Mef

Universidad de Santiago de ChileFacultad de IngenieraDepartamento de Ingeniera en Obras CivilesMecnica de Slidos II

Mtodo de Elementos Finitos(versin preliminar 2012)

Autor: Alejandro Slavo Bezmalinovic Colleoni

"The only laws of matter are those that our minds must fabricate and the only laws of mind are fabricatedfor it by matter." - James Clerk Maxwell

Contents

Conceptos de Energa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1Energa de deformacin elstica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1Energa potencial de trabajo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1Energa potencial elstica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2Interpolacin del campo de desplazamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

Elemento Barra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2Elemento Barra 2D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2Elemento Barra 3D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

Elemento Viga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4Elemento Viga 2D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4Hiptesis de Euler- Bernoulli (sin efectos de Corte) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6Hiptesis de Timoshenko (incorporacin de Efectos de Corte) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7Vigas apoyadas sobre terreno (Viga Winkleriana) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

Elementos Marco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9Elemento Marco 2D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9Elemento Marco 3D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

Elementos Isoparamtricos Bidimensionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10Elemento Slido 2D (Cuadriltero de 4 Nodos Bilineal) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10Elemento Triangular de deformacin unitaria constante (CST) . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

Elemento Plate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17Elemento Plate (Placa Isoparamtrica de 4 Nodos Bilineal) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

Conceptos de Energa

Energa de deformacin elstica

U =1

2

ZV

T"dV

Energa potencial de trabajo

WP =

ZV

uT fdV +

ZS

uTTdS +nXi=1

uTi Fi

Con:u: Vector de desplazamientos nodales.f : Vector de fuerzas volumtricas.T: Vector de cargas superciales.Fi: Carga puntual i.

1

Energa potencial elstica

(u) = U WP(u) =

1

2

ZV

T"dV ZV

uT fdV ZS

uTTdS nXi=1

uTi Fi

Interpolacin del campo de desplazamiento

u(x) =lXi=1

qiNi(x) v(x) =mX

j=l+1

qjNj(x) w(x) =nX

k=m+1

qkNk(x)

Con:qi;j;k: Coecientes de interpolacin.Ni;j;k: Funciones de Forma.

Elemento Barra

Elemento Barra 2D

Elemento sujeto slo a cargas de traccin (compresin). Provisto de un grado de libertad traslacionalpor nodo, en sistema coordenado local.

Funciones de Forma (Polinomios de Lagrange unidimensionales):

L(n)k (x) =

nYm=0k 6=m

x xkxk xm

n = 2: Funciones de forma Lineales (FFL)n = 3: Funciones de forma Cuadrticas (FFC)

En general; L(n)i (x) =1 si x = xi0 si x = xj i 6= j

Con n: Nmero de Nodos por elemento (Orden de Interpolacin).

Relacin Isoparamtrica Unidimensional (Coordenada Natural):

2 Nodos Locales (FFL):

1 : [0; le]! [1; 1](x) =

2

x2 x1 (x x1) 1

x : [1; 1] [1; 1]! e Rx = x1N1() + x2N2()

3 Nodos Locales (FFC):

2 : [0; le]! [1; 1](x) =

2

x2 x1 (x x3)

x : [1; 1] [1; 1]! e Rx = x1N1() + x2N2() + x3N3()

2

Matriz de Rigidez:

u =nXi=1

qiNi(x) = Nq " =@u

@x=@u

@

@

@x= Bq = E" = EBq

dV = A(x)dx = A()@x

@d

U =1

2

ZV

T"dV =1

2qTZ

e

EA(x)BTBdx

q

, U = 12qT

Z (le)(0)

EA()BTB@x

@d

!q =

1

2qTkq

k =

Z (le)(0)

EA()BTB@x

@d Matriz de Rigidez.

Vector de fuerzas volumtricas:

WP =

ZV

uT dV =

Ze

A(x)NTqT dx = qT

Z (le)(0)

A()NT@x

@d

!= qT f

f =

Z (le)(0)

A()NT@x

@d Vector de fuerzas volumtricas (peso propio).

Con : Peso especco.

Vector de fuerzas distribuidas:

WP =

ZS

uTTdS =

Ze

NTqT fs(x)dx = qT

Z (le)(0)

fs()NT @x

@d

!= qTT

T =

Z (le)(0)

fs()NT @x

@d Vector de fuerzas distribuidas.

Caso n = 2 (FFL) y A(x) = A;E(x) = E; fs(x) = q:

u = N1q1 +N2q2 =N1 N2

q1q2

= Nq

8>:N1 () = L

(2)1 () =

1

2 +

1

2

N2 () = L(2)1 () =

1

2 +

1

2

k =AE

le

1 11 1

f =

Ale2

11

T =

qle2

11

Caso n = 3 (FFC) y A(x) = A;E(x) = E; fs(x) = q:

3

u = N1q1 +N2q2 +N3q3 =N1 N2 N3

8>>>>:N1 () = L

(3)1 () =

1

2 ( 1)

N2 () = L(3)2 () =

1

2 ( + 1)

N3 () = L(3)3 () = (1 ) (1 + )

k =AE

3le

24 7 8 18 16 81 8 7

35 f = Ale6

8>:q1q2q3q4

9>>=>>;q0 = Aq

U =1

2q0Tk0q0 =

1

2

qTAT

k0 (Aq) =

1

2qTATk0A

q =

1

2qTkq

k = ATk0A Transformacin Local-Global

Con:k : Matriz de Rigidez Global.k0 : Matriz de Rigidez Local.A :Matriz de Transformacin.

Elemento Barra 3D

Elemento Viga

Elemento Viga 2D

Elemento sometido principalmente a esfuerzos de corte y momento ector. Provisto de dos grados delibertad por nodo: una traslacin perpendicular al eje longitudinal del elemento y una rotacin.

4

Funciones de Forma (Polinomios de Hermite):

Frmula directa en coordenadas globales y en funcin de polinomios Lagrangianos (Scheid, 1988):

Ui =

"1 2 dL

(2)

dx

xi

(x xi)# hL(2)i (x)

2i

Wi = (x xi)hL(2)

xi

i2Hi(x) =

XUi(x)v(xi) +

XWi(x)

dv(xi)

dx

Forma intuitiva en coordenadas naturales, asumiendo polinomio cbico (dos cambios de curvatura entraslacin perpendicular):

: [0; le]! [1; 1](x) =

2

x2 x1 (x x1) 1

Hi : [1; 1]! [0; 1]Hi() = fai + bi + ci2 + di3 j ai; bi; ci; di 2 RgdHid() = fbi + 2ci + 3di2 j bi; ci; di 2 Rg

H1 : 8>>>:H1(1) = 1H1(1) = 0H 01(1) = 0H 01(1) = 0

=) H1() = 12 342 +

1

43

H2 : 8>>>:H2(1) = 0H2(1) = 0H 02(1) = 1H 02(1) = 0

=) H2() = 14 14 1

42 +

1

43

H3 : 8>>>:H3(1) = 0H3(1) = 1H 03(1) = 0H 03(1) = 0

=) H3() = 12 34 1

43

H4 : 8>>>:H4(1) = 0H4(1) = 0H 04(1) = 0H 04(1) = 1

=) H4() = 14 14 +

1

42 +

1

43

Interpolacin desplazamiento:

v = H1v1 +H2dv1d

+H3v2 +H4dv2d

= H1v1 +H21dx

d+H3v2 +H42

dx

d

v =

H1

le2H2 H3

le2H4

8>>>:v11v22

9>>=>>; = Hq

5

Hiptesis de Euler- Bernoulli (sin efectos de Corte)

El supuesto bsico del anlisis de deexin en vigas se basa en que toda normal a la supercie media (lneaneutra) de stas permanece recta luego de la deformacin y que su deformacin angular es igual a la pendientede la lnea neutra.

v = Hq =M(x)

Iy " =

E

d2v

dx2=M(x)

EII =

ZZA

y2dA

U =1

2

ZV

T"dV =1

2

ZV

M(x)

Iy

M(x)

EIy

dV =

1

2

Ze

E

d2v

dx2

2 ZZA

y2dA

=) U = 12

Ze

EI(x)

d2v

dx2

2dx

Matriz de Rigidez:

d2v

dx2=d

dx

dv

d

d

dx

=d2v

d2

d

dx

2+d2

dx2dv

d

=) d2v

dx2=4

l2e

@2H

@2q

d2v

dx2

2=16

l4eqT@2H

@2

T @2H

@2

q

U =1

2qT

Z 11

16

l4eEI()

@2H

@2

T @2H

@2

@x

@d

!q =

1

2qTkq

k =

Z 11

16

l4EI()

@2H

@2

T @2H

@2

le2d Matriz de Rigidez.

Si I(x) = I; E(x) = E:

k =EI

l3e

266412 6le 12 6le6le 4l

2e 6le 2l2e

12 6le 12 6le6le 2l

2e 6le 4l2e

3775

6

Hiptesis de Timoshenko (incorporacin de Efectos de Corte)

A diferencia de la teora de Euler-Bernoulli, Timoshenko plantea el hecho de que la supercie neutra de laviga ya no coincidir con el eje perpendicular de la seccin transversal del elemento luego de la deformacin,por lo tanto, existir inuencia de la deformacin por corte y asociada a sta, trminos energticos que debenconsiderarse en la formulacin.Principalmente, esta hiptesis va asociada a vigas de gran peralte (vigas altas), i.e con una relacin

considerable entre el espesor del elemento y su largo.

Por lo tanto, " ="x xy

T =

x xy

Tadems: xy = Gxy

U =1

2

ZV

T"dV =1

2

ZV

x"xdV +1

2

ZV

xyxydV =1

2

Ze

EI

d2v

dx2

2dx+

1

2

ZV

G2xydV

Donde ya es conocido el primer trmino de la energa, asociado a la deformacin por exin.

Matriz de Rigidez:

Por Jouravski,

xy =V (x)

GAs

donde: V (x): Esfuerzo de Corte y As: Seccin cortante efectiva.

=) Us = 12

ZV

G2xydV =1

2

Ze

G

V (x)

GAs

2Asdx =

1

2GAs

Ze

VTVdx

Pero, V (x) = EId3v

dx3v = Hq =) V (x) = EI d

3H

dx3q

=) d3H

dx3=d

dx

d2H

dx2

=d

d

d2H

dx2

d

dx

V (x) = EI8

l3e

3

2

1

le2

1 le2

8>>>:v11v22

9>>=>>;Us =

1

2qT

Ze

1

GAs

EI(x)

8

l3e

2VTVdx

!q =

1

2qTksq

Si I(x) = I; E(x) = E;As(x) = As; G(x) = G:

ks =EI

l3e

266412 6le 12 6le6le 3l

2e 6le 3l2e

12 6le 12 6le6le 3l

2e 6le 3l2e

3775 con = 12EIGAsl2eAhora, si se denomina por kf a la matriz del elemento viga asociada al efecto de exin (ya conocida)

y se adiciona el efecto de corte encontrado, se tiene:

k = kf + ks

7

k =

26666666664

12EI

l3e(1 + )

6EI

l2e(1 + ) 12EIl3e(1 + )

6EI

l2e(1 + )6EI

l2e(1 + )

EI

le

(4 + )

(1 + ) 6EIl2e(1 + )

EI

le

(2 )(1 + )

12EIl3e(1 + )

6EIl2e(1 + )

12EI

l3e(1 + ) 6EIl2e(1 + )

6EI

l2e(1 + )

EI

le

(2 )(1 + )

6EIl2e(1 + )

EI

le

(4 + )

(1 + )

37777777775Notar que si = 0, entonces la viga formulada a partir de la hiptesis de Timoshenko, se reduce a la viga

de Euler-Bernoulli.

Nota: Empricamente puede plantearse que una relacin espesorlargo viga 0:5 involucra una incidenciaimportante de los efectos de corte, i.e la hiptesis de Euler-Bernoulli ya no es vlida, debiendo ser necesarioincluir este efecto en el anlisis.


WP =

ZV

vT dV =

Ze

A(x)HTqT dx = qTZ 1

1

A()HT

@x

@d

= qT f

f =

Z 11

A()HT

le2d Vector de fuerzas volumtricas (peso propio).

Con : Peso especco.


WP =

ZS

vTTdS =

Ze

HTqT fs(x)dx = qT

Z 11fs()H

T @x

@d

= qTT

T =

Z 11fs()H

T le2d Vector de fuerzas distribuidas.

Si A(x) = A; fs(x) = q:

f =

Ale2

8>>>>>>>>>:

1le61le6

9>>>>>=>>>>>;T =

qle2

8>>>>>>>>>:

1le61le6

9>>>>>=>>>>>;Vigas apoyadas sobre terreno (Viga Winkleriana)

En numerosos casos, las vigas pueden situarse en contacto directo con el terreno, como es el caso devigas y losas de fundacin, losas de pavimento o en general elementos estructurales enterrados.

Los modelos ms tradicionales para abordar este tipo de problemas son el modelo de "Viga Win-kleriana" y el de "Viga en Medio Elstico". Ambos modelos son apropiados para modelar la interaccinsuelo-estructura, dependiendo de las propiedades del terreno.

As, el primer modelo asume que la resistencia del suelo al corte es despreciable en comparacincon la resistencia al corte del bloque de hormign de la zapata o viga de fundacin. Este tipo de modelosimula una "cama" de resortes independientes uno del otro. Por el contrario, el segundo modelo de Viga enMedio Elstico considera la resistencia al corte que ofrece el suelo en los bordes de la fundacin, sin embargo,

8

ambos modelos fallan en la prediccin de los asentamientos en las regiones ms alejadas, fuera de la viga defundacin.

Se abordar el modelo de Viga Winkleriana, incorporando a la expresin de energa potencial paraun elemento Viga tradicional, el siguiente trmino:

Ur =1

2

Ze

Cbbv2dx

DondeCb :Coeciente de balasto del suelo (kgf=cm3):b: Ancho fundacin.s = Cbb : Rigidez por unidad de longitud del medio.

v = Hq =) Ur = 12qTCbb

Ze

HTHdx

q =

1

2qTCbb

Z 11HTH

d

dxd

q =

1

2qTkrq

kr =Cbble420

2664156 22le 54 13le22le 4l

2e 13le 3l2e

54 13le 156 22le13le 3l2e 22le 4l2e

3775Elementos Marco

Elemento Marco 2D

Ampliando los conceptos de los elementos Barra y Viga se logra el desarrollo de un tercer elemento,tanto bajo efectos de traccin (compresin) como de momento ector; Provisto de tres grados de libertadpor nodo en sistema coordenado local: uno traslacional, uno perpendicular al eje longitudinal del elementoy una rotacin.

Matriz de Rigidez para I(x) = I; E(x) = E;A(x) = A:

k =

266666666666666664

AE

le0 0 AE

le0 0

012EI

l3e

6EI

l2e0 12EI

l3e

6EI

l2e

06EI

l2e

4EI

le0 6EI

l2e

2EI

le

AEle

0 0AE

le0 0

0 12EIl3e

6EIl2e

012EI

l3e6EIl2e

06EI

l2e

2EI

le0 6EI

l2e

4EI

le

377777777777777775

9

Matriz de transformacin Local-Global:

q0 = fq01; q02; q03; q04; q05; q06g : Coordenadas Locales.q = fq1; q2; q3; q4; q5; q6g : Coordenadas Globales.8>>>>>>>>>>>:

q01q02q03q04q05q06

9>>>>>>=>>>>>>;=

26666664cos(u) sin(u) 0 0 0 0 sin(u) cos(u) 0 0 0 0

0 0 1 0 0 00 0 0 cos(u) sin(u) 00 0 0 sin(u) cos(u) 00 0 0 0 0 1

37777775

8>>>>>>>>>>>:

q1q2q3q4q5q6

9>>>>>>=>>>>>>;q0 = Aq

U =1

2q0Tk0q0 =

1

2

qTAT

k0 (Aq) =

1

2qTATk0A

q =

1

2qTkq

k = ATk0A Transformacin Local-Global

Con:k : Matriz de Rigidez Global.k0 : Matriz de Rigidez Local.A :Matriz de Transformacin.

Elemento Marco 3D

Elementos Isoparamtricos Bidimensionales

Elemento Slido 2D (Cuadriltero de 4 Nodos Bilineal)

Modelado para presentar caractersticas de tensin y deformacin plana. Efectivo para modelacinde taludes, planchas gruesas o delgadas con carga en el plano, muros de corte en edicios y en general,modelaciones bidimensionales. Una de sus principales caractersticas es la capacidad de reproducir variacionesde deformacin y tensin dentro del elemento. Caracterizado por presentar 2 grados de libertad traslacionalespor nodo en su propio plano, es decir, un total de 8 grados de libertad por elemento.

10

Funciones de Forma (Polinomios de Lagrange Bilineales en coordenadas Naturales):

Ni : [1; 1] [1; 1]! [0; 1]Ni(; ) = L

(2)i L

(2)i

N1(; ) = L(2)1 L

(2)1 =

11 1

11 1 =

1

4(1 )(1 )

0.5

1.0

-1-1 e0

10

0.01

N1

n

N2(; ) = L(2)2 L

(2)2 =

+ 1

1 + 1

11 1 =

1

4(1 + )(1 )

e

0

N20.0

1

0.5

1.0

1

n0

-1 -1

N3(; ) = L(2)3 L

(2)3 =

+ 1

1 + 1

+ 1

1 + 1=1

4(1 + )(1 + )

11

-1 -1 e

0.01

1

0

n0

N3 0.51.0

N4(; ) = L(2)4 L

(2)4 =

11 1

+ 1

1 + 1=1

4(1 )(1 + )

-1 en0

1

N40.0

0.5

1.0

-10

1

Relacin Isoparamtrica Bidimensional:

x : [1; 1] [1; 1]! e R2x(; ) = (x(; ); y(; ))

x(; ) =X

Ni(; )xi = N1(; )x1 +N2(; )x2 +N3(; )x3 +N4(; )x4

y(; ) =X

Ni(; )yi = N1(; )y1 +N2(; )y2 +N3(; )y3 +N4(; )y4

Interpolacin Desplazamiento:

u =X

Ni(; )q2k1 = N1(; )q1 +N2(; )q3 +N3(; )q5 +N4(; )q7

v =X

Ni(; )q2k = N1(; )q2 +N2(; )q4 +N3(; )q6 +N4(; )q8

u = Nq

N =

N1(; ) 0 N2(; ) 0 N3(; ) 0 N4(; ) 00 N1(; ) 0 N2(; ) 0 N3(; ) 0 N4(; )

Relaciones Tensin-Deformacin:

" =

8>>>>>>>>>:

@u

@x@v

@y@u

@y+@v

@x

9>>>>>=>>>>>; = D"

12

D =E

(1 + )(1 2)

2641 0 1 00 0

1 22

375 Deformacin Plana (z 6= 0)

D =E

1 2

2641 0 1 00 0

1 2

375 Tensin Plana ("z 6= 0)Anlisis Previo:

Sea f = f [x(; ); y(; )] alguna propiedad de inters, en particular, las componentes del campo dedesplazamiento (u; v).

@f

@=@f

@x

@x

@+@f

@y

@y

@@f

@=@f

@x

@x

@+@f

@y

@y

@8>:@f

@@f

@

9>=>; =264@x

@

@y

@@x

@

@y

@

3758>:@f

@x@f

@y

9>=>; = J8>:@f

@x@f

@y

9>=>;()8>:@f

@x@f

@y

9>=>; = J18>:@f

@@f

@

9>=>;

J = rx(; ) =

264@x

@

@y

@@x

@

@y

@

375() J1 = 1jdetJjJ22 J12J21 J11

x(; ) =X

Ni(; )xi

y(; ) =X

Ni(; )yi

J =

264P @Ni

@P @Ni@

3752664x1 y1x2 y2x3 y3x4 y4

3775Si se dene: N(; ) = (N1; N2; N3; N4) Campo de Funciones de Forma.

J = rNT (; )X

j = rNT (; ) = 14

(1 ) (1 ) (1 + ) (1 + )(1 ) (1 + ) (1 + ) (1 )

Matriz de Rigidez:

Ahora, si: u = u[x(; ); y(; )] v = v[x(; ); y(; )]8>:@u

@x@u

@y

9>=>; = 1jdetJjJ22 J12J21 J11

8>:@u

@@u

@

9>=>;8>:@v

@x@v

@y

9>=>; = 1jdetJjJ22 J12J21 J11

8>:@v

@@v

@

9>=>;

13

=) " =

8>>>>>>>>>:

@u

@x@v

@y@u

@y+@v

@x

9>>>>>=>>>>>;=

1

jdetJj

24 J22 J12 0 00 0 J21 J11J21 J11 J22 J12

358>>>>>>>>>>>>>>>>>:

@u

@@u

@@v

@@v

@

9>>>>>>>>>=>>>>>>>>>;@u

@=X @Ni

@q2k1 = 1

4(1 )q1 + 1

4(1 )q3 + 1

4(1 + )q5 1

4(1 + )q7

@u

@=X @Ni

@q2k1 = 1

4(1 )q1 1

4(1 + )q3 +

1

4(1 + )q5 +

1

4(1 )q7

@v

@=X @Ni

@q2k = 1

4(1 )q2 + 1

4(1 )q4 + 1

4(1 + )q6 1

4(1 + )q8

@v

@=X @Ni

@q2k = 1

4(1 )q2 1

4(1 + )q4 +

1

4(1 + )q6 +

1

4(1 )q8

8>>>>>>>>>>>>>>>>>:

@u

@@u

@@v

@@v

@

9>>>>>>>>>=>>>>>>>>>;=

2664j11 0 j12 0 j13 0 j14 0j21 0 j22 0 j13 0 j24 00 j11 0 j12 0 j13 0 j140 j21 0 j22 0 j13 0 j24

3775

8>>>>>>>>>>>>>>>>>>>:

q1q2q3q4q5q6q7q8

9>>>>>>>>>>=>>>>>>>>>>;

" =1

jdetJj

24 J22 J12 0 00 0 J21 J11J21 J11 J22 J12


3775

8>>>>>>>>>>>>>>>>>>>:

q1q2q3q4q5q6q7q8

9>>>>>>>>>>=>>>>>>>>>>;= Bq

B =1

jdetJj

24 J22 J12 0 00 0 J21 J11J21 J11 J22 J12


3775" = Bq = DBq dV = t(x; y)dxdy t(x; y) : Espesor del elemento.

U =1

2

ZV

T"dV =1

2qTZ

V

BTDTBdV

q =

1

2qTkq

k =

ZV

BTDTBdV =

ZZA

t(x; y)BTDTBdxdy =

Z 11

Z 11t(; )BTDTB jdetJj dd


WP =

ZV

uT fvdV =

ZZA

qTNT fvt(x; y)dxdy = qT

Z 11

Z 11NT fvt(; ) jdetJj dd

= qT f

f =

Z 11

Z 11NT fvt(; ) jdetJj dd Vector de fuerzas volumtricas (peso propio).

14

Confv = ffx; fygT : Campo de fuerzas msicas por unidad de volmen.u = fu; vg: Campo de desplazamiento.


Sobre lado N3 N4 del elemento y con t(x; y) = cte:

WP =

ZS

uTTdS =

ZL34

t(x; y)qTNTTdL34 = qT

t

Z 11NTT()

@x

@d

= qTT34

N(; = 1) =1

2

1 + 0 1 0 0 0 0 00 1 + 0 1 0 0 0 0

( = 1 en el lado N3 N4)

T34 =jx4 x3j

2

t

2

Z 11

1 + 0 1 0 0 0 0 00 1 + 0 1 0 0 0 0

TT()d

Si T() = fTx34 ; Ty34gT y jx4 x3j = L34 :

T34 =jx4 x3j

2

t

2

Z 11

1 + 0 1 0 0 0 0 00 1 + 0 1 0 0 0 0

T Tx34Ty34

d

T34 =tL342

Tx34 Ty34 Tx34 Ty34 0 0 0 0

TAnlogamente, con los lados restantes:

T =1

2tL34

8>>>>>>>>>>>>>>>>>>>:

Tx34Ty34Tx34Ty340000

9>>>>>>>>>>=>>>>>>>>>>;+1

2tL41

8>>>>>>>>>>>>>>>>>>>:

00Tx41Ty41Tx41Ty4100

9>>>>>>>>>>=>>>>>>>>>>;+1

2tL12

8>>>>>>>>>>>>>>>>>>>:

0000Tx12Tx12Tx12Ty12

9>>>>>>>>>>=>>>>>>>>>>;+1

2tL23

8>>>>>>>>>>>>>>>>>>>:

Tx23Ty240000Tx23Ty23

9>>>>>>>>>>=>>>>>>>>>>;Elemento Triangular de deformacin unitaria constante (CST)

Funciones de Forma

N1(; ) = N2(; ) =

N3(; ) = 1

Relacin Isoparamtrica

x = N1x1 +N2x2 +N3x3y = N1y1 +N2y2 +N3y3

Interpolacin Desplazamiento

u = N1q1 +N2q3 +N3q5v = N1q2 +N2q4 +N3q6

u =

uv

N =

N1 0 N2 0 N3 00 N1 0 N2 0 N3

u = Nq

15

Formulacin del elemento@u

@=@u

@x

@x

@+@u

@y

@y

@;

@u

@=@u

@x

@x

@+@u

@y

@y

@

(@u@@u@

)=

"@x@

@y@

@x@

@y@

#@u@x@u@y

xi xj def= xij

J =

"@x@

@y@

@x@

@y@

#=

x13 y13x23 y23

()

@u@x@u@y

= J1

(@u@@u@

)

J1 =1

detJ

y23 y13x23 x13

Ae =

1

2jdetJj

@u@x@u@y

=

1

detJ

(y23

@u@ y13 @u@

x23 @u@ x13 @u@

) @v@x@v@y

=

1

detJ

(y23

@v@ y13 @v@

x23 @v@ x13 @v@

)

Vector de deformacin unitaria

" =

8

Elemento Plate

Elemento Plate (Placa Isoparamtrica de 4 Nodos Bilineal)

El anlisis de problemas relacionados a la Teora de Placas Delgadas fue una de las primeras aplicacionesdel Mtodo de Elementos Finitos. Su modelo matemtico gobernante corresponde a una ecuacin diferencialde cuarto orden y, como tal, tiene requisitos de continuidad ms estrictos. Este elemento fue discutido enconjunto por Hughs y Cohen (1978) y posteriormente por Hughs (1987).

Los grados de libertad (en coordenadas locales) que denen al elemento plate corresponden a unotraslacional, asociado al desplazamiento vertical w, perpendicular a la placa y a dos rotacionales, correspon-dientes a los giros x y y, en torno a los ejes y y x (en rigor, y , en torno a y ). Luego, un elementoplate cuadriltero posee tres grados de libertad por nodo, es decir, un total de doce grados de libertad.

Funciones de Forma Bilineales:

N1(; ) =1

4(1 )(1 ) N2(; ) = 1

4(1 + )(1 )

N3(; ) =1

4(1 + )(1 + ) N4(; ) =

1

4(1 )(1 + )

Formulacin Isoparamtrica Bidimensional:

x(; ) = N1(; )x1 +N2(; )x2 +N3(; )x3 +N4(; )x4 = Nxy(; ) = N1(; )y1 +N2(; )y2 +N3(; )y3 +N4(; )y4 = Ny

Interpolacin de los campos de Desplazamiento y Giro:

w(; ) = N1(; )w1 +N2(; )w2 +N3(; )w3 +N4(; )w4x(; ) = N1(; )x1 +N2(; )x2 +N3(; )x3 +N4(; )x4y(; ) = N1(; )y1 +N2(; )y2 +N3(; )y3 +N4(; )y48

=) " =8>>>>>>>>:

z @x@x

z @y@y

z@x@x

+@y@y

9>>>>>=>>>>>;

Anlisis Previo: 8>:@

@@

@

9>=>; =264@x

@

@y

@@x

@

@y

@

3758>:@

@x@

@y

9>=>; = J8>:@

@x@

@y

9>=>;()8>:@

@x@

@y

9>=>; = J18>:@

@@

@

9>=>;N(; ) = (N1(; ); N2(; ); N3(; ); N4(; ))

J = rNT (; )X

j = rNT (; ) = 14

(1 ) (1 ) (1 + ) (1 + )(1 ) (1 + ) (1 + ) (1 )

8>:@x@@x@

9>=>; = J8>:@x@x@x@y

9>=>;()8>:@x@x@x@y

9>=>; = J18>:@x@@x@

9>=>;8>:@y@@y@

9>=>; = J8>:@y@x@y@y

9>=>;()8>:@y@x@y@y

9>=>; = J18>:@y@@y@

9>=>;J1 =

1

jdetJjJ22 J12J21 J11

=) " =

8>>>>>>>>>:z @x

@x

z @y@y

z@x@x

+@y@y

9>>>>>=>>>>>;= z 1jdetJj

24 J22 J12 0 00 0 J21 J11J21 J11 J22 J12

358>>>>>>>>>>>>>>>>>:

@

@@x@@y@@y@

9>>>>>>>>>=>>>>>>>>>;@x@

=X @Ni

@xi = 1

4(1 )x1 + 1

4(1 )x2 + 1

4(1 + )x3 1

4(1 + )x4

@x@

=X @Ni

@xi = 1

4(1 )x1 1

4(1 + )x2 +

1

4(1 + )x3 +

1

4(1 )x4

@y@

=X @Ni

@wi = 1

4(1 )y1 + 1

4(1 )y2 + 1

4(1 + )y3 1

4(1 + )y4

@y@

=X @Ni

@wi = 1

4(1 )y1 1

4(1 + )y2 +

1

4(1 + )y3 +

1

4(1 )y4

18

8>>>>>>>>>>>>>>>>>:

@x@@x@@y@@y@

9>>>>>>>>>=>>>>>>>>>;=

26640 j11 0 0 j12 0 0 j13 0 0 j14 00 j21 0 0 j22 0 0 j13 0 0 j24 00 0 j11 0 0 j12 0 0 j13 0 0 j140 0 j21 0 0 j22 0 0 j13 0 0 j24

3775q

" = z 1jdetJj

24 J22 J12 0 00 0 J21 J11J21 J11 J22 J12


3775q" = Bq

B =1

jdetJj

24 J22 J12 0 00 0 J21 J11J21 J11 J22 J12


3775Relaciones Tensin-Deformacin:

" = Bq = DBq D =E

1 2

2641 0 1 00 0

1 2

375Matriz de Rigidez:

U =1

2

ZV

T"dV =1

2qTZ

V

(z)BTDT (z)BdVq

, 12qTZ

V

z2BTDTBdV

q =

1

2qTkfq

kf =

ZV

z2BTDTBdV =

ZZA

BTDTBdA

Z t2

t2z2dz =

t3

12

ZZA

BTDTBdA

kf =t3

12

Z 11

Z 11BTDTB jdetJj dd

Hiptesis de Mindlin-Reissner (incorporando efectos de Corte):

u(x; y) =

8:@w

@x x

@w

@y y

9>=>;Incorporacin de Efectos de Corte: 8>:

@w

@x@w

@y

9>=>; = J18>:@w

@@w

@

9>=>;J = rNT (; )X

19

@w

@=X @Ni

@wi = 1

4(1 )w1 + 1

4(1 )w2 + 1

4(1 + )w3 1

4(1 + )w4

@w

@=X @Ni

@wi = 1

4(1 )w1 1

4(1 + )w2 +

1

4(1 + )w3 +

1

4(1 )w4

8>:@w

@@w

@

9>=>; = 14(1 ) (1 ) (1 + ) (1 + )(1 ) (1 + ) (1 + ) (1 )

8>>>:w1w2w3w4

9>>=>>;rwT (; ) = jw

O bien referido a la totalidad de grados de libertad del elemento (q):8>:@w

@@w

@

9>=>; =j11 0 0 j12 0 0 j13 0 0 j14 0 0j21 0 0 j22 0 0 j13 0 0 j24 0 0

q

Adems puede escribirse:

yx

=

0 N1 0 0 N2 0 0 N3 0 0 N4 00 0 N1 0 0 N2 0 0 N3 0 0 N4

q

=) =

xz

yz

=

8>:@w

@x x

@w

@y y

9>=>; =0B@J1

8>:@w

@@w

@

9>=>;xy

1CA q = Sq

S = J1

8>:@w

@@w

@

9>=>;xy

Relaciones Tensin-Deformacin:

= Sq = G =) = GSq

G =E

2 (1 + )

1 00 1

Matriz de Rigidez:

U =1

2

Z TV

T dV =1

2qTZ

V

STGTSdV

q =

1

2qTksq

ks =

ZV

STGTSdV =

ZZA

STGTSdA

Z t2

t2dz = t

ZZA

STGTSdA

k = t

Z 11

Z 11STGTS jdetJj dd

k = kf+ks

k =t3

12

Z 11

Z 11BTDTB jdetJj dd + t

Z 11

Z 11STGTS jdetJj dd

20


WP =

ZV

uT fvdV =

ZZA

qTNT fvtdxdy = qT

Z 11

Z 11NT fvt jdetJj dd

= qT f

f =

Z 11

Z 11NT fvt(; ) jdetJj dd Vector de fuerzas volumtricas (peso propio).

Confv = ffx; fy; fzgT : Campo de fuerzas msicas por unidad de volmen.u = fu; v; wg: Campo de desplazamiento.


WP =

ZS

uTTdS = qTZZ

A

NTT (x; y)dxdy = qTZ 11

Z 11NTT (x; y) jdetJj dd = qTT

T =

Z 11

Z 11NTT (x; y) jdetJj dd Vector de fuerzas distribuidas.

21

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