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Universita degli Studi di Bologna
Scuola di Ingegneria e Architettura
Corso di Laurea Magistrale in INGEGNERIA MECCANICA
Sede di Forlı
MECCANICA E DINAMICADELLE MACCHINE LM
– Dispense del Corso –
prof. Alessandro [email protected]
http://www.unibo.it/docenti/alessandro.rivola
http://diem1.ing.unibo.it/mechmach/rivola
https://campus.unibo.it
PROGRAMMA del CORSO di
MECCANICA E DINAMICA DELLE MACCHINE LM
Anno Accademico 2015-16
Parte I
RichiamiMacchina e meccanismo. Membri e coppie cinematiche. Catena cinematica. Gradi di liberta di unmeccanismo. Sistemi articolati. Teorema di Rivals. Centro di istantanea rotazione. Teorema diKennedy-Aronhold. Centro di curvatura. Analisi cinematica di sistemi articolati piani.
1. Sistemi articolati.I sistemi articolati piani. Analisi cinematica con approccio modulare. Gruppi di Assur. Sintesicinematica. Il quadrilatero articolato. Regola di Grashof. Sintesi di un quadrilatero manovella-bilanciere. Sintesi di un quadrilatero bilanciere-bilanciere. Generazione di movimenti. Sintesigrafica: segmento di biella per due e tre posizioni. Tracciamento delle traiettorie: formula diEulero-Savary; circonferenza dei flessi; centro di curvatura della traiettoria; teorema di Roberts;esempi e applicazioni. Sintesi grafica di un quadrilatero per la generazione di traiettorie. Sintesicinematica con metodi analitici: la diade; il quadrilatero articolato (generazione di movimenti,traiettorie e funzioni); esempi; tecnica del loop chiuso; order synthesis.
2. Meccanismi con camme.Classificazione. Legge di moto. Angolo di pressione. Tracciamento del profilo con metodo grafico.Tracciamento del profilo per via analitica con il metodo dell’inviluppo. Analisi cinematica: sistemiarticolati equivalenti. Camma con punteria a coltello. Camma con punteria a rotella. Camma conpunteria a piattello. Camma con bilanciere a rotella. Problema del sottotaglio.
3. Ruote dentate.Tracciamento di profili coniugati. Ruote dentate ad evolvente. Dentiera di riferimento, interassedi riferimento, interasse di lavoro, angolo di pressione di lavoro. Proporzionamento ruote normali.Ruote corrette. Segmento di azione; arco di azione; condizione di continuita; fattore di ricoprimento.Rigidezza di ingranamento. Condizione di non interferenza. Cenni sul taglio delle ruote dentate.Misura Wildhaber. Correzione di ruote dentate. Ruote dentate a denti elicoidali. Ruote dentateconiche. Trasmissione del moto tra assi sghembi con ruote dentate.
Parte II
4. Richiami di Dinamica e Fondamenti di Meccanica delle Vibrazioni.Richiami di dinamica: azioni di inerzia; energia cinetica; principio di D’Alembert; principio deilavori virtuali; equazione energetica; teorema di conservazione dell’energia meccanica; gradi di li-berta; equazioni di Lagrange; riduzione di inerzie e azioni. Fondamenti di meccanica delle vibrazioni:sistemi continui e discreti; elementi elastici; elementi dissipativi (smorzatore viscoso; attrito coulom-biano; smorzamento strutturale); il moto armonico (rappresentazione vettoriale; rappresentazionecon numeri complessi; lavoro compiuto in moti armonici).
5. Sistemi ad un grado di liberta.Vibrazioni libere: il sistema molla-smorzatore; il sistema massa-smorzatore; il sistema massa-molla;il sistema massa-molla-smorzatore; piano delle fasi; metodo del decremento logaritmico; attrito cou-lombiano; smorzamento isteretico. Metodi energetici: introduzione al metodo di Rayleigh. Vibra-zioni forzate: risposta all’eccitazione armonica (risonanza di ampiezza e di fase); funzione rispostain frequenza (FRF); metodo della banda di mezza potenza; eccitazione proporzionale al quadratodella frequenza; eccitazione armonica in risonanza; vibrazioni forzate con smorzamento strutturale;risposta all’impulso; risposta all’eccitazione generica.
6. Sistemi a due gradi di liberta.Equazioni del moto: scelta coordinate; accoppiamento statico e dinamico. Vibrazioni libere: equa-zione caratteristica; calcolo pulsazioni naturali; modi di vibrare; condizioni iniziali; moto rigido.Vibrazioni forzate: matrice impedenza; esempio; progetto di uno smorzatore dinamico.
7. Sistemi a molti gradi di liberta.Sistemi senza smorzamento: matrice massa e matrice rigidezza; autovalori e autovettori; ortogo-nalita dei modi; matrice modale; disaccoppiamento; moti rigidi. Sistemi smorzati: smorzamentoproporzionale. Vibrazioni forzate: metodo modale e pseudo-modale.
8. Sistemi continui.Corda vibrante. Vibrazioni assiali di un’asta rettilinea. Condizione di ortogonalita delle formemodali. Vibrazioni torsionali delle travi. Vibrazioni flessionali delle travi. Metodi approssimati:Rayleigh e Rayleigh-Ritz. Vibrazioni forzate (cenni).
9. Misure di vibrazione e analisi modale.Componenti della catena di misura. Analisi nel dominio della frequenza. Il campionamento: teore-ma di Shannon; aliasing. Trasformata discreta di Fourier. Introduzione all’analisi modale sperimen-tale: funzione di trasferimento e Funzione Risposta in Frequenza (FRF); rilievo sperimentale dellaFRF; fondamenti analitici dell’analisi modale; estrazione delle forme modali (metodo ad un gdl);schema del procedimento. Prove sperimentali: misura di frequenze naturali; scelta dei parametri diacquisizione; eccitazione di una struttura con shaker elettrodinamico e con martello strumentato;rilievo sperimentale di FRF; osservazioni sulla funzione coerenza; estrazione dei parametri modali;visualizzazione dei modi di vibrare.
10. ModellazioneModelli a parametri concentrati. Modellazione a parametri concentrati di meccanismi: principigenerali; la validazione; impiego del modello; esempi (meccanismo per moto rettilineo alterno; di-stribuzione desmodromica; meccanismo per moto rotatorio alterno). Cenni al metodo degli elementifiniti.
Testi consigliati
– Parte I:
(a) Funaioli E., Maggiore A., Meneghetti U., Lezioni di Meccanica applicata alle macchine, (I, IIe III parte), ed. Patron, Bologna.
(b) Erdman A.G., Sandor G.N., Kota S., Mechanism Design: Analysis and Synthesis, PrenticeHall, 4th edition. ISBN: 0130408727.
(c) Norton R.L., Cam Design and Manufacturing Handbook, Industrial Press. ISBN: 0831131225.
(d) Litvin F.L., Fuentes A., Gear Geometry and Applied Theory, Cambridge University Press, 2ndedition. ISBN: 0521815177.
– Parte II:
(e) Rao S.S., Mechanical vibrations, Third edition, Addison Wesley Pub. Company, 1995.
(f) D.J. Inman, Engineering Vibration, Prentice Hall, 1994.
– Dispense redatte dal docente.
– Materiale relativo alle Esercitazioni svolte durante il corso.
Modalita di esame
La prova d’esame e orale e verte sugli argomenti svolti durante le lezioni e le esercitazioni. Al momento disostenere l’esame, il candidato e tenuto a consegnare alla commissione esaminatrice alcuni esercizi svoltisu un quaderno secondo le modalita specificate in:http://diem1.ing.unibo.it/mechmach/rivola/forli/mdm/Esercitazioni_Modalita.pdf.
Modalita di iscrizione all’esame
Per ciascun appello d’esame i candidati devono iscriversi utilizzando esclusivamentehttps://almaesami.unibo.it.
Universita degli Studi di Bologna
Scuola di Ingegneria e Architettura
Corso di Laurea Magistrale in INGEGNERIA MECCANICA
Sede di Forlı
MECCANICA E DINAMICADELLE MACCHINE LM
– ESERCITAZIONI –
prof. Alessandro [email protected]
http://www.unibo.it/docenti/alessandro.rivola
http://diem1.ing.unibo.it/mechmach/rivola
https://campus.unibo.it
ESERCITAZIONI del CORSO di
MECCANICA E DINAMICA DELLE MACCHINE LM
Anno Accademico 2015-16
1 Meccanismo per macchina cucitrice (*)
2 Sintesi cinematica di un quadrilatero articolato (*)
3 Proporzionamento di un meccanismo a camma (*)
4 Esercizi su ruote dentate
5 Riduttore a due stadi (*)
6 Equivalenza dinamica: riduzione
7 Calcolo di costanti elastiche
8 Applicazione del metodo di Rayleigh ad un continuo
9 Frequenza propria di una colonna con serbatoio elevato (*)
10 Risposta di un sistema ad un grado di liberta
11 Sistema a due gradi di liberta
12 Vibrazioni torsionali di un motore marino (*)
13 Modifiche strutturali (*)
14 Definizione dei parametri di acquisizione (*)
15 Vibrazioni flessionali con FEM
Modalita di esame
Le esercitazioni riguardano complementi ed applicazioni degli argomenti del corso.Tra le esercitazioni elencate, quelle svolte completamente o parzialmente in aula costituisconomateria di esame.Alcune esercitazioni sono contraddistinte da un asterisco (*). Al momento di sostenere l’esame,lo studente e tenuto a consegnare alla commissione esaminatrice tali esercizi, secondo le seguentimodalita:
1. Gli esercizi vanno redatti su fogli formato A4 o su un quaderno dello stesso formato.
2. In testa a ciascun esercizio devono essere chiaramente indicati cognome, nome e numerodi matricola dello studenteallievo.
3. Lo svolgimento di ciascun esercizio deve contenere:
(a) il testo;
(b) l’elenco dei simboli con il relativo significato;
(c) i dati;
(d) la traccia dello svolgimento (le formule impiegate, scritte in forma simbolica e poi coni valori numerici);
(e) i risultati, con l’indicazione delle unita di misura;
(f) i grafici qualora richiesto.
4. Il sistema di unita di misura adottato e il Sistema Internazionale (SI).
5. Non e ammesso scrivere a matita.
TABELLA di RIEPILOGO dei RISULTATI
MECCANISMO PER MACCHINA CUCITRICE
Ultima cifra del numero di matricola Lx [mm] Ly [mm]
u=
SINTESI CINEMATICA DI UN QUADRILATERO ARTICOLATO
Coordinate Coordinate Lunghezza Lunghezza Lunghezza Angolo inizialeResto1 punto A0 punto B0 asta A0A biella AB asta B0B manovella
[mm] [mm] [mm] [mm] [mm] [deg]
PROPORZIONAMENTO DI UN MECCANISMO A CAMMA
Resto1 Raggio base Diametro bicchierino Precarico[mm] [mm] [N ]
RIDUTTORE A DUE STADI
Resto1 Angolo di pressione Somma coefficienti Somma spostamentidi lavoro α3,4 [deg] di spostamento x3 + x4 di profilo v3 + v4 [mm]
FREQUENZA DI UNA COLONNA CON SERBATOIO ELEVATO
Ultime due cifre del Prima frequenza proprianumero di matricola [Hz]
u= v=
VIBRAZIONI TORSIONALI DI UN MOTORE MARINO
Ultima cifra del Prima frequenza Seconda frequenza Rapporto Rapportonumero di matricola propria [Hz] propria [Hz] r1 = [Φ2/Θ1]1 r2 = [Φ2/Θ1]2u=
MODIFICHE STRUTTURALI
Ultima cifra del Prima frequenza Seconda frequenza Terza frequenza Seconda frequenzanumero di propria [rad/s] propria [rad/s] propria [rad/s] propria dopo lematricola modifiche [rad/s]
u=
DEFINIZIONE DEI PARAMETRI DI ACQUISIZIONE
Ultima cifra del Frequenza di taglio Frequenza di Numero di punti da elaborarenumero di del filtro passa-basso campionamento (tenendo conto che si desideramatricola (anti-aliasing) [Hz] minima [Hz] utilizzare l’algoritmo FFT)
u=
1 Resto e il resto della divisione per 4 del numero di matricola
Meccanismo per macchina cucitrice
In Fig. 1 e rappresentato lo schema del meccanismo di una macchina cucitrice il cui moventee la manovella O1A, mentre gli aghi sono montati sui due cedenti O5H e O6L.Fissato un sistema di riferimento con origine nel punto O6, asse x passante per O1 (positivo daO6 a O1) ed asse y verso l’alto, determinare le coordinate del punto L quando la manovella O1Asi trova nella posizione assegnata (si esprima il risultato utilizzando almeno 4 cifre decimali).
Figura 1: Meccanismo per macchina cucitrice.
DATI 1
Posizione delle coppie rotoidali Angoliad asse fisso [mm] (misurati in senso antiorario)
O6 (0, 0) DO3E = 60◦
O1 (500, 0) FO4G = 195◦
O2 (385, 15) FO4I = 265◦
O3 (120, –78) ABC = 180◦
O4 (80, 115) AO1O6 = 30◦
O5 (–15, 50)
Lunghezze aste [mm] O1A = 42AB = 100 O4F = 75O2B = 75 − 2 × u O4G = 85BC = 100 O4I = 115CD = 125 GH = 75O3D = 150 O5H = 72O3E = 150 IL = 50EF = 50 O6L = 42
Tabella 1: Dati dell’esercizio.
1u ultima cifra del numero di matricola (matricola = ######u)
Sintesi cinematica di un quadrilatero articolato
Un punto P di biella di un quadrilatero articolato deve assumere tre posizioni assegnate daoccuparsi in tre istanti prefissati. In particolare, a partire dall’istante t1 = 0 in cui il punto dibiella e nella posizione P1, i punti P2 e P3 devono essere raggiunti rispettivamente negli istantit2 e t3. Il movente del quadrilatero (la prima asta A0A della diade di sinistra) ruota con velocitaangolare pari a n.
Mediante sintesi cinematica, individuare il quadrilatero. In particolare, con riferimento allaFig. 1, occorre determinare:
1. le coordinate degli assi delle coppie rotoidali fisse (A0 e B0)
2. le lunghezze delle aste accoppiate a telaio (A0A e B0B)
3. la distanza tra gli assi delle coppie rotoidali di biella (AB)
4. l’angolo che l’asta A0A forma con la congiungente gli assi delle coppie fisse quando il puntoP e nella prima posizione
Si chiede inoltre di disegnare il quadrilatero ottenuto in opportuna scala.
Figura 1: Schema per la sintesi cinematica del quadrilatero articolato.
Affinche con i dati forniti il problema abbia una soluzione unica (in modo da consentire il con-trollo dei risultati da parte del docente), si assuma che quando il punto P occupa rispettivamentele posizioni P2 e P3:
1. la prima asta (B0B) della diade di destra abbia compiuto, a partire dalla posizione iniziale,rotazioni assegnate ψ2 e ψ3;
2. un segmento di biella abbia compiuto, a partire dalla posizione iniziale, rotazioni assegnateγ2 e γ3.
Oltre alla soluzione cosı ottenuta, si chiede di riportare anche altre soluzioni(almeno due) scegliendo arbitrariamente gli angoli ψj e γj. I quadrilateri corrispon-denti a tali ulteriori soluzioni vanno disegnati in scala opportuna e comparati conquello ottenuto dalla prima soluzione.
DATI
(u e il resto della divisione per 4 del numero di matricola)
P1 (200,−75) mm
P2 (25 × u+ 60, 25 × u− 151) mm
P3 (25 × u+ 100, 25 × u− 305) mm
t2 1.05 s
t3 2.1 s
n 20 rpm
ψ2 33 deg
ψ3 37 deg
γ2 –10 deg
γ3 45 deg
Proporzionamento di un meccanismo a camma
Si consideri il cinematismo di azionamentodelle valvole di aspirazione di un motore perautoveicolo rappresentato in Fig. 1: la camma(1), ruotando con velocita angolare pari allameta della velocita angolare dell’albero motore,comanda il bicchierino (2), che puo supporsisolidale con la valvola (3).
Durante la fase di azionamento della valvolail contatto tra camma e bicchierino e assicuratodall’azione della molla (4). La stessa molla ga-rantisce, a valvola chiusa, la tenuta sulla sede(5).
Mentre a valvola aperta la posizione istanta-nea dell’equipaggio traslante e controllata dalcontatto con la camma (1), a valvola chiusa laposizione dello stesso equipaggio e definita dalcontatto con la sede (5). Nel passaggio dalleconfigurazioni di apertura alla configurazionedi chiusura (e viceversa) il contatto con l’equi-paggio traslante si deve pertanto spostare dallacamma (1) alla sede (5).
Figura 1: Cinematismo di azionamento del-le valvole di aspirazione di un motore perautoveicolo.
Per assicurare un funzionamento corretto equindi necessario garantire, a valvola chiusa,un seppur minimo gioco tra camma e bicchie-rino. Tale gioco puo essere impostato a motore
freddo (gioco nominale g), ma non puo esserecontrollato e mantenuto rigorosamente costan-te durante il funzionamento. Per tale motivoil profilo attivo della camma inizia e terminacon rampe di recupero gioco aventi la funzionedi controllare l’entita degli inevitabili urti tracamma e bicchierino (inizio della fase di aper-tura valvola) e tra valvola e sede (termine del-la fase di chiusura valvola) in corrispondenzadi un determinato campo di possibili valori delgioco di funzionamento.
−20 0 20 40 60 80 100 120 140
0
1
2
3
4
5
6
7
8
PO
Q
R
S
e
e
θ [deg]
y(θ)
[mm
]
θ2
θ1
Figura 2: Legge di alzata.
Detto θ l’angolo di rotazione della camma, sirichiede di:
1. determinare la legge del moto y = y(θ)della valvola tenendo presente i seguentivincoli progettuali:
(a) legge di moto simmetrica rispetto allaconfigurazione di massima apertura;
(b) alzata della valvola pari ad h (al nettodelle rampe di ripresa del gioco);
(c) durata di azionamento valvola corri-spondente ad α gradi di rotazione del-l’albero motore (al netto delle rampedi ripresa del gioco);
(d) altezza rampe di ripresa gioco = h1;
(e) massima velocita d’urto = u;
(f) massimo regime di rotazione delmotore = n;
(g) rampe di recupero gioco a velocita diimpatto costante al variare del giocodi funzionamento;
(h) tratto utile della legge di moto com-posto da tre archi polinomiali di or-dine 5, 4 e 5, raccordati tra loro adistanza θ1 dalla configurazione dimassima apertura;
(i) continuita di y′′′
(θ) (ossia di d3y/dθ3)in corrispondenza dei suddetti raccor-di;
(j) continuita di y′′(θ) in corrispondenza
dei raccordi tra gli archi polinomia-li di ordine 5 e le rampe di recuperogioco;
(k) accelerazione valvola nulla a distan-za θ2 dalla configurazione di massimaapertura.
Figura 3: Dimensionamento bicchierino.
2. tracciare gli andamenti di y, y′
e y′′
infunzione di θ;
3. determinare il raggio base della camma inmodo tale che il minimo raggio di curvatu-ra del profilo sia pari a δmin (arrotondareal decimo di mm);
4. disegnare la forma della camma (se neesegua il disegno in scala 2:1);
5. determinare la massima distanza dall’as-se valvola del contatto camma-bicchierino(l’asse dell’albero a camme e del bicchieri-no sono ortogonali ed incidenti);
6. determinare il diametro minimo d del bic-chierino, essendo pari a d/2 lo spessoredella camma;
7. determinare l’entita del precarico dellamolla a valvola chiusa e in condizioni digioco nominale g = h1 affinche, in corri-spondenza del massimo regime di rotazio-
ne del motore, la forza minima di contattotra camma e bicchierino sia pari a Fmin; enota la rigidezza k della molla e la massam dell’equipaggio mobile della valvola.
−20 0 20 40 60 80 100 120 140θ [deg]
ydy/dθd2y/dθ2
Figura 4: Curve y(θ), y′(θ), y
′′(θ).
Figura 5: Schema cinematico.
−30 −20 −10 0 10 20 30−30
−20
−10
0
10
20
30
Figura 6: Profilo della camma.
DATI
Resto della divisione per 4 del numero di matricola 0 1 2 3
h [mm] 8 8 10 10
α [◦] 240 240 252 252
h1 [mm] 0.3 0.3 0.3 0.3
u [mm/s] 270 270 270 270
n [rpm] 6000 6000 5400 5400
θ1 [◦] 38 38 37 37
θ2 [◦] 42 42 42 42
δmin [mm] 5 6 5 6
Fmin [N] 140 120 150 130
k [N/mm] 8.8 8.3 10 9.5
m [kg] 0.19 0.21 0.22 0.20
Esercizi su ruote dentate
Esercizio A
Una ruota cilindrica a denti dritti con Z = 23 denti, viene tagliata con una dentiera aventemodulo m = 1.5mm. Determinare il diametro della circonferenza di testa nel caso in cui iltaglio avvenga con una correzione negativa con coefficiente di spostamento x = −0.25.
Soluzione: Diametro della circonferenza di testa = 36.75 mm
Esercizio C
Una ruota cilindrica a denti dritti, i cui fianchi hanno profilo ad evolvente, viene corretta duranteil taglio con dentiera. Con i dati a disposizione, determinare il raggio di curvatura del profilo deidenti in corrispondenza della circonferenza primitiva e della circonferenza di testa (si ipotizzil’assenza di smussi o raggi di raccordo).
Dati
Modulo della dentiera generatrice m0 = 2 mmAngolo di pressione della dentiera generatrice α0 = 20◦
Numero di denti della ruota Z = 31Coefficiente di spostamento x = −0.25
Soluzione
raggio di curvatura sulla circonferenza primitiva = 10.603 mmraggio di curvatura sulla circonferenza di testa = 14.411 mm
Esercizio B
Determinare l’interasse con il quale montare un ingranaggio costituito da due ruote cilindrichea denti diritti non corrette, in modo che sulle primitive di lavoro le dentature presentino unassegnato gioco laterale necessario per una adeguata lubrificazione.
Dati
Modulo della dentiera generatrice m0 = 2 mmAngolo di pressione della dentiera generatrice α0 = 20◦
Numero di denti della prima ruota Z1 = 40Numero di denti della seconda ruota Z2 = 110Gioco laterale sulla primitiva di lavoro δ = 0.3 mm
Soluzione: Interasse di montaggio = 150.407 mm
Traccia:Lo spessore SM del dente su una circonferenza di raggio generico rM vale (essendo R il raggiodella primitiva di taglio ed S lo spessore del dente su tale primitiva):
SM = rM
[S
R− 2(invαM − invα0)
]
Sulla primitiva di lavoro e quindi: S′ = R′[S
R− 2(invα′ − invα0)
]e, ricordando che: R′ = R
cosα0
cosα′= R ∆, risulta:
a′ = a∆ S′ = S ∆ − 2R′ (invα′ − invα0)
Poiche per ruote non corrette lo spessore sulla primitiva di taglio e: S =πm0
2, la somma degli
spessori dei denti sulle primitive di lavoro e pari a:
S′1 + S′2 = 2S∆ − 2(R′1 +R′2)(invα′ − invα0) = πm0 ∆ − 2a′(invα′ − invα0)
Essendo m′ = m0∆, la precedente diventa:
S′1 + S′2 = πm′ − 2a′(invα′ − invα0) (1)
Il passo sulla primitiva di lavoro (p′ = πm′) e la somma dello spessore S′ del dente e dell’ampiezzadel vano adiacente V ′, cioe: p′ = S′1 + V ′1 = S′2 + V ′2 .D’altra parte, se si desidera un gioco laterale δ, deve essere: V ′1 = S′2 + δ e V ′2 = S′1 + δ (in modoche un vano tra i denti di una ruota accolga con gioco δ un dente dell’altra ruota). In altreparole, deve essere:
p′ = πm′ = S′1 + V ′1 = S′2 + V ′2 = S′1 + S′2 + δ (2)
La (1) unita alla (2) fornisce:
πm′ = S′1 + S′2 + 2a′(invα′ − invα0) = δ + S′1 + S′2
ossia fornisce il legame tra gioco laterale δ e l’interasse di lavoro a′.
δ = 2a′ (invα′ − invα0) = 2a∆ (invα′ − invα0)
Riduttore a due stadi
In Fig. 1 e rappresentato un riduttore coassiale a due stadi le cui ruote dentate sono cilindrichea denti dritti.Volendo garantire la coassialita tra albero di ingresso (su cui e calettata la ruota 1) e quello diuscita (su cui e montata la ruota 4), i dati impongono di operare una correzione. Si sceglie diintervenire sul secondo stadio, per il quale si chiede di determinare:
1. l’angolo di pressione di lavoro α3,4 (espresso in gradi);
2. la somma dei coefficienti di spostamento x3 + x4;
3. la somma degli spostamenti di profilo v3 + v4 (espressa in mm).
Figura 1: Riduttore coassiale a due stadi.
DATI 1
Modulo del primo stadio m1,2 = 2.5 mmModulo del secondo stadio m3,4 = 3 mmNumero di denti delle ruote:Z1 = 50Z2 = 160 +uZ3 = 59 +uZ4 = 118 −uAngolo di pressione di taglio α = 20◦
1u resto della divisione per 4 del numero di matricola
Equivalenza dinamica: riduzione
Esercizio A
Per l’ingranaggio pignone–dentiera di Fig. 1, dati la massa m della dentiera, il raggio primitivoR del pignone ed il suo momento di inerzia JO (rispetto al suo asse di rotazione O), trovare:
1. la massa equivalente del sistema ridotta alla coordinata x;
2. il momento di inerzia equivalente ridotto all’asse O.
Figura 1: Mechanical vibrations, S.S. Rao.
Esercizio B
Due cilindri, aventi momenti di inerzia J1 e J2, sono calettati su due alberi paralleli rigidi e dimassa trascurabile, collegati da un ingranaggio le cui due ruote, indicate con 1 e 2 in Fig. 2,hanno rispettivamente numero di denti pari a n1 e n2 e massa trascurabile. Trovare il momentodi inerzia equivalente risotto alla coordinata θ1.
T =1
2mx2 +
1
2Joθ
2
Figura 2: Mechanical vibrations, S.S. Rao.
Esercizio C
Per il meccanismo di Fig. 3, dati la massa m del carrello, la massa m2 del membro rigido 2, ilmomento di inerzia J1 del membro rigido 1 rispetto al suo asse di rotazione O, il momento diinerzia baricentrico JpG della puleggia, la massa mc del cilindro ed il suo momento di inerziabaricentrico JcG , trovare la massa equivalente del sistema ridotta ad un punto del carrello. Sinoti che il membro rigido 1 ruota solidalmente alla puleggia.
T =1
2mx2 +
1
2JpGθ
2p +
1
2J1θ
21 +
1
2m2x
22 +
1
2mcx
22 +
1
2JcGθ
2c
Figura 3: Mechanical vibrations, S.S. Rao.
Esercizio D
Con riferimento alla seguente Fig. 4, trovare la massa equivalente del sistema ridotta allacoordinata x.
Figura 4: Mechanical vibrations, S.S. Rao.
Esercizio E
Per il meccanismo di distribuzione di Fig. 5 sono note le proprieta inerziali dei membri dotati dimoto alterno: la massa mp dello spintore, la massa mr del bilanciere, il suo momento di inerziabaricentrico JrG, la massa mv della valvola. Ritenendo le masse di rotella e molla trascurabili,trovare la massa alterna equivalente del meccanismo assumendo che tale massa sia collocata:
1. nel punto A;
2. nel punto C.
T =1
2mpx
2p +
1
2mvx
2v +
1
2JrGθ
2r +
1
2mrx
2r
Figura 5: Mechanical vibrations, S.S. Rao.
Calcolo di costanti elastiche
Esercizio A
Con riferimento al propulsore ad elica di Fig. 1, determinare la rigidezza torsionale dell?albero,noto il modulo di elasticita tangenziale del materiale G = 8 × 1010 N/m2.
Figura 1: Propulsore ad elica.
Esercizio B
Con riferimento all’impianto di sollevamento di Fig. 2, determinare la costante elastica equiva-lente del sistema quando lunghezza libera della fune e pari a l.
Figura 2: Macchina di sollevamento.
Esercizio C
Con riferimento al carrello ferroviario mostrato in Fig. 3, determinare la costante elastica equi-valente di ciascuna sospensione realizzata con tre molle ad elica in acciaio (modulo di elasticitatangenziale G = 8 × 1010 N/m2) aventi diametro D = 20 cm e diametro della spira d = 2 cm.
Figura 3: Carrello ferroviario.
Esercizio D
Con riferimento alla macchina per sollevamento carichi di Fig. 4, determinare la costante elasticaequivalente del sistema in direzione verticale. Il puntone e realizzato in acciaio ed ha una sezionecostante pari a 2500 mm2, il cavo e anch’esso in acciaio con sezione pari a 100 mm2.Si trascuri l’influenza del tratto di cavo CDEB.
Figura 4: Macchina di sollevamento.
Applicazione del metodo di Rayleigh ad un continuo
Utilizzare il metodo di Rayleigh per calcolare la prima frequenza propria del sistema rappre-sentato in Fig. 1.La trave ha modulo elastico E, momento di inerzia trasversale di sezione I, sezione S, densita ρed alla sua estremita si trova una massa concentrata m. Nella sua mezzeria la trave e collegataa telaio mediante una molla di rigidezza k. Si suggerisce di impiegare la funzione di formaseguente:
φ(x) =
[3(xL
)2−(xL
)3]
Figura 1: Sistema trave-massa-molla
Traccia
v(x, t) = φ(x)f(t) =
[3(xL
)2−(xL
)3]f(t)
V =1
2
L∫0
EI
(∂2v
∂x2
)2
dx +1
2k [v(x, t)]2x=L/2 =
1
2
L∫0
EI
(f(t)
d2φ
dx2
)2
dx +1
2k f2(t) [φ(x)]2x=L/2 =
=1
2EI f2(t)
36
L4
L∫0
[1 −
(xL
)]2dx +
1
2k f2(t)
25
64=
1
2f2(t)
(EI
12
L3+ k
25
64
)
T =1
2
L∫0
ρS
(∂v
∂t
)2
dx +1
2m
[∂v
∂t
]2x=L
=1
2
L∫0
ρS[f(t)φ(x)
]2dx +
1
2m f2(t) [φ(x)]2x=L =
=1
2ρS f2(t)
L∫0
[3(xL
)2−(xL
)3]2dx +
1
2m f2(t) 4 =
1
2ρS f2(t)
33
35L +
1
2m f2(t) 4 =
=1
2f2(t)
[ρS
33
35L+ 4m
]Equazione del moto: f(t)
(ρS
33
35L+ 4m
)+ f(t)
(EI
12
L3+ k
25
64
)= 0
Stima della prima frequenza propria: ω1 =
√√√√√√12EI
L3+
25
64k
33
35ρSL+ 4 m
Frequenza propria di una colonna con serbatoio elevato
Determinare la prima frequenza propria di vibrazione flessionale della colonna con serbatoioelevato mostrata in Fig. 1, supponendo che la sezione tubolare della colonna sia costante.Si esprima il risultato in Hz impiegando almeno cinque cifre significative.
Figura 1: Serbatoio elevato.
Simboli:D = diametro esterno della colonnad = diametro interno della colonnal = lunghezza della colonnaE = modulo di elasticita del materiale della colonnaQ = peso del serbatoioρ = massa volumica del materiale della colonna
DATI 1
D = 3 + u/10 [m]ρ = 2400 + v2 + u [kg/m3]d = 2.45 + v/30 [m]E = 2.8 × 1010 [N/m2]l = 90 + u2/5 − v [m]Q = (2.7 + u2/100 + u× v/50) × 106 [N ]
1uv ultime due cifre del numero di matricola (matricola = 0000####uv).
Risposta di un sistema sdof ad una eccitazione a gradino con
rampa iniziale
Determinare la risposta del sistema ad un grado di liberta rappresentato in Fig. 1, per unaeccitazione a gradino di ampiezza F0 preceduta, per 0 < t < t1, da una rampa. Sono datila massa m, la costante elastica della molla k, l’ampiezza del gradino F0, l’istante finale dellarampa t1.
Figura 1: Sistema ad un gdl ed andamento dell’eccitazione F (t)
Traccia
x(t) =
t∫0
F (τ) h(t− τ) dτ h(t) =1
mωnsinωnt
x1(t) =F0
k
(t
t1− sinωnt
ωnt1
)x1(t− t1) =
F0
k
(t− t1t1
− sinωn(t− t1)
ωnt1
)
Figura 2: Risposta del sistema sdof di Fig. 1
Sistema a due gradi di liberta
Figura 1: Sistema a due gradi di liberta.
Per il sistema vibrante di Fig. 1, in cui le massesono dotate del solo moto in direzione verticale,assumendo n = 1 si trovino:
1. le frequenze naturali;
2. le forme modali;
3. le condizioni iniziali affinche il sistema vibrisolo nel primo modo o solo nel secondo mo-do.
Traccia:
x1(t) = X11 cos
(√k
mt+ φ1
)+X12 cos
(√3k
mt+ φ2
)
x2(t) = X11 cos
(√k
mt+ φ1
)−X12 cos
(√3k
mt+ φ2
)dove le costanti X11, X12, φ1 e φ2 sono determinatedalle condizioni iniziali.
Figura 2: Primo (sinistra) e secondo (destra) modo del sistema di Fig. 1.
Vibrazioni torsionali di un motore marino
In Fig. ??(a) e rappresentato lo schema di un motore marino connesso all’elica mediante unriduttore ad ingranaggi ad uno stadio. Noti i momenti di inerzia del volano, del motore, delleruote dentate, dell’elica e le dimensioni degli alberi, trovare le frequenza naturali e i modi divibrare torsionali del sistema.
(a) (b)
Figura 1: a)Motore marino; b)Modello.
Si trascuri l’inerzia degli alberi e si esprima il risultato utilizzando almeno cinque cifresignificative. Inoltre:
1. si esprimano le frequenze naturali in Hz;
2. indicata con θ la rotazione dell’asse motore e con ϕ la rotazione dell’asse dell’elica, espri-mere i modi di vibrare nella seguente forma:
r1 =
{Φ2
Θ1
}1
r2 =
{Φ2
Θ1
}2
DATI 1
Jv momento di inerzia del volano = 35000 [kg ·m2]Jm momento di inerzia del motore = 1000 − 5 × u2 [kg ·m2]J1 momento di inerzia della ruota 1 = 250 − u [kg ·m2]J2 momento di inerzia della ruota 2 = 150 + 2 × u [kg ·m2]Je momento di inerzia dell’elica = 2000 + 20 × u2 [kg ·m2]G modulo di elasticita tangenziale acciaio = 8 × 1010 [N/m2]
1u ultima cifra del numero di matricola (matricola = 0000#####u).
Modifiche strutturali
In Fig. 1 e rappresentato un sistema a 3 gdl. Noti i valori delle masse e delle rigidezze,calcolare:
1. le 3 pulsazioni naturali del sistema (esprimerle in rad/s);
2. le 3 forme modali (eseguire la normalizzazione in modo che la prima componente siaunitaria).
3. introdotte nel sistema le modifiche strutturali indicate nei dati, calcolare il nuovo valoredella seconda pulsazione propria del sistema impiegando il quoziente di Rayleigh.
Figura 1: Sistema a 3 gradi di liberta.
DATI 1
m1 = 2 ×mm2 = 3 ×mm3 = 2 ×mk1 = 4 × kk2 = 3 × kk3 = 5 × km = 1 + u/10 [kg]k = 1 − u/10 [N/m]
Modifiche strutturali:∆m3 = 0.4 ×m∆k2 = 0.7 × k
1u ultima cifra del numero di matricola (matricola = 0000#####u).
Definizione dei parametri di acquisizione
Si vogliono effettuare rilievi sperimentali di vibrazione sulla struttura rappresentata schema-ticamente in Fig. 1. La misura va condotta all’interno del campo di frequenze 0 ÷ f∗ e, ai finidell’analisi, occorre ottenere una risoluzione spettrale massima pari a ∆f .
Determinare:
1. La frequenza di taglio del filtro passa basso anti-aliasing
2. La frequenza di campionamento minima
3. Il numero di punti da elaborare tenendo conto che si desidera utilizzare l’algoritmo FFT(Fast Fourier Transform)
Figura 1: Misura di vibrazioni
DATI 1
f∗ = 4000 − 200 × u [Hz]∆f = 10 + 0.5 × u2 [Hz]
1u ultima cifra del numero di matricola (matricola = 0000#####u).
Vibrazioni flessionali con FEM
In Fig. 1 e rappresentata una trave incastrata ad entrambi gli estremi avente sezione quadratacon dimensioni variabili a tratti. Note le dimensioni della trave e le caratteristiche del materiale(modulo di Young E e densita ρ) trovare le prime due frequenze naturali e i rispettivi modi divibrare flessionali del sistema. In particolare:
1. modellare la trave con tre elementi di tipo beam;
2. esprimere le frequenze naturali in Hz;
3. normalizzare le forma modali in modo da porre la massima componente al valore unitario.
Figura 1: Trave incastrata
DATI 1
l1 = 0.40 − u/200 [m] a = 0.02 [m]
l2 = 0.32 + u/100 [m] b = 0.03 [m] ρ = 7800 [kg/m3]
l3 = 0.24 + u/100 [m] c = 0.01 [m] E = 2.06 × 1011 [N/m2]
1u ultima cifra del numero di matricola (matricola = 0000#####u).
