 양단의 단면력을 구하는 것입니다. 변위법에서는 미지수로 절점

의 변위가 먼저 구해집니다. 직접 강성법의 경우 절점의 변위를 이용하여 부재력을 직접 계산하고 매트릭스 변위법의 경우 절점 변위를 부재 양단에서의 변형으로 변환시켜 부재력을 계산합니다. 부재력 S와 부재 변형 v의 관계는 입니다. 여기서 k를 부재 강성 매트릭스라 하며 부재의 축을 따른 국부좌표계에 대해 구합니다. 2.4.1 축방향력을 받는 부재 트러스 부재

축방향력을 받는 부재의 수직 응력 σ E ε E∆LL

σPA &

PA E

∆LL P

EAL ∆L

SEAL v EA

L

2.4.2 St Venant 비틀림 모멘트를 받는 원형 단면의 부재

γφ rL & τ

TJ r G γ G

φ rL T

G JL φ

SG JL v G J

L

L

γ φ

φTT

2 r

그림 2.4‐2 비틀림 모멘트를 받는 부재

SS v

P

L

EA

vS S

L

EA

P

∆L

그림 2.4‐1 축방향력을 받는 부재

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2‐5

2.4.3 휨 모멘트를 받는 부재 보 부재 : 축방향 변형과 전단 변형을 무시한 경우 1 4 4 강성 매트릭스 vs 2 2 강성 매트릭스

그림 2.4‐3은 축방향 변위를 제외한 보 요소의 변위와 힘을 나타낸 그림입니다. 매트릭스 해석이나 FEA의 책을 보면 그림 a 의 같은 보 부재의 강성매트릭스는 일반적으로 4 4 입니다. 그림 b 는 부재의 휨에 대한 강체변

형 를 제외한 부재변형과 부재력 S 과 S 로 부재의 휨변형을 보여준 그림입니다. 이 경우 보 요소의 강성 매트

릭스의 크기는 2 2이므로 그림 b 의 부재변형만을 가지고 해석이 가능하다면 수계산시 매우 편리합니다. 일반적인 휨해석에서 전단변형과 축방향 변형을 무시합니다. 그리고 그림 b 에서 보여준 변형만을 고려하여

계산한 S 과 S 와 그림 a 에서 구한 F 과 F 와 같을 경우 F 와 F 는 평형방정식으로 구해집니다. 그러므로 a의 휨에 의한 변형에너지와 b 의 휨에 의한 변형에너지가 동일할 경우 2 2로 해석이 가능하다는 것입니다.

평형방정식에 의해 FS S

L , FS S

L 이고 적합조건에 의해 y y

L 입니다. WE U

이므로

WE12V y

12 S θ

12V y

12 S θ

12

S SL y

12 S θ

12

S SL y

12 S θ

12 S θ

y yL

12 S θ

y yL

12 S θ

12 S θ

12 S v

12 S v

2 2 강성 매트릭스를 사용 가능합니다.

F

F

F

F

θ

v

θ v

y

yv S

v

S

a 4 4 부재 강성매트릭스 b 2 2 부재 강성매트릭스

그림 2.4‐3 부재 강성 매트릭스

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2‐6

2 절점 회전변위만 고려한 Local Stiffness Matrix k 2X2 : 계산량을 줄여 줍니다.

가상힘의 원리를 사용하여 flexibility matrix를 구하면 아래와 같고 그림 2.4‐4의 부재는 안정된 구조이므로 flexibility matrix의 역행렬을 계산하여 강성 매트릭스를 구합니다.

fm mEI dx

13LEI

L, f f

m mEI dx

16LEI , f

m mEI dx

13LEI

L

L

flexibility matrix 1EI

L3

L6

L6

L3

stiffness matrix EI 4L

2L

2L

4L

2.4.4 전단변형을 고려한 부재의 강성 매트릭스 k 일반적으로 평면 프레임 구조 해석의 경우 부재의 축방향 변형과 전단 변형의 크기는 휨 변형에 비해 상대적으

로 작기 때문에 무시하고 해석합니다. 기술사 문제 등을 수작업으로 해석한 것과 상용 FEA 프로그램에 의한 해석 결과가 다른 가장 큰 이유는 전단변형의 값을 무시하였느냐의 차이입니다. 전단변형을 고려한 강성 매트릭

스도 에너지법에 의해 구할 수 있습니다. 그림 2.4‐4에서 S 1인 경우와 S 1인 경우 모두 전단력의 값은 L

입니다.

m 1xL , m

xL , V

1L , V

1L

fm mEI dx

L αVV VGA dx

L L3 EI

αVGA

f fm mEI dx

L αVV VGA dx

L L6 EI

αVGA

fm mEI dx

L αVV VGA dx

L L3 EI

αVGA

L3 EI

αVGA

L6 EI

αVGA

L6 EI

αVGA

L3 EI

αVGA

EIL

112EI αV GA L

4 3EI αV GA L 2 3EI αV GA L

2 3EI αV GA L 4 3EI αV GA L

v S

v

S

i S 1 & S 0

L, EI

S 1

1L

1L

m 1xL

ii S 1 & S 0

S 1

1L

1L m

xL

m

x

m

그림 2.4‐4 가상힘의 방법에 의한 부재의 연성 매트릭스

[email protected]

2‐7

식을 단순하게 하기 위해 McGuire의 책에서 사용한 notation η을 도입하면

ηαV EIGA λ

3

1 L12 η

36 η12 η L

EIL

4 λ 2 λ

2 λ 4 λ

절점 사이에 하중이 작용할 경우 일반적으로 고정단 하중을 이용하여 해석을 합니다. 전단변형을 고려할 경우 고정단 하중은 처짐각법 등에서 이미 보았던 식들과 다릅니다. 전단변형을 고려한 고정단 하중에 대한 내용은 2.10에서 설명하겠습니다. 2.4.5 변단면 부재의 강성 매트릭스

부재의 단면이 연속성을 지닌 변단면일 경우 그림 2.4‐5와 같이 부재를 다수의 요소로 나눈 후 각 요소마다 평균

치의 단면성질을 가진 등단면 요소로 모델링하여 해석합니다. 많은 요소로 나누었을 경우 정해에 가까워지나 수렴하는 속도는 구조물마다 다릅니다. 이 방법은 수계산의 경우 계산량이 너무 많아지는 단점 때문에 요소를 2개 이상 나누어 사용할 수 없습니다. 이 경우 변단면 부재의 강성 매트릭스를 구하여 사용하면 편리합니다. 변단

면 요소의 강성매트릭스를 구하는 방법은 크게 두 가지가 있습니다. 에너지법을 사용하여 정확한 강성매트릭스

를 구하는 방법과 shape function을 이용하여 에너지법으로 근사해를 구하는 방법입니다. 여기서는 정확해로 구하는 방법을 보여주겠습니다. Shape function으로 구하는 방법은 5장에서 짧게 설명하겠습니다.

그림 2.4‐6 트러스 부재와 보 부재에서 단위 하중법

트러스 부재에서 변단면의 강성매트릭스는 다음과 같이 구합니다.

Strain Energy US

2 E A x dxL

이고 Castigliano 이차정리로부터 v∂U∂S

SE A x dx

1E A x dx S

LL

f 1

E A x dx L

k f

그림 2.4‐6 b 와 같이 단위 하중법을 사용하여 변단면의 연성 매트릭스를 구한 후 연성 매트릭스의 역행렬을 계산하여 강성 매트릭스를 구합니다. 과정은 아래와 같습니다.

m 1xL , m

xL , f

m mE I x dx

L

E, A x , L

a 트러스 부재

i j

E, I x , L

i j

E, I x , L

i j

1 1

m 1xL m

xL

b 보 부재

A , I A , IA , I

A x , I x

i

그림 2.4‐5 변단면 부재

[email protected]

2‐8

Req’d : 부재의 강성 매트릭스

Solution :

f1

E A x dxL 1

E A 1 r xLdx

L 1E A

Lr ln L r 1 ln L

LE A

1r ln r 1

k1f

E AL

rln r 1

Req’d : 부재 강성 매트릭스

Solution :

m 1xL , m

xL , f

m mE I x dx

L

fm mE I x

Ldx

1E I

L2 r 2 r 1 ln L r 1 ln L r 3 r 2

1E I

L2 r 2 r 1 ln r 1 r 3 r 2

f fm mE I x

Ldx

1E I

L2 r 2 r 1 ln L r 1 ln L r r 2

1E I

L2 r 2 r 1 ln r 1 r r 2

fm mE I x

Ldx

1E I

L2 r 2 ln L r 1 2 ln L r r 2

1E I

L2 r 2 ln r 1 r r 2

2 rE IL

2 r 1 ln r 1 r 3 r 2 2 r 1 ln r 1 r r 2

2 r 1 ln r 1 r r 2 2 ln L r 1 2 ln L r r 2

I I 1 r I x I 1 rxL

Given :

예제 2.4‐2

A

L

A 1 r A x A 1 rxL

Given :

예제 2.4‐1

[email protected]

2‐9

2.5 적합 매트릭스 , , , 2.5.1 변형 적합 매트릭스 , 매트릭스 변위법에서는 계산의 편의를 위해 부재 변형으로부터 부재력을 계산합니다 S k v . 그러나 미지수

로 구한 것이 독립 변위의 값이므로 부재력 계산을 위해 독립 변위로부터 부재 변형을 구하는 변환식이 필요합

니다. 변위를 부재의 변형으로 변환시킬 경우 변형 적합 매트릭스라고 표현하겠습니다. 매트릭스 변위법에서 부재 변형 v는 독립 변위 r에 의한 부재 변형 과 지점 변위에 의한 부재 변형 로 나누어 집니다.

외력이 절점에만 작용할 경우 부재력 계산은 아래와 같습니다.

where, 독립변위 을 부재의 변형벡터 로 변환시키는 적합 매트릭스

지점변위 를 부재의 변형벡터 로 변환시키는 적합 매트릭스 Wang의 Intermediate Structural Analysis와 양창현 교수님의 구조해석에서는 의 전치인 평형 매트릭스 를 가지고 전체 강성매트릭스를 계산합니다. 많은 분들이 사용하는 방법이지만 저는 적합 매트릭스를 사용하는 것이 더 매트릭스 변위법의 정의에 가깝다고 생각합니다.

그림 2.5‐1 독립변위 r & 부재변형 v

그림 2.5‐1의 구조물에서 을 풀어 쓰면 아래와 같습니다. v A r A r A r

v A r A r A r

v A r A r A r 위에서 보여준 힘의 평형방정식에 의한 매트릭스를 구한 것과 유사한 형태입니다. K 와 유사하게 A 도 "변위 j

가 부재변형 i에 미치는 영향"이라고 정의할 수 있습니다. 을 구하는 방법은 r 1을 주고 그 이외의 r과 q가 0일 경우 부재 변형 벡터의 변화량을 구하면 그것이 의 i 번째 column이 됩니다. 이것을 독립변위 r의 수만큼 합치면 이 구해지는 것입니다.

독립변위 r

부재변형 v

EI, L

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2‐10

매트릭스 변위법을 사용할 때 가장 어려워하는 부분이 변형 적합 매트릭스 과 의 작성입니다. 트러스 구조

물의 경우 변형 적합 매트릭스의 전치행렬인 평형매트릭스 를 구하여 계산하는 것이 더 쉬울 수 있으나 프레

임 구조물의 경우는 변형 적합 매트릭스를 구하는 것이 더 쉽습니다.

그림 2.5‐3에서 B가 B’로 1 수평으로 이동할 경우 절점 사이의 길이 변화는 ∆L L 1 입니다. 미소변형

의 경우 cos θ 1 이므로 ∆L 0 입니다. 그러므로 변형하지 않는 부재축에 수직인 이동선은 축방향 변형이 없는 이동선입니다.

A

B

C

B

A

C

B

A

B

C

C

θ

θ

a c d e

C

L

L

그림 2.5‐4 변형 적합 매트릭스 작성 방법

b

LL

A

B B

그림 2.5‐3 절점의 수평이동에 의한 길이 변화

i r 1, other r 0

v 1, v v 0

ii r 1, other r 0

v 0, v v1L

3 r 1, other r 0

v v 0, v 1

A

1 0 0

01L 0

01L 1

r r r

그림 2.5‐2 정정 내민 보의 변형 적합 매트릭스

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2‐11

그림 2.5‐4의 구조는 축방향 변형이 구속되어 있을 경우 독립 변위 2개와 종속 변위 1개를 지닌 구조물입니다. a 구조물에 독립 변위 r , r 와 종속 변위 y 을 결정합니다.

b 부재 변형 를 보여주었습니다.

c r 1만큼 B가 B 으로 수평 이동합니다. 이 경우 L 의 길이는 불변이므로 AB에 수직으로 이동합니다. θ가

변하지 않으므로 C도 C 으로 1만큼 이동합니다.

d C는 단부 조건에 의해 y축 방향 종속 변위 방향 으로만 이동이 가능합니다. BC 부재의 길이 L 가 변하지 않

기 위해 C 은 B C 에 수직한 방향으로 이동 가능합니다. 이동 가능한 두 선이 만나는 위치가 C 입니다.

e AB 과 B C 는 변형위치에서의 현 chord 입니다. 매트릭스 변위법에서는 절점에서 적합조건을 검토해야 하

므로 그림2.5‐4 e 에서과 같이 부재 변형 v는 현으로부터 부재까지의 회전각을 절점을 향하여 나타내야 합

니다. 그림 2.5‐4 e 에서 부재력은 다음과 같습니다.

v v1L , v v

1sin θL , y

1tan θ

r 1 일 경우 v 0 , v v 1, v 0 , y 0

1L 0

1L 1

1L sin θ

1

1L sin θ

0

, 1

tan θ 0

r

C60° 45°

r

q

q

q

q

v v

1 독립 변위 r & 지점 변위 q 2 부재 변형 v

Solution :

A

B

C60° 45°

4 m

Given :

예제 2.5‐1

Req’d : &

[email protected]

2‐12

4 &

12

√32

1√2

1√2

,

12

√32 0 0

0 01√2

1√2

q 1

45°

iii q 1 iv q 1

cos 45° 1 sin 45°

v 0 , v cos 45°1√2 v 0 , v sin 45°

12

1

3

q 1

45°

i q 1

45°

ii q 1

cos 60° q 1

1 sin 60°

v cos 60°12 , v 0 v sin 60°

√32 , v 0

r 1

60° 45°

ii r 1

60° 45°

1sin 60° sin 45°

v sin 45°1√2

1

v sin 60°√32

3 r 1

60° 45°

i r 1

60° 45°

1

cos 60° cos 45°

v cos 45°1√2

1

v cos 60°12 ,

[email protected]

2‐13

2.5.2 변위 적합 매트릭스 , 종속 변위 y가 있는 구조에서 종속 변위에 대응하는 하중 Y가 존재할 경우 독립변위 r과 지점 변위 q를 종속변위

로 변환시켜주는 변환 매트릭스가 필요합니다. 변형 적합 매트릭스와 구분하기 위하여 변위를 변위로 변환시켜

주는 매트릭스이므로 변위 적합 매트릭스라고 표현하겠습니다. where, 독립변위 을 종속변위 로 변환시키는 매트릭스

지점변위 를 종속변위 로 변환시키는 매트릭스

과 를 구하는 방법은 을 구하는 것과 동일합니다.

3 ,

v

v

v v v

v

1 1 √2

i r 1 ii r 1

v v√26√2

16 , v

18 , v

16

y 1 , y 1 , y 0

v 0, v v 1 , v 0

y y y 0

1 독립변위 r, 종속변위 y, 지점변위 q

r r y y

q

q

q

q

q

q

v

vv

v

2 부재변형 v

y

Solution :

A

B C

D6 m 8 m

6 m

Given :

예제 2.5‐2 from 기술고시 2003년

Req’d : , , ,

[email protected]

2‐14

16 0

16 1

18 1

16 0

1 0

1 0

0 0

16 0 1 0 0 0

16 0 0 0 0 0

18

18 0 0

18 0

0 0 016 0 1

1 1 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 1 0

v q 1 vi q 1

v

v

1

v v 0 , v18 , v 0

y y 0 , y 1

v v v 0 , v 1

y y y 0

v

iii q 1 iv q 1

v

1 v 1, v v v 0

y y y 0

v v v 0 , v16

y y y 0

4 ,

v

v v

1

v v√26√2

16 , v

18 , v 0

y 1 , y 0 , y 0

i q 1 ii q 1

1 √2

1

v

1

v v 0, v18 , v 0

y 1 , y y 0

[email protected]

2‐15

2.6 가상변위의 원리를 이용한 매트릭스 변위법 유도 2.6.1 외력 R과 관련된 매트릭스 해석 매트릭스 변위법은 가상변위의 원리를 이용하여 유도 가능합니다. 이고 인 가상변위를 고려하면 다음과 같습니다. 외력이 가상변위에 한 일

δWET T T T T T T T T

내력은 단면력과 크기는 같고 방향은 반대이므로 내력이 가상변위에 한 일

δWIT T T T ∆

가상변위의 원리에 의해 δWE δWI 0 T T T ∆ 0

0 이므로 T T ∆ T ∆ T T T ∆ T ∆

∆

where, T , T 식이 복잡한 듯 하나 반복되는 dummy index를 없애주면 free index r과 외력 R이 대응하므로 기억하기 쉽습니다.

더 쉽게 말하자면 D E G 이고 D E G 와 같이 매트릭스 곱셈을 연상하면 됩니다. 그리고 미지수 r은 아래와 같이 구하면 됩니다.

T T ∆ 하중이 독립 변위 방향으로만 작용하고 또 지점 침하나 온도, 제작 오차 등의 외력이 없을 경우 독립 변위 r은 아래와 같이 간단히 구합니다.

위의 r 에 대한 두식을 비교하면 우리가 계산시 구하는 절점 등가하중은 다음과 같습니다. 절점 등가하중 T T ∆ 부재력 S 는 이미 식에서 표현했듯이 독립 변위에 의한 부재력 , 지점 변위에 의한 부재력 , 고정단 하중

그리고 온도하중 . 제작 오차 등에 의한 고정단 하중 ∆ 의 합입니다.

∆ ∆

[email protected]

2‐16

4 부재 강성 매트릭스 k

EIL

4 2

2 4

5 구조 강성 매트릭스

T EI

12L

6L

6L

4L

b

1 독립 변위 r

r r

2 부재 변형 v

v

v

v

v

3

1 radiani r 1

v

ii r 1

v v1L v 0 , v 1

1L 0

1L 1

1


EIL

4 2

2 4


T EI

12L

6L

6L

4L

Solution :

a

1 독립 변위 r

r r

2 부재 변형 v

v

v

v

v

3

1 i r 1

v

ii r 1

v v1L v 0 , v

1L

1L 0

1L

1L

1

Given :

L

L

R rR r

예제 2.6‐1 From 토목구조 기술사 75회

a

L

L

R r R r

b

Req’d : a 와 b 의 강성 매트릭스

EI EI

rigid rigid

[email protected]

2‐17

Req’d : 전달률 CAB

Solution :

1 Ib h12 이라고 하면, h x h 1

xL

I xb12 h x

b h12 1

xL I 1

xL


fm mE I x dx

L 1E I

L2 2 ln 2L 2 ln L 1

1E I

L2 2 ln 2 1

fm mE I x dx

L 1E I

L4 4 ln 2L 4 ln L 3

1E I

L4 4 ln 2 3

fm mE I x dx

L 1E I

L8 8 ln 2L 8 ln L 5

1E I

L8 8 ln 2 5

E IL

8 ln 2 53 ln 2 2

8 ln 2 63 ln 2 2

8 ln 2 63 ln 2 2

8 ln 2 43 ln 2 2

E IL

6.863 5.725

5.725 19.450

7 T

8 LE I

3 ln 2 28 ln 2 5

LE I 0.14572

9 1

0.8343 CAB

MBA

MAB

SS 0.8343

2 독립 변위

r v

3 부재 변형

v

4 외력

1

5 변형 적합 매트릭스

v

1

0

h h x

L

b

2 h E constant

A B Given :

예제 2.6‐2

[email protected]

2‐18


h x h 10.63 x h 1

630 x

ICb h12 , I x

112 b h x

b h12 1

630 x IC 1

630 x

fm mE I x dx

0.69449E IC

, f fm mE I x dx

0.24301E IC

fm mE I x dx

0.34293E IC

f1E IC

0.69449 0.24301

0.24301 0.34293 E IC

1.9146 1.3567

1.3567 3.8774


v

i r 1

v 1, v v v 0

v

v v

v

v v17 , v v

13

ii r 1

v

v 0, v v 1, v 0

iii r 1 v

117 0

017 1

013 1

013 0

1 독립변위

r r

r 2 부재변형

v v

vv 3 외력

1

0

0

Solution :

Req’d : CAB, SAB

7 m 3 m

A BC h

1.6 h직사각형 단면으로 폭 b는 일정

E 일정

Given :

예제 2.6‐3 From 양창현 ”구조역학”

[email protected]

2‐19

E IC

47

27 0 0

27

47 0 0

0 0 1.9146 1.3567

0 0 1.3567 3.8774

6 구조의 강성 매트릭스

T E IC

0.571 0.122 0.286

0.122 0.980 0.968

0.286 0.986 2.486

7 변위 r

1E IC

2.232

0.865

0.593

8 부재력 S

1

0.1928

0.1928

0.7040

9 CABMBA

MAB

SS 0.7040 , SAB

MAB

θASr

12.232EI

0.4480 E IC

[email protected]

2‐20

2.6.2 반력 Q 와 관련된 매트릭스 해석

이고 인 가상변위를 고려하면 다음과 같습니다. 외력이 가상변위에 한 일

δWET T T T T T T T T

내력은 단면력과 크기는 같고 방향은 반대이므로 내력이 가상변위에 한 일

δWIT T T T ∆

가상변위의 원리에 의해 δWE δWI T T T ∆ 0

0 이므로 T T ∆ T ∆ T T T T ∆ T ∆

∆

where, T , T 반복되는 dummy index를 없애주면 free index q와 반력 Q가 대응합니다.

2.4와 2.5에서 구한 식은 2.2에서 평형방정식에 의해 구한 과 일치합니다.

미지수는 Q이므로 역행렬을 구할 필요 없이 간단히 계산됩니다.

T ∆ T 일반적으로 반력 Q는 매트릭스로 계산하지 않고 계산된 부재력을 사용하여 구합니다. 그러므로 위의 과정이 번거롭게 생각될 수도 있으나 지점 침하가 있는 경우 생각 외로 계산량이 작은 방법입니다. 그리고 반력 Q와 연관

된 , , 는 직접강성법의 전체 매트릭스의 반력 부분에 해당합니다. Note

Wang의 Intermediate Structural Analysis 와 양창현 교수님의 구조역학의 매트릭스 변위법에서는 구조의 강성

매트릭스를 구하기 위해 평형 매트릭스를 사용합니다. 변형 적합 매트릭스 와 평형 매트릭스

의 관계는 아래와 같습니다.

WE12

T , U12

T 이고 Clayperon 정리에 의해 WE U 이므로

12

T 12

T 12 T

12

T T

T

[email protected]

2‐21

2.7 T 을 이용하여 모든 DOF 를 고려한 부재 강성 매트릭스 구성 2.7.1 2 2 크기의 트러스 부재

T k 1 1 T EAL 1 1

EAL

1 1

1 1

2.7.2 트러스 요소의 Stiffness Matrix in Global Coordinate

가상변위의 원리에 의해 기울어진 부재의 강성 매트릭스는 다음과 같습니다.

T k cosθ sinθ cosθ sinθ T EAL – cosθ sinθ cosθ sinθ

EAL

cos θ cosθ sinθ cos θ cosθ sinθ

cosθ sinθ sin θ cosθ sinθ sin θ

cos θ cosθ sinθ cos θ cosθ sinθ

cosθ sinθ cosθ sinθ cosθ sinθ sin θ

R r

R r

R r

r 1

θ R r cos θ r 1

sin θ

v cos θ

v sin θv

cos θ

r 1 sin θ

v cos θ

v sin θ

i r 1 ii r 1

r 1iii r 1 iv r 1

cos θ sin θ cos θ sin θ

그림 2.7‐2 경사진 트러스 부재의

축방향력에 의한 수직 변형률은 ε∆L

σE

PA

1E 이므로 강성 k

EAL 입니다. 가상변위의 원리

에 의해 강성 매트릭스를 구하면 아래와 같습니다.

v

R r R r

v 1

r 1 r 1

v 1

1 1

그림 2.7‐1 트러스 부재의

[email protected]

2‐22

2.7.3 4 4 크기의 Local Stiffness Matrix k

가상변위의 원리로부터 T EI

12L

6L

12L

6L

6L

4L

6L

2L

12L

6L

12L

6L

6L

2L

6L

4L

위의 계산을 하려면 TI‐89 Titanium 등 문자계산이 가능한 CAS 기능을 가진 계산기가 있어야 합니다. 제 생각에 좋은 계산기가 30문제 풀어보는 것보다 낫습니다. 2.7.4 원형 아치 Ring Beam 부재의 강성 매트릭스 원형 아치 부재의 강성 매트릭스를 만드는 것은 쉽지 않습니다. 그 이유는 모든 DOF를 고려하고 가상힘의 원리

를 사용하여 구한 Flexibility는 역행렬이 존재하지 않기 때문입니다. 이것은 보의 4 4 강성매트릭스를 구할 때에도 발생하는 문제인데 모든 DOF를 고려하였을 경우 지점이 없기 때문에 부재는 불안정구조이며 불안정구조

의 강성 매트릭스의 Determinant는 0 이기 때문입니다. 원형 아치의 경우 적합 매트릭스를 구성하기 어려우므로 평형 매트릭스를 사용하는 것이 편리합니다. 부재에 지점을 만들어서 안정 구조로 만든 후 구한 Flexibility를 사용하여 모든 DOF를 고려한 부재의 강성 매트릭스를 만드는 방법을 소개하겠습니다. 1 Stiffness to Flexibility Transformation 가상일의 원리로부터

만약 이면

여기서 안정된 구조의 독립변수에 대한 연성 매트릭스 Flexibility Matrix

v v

r

r

r

r

1L 1

1L 0

1L 0

1L 1

v

v

r 1

i r 1

v

ii r 1

v v

iii r 1

r 1

EI, L

v v1L

v 1, v 0

v v1L

v

iv r 1

v 0, v 1

그림 2.7‐3 절점에서 4‐DOF와 부재변형일 경우

[email protected]

2‐23

2 Flexibility to Stiffness Transformation 반력 Q와 하중 R 사이의 관계를 표현한 평형매트릭스를 아래와 같이 정의합니다.

, where 평형매트릭스

만약 이면 Φ

와 는 서로 전치의 관계이므로 T T

를 구하기 위해 평형 매트릭스를 식에 곱해줍니다.

T T

T

T

위의 방법은 원형 아치 외에도 다른 모든 부재의 강성 매트릭스를 구하는데 사용할 수 있습니다.

3 원형 아치 보의 강성 매트릭스

그림 2.7‐4 a 는 원형 아치 보 부재의 부재력을 보여줍니다. 원형 아치 보의 강성 매트릭스를 구하기 위해 그림 2.7‐4 b 와 같이 이i 절점을 자유단 그리고 j 절점을 고정단으로 가정할 경우 구조는 안정입니다. 그림 2.7‐5는 가정한 안정된 구조에서 단위하중법을 사용하여 자유단 i 에서 처짐을 구하는 과정을 보여줍니다. 자유단인 절점 i 에 대한 flexibility 매트릭스 은 다음과 같습니다.

FRR 1,11EI m m dx

REI

12ψ

14 sin 2ψ

R 1

m

R

i

j

ψ

m

R

i

j

ψ

R 1

m

R

i

j

ψ

R 1

그림 2.7‐5 원형 아치 보에 단위하중법 적용

m R sin θ m R 1 cos θ m 1

S

S

R

i

j

a 부재력 b 외력과 반력

그림 2.7‐4 원형 아치 보 Ring Beam

ψ

S

S

S

S

Q

R

i

j

ψ

Q

Q

R

R

R

[email protected]

2‐24

FRR 1,21EI m m dx

REI

12 1 cosψ

FRR 1,31EI m m dx

REI 1 cosψ

FRR 2,21EI m m dx

REI

14 6ψ 8 sinψ sin 2ψ

FRR 2,31EI m m dx

REI ψ sinψ

FRR 3,31EI m m dx

REI ψ sinψ

그림 2.7‐4 b 를 참조하여 외력과 반력으로 변환시키는 평형매트릭스를 구하면 아래와 같습니다.

1 0 0

0 1 0

R sin θ R 1 cosψ 1

부재의 강성 매트릭스는 다음과 같이 구합니다.

T

T

Solution :

1EI

π R4

R2 R

R2

R 3π 84

R π 22

RR π 2

2π R2

1 0 0

0 1 0

R R 1

1 위에서 구한 에 ψπ2 를 대입 2 평형 매트릭스

예제 2.7‐1

Given :

S v

R

Req’d : 4분원 아치 보의 부재 강성 매트릭스 k

i S v

S v

S v

j S v

S v

F 0 ; Q R

F 0 ; Q R

M@ 0 ; Q R R sinψ R R 1 cosψ R 0

[email protected]

2‐25

3 부재 강성 매트릭스

T

T

42.875R

39.371R

12.988R

42.875R

39.371R

9.485R

39.371R

42.875R

9.485R

39.371R

42.875R

12.988R

12.988R

9.485R

5.489R

12.988R

9.485R

1.955R

42.875R

39.371R

12.988R

42.875R

39.371R

9.485R

39.371R

42.875R

9.485R

39.371R

42.875R

12.988R

9.485R

12.988R

1.955R

9.485R

12.988R

5.489R

[email protected]

2‐26

2.8 Static Condensation 매트릭스 축약 과거 컴퓨터의 용량이 작을 당시 큰 매트릭스를 가진 구조물의 해석이 어려웠습니다. 이런 어려움을 해결하는 방법이 큰 강성매트릭스를 여러 개의 sub‐matrix로 나눈 후 static condensation 매트릭스 축약 으로 작게 만들

어서 계산하는 것입니다. 지금처럼 컴퓨터 용량이 큰 경우에도 매우 큰 구조물 해석 시 도움이 될 수 있는 방법입

니다. 특히 기술사시험 등 수계산이 필요한 곳에서 계산상 편리함을 줄 수 있습니다. 이때 축약된 변위는 계산에

서 무시되는 것이 아니라 새롭게 만들어지는 등가하중과 등가 강성 매트릭스 안에 그 영향이 포함되어 있는 것입니다.

그림 2.8‐1 3‐DOF 구조의 Static Condensation

그림 2.8‐1 의 sub‐matrix 를 전개하면 다음과 같습니다.

을 위의 식에 대입하면

, &

그림 2.8‐2와 같이 한쪽 절점이 힌지인 경우 static condensation을 적용시켜 강성 매트릭스를 구할 수 있습니다.

4 EIL

2 EIL

L4 EI

2 EIL

3 EIL 1 1 매트릭스

S2 EIL

L4 EI S S

12 S

계산된 결과는 처짐각법 등에서 이미 알고 있는 식과 동일합니다.

S v

EI, L

kEIL

4 2

2 4S v

b c

S v

EI, L

그림 2.8‐2 한쪽 절점이 hinge인 보 부재의 강성 매트릭스

r

r r

rRRR

K K KK K KK K K

rrr

[email protected]

2‐27

Solution :

EI

12L

6L

12L

6L

6L

4L

6L

2L

12L

6L

12L

6L

6L

2L

6L

4L

,

S

S

S

S

where, EI

12L

6L

12L

6L

4L

6L

12L

6L

12L

, EI

6L2L6L

, EI 6L

2L

6L , EI 2

L

S

S

S

, S

Static Condesation을 적용하면 아래와 같습니다.

EI

3L

3L

3L

3L

3L

3L

3L

3L

3L

EI

S32L S

S12 S

S32L S

S vEI, L

S v S v

Given :

Req’d : 우측 절점인 힌지인 경우 부재의 강성 매트릭스

예제 2.8.1

[email protected]

2‐28

1 독립 변위 r

r r r

r

r r

Solution :

2 부재 변형 v

v

v v v

v v

예제 2.8.3 from 토목구조 기술사 63회 2‐5

Given : 1 tonf

∆ 0.1 cm

3 tonf

5 tonf

1 m 2 m 1 m 2 m

rigid link A B

C D

E

Req’d : 좌측보와 우측 구조의 강성이 동일할 경우 1 부재 AB, CD, DE의 BMD 2 A, B, D의 수직변위

1 m 2 m

8

24

64

9 FBD

24 64

248 3 tonf

644 16 tonf

6

T EI 571024

7

1EI

10243

4 적합 매트릭스

v

1

v v

18 , v

14

1814


3 E IL 0

03 E IL

EI 1.5

38 0

034

Solution :

r

vR 19

1 독립 변위 r

v

2 부재 변형 v 3 외력R

예제 2.8.2 From 토목구조 기술사 19회

Given :

8 m 4 m

1.5 I I

19 tonf

Req’d : 양단에 분배되는 하중

[email protected]

2‐29

vi

T EI

278

94

94

92

vii

1EI

4929

iix EI 계산

49 EI

11000 EI

40009 tonf · m

v

v v

v 1

v 1, v12

v v 1

1 1

12 1

vi

EI

31 0

032

5 단순보를 이용하여 휨강성 EI 계산

1 tonf

∆ 0.1 cm

1 m 2 m

i 단순보의 처짐값 ii 독립 변위 r

r

r

iii 독립 변위 r

v

v

iv 외력R

1

0

1 0 0 1 0 0

12

12 0 1 0 0

0 0 1 0 1 0

0 012 0 1 0

12

12 0 0 0 1

0 1 1 0 0 1

iii r 1

v 1 v

v

v v 0, v 1, v12 , v 0, v 1

v

v r 1

iv r 1

iv r 1

v

v

v v 1, v v v v 0

v

v v 0, v v 1, v v 0

v

v v v v 0, v v 1

v

3 외력 R

3

5

2

0

0

0


i r 1

v

v v

1

v 1, v12 , v v 0, v

12 , v 0

ii r 1

v 1

v 0, v12 , v 1, v 0, v

12 , v 0

v

v v

[email protected]

2‐30

8

24 m

49.5 m

42 m

20.25 rad.

12 rad.

0.75 rad.

10

9 부재력 S

5

5

6

6

9

9

tonf · m

6 전체구조물의 k

40009

3 0 0 0 0 0

032 0 0 0 0

0 0 3 0 0 0

0 0 032 0 0

0 0 0 032 0

0 0 0 0 0 3

7 T

50003

10003 0 1000 0

10003

10003 3000

80003

10003

40003 1000

080003

85003 0 1000

40003

100010003 0 2000 0 0

040003 1000 0 2000 0

10003 1000 0

40003 0 2000

[email protected]

2‐31

2.9 대칭과 역대칭을 이용한 구조해석 세상은 대칭이 아니지만 그 반대급부인 탓인지 대칭인 구조물이 심리적으로 더 안정적으로 보입니다. 그런 이유인지는 몰라도 구조역학이 발전하기 전에 완성된 구조물도 대칭의 모습을 한 경우가 많습니다. 그림 2.9‐1은 유명한 Pont du Guad로서 서기 19년에 당시 변방인 프랑스의 한 도시에 좋은 수원으로부터 상수를 끌어오기 위해 로마인들이 만든 석조 수도교입니다. 거의 완벽한 대칭이지요. 구조를 공부하는 사람으로서 2000년 전 교량

기술에 경외감을 느낍니다.

그림 2.9‐1 Pont du Guard

구조물이 대칭인 경우 보기도 좋지만 구조물을 해석하기 위한 모델링에도 많은 편의를 줍니다. 정확하게 표현

하면 구조물의 변형이 대칭 또는 역대칭이어야 계산시 편리합니다. 구조 거동의 대칭과 역대칭성은 구조인이라

면 반드시 알고 있어야 한다고 해도 과언이 아닐 정도로 중요한 사항입니다. 그림 2.9‐2에서 대칭의 모습은 우함

수 even function 인 Cosine 곡선을, 역대칭의 모습은 기함수 odd function 인 Sine 곡선을 연상하면 됩니다.

그림 2.9‐2 구조의 대칭 변형과 역대칭 대칭

좌우 대칭 좌우 역대칭

a Cosine 곡선 b Sine곡선

[email protected]

2‐32

2.9.1 대칭과 역대칭 구조의 변형이 대칭이 되기 위해서는 구조물의 변형 전 모습이 대칭이고 작용하는 하중도 대칭이어야 합니다. 변형의 역대칭은 구조물의 변형 전 모습이 대칭이고 작용하는 하중은 역대칭이어야 합니다. 그림 2.9‐3 a 과 같이 대칭축으로 접었을 경우 하중의 크기와 방향이 일치하였을 경우 대칭이고 그림 2.9‐3 b 와 같이 하중의 크기

는 같고 방향이 반대일 경우 역대칭입니다. 기억하기 쉽게 짝수 구조물 even 짝수 하중 even 짝수 구조물 변형 even 이고 짝수 구조물 even 홀수 하중 odd 홀수 구조물 변형 odd 라고 연상하면 됩니다.

그림 2.9‐3 기하학적 대칭 구조물에 작용하는 대칭 하중과 역대칭 하중

대표적인 우함수 대칭 인 Cosine을 미분하면 기함수 역대칭 인 Sine이 됩니다. 우함수와 기함수의 미분과 적분

의 특성을 살펴보면 하중과 처짐 곡선과의 대칭성을 파악할 수 있습니다. 재료역학에서 공부한 바와 같이 휨에 의한 처짐 곡선식을 4계 미분한 값에 휨 강성을 곱하면 하중입니다. 대칭인 구조에 대칭 또는 역대칭 하중이 작용할 경우 각각의 전단력, 휨모멘트, 처짐각 그리고 변형의 관계는 아래와 같습니다. 이때 반력은 외력의 일종이

므로 대칭인 구조에서는 반력도 대칭이어야 하고 역대칭인 구조에서는 반력도 역대칭이어야 합니다.

2.9.2 대칭의 모델링 대칭구조를 문제에 적용시키지 못하는 가장 큰 이유는 대칭축을 어떻게 모델링할 것인가를 정확하게 알지 못하

기 때문입니다. 대칭축의 모델링은 대칭축에서 평형조건과 적합조건을 고려하여 정해야 합니다. 아래의 그림

은 변형이 대칭인 대칭축의 절점에서 FBD를 그린 것입니다.

그림 2.9‐4 대칭축에서 FBD

그림 2.9‐4의 대칭축 절점에서 평형방정식을 검토하면 아래와 같습니다.

V

N

M

N

V V M

NN

V M

N

대칭축 대칭축

하중 대칭 전단력 역대칭 휨모멘트 대칭 처짐각 역대칭 변형 대칭

하중 역대칭 전단력 대칭 휨모멘트 역대칭 처짐각 대칭 변형 역대칭

a 대칭 하중 b 역대칭 하중

P P

P

P P P P

P

대칭축 대칭축

[email protected]

2‐33

F 0 N N 0 N N 수평력 N 있음

F 0 V V 0 V VN 0 수직력 V 없음

M 0 M M 0 M M 휨모멘트 M 있음

그림 2.9‐4 대칭축의 변위

그림 2.9‐4 에서와 같이 대칭축의 절점에서 양측 부재의 변형을 아래와 같은 적합조건이 성립함을 알 수 있습니

다.

i A B 일 경우 부재는 overlap 됩니다. r 0

ii A B r A B

iii A B 일 경우 절점에서 kink가 발생합니다. r 0

평형방정식과 적합조건을 짝을 이루어보면 그림 2.9‐5와 같이 대칭축을 모델링합니다.

2.9.3 역대칭의 모델링

그림 2.9‐6 역대칭 축에서 FBD

그림 2.9‐4 의 대칭축 절점에서 평형방정식을 검토하면 아래와 같습니다.

F 0 N N 0 N N 0 수평력 N 없음

F 0 V V 0 V V 수직력 V 있음

M 0 M M 0 M M 0 휨모멘트 M 없음

V

N

M

N

V V

MNN

V

V

역대칭축대칭축

대칭축i N 0 & ∆H 0

ii V 0 & ∆V 0

iii M 0 & 0

M

N

그림 2.9‐5 대칭축 모델링

A r

A

A

x

y r

r

y

x

B

B

B A r B

r B A

A B

r

a 대칭축에서 좌우 부재의 변위 b 수평방향 변위

c 수직방향 변위 d 회전 변위

[email protected]

2‐34

그림 2.9‐7 역대칭축의 변위

그림 2.9‐7에서와 같이 역대칭축의 절점에서 양측 부재의 변형을 아래와 같은 적합조건이 성립함을 알 수 있습

니다. i A B r A B

ii A B 이면 절점에서 gap 이 발생합니다. r 0

iii A B r A 평형방정식과 적합조건을 짝을 이루어보면 그림 2.9‐8과 같이 대칭축을 모델링할 수 있습니다.

그림 2.9‐8 역대칭축 모델링

역대칭축

i N 0 & ∆H 0

ii V 0 & ∆V 0

iii M 0 & 0 V

A r

A

A

x

y r

r

y

xB

B

B A r B

r BA

A

B r

a 역대칭축에서 좌우 부재의 변위 b 수평방향 변위

c 수직방향 변위 d 회전 변위

B

[email protected]

2‐35

2.9.4 대칭과 역대칭의 예

그림 2.9‐9 대칭과 역대칭 변형의 예

그림 2.9‐9 f 와 g 와 같이 대칭축과 동일한 축을 공유하는 부재가 있을 경우 부재의 강성 매트릭스 구성시 부재 단면적과 단면 이차모멘트를 생략되는 량만큼 줄여서 계산하여야 합니다. 반대로 최종적인 부재력은 계산된 부재력 S에 생략된 만큼을 더해주어야 합니다.

a 대칭 구조

b 역대칭 구조

P P2

P2

P P2

P2 P

2

P2

d 역대칭 구조

P P P P

c 대칭 구조

P P2

P2

e 대칭 역대칭 구조의 혼합

g 역대칭 구조

P

f 대칭 구조

I A2

A I2

IAA2

I2

P

P P

P P

P P

[email protected]

2‐36

9 변위

PLEA

12

√2 12

10 부재력

P

√2 12

√24

2 √24

P

√2 12√22

2 √22


EA

1L 0 0

012

1L√2

0

0 012

1L√2

EAL

1 0 0

01√2

0

0 01√2

8

T EAL

1 √22

12

12

1 √22

P P 45° 45°

대칭

대칭

P2

대칭

대칭A2

A2

A

r

r

v

v

v P20 1

√2

r 1

1√2

r 1

1 대칭축 3 독립변위

4 부재변형 5 외력 6

A

1√2

1√2

1 0

0 1

2 Modeling

Solution

Req’d : 부재력

L

L

P P45°

45° EA constant

Given :

예제 2.9‐1 From Yang “Finite Element Analysis” Ex. 4.2

[email protected]

2‐37

10 부재력

P 0.4695

0.3756

EAL

1√2

0

01√52

7 8

A T k AEAL 0.5324

9

PLEA 0.9391

6

1

B C B C

1√21√5

평형매트릭스 를 구하는 것이 더 쉽습니다.

A R

S S

R1√2

S1√5

S 1√2

1√5

T

1√2

1

1√5

Solution :

2 Modeling : 역대칭 거동

B C

P2

3 독립변위

r

4 부재 변형

v

v

5 외력

P2

1 2 1

1

1 트러스 구조는 AD부재를 축으로 대칭이며 하중 P는 역대칭 하중이므로 구조의 거동은 역대칭입니다. 역대칭 거동이므로 수직방향 변위는 0 이고 수평 방향 변위만 존재합니다. 절점 A가 수평으로만 이동 가능할 경

우 AD부재는 변형을 하지 않으므로 부재력은 0이고 구조의 강성에 영향을 주지 않습니다.

Req’d : 부재력

Given :

L

L2

L2

L2

L2

P A

B C D E F EA constant

예제 2.9‐2

[email protected]

2‐38

7

E

2.131 10 0 1.920 10

0 5.028 10 5.000 10

1.920 10 5.000 10 6.440 10

8 9

1E

6.919 10

9.625 10

7.679 10

16.216

9.729

12.972

1.083

16.216

19.459

12.972

1.083

45 0

35

0 1 1

1 0 0

014 0

v 5

r 1

45

r 1

r 1 35

6

E

20 105 0 0 0

01230 10

3 0 0

0 075 10

4 0

0 0 03 6000 10

4

10 tonf

r

r

r

vv

vv

1 Modeling 2 독립변위 3 부재변형

0

10

0

Solution :

4 외력

A2

1 1 2

3

20 tonf

A 20 cm , A 30 cm , A 75 cm

I 6000 cm E constant 3 m

4 m 4 m

Given :

예제 2.9‐3 From 양창현 “구조역학” 예제 12.5

[email protected]

2‐39

8

1EI

5 P L48P L8P L16

3 P L8P L8P L8

P L8

9 10 BMD

3 P L8

P L8

6 부재 강성 매트릭스 7

EIL

4 2 0 0

2 4 0 0

0 0 4 2

0 0 2 4

T EI

12L

6L 0

6L

8L

6L

06L

12L

v

v v A

1L 0 0

1L 1 0

0 11L

0 01L

v

v

vi r 1 ii r 1 iii r 1

5

1

1

L

L

P2

r

r

r

v

v v

v

P2

0

0

1 Modeling 2 독립변위 3 부재변형 4 외력

Solution :

P P

2 L

L

L

EI constant

EA ∞

Given :

예제 2.9‐4 From Yang “Finite Element Analysis” 5.5. Ex. 1

Req’d : BMD

[email protected]

2‐40


EA√2 L

12√2 EI√2 L

12 EIL , k EI

12L 0 0 0 0

04L

2L 0 0

02L

4L 0 0

0 0 04L

2L

0 0 02L

4L

v v v

A

1√2

01√2

1L 0 0

1L 1 0

0 11L

0 01L

v

v

vi r 1 ii r 1 iii r 1

5

1

1

√

√

L P2

r

r

r

v

v

v v

P2 0

0

1 Modeling

v

2 독립변위 3 부재변형 4 외력

Solution

P P

2 L

L

L

EI constant

EA12√2 EI

LEA

Given :

예제 2.9‐5 From Yang “Finite Element Analysis

Req’d : 부재력

[email protected]

2‐41

6 7

EI

33 0 0 0

044

24 0

024

44 0

0 0 01233

T EI

0.167 0.333 0.167

0.333 2.000 0.500

0.167 0.500 1.500

v v

v

v

v v

5

A

13 1 0

0 1 0

0 0 1

13 0 1

1 i r 1 ii r 1 iii r 1

I2

I

I

60 kN r

rr

v

v v

v

60

0

0

1 Modeling 2 독립변위 3 부재변형 4 외력

Solution :

Req’d : 재단 모멘트

3 m

4 m 4 m

120 kN EI constant

EA ∞

Given :

예제 2.9‐6

7

T EI

18L

6L

6L

6L

8L

6L

6L

6L

18L

8

1EI

3 P L32P L8

7 P L96

9

√2 P8

5 P L16P L16P L16

3 P L16

[email protected]

2‐42

8 9

1EI

565.714

85.714

34.286

102.857

102.857

77.143

77.143

102.857

102.857

77.143

154.286

kN · m

7 8 9

T EI 41

135 a 1EI

135 P a82

27 P a41

27 P a41

15 P328

27 P a41

27 P a4115 P164

5

i r 1 r 1

v

v

v

535a535a

43

13 a

13 a

43

6 부재강성 매트릭스

EI

45 a

25 a 0

25 a

45 a 0

0 012

18 a

13 a

P2

B

A

3 a

4 a A2

I

1 Modeling

r

v

v

v

2 독립변위 3 부재변형 4 외력

P2

Solution :

P

P 3 a 3 a

4 a

4 a

A

B

C

D

IAB IAD IBC ICD I

AAB AAD ABC ACD ∞

AAC AI

8 a

Given :


Req’d : 부재력

[email protected]

2‐43

Req’d : SFD, BMD

v vi T vii iix

EI

46

26 0 0

26

46 0 0

0 043

23

0 023

43

EI 2.000 0.667

0.667 0.444

1EI

9

27

3

6

6

12

tonf m

r r

v

v

v v

v

v

v

v

0

6

i 독립변위 ii 부재변형 iii 외력

1

0 0

1 0

113

013

iv

2 대칭 하중

5 tonf

대칭축 역대칭축

6 tonf

1 중첩의 원리를 이용하여 대칭과 역대칭 하중으로 분리

Solution

3 m 3 m

6 m

A

BC

D

10 tonf 12 tonf

EI constant

EA ∞

Given :

예제 2.9‐8

[email protected]

2‐44

L2

A

B C

D

L2

L

EI constant

EA ∞P

Given :

예제 2.9‐9 From 토목구조 기술사 63회 3‐2


14.143

17.143

12.857

12.857

3

6

6

12

14.143

6.857

6.857

12

17.143

12.857

12.857

3

6

6

12

20.143

18.857

18.857

12

6.857

12

18.857

18.857

20.143

BMD tonf m

4 전체 구조

v k

EI

46

26 0

26

46 0

0 033

EI 0.056 0.167

0.167 1.667

vii

1EI

128.571

12.857

iix

17.143

12.857

12.857

tonf · m

r

r

v

v

v

v

v 5

0

i 독립변위 ii 부재변형 iii 외력

1

16 0

16 1

0 1

v

v

iv

3 역대칭 하중

vi T

[email protected]

2‐45

6 7 T

EI

8L

4L 0 0 0 0

4L

8L 0 0 0 0

0 04L

2L 0 0

0 02L

4L 0 0

0 0 0 08L

4L

0 0 0 04L

8L

EI

12L

24L

2L 0

24L

96L 0 0

2L 0

12L

24L

0 024L

96L

v

1v

5

i r 1

v v

ii r 1 iii r 1

v

v

iv r 1

v

v

1

02L 0 0

12L 0 0

1 0 0 0

0 0 1 0

0 0 12L

0 0 02L

1 Modeling

r

r

r

r

v

vv

v

v

v

2 3

0P20

0

P2

Solution :

4

[email protected]

2‐46

8 9

1EI

3 P L128

17 P L1536P L128P L512

11 P L645 P L645 P L64P L64P L64P L64

예제 2.9‐10 매트릭스 해석 예제가 아니나 유명한 대칭 문제임

P

P

P

P

대칭축

대칭축

역대칭축 역대칭축

P2

P2

P2

역대칭축

P2

P2

MA

MA

P2

MA

Solution :

P

P

P

P

R EA ∞

EI constant

Given :

Req’d : 구조 해석

[email protected]

2‐47

Req’d : 1 a 와 b 구조에서 C의 변위를 구하고 BMD를 그리시오. (10점)

2 a 와 b 의 해석결과를 분석하여 대칭 또는 역대칭을 적용하여 해석이 가능한지

판단하고 그 이유를 논하시오. (10점)

3 대칭 또는 역대칭을 이용하여 해석하는 것이 가능할 경우 모델링을 하시오. (5점)

Note : 만약 해석 초기부터 대칭 또는 역대칭성을 이용하였다면 1 & 2 단계 불필요.

주어진 구조는 C점을 기점으로 180° 회전할 경우 대칭인 구조입니다. 수직 집중하중이 작용하는 a 구조의 경우 180° 회전하면 하중의 방향은 반대이므로 구조는 역대칭으로 변형을 합니다. 휨모멘트가 작용하는 b 구조

의 경우 180° 회전하여도 휨모멘트의 방향은 동일하므로 구조는 대칭으로 변형을 합니다.

Solution :

1 대칭성 및 역대칭성

A

B

A

B C D

E

C를 기점으로 180° 회전 대칭 구조

E

D 180° 회전

P2

P2

a 하중 역대칭

A

B

E

D180° 회전

P L2

b 하중 대칭

180° 회전

P L2

L

L

L L

EI 는 일정

P

A

B C D

E

L

L

L L

EI는 일정

PL

A

B CD

E

a b

Given :

예제 2.9‐11

P2

P2

MA

V M O 0 ; P R2 MA 0 MA

P R2

O θ

M

M 0 ; P2 R sin θ

P2 R 1 cos θ

P R2 M 0

M P R2 sin θ cos θ , 0 θ

π4

[email protected]

2‐48

vi vii

EIL

4 2 0 0

2 4 0 0

0 0 4 2

0 0 2 4

T EI

12L

6L 0

6L

8L

6L

06L

12L

P LEI

5 L1381192392

ix

v

v

v

a r 1

v v1L

1

v

b r 1

v 0 , v v 1

v

v

c r 1 v

v v 0 v 0

1

v v 0

v v1L

1L 0 0

1L 1 0

0 11L

0 01L

2 a 해석

r r

v

v

i 역대칭 모델링 P2

rii 독립 변위 iii 부재 변형

v v

C 0 , C 0 , θ 0

iv 외력

0

0P2

A

B

E

D

180° 회전

C 0 , C 0 , θ 0 A

BC

D

E

C

θ

A

B

E

D

180° 회전

C 0 , C 0 , θ 0 A

BC

D

E

C

θ

b 대칭의 적합조건

a 역대칭의 적합조건

[email protected]

2‐49

ix

PL

114171712

대칭이므로 휨모멘트는 크기와 방향 동일.

x BMD

114

17

12

12

17

PL

vi vii

EIL

4 2 0 0

2 4 0 0

0 0 4 2

0 0 2 4

T EI

12L

6L

6L

8L

P LEI

12817

iix

v

a r 1

v

b r 1

v 0 , v v 1 , v 0

v

0 0

1 0

1 0

0 1

v

v v v 0 , v 0

3 b 해석

r r

v

v

i 대칭 모델링 P L2

ii 독립 변위 iii 부재 변형

v v

C 0 , C 0 , θ 0

iv 외력

0P L2

x

PL

18181838

180° 회전시켰을 경우 BMD

역대칭이므로 휨모멘트는 크

기는 같고 방향은 반대.

38

18

18

18

18

PL

114

xi BMD

[email protected]

2‐50

2.10 절점 사이에 작용하는 하중 지금까지 예제에서 다룬 하중은 절점에 작용하고 종속 변위와 무관한 하중이었습니다. 하중의 수가 적은 경우 작용 위치에 절점을 만들면 되나 하중이 많거나 분포 하중일 경우 이러한 방법은 경제적이지 못합니다. 실제 하중에 의해 절점에 발생하는 변위와 동일한 절점 변위를 일으키는 절점 하중을 등가 하중이라고 합니다. 이 등가

의 하중을 구하는 방법은 고정단 하중을 이용하는 방법과 등가의 에너지를 이용한 방법이 있습니다. 전자의 방법은 고전적인 해석법인 처짐각법, 모멘트 분배법과 매트릭스 해석에서 많이 사용합니다. 후자의 방법은 shape function과 에너지 방법을 사용하여 구하므로 FEA 요소에서 사용하는 방법입니다. 여기서는 고정단 하중을 이용하는 방법을 사용하겠습니다. 만약 에너지 방법에 의해 구하는 방법이 궁금하신 분은 5장 또는 참고서적 중 하나인 Yang의 FEA 책을 보면 쉽게 설명되어 있습니다. 2.10.1 고정단 하중을 이용한 방법

그림 2.10‐1 등가하중의 적합조건과 평형조건

절점 사이에 작용하는 하중은 고정단 하중과 등가 하중의 두 단계로 나누어 생각할 수 있습니다. 중첩의 원리에 의해 두 하중은 실제 구조물의 거동의 적합조건과 평형조건을 모두 만족시켜야 합니다. 그림 2.10‐1 b 의 고정

단 하중에서 양단의 회전각은 0 입니다. 그러므로 실제 구조물의 처짐각과 등가하중만 작용하였을 경우 처짐각

은 동일하여야 합니다. 적합조건 v v I v II 0 v II v II

v v I v II 0 v II v II 평형 조건은 아래와 같습니다. 평형조건 S S I S II SFEM S II SFEM k v k v

S S I S II SFEM S II SFEM k v k v In matrix form

가상일의 원리로부터 T T T

T

위의 식으로부터 독립 변위 r 을 구하면 다음과 같고 이때 를 등가하중이라고 합니다.

T

w x w x

a 실제 구조물 b Step I : 고정단 하중 c Step II : 등가하중

[email protected]

2‐51

2.10.2 여러 경우의 고정단 모멘트 : 전단변형 무시

a SFEMP a bL , SFEM

P a bL cf. 예제 2.10 1

b SFEMw x x L x

L dxL

, SFEMw x x L x

L dxL

c w x w SFEMw x L x

L dxw L12

L , SFEM

w x L xL dx

L

w L12

d w xw xL SFEM

w xL x L x

L dxw L30

L , SFEM

w xL x L x

L dxL

w L20

2.10.3 전단변형을 고려할 경우 고정단 하중

집중하중 P 작용시 FEMP a b b L GA 6 EI αV

L L GA 12 EIP a bL

b L 6ηL 12η CCW

FEMP a b a L GA 6 EI αV

L L GA 12 EIP a bL

b L 6ηL 12η CW

where, ηαV EIGA λ

3

1 L12 η

36 η12 η L

분포하중 w 작용시 FEM FEMw L12 CCW

a b L a b

A EI는 일정함

PBGiven :

예제 2.10‐1

Req’d : 양단의 모멘트

a b

L

i j

x

L

i j L x dx

w x

a b

L

j

c

L

j

d

그림 2.10‐2 여러 형태의 하중에 의한 고정단 모멘트

[email protected]

2‐52

1 독립 변위

r

r 2 부재 변형

v v

vv

Solution

L

A EI는 일정함

w B

LC

Given :

Req’d : , ,

예제 2.10‐2

7

PEI

a b3 L

a b a b2 L

P a bL

P a bLP a bL

P a bL

FEMABP a bL

FEMBAP a bL

5

EI

4a

2a 0 0

2a

4a 0 0

0 04b

2b

0 02b

4b

6

T EI

12a

12a

6a

6a

6a

6a

4a

4b

4

v v1a , v v

1b

ii r 1

v 0, v v 1, v 0

v

v v

v

i r 1

v

v

1a 0

1a 1

1b 1

1b 0

1 독립 변위

r

r 2 부재 변형

v v

vv 3 외력

P

0

Solution :

8 9 FEM

[email protected]

2‐53

Req’d : , ,

Solution

L

w L2

L

w L2

P aL

w L2

0

P a bLP a bL

w L12w L12

P aL

P bL

3 외력 4

w

P

1 독립 변위

r

r 2 부재 변형

v v

vv

L

EI는 일정함

w

L

C

P

a

Given :

b

A B예제 2.10‐3

SFEM SFEMR

T

AB

C

T T

T

w L2

w L12

0 0 0

6 등가하중

5

v v1L , v v

1L

ii r 1

v 0, v v 1, v 0

v

v v

v

i r 1

v

v

1L 0

1L 1

1L 1

1L 0

L

w L2

L

w L2

w L2

0

3 외력 4 고정단 모멘트

0

0

w L12w L12

[email protected]

2‐54

6 등가 하중

T T

T

1L

P a bL

P a b L

P aL

w L2

P a b L

w L12

4 고정단 모멘트

32

6 1012

0

0

0

75

0

0

0


v

v

v v 1 , v v 0

i r 1

1 독립 변위

r r

2 부재 변형

v

v

v

v

0

0

Solution :

3 외력

A B C D

10 m 10 m 10 m

EI constant

w 6 tonf/m

w Given :

예제 2.10‐4 from 건축구조 기술사 76 회

Req’d : 최대 휨 모멘트의 위치와 값

SFEM SFEMR

T

A B

C

R

SFEM SFEM

SFEM SFEML 0 00

5

v v1L , v v

1L

ii r 1

v 0, v v 1, v 0

v

v v

v

i r 1

v

v

1L 0

1L 1

1L 1

1L 0

[email protected]

2‐55

EI5

3 0

0 3

6 부재 강성 매트릭스 k 7 전체 강성 매트릭스

T EI 6125

8 변위 r

T 1EI 225

9 부재력 S

48

27


25 3 2

512

25 3 25

0

21

0


v v

1515

1

r 1 독립 변위

v

v

2 부재 변형

Solution

3 외력

2035 12

3 m

EI constantGiven :

예제 2.10‐5

Req’d : MAB , MBA

2 m 5 m

25 tonf

A A

10 최대 휨모멘트 위치와 값

A의 수직반력 VAw L2

SL

6 102

4010 26

AB 경간에서 M VA x12 w x 26 x 3 x

dMdx 26 6 x 0 x

266 4.333 m

M 26 266 3

266 56.333 tonf · m

T

EI 0.7 0.2

0.2 0.7

8 변위 T

1EI

116.667

33.333

9 변위

40

40

10

10

v

v

ii r 1

v v 0 , v v 1

1 0

1 0

0 1

0 1

EI10

3 0 0 0

0 4 2 0

0 2 4 0

0 0 0 3


[email protected]

2‐56

Alternatively AC 에서 P x 0 0 x 10 m , CB 에서 P x

wL x 10 10 x 10 m

MAB SFEMP x x 20 x

20 dxP x x 20 x

20 dx 35 kN · m

MBA SFEMP x x 20 x

20 dxP x x 20 x

20 dx 115 kN · m

8 변위 r

T 1EI

750

50

35

25

25

115

9 부재력 S

110 0

110 1

110 1

110 0


EI10

4 2 0 0

2 4 0 0

0 0 4 2

0 0 2 4

7

T EI0.7 0.2

0.2 0.7


0

0

12 1030

12 1020

0

0

40

60


i r 1

v

v

v

v

v v110 , v v

110

ii r 1

v

v

v 0, v v 1, v 0

r

r

1 독립 변위

v v

v v 20

R13

12 12 10 20

402 부재 변형 3 외력

20

0

Solution

A B C

10 m 10 m

w 12 kN/m

EI constant

Given :


Req’d : MAB , MBA

[email protected]

2‐57

Req’d : MB , MC

Solution

B의 수직변위를 독립변위로 할 경우 회전변위 θBrL 이며 종속변위입니다.

7 8 변위 r

T EI 28L T

13 w L336 EI

9 부재력 S

17 w L56

11 w L28

예제 2.10‐8 From 양창현, 구조역학 문제 11.9

Given :

3 m2 tonf/m

2 m 4 m

B

C

Req’d : D의 수직 반력

A

D

12 tonf

1.5 I I

2 I

2 m


w L12w L12


v

vv

2L , v

1L

2L1L

EIL

4 2

2 4


1 독립 변위 r

2 부재 변형

v v3 외력

w L

w

A B CI ∞ I

L L

Given :

예제 2.10‐7

[email protected]

2‐58


EI

4 1.54

2 1.54 0 0 0

2 1.54

4 1.54 0 0 0

0 043

23 0

0 023

43 0

0 0 0 03 24

7

T EI

38

916

38

916

176

23

38

23

176

8 변위 r

T 1EI

52.544

10.182

7.938

9 부재력 S

27.920

8.284

8.284

3.797

3.797

tonf · m

ii r 1

v

v iii r 1

v

v

v 0, v v 1, v v 0 v v v 0, v v 1

14 0 0

14 1 0

0 1 0

0 0 1

14 0 1


12 4812 48

0

0

32

2 412

6

6

0

0

4

5

i r 1

v

v

v

v v14 , v v 0 , v

14

Solution :

1 독립 변위 r r

r

r

2 부재변형 v

v

v

vv

v

3 외력 R

6 4

0

0

10

0

0

[email protected]

2‐59

300

300

192

168

300

300

D E

100 612 300

vv

v

v


i r 1

v v16 , v v 0 , v v

16

4 외력 R

0

0

0


100 612 300

AB B

D

40 612

40 620 192

40 612

40 630 168

Solution :

1 modeling

6 m

6 m

2 독립 변위 r

r

r

r

3 부재 변형 v

v

v

v

vv

v

A B

D E


Given :

6 m

40 kN/m

100 kN/m

100 kN/m80 kN/m80 kN/m

40 kN/m

6 m 6 m

EI constant

A B C

D E F

Req’d : BMD

[email protected]

2‐60

iii 부재 AD

B

D

221.714

218.286

V 40 323

12 40 6

221.714 218.2866 200.571

V

x

80 kN/m

40 kN/m

V

MBD x 221.714 200.571 x w z x z dz

221.714 200.571 x10 x x 36

9

w x 80406 x

341.714

x

i 부재 AB

A B

100 kN/m

221.714

MAB x 221.714 V x12 100 x

221.714 280 x 50 x

V 300341.714 221.714

6 280

V

ii 부재 DE

D E

V

338.286 218.286

V 300338.286 218.286

6 280

MAB x 218.286 V x12 100 x

218.286 280 x 50 x

x

T 1EI

30.857

109.714

130.286

9

341.714

221.714

221.714

218.286

218.286

338.286

11 BMD


EI6

4 2 0 0 0 0

2 4 0 0 0 0

0 0 4 2 0 0

0 0 2 4 0 0

0 0 0 0 4 2

0 0 0 0 2 4

8

T EI

0.111 0.167 0.167

0.167 1.333 0.333

0.167 0.333 1.333

v

ii r 1

v

v 0 , v v 1

v

v

v v v 0

iii r 1

v v v 0

v v 1, v 0

16 0 0

16 1 0

0 1 0

0 0 1

16 0 1

16 0 0

10

[email protected]

2‐61

부재 AB

부재 DE

부재 BD

-400

-200

0

200

400

0 1 2 3 4 5 6

-400

-200

0

200

400

0 1 2 3 4 5 6

-400

-200

0

200

400

0 1 2 3 4 5 6

Solution :

1 독립변위

A

C

x r r

y

z

2 부재 변형

r

A

C

v

v

v

B

v

v

v3 외력

5

0

0


Given :

3 m 3 m

8 m

A

C

10 kN

E 24 10 MPa , ν 0.3

I 0.005 m , J 0.001 m

Req’d : 강성도법을 사용하여 B의 처짐을 구하시오.

B

[email protected]

2‐62

7 T

1137512 1125 2000

1125185003 0

2000 0 8125

0.0126 m

2.298 10 rad.

2.178 10 rad.

8 변위 T 9 부재력

0.383

23.983

0.272

0.272

0.383

7.277

kN · m


2.4 10 0.005

112

16 0 0 0 0 0

046

26 0 0 0

026

46 0 0 0

0 0 0112

18 0 0

0 0 0 048

28

0 0 0 028

48

G JE I

E2 1 ν J

E IJ

2.4 I112

St. Venant Torsion만을 고려한다고 가정.

G JL E I

G JE I

1L

ii r 1

A

v

B v

v

C

v

1

v 1 , v v 0

v 0 , v 1 , v 0

iii r 1

A B

C

1

v

v v 0 , v v 1

v v 0

0 1 0

16 0 0

16 0 1

0 0 1

18 1 0

18 0 0

0

10 6810 68

0

0

0

0

7.5

7.5

0

0

0

4 고정단 모멘트 5 적합 매트릭스

i r 1

A

vB

v

v

v C

1

v 0 , v v16 , v 0 , v v

18

[email protected]

2‐63

2.11 종속 변위에 대응하는 하중

그림 2.11‐1 독립변위와 종속변위

그림 2.11‐1은 평면 프레임 구조해석에서 일반적으로 선택하는 수평 독립 변위를 보여주었습니다. 이 경우 외력 P는 종속 변위 y 에 대응하는 외력 Y 로 계산에 포함시킵니다. 분포 하중의 경우와 마찬가지로 종속 변위에 대응하는 외력은 독립 변위에 대응하는 등가의 하중으로 변환시킬 수 있습니다. 이 노트에서 설명하는 매트릭스 변위법에서는 2.4에서 가상변위의 원리에 의하여 구한 매트릭스 계산식에 있는 종속 변위에 대응하는 하중 벡터 Y로 계산에 포함시킵니다.

T , where 1 0 012 0 0

T

T

0

0

0

1 0 012 0 0

T

0

P

P20

0

직접 강성법에서는 등가하중을 미리 계산하여야 하는데 이 경우 가상변위의 원리를 사용하는 것이 가장 일반적

입니다. 물론 평형방정식에 의해 구할 수도 있지만 에너지의 원리를 이용하여 설명하는 것이 훨씬 더 합리적입

니다. 토목구조 기술사 시험에서 여러 번 등가의 하중을 구하는 문제가 출제된 적이 있습니다. 여기서는 그림 2.12‐1 c 를 예로 들어 짧게 설명하고 자세한 설명은 4장의 직접 강성법에서 하겠습니다. 그림 2.12‐1 c 와 같이 δr 1이고 δr δr 0인 가상변위를 주어진다면 독립 변위에 대응하는 외력 R 이 가상변위 δr 에 한 가상일 δWE 은 실제 하중 P가 가상변위에 한 가상일 δWE 과 같아야 합니다.

δWE R δr R 0 R 0 R 1 R & δWE Y δy Y δy 0 1 P12

P2

RP2 , R 0 , R 0

P

EA ∞ 2

1

r r

ry

y

변위가 다른 변위의 함수로 표현 가능할 경우 종속변위라고 합니다. 이 경우 독립변위의 수가 적어지므로 계산

이 줄어듭니다. 단 종속변위에 대응하는 외력이 있을 경우 외력이 한 일이 달라지므로 등가하중도 달라져야 합

니다. 종속변위에 대응하는 하중이 존재할 경우 수계산시 실수를 할 여지가 있으므로 주의를 하여야 합니다.종속변위에 대응하는 하중에 의한 발생하는 등가하중은 가상변위의 원리를 적용하면 쉽게 이해할 수 있습니다.아래의 예는 몇 차례 기술사 시험에 출제되었던 문제 유형입니다.

1

b 독립변위 종속변위 c 가상변위 δr 1 일 경우 a 종속변위에 대응하는 하중

[email protected]

2‐64

87

6.75

1EA 15.748

2.953

3.780kN


EA

14 0

015

EA 0.429

4 &

D가 이동 가능한 경로

D D1 D

B

34 5

4D54

1.2

θ

θ

54 cos θ 1.2

θ tan34

θ tan43 θ

D

C

0.75

1.2, 0.75

r 1

Solution :

부재 AD의 강성이 무한하므로 절점 D는 부재 AD에 수직인 선상에서 이동 가능합니다.

1 변위 r & y

y r

2 부재 변형 v

vv

3 외력 R & Y

3

5

Given :

EA ∞ EA EA

3 m 3 m

4 m

5 kN 3 kN

A B C

D

예제 2.11‐1 From 옥재호 “토목구조 기술사”, p. 296

Req’d : 등가하중과 부재력

6 T

[email protected]

2‐65

6 T T

4 부재 강성 매트릭스 5

EI

46√2

26√2

0 0

26√2

46√2

0 0

0 038 0

0 0 036

T EI 0.059 0.071

0.071 0.846

1 외력 R

C

3 kN/m

3 4 12 3 4 12

B

0

0

2 종속 변위에 대응하는 외력 Y

12

0

032

3 8120

0

0

24

0

3

A

B C

D 6 m 8 m

6 m

Given : 예제 2.5‐2 의 구조의 BC부재에 등분포 하중이 작용

축방향 변형이 없는 것으로 가정하면 종속변위 y , y 는 고려하지 않아도 됩니다.

3 kN/m

EI constant EA ∞

rr

y

v

v v

v

16 0

16 1

18 1

16 0

, 1 0

예제 2.11‐2 From 기술고시 2003 년


T T 1EI

320.506

55.232

24.754

11.736

11.736

26.709

kN · m

Solution

7

[email protected]

2‐66


0

030 4830 480

0

0

0

15

15

0

0

5 &

i r 1

2

1

√5

√

v v16 , v v

124

18

v v

√52

3 √516 & y

12

ii r 1 , v 0 , v v 1 , v v v 0 & y 0

16 0 0

16 1 0

18 1 0

18 0 1

16 0 1

16 0 0

iii r 1인 경우 v v v 0 , v v 1, v 0 & y 0 12 0 0

1 변위 r & y

Solution :

r

r r

y 2 부재 변형 v

v

v v

v

v

v

3 외력 R & Y

60

0

0

15

2 m

2 m

3 m

60 tonf 30 tonfGiven :

6 m

A

B C

D

강도 계수 일정IABLAB

IBCLBC

ICDLCD

IL

2 1

√5

예제 2.11‐3 From 양창현 “구조역학” 연습문제 14.13


[email protected]

2‐67

8 T T 9 부재력 S

T T LEI

62.376

4.059

0.941

54.257

460139

46.139

66.139

66.139

64.257

tonf · m

r

r

Solution :

1 변위 r & y y

2 부재 변형 v

v v

v

3 외력 R & Y

0

0 ,

P2

w L2


0

032

P L8

w L12

0

03 P L16

w L8

L2

Given :

w

L2

L2

L2

P

EI constant

A

B C R

R

예제 2.11‐4 From 토목구조 기술사 72 회 4‐4

Req’d : 재단 모멘트의 등가하중 R & R


EIL

4 2 0 0 0 0

2 4 0 0 0 0

0 0 4 2 0 0

0 0 2 4 0 0

0 0 0 0 4 2

0 0 0 0 4 2


T EIL

0.854 0.25 0.25

0.25 8 2

0.25 2 8

[email protected]

2‐68

6 부재강성 매트릭스 7

EI

4L√2

2L√2

0

2L√2

4L√2

0

0 03L

T EI

4√2 3L

3 4√2 1L

3 4√2 1L

3 16√2 1L

8 T T

T T

3 P L16

w L8

11 P16

5 w L8

0.193 P L 0.171 w L

0.038 P L 0.052 w L

0.038 P L 0.052 w L

1

1√2

v

v v

5 &

i r 1

v 0 , v v 1

y 0

ii r 1

v v√2L√2

2L , v

1L

y 1

A

02L

12L

1 1L

C 0 1

9 부재력 S

[email protected]

2‐69

2.12 탄성 스프링을 지닌 구조의 매트릭스 해석 구조 기술사 시험에 잘 나오는 문제 중 하나가 스프링을 지닌 구조의 해석입니다. 실제로 이런 구조물은 존재하

지 않지만 주변 부재의 영향을 스프링으로 모델링하여 해석하는 방법은 자주 사용됩니다. 탄성 스프링을 가진 구조의 해석은 일반적으로 최소일의 원리나 변형일치법을 사용하여 해석하나 구조물의 변형을 자세히 살펴보

면 매트릭스 변위법으로 계산하는 것도 매우 간단함을 알 수 있습니다.

스프링의 강성은 두 가지 방법으로 전체 구조의 강성에 포함시킬 수 있습니다. 첫 번째 방법은 그림 2.12‐1 b 와 같이 스프링을 하나의 부재로 표현하는 것입니다. 이 경우 부재력 계산시 스프링에 작용하는 하중도 함께 계산

이 되나 부재 강성 매트릭스를 포함하여 대부분의 매트릭스의 크기가 커지는 약점이 존재합니다.

두 번째 방법은 기술사 시험 등 수계산에서 가장 많이 사용하는 방법으로서 그림 2.12‐2 c 와 같이 스프링을 부재로 포함시키지 않고 스프링에 발생하는 힘을 외력으로 보고 계산하는 방법입니다. 그림 2.12‐2 c 에서 스프

링 힘은 변위 r 의 방향과 반대 방향임을 알 수 있습니다. 그러므로 FS kS r 되고 매트릭스 형태로 나타내면 다음과 같습니다.

FS kS r kS 0

0 0

r

r

kS 0

0 0

가상변위의 원리에서

T FS T T ∆

T T kS 0

0 0 T ∆ T ∆

EI, LkS kS

r v v

r

F kS r

A B

a 자유단에 스프링이 있는 내민 보

R

r

R

c 내민 보에 작용하는 외력

EI, L

Sr

S

d 내민 보에 발생하는 부재력 S

b 독립 변위 r & 부재 변형 v

그림 2.12‐2 스프링을 지닌 내민 보 II

EI, LkS kS

r v v

A B

a 자유단에 스프링이 있는 내민 보 b 스프링을 하나의 부재로 표현

r

v

그림 2.12‐1 스프링을 지닌 내민 보 I

[email protected]

2‐70

그러므로 그림 2.12‐2 구조의 전체 강성 매트릭스 T kS 0

0 0 입니다.

다만 부재력 계산에서 주의가 필요합니다. 그림 2.12‐2 d 에서와 같이 스프링의 강성은 부재의 강성 매트릭스

에 아무런 영향을 주지 않음을 알 수 있습니다. 그러므로 부재력 계산시 사용되는 k는 스프링의 유무에 상관없

이 부재 자체의 강성만으로 구성합니다.

∆

T EI

4L

2L

2L

4L

4 mh

4 mh

k LEIL k

4 mh EI

r

r

v

v

v

1 0

0 1

0 1

0 0

EI

4L

2L 0 0

2L

4L 0 0

0 04 mh

2 mh

0 02 mh

4 mh

EI

m EI

v

B

r r

A v v

1

R

R

EIL

4 2

2 4

0 0

0 k

r

r

EIL

4 2

2 4 kLEI

r

r

Solution :

h

A B

C

EI

m EI

A B

C

EI

m EI

L/2

P P A

B

C

EI

m EI

P

A

B EI

k

P

a b c d

L/2

Given :

예제 2.12‐1 from 토목구조 기술사 53회

Req’d : a , b , c 의 BC 부재를 d 의 회전 스프링으로 변환시켰을 경우 스프링의 강성

2 Case a

[email protected]

2‐71

Solution :

1 독립 변위 r

r r

v

v

2 부재 변형 v

M

0

3 외력 R

Given: k

L

EI M

A B

예제 2.12‐2 from 토목구조 기술사 53회

Req’d : 모멘트 전단률

4 Case c

T EI

4L

2L 0

2L

4L

3 mh

3 mh

03 mh

3 mh

3mh

k LEIL k

3mh EI

r

r

v

v

v

1 0 0

0 1 0

0 11h

EI

4L

2L 0

2L

4L 0

0 03 mh

EI

m EI

r

From Static Condenstion,

EI

4L

2L

2L

4L

3 mh

–

0

3 mh

3 mh

03 mh

EI

4L

2L

2L

4L

k 0

T EI

4L

2L

2L

4L

3 mh

3mh

k LEIL k

3mh EI

r

r

v

v

v

1 0

0 1

0 1

EI

4L

2L 0

2L

4L 0

0 03 mh

EI

m EI

3 Case b

[email protected]

2‐72

v

v v

4

i r 1

1 v

v v1L , v v

12 L

v

v

ii r 1

v 0, v v 1, v 0

1 독립 변위 r r

r

v

v

v

v

2 부재 변형 v

r

3 외력 R

P

PL

0

2L L

P

I 2I

PL

2LL

I 2I

PL

a b

Given:

α

β α8 EIL

β4 EIL

예제 2.12‐3 From Yang “Finite Element Analysis” Beam Example 1 & 5

P

Req’d : a & b 부재력

5 변위

M 4 EI L k L12 EI 4 EI k L

M L6 EI 2 k L

R k rM k L

6 EI 2 k L

CABRR

k L6 EI 2 k L

4

스프링 회전각 r

스프링에 의한 반력

M

k r EI

4L

2L

2L

4L

r

r

M

0 EI

4L

2L

2L

4L

k 0 0

0 1

r

r

4 EIL

2 EIL

2 EIL

4 EIL k

6 CAB

Solution

[email protected]

2‐73

8 부재력

a

21 P L46

16 P L237 P L23

0

b

47 P L12019 P L30

11 P L30P L12

i 수직스프링 α rP5

ii 회전스프링 β rP L12

7 변위

a PEI

5 L138

11 L923 L92

b PEI

L40

29 L240L48

b

T

α 0 0

0 0 0

0 0 β

I

15L

8L

3L

3L

3L

8L

2L

3L

2L

4L

4L

EI

23L

3L

3L

3L

8L

2L

3L

2L

8L

6

T EI

15L

3L

3L

3L

8L

2L

3L

2L

4L

a

5

4 EIL

2 EIL 0 0

2 EIL

4 EIL 0 0

0 04 E 2I2 L

2 E 2I2 L

0 02 E 2I2 L

4 E 2I2 L

EIL

4 2 0 0

2 4 0 0

0 0 4 2

0 0 2 4

v v v 0, v 1

1L 0 0

1L 1 0

12 L 1 0

12 L 0 1

9 스프링 반력

iii r 1

[email protected]

2‐74


EIL

3 0

0 3

6912 1020.32

3 0

0 3

1

v

v v

1

v1

20.32i r 1 ii r 1

v1

20.32

iii r 1

v1

20.32

v 0

v v 1v

v iv r 1

v

v 01

120.32

120.32 1 0

01

20.32 11

20.32

v1

20.32


3 외력 R 4 고정단 모멘트

3000

3000

0

0

SFEM

32

6000 20.328

0

22860

0

kS kS kS

r r r

kS kS kSr

v v

1 독립 변위 r 2 부재 변형 v

Solution :

kS

A

kS kS

6000 kN

B C

10.16 m

10.16 m

20.32 m

EI 6912 10 kN · m

kS 62500 kN/m

Given:

예제 2.12‐4 from 옥재호 “토목구조기술사”, p.1076

Req’d : A, B & C의 반력

[email protected]

2‐75

`

4 고정단 하중

3 4123 412

32

3 412

4

4

6

vvv

5

i r 1

v v14 , v

14

v

v

ii r 1

v 0, v v 1

iii r 1

v

v v 0 , v14

14 0 0

14 1 0

14 1

14

Solution :

1 독립 변위

r r

r

2 부재 변형

v

v v

3 외력

3 4

0

3 2

12

0

6

A kS 2kS

w 3 kN/m

B C

4 m

EI constant

Given:

4 m

kSEI1 m EI kN/m

예제 2.12‐5

Req’d : A, B, C 에서 반력

8 변위 T

5.586 10 m

3.228 10 m

1.192 10 rad.

7.858 10 m

9 부재력

9979.53

9979.53kN · m

10 반력 kN

VA kS r 3491.12

VB kS r 2017.77

VC kS r 491.12

7

T kS

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 0 0

0 0 0 1

2.534 2.471 50.220 0

2.471 5.005 0 20.471

50.220 0 2040.945 50.220

0 2.471 50.220 2.534

10 kN/m

[email protected]

2‐76

20002 0

03 1020

5 6

T1000 1000

1000 4750

7 by matrix partitioning

K 1000 1000 4750 1000 789.474

8 고유 각진동수 wD w 1 ξK gW 1 ξ

789.474 9.81500 1 0.1 3.916 rad/sec

4

i r 1 1

v

v 1, v 0

ii r 1

1

v

v 1, v120

v

1 1

0120

Solution :

1 modeling & 독립 변위 r

r

r

2 부재 변형 v

vv

3 외력 R

500

0kS2

W2


Given : W

kS

20 m 20 m

kS 2000 kN/m EI 10 kN · m

W 1000 kN ξ 0.1

Req’d : 보의 자중을 무시할 경우 주어진 구조의 고유 각진동수

T 1EI

11.443

2.659

2.704

6.962

2.367

2.367

kN · m

8 변위 T 9 부재력

6

EI

44

24 0

24

44 0

0 034

7

T kS

1 0 0

0 0 0

0 0 2

1.234 0.188 0.047

0.188 1.750 0.188

0.047 0.188 2.047

[email protected]

2‐77

5

i r 1

1

v

v

v

v

ii r 1

v

v

iii r 1

v

v

v

iv r 1 v

A

1L 0 0 0

1L 1 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

1L 0 0 1

1L 0 0 0

0 0 1 1

v v v v1L

v v v 0

v v 1

v v v v v 0

v 1 , v 1

v v v v v 0

v 1 , v 1

v v v v v 0

Solution :

1 modeling

P

kEIL

2 독립 변위 r

r

r r

r

3 부재 변형 v

v

v

v

v

v

v

v 절점

내측 힌지 4 외력 R

R

P

0

0

0

Given :

A L

L

B C

D

P

EI constant

Req’d : 강 뼈대구조인 ABCD 에서 볼트 체결의 불량에 의해 C는 Semi‐rigid 로 판정되었다. C의 회전 변위를 실험

한 결과 C의 회전 강성이 EIL 임을 알 수 있었다. 구조물에 횡하중 P가 작용할 경우 BMD를 구하시오.

예제 2.12‐7

[email protected]

2‐78

10 BMD

BMD PL

3288

2188

988

2688

PEI

43 L528L16L17617 L176

8 독립 변위 9 부재력

P L

3288218821889889882688988

EIL

4 2 0 0 0 0 0

2 4 0 0 0 0 0

0 0 4 2 0 0 0

0 0 2 4 0 0 0

0 0 0 0 4 2 0

0 0 0 0 2 4 0

0 0 0 0 0 0 1

6

T

24 EIL

6 EIL 0

6 EIL

6 EIL

8 EIL

2 EIL 0

02 EIL

5 EIL

EIL

6 EIL 0

EIL

5 EIL

7

[email protected]

2‐79

2.13 온도하중, 제작오차 & 지점 이동 구조에 열이 가해지거나 부재 중 일부분에 제작 오차가 있을 경우 구조에 변위가 발생합니다. 그러나 정정 구조

에서는 변위를 구속할 경계조건이 없으므로 구조물에는 변위가 발생하나 부재는 변형을 동반하지 않는 강체운

동을 합니다. 이 경우 부재에 단면력이 발생하지 않습니다. 부정정 구조의 경우 열이 가해지거나 제작오차에 의해 발생하는 변위의 전부 또는 일부분을 단부 조건 또는 다른 부재들이 구속하므로 부재는 변형을 하고 부재에

는 부가적인 단면력이 발생하게 됩니다. 정정 구조에 지점 이동이 발생할 경우 지점 이동에 의한 변위는 강체 운동이므로 부재에 변형이 발생하지는 않고 부재에 단면력이 발생하지 않습니다. 그러나 부정정 구조에 지점 이동이 있을 경우 부재에 단면력이 발생하

게 됩니다. 지점 이동은 2.4에서 가상 변위의 원리에 의해 구한 식에서 있는 지점변위 q를 사용하여 구조해석을 하거나 지점 이동에 대한 고정단 하중을 사용하여 구조해석을 합니다.

2.13.1 온도하중 온도 하중 문제는 토목 또는 건축을 전공한 분들이 어려워하는 부분입니다. 그 이유 중 하나는 구조의 변형을 예측하는데 휨 모멘트 외에도 열에 의해 발생하는 곡률을 함께 고려하여야 하기 때문입니다. 직접 열을 받는 부재

에서는 일반적인 하중을 받는 구조와는 다르게 휨 모멘트와 반대 방향으로 변형이 발생합니다. 열에 의해 발생하는 변형은 응력과 상관이 없으므로 정정구조에서는 부재에 응력이 발생하지 않습니다. 그러나 부정정 구조의 경우 지점 또는 주위 부재의 구속 등 적합조건에 의해 발생하는 내력에 의해 부재에 응력이 발생

하게 됩니다. 매트릭스 변위법에서는 온도 하중에 의해 부재에 발생하는 부재력을 일반적으로 고정단 하중으로 처리합니다. 간단하게 설명하면 열이 가해지는 부재만 고정단 하중이 있는 것으로 계산해주면 됩니다. 온도하

중에 의해 발생하는 고정단 하중을 S∆T 로 표현하겠습니다.

그림 2.13‐1은 부재의 상하연에 열이 가해질 경우 고정단 하중을 보여줍니다. 고정단 모멘트는 반시계 방향을

로 설정하고 축방향 고정단 하중은 부재가 인장을 받을 경우를 로 설정하였습니다. 해석의 편리를 위하

여 열을 받는 부재 두께 방향으로의 변형은 평균값을 사용하며 열에 의한 휨의 경우 변형을 하기 전에 평면인 단면은 변형 후에도 평면을 유지한다고 가정합니다. 부재가 구속되지 않았을 경우 변형은 그림 2.13‐2와 같습니다.

그림 2.13‐2에서 축방향 변형과 온도차에 의한 곡률의 변형은 아래와 같습니다

곡률h

∆T

∆T

∆T ∆T 0

그림 2.13‐2 온도를 받는 부재의 변형률

∆T ∆T 0

i j ∆T

∆T SF SF

SFEM SFEM

그림 2.13‐1 온도 하중을 받는 부재의 고정단 하중

[email protected]

2‐80

ε ε α ∆T , where ∆T∆T ∆T

2

α ∆Th , where ∆T ∆T ∆T

변형을 구속하기 위해 필요한 고정단 하중은 다음과 같습니다.

SF SF σ A E A α ∆T EA

SFEM EI EI α ∆T

h , SFEM EI EI α ∆T

h

쉽게 설명하면 열을 받아 늘어나야 할 부재가 고정단으로 구속되므로 부재는 외부 구속조건에 의해 압축력을 받고 열에 의한 휨의 반대방향으로 고정단 모멘트를 받게 되는 것입니다.

Solution

정정 구조인 A 의 경우 열에 의한 부재력이 발생하지 않습니다. 그러므로 부정정 구조인 B 만 매트릭스 해석

으로 부재력과 변형을 검토하겠습니다. 정확한 해석이 필요하지 않으므로 a b L 로 놓고 계산하겠습니다.

1 독립 변위 r

45°

r

2 부재 변형 v

v

v

v

3 외력 R 0

4 고정단 하중

∆ α ∆T EA

1

0

0

45°

r

a a a a

b

B

A

C

C

D E F

∆T ∆T

A B

EA constant

Given :

α 열팽창계수


Req’d : 가 구조물 A B 의 변형도 나 변형을 ‐ 로 표기 다 축력을 ‐ 로 표기

[email protected]

2‐81

A C

C

D E F

A B

B

다 축방향력

0 0

:인장력. : 압축력

FBD at C

FCD FCE

FCF CD 부재는 신장을 구속

받으므로 압축력을 받음.

FX 0 CD는 압축

FY 0 CE는 인장

B

A C

C

D E F

A B

B

가 & 나 변형도

0

C:부재 늘어남.

:부재 줄어듬

0 부재 길이 변동 없음.

9 ∆

α ∆T

0.2929

0.4142

0.2929

10

LEA

α ∆T

0.4142 α ∆T

0.4142 α ∆T

6

EAL

1√2

0 0

0 1 0

0 01√2

7 T

EAL

0.707 0

0 0.707

8 T

LEA

α ∆T

0.4142 α ∆T

T ∆

45° 45° 45° 45°

1

1 1

1√2

1√2

45° 45°

1

1√2

1√2

i r 1 ii r 1

v1√2

, v 0 , v1√2

v1√2

, v 1 , v1√2

5

[email protected]

2‐82

Given : T

T

T T

A

B C

8 m

4 m

E 2.5 10 kgf/cm

IAB 8000 cm , IBC 24000 cm

hAB 20 cm , hBC 30 cm

T T 70°C

α 1 10 / °C


Req’d : MB

8

T∆

3 α ∆T EI4 h

9

∆

0

32 α ∆T EI

10 BMD & 처짐 곡선 32 α ∆T EI

BMD

처짐 곡선

BMD와 처짐 곡선이 일

치하지 않습니다.

곡률

열에 의한 곡률

α ∆T

α ∆T2

부정정력에 의한 곡률

α ∆T

3 α ∆T2

곡률

5

v

i r 1

1

0

6

EIL

4 2

2 4

7

T 4 EIL

A B

1 독립 변위 r

r

2 부재 변형 v

v v

3 외력 R

0

4 고정단 모멘트 ∆

∆

α ∆T EIh

α ∆T EIh

Solution :

Given : slab

A B

강교 위의 slab에 온도 ∆T 상승

L L

강교 h


Req’d : BMD & 변형도

[email protected]

2‐83

iii r 1

v 0, v 1, v 0, v 1

v

v

0 1 0

1400 0 1

1 0 0

01800 1

5

i r 1 1 ii r 1 1

v

v

v

v

v 0, v1400 , v 1, v 0 v 1, v 0, v 0, v

1800


∆

α ∆T E AAB2

32

α ∆T E IABhAB

α ∆T E ABC2

32

α ∆T E IBChBC

2.1 10

1.05 10

2.8 10

2 10

bAB12 IABhAB

12 cm

AAB 12 20 240 cm

bBC12 IBChBC

10.667 cm

AAB 10.667 30 320 cm

1 독립 변위 r 2 부재 변형 v 3 외력 R

r

r r

부재의 축방향 변형 고려 vv

vv

0

0

0

Solution :

축방향 변형을 고려하여 해석한다. 이 경우 T & T 는 온도 증가분이라고 가정한다.

[email protected]

2‐84

Solution:

1 Modeling kB

kC

D

kA A B C

2 독립 변위 r

rr

r

r

D

A

kA

30 m

KA 60000 kN m⁄ , KB 70000 kN m⁄ , KB 80000 kN m⁄


Given :

Req’d : A, B, C 각 지점은 탄성지점이고 D 지점은 강결로 연결. 10 종방향 온도 변화 발생시 반력 결정.

B C

kB kC

20 mD

20 m

E 2.5 10 kN m⁄ , α 1.0 10

1 m

2.5 m

3 m

3 m

단면 A‐C 단면 B‐D

9

∆

193.467

154.773 10

386.934

154.773 10

10 MB 1.548 tonf · m

비교 : 축방향 변형을 무시할 경우

MB 1.470 tonf · m 5% 차이

T

100.09 0 37.5

0 150.04 28.13

37.5 28.13 37500

10

7 8

T ∆

0.276

0.139

2.628 10

6

2.5 10

240400 0 0 0

03 8000400 0 0

0 0320800 0

0 0 03 24000800

1.5 0 0 0

0 150 0 0

0 0 1 0

0 0 0 225

10

[email protected]

2‐85

T

268.33 208.3 0 0

208.3 590.8 312.5 70

0 312.5 392.5 0

0 70 0 76.3

10

7 8

T ∆

2.247 10

1.065 10

1.677 10

9.767 10

1 1 0 0

0 1 1 0

0 0 0 0

0 1 0120

6

E

AAC30 0 0 0

0AAC20 0 0

0 03 IBD20 0

0 0 0KBE

208.3 0 0 0

0 312.5 0 0

0 0 2531.3 0

0 0 0 70

10

AAC 2.5 m , IBD312 6.75 m

v

v 0, v 1, v v 0

iii r 1 iv r 1

1

v

1

v

v 0, v v 0, v120


v

v 1, v v v 0

1

i r 1 v

v 1, v 1, v 0, v 1

ii r 1v

v

1

3 부재 변형 v v v

v

v

4 고정단 하중 ∆

∆

α ∆T E AAB

α ∆T E ABC

0

0

10 10 2.5 10 2.5

10 10 2.5 10 2.5

0

0

625

625

0

0

[email protected]

2‐86

10

∆ 2.166

2.166 tonf

11 응력

σ2.166100 π 6.895 10 tonf mm⁄ 68.95 tonf cm⁄

σ2.16684 π 8.208 10 tonf mm⁄ 82.083 tonf cm⁄

8

T 32.987 tonf mm⁄

9

T∆ 0.2465 mm

6 1

v

v

1

1

E AL 0

0E AL

21.991 0

0 10.996



∆ α ∆T E A

α ∆T E A

1.15 10 100 21 100 π

1.65 10 100 12.5 84 π

7.587

5.443tonf

Solution:

1 Modeling & 독립 변위 r 2 독립 변위 r

rE , A , α

E , A , α

v

v

3 외력 R

0

4 단면 제원

Aπ4 20 100 π

Aπ4 44 40 84 π

∆T 100

예제 2.13‐5

Given :

Req’d : 관 pipe 와 봉 bar 에 온도가 100 증가할 경우 관과 봉의 응력을 구하시오.

300 mm

E 12500 kgf mm⁄α 1.15 10 /직경 d 20 mm

E 21000 kgf mm⁄α 1.65 10 /외경 d 44 mm , 내경 d 40 mm

∆

134.790

134.172

12.362

0.618

9

HA KA r 134.790 kN

HB S 0.618 kN

HC KC r 134.172 kN

HDS20 0.618 kN , MD S 12.362 kN · m

10 반력

[email protected]

2‐87

2.13.2 제작오차 정정 구조에 제작 오차를 가진 부재가 조립될 경우 연결되어 있는 다른 부재는 강체 운동을 하며 부재력이 발생

하지 않습니다. 그러나 부정정 구조에 제작 오차를 가진 부재가 조립될 경우 신축이 자유롭지 못하므로 적합조

건에 의해 부재력이 발생합니다. 온도하중의 경우와 마찬가지로 제작오차를 지닌 부재가 있는 구조의 경우 제작 오차 부재에 고정단 하중을 고려하여 구조계산을 합니다. 그림 2.13‐3 a 의 경우 원래 길이보다 길게 제작된 부재는 부재의 압축시켜서 조립되므로 축방향 압축인 고정단 하중을 받습니다. 그림 2.13‐3 b 의 경우와 같이 원래 길이보다 짧게 제작된 부재는 부재를 늘려서 조립되므로 축방향 인장인 고정단 하중을 받습니다. 그림 2.13‐3 c 와 같이 곡률을 오차로 가진 구조의 경우 양 단부의 회전각이 0이 되게 하는 곡률 오차와 반대방향의 고정단 모멘트를 받고 됩니다.

그림 2.13‐3 부정정 구조에 제작오차를 가진 부재가 있는 경우 고정단 하중

Req’d : 부재력

5

1 45

45

1

6

EAL

154

0

012

11

7

T EAL 253

250

Solution :

1 독립 변위 r

r

2 부재 변형 v

v A A

2 v

3 외력 R

0


∆

0

E A2L ∆

EAL

0

∆2

Given : 3L4

3L4

L

A B C

D

BD부재는 원래 길이보다 ∆만큼 짧게 제작됨

EA constant.

∆

예제 2.13‐6 From 심재수 “매트릭스 변위법” example 12

∆L

∆L

∆

a b c

압축

인장

곡률

[email protected]

2‐88

5

i r 1 ii r 11

v v1L , v v 0 , v v

1L

v 0 , v v 1, v v v 0

v

v

v

v

v

v


α

S

Si j

S

S

EI2 L

4 2

2 4

0

α

EIL

α

2 α

∆

0

0

α EIL

2 α EIL

0

0

고정단 모멘트 ∆는 크기는 같고 반대 방향이므로

r

r r

Solution :

1 독립 변위 r 2 부재 변형 v

v

v

v v v

v

3 외력 R

0

0

0

A

B C

D

제작오차 α

EI constant

Given :

L

2 L

예제 2.13‐7 From 심재수 “부정정구조해석 응력법”


8

T ∆LEA 125

253∆

9

∆

80 EA ∆253 L

80 EA ∆253 L

80 EA ∆253 L

128 EA ∆253 L

[email protected]

2‐89

8

T ∆1EI

3 α L1611 α4019 α40

9

∆ EI

23 α40 Lα

40 Lα

40 L31 α40 L31 α40 L7 α40 L

6

EI

4L

2L 0 0 0 0

2L

4L 0 0 0 0

0 042 L

22 L 0 0

0 022 L

42 L 0 0

0 0 0 04L

2L

0 0 0 02L

4L

7

T EI

24L

6L

6L

6L

6L

1L

6L

1L

6L

iii r 1

v v v 0, v v 0, v 0

1L 0 0

1L 1 0

0 1 0

0 0 1

1L 0 1

1L 0 0

[email protected]

2‐90

2.13.3 지점 이동 부정정 구조에서 지점 이동은 온도 하중, 제작오차와 마찬가지로 적합조건에 의한 부정정력이 발생하게 되어 결과적으로 지점이동에 의한 부재력이 발생하게 됩니다. 매트릭스 변위법에서 지점이동은 두가지 방법으로 처리

할 수 있습니다. 하나는 지점변위 벡터를 이용하는 방법이고 다른 하나는 지점이동을 고정단 하중으로 변환하

는 방법입니다. 이 절에서는 지점변위 벡터를 이용하는 방법을 설명하고 4장의 직접 강성법에서는 지점 이동을 고정단 하중으로 변환하는 방법을 설명하겠습니다. 2.3과 2.4에서 가상변위의 원리에 의해 구한 매트릭스 변위

법의 지배 방정식은 아래와 같습니다.

T T ∆ T T ∆ 위에서 구한 변위 r을 사용하여 부재력을 계산할 수 있습니다. 부재 변형 v는 독립 변위 r에 의한 변형과 지점 변위 q에 의한 변형으로 나눌 수 있습니다. 그러므로 두 변위에 의한 변형을 모두 고려하여 부재력을 계산하면 다음과 같습니다.

∆ ∆ ∆

반력은 부재력을 사용하여 평형방정식으로 구할 수 있으나 가상변위의 원리로부터 구한 아래의 식을 사용하여 구할 수 있습니다.

T T ∆ 지점 이동은 고정단 하중을 이용하여 해석할 수 있습니다. 그림 2.13‐4에서 지점 이동시 고정단 하중을 보여줍

니다. 그림 2.13‐4 b 의 한쪽이 힌지인 경우 고정단 모멘트는 양단부가 고정단일 경우 고정단 모멘트를 매트릭

스 축약을 사용하여 구한 것입니다.

A B C

0.001 rad.

2 cm 5 cm

6 m 10 m

지점 A : 0.001 rad CW 회전 & 2 cm 하강

E 2.1 10 kgf / cm , I 20000 cmGiven :

지점 B : 5 cm 하강

Req’d : A와 B의 휨모멘트

I 2 I


6 EIL ∆

∆

12 EIL ∆

12 EIL ∆

6 EIL ∆

3 EIL ∆

3 EIL ∆

∆

3 EIL ∆

a 양단부가 고정단인 경우

그림 2.13‐4 지점 이동 발생시 고정단 하중

b 한쪽이 힌지인 경우

LL

[email protected]

2‐91

12 반력 를 매트릭스 연산으로 계산

i T

700

1.4 10

448

ii T

233.333 700 233.333

700 2.8 10 700

233.333 700 258.533

iii

5.379 tonf

16.358 tonf · m

6.971 tonf

16.358 15.916

16.358 15.9166 5.379

15.91610 1.592

6.971

15.916

8

T 5.32 10 tonf · m

9

T 700 1.4 10 448

10

1.316 10

11

16.358

15.916

15.916

tonf · m

i r 1

i q 15

0

1

1

v 0, v v 1 v v16 , v 0

ii q 1

v 1, v v 0

iii q 1

v v16 , v

110

16 1

16

16 0

16

0 0110

6

1

2.1 10 2 10

46

26 0

26

46 0

0 03 210

2.8 1.4 0

1.4 2.8 0

0 0 2.52

10

7

0.02

0.001

0.05

4

1

Solution :

1 독립 변위 r & 지점 변위 q

q

q q

2 부재 변형 v 3 외력 R

[email protected]

2‐92

5 평형 매트릭스

i 절점 A

R S35 S

R S

S ii 절점 B

RS

S

S

R S S

iii 절점 D

S S S

R35 S

35 S

R45 S S

45 S

R

R

1 035 0 0

1 1 0 0 0

0 035 0

35

0 045 1

45

T

4 고정단 하중

E

0

0

AADLAD

45∆A

ABDLBD

∆B

ACDLCD

45∆C

0

0

240

1250

720

1 1 1

E 200 10 MPa 200 10 N/mm 200 kN/mm

45

45

1 독립 변위 X

Solution :

r

2 부재력 S

S S

S S S

r r

r 3 외력 R

R

0

0

0

0


Given :

A C1000

3 m 3 m

4 m

D

B 1000

1250 1250 단면적mm

Given : 부등침하 A : 6 mm , B : 25 mm , C : 18 mm 일 경우 부재력

E 200 GPa

1000

[email protected]

2‐93

8

T

3.671

1.835

6.165

18.475

10 m

9 부재력 S

122.353

122.353

203.922

326.275

203.922

kN

200

10000 0 0 0 0

010003 0 0 0

0 012505 0 0

0 0 010004 0

0 0 0 012505

6 7 T

84.667 66.667 0 24

66.667 133.333 66.667 0

0 66.667 84.667 24

24 0 24 114

10

[email protected]

2‐94

2.14 이동 가능한 경사진 지점 직접 강성법에서는 이동 가능한 경사진 지점이 있을 경우 특별한 방법을 사용하여 전체 강성매트릭스를 만듭니

다. 그러나 매트릭스 변위법에서는 변위가 꼭 global coordinate를 지킬 필요가 없으므로 그림 2.14‐1과 같이 기울어진 지점이 이동 가능한 방향으로 독립 변위를 정해주면 됩니다.

그림 2.14‐1 이동 가능한 경사진 지점이 있는 구조의 독립 변위 r

예제 2.14‐1 from Hibbeler “Structural Analysis” Ex. 13‐6

Req’d : 부재력

1 독립 변위 r


30

0

0

Solution

Given :

45°

EA constant

30 kN

3 m

4 m

[email protected]

2‐95

7

1EA

352.5

157.5

127.279

8

22.5

37.5

22.5

kN

EA

14 0 0

015 0

0 013

5 6

T EA

0.128 0.096 0

0.096 0.405 0.236

0 0.236 0.292

i r 1 1

ii r 11

iii r 1

√

1 √

v 0 , v45 , v 0 v 0 , v

35 , v 1

v1√2

, v 0 , v1√2

0 11√2

45

35 0

0 11√2

4

[email protected]

2‐96

Req’d : 부재력


0

0

6 8126 812

0

0

0

32

32

0

5 &

i r 1

ii r 1

iii r 1

1

1

iv r 1

√

√

1√2

v v v16 , y 0

v v 1 , y 0 v v 1 , y 0 v v18√2

, v16√2

, y1√2

1 독립 변위 r & 종속 변위 y

0

0

0

0

2 부재 변형 v

6 4 24

3 외력 R & Y

45°

6 kN/m

8 m

6 m

Given :

EI constant

예제 2.14‐2

Solution :

[email protected]

2‐97

9

45.599

155.390

155.390

109.831

109.831

kN · m

7 T

EI

69.44 166.67 83.33 9.82

166.67 1167 250 66.29

83.33 250 1000 125.22

9.82 66.29 125.22 18.66

10

8 T T

1EI

1479.05

602.85

1407.73

11717.17

16 0 0 0

16 1 0 0

0 1 018√2

0 0 118√2

16 0 1

16√2

0 0 01√2 EI

46

26 0 0 0

26

46 0 0 0

0 048

28 0

0 028

48 0

0 0 0 036

6

[email protected]

2‐98

2.15 게이블 프레임 Gable Frame 토목구조 기술사 또는 건축구조 기술사 시험의 평면 프레임 구조문제는 대부분 축방향 변형을 무시한다고 가정

을 하고 해석을 합니다. 그림 2.15‐1과 같은 게이블 프레임 구조 Gable Frame Structure 를 매트릭스 변위법으로 해석할 때 가장 어려운 점은 변형 적합 매트릭스 과 변위 적합 매트릭스 을 구하는 것입니다. 독립 병진 변위

가 1 이동하였을 경우 축방향 변형을 무시함으로서 구조의 기하학적 거동이 복잡해져서 실수를 하기 쉽기 때문

입니다. 특히 종속 병진 변위에 대응하는 외력이 있을 경우 변형 적합 매트릭스 A 과 함께 변위 적합 매트릭스인 C 도 구하여야 하는데 실수를 방지하는 방법이 각 방정식을 이용하는 것입니다.

그림 2.15‐1 a 의 게이블 프레임 구조의 경우 1개의 독립 병진 변위와 2개의 회전 독립 변위가 존재합니다. B의 수평 변위를 독립 병진 변위로 선정하였을 경우 C에 수평 변위와 수직 변위가 종속 병진 변위입니다. 그림 2.15‐1 b 의 게이블 프레임 구조는 a 의 구조에 부재를 1개 더 연결한 것이므로 2개의 독립 병진 변위와 3개의 독립 회전 변위가 존재합니다. F의 수평 변위와 H의 수평 변위를 독립 병진 변위로 선정하였을 경우 G의 수평 변위와 수직 변위, H의 수직 변위는 종속 변위가 됩니다. 독립 병진 변위와 종속 병진 관계를 기하학적으로만 구할 수 있으나 실수의 여지가 있으므로 이수곤 교수의 책에 있는 각방정식을 함께 사용하면 편리합니다. 각방정식은 처짐각법에서 사용하던 식으로 각각의 부재의 상대 처짐에 의한 변형각을 구하는 식입니다. 그림 2.15‐1 a 와 b를 예를 들어 각방정식을 설명하겠습니다. a H 0 ; 0 L L 0

V 0 ; h h h 0

독립 병진 변위와 관련된 을 변수로 와 에 대해서 풀면 아래와 같습니다.

h L

h L h L , h L

h L h L

b H 0 ; 0 L L L 0

V 0 ; h h h h 0

독립 병진 변위와 관련된 과 를 변수로 와 에 대해서 풀면 아래와 같습니다.

h L h L h L

h L h L , h L h L h L

h L h L

h

a

L L L

h

hh

h

그림 2.15‐1 게이블 프레임 구조에서 각방정식

b

h

L

h

A

B

C

D E

F

G

H

I

L

[email protected]

2‐99


6 &

i r 1

1

r 1 v v14

v 4 2 214

12

√

2√10 2√1012 √10

y √10 1 3


0

0

6 6126 612

0

0

18

18

5 각방정식

V 0 ; 4 2 0

2


Solution :

2 부재변형 v 3 외력 R & Y

0

0

6 3 18

6 m 6 m

4 m

2 m

6 tonf/m

I

√10 I √10 I

I

Given :

예제 2.15‐1

[email protected]

2‐100

Solution :


2 부재 변형 v

3 외력 R & Y

P

0

0

0

0

1 3 √10

Given :

a 3 a

a

3 a

P

강비 K 는 일정

예제 2.15‐2 From 이수곤 “기술사 구조역학”


9

T T 1EI

48

24

30

42

42

30

tonf · m

10

EI

44

24 0 0

24

44 0 0

0 04√102√10

2√102√10

0 02√102√10

4√102√10

7 8

T EI1.688 1.125

1.125 3

v 0 , v v 1 , v 0 , y 0

14 0

14 1

12 1

12 0

3 0

ii r 1

[email protected]

2‐101

6

K

4 2 0 0 0 0

2 4 0 0 0 0

0 0 4 2 0 0

0 0 2 4 0 0

0 0 0 0 4 2

0 0 0 0 2 4

7

T K

5627 a

43 a

23 a

43 a 8 2

23 a 2 8

ii r 1

iii r 1

v 0 , v v 1

v v v 0

y y 0

v v v 0

v v 1, v 0

y y 0

13 a 0 0

13 a 1 0

19 a 1 0

19 a 0 1

29 a 0 1

29 a 0 0

13 0 0

89 0 0

H 0 ; a 3 a 0 0

13

4 각방정식

V 0 ; 3 a a 4 a 0

14 3

13

23

1

√

1

√

19

13

13

89

v v√103

√10 a13 a

v v13

13

13 a

19 a

v v23

23

13 a

29 a

y13 , y

89

5 A & C

i r 1

v

v

v

v

v

v

[email protected]

2‐102

5 종속변위에 대응하는 하중이 없으므로 C 을 구할 필요가 없다.

i r 1 & other r 0 v v1L & v v 0

v v32

32

1L

32 L , v v

32 L

4 각방정식

H 0 ; 0 L L 0 0

32

V 0 ; LL3

L3 L 0


Solution :

r

r y

r

r r

y

2 부재 변형 v

v

v vv

vv

v

v

3 외력 R & Y

Q

0

0

0

0

0

0

Given :

L

L L

L3

I A

B C

Q

I

√10 I √10 ID

E

예제 2.15‐3 From 이수곤 “구조해석특론 2” 예제 11‐6.6


8

1K

135 P a24821 P a2483 P a124

57 P a623 P a43 P a4

39 P a62

39 P a62

21 P a31

9

[email protected]

2‐103

7

T EI

174L

21L 0

162L

27L

21L

16L

6L

27L 0

06L

24L 0

6L

162L

27L 0

174L

21L

27L 0

6L

21L

16L

8

QEI

109 L192011 L640L8033 L64021 L640

E

4 IL

2 IL 0 0 0 0 0 0

2 IL

4 IL 0 0 0 0 0 0

0 0 43 IL 2

3 IL 0 0 0 0

0 0 23 IL 4

3 IL 0 0 0 0

0 0 0 0 43 IL 2

3 IL 0 0

0 0 0 0 23 IL 4

3 IL 0 0

0 0 0 0 0 04 IL

2 IL

0 0 0 0 0 02 IL

4 IL

6

LBC LCD LL3

√10 L3

IBCLBC

ICDLCD

√10 I√10 L3

3 IL

v v1L & v v 0

v v32

32

1L

32 L

v r 1 & other r 0

v v v 0 v v 0 , v v 1 , v 0

1L 0 0 0 0

1L 1 0 0 0

32 L 1 0

32 L 0

32 L 0 1

32 L 0

32 L 0 1

32 L 0

32 L 0 0

32 L 1

0 0 01L 1

0 0 01L 0

v v32 L

iv r 1 & other r 0

v 0 v v 0 , v v 1 , v v v 0

iii r 1 & other r 0

v 0 , v v 1 , v v v v v 0

ii r 1 & other r 0

[email protected]

2‐104


r r

y r

r

y

r

2 부재 변형 v

3 외력 R & Y

0

0

0

0

0

0

10 5

Solution :

Given :

6 m

3 m

4 m 6 m

I

2 I 2 I

I

10 kN/ m

A

B

C

D

E

예제 2.15‐4


49 Q L16087 Q L32087 Q L3203 Q L32

3 Q L3257 Q L320

57 Q L32039 Q L160

9

[email protected]

2‐105

D θB

θD

1

iv r 1 & other r 0

C 1

C L LθB θD

y

y

v v16 & v v 0

v v45 0

16

215

v v32

32

215

15

y 1 L sin θD 135

25

y | | L cos θD15 5

45

45

ii r 1 & other r 0

v 0 , v v 1 , v v v v v 0

iii r 1 & other r 0

v 0 v v 0 , v v 1 , v v v 0

6 & v v

16 & v v 0

B

C

D θB θD

θD θB1 C

y

i r 1

v v45

16 0

215

v v32

32

215

15

yL L

y L sin θD15 5

35

35

y L cos θD15 5

45

45

C


0

0

10 61210 612

10 41210 412

0

0

0

0

30

30

13.333

13.333

0

0

5 각방정식

H 0 ; 0 6 4 0 0

32

V 0 ; 6 3 3 6 0

45

6 332 3 6 0

[email protected]

2‐106

8

T EI

0.311 0.072 0.241 0.256 0.480

0.072 1.859 0.596 0.239 0

0.241 0.596 2.793 0.241 0.800

0.256 0.239 0.241 0.311 0.313

0.480 0 0.800 0.313 2.267

7

LBC 6 3 3 √5

EI

46

26 0 0 0 0 0 0

26

46 0 0 0 0 0 0

0 04 23 √5

2 23 √5

0 0 0 0

0 02 23 √5

4 23 √5

0 0 0 0

0 0 0 04 25

2 25 0 0

0 0 0 02 25

4 25 0 0

0 0 0 0 0 046

26

0 0 0 0 0 026

46

v v v 0 v v 0 , v v 1 , v 0

16 0 0 0 0

16 1 0 0 0

215 1 0

215 0

215 0 1

215 0

15 0 1

15 0

15 0 0

15 1

0 0 016 1

0 0 016 0

35 0 0

25 0

45 0 0

45 0

v r 1 & other r 0

[email protected]

2‐107

9

T T 1EI

110.066

45.451

25.575

131.425

38.331

33.495

48.645

48.645

30.997

30.997

47.458

47.458

34.681

kN · m

10

[email protected]

2‐108

2.16 부정정 구조의 영향선 부정정 구조의 힘의 영향선은 Muller‐Breslau 원리로 구할 수 있습니다. Muller‐Breslau 원리는 부정정 구조에서 반력 또는 부재력의 영향선은 특정 위치에서 구하고자 하는 힘에 대응하는 구속을 제거하고 힘의 방향으로 단위

변위를 주었을 경우 구조물의 변형과 동일하다는 것입니다. 그러나 단위변위를 주었을 경우 구조물의 탄성곡선

을 구하기가 어려우므로 단위하중을 작용시키고 구한 변위를 단위 변위로 변화시키는 방법으로 영향선을 구합

니다. 1차 부정정 구조의 경우 구속을 제거하면 정정 구조가 되므로 공액보법을 사용하여 처짐곡선을 구할 수 있습니

다. 2차 이상의 부정정구조의 경우 구속을 제거해도 부정정 구조입니다. 토목 구조기술사 문제의 2차 이상의 부정정 구조의 영향선 문제는 대부분 연속보가 출제되었으며 이 경우 삼연 모멘트법이 가장 쉬운 방법이 될 수 있습니다. 그리고 양창현 교수의 구조역학에 모멘트 분배법을 사용하여 계수를 구하는 방법으로 2차 이상의 연속

보에서 영향선을 구하는 방법이 있습니다. 그러나 삼연 모멘트와 모멘트 분배법을 사용하여 평면 프레임 등 일반적인 구조물의 영향선을 구하기 것은 어렵고 익숙하지도 않습니다. 그래서 생각한 것이 매트릭스 변위법을 사용하여 영향선을 구하는 방법입니다. 영향선은 두 가지 형태로 답을 구할 수 있습니다. 특정한 위치에서 영향선의 값을 구하는 것과 영향선을 식으로 구하는 것입니다. 전자의 경우 원하는 위치에 절점을 추가함으로서 매트릭스 변위법을 사용할 수 있습니다. 영향선을 식으로 구할 경우에는 Muller‐Breslau 원리에 의하며 하중이 절점에만 작용하므로 보 부재의 휨에 의한

처짐곡선을 구하면 됩니다. 휨에 의한 보의 처짐의 지배 미분방정식이 EI w x 0 이고 미분 방정식의

해는 EI C C x C x C x 으로 4개의 경계 조건식이 필요합니다. 매트릭스 변위법의 경우 부재 양측 절점의 수직 변위와 회전 변위를 알 수 있으므로 4개의 적합조건이 구해지는 것입니다. 매트릭스 변위법을 사용하여 부정정 구조의 영향선을 구하기 위해 해결하여야 할 것이 몇 가지 있습니다. 가장 중요한 것이 구하고자 하는 힘에 따라 그 힘에 대응하는 구속을 제거해야 하는데 이것을 어떻게 모델링을 하냐

는 것입니다. 반력에 대한 영향선, 전단력에 대한 영향선, 그리고 휨 모멘트에 대한 영향선의 경우 모두 모델링하

는 방법이 다릅니다. 그러나 모델링하는 방법은 모두 Muller‐Breslau 원리에 근거를 두고 있음에 유의하면 쉽게 이해할 수 있습니다. 2.16.1 반력의 영향선 모델링

1

rr r

1

r

r r

A

1

rr

r

B C

a A의 수직반력의 영향선

b B의 수직반력의 영향선

c C의 수직반력의 영향선

그림 2.16‐1 수직 반력의 영향선

[email protected]

2‐109

그림 2.16‐1은 A, B, C의 수직반력의 영향선입니다. 구하고자 하는 반력 위치에서 수직 방향 구속만을 해제하고 반력 방향으로 단위변위가 가능하도록 구조물을 모델링합니다. 지점의 휨모멘트 반력의 영향선은 부재의 휨모

멘트의 영향선과 동일하므로 설명을 생략하겠습니다.

iii r 1

1 v

v v

v v 0 , v v16 , v

16

iv r 1

v 0 , v v 1 , v v 0

v r 1

v v v 0 , v v 1

16

16 0 0 0

16

16 0 1 0

016

16 1 0

016

16 0 1

0 016 0 1

4 &

i r 1

1

v

v

ii r 1v

1v

v

v

v v16 , v v v 0 v v

16 , v v

16 , v 0

Solution :

1 Modeling & 독립 변위 r

r r r

r r

2 부재 변형 v

v

v

v v

3 외력 R

1

0

0

0

0

Given :

18 m

A BEI const

예제 2.16‐1

Req’d : A의 수직 반력의 영향선 @ 6 m

[email protected]

2‐110

00.250.5

0.751

1.25

0 3 6 9 12 15 18

4

i r 1

1

v

v

ii r 1

v 0 , v 1

v v118

A

118 0

118 1


r r

2 부재 변형 v

v

v

3 외력 R

1

0

별해 : 영향선을 식으로 구함

7

1EI

1.944 10

1.656 10

936

90

144

8 영향선의 종거값

r 1.944 10EI

1

0.852

0.481

0.046

0.074

9 A의 반력의 영향선

@ A

@ 6 m

@ 12 m

EI6

4 2 0 0 0

2 4 0 0 0

0 0 4 2 0

0 0 2 4 0

0 0 0 0 3

5 6 T

EI

55.56 55.56 0 166.67 0

55.56 111.11 55.56 0 166.67

0 55.56 69.44 166.67 83.33

166.67 0 166.67 1333.33 333.33

0 166.67 83.33 333.33 1166.67

10

[email protected]

2‐111

Req’d : D에서 전단력의 영향선 @ 9 m

CA Given : EI constant

9 m 9 m 18 m

B D

예제 2.16‐2 From Hibbeler “Structural Anlsysis

B C A D

2.16.2 전단력의 영향선 모델링 그림 2.16‐2는 D에서의 전단력의 영향선입니다. D 과 D 에서 회전각은 동일하므로 회전 변위는 1개가 존재합

니다. D 과 D 는 상하로 1만큼 차이가 발생하므로 수직 변위는 D 과 D 에 각각 1개씩 존재합니다.

r r

r

r

r r

1

그림 2.16‐2 전단력의 영향선

D

D

10 영향선 경계 조건

i 0 C C 0 C 0 C 0 1 C 1

ii ddx 0 C 2 C 0 3 C 0 0 C 0

iii 18 C C 18 C 18 C 18 0 C 18 C 324 C 5832 C 0

iv ddx 18 C 2 C 18 3 C 18

112 C 36 C 972 C

112

C 1 , C 0 , C1216 , C

111664 x

111664 11664 54 x x

위의 4개의 식을 풀면

6 m & 12 m 위치에서 영향선 종거 : 6 0.852 , 12 0.481

5

EI

418

218

218

418

6

T EI

1486

154

154

29

7

1EI

1944

162

8 영향선 경계값

|r | 1944EI

1

112

9 영향선 식

C C x C x C x

ddx C 2 C x 3 C x

[email protected]

2‐112

5

EI9

3 0 0 0 0 0

0 4 2 0 0 0

0 2 4 0 0 0

0 0 0 4 2 0

0 0 0 2 4 0

0 0 0 0 0 3

T EI

1243 0 0

127 0 0

04243 0

227

227 0

0 05243 0

227

127

127

227 0

79

29 0

0227

227

29

89

29

0 0127 0

29

79

6

v r 1

v v 0 , v v 1 , v v 0

vi r 1

v v v v 0 , v v 1

19 0 0 1 0 0

019 0 1 0 0

019 0 0 1 0

0 019 0 1 0

0 019 0 0 1

0 019 0 0 1

1

viii r 1

v

v

v 0 , v v 0 , v v19 , v

19

iv r 1

v

v

v v 1 , v v v v 0

4

i r 1

1

v

v19 , v v v v v 0

1

vii r 1

v

v 0 , v v19 , v v v 0

r r r

r

r

r

Solution :

1 Modeling & 독립 변위 r 2 부재 변형 v

v

v

v v

v v

3 외력 R

R

1

1

0

0

0

0

[email protected]

2‐113

예제 2.16‐3 From Hibbeler, “Structural Analysis” Example 9‐16

4

i r 1

1

v

v

v

1

v v

v

ii r 1

v19 , v v

19 , v v v 0 v v v 0 , v v

19 , v

19

Solution :


r

r

r r

2 부재 변형 v

v

v v v

v v

3 외력 R

0

0

1

1

0

0

r r

CA Given : EI constant

9 m 9 m 18 m

D

Req’d : D에서 전단력의 영향선 @ 9 m

B C A D

2.16.3 휨모멘트의 영향선 모델링 그림 2.16‐3 은 D에서의 전단력의 영향선입니다. D에서 수직 변위는 1개가 존재하고 D의 좌우의 회전각이 다르

므로 회전 변위는 2개 존재하며 θD θD 1입니다. r

r r r

r r

그림 2.16‐3 휨모멘트의 영향선

θD θD

7

K R1EI

2308.5

1579.5

364.5

229.5

108

13.5

8 영향선 종거

|r | |r | 3888EI

0.594

0.406

0.094

5.903 10

2.778 10

3.472 10

@ 9 m 좌측

@ 9 m 우측

@ 27 m

[email protected]

2‐114

예제 2.16‐4

Req’d : A 의 휨모멘트의 영향선

Given :

2 L L

A CEI constant

7 r

1EI

175.5

40.5

22.25

25.5

12

1.5

8 영향선 종거

|r | |r | 48EI

3.656

0.844

0.469

0.531

0.250

0.031

@ 9 m

@ 27 m

EI9

3 0 0 0 0 0

0 4 2 0 0 0

0 2 4 0 0 0

0 0 0 4 2 0

0 0 0 2 4 0

0 0 0 0 0 3

5

T EI

5243 0

127

227

227 0

05243 0 0

227

127

127 0

13 0 0 0

227 0 0

49

29 0

227

227 0

29

89

29

0127 0 0

29

79

6

v r 1

v 0 v 0, v v 1 , v v 0

vi r 1

v 0 v v v 0 , v v 1

19 0 1 0 0 0

19 0 0 1 0 0

19 0 0 0 1 0

019 0 0 1 0

019 0 0 0 1

019 0 0 0 1

iii r 1 v

iv r 1v

v 1 , v v v v v 0 v 0 , v 1, v v v v 0

B

[email protected]

2‐115

10 AB 부재의 영향선

i 0 C C 0 C 0 C 0 0 C 0

ii ddx 0 C 2 C 0 3 C 0 1 C 1

iii 2L C C 2L C 2L C 2L2 L9 2 L C 4 L C 8 L C

2 L9

iv ddx 2L C 2 C 2L 3 C 2L

13 C 4 L C 12 L C

13

9 영향선 식

C C x C x C x

ddx C 2 C x 3 C x

T EI

272 L

32 L

32 L

6L

32 L

2L

1L 0

32 L

1L

2L 0

6L 0 0

4L

6

1EI

L63 L4L4L4

|r |

2 L9

1

1313

v

v v 0 , v 1 , v 0

12 L 1 0 0

12 L 0 1 0

1L 0 0 1

1L 0 0 0

EI

42 L

22 L 0 0

22 L

42 L 0 0

0 04L

2L

0 02L

4L

5

4

i r 1

v

v v

v

v v12 L , v v

1L

ii r 1

v

v 1 , v v v1L

iii r 1

v

v 1 , v v v1L

Solution :


r

r

r r

2 부재 변형 v

v

v v

v

3 외력 R

0

1

0

0

iv r 1

7 8 영향선 경계값

[email protected]

2‐116

예제 2.16‐5 from 양창현, 구조역학 예제 16.4

Req’d : B의 모멘트의 영향선

-0.5

-0.25

0

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

4

i r 1 ii r 1

v

v

v 0, v 1, v v v v 0 v v 0, v 1, v v v 0

Solution


r

r r r

2 부재변형 vv

v v

v

v

v

3 외력 R

1

1

0

0

Given :

8 m 6 m 8 m

A B I 1.5 I I

i 0 C C 0 C 0 C 02 L9 C

2 L9

ii ddx 0 C 2 C 0 3 C 0

13 C

13

iii L C C L C L C L 0 L C L C L C 0

iv ddx L C 2 C L 3 C L 0 C 2 L C 3 L C 0

C2 L9 , C

13 , C 0 , C

19 L x

19 L 2 L 3 L x x


11 BC 부재의 영향선

C 0 , C 1 , C23 L , C

19 L x

x9 L 9 L 6 L x x


L & 2 L 위치에서 영향선 종거 L4 L9 , 2 L

2 L9

DC

LA CB

[email protected]

2‐117


i 0 C C 0 C 0 C 0 0 C 0

ii ddx 0 C 2 C 0 3 C 0 0 C 0

iii 8 C C 8 C 8 C 8 0 8 C 64 C 512 C 0

iv ddx 8 C 2 C 8 3 C 8

119 C 16 C 192 C

119

C 0 , C 0 , C9116 , C

9928 x

x928 72 9 x


1EI

2

1194929

7 8 영향선 경계값

ddx C 2 C x 3 C x

|r | |r |

18291129429229

9 영향선 식

C C x C x C x

EI

48

28 0 0 0 0

28

48 0 0 0 0

0 04 1.56

2 1.56 0 0

0 02 1.56

4 1.56 0 0

0 0 0 048

28

0 0 0 028

48

5

T EI

12 0 0 0

0 112 0

012

32

14

0 014

12

6

iii r 1

iv r 1

v v v 0, v v 1, v 0

v v v v v 0, v 1

v

v

v

0 0 0 0

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 1 0

0 0 0 1

[email protected]

2‐118

예제 2.16‐6

Req’d : C의 휨모멘트의 영향선 하중은 ADB 구간에서 이동

-1

-0.5

0

0.5

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22

Given : A D B

C

L L

L

EI constant

12 CD 부재의 영향선

i 0 C C 0 C 0 C 0 0 C 0

ii ddx 0 C 2 C 0 3 C 0

429 C

429

iii 8 C C 8 C 8 C 8 0 8 C 64 C 512 C 0

iv ddx 8 C 2 C 8 3 C 8

229 C 16 C 192 C

229

C 0 , C429 , C

3116 , C

1928 x

x928 128 24 x x



i 0 C C 0 C 0 C 0 0 C 0

ii ddx 0 C 2 C 0 3 C 0

119 C

119

iii 6 C C 6 C 6 C 6 0 6 C 36 C 216 C 0

iv ddx 6 C 2 C 6 3 C 6

49 C 12 C 108 C

49

C 0 , C1129 , C

329 , C

71044 x

x1044 396 108 x 7 x


x928 72 9 x

x1044 396 108 x 7 x

x928 128 24 x x

[email protected]

2‐119

-0.03

0 0.5 1 1.5 2

11 AD 부재의 영향선

i 0 C C 0 C 0 C 0 0 C 0

ii ddx 0 C 2 C 0 3 C 0 0 C 0

iii L C C L C L C L 0 L C L C L C 0

iv ddx L C 2 C L 3 C L

16 C 2 L C 3 L C

119

위의 4개의 식을 풀면, C 0 , C 0 , C16 L , C

16 L y x

x6 L L x

9 영향선 경계조건

|r |

16

1

ddx C 2 C x 3 C x

C C x C x C x

10 영향선 식

6 k

EIL

4 2 0 0

2 4 0 0

0 0 412 2

12

0 0 212 4

12

T EI

L

6 1

1 6

1EI

122622

7 8

1 Modeling

1

r

v v v1

2

역대칭

2 독립 변위 r

r

EI

EI2

3 부재 변형 v v

4 외력 R

0

12

5

i r 1

v

v

ii r 1

v

v 0, v v 1, v 0 v v v 0, v 1

0 0

1 0

1 0

0 1

Solution

A BD

L

[email protected]

2‐120

예제 2.16‐7

Req : B에서 휨모멘트의 영향선

10 AB 부재의 영향선 x 축 좌표는 A가 원점입니다.

i 0 C C 0 C 0 C 0 0 C 0

ii ddx 0 C 2 C 0 3 C 0 0 C 0

iii 4 C C 4 C 4 C 4 0 16 C 64 C 0

iv ddx 4 C 2 C 4 3 C 4

12 8 C 48 C

12

C 0 , C 0 , C18 , C

132 x

x32 4 x


B

x

A C

|r | |r |

1212

ddx C 2 C x 3 C x

C C x C x C x

9 영향선 식8 영향선 경계조건

5 k

EI

4 24

2 24 0 0

2 24

4 24 0 0

0 042

22

0 022

42

6

T EI2 0

0 2

1EI

1212

7

4

i r 1

v

ii r 1v

v 0, v 1, v v 0 v v 0, v 1, v 0

0 0

1 0

0 1

0 0


r

r

v

v

v

v 1

1


Given :

4 m 2 m

2 I I CA B

[email protected]

2‐121

Req’d : 분포 하중이 ABC 구간을 이동할 경우 D에 발생하는 최대 수평 반력

-0.4

-0.2

0

0 1 2 3 4 5 6

4

i r 1

v

v

ii r 1 vv

v 1, v v v v v 0 v 0, v v 1, v 0, v 1, v 0

Solution

r v v

vv1 Modeling & 독립 변위 r

r r

r

2 부재 변형 v

v v

3 외력 R

R

0

0

0

1

Given :

18 m 24 m

12 m

A B C

D EEI constant

w 3 kgf/m

예제 2.16‐8 토목구조 기술사 70회

C 0 , C 0 , C14 , C

18 x

x8 2 x


11 BC 부재의 영향선 : x축 좌표는 C가 원점입니다.

i 0 C C 0 C 0 C 0 0 C 0

ii ddx 0 C 2 C 0 3 C 0 0 C 0

iii 4 C C 2 C 2 C 2 0 4 C 8 C 0

iv ddx L C 2 C L 3 C L

12 4 C 12 C

12

B

x

A C

[email protected]

2‐122

C 0 , C5272 , C 0 , C

588128 x

x88128 1620 5 x



i 0 C C 0 C 0 C 0 0 C 0

ii ddx 0 C 2 C 0 3 C 0

5272 C

5272

iii 18 C C 18 C 18 C 18 0 18 C 324 C 5832 C 0

iv ddx 18 C 2 C 18 3 C 18

5136 C 36 C 972 C

5136

ddx C 2 C x 3 C xC C x C x C x

9 영향선 식

T EIL

29

19 0 0

19 0

112

148

0112

512 0

0148 0

1576

6

1EI

36019

7201914419

1958419

|r |

527251361136

1

1 0 0 0

0 1 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 1 0112

0 0 1 0

5 k

EI

418

218 0 0 0 0

218

418 0 0 0 0

0 0424

224 0 0

0 0224

424 0 0

0 0 0 0312 0

0 0 0 0 0312

iii r 1

v

v

v v v 0, v 1, v 0, v 0

iv r 1

v

v v v v 0, v112 , v 0

7 8 영향선 경계조건

[email protected]

2‐123

-0.2

0

0.2

0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 33 36 39 42

AAB x

88128 1620 5 x dx408272 1.489

ABC x

19584 720 54 x x dx3617 2.118

12 D 의 최대 수평 반력

HD w ABC 6.353 kgf

C 0 , C5136 , C

31088 , C

119584 x

x19584 720 54 x x



i 0 C C 0 C 0 C 0 0 C 0

ii ddx 0 C 2 C 0 3 C 0

5136 C

5136

iii 24 C C 24 C 24 C 24 0 24 C 576 C 13824 C 0

iv ddx 24 C 2 C 24 3 C 24

1136 C 48 C 1728 C

1136

[email protected]

2‐124

연습문제 2.1 ~ 2. : 매트릭스 변위법으로 아래의 문제들을 풀으시오.

2.4 from 토목구조기술사 37회

Given :

5 m

30 tonf

A

C

2 m

4 m

EI constant

Req’d : BMD Answer MD 40 kN · m , ME 5 kN · m

B

3 m

D


Given : A EI constantB C D E

20 m 5 m

5 m

10 m 10 m

50 tonf

Req’d : SFD & BMD Answer MB 75 tonf · m , MD 75 tonf · m


Given :

8 m 60 kN

A

6 m

EAL 20 MN/m

Req’d : a BC 부재의 부재력 b B의 수직 변위 Answer FBC 30 kN , ∆B 8.333 mm

B

B

C D


Given :

2000 mm

강봉 steel barconcrete

H 형강 200 mm

400 mm

H 형강 A 84.12 cm 콘크리트 EC 3 10 kgf/cm

Req’d : 강봉에 10 tonf 의 프리스트레싱을 주었을 때 H 형강과 콘크리트에 발생하는 응력 및 합성보의 신축량. 강봉, 콘크리트 그리고 H 형강은 일체로 거동

Answer fS 53.651 kgf cm⁄ , fC 7.664 kgf cm⁄ , ∆ 5.120 10 cm

[email protected]

2‐125

3 m

10 kN/m


Given :

보 AC : EI 4500 kN · m케이블 BD : EA 12000 kN

Req d 케이블에 작용하는 힘

3 m

A B C

D

3 m

Answer TBD 37.875 kN

10 kN

6 m

2 tonf/m


Given :

보 AC : EI 1 10 kgf · cm 케이블 BD : EA 1 10 kgf

Req d 케이블에 작용하는 힘 & MAB

3 m

A B C

D

3 m

Answer TBD 10.125 tonf , MAB 6.75 tonf · m


Given :

80

Req’d : 대칭성을 이용하여 B의 수평변위를 구하시오. Answer ∆C 2.07 cm

B

60 tonf 8 m

E 2 10 kgf/cm : 단면적 cm

8 m

2 m

4 m

A C

D 80 80

60 60

트러스 구조


Given :

8 tonf/m

4 m

800 tonf

Req’d : B의 휨모멘트 Answer MB 3.334 tonf · m closed joint

B

C

A

3 m

E 800 10 kgf/cm

I 900 cm constant

단면적 AAB ∞ , ABC 80 cm

[email protected]

2‐126


Given : 2 tonf/m

Req’d : BMD Answer MAB 16.254 tonf · m , MBA 32.508 tonf · m

B

6 m

EI constant

16 m 6 mA

C

D

8 m

a

2.11 from 건축구조기술사 2001년

Given : EI constant

Req d BMD

a

A B

C

Answer MBA2 Q a3 , MCB

Q a8 , MDB

Q a8 , MEF

Q a3

Q

D

a

a

E F

4 m

2.10 from 건축구조기술사 77회 3‐4

Given :

E 2.1 10 MPa 보와 강봉은 동일 재료

w 20 kN/m

보 AC : I 7.2 10 mm

Req d 보 중앙에서 휨모멘트와 처짐

4 m

A B

C

D

3 m

Answer MB 28.971 kN · m , ∆B 3.885 mm

32 강봉

w

E

3 m

0.5 tonf/m


Given : E 2.1 10 kgf cm⁄보 AB : I 1670 cm

Req d 켄틸리버 보의 끝단에 강봉을 설치하여 B에서 수직 처짐을 반으로 줄이려고 한다. 강봉의 지름은 ?

A B

3 cos 30°

Answer 지름 3.07 mm

C

30°

[email protected]

2‐127


Given : 2 tonf/m A

EI constant

Req’d : A의 반력, MBA,MBC Answer VA 7.813 tonf , MBA 21.875 tonf · m , MBC 18.750 tonf · m

10 m 10 m

10 m 10 m 10 m

B C D

E F


Given :

7 m

K

A

C

Req’d : BMD

Answer MA 4.076 tonf · m , MB 7.484 tonf · m , MC 6.444 tonf · m , MD 3.805 tonf · m

3 tonf/m

B

D

K4 m 3 m

1.5 K K : 강비


Given :

a

EI constant

Req’d : 반력을 같게 하는 a 와 b 의 값 Answer a 0.1527 L , b 0.3473 L

ab b

w

L


Given :

4 m

30 kN/m

A B C D

F E G H

4 m 4 m

3 m

EI constant

Req’d : BMD

Answer MEF 21.05 kN · m , MFE 46.31 kN · m , MFB 4.21 kN · m , MFB 42.10 kN · m

[email protected]

2‐128


Given :

2 m

20 kN

A

C

D

2 m 4 m

1 m

EI 20000 kN · m

Req’d : BMD Answer MD 40 kN · m , ME 5 kN · m

0.001 rad.

B E


Given :

A

D

Req’d : 대칭성 또는 역대칭성을 이용하여 BMD를 구하시오.

Answer MBA 5.314 tonf · m , MBA 2.786 tonf · m

B

3 m 3 m2 m

C

3 m

3 m

w w w

w 0.9 tonf m⁄

w 1.2 tonf m⁄ 강비 KAB KCD 0.5 , KBC 1


Given :

2 tonf/m

3 tonf/m

1 tonf/m1 tonf/m

6 m

3 m

E constant2 I

2 I

II

3 tonf 3 tonf

Req’d : BMD Answer MA 5.25 tonf · m closed joint , MB 3 tonf · m closed joint

A

B C

D


Given :

a

EI constant

Req’d : 각 지점의 휨모멘트를 동일하게 하는 a 와 b 의 값 Answer a1

2 3√6 L , b

√62 3√6

L

bb b

w

L

a

[email protected]

2‐129

0.5 LL

k


Given :

EI 2 10 kN · m k 600 kN m⁄

w 30 kNh 0.3 m

Req d ∆C

A C

h W

Hint & 매트릭스 변위법으로 정적 변위를 구한 후 에너지방법으로 ∆C 를 구한다. ∆C 0.1815 m


Given : A EI 20 10 kN · m

C B

45 m

20 kN/m

Req d 휨모멘트의 절대값이 최소가 되게하는 스프링 강성 Answer kS 19716.9 kN/m

45 m

k


Given : A EI 3 10 kN · m

스프링의 유연도 f 2 mm kN⁄

10 kN

Req d E 의 반력 Answer VE 0.9191 kN

3 m

f

3 m

B C D

3 mE

EI 2 EI

0.5 L L

k

P


Given : EI constant

Req d 1.5 L 인 캔틸리버 보에 수직 스프링을 설치시 자유단의 처짐이14 감소하였다. k 를 구하시오.

Answer k243 EI17 L


Given : A EI 1 10 tonf · m

B C

D 20 m 40 m

2 tonf/m

Req d B에 지점침하가 1.0 cm 발생시 D의 휨모멘트 Answer MD 209.375 tonf · m

20 m

[email protected]

2‐130


Given :

8 m

Req’d : A와 B의 휨모멘트의 영향선

A

9 m

I 1.5 I B C

Answer MA ABx256 256 56 x 3 x , MB BC

x324 81 x x는 C가 원점으로 B를 향해서


Given :

Req’d : SFD, BMD & 처짐형상 Answer MAB 0.143 tonf · m,MBA 3.312 tonf · m

35 cm

α 1 10 /E 2.35 10 tonf m⁄ 단면은 직사각형 단면으로 가정하고 보의

넓이는 단위폭으로 계산

11.897 m A C

B C

35 cm

65 cm15

8.725 m

0 5 0 5 0

2.29 from 토목구조기술사 2002년

Given : 보는 수직하중만 전달. 즉 grid system이 아님.EI constant

Req’d : C의 휨모멘트와 E의 처짐. Answer MC5 Q L21 , ∆E

5 Q L126 EI

L

L L L

Q Q

A B

C

E

D


Given :

L ∆T T T

EI constant 외경 d열팽창계수 α

Req’d : B 에서 최대 응력

Answer Aπ4 d

π64 d I , σB

3 α ∆T EI L L 2 L

2 3 L 12 L IA L L L L

L

원형관A

B

C

2.26 from 건축구조기술사 79회 3‐1

Given : A EI constant

P

Req d B 의 처짐 Answer ∆B5 P

768 EIL 10 k

k

B

D

C

L4

L4

L4

L4

E

[email protected]

2‐131

2.32 from 양창현, 구조역학 문제 16.1

Given :

6 m

Req’d : C의 휨모멘트의 영향선

A

4 m

B C

Answer ABx324 6 x , BC

x432 48 16 x 7 x , CD

x1944 1224 306 x 17 x

6 m

D


Given :

30 m

Req’d : B의 휨모멘트의 영향선 값을 10 간격으로 구하시오.

A I 2 I

B

C

Answer 3.02 @ 10 m ; 4.73 @ 20 m ; 3.79 @ 30 m

10 m 10 m 30 m

I


P

L

L2

L2

A

B C

D

Given :

Req’d : 전단변형과 축방향변형을 무시하고 처짐곡선식을 구하시오.

Answer EI yADP12 x

5 P L128 x

5 P L128 x 0 x

L2 , EI yAB

P64 x

5 P L128 x

3 P L128 x

EI yBCP L128 x

P L128 x 0 x

L2

[email protected]

2‐132

참고 문헌 2.1 심재수, 구조해석 변위법, 경희대학교 출판국, 2005 2.2 심재수, 부정정구조해석 응력법, 경희대학교 출판국, 2004 2.3 심재수, 변형도로 배우는 구조역학, 피어슨 에듀케이션 코리아, 2001 2.4 한국산업인력공단, 토목 구조기술사 기출문제, 63회‐86회 2.5 한국산업인력공단, 건축 구조기술사 기출문제, 63회‐86회 2.6 선민호, 高手 구조역학, from draft 2.7 양창현, 구조역학, 청문각, 2006 2.8 이수곤, 기술사 구조역학, 예문사, 2002 2.9 이수곤, 구조역학특론II, 전남대학교출판부, 1999 2.10 옥재호, 토목구조 기술사, 건설정보사, 2008 2.11 최진성, 토목구조 과년도 문제해설, 예문사, 2004 2.12 한휘진, 구조기술사 문제해설 : 구조역학.재료역학, 한솔아카데미, 2007 2.13 W. M. McGuire, R. H. Gallagher and R. D. Ziemian, Matrix Structural Analysis, 2nd edition, John Wiley &

Sons, 2000 2.14 R. L. Sack, Matrix Structural Analysis, PWS‐KENT Pub., 1989 2.15 R. K. Livesley, Matrix Methods of Structural Analysis, Pergamon Press, 1975 2.16 L. P. Felton and R. B. Nelson, 매트릭스 구조해석, 교보문고, 1999 2.17 V. J. Meyers, Matrix Analysis of Structures, Harper & Row, 1983 2.18 T. Y. Yang, Finite Element Structural Analysis, Prentice Hall, 1986 2.19 R. E. Sennett, Matrix Analysis of Structures, Prentice Hall, 1994 2.20 R. C. Hibbeler, Structural Analysis, 5th edition, Prentice Hall, 2001 2.21 F. P. Beer, E. R. Johnston Jr., J. T. DeWolf, Mechanics of Materials, 4th edition, McGraw‐Hill, 2006 2.22 A. P. Boresi, R. J. Schmidt, O. M. Sidebottom, Advanced Mechanics of Materials, 5th edition, John Wiley, 1993

[email protected]

3‐1

Chapter 3. 매트릭스 응력법 3.1 Notation 외력 벡터 vs 외력에 대응하는 변위 벡터

부정정력 벡터 vs 잉여력에 대응하는 변위 벡터

반력 벡터 vs 반력에 대응하는 지점 변위 벡터

부재력 벡터 vs 부재력에 대응하는 부재 변형 벡터

부재력 변환 매트릭스

부재력 변환 매트릭스

반력 변환 매트릭스

반력 변환 매트릭스

부재 연성 매트릭스

전체 구조 연성 매트릭스 역사적으로 보면 매트릭스 해석은 응력법이 변위법보다 먼저 연구되었습니다. 그러나 4장에서 설명할 직접 강성법의 유리함으로 인하여 응력법은 곧 연구 대상에서 제외됩니다. 4장에서 자세히 설명하겠지만 대부분의 책들이 직접 강성법에 중점을 두고 쓰여졌고 특히 응력법에 대한 내용은 아예 없거나 있다 하더라도 매우 적은 부분을 할애하고 있으므로 매트릭스 응력법을 공부할 기회가 매우 적다고 할 수 있습니다. 그러나 작용하중의 수가 적고 자유도가 높은 트러스 구조 문제의 경우 매트릭스 변위법은 수계산시 계산량이 많다는 약점이 있습니다. 기술사 시험공부에 한정하였을 경우 변위법의 약점을 보강해줄 수 있는 방법이 매트릭스 응력법입니다. 영어로는 Matrix Force Method 라서 매트릭스 하중법이 더 적절한 표현인 것 같지만 통상적으로 매트릭스 응력법이라고 부릅니다. 매트릭스 변위법에서는 변위가 주고 하중은 변위에 대응하는 개념입니다. 반대로 매트릭스 응력법에서는 하중이 주고 변위는 하중에 대응하는 개념입니다. 그리고 매트릭스 변위법에서 사용한 변형 적합 매트릭스 대신 매트릭스 응력법에서는 부재력 변환 매트릭스 이 식을 유도하는데 사용됩니다. 2장에서 설명한 매트릭스 변위법은 가상변위의 원리에 의해 식이 유도되나 매트릭스 응력법은 가상힘의 원리에 의해 유도됩니다. 가상힘의 원리를 적용하려면 가상힘을 주었을 때 발생하는 가상 부재력을 알아야 합니다. 부재력을 평형방정식만으로 계산할 수 있을 경우 정정구조이고 평형방정식만으로는 계산할 수 없을 경우 부정정구조라고 합니다. 그러므로 매트릭스 응력법에서는 정정구조와 부정정구조의 해석을 다르게 하여야 합니다. 쉽게 설명하면 단위 하중법에 의해 구조물의 처짐을 계산할 때 정정구조물에서만 사용하고 부정정구조에서는 직접적으로 사용이 불가능했던 것과 동일한 이유입니다. 그러므로 부정정구조의 매트릭스 응력법에서도 우선 부정정력을 제거한 기본구조물로 만든 후 적합조건을 사용하여 부정정력을 구하여야 합니다. 그러므로 부정정구조물의 매트릭스 응력법은 변형일치법과 동일하며 다만 연성 매트릭스를 이용하여 계산하는 차이점만 있습니다.

[email protected]

3‐2

3.2 트러스 부재와 보 부재의 연성 매트릭스 f 이미 2.5와 2.6에서 트러스와 보 부재의 연성 매트릭스를 설명하였으니 여기에서는 간단히 언급만 하겠습니다. 3.2.1 트러스 부재의 연성 매트릭스 트러스 부재는 축방향력만 존재하므로 단위하중에 의한 축방향변형인 f 는 아래와 같습니다.

LEA

3.3.2 휨변형만 고려한 보 부재의 연성매트릭스 보 부재의 경우 일반적으로 휨방향 변형만을 고려하여 계산합니다. 공액보로 유도 가능하나 에너지법으로 유도하는 것이 가장 명확합니다. 아래 그림은 가상힘의 원리의 일종인 단위하중법으로 절점에서 처짐각을 구하는 과정을 보여줍니다.

fm mEI dx

13LEI

L, f f

m mEI dx

16LEI , f

m mEI dx

13LEI

L

L

flexibility LEI

13

16

16

13

3.2.3 힌지 절점을 지닌 보 부재의 휨변형만 고려한 연성 매트릭스 2.9에서 Static Condensation을 사용하여 구한 힌지 절점을 지닌 보 부재의 강성매트릭스을 사용하여 연성 매트릭스를 구하면 다음과 같습니다.

3 EIL L

3 EI

v SvS

i S 1 & S 0

L, EI

S 1

1L

1L

m 1xL

ii S 1 & S 0

S 1

1L

1L

mxL

그림 3.3‐1 가상힘의방법에의한부재의연성매트릭스

[email protected]

3‐3

3.3 정정구조와 부정정구조에서 매트릭스 응력법 3.3.1 정정구조에서 매트릭스 응력법

그림 3.3‐1 은 간단한 정정 구조입니다. 부재력 변환 매트릭스 은 에서 알 수 있듯이 단위하중이 작용하였을 경우 부재력 크기값을 모은 매트릭스입니다. 즉 각각의 R 값을 부재력으로 변환시키는 하중 변환 매트릭스입니다. 그림 3.3‐1 과 같이 외력 R 1 일 경우 부재력의 값이 이므로 변형 적합매트릭스와 유사한 방법으로 구하는 것이라고 할 수 있습니다. 부재력 변환 매트릭스는 평형방정식으로부터 구해지는 것이지만 강성매트릭스의 하나의 행처럼 그 자체가 평형방정식을 의미하지는 않습니다. 부재력 변환 매트릭스에서 주의할 점은 양창현 교수님의 구조해석의 매트릭스 변위법에서 전체 강성매트릭스를 구하기 위해 사용하는 외력 평형 매트릭스 와는 다르다는 것입니다. 식으로 비교하면 과 가 분명히 다르다는 것을 알 수 있습니다. 매트릭스 응력법은 가상힘의 법으로부터 유도할 수 있습니다. 가상힘의 법의 대표적인 것이 단위 하중법입니다. 매트릭스 응력법에서 변위를 구하는 것은 단위하중법으로 처짐을 구하는 것과 동일합니다. 다만 트러스의 경우 부재마다 탄성계수, 단면성질, 부재 길이 등을 곱한 후 전 부재값을 더해서 구하는 과정을 매트릭스연산이 대신하는 것이고 보의 경우 단위 하중법 사용시 적분을 하여야 하나 매트릭스 응력법에서는 flexibility 매트릭스 f 를 사용하기만 하면 됩니다. 트러스와 보의 경우 변위를 알고 싶은 위치에 하중이 없을 경우라도 그 위치에 외력 R을 위치시켜야 합니다. 물론 값은 0입니다.

: 평형방정식

: 구성방정식 가상힘의 원리로부터 δWE δWI

T T T T T T

T T T : 지배방정식 where,

아래의 예제는 정정 트러스구조에서 변위를 구하는 문제입니다. 풀이를 잘 살펴보면 단위 하중법으로 처짐을 구하는 것과 매트릭스 응력법이 동일함을 알 수 있습니다. 다만 표로 만들어서 하던 계산을 매트릭스로 하는 차이입니다. 그러나 계산기에 매트릭스를 입력만 하면 매트릭스와 곱셈과 덧셈은 자동으로 계산하므로 단위 하중법에서 곱셈을 한 후에 각 부재의 결과를 더하는 작업이 매트릭스 응력법으로 하면 더 이상 필요 없습니다.

L

EI R

S

S R 1S L

a 정정 구조물 b 외력 R c 부재력 S d L

0

그림 3.3‐1 정정 구조의부재력평형매트릭스 bR

[email protected]

3‐4

별해로 단위 하중법으로 변위를 구해봅니다.

부재 실제힘 수평 가상힘 수직가상힘 LA N n L A N n L

AAB 4 1 2

346 2.667 ‐1.778

BC 4 0 23

46 0 ‐1.778

AD ‐5 0 56

512.5 0 ‐1.667

BD 6 0 ‐1 36 0 ‐3.0

CD ‐5 0 56

512.5 0 ‐1.667

∆H2.6672 10 1.334 10 m , ∆V

9.8902 10 4.945 10 m 2.667 ‐9.890

4 부재 연성 매트릭스

12 10

46 0 0 0 0

046 0 0 0

0 05

12.5 0 0

0 0 036 0

0 0 0 0512

T333.33 222.22

222.22 824.07 10

6 1.333

4.94410 m

Solution :

1 R

R

R

2 부재력 S

S S

SS S

0

6

123

023

056

0 1

056

3

i R 1

1 1 0

0 0 0

ii R 1

1

11

12

12

56

23

23

56

Given :


4 m 4 m

3 mA B C

D 압축부재 A 12.5 cm

인장부재 A 6.0 cm

E 2 10 kgf/cm6 tonf

Req’d : B의 수평, 수직 처짐

5

[email protected]

3‐5

4

i R 1

1 12

12

32

12

0

512

54 2

3

512

12

12

35√13

3

54

ii R 1

1

38

98

38

0

1516

151632

516 √13

4

1516

1

38

1

S

S

F 0 ;45 S

45 S 1 0

E

38

@ joint E

F 0 ;35 S

35 S

38 0

S1516 , S

516

bR

23

32

0 0

32

98

54

1516

512

1516

12

38

54

1516

√133

√134

512

516

2 외력 R

R

R

3 부재력 S

S

S

S

SS

S

SS

S

1 b 9, r 2 , j 6 9 3 12 2 6 12 정정구조

Solution :

45

602

3 √13 4

3 5


Given :

A B C

D E

F

60 kN

45 kN

4 m 4 m

3 m

3 m

EA constant

Req’d : a 부재력이 0 인 부재 b 부재 CE의부재력 c E의수평변위

[email protected]

3‐6

3

i R 1

1

23

13

1 109

89

13

59

49

ii R 1

1

13

23

059

23

109

59

89

89

49

59

49

49

89

Solution :

1 외력 R

R R

12

24

2 부재력 S

S S S

SS

S

S

S

S

4 3

예제 3.3‐3 From 건축구조 기술사 75회 2‐1

Given :

A B

C

D

E

F

12 tonf

2 m 2 m

24 tonf

1.5 m

2 m

5A 2A A

4A 4A 5A

3A 5A

5A

E 2.1 10 kgf/cm

A 5 cm

Req’d : D의 수직 처짐

1100 10

4 0 0 0 0 0 0 0 0

0 4 0 0 0 0 0 0 0

0 0 3 0 0 0 0 0 0

0 0 0 5 0 0 0 0 0

0 0 0 0 5 0 0 0 0

0 0 0 0 0 3 0 0 0

0 0 0 0 0 0 5 0 0

0 0 0 0 0 0 0 2√13 0

0 0 0 0 0 0 0 0 5

5

8

T6.375 2.673

2.673 3.275 10

7 6.375 10

7.622 10 m

60 0 0 0 75 45 0 0 0 T

6

0

00

00

0

[email protected]

3‐7

Solution :

1 외력 R

C

R

R

S

S

R

3

0

0

2 부재력 S

S

S

3

i R 11

300

300

300


Given :

Req’d 1 A에서의 허용 수직변위L300 & B에서허용수평변위

L250 일때처짐 검토 2 θA

I

I

A B

C

3 m

6 m

P 3 tonf

E 2.1 10 kgf/cmI 56100 cmI 103000 cm

T 3.140 10 6.361 10

6.361 10 2.471 10

6 5.295 10

6.695 10 m

5

21.333 21.333 26.667 26.667 12 6.667 20 33.333 26.667 T

7

4

bR

89

49

89

49

49

89

109

59

1 0

59

59

13

23

59

109

49

89

1

2.1 10 5

24 0 0 0 0 0 0 0 0

024 0 0 0 0 0 0 0

0 025 0 0 0 0 0 0

0 0 02.55 0 0 0 0 0

0 0 0 01.52 0 0 0 0

0 0 0 0 02.51 0 0 0

0 0 0 0 0 01.53 0 0

0 0 0 0 0 0 02.55 0

0 0 0 0 0 0 0 025

[email protected]

3‐8

Solution :

1 외력 R R R

R R

P

1

0

2

0

2 부재력 S

S S

S

S

예제 3.3‐5 From 심재수 “부정정구조 응력법 “

2 P

A

3 L 4 L 4 L

4 L

P

B D

C

Given :

Req’d : θB & θC

EA ∞ , EI constatn

6

0.978 cm

0.749 cm

3.642 10 rad.

7 처짐검토

i ∆V 0.978 cmL250

300250 1.2 cm O. K

ii ∆H 0.749 cmL300

600300 2.0 cm O. KθA

T

0.326 0.250 1.214 10

0.250 0.333 8.322 10

1.214 10 8.322 10 5.320 10

5

12.1 10

3003 56100

3006 56100 0 0

3006 56100

3003 56100 0 0

0 0300

3 103000300

6 103000

0 0300

6 103000300

3 103000

4

ii R 1

1

600

iii R 1

1

1

1

0 0 1

300 0 1

300 0 1

300 600 1

[email protected]

3‐9

T 1

363 EI

7488 L 1766 L 6912 L 1200 L

0.250 557 L 1644 L 235 L

6912 L 1644 L 8912 L 966 L

1200 L 235 L 966 L 425 L

1

363 EI

21312 L

4464 L

24736 L

3192 L

24 L11

311

12 L11

311

24 L11

811

12 L11

311

12 L11

411

28 L11

711

12 L11

411

28 L11

411

LEI

53 0 0 0

043

46 0

046

43 0

0 0 043

4

iii R 1

711

28L11

12L11

1

411

iv R 1

111L

111L

411

711

1

3

i R 1

1

811

311

12L11

24L11

ii R 1

111L

111L

411

811

311

1

5 6

311

[email protected]

3‐10

3.3.2 부정정 구조에서 매트릭스 응력법

부정정 구조의 매트릭스 응력법은 기본적으로 변형일치법 또는 최소일의 원리와 동일합니다. 간단하게 변형일치법을 설명하면 부정정력을 제거한 기본구조물에 외력 R이 작용하여 구한 변위 과 부정정력 X를 작용시켰을 경우의 변위 를 적합조건 에 대입하여 미지수인 부정정력 X를 구하는 해석방법입니다. 그림 3.3‐2 a 의 연속보의 경우 외적 1차 부정정이므로 B의 수직 반력을 부정정력으로 선택하였고 이 경우 적합조건은 B에서 수직 변위는 없다는 것입니다. 그림 3.3‐2 d 의 트러스의 경우 내적 1차 부정정이므로 부정정력으로 CB부재의 부재력을 선택하였고 적합조건은 부정정력 X에 의한 상대 변위 x xR xX 0 는 없다는 것입니다. 지점침하, 온도변화, 제작오차가 없을 경우 부재력과 변형은 아래와 같고 각각의 식은 평형방정식과 구성 방정식을 의미합니다. 식에서 첨자는 기본 구조에 외력 R이 작용하였을 경우와 부정정력 X가 작용하였을 경우를 의미합니다. 매트릭스 응력법에서 주의하여야 할 점은 해석의 결과인 변위 , 부재 변형 , 부재력 는 기본 구조에 외력 R 과 부정정력 X 가 작용하였을 경우 구해지는 각각의 결과를 중첩시켜야 한다는 것입니다. 변위

부재력

부재 변형 지점 이동이 없는 구조에 가상힘이 작용하였을 경우 가상외력이 한 외적 가상 상보일과 가상 내력이 한 내적 가상 상보일은 다음과 같습니다. δWE T T

δWI T

가상힘의 원리 δWE δWI 0 이므로 T T T T T T T T T T T T T

과 는 0 이 아닌 임의의 값이고 서로 독립적이므로 다음과 같은 식이 성립합니다. T T T T & T T T T T & T

R R

X

xX xR

R R

xR

xR

X

X

xX

xX

그림 3.3‐2 부정정구조에서 xR & xX

d 부정정 트러스 e 기본구조와변위 f 기본 구조와 변위

a 2경간 연속보 b 기본구조와변위 c 기본 구조와 변위

A B C

A B

D C

[email protected]

3‐11

지배 방정식을 구하기 위해 다시 가상힘의 원리를 사용하면 T T T

XT

T T

T T

T T T X T T T

T T

T T

과 는 0이 아닌 임의의 값이고 서로 독립적이므로 다음과 같은 식이 성립합니다.

지배방정식

적합방정식

where, T , T , T , T

부정정력 에 의한 상대적인 변형은 0 이므로 부정정력은 다음과 같습니다.

T

3 부정정구조 매트릭스 응력법 해석 순서 i X를 선정하여 기본 구조물 구성

ii 평형 매트릭스 계산 : &

iii 구조의 Flexibility matrix 계산 : , , , FXX

iv 적합방정식 을 사용하여 부정정력 계산 T

v 변위 계산 :

vi 부재력 계산 :

vii 반력 계산 :

예제 3.3‐6 From 양창현 “구조역학“

Given :

A

2 A

2 A 2 A

A

A

a c

b 10 kN

1 m 1 m

1 m

2 m

Req’d : 부재력

d

[email protected]

3‐12

6 부재 연성 매트릭스

1EA

22 0 0 0 0 0

0√21 0 0 0 0

0 0√21 0 0 0

0 0 0√102 0 0

0 0 0 021 0

0 0 0 0 0√102

7 ,

T 0.167

T 4.404

8 부정정력

0.378 kN

9 부재력

4.874

0.268

0.268

15.612

0.378

16.011

5

i R 1

0

32

32

1

S√102

S

@ joint b 1 F 0 ;

1√10

S1√10

S 1 0

F 0 ;3√10

S3√10

S 0

S√102 , S

√102

32

@ joint a

S√102

S

S

F 0 ; 1√102

1√10

S 0

S12

12

0

0

√102

0

√102

12

0

√102 √10

2

0

2 외력 R & 부정정력 X

R

X 10

3 부재력 S

X

S

S S

S S S

4

i X 1

1√106

√106

F F12

√103

√106

√22

13

√22√22√106

1

√106

13

√10 3 1

√2 1

1

√22

1 b 6, r 3 , j 4 b j 9 2 j 8 1 1차부정정구조

Solution :

[email protected]

3‐13


1EA

3 0 0 0 0 0 0 0

0 3 0 0 0 0 0 0

0 0 5 0 0 0 0 0

0 0 0 4 0 0 0 0

0 0 0 0 5 0 0 0

0 0 0 0 0 4 0 0

0 0 0 0 0 0 2 4 0

0 0 0 0 0 0 0 3

T 1EA 3.2 7.6

T 1EA 19.840

9

R 0.302 tonf

8 &

54

5

i R 1

1

34

34

34

34

1 0

54

ii R 1

1

32

32

34

32

0

1

1

54

34

34

34

34

54

54

1 0

054

0 0

0 0

34

32

i X 1

35

145

0

35

0

45

1

1

4535

0 0

34

0

34

0

0

0

1

35

4

6 10 tonf 5 tonf

2 기본 구조물

1 부정정도 : b 15, r 3, j 8 b r 18 2j 16 2 대칭성을이용하면 1차 부정정

3 외력 R & 부정정력

R R

4 부재력 S

S S

S S S

S S

S

X

X10

5

A2

Solution :

예제 3.3‐7 From 토목구조기술사 59회 2‐1

A B C D E

F G

H

10 tonf 10 tonf 10 tonf

Given :

Req’d : FAF & FBG

A constant

3 m 3 m 3 m 3 m

4 m

6

[email protected]

3‐14

5 외력 R

1

0

i Case a ii Case b

0

1

Solution :

1 부정정도 : b 10, r 3, j 6 b r 13 2j 12 1 1차부정정 구조

2 기본 구조 3 외력 R & 부정정력

R R

X

X

4 부재력 S

S S S

S S

S

S

SS

S


Given :

3 m 3 m 3 m

4 m

L L L L

U U

P 1 tonf

W 0.2 tonf/m

Req’d : a L L 의 영향선 b 부재력 FL U

10

11.250

11.431

18.75

10.242

5.948

0.302

0.242

14.819

11.250

11.431

18.75

10.242

5.948

0.302

0.484

14.819

tonf

11 FAF & FBG

FAF S 18.75 tonf

FBG X S 0.302 tonf

[email protected]

3‐15

11 L L 의 영향선

0.3935

0.0231 2.834

12 FL U 최대값

FL U12 5.834 0.3935 0.2 0.3935 1 0.623 tonf

FL U12 3.166 0.0231 0.2 0.0231 1 0.0304 tonf

8

1EA

3 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 3 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 3 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 5 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 4 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 5 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 5 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 4 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 5 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 3

T 1EA 6.8 0.4

T 1EA 17.28

10

0.3935

i Case a

ii Case b

0.0232

6

i R 1

1 23

13

56

12

12

14

‐1

0 512

14

512

ii R 1

13

23

512

14

512

12

56

1

13

12

14

12

14

14

12

56

512

1 0

0 0

512

512

13

23

512

56

14

12

i X 1

35

1

0

0

0

35

0

0

45

1

1

45

0

35

7

0

0

45

45

35

1

0 0

14

12

23

9

[email protected]

3‐16

S S

S

S

S

S

S S

0

0

0

0

4

0

4

6

5

1 53 4

3

43

43

0

4 4 4

43

43

53

1

4343

4

43

4

4

4 1

1 0 0

0

0

4

0

4 6

3 부재력 S

1 기본 구조 15 kN 2 외력 R & 부정정력 X R

53 X

X

15

43 X

Solution :

예제 3.3‐9 From 양창현 구조역학 문제 12.6

3 m

4 m 4 m 4 m

6 m 30 kN

100 mm

200 mm

보의 단면

Given :

Req’d : 부재력

A 3200 mm , A 2000 mm , A 2500 mm &

1 2

3

2 1

[email protected]

3‐17

9

28.462

17.077

22.770

22.770

8.310

22.770

8.310

21.690

kN

T 1E 9.200 10

T 1E 8.080 10

8

17.077 kN

7

1E

110

53 0 0 0 0 0 0 0

032 0 0 0 0 0 0

0 022.5 0 0 0 0 0

0 0 0420 0 0 0 0

0 0 0 04

3 6.667 10 0 0 0

0 0 0 0 0220 0 0

0 0 0 0 0 02

3 6.667 102

6 6.667 10

0 0 0 0 0 02

6 6.667 102

3 6.667 10

1000 mm 1000 10 m 10 m , 보의 Ib h12 6.667 10 m

6

보의 A b h 20000 mm 20 10 m

보의 Ib h12 6.667 10 m 6.667 10 10 m

[email protected]

3‐18

1

0

0

0

1500

5

‐1

0

1500

0

0

1

6 재료성질및단면제원

E 200 GPa 200 10 N/mm

200 kN/mm

GE

2 1 ν 76.923 kN/mm

J 2 I 16 10 mm

EI 200 8 10 1.6 10

3 부재력 S

S

S

S

S S

4 1

‐750

750

0

1500

750

1500

0

750

0

0

Solution :

1 기본 구조 2 외력 R & 부정정력 XR

X

5

kS

5 kN

1500 mm 750 mm

구분 좌표 x, y, z mm A 0, 0, 0 B 1500, 0, 0 C 1500, 750, 0 D 1500, 0, ‐1000

A

B

C

D

x

z

y

A 4500 mm

I 8 10 mm

E 200 GPa

포아송비 ν 0.3

kS 2 kN/mm


Given :

Req’d : A 스프링 지점의 반력 B 하중 재하점의연직변위

부재는 원형 강관

[email protected]

3‐19


Given : A

C

L

L

L L

EI constant

Req’d : 연직 반력

P

12

3750 kN · mm

3117 kN · mm

0

3750 kN · mm

2.922 kN

T 1.477 mm/kN

T 0.703 mm/kN

11

5.328 mm

10 &

T 0.703 mm/kN

T 1.203 mm/kN

9

2.922 kN

8 &

7

110

150076.923 16 0 0 0 0

01500

3 200 81500

6 200 8 0 0

01500

6 200 81500

3 200 8 0 0

0 0 0750

3 200 8 0

0 0 0 0102

[email protected]

3‐20

7

17 P48 0.370 P

8 반력 VC

VC 17 P48 0.370 P

5

1EI

13

16 0 0 0 0 0

16

13 0 0 0 0 0

0 013

16 0 0 0

0 016

13 0 0 0

0 0 0 013

16 0

0 0 0 016

13 0

0 0 0 0 0 013

T 17 L3 EI

T 23 L3 EI

3

L 1

L

L

L

L

0

0

0

0

4

2L

1

2L

2L

2L

2L

L

L

L

L

L

L

L

Solution :

1 기본 구조물과 외력 R & 부정정력 X

R

X

2 부재력 S

P S

S

S

S

SS

S

6

[email protected]

3‐21

3.4 절점과 절점 사이에 작용하는 하중 기초적인 구조역학에서 트러스 구조는 하중이 절점에만 작용하는 것으로 가정합니다. 그러나 보 부재의 경우 절점 사이에 작용하는 하중을 모두 절점하중으로 처리할 경우 경제적이지 못하므로 절점사이에 작용하는 하중은 고정단 하중으로 처리합니다. 매트릭스 응력법은 작용 하중의 수가 적고 변위가 많은 구조를 수계산으로 해석할 경우 편리하며 이러한 유형의 문제는 대부분 트러스 구조이므로 기술사 시험을 공부하시는 분들은 이 절의 내용을 숙지하실 필요는 없습니다. 보 부재의 절점 사이에 작용하는 하중은 변위법과 마찬가지로 고정단 모멘트의 개념으로 처리합니다. 그러나 변위법과는 다르게 고정단 모멘트 을 외력 로 변환 T 시킬 수 있는 T 같은 적합 매트릭스가 존재하지 않습니다. 그러므로 응력법에서는 절점 사이의 하중으로부터 직접 절점에서의 등가하중을 구하여야만 합니다. 절점에서 모멘트와 부재축에 수직인 전단력까지 모두 고려할 경우 보 부재의 연성 매트릭스 f는 4 4 이어서 수계산하기에는 너무 큽니다. 계산의 편의를 위해 2장의 변위법과 같이 모멘트만 고려하고 부재축에 수직인 전단력은 계산에서 직접적으로 고려하지 않습니다.

그림 3.4‐1의 분포하중을 받는 부재의 양단에서 적합조건과 평형조건은 다음과 같습니다. 적합조건 v v I v II 0 v II v II

v v I v II 0 v II v II 평형조건 S S I S II SFEM S II SFEM bR bX

S S I S II SFEM S II SFEM bR bX 매트릭스 연산 형태로 나타내면

그림 3.4‐2의 보 부재에 분포하중이 작용할 경우 각 절점의 FBD를 보면 각 절점에 작용하는 등가 절점 하중을 계산할 수 있습니다. 등분포 하중이 작용하는 보는 2개의 부재로 나누어지며 각각의 부재에 작용하는 하중은 양단에서 단면력인 고정단 하중과 평형방정식을 통해 구한 전단력으로 바꾸어 표현할 수 있습니다. 결과적으로 부

w

i j k

I I j ki

SFEM SFEM SFEM SFEM

V V V V

V V V V

a 분포하중을 받는 부재 b 절점의 FBD

그림 3.4‐2등가절점하중

RR R

w x w x

a 실제 구조물 Step I : 고정단하중 Step II : 등가하중

그림 3.4‐1 등가하중의적합조건과평형조건

[email protected]

3‐22

재의 단면력과 크기는 같고 방향은 반대인 힘이 절점에 작용을 하게 되며 이것을 등가 절점 하중이라고 하며 에너지법에서 언급한 내력 internal force 과 동일한 것입니다. 매트릭스 변위법에서 T 에 의해 등가 하중이 계산되는 것과 비교하면 변위법과 응력법이 각각 가상변위의 원리와 가상힘의 원리에 근거를 두고 있음을 알 수 있습니다. 변위법에서는 등가하중 R 와 R 의 경우 지점에 작용하기 때문에 해석용 계산 단계인 Step II 에서 반력값에 추가될 뿐입니다. 그러나 응력법에서는 절점 i의 반력을 부정정력으로 선택하였을 경우 부정정력과 일치하는 R 를 어떻게 계산에 반영하여야 할지 생각해보아야 합니다. 부정정력과 일치하는 등가하중이 존재시 두가지 방법으로 구조해석할 수 있습니다. 1 부정정력과 대응하는 등가하중을 외력 R로 처리하는 경우.

그림 3.4‐3과 같이 부정정력과 등가하중을 동시에 나타내었을 경우 위에서 구한 응력법식을 그대로 적용하여 계산합니다. 단 외력 R의 수가 증가합니다. 2 부정정력과 대응하는 등가하중을 반력 로 처리하는 경우

그림 3.4‐4의 경우 부정정력에 해당하는 외력을 반력 QI으로 표현하였습니다. 반력을 제외한 부정정력 X 는 위에서 구한 등가 외력 R을 사용하여 구합니다. 부재력과 변위는 반력과는 관계가 없으므로 부재력과 반력은 등가 하중 R과 반력을 제외한 부정정력 X 를 사용하여 구합니다. 그리고 최종적인 반력 Q 는 반력 QI과 반력을 제외한 부정정력 X 을 중첩시킴으로서 구합니다.

&

예제 3.4‐1

Given :

4 m

12 kN/m

A B

C

8 m

EI constant

Req’d : A의 수직 & 수평 처짐

RXR R

QI

a 실제 구조 b 기본구조w/ R &

그림 3.4‐4 등가하중과부정정력이일치하는경우 II

RRR R

X

a 실제 구조 b 기본구조w/ R & X

그림 3.4‐3 등가하중과부정정력이일치하는경우 I

[email protected]

3‐23

7

1EI

3072

3456

768

8

96

96

96

kN · m

5

43 EI 0 0

083 EI

86 EI

086 EI

83 EI

6

T 1EI

5123 128 32

1284483 32

32 32 8

4

i r 1

1

8

ii r 1

1

4

4

4

iii r 11

1

1

0 4 0

0 4 1

8 4 1

3 등가 하중 R & 고정단 모멘트

R

R R

2432

12 412

24244 18 30 24

244

30

0

18

24

24

0

0

18

1 외력 R

R

R R

Solution :

S

2 부재력 S

S

S

[email protected]

3‐24

B 부정정력과 대응하는 등가하중을 반력 Q로처리하는경우.

3 m 6 m

2 외력 R ,부정정력 X & 반력 QQ

R

X

3 부재력 S

S S

12 tonf 32 tonf‐m

1 기본 구조

10 4

32 tonf · m

7

93 EI

96 EI

96 EI

93 EI

8 &

T 1EI 243 40.5

T 1EI 243

9

7.111 tonf

5

i r 1 1

9

ii r 1

1 1

1 9 1

0 1

6

9

0

의 r 1과 동일

4 고정단 모멘트 과 등가 외력 R 12 tonf

12 3 69 16 8

12 3 69

23 12

16 89 8.889 3.111

13 12

16 89

32

8

3.111 16

8

3.111

24

Solution :

1 기본 구조

3 m 6 m

2 외력 R & 부정정력 XR

R

X

3 부재력 S

S S

12 tonf 32 tonf‐m

A 부정정력과 대응하는 등가하중을 외력 R로처리하는경우.


Given :

3 m 6 m

12 tonf

32 tonf‐m

Req’d : 반력 및 부재력

[email protected]

3‐25

10 4

32 tonf · m

12 반력

7.111 tonf

7

93 EI

96 EI

96 EI

93 EI

8 &

T 1EI 40.5

T 1EI 243

9

4 tonf

5

i r 1

1 1

1 1

1

6

9

0 9

1i x 1

4 고정단 모멘트 과 등가 외력 R 12 tonf

16 8

8.889 3.111

328

16

8

24

QI 3.111

3.111

3.111

[email protected]

3‐26

3.5 온도 하중, 제작 오차, 지점 이동 구조 기술사 문제로 종종 나오는 부정정 트러스 구조에 지점 이동, 온도하중 그리고 제작오차가 있는 경우 대부분의 단위하중법으로 처짐을 구한 뒤 변위일치법으로 해석을 합니다. 3.3에서 언급한 바와 같이 이와 같은 유형의 문제는 매트릭스 응력법을 사용하면 매우 편리하게 해석을 할 수 있습니다. 하나 명심할 점은 정정 구조인 기본 구조물에서 온도하중, 제작오차 및 지점침하에 의해 부재력과 반력이 발생하지 않는다는 것입니다. 3.5.1 온도하중

∆ T ∆

적합조건에 의해 구한 부정정력, 부재력, 변위 그리고 반력은 다음과 같습니다. T ∆

∆ ∆

∆ T ∆

∆ ∆

정진욱

1 기본 구조 2 외력 R & 부정정력 X

48 tonf R

X

X

3 부재력 S

S S S

S S

S

S

SS

S

Solution :

48

A B C

E F

48 tonf 6 m 6 m 6 m

8 m

D


Given : E 2.1 10 kgf/cm

A 32.5 cm

α 12 10 /

Req’d : a B에 48 tonf 작용시부재력 b 하중없이상현재가 30 일경우부재력

기본 구조물에서 온도하중이작용할 경우 반력 ∆ 이고부재력 ∆ 입니다. 트러스 부재에서온도하중

에 의한 축방향 부재 변형 v∆T α ∆T 이고 보부재에서온도하중에의한회전변형 v∆Tα ∆T Lh 입니다. 온도하

중을 받는 부정정 구조의 경우 적합조건은 다음과같습니다.

[email protected]

3‐27

8 &

T 1.993 10

T 5.064 10

9

18.889

a B에 48 tonf 작용시

b 하중없이상현재가 30 일경우T

∆ 2.559

6

12.1 10 32.5

6 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 6 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 6 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 10 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 8 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 10 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 10 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 8 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 10 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 6

7 하중없이상현재가 30 일 경우 ∆

∆

0

0

0

0

0

0

0

0

0

α ∆T L

0

0

0

0

0

0

0

0

0

12 10 30 6

4

i R 1

1 23

13

56

12

‐1 0

512

14

512 1

3

12121456

1

0

5121351214

i X 1

0

35

0

0

45

1

1

45

0

35

5

12

14

45

0

0

1 1

35

45

0

0

35

[email protected]

3‐28

3.5.2 제작오차 제작된 부재가 실제 부재 길이보다 길 경우 v∆L의 값은 이고 짧을 경우는 입니다. 그리고 기본구조는 정정 구조물이므로 제작오차에 의해 발생하는 반력 Q∆L 0 이고 부재력 S∆L 0 입니다. 적합조건에 들어가는 항이 온도에 의한 변형 대신 제작 오차가 들어간다는 것을 제외하고는 온도하중의 경우와 동일합니다.

∆ T ∆ 적합조건에 의해 구한 부정정력, 부재력, 변위 그리고 반력은 다음과 같습니다.

T ∆

∆ ∆

∆ T ∆

∆ ∆

예제 3.5‐2 From Hibbeler “Structural Analysis” Example 13.7

Given :

3 m

4 m

0.01 m

EA 8 10 kN

Req’d : AD 부재가 0.01 m 짧게 제작되었을 경우부재력

A B

C D

10

a B에 48 tonf 작용시 b 하중없이상현재가 30 일경우

24

12.667

12

40

32.889

18.889

1.111

0.889

20

23.333

tonf ∆

0

1.536

0

0

2.047

2.559

2.559

2.047

0

1.536

tonf

[email protected]

3‐29

3.5.3 지점 이동 지점 이동은 강체운동이므로 정정구조에서는 반력과 부재 변형 및 부재력이 발생하지 않고 입니다. 부정정 구조에 지점침하가 발생할 경우 반력과 부재력이 발생하며 이때 주의하여야 할 점은 온도하중과 제작오차와는 다르게 가상힘이 지점변위에 한 일은 외적 가상일이라는 것입니다. 지점변위가 존재할 경우 가상힘이 작용시 가상외력이 한일과 가상내력이 한일은 다음과 같습니다.

위의 식과 3.3 1 에서 외력 R이 작용할 경우 가상일의 원리를 적용하였을 경우 구한 식을 비교하면 적색으로 표현한 부분이 동일한 부분입니다. 부정정구조에 R이 작용하지 않고 지점이동만 존재할 경우 적색으로 표현한 부분을 소거되므로 가상힘의 원리 δWE δWI 0 를 적용하면 다음과 같습니다.

T T T T T T T T T T

δWE T T T T T

T T T T

δWI T T T T T T

7

T 1.08 10 T

∆ 9.259 kN

∆

7.407

5.556

9.259

kN

9

8

i X 1

5

1

1

45

43 3

5

4535

1

6

4EA 0 0

03EA 0

0 05EA

4 ∆

∆

0

0

0.01

1 기본 구조물

Solution :

2 외력 R 0 & 부정정력 X

X

X

3 부재력 S S

SS

[email protected]

3‐30

과 는 임의적이고 서로 독립적입니다. 그러므로 아래와 같은 식이 유도됩니다. T T T T

적합조건식 T 으로부터 부정정력을 구하면 다음과 같습니다.

지점이동이 존재할 경우 매트릭스 응력법의 지배방정식은 다음과 같습니다.

부재력과 반력의 식은 다음과 같습니다.

1 3 &

46

46

1

i R 1

56

56

12

121256

0

56

46

1

46

0

12

1 기본 구조물과 외력 R & 부정정력 X

Solution :

X

R

2 부재력 S

S

12

S

S S S

Q

Q

Q


Given :

A C1000

3 m 3 m

4 m

D

B 1000

1250 1250

단면적mm

Given : a B의 반력 b 하중없이 부등침하 A : 6 mm , B : 25 mm , C : 18 mm 일 경우 부재력

12 kN

c 하중없이 ad 부재가 5 mm 짧게 제작되어있을경우부재력

E 200 GPa

1000

[email protected]

3‐31

8 b 하중없이 부등침하 a : 6 mm , b : 25 mm , c : 18 mm 일경우

∆BT 326.275 kN

i 부정정력 X ii 부재력 S

122.353

122.353

203.922

326.275

203.922

kN

적합조건식

∆B X T

7 a 외력 R 작용시

1.694 kN

i 부정정력 X ii 부재력 S

5.365

5.365

8.941

1.694

11.059

kN

5

1200

31000 0 0 0 0

03

1000 0 0 0

0 05

1250 0 0

0 0 04

1000 0

0 0 0 05

1250

m/kN

E 200 10 MPa 200 10 N/mm 200 kN/mm

6 &

T 5.625 10 m/kN

T 3.894 10 m/kN

4 &

i X 1

12 1

12

58

38

1

383858

1

58

12

0

12

58

38

[email protected]

3‐32

3 부재력 S

S S S S

S S S S

S S

S S

4 &

1 12

12

38

58

58

34

0.375

0.375

0.375

0.375

0.625

0

0.625

0

0.625

0

0.625

0.75

0.75

S

0.5

0

0.5

0 0 0

58

58

34

38

38

38

Solution :

2 기본구조물과부정정력 X

X

0.024

0

0.012

1 지점 이동 q

q q q

예제 3.5‐4 From 토목구조 기술사

Given :

A B C D E

F H

3 m 3 m 3 m 3 m

4 m

G

지점침하 A : 2.4 cm , B : 0.8 cm , C : 1.2 cm

EA constant

Req’d : A C의 반력 B 부재 AF가 0.5 cm 짧게제작시 C의반력

9 c 하중없이 ad 부재가 5 mm 짧게 제작되어있을경우

i v∆L iii 부재력 S

∆

29.412

29.412

49.020

78.431

49.020

kN ∆

0

0

0.005

0

0

T ∆ 78.431 kN

ii

[email protected]

3‐33

7

T 12.875EA

8 부정정력 X

T 7.7667 10 EA

적합조건식 T , where 0.008

A 지점 이동만 있는 경우

B 지점 이동과 부재 AF의제작 오차가 동시에발생한경우

T T ∆ 1.019 10 EA

적합조건식 ∆ T T∆ , where 0.008

5

1EA

3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 5 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 5 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 5 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3

∆

0

0

0

0

0.005

0

0

0

0

0

0

0

0

6 AF 부재가 0.5 mm 짧게 제작시 ∆

[email protected]

3‐34

참고 문헌 3.1 심재수, 구조해석 응력법, 경희대학교 출판국, 2004 3.2 심재수, 부정정구조해석 응력법, 경희대학교 출판국, 2004 3.3 심재수, 변형도로 배우는 구조역학, 피어슨 에듀케이션 코리아, 2001 3.4 양창현, 구조역학, 청문각, 2006 3.5 한국산업인력공단, 토목 구조기술사 기출문제, 63회‐86회 3.6 한국산업인력공단, 건축 구조기술사 기출문제, 63회‐86회 3.7 W. M. McGuire, R. H. Gallagher and R. D. Ziemian, Matrix Structural Analysis, 2nd edition, John Wiley &

Sons, 2000 3.8 R. L. Sack, Matrix Structural Analysis, PWS‐KENT Pub., 1989 3.9 R. K. Livesley, Matrix Methods of Structural Analysis, Pergamon Press, 1975 3.10 F. P. Beer, E. R. Johnston Jr., J. T. DeWolf, Mechanics of Materials, 4th edition, McGraw‐Hill, 2006 3.11 A. P. Boresi, R. J. Schmidt, O. M. Sidebottom, Advanced Mechanics of Materials, 5th edition, John Wiley, 1993 3.12 R. C. Hibbeler, Structural Analysis, 5th edition, Prentice Hall, 2001

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4‐1

Chapter 4. 직접 강성법 Direct Stiffness Method 4.1 변형 적합 매트릭스를 이용한 매트릭스 변위법 vs 직접 강성법 2장에서 변형 적합 매트릭스를 이용한 매트릭스 변위법을 그리고 3장에서 작용하중의 수가 적고 자유도가 높을 경우 수계산이 편리한 매트릭스 응력법을 다루었습니다. 매트릭스 구조해석에 관한 책이 많이 있지만 2장과 3장에 있는 내용을 자세하게 다룬 책은 극히 드뭅니다. 왜 유수한 석학들이 지은 책에 앞 절에서 언급한 부분이 적을까요? 그 이유는 독자들에게 앞의 두절의 내용을 알려줄 필요가 없기 때문입니다. 매트릭스 응력법과 변위법의 차이점을 묻는 문제에서 곧잘 쓰이는 답변 중 하나가 변위법은 프로그램이 용이하다는 것입니다. 좀 모호한 답변인 것이 정확하게 말하자면 매트릭스 변위법의 일종인 직접 강성법이 용이하다는 것이지 변형 적합 매트릭스 나 평형 매트릭스 를 이용한 매트릭스 변위법이 용이한 것은 아닙니다. 매트릭스 해석이나 유한요소법의 장점이 컴퓨터 프로그래밍을 통하여 얻어지는 것이므로 프로그램이 용이하지 않은 변형 적합 매트릭스를 이용한 변위법과 부정정력을 선정하여야 하는 응력법을 더 이상 자세히 가르칠 필요가 없어진 것이지요. 그러므로 매트릭스 해석 책들이 직접 강성법의 설명에 대부분의 페이지를 할당하고 있습니다. 부재 또는 요소의 국부좌표에서의 변위에 대한 강성 매트릭스를 전체좌표에서의 변위에 대한 강성 매트릭스로 좌표 변환시킨 후 중첩으로 전체 강성매트릭스를 구하는 직접 강성법은 프로그래밍에는 적합하나 수계산시 많은 계산량을 요구합니다. 2차원 보 부재의 예를 들면 부재 강성매트릭스를 전체 좌표계에 대한 변위에 대응하게 만들어야 하므로 축방향에 수직인 변위도 고려해야만 합니다. 축방향 변형을 고려할 경우 6 6 크기의 강성매트릭스를 한 요소에 사용하여야 합니다. 기술사 시험에서 위의 개념에 의한 직접 강성법을 사용하기 어려우므로 이 노트에서는 2장의 매트릭스 변위법과 3장의 매트릭스 응력법을 시험 대비용으로 자세하게 설명한 것입니다. 수계산이 가능한 직접 강성법이 있는데 그것은 강성매트릭스의 영향계수인 K 의 정의를 사용하는 것입니다.

K 의 정의가 j 에 단위 변위를 가하였을 때 독립 변위 i 에 작용하는 힘입니다. 그 과정을 짧게 설명하면 r 1이

고 그 외 다른 변위가 0일 경우 구조물에 발생하는 모든 독립 변위에 대응하는 절점력을 계산하면 그것이 강성 매트릭스의 j번째 열이 됩니다. 독립 변위의 수만큼 앞의 과정을 반복하면 전체구조의 강성 매트릭스가 구해지는 것입니다. 시험에 나오는 구조물의 경우 독립 변위의 수가 적기 때문에 이 방법으로 문제를 해결하는 분들이 많습니다. 이 방법의 단점은 부재력 계산된 변위를 처짐각법의 재단 모멘트식에 대입하여야 하는 번거로움이 있다는 것입니다.

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4‐2

4.2 부재 국부 좌표계에서 부재 강성 매트릭스 2.4에서 부재축을 좌표축으로 한 국부좌표계에서 부재 강성 매트릭스를 유도하였습니다. 계산의 편의를 위하여 트러스 부재의 경우 축방향 변형만 고려하여 1 1 이었고 보 부재의 경우 휨변형만 고려하여 2 2 의 크기였습니다. 그러나 직접 강성법의 경우 독립변위는 전체좌표를 기준으로 나타내기 때문에 그림 4.2‐1과 같이 평면 트러스 부재의 경우 절점당 2 DOF가 그리고 평면 보 부재의 경우 절점당 3 DOF가 필요합니다.

4.2.1 트러스 부재

가상 변위의 원리로부터

T E AL

1 0 1 0

0 0 0 0

1 0 1 0

0 0 0 0

v 1

1

ii r 1

1

iii r 1

1

iv r 1

1

v 0 v 1 v 0

1 0 1 0

그림 4.2‐2 트러스부재의적합매트릭스

E AL

r

r

r

r

r

r

rr

r

r v v

v

v

L L

EA EI

a 트러스 부재 b 보 부재

그림 4.2‐1 트러스부재와보부재의절점변위 r과부재 변형 v

i r 1

[email protected]

4‐3

4.2.2 축방향 변형을 고려한 보 부재

가상 변위의 원리로부터

T

EAL 0 0

EAL 0 0

012 EIL

6 EIL 0

12 EIL

6 EIL

06 EIL

4 EIL 0

6 EIL

2 EIL

EAL 0 0

EAL 0 0

012 EIL

6 EIL 0

12 EIL

6 EIL

06 EIL

2 EIL 0

6 EIL

4 EIL

1 0 0 1 0 0

01L 1 0

1L 0

01L 0 0

1L 1

v

vii r 1

그림 4.2‐3보부재의적합매트릭스

v 1 , v v 0

1

i r 1

v 0 , v v1L

iii r 1

1 v

v 0 , v 1 , v 0

1iv r 1

v 1 , v v 0

v r 1

1

v 0 , v v1L

vi r 1

v

v

v

v v 0 , v 1

E AL 0 0

04 E IL

2 E IL

02 E IL

4 E IL

[email protected]

4‐4

4.3 좌표변환 매트릭스 T

그림 4.3‐1에서 x y 평면 좌표계를 z축을 기점으로 θ 만큼 회전시킨새로운 좌표계를 x y 를 보여줍니다. x y 좌표계상의 A의 위치를 x , y 라고 할 경우 새로운 좌표계에서 A의 위치 x , y 를 기하학적으로 구하면 다음과 같습니다. x x cos θ y sin θ & y x sin θ y cos θ 회전 변위는 좌표 변환시 변하지 않고 x & y 또는 x & y 와 독립적입니다. 그러므로 θ θ 이고 x 와 y에 곱해지는 좌표 변환의 성분은 0입니다.

x

y

θ

cos θ sin θ 0

sin θ cos θ 0

0 0 1

x

y

θ

x

y

θ

여기서 T를 평면 좌표 변환 매트릭스라고 합니다. 보 부재의 경우 절점이 양단에 2개 있으므로 일반적인 보 부재의 좌표변환 매트릭스는 다음과 같습니다.

보 부재의 좌표 변환 매트릭스

cos θ sin θ 0 0 0 0

sin θ cos θ 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0

0 0 0 cos θ sin θ 0

0 0 0 sin θ cos θ 0

0 0 0 0 0 1

트러스 구조에서 회전 변위를 고려하지 않으므로 보 부재의 좌표 변환 매트릭스에서 회전에 관한 열과 행을 제거하여 구할 수 있습니다.

트러스 부재의 좌표 변환 매트릭스

cos θ sin θ 0 0

sin θ cos θ 0 0

0 0 cos θ sin θ

0 0 sin θ cos θ

x 좌표축

y 좌표축

x좌표축

y 좌표축

θ

x

x sin θ

y cos θ

x cos θ

y sin θ

y

그림 4.3‐1 평면좌표축변환

y

x

A

[email protected]

4‐5

4.4부재의 국부 강성매트릭스의 좌표 변환

그림 4.4‐1에서와 같이 식의 유도를 위하여 부재의 국부 좌표계에서 변위와 힘 그리고 부재 강성 매트릭스를 을 , 그리고 이라고 표현하고 전체 좌표계에서 변위와 힘 그리고 부재 강성 매트릭스를 , 그리고 라

고 표현합니다. 4.3 에서 기하학적으로 유도한 좌표 변환 매트릭스 T에 대응시킬 경우 원래 좌표계는 전체 좌표계인 x y 좌표계이고 새로운 좌표계는 부재 국부 좌표계인 x y 좌표계입니다. 좌표 변환 매트릭스 T를 적용시키면 부재 국부 좌표계에서 독립 변위와 독립 변위에 대응하는 하중은 다음과 같습니다.

& 국부 좌표계에서 다음의 식이 성립합니다.

여기서 T 이므로 T

y x

rℓ

rℓ

rℓ

rℓ rℓ

rℓ

r

r

r

r

r

r

x

y

x

y

그림 4.4‐1 부재 국부 좌표계의변위 vs 전체좌표계의변위

a 부재 국부 좌표계 b 전체 좌표계

θ

[email protected]

4‐6

4.5 구조 강성매트릭스 조합 K 구조물은 여러 부재들의 조합으로 볼 수 있습니다. 각각의 부재의 전체 좌표계에 대한 강성 매트릭스를 모두 더하여 전체 구조물의 강성 매트릭스를 구하는 것을 직접 강성법이라고 합니다. 평면 해석에서 각각의 절점은 3개의 DOF를 가지므로 보 부재는 6개의 자유도 DOF 를 가지고 있고 부재 강성 매트릭스의 크기는 6 6 입니다. 그림 4.5‐1의 ℓ 번 부재의 출발 절점 i 의 1~3까지의 변위는 전체 구조의 변위 7~9 에 해당하고 종착 절점 j 의 4~6까지의 변위는 전체 구조 변위 13~15에 해당합니다. 부재 강성 매트릭스의 각 요소를 전체 구조의 DOF No. 와 일치하게 전체 강성 매트릭스 안에 포함시키고 이 단계를 전체 부재에 걸쳐서 중첩시키면 전체 구조의 강성 매트릭스가 구해집니다. 예를 들어 그림 4.5‐1에서 ℓ 번 부재의 부재 강성 매트릭스의 kℓ 3,5 는 전체 강성 매트릭스 K 9,14 에 조합시킵니다.

그림 4.5‐1의 전체 강성 매트릭스 K 는 경계 조건을 고려하지 않고 전체 강성 매트릭스를 구성한 것입니다. 경계 조건을 고려하여 변위를 독립변위 r 과 지점 변위 q 로 나눌 경우 강성 매트릭스 K 는 2‐3에서 언급한 것과 같이

, , , 로 분할 matrix partioning 할 수 있으며 반력 입니다.. 그림 4.5‐2의 트러스 구조는 3개의 부재로 이루어져 있으며 구속조건은 고려하지 않습니다. 청색 번호는 절점번호이고 중괄호 안의 적색 번호는 부재 번호입니다. 절점 i는 국부 좌표계에서 부재의 시작 절점 좌측 절점 을 의

1

2

3

ℓ

5

6 ℓ

i

4j

절점 i 절점 j1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21123456789101112131415161718192021

DOF No.

DOF에대응하는 절점력 No.

전체구조의 DOF NO. 7 8 9 13 14 15

그림 4.5‐1 구조강성매트릭스의조합

[email protected]

4‐7

미하고 절점 j는 종착 절점 우측 절점 을 의미합니다. 전체 좌표계의 x축으로부터 절점 i에서 절점 j로 향하는 축까지의 회전각이 부재의 θ입니다. 트러스 부재에서 절점 1개당 2개의 DOF가 존재하므로 부재의 강성매트릭스는 4 4입니다. 좌표변환 T를 이용하여 각 부재의 전체좌표계에 대한 강성매트릭스를 구하면 아래와 같습니다.

부재 2 L 4m, θ π cos45 , sin θ

35 , cos θ

45

EA

15 0

15 0

0 0 0 0

15 0

15 0

0 0 0 0

45

35 0 0

35

45 0 0

0 045

35

0 035

45

EA

16125

12125

16125

12125

09125

12125

9125

14

12125

16125

12125

12125

9125

12125

9125

r r r r

부재 1 L 4m, θ 0, sin θ 0, cos θ 1

EA

14 0

14 0

0 0 0 0

14 0

14 0

0 0 0 0

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

EA

14 0

14 0

0 0 0 0

14 0

14 0

0 0 0 0

r r r r

1

2 3

1 2

3

그림 4.5‐2 3개의부재로구성된트러스구조

3 m

r

r

r

r

r r

부재 절점 i 절점 j1 1 22 2 33 1 3

4 m

[email protected]

4‐8

부재 1, 2 & 3의 강성 매트릭스를 조합한 전체 강성 매트릭스는 다음과 같습니다.

k,

k,

k,

k, k

,k

,k

,k

,

k,

k,

k k , k,

k,

k,

k,

k,

k,

k,

k,

k, k

,k

, k

,k

,

k,

k,

k,

k,

k,

k,

k,

k,

k,

k,

k,

k,

k,

k, k

,k

,

k,

k,

k,

k,

k,

k,

k,

k,

R

R

R

R

R

R

EA

14 0 0 0

14 0 0 0

0 0 013 0 0 0

13

14 0

14

16125 0

12125

16125

12125

0 0 012125 0

9125

12125

9125

0 016125

12125

16125 0

12125 0

013

12125

9125

12125 0

9125

13

EA

14 0

14 0 0 0

013 0 0 0

13

14 0

189500

12125

16125

12125

0 012125

9125

12125

9125

0 016125

12125

16125

12125

013

12125

9125

12125

152375

r r r r r r

부재 3 L 3m, θπ2, sin θ 1, cos θ 0

EA3

1 0 1 0

0 0 0 0

1 0 1 0

0 0 0 0

0 1 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

EA

0 0 0 0

013 0

13

0 0 0 0

013 0

13

r r r r

[email protected]

4‐9

그림 4.5‐3과 같이 단부 조건을 1번 절점이 힌지이고 2번 절점이 상하로 이동이 구속된 롤러이면 전체 변위 3, 5, 6 은 독립 변위 r , r , r 에 해당하고 전체 변위 1, 2, 4 는 지점변위 q , q , q 에 해당합니다.

독립변위에 대응하는 은 에서 1, 2, 4 번 행과 열을 제거함으로서 구할 수 있습니다.

반대로 지점 변위와 관련있는 , , 는 에서 제거된 1, 2, 4 번 행과 열에서 구할 수 있습니다.

아래와 같은 매트릭스 형태로 다시 적을 수 있습니다.

EA

14 0 0

013 0

0 09125

, EA

14 0 0

0 013

12125

12125

9125

, EA

14 0

12125

0 012125

013

9125

EA

189500

16125

12125

16125

16125

12125

12125

12125

152375

Q

Q

R

Q

R

R

EA

14 0

14 0 0 0

013 0 0 0

13

14 0

189500

12125

16125

12125

0 012125

9125

12125

9125

0 016125

12125

16125

12125

013

12125

9125

12125

152375

q

q

r

q

r

r

1

2 3

1 2

3

3 m

1

2

3

4

5

6

4 m

qq

r

q

rr

그림 4.5‐3 단부조건이정해진트러스구조

a 단부 조건 b 전체변위 c 독립 변위r & 지점변위 q

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4‐10

반력 Q는 매트릭스 연산으로 계산하며 그 결과는 2.3에서 절점의 평형방정식으로 구한 식과 2.6에서 가상변위의 원리로 구한 식과 동일합니다.

5 부재 1 : θ 0 sin θ 0 , cos θ 1

i 국부 좌표에서 부재 강성 매트릭스 kℓ

kℓ210 10 kN/m 6 10 m

4

1 0 1 0

0 0 0 0

1 0 1 0

0 0 0 0

T

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

k

31.5 0 31.5 0

0 0 0 0

31.5 0 31.5 0

0 0 0 0

10 kN/m

ii 좌표변환매트릭스 T

iii 부재 강성 매트릭스 k

전체 변위 : 1 2 3 4

Solution :

1 변위 r & 지점 변위 q

1

2

1

2

1

2

3

4

5

6

2 독립 변위 r & 지점변위 q

q r

q q

q

q

3 외력 R

1000

4 지점변위 q

0

0

0.05

0

0

예제 4.5‐1 From Unversity of Memphis CIVL 7117 FEA Lecture Note

1

2

1 2

3

4 m

Given :

3 m

∆ 0.05 m

P 1000 kN

A 6 10 m

Given : 부재력 & 반력

E 210 GPa

[email protected]

4‐11

k,

k,

k,

k, 0 0

k,

k,

k,

k, 0 0

k,

k,

k,

k,

k,

k,

k,

k,

k,

k,

k,

k,

k,

k,

k,

k,

0 0 k,

k,

k,

k,

0 0 k,

k,

k,

k,

31.5 0 31.5 0 0 0

0 0 0 0 0 0

31.5 0 47.628 12.096 16.128 12.096

0 0 12.096 9.072 12.096 9.072

0 0 16.128 12.096 16.128 12.096

0 0 12.096 9.072 12.096 9.072

10 kN/m

7 전체 구조의 강성 매트릭스

6 부재 2 : θ 90° tan43 sin θ 0.6 , cos θ 0.8

i 국부 좌표에서 부재 강성 매트릭스 kℓ

kℓ210 10 kN/m 6 10 m

5

1 0 1 0

0 0 0 0

1 0 1 0

0 0 0 0

T

0.8 0.6 0 0

0.6 0.8 0 0

0 0 0.8 0.6

0 0 0.6 0.8

k

16.128 12.096 16.1285 12.096

12.096 9.072 12.096 9.072

16.1285 12.096 16.128 12.096

12.096 9.072 12.096 9.072

10 kN/m

ii 좌표변환매트릭스 T

iii 부재 강성 매트릭스 k

전체 변위 : 3 4 5 6

[email protected]

4‐12

11 부재력

i 부재 1

R

R

R

R

10

31.5 0 31.5 0

0 0 0 0

31.5 0 31.5 0

0 0 0 0

0

0

0.03369

0.05

1061.376

0

1061.376

0

S 1061.376 kN

ii 부재 2

R

R

R

R

10

16.128 12.096 16.1285 12.096

12.096 9.072 12.096 9.072

16.1285 12.096 16.128 12.096

12.096 9.072 12.096 9.072

0.03369

0.05

0

0

61.376

46.032

61.376

46.032

S 61.376 46.032 76.720 kN

9 독립 변위

0.03369 m

10 반력

1061.376

0

46.032

61.376

46.032

kN

7 독립 변위 에 대응하는 r 3

47.628 10 kN/m K 3,3

8 지점 변위 에 대응하는 , , r 3 , q 1, 2, 4, 5, 6

31.5 0 12.096 16.128 12.096

31.5 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 9.072 12.096 9.072

0 0 12.096 16.128 12.096

0 0 9.072 12.096 9.072

31.5

0

12.096

16.128

12.096

[email protected]

4‐13

4.6 강성매트릭스 K 정의를 이용한 직접강성법 앞의 절에서 설명한 좌표변환을 사용하여 강성 매트릭스를 구하는 방식은 매트릭스 계산량이 크다는 약점이 있습니다. 보 부재의 경우 부재 1개의 강성 매트릭스의 크기가 6 6으로 기술사 시험에 사용하기에는 시간이 많이 소요되고 복잡합니다. 그러므로 강성매트릭스의 영향계수인 K 정의를 이용하여 독립변위에 대한 강성 매

트릭스를 직접 구하는 방법은 연속보나 간단한 평면 프레임 구조해석 문제를 해결하기 위해서 널리 사용되고 있습니다. 전체 구조물에서 독립 변위 i 에 대응하는 외력에 대한 평형 방정식은 다음과 같습니다.

R K r K r K r K r K r




만약 독립변위 j 에 단위변위 r 1 가 발생하고 다른 독립변위가 모두 0 일 경우 위의 식은 다음과 같습니다. R K R K R K R K 물리적으로 설명하면 j 에 단위 변위가 발생하고 다른 독립변위가 모두 0인 변형도를 가능하기 위해 필요한 각각의 독립 변위 방향으로의 힘입니다. 이와 같은 방법으로 구해진 값들이 강성 매트릭스 K 의 j 번째 열이 됩니다. 이와같은 과정을 모든 독립변위에 대해서 반복하면 부재의 강성매트릭스 K 을 구할 수 있습니다. 지점변위에 대해서도 위와 같은 과정을 반복하였을 경우 K , K 를 구할 수 있습니다. K 의 정의를 이용한 직접 강성법으로 문제를 풀 경우 두 가지 번거로움이 있습니다. 하나는 종속 변위에 대응하

는 외력이 있는 경우 가상 변위를 사용하여 등가하중을 구하여야 합니다. 다른 하나는 부재력 계산시 각각의 부재를 계산하여야 한다는 점입니다. 4.6.1 트러스 구조

1개의 독립변위가 1이고 나머지 독립변위가 0일경우각부재의변형을계산하여각각의 독립변위에 대응하는

힘을 구하게 됩니다. 트러스 부재에서 축방향 변형이 v 일 경우 부재력 SEAL v 입니다. 정의를 이용한 직접

성법도 예를 들어 설명하는 것이 가장 쉽습니다. 그림 4.6‐1 트러스구조는 4.5에서설명한 예와 동일한것입니다.

[email protected]

4‐14

그림 4.6‐1을 설명하면 다음과 같습니다.

i r 1 , r r 0 v 1 , v45 , v 0 인 경우 그림 b

FX 0 @ 절점2 KEAL v

45EAL v

EA4 1

45

EA5

45

189 EA500

FX 0 @ 절점3 K45EAL v

45

EA5

45

16 EA125

FY 0 @ 절점3 K35EAL v

EAL v

35

EA5

45

12 EA125

ii r 1 , r r 0 v 0 , v45 , v 0 인 경우 그림 c


45EAL v

45

EA5

45

16 EA125


45

EA5

45

16 EA125


EAL v

35

EA5

45

12 EA125

iii r 1 , r r 0 v 0 , v35 , v 1 인 경우 그림 d


45EAL v

45

EA5

35

12 EA125


45

EA5

35

12 EA125


EAL v

35

EA5

35

EA3 1

152 EA375

1

2 3

1 2

3

3 m

4 m

r

r

r

b r 1 , other r s 0

1

45

SEAL 1

EA4

SEAL

45

4 EA25

K

K

K

a 트러스 구조 DOF 3

1

45

SEAL

45

4 EA25K

K

K

1

35

SEAL

35

3 EA25

K

K

K

c r 1 , other r s 0

SEAL 1

EA3

3 r 1 , other r s 0

그림 4.6‐1 3‐DOF 트러스구조의직접강성법

[email protected]

4‐15

강성매트릭스 은 세 열을 조합하여 이루어집니다.

EA

189500

16125

12125

16125

16125

12125

12125

12125

152375

4.6.2 보 & 프레임

그림 4.6‐2의 보 부재의 강성매트릭스는 2.6과 4.2에서 설명한 바와 같이 아래와 같습니다.

K EI

12L

6L

12L

6L

6L

4L

6L

2L

12L

6L

12L

6L

6L

2L

6L

4L

4 4 크기의 매트릭스를 모두 기억할 필요는 없습니다. 강성매트릭스를 살펴보면 5개의 값만 중요하고 나머지는 같은 값의 부호만 다를 뿐이라는 것을 알 수 있습니다. 그 5개의 값은 아래와 같이 기억하면 쉽게 외울 수 있습니다.

i r 1 v v1L

K

K

EIL

4 2

2 4 1L

1L

6 EIL

6 EIL

M 0 KK K

L12 EIL

FY 0 K K12 EIL

R r L R r

R r R r

K

K

K

K1

a r 1K K

K

b r 1

1 K

K

K

K

K

1

c r 1K K

K

d r 1

1 K

그림 4.6‐2 직접 강성법에의한보부재의강성매트릭스

[email protected]

4‐16

ii r 1 v 1, v 0

K

K

EIL

4 2

2 4 1

0

4 EIL

2 EIL

M 0 KK K

L6 EIL

FY 0 K K6 EIL

보 부재의 경우도 예를 들어 설명하는 것이 이해하기 더 쉽습니다. 아래 예는 토목구조 기술사 43회 2교시 5번 문제로 평면 프레임 구조의 강성 매트릭스를 직접 강성법으로 구하는 것입니다. 그림 4.6‐3 a 에서 축방향 변형을 무시할 경우 독립 변위가 3개를 다음과 같이 설정하였습니다.

그림 4.6‐3 b 는 r 1 이고 r r 0 인 경우의 FBD 입니다. 수평 병진 변위가 r 1개 이고 BC 부재는 축방향으로 강체이므로 CD 부재의 전단력을 절점 B로 전달한 후 절점에서 평형방정식을 만족하여야 합니다.

그림 4.6‐3 c 는 r 1 이고 r r 0 인 경우의 FBD 입니다.

K

K K

6 EI4

3 EI8

12 EI4

3 EI16

6 EI2

3 EI2

12 EI2

3 EI2

3 EI8

3 EI16

3 EI2

3 EI16

3 EI2

3 EI2

F @ B 0 ; K3 EI16

3 EI2

27 EI16

M@B 0 ; K3 EI8

M@ C 0 ; K3 EI2

그림 4.6‐3 b r 1이고 r r 0인경우

3 EI2

1

6 m

4 m

2 m

A

B C

D

rr r

EI constant

그림 4.6‐3 a 평면프레임구조와독립변위

[email protected]

4‐17

그림 4.6‐3 d 는 r 1 이고 r r 0 인 경우의 FBD 입니다.

강성매트릭스 은 세 열을 조합하여 이루어집니다.

EI

2716

38

32

38

53

13

32

13

83

위에서 모든 부재의 FBD를 그린 것은 설명을 하기 위함이고 실제 시험에서는 다음과 같은 간단한 방식을 사용하여 강성 매트릭스를 구합니다.

K

K K

2 EI2 EI

6 EI2

3 EI2

4 EI2 2 EI

F @B 0 ; K3 EI2

M@B 0 ; KEI3

M@ C 0 ; K2 EI3 2 EI

8 EI3

그림 4.6‐3 d r 1이고 r r 0인경우

3 EI2

4 EI6

2 EI3

2 EI6

EI3

6 EI6

EI6

K

K K

2 EI4

EI2

6 EI4

3 EI8

4 EI4 EI

F @ B 0 ; K3 EI8

M@B 0 ; K EI2 EI3

5 EI3

M@ C 0 ; KEI3

그림 4.6‐3 c r 1이고 r r 0인경우

3 EI8

4 EI6

2 EI3

2 EI6

EI3

6 EI6

EI6

[email protected]

4‐18

Solution :

1 보 DE & 보 FG가 강체이고기둥의 축방향 변형을무시할경우 D, E, F & G에서회전변위는 존재하지않고수평 병진 변위만 존재한다.


Given : I ∞

I

I

I I

P

4 m

4 m

6 m 6 m

Req’d : A, B & C 의 수평 반력

A B C

D E

F G

K

K K

6 EI4

3 EI8

12 EI4

3 EI16

6 EI2

3 EI2

12 EI2

3 EI2

그림 4.6‐4 평면프레임구조의직접강성법적용예

4 EI4 EI

6 EI4

3 EI8

KK

2 EI6

EI3

K

K

K

K 2 EI6

EI3

4 EI6

2 EI3

4 EI2 2 EI

6 EI2

3 EI2

a r 1 이고 r r 0 b r 1 이고 r r 0

c r 1 이고 r r 0

EI

2716

38

32

38

53

13

32

13

83

4 EI6

2 EI3

[email protected]

4‐19

5 변위

PEI

1281912857

6 수평반력

HA12 EI8 r 0.158 P HB

12 EI4 r 0.421 P

ii r 1

K

12 EI4

3 EI16

12 EI4

3 EI16

K3 EI16 , K 3

3 EI16

9 EI16

EI

27128

316

316

916

K

2 독립 변위 r

r

r

3 외력 R

P

0

4 직접강성법

K

i r 1

K

12 EI8

3 EI128

12 EI4

3 EI16

K3 EI128

3 EI16

27 EI128 , K

3 EI16

[email protected]

4‐20

4.7 직접 강성법에서 부재력 계산 앞에서 언급했듯이 직접강성법에서 부재력 계산이 번거롭습니다. 매트릭스 변위법에서는 독립변위 r 을 부재변형 v 로 변형시켜주는 변형변환 매트릭스 사용하여 부재력을 다음과 같은 식 S k A r SFEM 으로 계산합니다. 직접강성법의 경우 구조 해석으로 구한 독립 변위를 각각의 부재 강성 매트릭스에 대입해서 구해야 하는데 이것은 많은 계산량을 요구하므로 기술사 시험 등 수계산에 사용하기 부적합합니다. 그러므로 전체 좌표계에 대한 변위 r을 부재 변형 v로 변환시키는 방법을 알아야 합니다. 일반적으로 축방향 부재력은 양 절점의 변위에 의해 부재의 변형을 알 수 있으므로 좀 더 쉽게 부재력을 구할 수 있고 절점의 모멘트의 경우 전단방향 처짐을 고려하여야 하므로 복잡합니다. 그림 4.7‐1은 구조해석으로 구한 독립변위를 부재변형으로 변환시키는 과정을 보여줍니다.

축방향 변형 v 의 경우 아래와 같이 쉽게 계산됩니다.

축방향 부재력 S 을 매트릭스 형태로 표현하면 아래와 같습니다.

SEAL cosθ sinθ cosθ sinθ

r

r

r

r

부재의 회전변형은 두 절점의 전단력 방향의 상대변위를 고려하여야 하므로 복잡합니다. rℓ r sin θ r cos θ

rℓ r sin θ r cos θ

v rrℓ rℓ

L sin θL r

cos θL r r

sin θL r

cos θL r

v rrℓ rℓ

L sin θL r

cos θL r

sin θL r

cos θL r r

부재의 모멘트 부재력 S , S 를 매트릭스 형태로 표현하면 아래와 같습니다.

S

S

EIL

4 2

2 4

sinθL

cosθL 1

sinθL

cosθL 0

sinθL

cosθL 0

sinθL

cosθL 1

r

r

r

r

r

r

rℓ r cos θ r sin θ

rℓ r cos θ r sin θ v rℓ rℓ cos θ r sin θ r cos θ r sin θ r

r

r

r

r

r

r

그림 4.7‐1 직접 강성법에서변위 r을부재변형v로변환

b 부재국부좌표계b 전체 좌표계 r

θ

rℓ

rℓ

rℓ

rℓrℓ

rℓ

θ

v

θ

v

v

c 부재 변형 v

T

[email protected]

4‐21

위의 식을 외우는 것도 어렵거니와 시험에 적용하기에도 계산량이 너무 많습니다. 일반적으로 시험에 나오는 평면 프레임 구조의 경우 보의 축방향 변형과 전단변형을 무시하고 해석합니다. 이 경우 대부분 부재의 전단력방향 상대처짐 ∆를 구하는 것이 어렵지 않습니다. 만약 상대처짐 ∆을 알고 있다면 다음과 같이 계산이 가능합니다. 여기서 상대처짐 ∆는 오른손 벡터 법칙에 일치하게 부재를 반시계방향으로 회전시키는 것을 로 합니다. 매트릭스 형태로 나타내면 아래와 같고 이 식은 처짐각법과 동일합니다.

S

S

EIL

4 2

2 4

r∆L

r∆L

SEAL

210 10 6 105 3.044 10 76.72 10 N

2 부재 2 : θ 90° tan43 sin θ 0.6 , cos θ 0.8

v cosθ sinθ cosθ sinθ

r

r

r

r

0.8 0.6 0.8 0.6

0.03369

0.05

0

0

3.044 10

Solution :

1 부재 1 : θ 0 cos θ 1 , sin θ 0

절점 1은 고정이고 부재에 수직인 지점 변위는부재변형에상관이없으므로부재변형은 r과 동일하다. 위에서구한 식을 사용할 경우 다음과 같이 동일한 결과를구할수있다.

v cosθ sinθ cosθ sinθ

r

r

r

r

1 0 1 0

0

0

0.03369

0.05

0.03369

SEAL

210 10 6 104 0.03369 1061 10 N

예제 4.7‐1 From 예제 4.5‐1

1

2

1 2

3

4 m

Given :

3 m

∆ 0.05 m

P 1000 kN

A 6 10 m

Req’d : 예제 4.5‐1에서 구한 절점 2의 수평 변위 0.03369 m 를이용하여부재력을 계산하시오.

E 210 GPa

[email protected]

4‐22

3 부재 AB θπ2 cos θ 0 , sin θ 1 , L 4

i 식 사용

S

S

EI4

4 2

2 4

14 0 1

14 0 0

14 0 0

14 0 1

0

0

0

4160171 EI

0

16057 EI

7.719

6.316 tonf · m

ii 상대 처짐을 사용

∆AB r4160171 EI

S

S

EIL

4 2

2 4

r∆L

r∆L

EI4

4 2

2 4

014

4160171 EI

16057 EI

14

4160171 EI

7.719

6.316 tonf · m

Solution :

1 외력 R

20

0

0

2 변위 r

1EI

416017116057403

예제 4.7‐2 From 4.6 설명 예

Given :

4 m

6 m

20 tonf

2 m EI

2716

38

32

38

53

13

32

13

83

Req’d : 부재력

rr r

A

B C D

[email protected]

4‐23

5 부재 CD θπ2 cos θ 0 , sin θ 1 , L 2

i 식 사용

S

S

EI2

4 2

2 4

12 0 1

12 0 0

12 0 0

12 0 1

4160171 EI

0

403 EI

0

0

0

9.825

23.158 tonf · m


∆CD r4160171 EI

S

S

EIL

4 2

2 4

r∆L

r∆L

EI2

4 2

2 4

403 EI

12

4160171 EI

012

4160171 EI

9.825

23.158 tonf · m

4 부재 BC θ 0 cos θ 1 , sin θ 0 , L 6

i 식 사용

S

S

EI6

4 2

2 4

016 1 0

16 0

016 0 0

16 1

4160171 EI

0

16057 EI4160171 EI

0

403 EI

6.316

9.825 tonf · m


∆BC 0

S

S

EIL

4 2

2 4

r∆L

r∆L

EI6

4 2

2 4

16057 EI403 EI

6.316

9.825tonf · m

[email protected]

4‐24

4.8 절점과 절점 사이에 작용하는 하중 매트릭스 구조 해석에서 절점과 절점에 작용하는 하중은 고정단 하중 개념을 사용하여 계산합니다. 매트릭스 변위법에서 독립 변위에 대한 등가하중은 R R A T SFEM S∆ 이고 이것을 따로 계산하지는 않습니다. 매트릭스 응력법과 마찬가지로 직접 강성법에서는 적합 매트릭스 A 을 계산하지 않으므로 그림 4.7‐1에서와 같이 절점에서 FBD를 그린 후 평형 방정식을 사용하여 등가 하중을 따로 계산하여야 합니다.

Solution :

1 독립 변위 r

r

r r

2 등가하중

10

5

5

10 88 10

10

5

2

4 4

2 812

323

R

RR

323

5

10323

323

5

23

323

예제 4.8‐1 From 2002년 기술고시

Given :

10 tonf

2 tonf/m

4 m

4 m

8 m 8 m

Req’d : B의 수평 변위와 회전각 & 재단 모멘트

A

B

C

D E

I I

I I

I 5 10 cm

I 1 10 cm

E 2 10 kgf/cm

w

i j k

I I j ki

SFEM SFEM SFEM SFEM

V V V V

V V V V

a 분포하중을 받는 부재 b 절점의 FBD

그림 4.7‐1등가절점하중

RR R

[email protected]

4‐25

4 독립 변위

14.249 10 m

1.845 10 rad

0.118 10 rad

5 재단 모멘트

i 부재 AB : ∆ r 14.249 10

MAB

MBA

EILAB

4 2

2 4

0∆L

r∆L

10

10

27.491

1.736tonf · m

iii r 1

K 4 EI8

EI2

2 EI8

EI4

K

K3 EI64

332 10 , K

EI4

14 10

3 EI8

3 EI64

3 EI8

3 EI8

3 EI8

K

15256

316

332

316

32

14

332

14

138

10

KEI2

3 EI8

3 EI8

EI2

3 EI8

3 2 EI8

138 10

3

i r 1

6 EI8

3 EI32

12 EI8

3 EI128

3 EI8

3 EI512

3 EI8

3 EI64

K

K K

K3 EI128

3 EI512

15 EI512

15256 10

1 ii r 1

6 EI8

3 EI32

K2 EI8

EI4

4 EI8

EI2

4 EI8

EI2

K

K

K3 EI32

316 10 , K

EI4

14 10

K3 EI32

316 10 , K

3 EI64

332 10

EI 2 10 tonf/cm 1 10 cm 2 10 tonf · cm 2 10 tonf · m 2 EI

EI 2 10 tonf/cm 5 10 cm 1 10 tonf · cm 1 10 tonf · m

KEI2

EI2

2 EI2

EI2

3 EI2

32 10

[email protected]

4‐26

4 독립 변위

3503 EI1003EI

5 재단 모멘트

i 부재 AB

MBC

MCB

EILBC

4 2

2 4

r

r

40

10

3 EILAB

r FEMBA 40

ii 부재 BC iii 부재 CD

3 EILCD

r 10

3

i r 1

K K 3 EI10

4 EI10

2 EI10

K3 EI10

4 EI10

7 EI10 , K

2 EI10

K K

3 EI10

4 EI10

2 EI10

K2 EI10 , K

4 EI10

3 EI10

7 EI10

ii r 1

EI

710

210

210

710

Solution :

1 독립 변위 r

r r

2 등가외력 R

FEMBA32

6 1012 75

75

7.5

R

75

0


Given : C A DB

6 tonf/m

10 m 10 m 10 m

EI constant


ii 부재 BD : ∆ 0

MBD

MDB

EILBD

4 2

2 4

r∆L

r∆L

323323

1.736

14.689tonf · m

iii 부재 DE : ∆ 0

3 EILDE

r∆L 0.443 tonf · m

iv 부재 DC : ∆ r 14.249 10

3 EILDC

r∆L 14.245 tonf · m

[email protected]

4‐27

4.9 종속변위에 대응하는 하중 2.11에서 매트릭스 변위법에서 종속변위에 대응하는 하중에 대하여 설명을 하였습니다. 직접 강성법에서는 매트릭스 변위법에서 사용한 변위 적합매트릭스 C 을 구하지 않으므로 종속변위에 대응하는 하중을 등가하중으로 계산해주어야 합니다. 매트릭스 변위법과 동일하게 직접 강성법에서도 가상변위의 원리를 이용하여 종속변위에 대응하는 등가하중을 구합니다. 외력이 가상변위에 한 일과 내력이 가상변위에 한 일의 합은 0 이어야 하므로 δWE δWI 0 입니다. 가상변위를 주었을 경우 종속변위에 대응하는 하중에 의한 가상일과 등가하중에 의한 가상일은 같아야 합니다. 매트릭스 해석은 절점에서만 정확한 변위와 내력이 구해지므로 절점에 독립변위와 동일한 가상변위를 주어서 계산하면 됩니다. 예제 4.9‐1은 가상변위의 원리를 사용하여 등가하중을 구하는 문제입니다. 예제 안에서 상세하게 설명을 하겠습니다.

2 부재력

10

5

5

10

10

5

5

5

5

1 축방향 변형을 무시하였을경우 주어진 구조물는 2개의병진독립변위와 3개의회전 독립변위 그리고 2개의

병진 종속변위로 모델링할수 있습니다.

r

y

r

r

y

r

r

Solution :

예제 4.9‐1

Given :

10

5

5

1 1

R

P

P 1

1

Q

Q

R

a

Req’d : 구조물에 작용하는 서로 다른 하중계 P , P , Q , Q 및 R , R 에의해구조물은 동일한 휨모멘트를발

생시키킨다. 하중군의값들을 구하시오.

B.M.D

b c

[email protected]

4‐28

4 가상변위 δr 에 대해 외력이 한 가상일과 내력이한가상일의합은 0 : δWE δWI 0

i Case a

δWE P 1 P 1 P 5 1 P 5 P 35

iii Case c

δWE R 1 R 1 R 5 1 R 5 R 45

ii Case b

δWE Q 1 Q 0 Q Q 40

3 가상변위 δr 에 대해 외력이 한 가상일과 내력이한가상일의합은 0 : δWE δWI 0

i Case a

δWE P 0 P 1 P P 5

iii Case c

δWE R 0 R 1 R P 5

ii Case b

δWE Q 0 Q 1 Q Q 5

√2

δr 1

ii δr 1

δv 1, δv δv√2√2

1, δv δv 1, δv 1

1

1

1

1 √2

δy 1, δy 1

δWI δvT S 1 10 1 10 1 5 1 5 1 5 1 5 40

2 병진 독립 변위와 동일한방향의 가상변위에대해내력이한일

δv δv

δr 1 i δr 1

δv δv11 1, δy δy 1

δWI δvT S 1 10 1 5 5

[email protected]

4‐29

4.10 온도 하중, 제작 오차, 지점 이동 구조에 온도하중이 작용하거나 부재 중 일부에 제작 오차가 발생하였을 경우 직접 강성법에서는 매트릭스 변위법에서와 동일하게 고정단 하중을 사용하여 구조 해석을 합니다. 지점 이동의 경우도 마찬가지로 고정단 하중을 사용하여 해석할 수 있습니다. 4.10.1 온도하중 & 제작오차 온도 하중이 작용하거나 부재중 일부분에 제작 오차가 발생한 경우 고정단 하중은 2.13에서 설명하였습니다. 참고로 그림 4.10‐1에서 온도하중이 작용할 경우 고정단 하중을 보여주었습니다. 제작 오차의 경우도 마찬가지 개념으로 부재가 짧게 제작된 경우 고정단 하중은 인장력으로 부재가 길게 제작된 경우 고정단 하중은 압축력이 됩니다.

Solution :

1 독립 변위 r

r


FEMBA32 EI

α ∆Th

32 40000

1.2 10 5 100.4 18 kN · m

FEMBC FEMCB EIα ∆T

h 200 100001.2 10 5 10

0.2 6 kN · m

3 외력 R R

18 6 6

18 6 12

4 K3 EI8

4 EI5

3 EI8

4 EI5 23000

EI 200 kN/mm 200 106 mm4 40000 10 kN · mm2 40000 kN · m


예제 4.10‐1 From McGuire “Matrix Structural Analysis” Example 5.13

Given :

8 m 5 m

A B CI , h

I 200 10 mm , h 400 mm

I 50 10 mm , h 200 mm

Req’d : 보의 상부 표면이 20 증가하고 하부표면이 10 증가할경우반력

I , h

E 200000 MPa , α 1.2 10 mm/mm

∆T SF SF σ A E A SF SF

SFEM SFEM EI EI α ∆T

h

∆T

∆T ∆T 0

그림 4.10‐1 온도하중을받는부재의고정단하중

SFEM SFEM

[email protected]

4‐30

2 지점 이동 매트릭스 변위법에서 지점 침하는 지점 벡터 q와 관련있는 변형 적합 매트릭스 A 를 사용하여 지점 벡터와 관련

있는 강성 매트릭스 K , K , K 를 구하여 계산합니다. 직접 강성법의 원리를 사용하여 K , K , K 를 직접

구할 수 있으나 이럴 경우 매트릭스 변위법보다 더 복잡하므로 직접 강성법의 이점이 사라집니다. 앞에서 언급하였듯이 지점 침하를 고정단 하중으로 처리하면 훨씬 간단하게 해석이 가능하며 이 방법은 매트릭스 변위법에도 적용이 가능합니다. 그림 4.10‐2에서 지점 침하 발생시 고정단 하중을 보여줍니다.

그림 4.10‐1 b 의 경우와 같이 한쪽이 힌지인 경우 2.8 Static Condensation에서 사용한 방식을 사용하면 쉽게 이해가 됩니다. 다른 방법으로 설명하면 모멘트 분배법에서 carry over factor가 0.5 이었음을 상기하면 됩니다. 한쪽이 힌지인 경우 그림 4.9‐1의 고정단 모멘트를 이용하여 식을 전개하면 다음과 같습니다.

S S k k S S12 S FEMAB

6 EIL ∆

6 EIL ∆

3 EIL ∆

변형을 구속하기 위해 필요한 고정단 하중은 다음과 같습니다. SF SF σ A E A α ∆T EA

SFEM EI EI α ∆T

h , SFEM EI EI α ∆T

h

6 EIL ∆

∆

12 EIL ∆

12 EIL ∆

6 EIL ∆

3 EIL ∆

3 EIL ∆

∆

3 EIL ∆

a 양단부가 고정단인 경우

그림 4.10‐1 지점침하발생시고정단하중

b 한쪽이 힌지인 경우

LL

7 반력

VAMBA

8 1.272 kN

10.174 10.174

VCMBC MCB

5 1.252 kN 1.272 kN 1.252 kN

MC MCB 3.913 kN · m

VB 2.524 kN

5 독립 변위

5.217 10 rad.

6 재단 모멘트

MBA3 EI8 r FEMBA 10.174 kN · m

MBC

MCB

EI5

4 2

2 4

r

0 FEMBC

FEMCB

10.174

3.913kN · m

[email protected]

4‐31

7 반력

VAMBA

8 4.158 kN

33.261 33.261

VCMBC MCB

5 13.575 kN 4.158 kN 13.575 kN

MC MCB 34.630 kN · m

VB 17.736 kN

5 독립 변위

3.424 10 rad.

6 재단 모멘트

MBA3 EI8 r FEMBA 33.261 kN · m

MBC

MCB

EI5

4 2

2 4

r

0 FEMBC

FEMCB

33.261

34.630kN · m

Solution :

1 독립 변위 r r


FEMBA3 EIL ∆

3 400008 0.015 28.125 kN · m

FEMBC FEMCB6 EIL ∆

6 100005 0.015 36 kN · m

3 외력 R R

28.125 36 36

28.125 36 7.875

4 K3 EI8

4 EI5

3 EI8

4 EI5 23000



예제 4.10‐2 From McGuire “Matrix Structural Analysis” Example 5.11

Given :

8 m 5 m

A B C

∆B 15 mm

Req’d : B의 지점침하가 15 mm인 경우 재단 모멘트와반력

I 200 10 mm , I 50 10 mm

E 200000 MPa

I I

[email protected]

4‐32

5 독립 변위

∆B6 L4 ∆B5 L

6 재단 모멘트

i 부재 AB

MBC

MCB

EIL

4 2

2 4

r

r

FEMrBC

FEMrCB

18 ∆B5 L12 ∆B5 L

3 EIL r FEMBA

18 ∆B5 L

ii 부재 BC

iii 부재 CD

3 EIL r

12 ∆B5 L

4

i r 1

K K 3 EIL

4 EIL

2 EIL

K3 EIL

4 EIL

7 EIL , K

2 EIL

K K

3 EIL

4 EIL

2 EIL

K2 EIL , K

4 EIL

3 EIL

7 EIL

ii r 1

EI

7L

2L

2L

7L

3 등가 외력 R

R

3 EIL ∆B

6 EIL ∆B

3 EIL ∆B

6 EIL ∆B

6 EIL ∆B

R

Solution :

1 독립 변위 r

r r

2 고정단하중

FEMBA12

6 EIL ∆B

3 EIL ∆B

FEMBC FEMCB6 EIL ∆B


Given :

C A DB

L

EI constant


∆B

L L

[email protected]

4‐33

ii r 1

6 EI8 10000

K

4 EI6 40000 K

4 EI6 40000

2 EI6 20000

K 10000, K 80000, K 20000

iii r 1

6 EI8

K

K 10000, K 20000, K 80000

2 EI6 20000

4 EI6 40000

4 EI6 40000

3 외력 R

R

200 R 200

0

200

200

4 외력

i r 1

12 EI6 3333.3

K

1

K

6 EI6 10000

K

3333.310000

K 6666.7, K 10000, K 10000

10000

3333.3

Solution :

1 독립 변위 r & 지점 변위 q

r

r r

2 고정단하중

B

CFEMBC

FEMCB

FEMBC FEMCB6 EIL ∆

6 600006 0.02 200 kN · m

예제 4.10‐4

Given :

∆ 20 mm6 m

6 m

EI 60000 kN · m

A

B C

D

Req’d : D에 20 mm 지점침하가 발생할 경우 재단모멘트

[email protected]

4‐34

6 재단 모멘트

i 부재 AB : ∆ r 8.571 10

MAB

MBA

EILAB

4 2

2 4

0∆L

r∆L

28.571

28.571kN · m

ii 부재 BC

MBC

MCB

EILBC

4 2

2 4

r

r

200

200

28.571

28.571kN · m

iii 부재 CD : ∆ r 8.571 10

MCD

MDC

EILCD

4 2

2 4

r∆L

r∆L

28.571

28.571kN · m

5 독립 변위

8.571 10 m

2.857 10 rad

2.857 10 rad

6.667 1 1

1 8 2

1 2 8

10

[email protected]

4‐35

연습문제 4.1 ~ 4.2 가상변위의 원리를 사용하여 등가하중군을 구하시오.

A EA ∞


Given : B

C D

3

10

510

5

3.3933

4.3933

0.19666.2685 1.7964

1

A B

C D

b

R

R

R

A B

C D

c

Q

Q

Q

a

Given : 1 대략적인 변형도 2 그림 a 와 동일한축력을가지게하는 R과 Q 하중군과 가능한 이유

Answer R 3 , R 10 , R 3 , Q 1.5 , Q 10 , Q 3


Given : P

P

Q

Q

a

b c

400

1

100

B.M.D

400

900

1200

100

100 200

50

R R

Req’d : 동일한 휨모멘트를 일으키는 하중군 P , Q , R

Answer P 9 , P 29 , Q 9 , Q 38 , R113 , R

763

[email protected]

4‐36

참고 서적 4.1 심재수, 구조해석 변위법, 경희대학교 출판국, 2005 4.2 한국산업인력공단, 토목 구조기술사 기출문제, 63회‐86회 4.3 선민호, 高手 구조역학, from draft 4.4 W. M. McGuire, R. H. Gallagher and R. D. Ziemian, Matrix Structural Analysis, 2nd edition, John Wiley &

Sons, 2000 4.5 R. L. Sack, Matrix Structural Analysis, PWS‐KENT Pub., 1989 4.6 R. K. Livesley, Matrix Methods of Structural Analysis, Pergamon Press, 1975 4.7 L. P. Felton and R. B. Nelson, 매트릭스 구조해석, 교보문고, 1999 4.8 V. J. Meyers, Matrix Analysis of Structures, Harper & Row, 1983 4.9 T. Y. Yang, Finite Element Structural Analysis, Prentice‐Hall, 1986 4.10 R. E. Sennett, Matrix Analysis of Structures, Prentice‐Hall, 1994 4.11 F. P. Beer, E. R. Johnston Jr., J. T. DeWolf, Mechanics of Materials, 4th edition, McGraw‐Hill, 2006 4.12 A. P. Boresi, R. J. Schmidt, O. M. Sidebottom, Advanced Mechanics of Materials, 5th edition, John Wiley, 1993 4.13 R. C. Hibbeler, Structural Analysis, 5th edition, Prentice Hall, 2001

Documents

Matrix Analysis Note cover