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8/6/2019 Medidas_de_dispersao
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Medidas de Dispersão
IntroduçãoAmplitudeVariância
Desvio PadrãoCoeficiente de Variação
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Introdução
• Estudo de medidas que mostram adispersão dos dados em torno datendência central
• Analisaremos as seguintes medidas: – Amplitude
– Variância – Desvio Padrão – Coeficiente de Variação
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Introdução
• Por que estudar? – Entender grandes volumes de informação (pesquisas
de mercado, índices populacionais, acessos a sites)
– Qualidade de processos (CEP – Controle Estatísticode Processos)
– Previsões confiáveis (projeções financeiras e
populacionais, vida útil de equipamentos)
– Planejamento (coleta de dados, definição deamostras, planos de contingência)
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Amplitude
• É a diferença entre a maior e a menor observaçãoem um conjunto de dados
• Mede a dispersão total no conjunto de dados
• É uma medida simples que não leva emconsideração como os dados são efetivamentedistribuídos entre os valores extremos
menor maior X X A −=
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Amplitude
• Exemplo: Dada a amostra abaixo, calcule aamplitude.
OBS: A amplitude calculada não nos fornece qualquer informação sobrea tendência central e distribuição das observações
5
12
3,7
3,5
3
2
Custo de produção
(em milhões)
10212 =−= A
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Variância
• A variância da amostra é a média aproximada das diferenças aoquadrado entre cada uma das observações e a média aritmética daamostra
onde:n é o tamanho da amostra
1
)(....)()()( 223
22
212
−−++−+−+−=
n
X X X X X X X X S n
OBS: O tamanho da amostra é subtraído de 1 devido ao fator decorreção de Bessel, que visa uma estimativa mais precisa. No cálculo
de variância para toda a população, este corretor é dispensado.
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Variância
• A fórmula da variância de uma amostra pode ser escrita de formaresumida
Resumindo: A variância é a soma das diferenças ao quadrado em tornoda média aritmética dividida pelo tamanho da amostra menos um
1
)(1
2
2
−
−= ∑=
n
X X
S
n
i i
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Variância
• A variância também pode ser calculada pela fórmulaa seguir, que exige um número menor de operaçõesaritméticas
• A variância da população é representada pelosímbolo σ2, porém é mais comum e prático o cálculoda variância da amostra
S 2=∑ x
2−∑ x2
n
n−1
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Variância
➔ Exercício: Calcule a variância da amostra
Idades
18
3522
20
42
16
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Variância
• Exemplo: Calcule a variância da amostra
5,25= X
i x x xi −
-7,5
9,5
-3,5
-5,516,5
-9,5
56,2518
90,2535
12,2522
30,2520272,2542
90,2516
2
id
∑ = 5,5512
id
3,110
5
5,5512 ≅=S
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Variância
• Propriedades1. Somando-se (ou subtraindo-se) a cada elemento de
um conjunto de valores uma constante arbitrária, avariância não se altera
2. Multiplicando-se (ou dividindo-se) cada elemento deum conjunto de valores por um valor constante, avariância fica multiplicada (ou dividida) pelo
quadrado da constante
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Desvio Padrão
• Desvio padrão é a raiz quadrada da variância daamostra
1
)(1
2
−
−=
∑=
n
X X
S
n
i
i
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Desvio Padrão
• O desvio padrão indica o afastamento dosvalores observados em relação à médiaaritmética da amostra estuda
• É um conceito imprescindível paraanálises gráficas, determinação de
confiabilidade e estudos de distribuições
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Desvio Padrão
• Exemplo: com base na amostra utilizada noexercício de variância, calcule o desviopadrão.
5,10
5
5,5512 === S S
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Desvio Padrão
• Propriedades1. Somando-se (ou subtraindo-se) a cada elemento de
um conjunto de valores uma constante arbitrária, odesvio padrão não se altera
3. Multiplicando-se (ou dividindo-se) cada elemento deum conjunto de valores por um valor constante,desvio padrão fica multiplicado (ou dividido) pela
constante
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Coeficiente de Variação
• Dentre as medidas de dispersão relativa, o coeficientede variação mais é o de Pearson (CVp)
• É expresso em porcentagem
• Útil para comparação de variabilidade de dois conjuntosde dados com unidades de medidas diferentes
• Também é útil para comparar amostras decomportamento bastante diferentes (ex: ações de umaindústria X ações de empresa de serviços aéreos)
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Coeficiente de Variação
• CVp é baseado no quociente entre o desviopadrão e a média aritmética
• Quanto menor este valor, mais homogêneoserá o conjunto de dados
%100 = X
S
CV p
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Exercícios
1. Para os dados usados nos exercícios devariância e desvio padrão, calcule ocoeficiente de variação
3. O desvio padrão e a variância podem ser negativos?
5. Em que situação o desvio padrão e a variânciasão nulos? Qual é a amplitude neste caso?
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Obrigado!
Até a próxima aula.