MEcànica Quàntica

Ll. Garrido

Barcelona 2005

Meca`nica Qua`ntica

versio 2.0

Index

Formalisme i Postulats de la MQ

Simetries i lleis de conservacio`

Me`todes aproximats

Bibliografia

BRANSDEN, B. H. ; JOACHAIN, C. J. Introduction to quantum mechanics. Har-low Longman, 1989.

SAKURAI, J. J. ; TUAN, S. F. (Editor), Modern quantum mechanics. Addison-Wesley, 1994.

GRIFFITHS, D.J. ; Introduction to quantum mechanics. Prentice Hall, 1995.

Francesc Salvat, Mecanica Cuantica . Text Facultat de Fsica. Universitat deBarcelona.

1

1 Formalisme i Postulats de la MQ

1.1 Introduccio`. Sistemes cla`ssics - sistemes qua`ntics

(QUIM) En el feno`mens qua`ntics apareix de forma natural la constant de Plank h que

te dimensions daccio (energia per temps). Direm que un sistema es cla`ssic quan laccio

associada a aquest sistema es tal que Sh, i direm que es qua`ntic si S es de lordre deh. Aquesta denicio esta` dacord amb el principi de corresponde`ncia que la descripcio

qua`ntica es redueix a la cla`ssica si fem h 0.Exemples. Considerem una partcula lliure que a t=0 esta` a lorigen i a t = t0 a x0. El

cam cla`ssic es x(t) = x0t/t0, i laccio ve donada per

S =1

2m t00

v2dt =1

2m t00

(x0t0

)2dt =

1

2m

x2ot0 103kg10

4m2

1s 107Js h

1034Js= 1027h

(1)

si x0 = 1cm, t0 = 1s i m = 1gr , mentre que si agafem un electro (m = 1027 gr) tindrem

S de lordre dh.

Un altre exemple el tenim el loscillador qua`ntic on recordem que En = hw(n+ 1/2),aleshores S ET = E2/w hn. Veiem doncs que quan n es petit es necessa`ria unadescripcio qua`ntica, pero` per n gran es comportara` cla`ssicament.

En la fsica cla`ssica el temps es lunica variable independent, essent la resta dependent:

x(t) i p(t). Lequacio de Newton es la que dicta el principi de la dina`mica que xa levolucio

de x i p, o alternativament poden descriure el moviment mitjancant les equacions de

Hamilton

x = {x,H}p = {p,H} (2)

on H(x, p, t) = EC + V i p son els moments cano`nics conjugats de les variables generalit-

zades x. La fsica cla`ssica no inclou la descripcio del proces de mesura ni els seus efectes.

Quan les energies pro`pies dun sistema son de lordre de les involucrades en el proces de

mesura, la fsica cla`ssica es incompleta i inconsistent, i ha de ser substituda per un nou

paradigma: la Fsica Qua`ntica.

1.2 Lexperiment Stern Gerlach

1.2.1 Descripcio de lexperiment

Els experiments dStern-Gerlach mesuren el moment magne`tic dels a`toms al passar a

traves dun camp magne`tic inhomogeni, com es mostra en la gura 1.

Agafant leix z en la direccio N-S i y en la direccio del feix da`toms, el camp magne`tic

creat es vertical en la direccio z i a mes a mes Bzz

= 0. Aquesta ultima propietat veuremque es necessa`ria per ser sensible al valor del moment magne`tic.

3

Figure 1: Experiment Stern-Gerlach

Per altra part es demana tambe que no tingui component en la direccio de leix y,Bzx

= 0 i Bzy

= 0 , pero` aleshores Bxx

= 0 per complir que la diverge`ncia de B ha de sernulla.

1.2.2 Equacions cla`ssiques del moviment dun dipol magne`tic dins un camp

B

Recordem que a una corrent circular se li associa un moment magne`tic perpendicular

i de mo`dul = iA (i es la intensitat, i A la`rea). En el cas dun electro donant voltes,

aquest moment magne`tic estara` relacionat amb el moment angular

= iA =e

2R/vR2 = e

Rv

2= e

L

2me= B

L

h, = B

L

h, (3)

on

B eh2me

= 9.27 1024J/T, h = 1.05459 1034Js,e = 1.60219 1019C, me = 9.10953 1031kg (4)

Recordeu que lelectro te tambe un moment magne`tic intrnsec que esta` associat al

moment angular intrnsec o spin (S), i que en aquest cas

e = gBS

h(5)

on g es la rao giromagne`tica, pero` que de moment no considerem.

Lenergia potencial dun dipol magne`tic en prese`ncia de un camp magne`tic B ve donada

per U = B, i per tant el hamiltonia` i les seves equacions del moviment son

H =p2

2m B

4

r = {r,H} =3

i=1

(r

xi

H

pi r

pi

H

xi

)=

p

m

p = {p,H} = ( B) = L = = B = ( B), on = B/h (6)

Si B fos constant, aquesta ultima equacio ens indica que el moment magne`tic tindra`

un moviment de precessio al voltant del camp magne`tic amb un perode de

T =2

=

2

B(7)

En el cas de que B no fos constant tindrem un moviment de precessio no constant.

Les altres dues equacions ens donaran com sera` la trajecto`ria del dipol.

Tornant al cas particular dels experiments dStern-Gerlach resulta que el temps de pas

a traves dels imants es molt mes gran que el perode de precessio. Efectivament, com les

velocitats dels a`toms son duns 100 - 1000 m/s, i la seccio de limant es duns 10 cm, el

temps de pas sera` duns 104 s, mentre que el perode de precessio per camps habituals

de lordre del Tesla sera`

T =2

B=

2h

BB 6 10

34Js1023J/T 1 T 10

10s (8)

Aixo` fa que nomes la component del dipol magne`tic en la direccio del camp B sigui

rellevant perque` el valor mig en les altres direccions sera` nul. Per tant lequacio del

moviment es

p = (zBz) = z (Bz) = z Bzz

k = zBk (9)

que ens dona un moviment accelerat en la direccio z. Aleshores el desplacament dels

a`toms dintre lelectroiman sera`

z1 =1

2at2 =

1

2

zB

M

(d

V

)2(10)

on d es la longitud de lelectroiman, i M i V , la massa i velocitats dels a`toms. Com els

a`toms encara han de viatjar una dista`ncia D abans de limpacte en la placa fotogra`ca,

el desplacament total sera`

z z1 + z1dD z (11)

que com veiem es proporcional a la component del moment magne`tic en direccio z.

Tenint en compte que B es de lordre de 103Tesla/m, d = 10cm, D = 50cm i M =

2 1025kg, resulta que el desplacament ma`xim es de lordre del mm

z1 =1

2

zB

M

(d

V

)2 10

23J/T 103T/m1025kg

(0.1m

103m/s

) 103m,

z = z1 +z1dD 102m (12)

5

1.2.3 Resultats experimentals

En lexperiment original de Stern-Gerlach ( al 1920, dos anys abans de la descripcio teo`rica

del spin) es van utilitzar a`toms de plata perque son neutres i tenen un moment magne`tic

permanent, el que fa que nomes siguin sensibles a B.

Quan no hi ha camp magne`tic esperarem un punt en la pantalla, doncs el feix no ha

de patir cap desviacio. En lloc daixo` observem un lnia a amb z = 0 deguda a la dispersio

dels a`toms en la direccio x.

Quan fem B sucientment gran apareixen les dues lnies de la gura 1, en lloc duna

superfcie totalment poblada com esperarem cla`ssicament. Si ens centrem en els punt de

la pantalla amb x = 0 (on arribarien els a`toms que no tenen component de la velocitat en

direccio x) esperarem veure una lnia vertical, perque` al ser el desplacament proporcional

al moment magne`tic en la direccio z i al no haver cap direccio privilegiada en la produccio

dels a`toms en el forn, la projeccio de en leix z ha de seguir un continuo. Ben al contrari,

apareixen les dues lnies esmentades que corresponen a valors concrets del moment angular

h/2.

1.2.4 Interpretacio dels resultats.

Si mirem la taula perio`dica veurem que la conguracio electro`nica de la`tom de plata es

1s22s22p63s23p64s23d104p64d105s, es a dir que nomes hi ha un electro 5s fora de capes

complertes. Recordem que les capes complertes tenen un moment angular total nul, i per

tant, si ignorem el moment magne`tic del nucli (recordem que p = 1.41 1026J/T, n =0.981026J/T, e = 9.281024J/T ), lelectro 5s es lunic que contribueix al momentmagne`tic total de la`tom de plata. Com que es un electro en o`rbita s no te moment angular

orbital, i per tant la`tom de plata es comporta com el spin daquest electro

Ag e = gBS

h(13)

Cla`ssicament esperarem un continuo pero` com ja hem dit observem solament dos

valors de Sz = h/2Estem davant dun exemple tpic de mesura en la meca`nica qua`ntica: els possibles

resultats de la mesura venen determinats pel propi aparell de mesura i son independents

de com preparem lestat inicial, i per tant no podem dir res sobre lestat abans de la

mesura. De fet diferents preparacions del feix da`toms, com veurem mes endavant, nomes

canviaran la proporcio daquells que deixen senyal en la lnia de dalt respecta a la de baix,

pero` no la posicio de les lnies. A mes a mes girant el camp magne`tic les lnies sobre la

placa giraran igualment i es mantindran els dos valors observats.

Aquests dos possibles estats de sortida com a resultat de la mesura amb un Stern-

Gerlach amb el camp en direccio del eix z els anomenarem |Sz,+ i |Sz, per indicar

6

que tenen un moment angular en la direccio z ben denit:h/2. De la mateixa manerapoden denir els dos estats en una direccio n arbitra`ria com |Sn,+ i |Sn,.

Amb aquesta notacio volem nomes descriure la part de spin doncs la part espacial

te un comportament totalment cla`ssica (la dispersio de velocitats es duns 106m/s que

es despreciable devant lescala de velocitats de lexperiment). Aix doncs les variables de

posicio i moment les podem considerar puntuals i que obeeixen les equacions del moviment

cla`ssiques. Aixo` ens permet analitzar aquest experiment des del punt de vista qua`ntic

nomes atenent als graus de llibertat de spin.

1.2.5 Seque`ncies dexperiments

Lexperiment original dStern Gerlach (gura 1 o la seva representacio simplicada en la

gura 2) es un experiment destructiu perque` la mateixa mesura en la placa destrueix els

dos estats de sortida possibles.

Figure 2: experiment destructiu Stern Ger-

lach

Figure 3: experiment Stern Gerlach sense

cap efecte

Considerem ara la situacio mes complicada de la gura 3. Els camps magne`tics son

de la mateixa intensitat, pero` la polaritat de limant central esta` invertida i es el doble de

llarg. Daquesta manera els objectes al sortir tenen la mateixa direccio que a lentrar, com

es pot veure en la gura 4, on es dibuixa la component z de lacceleracio, velocitat i posicio

en funcio de y (y = 1 correspon a la longitud del primer imant), de la trajectria clssica

esperada per un determinat valor del moment magntic de la partcula. Sorprenentment

quan es fa lexperiment de la gura 3 sobserva que lestat de sortida te les mateixes

caracterstiques de spin que a lentrada, en lloc de |Sz,+ o |Sz, com podrem esperarsegons lexperiment destructiu de la gura 2. En aquest cas es com si no shagues produt

7

cap mesura o que la partcula ha passat per les dues trajecto`ries possibles simulta`niament

i de forma coherent.

Figure 4: Trajecto`ria possible de lelectro

Pero` si ara posem un petit bloc de plom en la trajecto`ria inferior (gura 5), resultara`

que al sortir tindrem partcules amb la mateixa direccio original pero` nomes amb el spin

cap amunt (aixo` es pot comprovar fent despres lexperiment original de la gura 2 i

veurem que nomes tenim la lnia de dalt). Aixo` es el que sanomena mesura ltrant: al

fer la mesura nomes es destrueix un dels dos possibles resultats, i per tant les partcules

sobrevivents han destar forcosament en laltre estat possible.

Figure 5: experiment ltrant Stern Gerlach Figure 6: representacio

Per simplicar aquesta conguracio de tres camps amb un bloc de plom per parar la

8

trajecto`ria inferior, la representarem com una caixa amb una etxa pintada en la direccio

del spin que ltra (gura 6). Anem a veure ara la combinacio de mesures ltrants.

Figure 7: Seque`ncies up up Figure 8: Seque`ncies up down

Posem ara un segon ltre immediatament despres del primer i amb la seva mateixa

orientacio (gura 7 ). Resultara` que el segon ltre no te cap efecte. Del primer ltre

nomes surten electrons amb spin cap amunt (seran la meitat dels electrons originals si

aquests shan preparat sense cap direccio privilegiada de spin). Aleshores el segon ltre

que nomes deixa passar els electrons cap amunt, no produira` cap efecte.

Figure 9: Seque`ncies up left Figure 10: Seque`ncies up left down

Considerem el cas en que el segon ltre te lorientacio oposada( gura 8 ). En aquest

9

cas com que del primer ltre nomes surten electrons cap amunt, el segon no en deixara`

passar cap.

Considerem el cas en que el segon ltre esta` girat 90 graus respecta al primer (gura 9).

La meitat dels electrons surten del primer ltre, tots ell amb spin cap amunt, i sobserva

que el segon ltre deixa passar la meitat dells. Podem dir que si tenim dues denicions

de spin up per a dos ltres amb angles entre ells de 90 graus, la meitat dels electrons

satisfa` les dues denicions. Si anem variant langle entre els dos ltres de 0 a 180 graus

veurem que la fraccio delectrons que deixa passar el segon varia del 100% al 0%. De fet ja

demostrarem mes endavant que aquesta fraccio va cos2(/2), on es langle entre ltres.

Finalment considerem lexperiment de la gura 10. Cada ltre deixara` passar la

meitat dels que arriben i al nal tindrem 1/8 dels electrons inicials. Observeu que si no

estigues el segon ltre no sortiria cap electro, dalguna manera aquest segon ltre canvia

la denicio up per electrons. Es un exemple clar del principi dincertesa de Heisenberg que

ens diu que no podem cone`ixer simulta`niament les components de spin en dues direccio

perpendiculars. De fet la segona mesura ltrant destrueix tota informacio pre`via.

1.2.6 Analogia amb la llum polaritzada

Tot el que hem explicat ns ara de les mesures ltrants amb experiments Stern-Gerlach

te la seva analogia amb el ltres polaritzadors per la llum. A la sortida dun daquests

polaritzador nomes tindrem la llum polaritzada en una direccio com es mostra a la gura

11.

Figure 11: Obtencio llum polaritzada Figure 12: Seque`ncies de ltres polaritza-

dors

Si despres daquest polaritzador en posem un altre en la mateixa direccio, aquest no

tindra` cap efecte en la llum. Si el posem a 90 graus no deixa passar res(gura 12), i si

el posem a 45 graus deixara` passar la meitat. Concluim que els efectes son similars entre

ltres consecutius per electrons i els polaritzadors de llum si tenim en compte aquest

factor 2 entre les seves orientacions relatives.

10

Tornen als experiments de Stern-Gerlach i avancem-nos una mica al que veurem quan

anunciem els postulats de la meca`nica qua`ntica. Recordem que el resultat de lexperiment

son dos possibles estats que hem anomenat |Sn,+ i |Sn, quan mesurem en la direccion, i que corresponen a mesurar moments angulars h/2 en aquesta mateixa direccio. Elque veurem es que aquests dos estats formen una base de tots el possibles estats en un

espai vectorial de dimensio 2 i que els observables vindran representades com operadors

lineals sobre aquest espai (matrius de 2 2), amb la particularitat que la mesura feta enla direccio n ve representada per un operador Sn que te com vectors propis precisament

els vectors |Sn,+ i |Sn, amb valors propis h/2, que representen els dos possiblesresultats de lexperiment.

Aix podem agafar com a base per exemple

|Sz,+ = 1

0

|Sz, = 0

1

(14)

i en aquesta base loperador Sz sera` evidentment

Sz =h

2

1 0

0 1

, (15)

El que no tenim ni idea, pel moment, es com aquests vectors i operadors es transformen

sota rotacions, es a dir no sabem relacionar els vectors |Sn,+ i |Sn, amb la base queacabem descollir. No obstant, per analogia amb la llum polaritzada, podrem intuir els

resultats per |Sx,+, |Sx,, |Sy,+, i |Sy,.Suposem llum en direccio z i polaritzada linealmant en direccio x. El seu camp electric

sera` E = E0i cos(kzt), i en direccio y sera E = E0j cos(kzt). Un ltre polaritzadoren la direccio y nomes deixara` passar lona on el camp ele`ctric esta` en aquesta direccio.

Si despres posem un ltre en direccio x no tindrem llum. Aleshores, per analogia poden

relacionar

E = E0i cos(kz t) |Sz,+E = E0j cos(kz t) |Sz, (16)

Per altra banda recordem que girar el ltre polaritzador de la llum 45 graus te el

mateixos efectes que girar laparell Stern-Gerlach 90 graus. Anomenat i i j als vectors

unitaris girats 45 graus respecta als i i j (en el mateix pla), tenim

E = E0i cos(kz t) = 1

2E0i cos(kz t) + 1

2E0j cos(kz t)

E = E0j cos(kz t) = 1

2E0i cos(kz t) + 1

2E0j cos(kz t) (17)

11

i per lanalogia esmenada

|Sx,+ = 12|Sz,++ 1

2|Sz, = 1

2

1

1

|Sx, = 12|Sz,++ 1

2|Sz, = 1

2

1

1

(18)

aleshores loperador Sx que te com vectots propis els dos anteriors es

Sx =h

2

0 1

1 0

, (19)

com

Com implementem |Sy,+ i |Sy,?. Per arguments de simetria si tenim un feix|Sz,+ movent-se en direccio y i sotmes a una mesura Sx, la situacio ha de ser moltsimilar a un feix |Sz,+ movent-se en direccio x i sotmes a una mesura Sy. Aleshores|Sy,+ i |Sy, han de ser combinacions de |Sz,+ i |Sz,, pero` diferents de les trobadesper |Sx,+ i |Sx,.

Lanalogia la trobarem en la llum polaritzada un altre cop. Lexperiment fet per

un polaritzador vertical, polaritzador a la dreta i un polaritzador vertical, te el mateix

comportament que lexperiment per electrons fet per un Sz, Sy i Sz.

La llum polaritzada circularment cap a la dreta ve descrita per

E =

(12E0i cos(kz t) + 1

2E0j sin(kz t)

)

= Real

(E0(

12iei(kzt) +

i2jei(kzt))

)(20)

Aleshores

|Sy+ = 12|Sz,++ i

2|Sz, = 1

2

1

i

(21)

Per altra banda la relacio per llum polaritzada circularment cap a lesquerra seria amb

i en lloc de i. De totes maneres, i per cohere`ncia amb el que obtindrem en el captol derotacions, aquesta relacio queda multiplica per una fase addicional no observable (i), de

forma que seguim descrivint el mateix estat qua`ntic i per tant

|Sy, = i2|Sz,++ 1

2|Sz, = 1

2

i

1

(22)

Loperador Sy que te com vectots propis els dos anteriors es

Sy =h

2

0 i

i 0

, (23)

12

Les matrius

x =

0 1

1 0

, y =

0 i

i 0

, z =

1 0

0 1

. (24)

son les anomenades matrius de Pauli.

Loperador associat a un experiment de Stern-Gerlach en una direccio arbitraria n =

(sin cos, sin sin, cos ) ve donat per

Sn h2 n = h

2

cos sin ei

sin ei cos

(25)

amb vectors propis

|Sn,+ > = cos 2

sin 2ei

|Sn, > = ei sin 2

cos 2

(26)

En alguns llibres lestat |Sn, > ve multiplicat per la fase addicional ei no observable.

13

1.3 Postulats de la MQ

1.3.1 Postulat I

P1.Cada estat dun sistema fsic correspon a un vector (ket) de norma 1 i de fase arbitra`ria

en un espai vectorial sobre el complexos (pot ser de dimensio innita, espai de Hilbert

separable). Tota la informacio sobre el sistema fsic esta` continguda en el vector destat.

Exemple. Notacio de Dirac

Com ja hem dit al parlar lexperiment de Stern-Gerlach, la descripcio de la part de

spin dun electro es fa en un espai vectorial de dimensio dos, on una possible base la

constitueixen els vectors

|Sz,+ = 1

0

, |Sz, =

0

1

(27)

i qualsevol ket corresponent a un estat fsic es pot posar en combinacio daquests dos.

Com exemples hem vist

|Sx,+ = 12|Sz,++ 1

2|Sz, = 1

2

1

1

|Sx, = 12|Sz,+ 1

2|Sz, = 1

2

1

1

|Sy,+ = 12|Sz,++ i

2|Sz, = 1

2

1

i

|Sy, = i2|Sz,++ 1

2|Sz, = 1

2

i

1

(28)

i el mes general possible sera`

| = 1||2 + ||2

(|Sz,++ |Sz,) = 1||2 + ||2

(29)

En aquest espai es deneix un producte escalar entre dos estats qualsevols |1 =1|Sz,++ 1|Sz, i |2 = 2|Sz,++ 2|Sz,, i que designarem per 1|2, com

1|2 = 12 + 12 =(

1 1

) 22

(30)

amb aquest producte escalar lestat mes general possible es pot escriure com

| = Sz,+||Sz,++ Sz,||Sz, (31)

Cas general

14

Donada la base ortonormal {|ei} dun cert espai de Hilbert H de dimensio nita, elproducte escalar (aplicacio de H H C )entre dos vectors | = i i|ei i | =

i i|ei sexpressa com|

i

ii (32)

a | sanomena ket i a | el seu bra.La norma al quadrat de | sera`

| 2= | = i

|i|2 (33)

i les seves components es poden obtenir com a producte escalar

i = ei| (34)Per tant

| = i

ei||ei (35)

En notacio matricial podem escriure

base =

|e1 =

1

0...

0

, . . . |en =

0

0...

1

, | =

1

2...

n

=

e1|e2|

...

en|

(36)

aleshores el producte escalar es pot expressar com

| = (1, 2 . . . , n)

1

2...

n

(37)

Existeix una corresponde`ncia biunvoca entre bras i kets, que associa a cada ket de

lespai H a un bra de lespai dual H

| =

1

2...

n

| =

(1

2 ...

n

)(38)

Observem les seguents propietats

| = ||1 + c2 = |1+ c |2

| 0.c| = c |si | = c1|1+ c2|2 aleshores | = c11|+ c22| (39)

15

Degut a aquest postulat la combinacio lineal destats fsics es tambe un estat fsic.

| = c1|1+ c22 (40)Observem que encara que una fase global representara` el mateix estat fsic, la fase relativa

entre els dos estats que estem superposant s es rellevant

| = c1|1+ c2|2| = c1|1+ c2ei|2

| = | (41)

Exemple

Considerem ara un sistema fsic format per dues partcules, cada una delles descrites

per un espai de Hilber Hi (i = 1, 2) de dues dimensions, per exemple el spin de dos

electrons. Lespai vectorial sera` el producte dels dos, H = H1 H2, de dimensio 4.Si anomenem {|Sz,+(i), |Sz,(i)} la base de lespai Hi, els estats formats per dos

electrons que shan preparat de forma independentment sera`n de la forma

|ind = ((1)|Sz,+(1) + (1)|Sz,(1)) ((2)|Sz,+(2) + (2)|Sz,(2))= (1)(2)|Sz,+(1) |Sz,+(2) + (1)(2)|Sz,+(1) |Sz,(2)+ (1)(2)|Sz,(1) |Sz,+(2) + (1)(2)|Sz,(1) |Sz,(2) (42)

Esta` clar que com a base de lespai H podren agafar

|Sz,+(1) |Sz,+(2), |Sz,+(1) |Sz,(2),|Sz,(1) |Sz,+(2), |Sz,(1) |Sz,(2) (43)

i que amb notacio matricial sera`

1

0

1

0

=

1

0

0

0

,

1

0

0

1

=

0

1

0

0

,

0

1

1

0

=

0

0

1

0

,

0

1

0

1

=

0

0

0

1

(44)

Per exemple els estas |ind anomenats anteriorment els prodrem expressar en aquestabase com

(1)

(1)

(2)

(2)

=

(1)

(2)

(2)

(1)

(2)

(2)

(1)(2)

(1)(2)

(1)(2)

(1)(2)

(45)

16

mentre que lestat mes general possible sera`

on ||

2 + ||2 + ||2 + ||2 = 1 (46)

Aleshores existeixen estats de dos electrons que no corresponen a preparar cada un

dells de forma independent. Per exemple

12

0

1

10

=

12

1

0

0

1

0

1

1

0

=

1

1

2

2

(47)

direm que aquests estats estan entrellacats. Aquests estats es poden realitzar experimen-

talment i tenen la particularitat de demostrar la no localitat de la MQ.

1.3.2 Postulat II

P2. A tot observable fsic li correspon un operador lineal autoadjunt. La totalitat dels

autovalors dA rep el nom despectre, i els seus autovectors deneixen una base de lespai

de Hilbert.

Exemple

Com hem vist en 15, utilitzar un SG per mesurar en la direccio z el moment angular

intrnsec de lelectro, li correspon loperador Sz autoadjunt,((Sz)

T)

= Sz. El seu espectre

es {+h/2,h/2} i el conjunt dels seus autovectors {|Sz,+, |Sz,} formen una base delespai de Hilbert. Qualsevol vector daquest espai de Hilbert es pot posar en combinacio

daquest dos

| = |Sz,++ |Sz, = Sz,+||Sz,++ Sz,||Sz,= (|Sz,+Sz,+|+ |Sz,Sz,|) | (48)

don deduim que I = (|Sz,+Sz,+|+ |Sz,Sz,|), igualtat que es coneix com resoluciode la identitat o relacio` de clausura.

Fent actuar Sz sobre aquest estat | tindrem

Sz| = (Sz|Sz,+Sz,+|+ Sz|Sz,Sz,|) |=

(+h

2|Sz,+Sz,+| h

2|Sz,Sz,|

)| (49)

don Sz =(+ h

2|Sz,+Sz,+| h2 |Sz,Sz,|

), expressio que es coneix com la repre-

sentacio espectral dSz.

17

Passem a comprovar la resolucio de la identitat i la representacio` espectral en notacio

matricial agafant com a base {|Sz,+, |Sz,}

I = |Sz,+Sz,+|+ |Sz,Sz,| = 1

0

( 1 0 )+

0

1

( 0 1 ) =

1 0

0 1

Sz =h

2|Sz,+Sz,+| h

2|Sz,Sz,| =

=h

2

1

0

( 1 0 )

0

1

( 0 1 )

= h2

1 0

0 1

(50)

i per analogia amb Sz, si ara volem cone`ixer la representacio matricial dels operadors Sx

i Sy en la mateixa base {|Sz,+, |Sz,} farem

Sx =h

2|Sx,+Sx,+| h

2|Sx,Sx,|

=h

2

1

2

1

1

( 1 1 )

1

1

( 1 1 )

= h2

0 1

1 0

Sy =h

2|Sy,+Sy,+| h

2|Sy,Sy,|

=h

2

1

2

1

i

( 1 i )

i

1

( i 1 )

= h2

0 i

i 0

(51)

La representacio matricial de qualsevol operador B en una base ortonormal {|ei}lobtindrem de

B| = i,j

|eiei|B|ejej| =i

j

ei|B|ejej| |ei

el| {B|} =j

el|B|ejej | (52)

on podem identicar

| =

e1|e2|e3|

...

, B

e1|B|e1 e1|B|e2 e1|B|e3 e2|B|e1 e2|B|e2 e2|B|e3 e3|B|e1 e4|B|e2 e5|B|e3

......

.... . .

. (53)

Com exemple tornem a considerar el spin dun electro i trobem la representacio ma-

tricial de Sx en la base dautovectors de Sz

Sx =

Sz,+|Sx|Sz,+ Sz,+|Sx|Sz,Sz,|Sx|Sz,+ Sz,|Sx|Sz,

= h

2

0 1

1 0

(54)

18

Veiem ara com ha de ser la representacio matricial doperadors en espais de Hilbert

obtinguts com a producte despais de Hilbert, H = H1H2. Els operadors o observablesque actuen sobre estats daquest espai de Hilbert, seran tambe el producte doperadors

B(1) B(2), on B(1) actua sobre la primera partcula i B(2) sobre la segona.

(B(1) B(2))(|(1) |(2)) = (B(1)|(1)) (B(2)|(2))

=

ij

e(1)i |B(1)|e(1)j e(1)j |(1)|e(1)i

ije(2)i |B(2)|e(2)j e(2)j |(2)|e(2)i

=ii

jje(1)i |B(1)|e(1)j e(2)i |B(2)|e(2)j e(1)j |(1)e(2)j |(2)

|e(1)i )|e(2)i (55)

aleshores aquests operadors vindran descrits per

B(1) B(2) =e(1)1 |B(1)|e(1)1 e(1)1 |B(1)|e(1)2 e(1)2 |B(1)|e(1)1 e(1)2 |B(1)|e(1)2

......

. . .

e(2)1 |B(2)|e(2)1 e(2)1 |B(2)|e(2)2 e(2)2 |B(2)|e(2)1 e(2)2 |B(2)|e(2)2

......

. . .

=

e(1)1 |B(1)|e(1)1 e(2)1 |B(2)|e(1)1 ... . . .

e(1)1 |B(1)|e(1)2

e(2)1 |B(2)|e(1)1 ... . . .

e(1)2 |B(1)|e(1)1 e(2)1 |B(2)|e(1)1 ... . . .

e(1)2 |B(1)|e(1)2

e(2)1 |B(2)|e(1)1 ... . . .

......

. . .

(56)

En el cas vist anteriorment de la descripcio simulta`nia de la part de spin de dos

electrons, hem considerat la base


aleshores els operadors sera`n matruis de 4 4 i sobtindran com

B(1)B(2) = b

(1)11 b

(1)12

b(1)21 b

(1)22

b

(2)11 b

(2)12

b(2)21 b

(2)22

=

b(1)11

b

(2)11 b

(2)12

b(2)21 b

(2)22

b(1)12

b

(2)11 b

(2)12

b(2)21 b

(2)22

e(1)21

b

(2)11 b

(2)12

b(2)21 b

(2)22

b(1)22

b

(2)11 b

(2)12

b(2)21 b

(2)22

(58)

Com exemples daquests operadors tenim la mesura del spin en direccio z de la primera

partcula sense mirar el de la segona

S(1)z I(2) (59)

19

o la mesura del spin total en direccio z

Sz = S(1)z I(2) + I(1) S(2)z (60)

Operadors adjunts

En espais de dimensio nita per cada operador lineal A existeix un operador lineal

adjunt o hermtic conjugat A que es deneix

A| |A| (61)

(en espais de dimensio innita els dominis de A i el seu adjunt poden ser diferents). Es

verica: (A) = A, (AB) = BA, (cA) = cA Un operador lineal A es hermtic o

autoadjunt si A = A, i per tant els seus valors esperats |A| son reals (comprovar-ho).Si a mes a mes son tots positius es diu que A esta` denit positiu.

Teorema. Si A es autoadjunt es pot diagonalitzar i els vectors propis associats a valors

propis (evidentment reals) diferents, son ortogonals.

A|an = an|an, 0 = an|A|am Aan|am = (am an)an|am (62)

com els autovalors son reals, si son diferents els vectors propis son ortogonals. Si el valor

propi es degenerat sempre podem utilitzar el me`tode de Gramm-Schmidt per buscar una

base ortonormal daquest subespai. Com els autovalors dA son una base dH, qualsevol

vector es pot escriure com

| = i

|aiai|

A| = i

ai|aiai| (63)

on entenem que la suma sexten sobre valors discrets (i si hi ha valors degenerats tambe),

i continus si es necessari. Aleshores podem escriure

I =i

|aiai| (resolucio de la identitat)

A =i

ai|aiai| (representacio espectral de lobservable A) (64)

Observables compatibles

Diem que dos observables A i B son compatibles si existeix un base completa destats

que son propis simulta`niament de A i de B. El estats daquesta base es poden identicar

pel seu corresponent autovalor

A|an, bm, r = an|an, bm, r, B|an, bm, r = bm|an, bm, r. (65)

20

Lndex r nomes sera` necessari quan el subespai destats propis associat a uns valors propis

an i bm, sigui degenerat.

Exemple. Quan considerem el spin dun electro, son compatibles els observables Sx i

Sy?. Si fossin compatibles existirien estats | propis damdos operadorsSx| = sx|Sy| = sy| (66)

i per tant

(SxSy SySx)| = (sxsy sysx)| = 0(SxSy SySx)| = ihSz|

Sz| = 0 | = 0 (67)

Aleshores aquest estat | no existeix i per tant no son compatibles.Teorema. Dos observables son compatibles si i nomes si commuten

[A,B]| = (AB BA)n,m,r cn,m,r|an, bm, r = 0 [A,B] = 0 [A,B] = 0 AB|an = BA|an = anB|an

es a dir que B|an es propi de A amb valor propi an. Si an no es degenerat aleshores|an sera` vector propi de B i de A simulta`niament. En cas de degeneracio B|an sera`un vector dins del subespai associat a lautovalor an. Aleshores podrem utilitzar B per

trencar aquesta degeneracio. Si encara queda certa degeneracio sempre podem considerar

la possibilitat dafagir nous observables que commutin amb els anteriors i redueixin la

degeneracio.

Conjunt complert dobservables compatibles (CCOC). Direm que un conjunt dobservables

A,B,C,... constitueix un conjunt complert dobservables compatibles (CCOC) si existeix

una unica base ortogonal que es simulta`niament pro`pia de tots ells i sense degeneracio.

Exemple. En el cas vist anteriorment de la descripcio de la part de spin de dos electrons,

podrem considerar com a base


Loperador autoadjunt associat a mesurar el moment angular total en direccio z

Sz = S(1)z I(2) + I(1) S(2)z (69)

i la seva representacio matricial en aquesta base sera`

h2

1 0

0 1

0

0 h2

1 0

0 1

+

1

h2

0

0 h2

0

0 1

h2 0

0 h2

=

h 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 h

(70)

21

Aquest operador sobre la base escollida es evidentment degenerat (els autovalors pels

vectors segon i tercer de la base son tots dos iguals a 0) i per tant no pot ser un CCOC.

Haurem de buscar un altre operador que commuti amb aquest per trencar la degeneracio.

Aquest operador es el del moment angular total

S2 = (S(1) I(2) + I(1) S(2))2 = S(1)2 I(2) + I(1) S(2)2 + 2S(1) S(2) (71)

Anem a veure la seva representacio matricial

S2 = (S(1)x I(2) + I(1) S(2)x )2 + (S(1)y I(2) + I(1) S(2)y )2 + (S(1)z I(2) + I(1) S(2)z )2

=h2

4

0 1

1 0

0 1

1

1 0

0 1

0

+

1

0 1

1 0

0

0 1

0 1

1 0

2

+h2

4

0 i 1 0

0 1

i

1 0

0 1

0

+

1

0 i

i 0

0

0 1

0 i

i 0

2

+h2

4

1

1 0

0 1

0

0 1 1 0

0 1

+

1

1 0

0 1

0

0 1

1 0

0 1

2

=h2

4

0 1 1 0

1 0 0 1

1 0 0 1

0 1 1 0

2

+

0 i i 0i 0 0 ii 0 0 i0 i i 0

2

+

2 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 2

2

=h2

4

2 0 0 2

0 2 2 0

0 2 2 0

2 0 0 2

+

2 0 0 20 2 2 0

0 2 2 0

2 0 0 2

+

4 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 4

= h2

2 0 0 0

0 1 1 0

0 1 1 0

0 0 0 2

(72)

Resulta que S2 i Sz commuten i podrem trobar una base que diagonalitzi ambdos opera-

dors. Centrant-nos en el subespai on Sz te valor propi 0, podem utilitzar S2 per trencar

22

aquesta degeneracio buscant els seus vectors propis i valors propis en aquest subespai.

Per trobar els valors propis haurem de resoldre

0 = det

1 x 1

1 1 x

= (1 x)2 12 x = 0 x = 2 (73)

i els vector propis normalitzats son

x = 2 1/

2

1/2

x = 0

1/

2

1/2

(74)

Aleshores la nova base que diagonalitza tant S2 com Sz , expressada en la base que

hem dit abans resulta ser

|1, 1 = |Sz,+(1) |Sz,+(2)

|1, 0 = 12(|Sz,+(1) |Sz,(2) + |Sz,(1) |Sz,+(2))

|0, 0 = 12(|Sz,+(1) |Sz,(2) |Sz,(1) |Sz,+(2))

|1,1 = |Sz,(1) |Sz,(2) (75)

on la notacio que hem utilitzat |lm vol indicar que l(l + 1)h2 es lautovalor per S2 i mhes lautovalor per Sz

Funcions doperadors

Una funcio dun operador la denirem en termes de una se`rie de pote`ncies. Per

exemple si f(x) es un polinomi en x, f(A) es el mateix polinomi en loperador A. Les

funcions exponencial i trigonome`triques dun operador es deneixen per les seves se`ries

eA = I + A +1

2!A3 +

1

3!A3 + .... (76)

Si A admet una representacio espectral, A =

n an|anan|, el ca`lcul daquestes funcionses simplica notablemet. Per exemple

eA = I +n

an|anan|+ 12!

n,m

anam|anan|amam|+ ....

= I +n

an|anan|+ 12!

n

a2n|anan|+ ....

=n

(1 + an +1

2!a2n + ...)|anan| =

n

ean |an (77)

i en general

f(A) =n

f(an)|anan| (78)

23

Projectors.

Als operadors =

isub |aiai|, on la suma sextent a un cert subconjunt delsautovectors |ai dun cert observable A, sels anomena projectors. Son idempotents ihermtics.

Es molt frequent que la suma tingui un sol terme. Per exemple si considerem el

spin dun electro loperador z+ |Sz,+Sz,+| es un projector doncs es queda amb lacomponent en la direccio |Sz,+ de qualsevol vector

| = Sz,+||Sz,++ Sz,||Sz,,z+| = Sz,+||Sz,+ (79)

La representacio matricial daquest projector z+ en la base {|Sz,+, |Sz,} sera`

z+ = |Sz,+Sz,+| = 1

0

( 1 0 ) =

1 0

0 0

(80)

que actuant sobre lestat | recuperem el resultat anterior

z+| = 1 0

0 0

Sz,+|Sz,|

=

Sz,+|

0

(81)

Operadors Unitaris

Direm que un operador lineal es unitari si el seu hermtic conjugat es igual a linvers

U = U1, o si U U = UU = I. (82)

Nota: un operador pot ser autoadjunt i unitari

U = U = U1, ex: i = i 2i = I (83)

Els operadors unitaris deneixen un canvi de base. Sigui {|ei} una base ortonormal(ei|ej = ij). Denint

|ei = U |ei (84)el conjunt de vectors {|ei} tambe es una base ortonormal doncs ei|ej = Uei|U |ej =ei|U U |ej = ei|ej = ij

Veiem ara la relacio entre la representacio matricial de qualsevol estat | o operadorO en la base |ei i la seva representacio en la base |ei.

ei| =j

ei|ejej| =j

ei|U |ejej| (85)

ei|O|ej =lk

ei|elel|O|ekek|ej =lk

ei|U |elel|O|ekek|U |ej (86)

24

Els operadors unitaris tambe deneixen unes transformacions sobre els estats i els

operadors anomenades unita`ries

| | = U |O O = UOU (87)

Com

| = ||O| = |O| (88)

el canvi de base que deneix U (|ei = U |ei) es tal que la representacio dels kets i delsoperadors transformats en aquesta nova base es ide`ntica a la representacio dels kets i

operadors originals en la base original.

Teorema. Tot operador unitari es pot expressar en la forma

U = eiA (89)

on A es un operador autoadjunt.

Teorema. Tot operador unitari es diagonalitzable i els autovalors dels operadors uni-

taris son fases (1 = u|U1U |u = uuu|u u = ei). Per tant els vectors propisdU sera`n una base de H i tindra` una descomposicio espectral.

Exemple. Recordem que loperador Sz =h23 te autovalors h/2 i autovectors |Sz,.

Aleshores loperador autoadjunt 123 te una descomposicio espectral, aix com loperador

unitari que obtindrem de la seva exponenciacio

Sz =h

23 =

h

2|Sz,+Sz,+| h

2|Sz,Sz,|

eihSz = ei

123 = ei(

12)|Sz,+Sz,+|+ ei( 12 )|Sz,Sz,| (90)

Transformacions infinetessimals. Els operadors unita`ris innitessimals sera`n de la forma

U = eiA I + iA, U U (I iA)(I + iA) I + o()2 (91)

i les transformacions innitessimals per ells implementades

| = U | = |+ iA|, | = iA|O = UOU = (I + iA)O(I iA) = O + i(AO OA), O = i[A,O] (92)

1.3.3 Postulat III

P3. El resultat duna mesura de lobservable A sobre un estat | solament pot donarcom a resultat un dels seus autovalors ai. La probabilitat dobtenir-ne un de concret es

PA|(ai) = |ai||2 (93)

25

Denint el projector ai = |aiai|, aquesta probabilitat es pot tambe expressar comPA|(ai) = ai | 2 (94)

Exemple.

En lexperiment Stern-Gerlach Sz, els dos possibles resultats son h/2, pero` maihavem parlat de la probabilitat de cada un dells. Aquest postulat ens diu que les

probabilitats son

PSz|(+h

2) = |Sz,+||2

PSz |(h

2) = |Sz,||2 (95)

Suposem que fem una mesura ltrant que nomes deixa passar |Sz,+. Si a continuaciofem una segona mesura Sz el resultat es sempre +h/2

PSz |Sz,+(+h

2) = |Sz,+|Sz,+|2 = 1

PSz|Sz ,+(h

2) = |Sz,|Sz,+|2 = 0 (96)

si aquesta segona mesura es Sx, els possibles resultats son equiprovables

PSx|Sz,+(+h

2) = |Sx,+|Sz,+|2 = 1/2

PSx|Sz,+(h

2) = |Sx,|Sz,+|2 = 1/2 (97)

i si aquesta segona mesura es fa en una direccio arbitraria n = (sin cos, sin sin, cos )

tindrem

PSn|Sz,+(+h

2) = |Sn,+|Sz,+|2 = cos2 /2

PSn|Sz,+(h

2) = |Sn,|Sz,+|2 = sin2 /2 (98)

Valor esperat

Com a conseque`ncia daquest postulat, el valor esperat o promig dun seguit de mesures

de lobservable A sobre un conjunt de sistemes preparats ide`nticament sera`

A| i

ai|ai||2 =i

ai|aiai| = |A| (99)

i anomenarem com a dispersio o incertesa, larrel quadrada de la seva varianca

|A (

i

a2i |ai||2 A2|)1/2

=

(i

a2i |aiai| |A|2)1/2

=(|A2| |A|2

)1/2(100)

26

que tambe es pot expressar com

|A =(|(A A)2|

)1/2= |(A A)|| (101)

Noteu que la incertesa es 0 si el vector es propi dA, com era desperar perque` el resultat

de mesurar A sobre un estat propi dA es sempre el mateix valor, el valor propi daquest

vector propi.

En lape`ndix A hi ha un petit repa`s destadstica i probabilitat, i es discuteix com

comprovar les prediccions de la meca`nica qua`ntica amb observacions experimentals.

Exemple.

Si fem una mesura ltrant que nomes deixa passar |Sz,+ i a continuacio fem unamesura Sx, sabem que els resultats son +h/2 i h/2 amb la mateixa probabilitat. Efec-tivament

PSx|Sz,+(+h

2) = |Sx,+|Sz,+|2 = 1/2

PSx|Sz,+(h

2) = |Sx,|Sz,+|2 = 1/2 (102)

per tant el valor esperat sera` evidentment 0, que tambe es pot comprovar fent

Sx|Sz,+ = Sz,+|Sx|Sz,+ = 0 (103)

mentres que la seva dispersio sera`

|Sz ,+Sx =(Sz,+|S2x|SZ ,+ Sz,+|Sx|Sz,+2)

)1/2= (

h2

4 02)1/2 = h

2(104)

Veiem doncs que fent una unica mesura Sx sobre lestat |Sz,+, tenim un valor esperatde 0 amb una dispresio enorme de h/2. Aixo` es degut al fet que aquesta u`nica mesura

nomes pot donar +h/2 o h/2 amb la mateixa probabilitat. Per aixo`, encara que el valoresperat sigui 0, la dispersio es de lordre de la quantitat que es mesura.

Comentaris sobre el principi de superposicio. Considerem lestat |Sx,+ com la super-posicio ja vista dels |Sz,+ i |Sz,, i calculem

PSx|Sx,+(h/2) = |Sx,|Sx,+|2 = 0 = |Sx,|(12|Sz,++ 1

2|Sz,)|2

= 12|Sx,|Sz,+|2 + 1

2|Sx,|Sz,|2 (105)

es a dir no es sumem les probabilitats sino les amplituds. es un fenomen tpic dinterfere`ncia.

Principi dincertesa de Heisenberg

El producte de les dispersions de dos observables sobre el mateix estat, esta` tat

AB 12| |[A,B]|| . (106)

27

En efecte, denim els operadors autoadjunts

Am A |A| , Bm B |B| , y C 1ih

[A,B] (107)

aleshores

(Am)2 = A2m Am2 = A2m = (A A)2 = (A)2

(Bm)2 = (B)2 (108)

Si ara denim la seguent funcio del para`metre real

f() (Am + iBm) (Am + iBm) = (Am + iBm)|2 0 (109)

tindrem

f() = |(Am iBm) (Am + iBm)|

=A2m + iAmBm iBmAm + 2Bm

= (A)2 + 2(B)2 + i |[Am, Bm]|

= (A)2 + 2(B)2 h |C| , (110)

El valor de que dona el mnim es

f (0) = 20(B)2 h |C| = 0, 0 = h |C|2(B)2

=i |[A,B]|

2(B)2, (111)

i aleshores el valor de f per aquesta 0 sera`

f(0) = (A)2 +

h2 |C|24(B)2

h2 |C|22(B)2

= (A)2 h2 |C|24(B)2

0. (112)

obtenint el resultat anunciat.

En el cas que les variables siguin cano`niques conjugades, es a dir [A,B] = ih, per

exemple X i Px, lexpressio anterior ens diu

(X)(Px) h2

(113)

Considerem ara els operadors Sx i Sy

(Sx)(Sy) 12||[Sx, Sy]|| = 1

2||ihSz|| = h

2||Sz|| (114)

i en el cas | = |Sz, tindrem (Sx)(Sy) (

h2

)2Aquesta relacio expressa la limitacio en la precissio al fer mesures dobservables que

no commuten sobre estats preparats de forma ide`ntica.

28

1.3.4 Postulat IV.

P4. Qualsevol estat | sobre el qual es fa una mesura dA que ltra a lestat |ai, passaa trobar-se precisament en aquest estat |ai amb una probabilitat |ai||2, o es destruitdurant el proces de mesura.

Aquest postulat es el mes insatisfactori de la MQ. Postula el collapse instantani delnostre coneixement sobre el sistema en fer una mesura ltrant.

A cada mesura ltrant se li associa un projector. Les mesures ltrants projecten els

estats en un subespai denit per la propi mesura. Per exemple una mesura dA que ltra

a lestat |ai, se li associa el projector ai = |aiai|. Si lestat inicial es | , despres dela mesura ltrant aquest passa a lestat Nai | amb una probabilitat ai | 2 (on Nes una constant de normalitzacio).

Un exemple ja lhem vist en la gura 5 quan hem parlat de les mesures ltrants

utilitzant un Stern-Gerlach. En aquell cas si lestat inicial no ha estat destruit pel plom

que obstrueix la trajecto`ria inferior, aleshores al sortir ha collapsat a un estat de spin

cap amunt. Loperador associat a aquesta mesura es z+ |Sz,+Sz,+|. Si lestatinicial es | , despres de la mesura ltrant aquest passa a lestat Nz+| = |Sz,+ ambuna probabilitat z+| 2= |Sz,+||2. Si immediatament despres daquest mesuraltrant, que ens deixa lestat en |Sz,+, en fem una segona segons leix y, tal i com esmostra en la gura 13, a la sortida tindrem lestat |Sy,+ amb una probabilitat addicionalde 1/2.

En lexemple de la gura 13 lestat inicial es |Sx,+. Despres de la primera mesuraltrant lestat sortint sera` |Sz,+ amb probabilitat 1/2, i despres de la segona lestatsortint sera` |Sy,+ amb una probabilitat addicional de 1/2. En conjunt, lestat inicialsobreviura` amb una probabilitat del 25%, es a dir, el uxe inicial de patcules es veura`

reduit en un factor 1/4.

Figure 13: Experiments ltrants consecutius

29

Si considerem partcules de spin 1, la mesura del seu moment angular mitjanant un

Stern-Gerlach ens pot donar, +h, 0h,h, com es pot veure en la gura 14. Aquests seranels valors propis de loperador associat a aquesta mesura i correspondran als vectors propis

que anomenarem |Sz,+1, |Sz, 0, |Sz,1, per analogia amb els cas de spin 1/2. Qualsevolestat de spin 1 el podrem posar com a combinacio daquest tres estats ortonormals

| = |Sz,+1+ |Sz, 0+ |Sz,1 (115)

Si ara fem la mesura ltrant de la gura 15, on nomes sobstrueix la trajecto`ria del mig

(0h), lestat sortint sera`

|out = N(|Sz,+1+ |Sz,1) (116)

si no ha estat destrut durant el proces de mesura (N es una constant de normalitzacio). A

aquesta mesura ltrant li correspon el projector = |Sz,+1Sz,+1|+ |Sz,1Sz,1|,doncs recuperem el fet que despres de la mesura lestat inicial passa a ser

N| = N(|Sz,+1+ |Sz,1) (117)

amb una probabilitat

| 2= ||2 + ||2 (118)

Figure 14: experiment destructiu Figure 15: experiment ltrant

Com exemple addicional, considerem ara un sistema fsic format per dos partcules de

spin 1/2. Si nomes estem interessats en la descripcio del spin, una base daquest espai de

Hilber ve donada en lequacio 43. Si ara sobre un estat | del sistema fem una mesurantrant mitjancant un SG en la direccio a que actua sobre la primera partcula i un segon

SG en la direccio b que actua sobre la segona partcula, el projector associat es

= |Sa,+(1)Sa,+|(1) |Sb,+(2)Sb,+|(2) (119)

30

Si lestat inicial | es el de lequacio 47

| = 12

(|Sz,+(1) |Sz,(2) |Sz,(1) |Sz,+(2)

)(120)

despre`s del ltre lestat passara` a ser

|out = N| = N2(Sa,+|Sz,+Sb,+|Sz,|Sa,+(1) |Sb,+(2)

Sa,+|Sz,Sb,+|Sz,+|Sa,+(1) |Sb,+(2)) (121)

amb probabilitat

| 2= |Sa,+|Sz,+Sb,+|Sz, Sa,+|Sz,Sb,+|Sz,+|2 (122)

Considerem ara la mesura ntrant mitjancant un SG en la direccio a que actua sobre la

primera partcula pero` no fem res sobre la segona. En aquest cas el projector associat

sera`

= |Sa,+(1)Sa,+|(1) I(2) (123)Si lestat inicial | es el mateix de lequacio 47, despre`s del ltre lestat passara` a ser

|out = N|=

N2(Sa,+|Sz,+|Sa,+(1) |Sz,(2) Sa,+|Sz,|Sa,+(1) |Sz,+(2))

=N2(Sz,|Sa,|Sa,+(1) |Sz,(2) + Sz,+|Sa,|Sa,+(1) |Sz,+(2))

=N2|Sa,+(1) (Sz,|Sa,|Sz,(2) + Sz,+|Sa,|Sz,+(2))

=N2|Sa,+(1) |Sa,(2) (124)

on hem utilitzat lequacio 26 per substituir Sa,+|Sz,+ = Sz,|Sa, i Sa,+|Sz, =Sz,+|Sa,.

La probabilitat dobtenir aquest estat de sortida sera`

| 2= 12|Sa,+(1) |Sa,(2) 2= 1

2(125)

independentment de la direccio a.

Desigualtats de Bell i la no localitat de la MQ

En certs processos es produeixen parelles delectrons que surten en direccions oposades

i que la seva part de spin ve representada per estats que hem anomenat entrellacats

(equacio 47)

| = 12

(|Sz,+(1) |Sz,(2) |Sz,(1) |Sz,+(2)

)(126)

31

Aquests estats tenen spin 0 en qualsevol direccio`

Sz| = (S(1)z I(2) + I(1) S(2)z )| = 0|Sx| = (S(1)x I(2) + I(1) S(2)x )| = 0|Sy| = (S(1)y I(2) + I(1) S(2)y )| = 0|

Sn| = n

S| = 0, n (127)

Figure 16: ltres down up Figure 17: ltres up up

Si mesurem ara el spin de la primera partcula en direccio z i ens dona +h/2, aleshores

el collapse de la funcio ens diu que la segona estara` forcosament en lestat |Sz, , encaraque aquesta segona partcula estigui molt allunyada de la primera. Aixo` ho hem volgut

representar en la gura 16, on locta`edre representa aquests dos electrons allunyant-se en

direccions oposades i cada un dells sotme`s als ltres dibuixats. Si lelectro de la dreta

passa el seu ltre, el de lesquerra ho fara` amb probabilitat 1, i si el de la dreta no el passa

tampoc ho fara` el de lesquerra.

En la gura 17 podem veure un experiment similar, pero` aqu el collapse de la funciodona ens diu que si un dels dos electrons passa el seu ltre, laltre no ho fara`. Per la

mateixa rao si, per exemple, lelectro de la dreta de la gura 18 passa el ltre, laltre ho

fara` amb probabilitat 0.5

Aquest collapse instantani no es el que hom podia esperar en una teoria local. En unateoria local no podem esperar que el fet de mesurar en un punt tingui inue`ncia instanta`nia

en un altre punt. Es podria pensar que els vectors en MQ no tenen tota la informacio

sobre lestat del sistema i que el comportament probabilistic i la no localitat de la seva

formulacio, es degut precisament ha aquesta pe`rdua dinformacio: el resultat de la mesura

es funcio del vector amb el qual ara representem lestat mes altre informacio continguda

en altres variables, que shan anomenat variables ocultes. En lexemple que ens ocupa

destats entrellacats, esperarem en una teoria local que els dos electrons comparteixin

32

una informacio (una variable) que determines el resultat de la mesura de cada un dells

independentment del resultat de la mesura daltre.

Figure 18: ltres right up Figure 19: ltres a b

Si ara mesurem simulta`niament el spin de la partcula 1 en la direccio a i el de la

partcula 2 en direccio b (gura 19), segons la meca`nica qua`ntica el valor esperat del

producte dels seus spins sera` (hem tret el factor h2/4 per simplicitat)

E(a,b) = | a b| (128)El ca`lcul detallat es pot trobar en lape`ndix B, pero` aqu anem a obtenir el mateix resultat

raonant la mesura. Suposem que sobre lelectro de la dreta fem una mesura Sa. Si

el resultat es +h/2 (h/2) podrem assegurar que lelectro de lesquerra esta` en lestat|Sa, (|Sa,+), doncs ja hem dit que el spin total es 0 en qualsevol direccio i ho hemvist explcitament en lequaci 124 Aleshores fent una mesura Sb sobre aquest electro de

lesquerra, la probabilitat dobtenir un resultat de signe contrari lobtingut sobre lelectro

de la dreta sera`

PSb|Sa,

( h

2

)= cos2

2, si Sa sobre lelectro de la dreta ha donat + h/2

PSb|Sa,+

(+h

2

)= cos2

2, si Sa sobre lelectro de la dreta ha donat h/2 (129)

on es langle entre els vectors a i b. Observem que la probabilitat es independent del

resultat de la mesura Sa. Aleshores, anomenant P (+) la probabilitat que les mesures Sa

i Sb donin el mateix signe, i P () si donen signe contrari, tindrem

E(a,b) = P (+) P () = 1 2P () = 1 2 cos2 2

= cos(2 cos2 = 1 + cos(2)

)(130)

33

que es el resultat obtingut en lape`ndix B.

En el mateix ape`ndix B es demostra una de les anomenades desigualtats de Bell que

qualsevol teoria local ha de complir

|E(a,b)E(a,c)| 1 + E(b,c) (131)

per a qualsevol conjunt de direccions arbitrries de a,b i c. No obstant si agafem per

exemple 2/3 langle entre el vector a i el vector b, i c al mig dells dos, aleshores segons

els ca`lculs obtinguts dins del marc de la meca`nica qua`ntica

|E(a,b) E(a,c)| = | cos(2/3) + cos(/3)| = 11 + E(b,c) = 1 cos(/3) = 1/2 (132)

que violen clarament la desigualtat de Bell. Per tan la meca`nica qua`ntica es una teoria NO

local i la comprovacio experimental de les seves prediccions ens indica la no existe`ncia de

les que hem anomenat variables ocultes i que podrien comportar el compartir informacio

entre els dos electrons per decidir el resultat de una mesura sobre un dells independent

de la mesura sobre laltre.

1.3.5 Postulat V

P5. Entre mesures el sistema evoluciona segons

ih

t|(t) = H|(t), (133)

on H es loperador Hamiltonia` del sistema.

En el cas dun sistema de partcules sense spin, postularem que lobservable associat

a una variable dina`mica A(x,p,t) com per exemple H, sobte reemplacant les variables

cla`ssiques cartesianes x,p, pels operadors X,P. El seguent postulat ens dira` com imple-

mentar aquests operadors.

Exemple.

Considerem el cas del moviment de una partcula de spin 1/2 dins dun camp mage`titic

uniforme. Si no estem interesats en la descripcio de la part espaial (generalment per estar

devant dun sistema on el comportament espaial es cla`ssic), lespai destats es de dimensio

2 i el hamiltonia` H sera`

H = B = gBh

S B = em

h

2 B (134)

on no hem inclo`s la part denergia cine`tica perque` ens interessa nomes la part de spin. Si

el camp magne`tic nomes te component en la direccio z, el H queda redut a

H =eh

2mB3 =

eh

2m

B 0

0 B

(135)

34

Els estats propis de H es diuen estacionaris i son

|Sz,+ = 1

0

amb valor propi E1 = eh

2mB

|Sz, = 0

1

amb valor propi E2 = eh

2mB (136)

Levolucio temporal de lestat | = a(t)

b(t)

vindra` donat per

ih

a(t)

b(t)

= eh

2mB

a(t)b(t)

(137)

Si per t=0 lestat inicial es un dels dos anteriors ( |1(0) = |Sz,+ o |2(0) = |Sz,) , aleshores la seva evolucio segons el cinque` postulat sera`

|1(t) = ei eB2m t 1

0

= e ihE1t

1

0

i |2(t) = e ihE2t

0

1

(138)

es a dir que si lelectro esta` inicialment amb el spin cap amunt o cap avall, aleshores

continuara` en un daquests estats.

En el cas mes general, on inicialment lestat per a t=0 es |(0) = a0|Sz,+ +b0|Sz,+ =

a0

b0

, la solucio sera`

|(t) = e ihE1t a0

0

+ e ihE2t

0

b0

= a0e ihE1t|Sz,++ b0e ihE2t|Sz, (139)

Considerem el cas de la gura 20 on lestat passa per un camp magne`tic uniforme

abans de mesurar el seu spin amb un SG. Si el sistema presenta un comportament cla`ssic

en el seu desplacament espail, el temps que estara` dins del camp B sera` simplement

L/v. Si inicialment lestat es |(0) = |Sx,+ = 12(|Sz,+ + |Sz,), a la sortida dela regio on hi ha camp magne`tic, o el que es el mateix, a lentrada del SG, lestat sera`

|(t) = 12(e

ihE1t|Sz,++e ihE2t|Sz,) i la probabilitat que al mesurar Sz sobre aquest

ens doni +h/2 sera`

PSz|(t)(+h

2) = |Sz,+|(t)|2 = 1

2|e ihE1t|2 = 1

2(140)

que no depe`n del temps i que evidentment ens porta a que Sz = 0. Tambe podemcalcular els altres dos valors esperats

Sx = (t)|Sx|(t) = h2

1

2

(ei

eB2m

t eieB2m

t) 0 1

1 0

ei eB2m t

eieB2m

t

=h

4

(ei

eB2m

t eieB2m

t) ei eB2m t

eieB2m

t

= h

2cos

(eB

mt)

Sy = h2sin

(eB

mt)

(141)

35

Figure 20: Evolucio dins un cap magne`tic i mesura posterior amb un SG

equacions que son ide`ntiques a les equacions cla`ssiques del moviment.

Operador devolucio temporal

En lexemple anterior hem vist que la solucio general ve donada per a(t)

b(t)

=

ei eB2m t 0

0 eieB2m

t

a(t = 0)

b(t = 0)

, U(t, 0)

ei eB2m t 0

0 eieB2m

t

(142)

La matriu U(t,0) es lanomenat operador de evolucio temporal, perque` relaciona lestat

en el temps t=0 amb lestat en el temps t. U es unitari. Calculem ara

eihH(tt0) = e

ih

eB2m

h3(tt0) = cos( eB2m

(t t0)) 1 0

0 1

+ i sin( eB

2m(t t0))

1 0

0 1

=

ei eB2m t 0

0 eieB2m

t

(143)

on hem fet us de lequacio

ein/2 = cos

2I + i sin

2n (144)

i veiem que loperador devolucio temporal es pot obtenir fent lexponencial del Hamil-

tonia`.

Per a un sistema qua`ntic general denirem loperador devolucio com aquell que satisfa`

la seguent relacio

|(t) = U(t, t0)|(t0) (145)amb les propietats

U(t3, t1) = U(t3, t2)U(t2, t1) t1t2t3

36

U1(t, t0) = U(t0, t)

U(t, t) = I (146)

Aquest operador haura` de vericar lequacio dina`mica del postulat 5

ihU(t, t0)

t= HU(t, t0), (147)

que es pot expressar de forma formal de manera integral com

U(t, t0) = I ih

tt0dtHU(t, t0). (148)

Si H no depe`n del temps, U es pot escriure com

U(t, t0) = exp [iH(t t0)/h] . (149)

i si designem per |En els estats propis dH (H|En = En|En) ho podem expressar com

U(t, t0) =n

exp [iEn(t t0)/h] |EnEn| (150)

Posant lestat inicial del sistema com combinacio lineal dels estats propis dH

|(t0) =n

En|(t0) |En (151)

la seva evolucio es pot escriurte com

|(t) = U(t, t0)|(t0) = exp [iH(t t0)/h]n

En|(t0) |En

=n

En|(t0) exp [iEn(t t0)/h] |En. (152)

1.3.6 Postulat VI

P6. Els operadors de posicio i moment satisfan les regles de commutacio

[Xi, Xj ] = 0, [Pi, Pj] = 0, [Xi, Pj] = ihi,jI. (153)

Com son els operadors de posicio i moment? Loperador de posicio ha de ser un operador

autoadjunt (es un observable) i els seus vectors propis i valors propis han de ser tals que

X|x = x|x (154)

Comx1|X|x2 = x2x1|x2x1|X|x2 = x1x1|x2

(x2 x1)x1|x2 = 0 (155)

Si x1 es diferent de x2, els dos estats han de ser ortogonals

x1|x2 = (x1 x2) (156)

37

Com X es autoadjunt la resolucio de la identitat es

I =

dx|xx|, ex: I|x0 =

dx|xx|x0 =

dx|x(x x0) = |x0 (157)

i la seva representacio espectral

X =

dx|xxx|, ex: X|x0 =

dx|xxx|x0 =

dx|xx(x x0) = x0|x0 (158)

La funcio delta de Dirac

Es deneix com

ba

f(x)(x x0) x =

f(x0) si a < x0 < b,

0 si x0 < a o x0 > b(159)

Una representacio geome`trica ve donada per la famlia de funcions

F(x) =

1

2si < x <

0 si |x| > ,(160)

amb > 0. En el lmit 0, la funcio F(x) sexten nomes a un interval molt petit alvoltant de x = 0 i b

af(x)

(lim0F(x)

)dx = f(0) lim

0

ba

F(x) dx = f(0), (161)

per qualsevol funcio contnua f(x). Aleshores,

(x) = lim0F(x). (162)

Altres representacions de la distribucio de Dirac son les seguents

(x) = lim20

122

exp

(1

2

x2

2

)(163)

= lim0

1

0

exp(x) cos(kx)dk (164)

= limc

sin(cx)

x= lim

c1 cos(cx)

cx2= lim

csin2(cx/2)

2c(x/2)2(165)

= limc

1

2

cc

exp(ikx) dk = limc

1

2

cc

cos(kx) dk. (166)

A continuacio anunciem algunes de les propietats de la de Dirac.

(x) = (x) = x(x)x(x) = 0, x2(x) = 0

38

(x) = (x)(ax) = a1(x) (a0)

(x2 a2) = (2a)1[(x a) + (x + a)] (a0)(a x)(x b) dx = (a b)

f(x)(x a) = f(a)(x a)f(x)(n)(x) dx = (1)nf (n)(0).

(g(x)) =i

1

|g(xi)| (x xi), on els xi son 0s de g(x) (167)

Aquestes es poden demostrar multiplicant ambdos membres de la cada igualtat per una

funcio f(x) i integrant, tenint en compte que la funcio de Dirac no pot formar part del

resultat si no es dins duna integral. Per exemple x(x) = (x) doncs

dx(x)xf(x) =

dx(x)d

dx(xf(x)) =

dx(x)(f(x) + xf (x)) = f(0) (168)

Funcio dona en lespai de posicions

|(t) =

dx|xx|(t) =

dx(x, t)|x (169)on x|(t) (x, t) es la funcio dona en lespai de posicions i que representa els elementsde matriu de lestat |(t) en la base de posicions {|x}. La normalitzacio de lestat lapodem expressar com

1 = | =

dx(x, t)x|

dx(x, t)|x =

dxdx(x, t)(x, t)x|x = dxdx(x, t)(x, t)(x x) =

dx(x, t)(x, t) =

dx|(x, t)|2 (170)

La probabilitat de prese`ncia en la posicio x vindra` donada

PX|(x) = |x||2 = |(x, t)|2 (171)

pero` com x es una variable contnua no podem parlar de probabilitat en un punt, nomes

podrem parlar de probabilitad de prese`ncia en un interval donat. Per tant, la probabilitat

de prese`nci en linterval [a, b] sera`

PX|([a, b]) = ba|x||2dx =

ba|(x, t)|2dx (172)

que denint el projector I[a,b] ba |xx|dx, queda expressat de forma similar a 94 comPX|([a, b]) = |I[a,b]||2 =

ba|(x, t)|2dx (173)

39

Loperador P en la representacio de posicions

A ligual que per loperador X, P sera` un operador autoadjunt que tindra` una base

dautovectors

P |p = p|p, I =

dp|pp|, P =

dp|ppp| (174)Pero` quina es la representacio de P en la base de posicions (x|P |x)? Del postulat 6dedum

x|[X,P ]|x = x|XP PX|x = (x x)x|P |x = ih(x x) (175)

i per tant

x|P |x = ih(x x) doncs (x x)(x x) = (x x) (176)

En general

x|P | =

dxx|P |xx| =

dx(ih(x x))(x) = ih x

(x) (177)

aleshores

P | = P

dx(x)|x =

dx|xx|P | =

dx(ih x

)(x)|x

P n| =

dx(ih x

)n(x)|x (178)

Quins son els autovalors de P expressats en la base de posicions?

P |p = p|p =

dx(ih xx|p)|x

x|P |p = px|p = ih xx|p x|p = ce ih px = 1

2he

ihpx (179)

on c sha pres per normalitzar els estats

p|p =

dxp|xx|p = 12h

dxe

ih(pp)x = (p p) (180)

Funcio dona en lespai de moments

|(t) =

dp|pp|(t) =

dp(p, t)|p (181)

on p|(t) (p, t) es la funcio dona en lespai de moments i que representa els elementsde matriu de lestat |(t) en la base de moments {|p}. La probabilitat de mesurar p enel interval [p, p + dp] vindra` donada

PP |(p) = |p||2dp = |(p, t)|2dp (182)

40

La relacio entre les dues representacions es la transformada de Fourier

(p, t) = p| =

dxp|xx| =

dx12h

eihpx(x, t)

(x, t) =

dp12h

eihpx(p, t) (183)

i per analogia amb el que hem fet anteriorment amb loperador P en la representacio de

posicions

p|X| = ih pp| = ih

p(p)

X| = X

dp(p)|p =

dp|pp|X| =

dp(ih

p)(p)|p (184)

Per tant, tenint en compte que

x|P n| = (ih(x)x

)n(x)

x|Xn| = xn(x)p|P n| = pn(p)p|Xn| = (ih

p)n(p) (185)

podem expressar lequacio devolucio temporal tant en la representacio de posicions com

en la de moments

x|ih t|(t) = x|

(P 2

2m+ V ( X)

)|(t) ih(x, t)

t=((ihx)2 + V (x)

)(x, t)

p|ih t|(t) = p|

(P 2

2m+ V ( X)

)|(t) ih(p, t)

t=

(p2

2m+ V (ihp)

)(p, t)

(186)

1.3.7 Exemples

Paquet dones gaussia`

Recordem que una gaussiana es una distribucio de probabilitats

N(, 2) f(x) = 122

e12

(x)22 x

x = (x)2 x2 x2 = 2 (187)

Aleshores el paquet dones on la seva probabilitat de localitzacio sigui una gaussiana

centrada al 0 (X| = 0) i amb una incertesa donada |X = , sera`

|x||2 = |(x)|2 = N(0, (x)2) (x) = 1(2(x)2)1/4

e 1

4x2

(x)2 (188)

41

i la seva representacio en lespai de moments sera`

(p) =12h

1

(2(x)2)1/4

dxe

ihpx 1

4x2

(x)2 =12h

1

(2(x)2)1/4e

p2/h24 14(X)2

4(x)2 =

2

2h(2(x)2)1/4e

14

p2(h2

4(x)2

)=

(1

2

4(x)2

h2

)1/4e

14

p2(h2

4(x)2

)(189)

perque`dxeax

2bx =

ae

b2

4a . Veiem que per analogia amb lespai de posicions, tenim

que la funcio de densitat de moments tambe es una gaussiana amb una dispersio

(p)2 =h2

4(x)2 px = h

2(190)

Aix doncs els paquets dones gaussians saturen la relacio dincertesa. Si tenim una

gaussiana molt estreta en x, aleshores es molt ampla en p. El paquet considerat esta`

centrat a 0 tant en lespai de moments com en lespai de posicions.

De la denicio de gaussiana, el paquet dones gaussia` en el espai de moments que esta`

centrat a p = p0 sera` evidentment

(p) =1

(2(p)2)1/4e 1

4(pp0)2(p)2 =

12h

1

(2(x)2)1/4

dxe

ih(pp0)x 14 x

2

(x)2

(x) =1

(2(x)2)1/4e 1

4x2

(x)2+ i

hp0x (191)

En el cas mes general on els paquets estan centrats en lespai de posicions a x = x0 i enel de moments a p = p0 tindrem

(x) =

(1

2(x)2

)1/4exp

(ip0(x x0/2)

h (x x0)

2

4(x)2

).

(p) =

(1

2(p)2

)1/4exp

(ix0(p p0/2)

h (p p0)

2

4(p)2

). (192)

Evolucio temporal lliure de |pAgafem el H lliure, H = P 2/2m, i mirem com evolucionen els estats propis de

loperador P , |p, sota aquest Hamiltonia`. Com aquets estats son propis tambe dHevolucionaran amb una fase

eihHt|p = e ih p

2

2mt|p (193)

i en la representacio de posicions vindran donats per

(x, t) = x|e ihHt|p = e ih p2

2mtx|p = 1

2hei

ph(x p

2mt) (194)

42

Si p > 0 (p < 0), (x, t) representa una ona plana que va cap a la dreta (esquerra) amb

velocitat

vf =|p|2m

=

E(p)

2m, E(p) p

2

2m(195)

que sanomena velocitat de fase doncs es aquella que ha de tenir un punt per a que` la seva

fase sigui constant en una ona monocroma`tica com la considerada. Notem que aquesta

velocitat de fase es precisament la meitat de la velocitat cla`ssica (vc) per a la mateixa

energia E

E =1

2mv2c vc =

2E

m= 2vf (196)

Aquesta aparent paradoxa es deguda a que els estats |p no son fsicament realitzablesperque` no estan normalitzats

p|p = 12h

1dx = (197)

i quedara` resolta, com veurem, quant considerem estats fsicament realitzables.

Evolucio temporal lliure dun paquet dones gaussia`

Agafem el H lliure, H = P 2/2m, i mirem com evoluciona un dun paquet dones

gaussia` sota aquest Hamiltonia`. Considerem

(x, 0) =1

(2(x)2)1/4e 1

4x2

(x)2+ i

hp0x

(p, 0) =1

(2(p)2)1/4e 1

4(pp0)2(p)2 (198)

Levolucio en el temps sera`

|(t) = e ihHt|(0) =

dpeihHt|pp|(0) =

dpe

ih

p2

2mt(p, 0)|p (199)

Veiem qeu passa en lespai de moments

(p, t) = p|(t) = e ihE(p)t(p, 0) |(p, t)|2 = |(p, 0)|2 (200)i per tant la funcio densitat de probabilitat en lespai de moments no canvia.

Veiem que` passa en lespai de posicions

(x, t) =12h

dpe

ihpx(p, t) =

12h

dpe

ih(px p2

2mt)(p, 0) (201)

Observem que (x, t) es una superposicio dones planes pesades amb coecients reals

distributs segons una gaussiana centrada en p0. Fent al ca`lcul obtindrem

(x, t) =12h

dpe

ih(px p2

2mt) 1

(2(p)2)1/4e 1

4(pp0)2(p)2

= 1/4(

2p/h

1 + i2(p)2t/mh

)1/2e

ip0x/h2(p/h)2x2/2ip20t/2mh1+i2(p)2t/mh (202)

43

i la corresponent probabilitat de posicio en x sera`

|(x, t)|2 = 1/22p/h

(1 + 4(p)4t2/m2h2)1/2e 2(p/h)

2(xvgt)21+4(p)4t2/m2h2 , vg p0/m (203)

De la darrera equacio esta` clar que la posicio mitjana del paquet evoluciona amb

vg = po/m, que anomenarem velocitat de grup, i que la dispersio en x evoluciona com

1

2

1

(x(t))2=

2(p/h)2

1 + 4(p)4t2/m2h2

(x(t))2 =1

4

h2

(p)2

(1 +

4(p)4

m2h2t2)

= (x(0))2 +(p)2

m2t2 (204)

veiem que la dispersio quadra`tica en posicio del paquet augmenta proporcional a vt.

-4 -2 2 4

-0.4

-0.2

0.2

0.4

-4 -2 2 4

-0.4

-0.2

0.2

0.4

-4 -2 2 4-0.2

0.2

0.4

0.6

-4 -2 2 4

-0.4

-0.2

0.2

0.4

-4 -2 2 4

0.10.20.30.40.5

-4 -2 2 4

0.10.20.30.40.5

Figure 21: Evolucio dun paquet dones gaussia` amb p0 = 1, per a t=0 (lnia contnua),

t=1 (lnia discontnua) i t=2 (lnea a punts). Es representen 1) |(p, t)|2, 2) |(x, t)|2, 3)la part real de (x, t), 4) la part imagina`ria de (x, t), 5) par real duna ona plana amb

p = p0 i 6) par real duna ona plana amb p = 2p0

En la gura 21 es representa levolucio dun paquet dones gaussia` amb p0 = 1, m = 1,

per a t=0 (lnia contnua), t=1 (lnia discontnua) i t=2 (lnea a punts). En la primera

44

gura tenim |(p, t)|2 on observen que no varia amb el temps. En la segona gura tenim|(x, t)|2 on observem el desplacament de la posicio mitjana amb vg = p0/m = 1 ilaugment de la seva dispersio en funcio del temps. En les gures quarta i cinquena

es representen la part real i la part imagina`ria de (x, t). Ambdues tenen una evolucio

complicada al ser combinacio dinnites ones planes cada una delles desplacant-se amb

una velocitat de fase diferent (p/m) i pesada amb (p, 0). Com exemple, en les gures

sisena i setena es representa levolucio de la part real de dues ones planes, una amb p = p0

i p = 2p0. Veiem que les seves velocitats de propagacio son la meitat de les esperades

cla`ssicament.

Evolucio lliure dun paquet dones

Els estats fsics realitzables seran una combinacio lineal daquests estats degudament

normalitzada

|(t = 0) =

dp(p)|p amb (t = 0)|(t = 0) = 1 (205)

La seva evolucio temporal vindra` donada per

|(t) = e ihHt|(0) =

dp(p)eihE(p)t|p , E(p) p

2

2m(206)

que en la representacio de posicions ens porta a

(x, t) = x|(t) =

dp(p)eihE(p)tx|p =

dp(p)

12h

ei(pxhE(p)

ht)

=12

dk(k)ei(kxwt), k p

h, w E(p)

h=

hk2

2m, (k) = (kh)

h

(207)

Si suposem que la funcio dona esta` picada al voltant dun valor k0

(k) 0 + 0(k k0) + , 0 (k0), 0 (d

dk

)k=k0

(208)

podrem aproximar la funcio dona per

(x, t) 12

dk(k)ei(kx(w0+w

0(kk0))t) =

12

ds(k0 + s)e

i((k0+s)x(w0+w0s)t)

=12

ei(w0t+k0w0t)

ds(k0 + s)ei(k0+s)(xw0t) = ei(w0t+k0w

0t)(x w0t, 0)

(209)

Per tant

|(x, t)|2 = |(x w0t, 0)|2 (210)

45

don deduim que la funcio densitat de probabilitat a lespai es propaga amb una velocitat

w0 i mantenint la seva forma. Aquesta velocitat es la que hem anomenat velocitat de

grup

vg = (d/dk)k=k0 = hk0/m, (211)

i que coincideix amb la velocitat cla`ssica. Podem pensar que estem davant duna ona

plana monocroma`tica modulada per una funcio que es desplaca amb velocitat vg.

Per altra banda sabem per 195 que la velocitat de fase es w/k i que depe`n de k. Per

aixo`, encara que no ho hem obtingut degut a laproximacio de primer ordre considerada,

la forma del paquet si pot variar en el temps, dispersant-se com ho hem vist amb el paquet

gaussia`.

Nota: algunes velocitats de fase poden ser mes gran de c, pero` la velocitat de grup s

ha de ser mes petita que c, perque` ens dona la propagacio de lenergia.

Difraccio per una escletxa

Suposem una partcula que surt de lorigent de coordenades amb moment p = (0, py0, 0),

dirigint-se lliurament cap a una a una escletxa vertical situada en el mateix eix y i

damplada x = 2b (gura 22) . Assumint un comportament gaussia`, la seva evolucio

Figure 22: Experiment de lescletxa

abans darribar a lescletxa, vindra` donada per

(x, y, z, t) = (x, t)(y, t)(z, t) (212)

on (x, t), (y, t), (z, t) venen donats per lequacio 202 amb p0 igual a 0, py0, 0 i dispers-

sions p iguals a px,py,pz respectivament.

46

Al arribar a la paret amb lescletxa, com assumiren que la paret representa un potencial

innit, la part de la funciona dona fora de la mateixa (|x| > b) rebotara` i nomes passara`aquella que |x| < b. Una simulacio es pot veure en la gura 23 on per simplicitat no hi esla depende`ncia en z.

Figure 23: Evolucio dun paquet gaussia` a traves duna escletxa

Per simplicar, i sense efectes qualitatius en el resultats que volem resaltar, consider-

arem que les parts en y i z tenen un comportament totalment cla`ssic, en contrapossicio

a la part en x on assumirem que px(2b) h, i per tant no podem obviar el seu com-portament qua`ntic. Amb aquestes simplicacions, la funcio dona despre`s de lescletxa

sera`:

(x, 0) =1

(2(x)2)1/4e 1

4x2

(x)2 si |x| < b ,i (x) = 0 si |x| b (213)

on x es la dispersio que te el paquet al arribar a lescletxa segons lequacio 204 (nota:

la funcio no esta normalitzada a 1, bb ||2dx dona precissament la probabilitat de pasar

lescletxa). Per trobar la seva evolucio buscarem primer la funcio dona en lespai de

moments

(p, 0) =12h

1

(2(x)2)1/4

bb

de i

hp 1

42

(x)2 (214)

que evoliciona lliuremen com

(p, t) = eih

p2

2mt(p, 0) (215)

47

i en lespai de posicions

(x, t) =

dp12h

eihpx(p, t) =

1

2h

1

(2(x)2)1/4

dpe

ihpx i

hp2

2mt bb

de i

hp 1

42

(x)2

(216)

Aquesta doble integral es pot fer integrant primer la variable p

1

2h

1

(2(x)2)1/4

2hm

ite

imx2

ht

bb

de2(

14(x)2

+ im4ht

)+ imx

ht (217)

pero` que nalment no te una expressio analtica degut als lmits nits de la integral

gaussiana. Aquesta evolucio te clarament dos casos extrems. En el cas que x > b la funcio dona a la sortida

de lescletxa sera` aproximadament constant. Quant |x| > b podem despreciar el terme2im/(4ht) devant xim/(4ht), i fent el lmit 1/x 0 obtenim

|(x, t)|2 = 8mht

1

(2(x)2)1/2sin2(mbx/ht)

(mx/ht)2(218)

que representa el tpic resultat de la difraccio.

Aquet mateix resultat el podem obtenir agafant directament com una constant la

funcio dona a la sortida de lescletxa (x, 0) = A si |x| < b i 0 la resta. Per tant enlespai de moments tindrem

(p, 0) =A2h

bb

eihpxdx (219)

que ens porta a una probabilitat de

|(p, 0)|2 = 2|A|2

h

sin2(pb/h)

(p/h)2(220)

Despres dun temps sufucienment llarg la distribucio amb x la podem obtenir posant

x = pmt en lexpressio anterior

|(x, t)|2 = 2|A|2

h

sin2(mxb/ht)

(mx/ht)2(221)

Si despres de lescletxa tenim una pantalla localitzada a una dista`ncia L, com hem

considerat que en la direccio y tenim un desplacament cla`ssic amb una velocitat vy =

py0/m, trigara` a arribar a la pantalla un temps t = Lm/py0. Substituint aquest temps

en la darrera expressio i si py0 = h2, tenim

|(x, t)|2 sin2(py0xb/hL)

(py0x/hL)2=

sin2(2xb/L)

(2x/L)2(222)

48

Figure 24: Experiment de difraccio

aquets probabilita es nulla quant x = nL/2b, n = 1, 2, ..., com es pot deduir de la gura24

Un estudi similar es pot fer per lexperiment de la docle escletxa. Lape`ndix D esta`

dedicat a lestudi de la interfere`ncia observada en els experiments de doble escletxa i al

problema que planteixa la pregunta de per on ha pasat la partcula. A mes a mes en

lape`ndix E es discuteix el problema de la mesura utilitzant algunes de les observacions

obtingudes en la discussio de lexperiment de doble escletxa.

Oscillador harmo`nicConsiderem el hamiltonia`

H =P 2

2m+

1

2mw2X2 (223)

Dirac va introduir una solucio algebraica daquest problema, sense necessitat de prendre

una representacio concreta. Introdum els operadors

a

m

2h

(X i P

m

)a = a

[a, a+] =1

2h(i[X,P ] + i[P,X]) = I

a+a =mw

2h(X2 +

P 2

m2w2+ i

XP PXmw

) =1

hwH 1

2(224)

El hamiltonia` sescriu

H = hw(a+a +1

2) = hw(N +

1

2), N a+a (225)

i no commuta amb els operadors a

[H, a] = hw[a+a, a] = hw(a+[a, a] + [a+, a]a) = hw(a) = hwa (226)

49

Aleshores

H = h

12

0 0 0 0 3

20 0

0 0 52

0 0 0 0 7

2

......

......

. . .

, N =

0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 2 0 0 0 0 3 ...

......

.... . .

,

a =

01 0 0

0 02 0

0 0 03

0 0 0 0 ...

......

.... . .

, a+ =

0 0 0 0 1 0 0 0 0

2 0 0

0 03 0

......

......

. . .

X =

h

2m

01 0 0

1 02 0

02 0

3

0 03 0

......

......

. . .

, P = i

1

2mh

0 1 0 0 1 0 2 0 0

2 0 3

0 03 0

......

......

. . .

X2 =h

2m

1 02 0

0 3 06

2 0 5 0 0

6 0 7

......

......

. . .

, P 2 =1

2mh

1 0 2 0 0 3 0 6

2 0 5 0 0 6 0 7 ...

......

.... . .

(233)

i les relacions dincertesa seran

(xn)2 = En|X2|En En|X|En = h

2mw(2n + 1) 0 = h

mw(n +

1

2)

(pn)2 = En|P 2|En En|P |En = 1

2mhw(2n+ 1) 0 = mhw(n + 1

2)

(234)

Veiem doncs que (xn)2(pn)

2 = h2(n+ 12)2 i per tant lestat fonamental satura la relacio

dincertesa, pero` no els altres estats.

Anem a veure els estats propis dH en lespai de posicions

0 = x|a|E0 = x|

mw

2h(X + i

P

mw)|E0

=

mw

2h

(xx|E0+ i

mwx|

dx(ih

xx|E0|x

)

=

mw

2h(x +

h

mw

x)x|E0 (235)

51

si x2o h/mw aleshores

(x + x20d

dx)0(x) = 0 0(x) = 1

1/4x1/20

e 1

2

(xx0

)2

1(x) = x|a+|E0 = x|

mw

2h(X i P

mw)|E0 =

mw

2h(x h

mw

x)x|E0 =

12x0

((x x20)

d

dx

)0(x) =

12x0

H1(x)0(x) (236)

on H1(x) es el polinomi dHermite. Com n+1(x) = x| 1n+1a+|En podem trobar lafuncio dona n+1 a partir de n. Al nal resulta

n(x) =

1

x02nn!

Hn(x)e 1

2

(xx0

)2(237)

on Hn(x) son els polinomis dHermite.

Estats Coherents

Volem construir estats qua`ntics de loscillador harmo`nic que tinguin una evoluciocla`ssica

X(t) = (t) |X |(t) = xM cos(t + 0)H(t) = (t) |H |(t) = 1

2m2x2M = H(0) (H no depend de t)

(238)

Utilitzant els operadors de creacio i aniquilacio

x(t) =

h

2m[a(t) + a+(t)] (239)

i

H(0) = h(0)

a+a + 12(0)

. (240)

Comd Adt

=1

ih[A,H ]+

A

t

. (241)

tindrem

ihd

dta = [a, H ] = h a , ih d

dta+ = [a+, H ] = h a+ , (242)

i aleshores

a(t) = a(0) exp(it),

a+(t) = a+(0) exp(it) = a(0) exp(it),

52

on

a(0) (0) |a|(0) = z0 = |z0| exp(i0) (243)Amb aixo` tenim

X(t) =

h

2m

[a(0) exp(it) + a(0) exp(it)

]

=

h

2m|z0|

{exp [i(t + 0)] + exp [i(t+ 0)]

}

=

2h

m|z0| cos (t + 0) . (244)

i per tant necessitem que

xM =2h/m|z0|, H(0) = 1

2m2x2M = h|z0|2 (245)

O sigui |z0|2 es lenergia de lestat cla`ssic amb unitats de hw (els estats cla`ssics corres-pondran a |z0|2 >> 1).

Per tant podem escriure

h|z0|2 = H(0) = h(0)

a+a + 12(0)

h (0) |a+a|(0) . (246)

veiem que els estats que estem buscant son aquells que per t=0 son propis de a amb

valor propi z0.

Aquests estats propis da i normalitzats a la unitat, sanomenen estats coherents.

a|z = z|z |z =n

cn|En (H|En = En|En) (247)

com

a|z =n

cna|En =n

cnn |En1 = z

n

cn|En cn+1 = zn + 1

cn

cn = zn

n!

c0 (248)

i c0 es determina al demanar que lestat estigui normalitzat (z|z = 1 c0 = e|z|2/2).

|z = exp(|z|2/2)n

znn!|En = exp(|z|2/2)

n

(za+)n

n!|E0. (249)

La probabilitat de mesurar una energia En en aquest estats |z sera`

Pn = |En|z|2 = exp(|z|2) |z|2n

n!. (250)

que es una distribucio de Poisoon amb valor mitja` i varianca igual a |z|2

n = |z|22 = n2 n2 = |z|2 (251)

53

Aixo` ens permet calcular de forma senzilla

H = n

PnEn = hn

Pn

(n +

1

2

)= h(n+ 1

2) = h

(|z|2 + 1

2

)

H2 = n

PnE2n = (h)

2n

Pn

(n2 + n +

1

4

)

= (h)2(n2+ n+ 1

4

)= (h)2

(|z|4 + 2|z|2 + 1

4

)

H

H =H2 H2H =

|z||z|2 + 1/2

1

|z| (252)

Per tant en aquest estats coherents, encara que no son propis dH, la seva energia esta`

ben denida (la incertesa es molt petita comparada amb la pro`pia energia, i per aixo` es

impossible observar-la experimentalment).

Els estats que inicialment son coherents, mantenen la seva cohere`ncia en el temps.

Efectivament

|z(t) = exp (iHt/h) |z(0) = exp (iHt/h) exp(|z0|2/2)n

zn0n!|En

= exp(|z0|2/2)n

zn0n!

exp[it

(n +

1

2

)]|En

= exp (it/2) exp(|z0|2/2)n

[z0 exp (it)]nn!

|En

= exp (it/2) |z0 exp (it) . (253)

doncs |z(t) es tambe propi de a amb valor propi z0 exp (it) zt, i per tant el valoresperat de lenergia es mante constant i amb la mateixa varianca.

Per altra banda podem calcular X, P posant-los en funcio dels operador a i a+,

X(t) = z(t)|X|z(t) =

h

2mz(t)|a + a+|z(t) =

h

2m(zt + z

t )

=

2h

m|z0| cos(t + 0) = xM cos(t + 0)

P (t) = z(t)|P |z(t) = i

mh

2z(t)|a a+|z(t) = i

mh

2(zt zt )

=2mh|z0| sin(t 0) = mxM sin(t+ 0) (254)

Per calcular les seves dispersions denim els operadors b a zt i b+ a+ zt quecompleixen [b, b+] = [a, a+] = 1 i b|z(t) = 0. Aleshores

(X(t))2 = z(t)|(X X)2|z(t) = h2m

z(t)|(a + a+ zt zt )2|z(t)

=h

2mz(t)|(b + b+)2|z(t) = h

2mz(t)|bb+|z(t) = h

2m

54

on

x0 = X(t) = xM cos(wt+0), p0 = P (t) = mwxM sin(wt+0), x =

h

2m(262)

Veiem doncs que es una gaussiana que es desplaca seguint la trajecto`ria cla`ssica, com

volem.

1.3.8 Imatges devolucio temporal

En meca`nica qua`ntica les uniques prediccions que es fan com a resultat de una mesura,

i pertant que es poden comparar-se amb els experiments, venen donades pel tercer pos-

tulat: el resultat duna mesura feta en linstant t de lobservable A sobre lestat |(t) eslautovalor ai amb probabilitat

PA|(t)(ai) = |ai|(t)|2 (263)

Fins ara hem treballat amb la imatge on son els estats que evolucionen segons |(t) =U(t, 0)|(0), mentre que els operadors no ho fan (nota: aixo` no vol dir que els operadorsno puguin tenir una depende`ncia explcita en el temps, doncs per exemple, en el cas que

estudiem un camp magne`tic variable en el temps, si hi haura` una depende`ncia en t pero`

no una evolucio com la donada pel cinque` postulat). Pero` com

ai|(t) = ai|U(0) = U ai|(0) , (U U(t, 0)) (264)

i |U ai es el vector propi de loperador Aevol(t) U AU amb valor propi ai, la mateixaprobabilitat predita anteriorment la podem obtenir pensant que son els operadors els que

evolucionen i no els estats: el resultat duna mesura feta en linstant t de lobservabl

Documents

MEcànica Quàntica