TENSOR INERSIA

Pengertian Tensor Inersia

Tensor inersia adalah salah bentuk khusus dari tensor cartesian yang dapat ditemukan dalam permaslahan mekanika dimensi tiga yang banyak melibatkan benda tegar.Tensor selalu dalam bentuk matrik.seperti contoh dibawah ada 3 elemen x,y,z dimana torsi yang terjadi.

Definisi Tensor Inersia –Momen Sudut

Pandang suatu benda tegar yang berputar dengan kecepatan sudut w terhadap titik O diberikan dengan rumus momentum

r adalah vektor posisi yang mempunyai kecepatan linier v, ρ (r) adalah kerapatan benda dan v menyatakan volume benda.

V

dvvxrrH )()0(

Jika w menyatakan kecepatan sudut maka kecepatan linier :

Sehingga :

Tensor

Sehingga Momentum Sudut (Tensor Inersia)

rxwv V

dvvxrrH )()0(

V

dvrxwrrwrH 2)()0(

V

dvrrrrI )1()()0( 2

wIH .0)0(

V

dvrxwxrrH )()()0(

Penggunaan Tensor Inersia dalam Energi kinetik benda didefinisikan sebagai

V

dvvrT 2)(21

V

dvrxwrT 2)(21

V

dvrxwrxwrT )(21

V

r dvwrrwrT 22)(

V

dvwwrrrrT :)1()( 2

Sehingga persamaan Tensor inersia dapat ditulis

wwIT :021

wIwT .0.21

Jika dinyatakan dalam momentum sudut H (0)

wHT .021

rxwVv Sehingga energi kinetik dari benda

V

dvvrT 2)(21

V

dvrxwrT 2)(21

V

dvrxwrxwVVrT 22 .2)(21

VVV

dvrxwrdvrxwrdvVrT )(21)(

21)(

21 22

V

dVrrwxVwwOIMVT :21

21 2

V

dvrM )(

Dimana M adalah Massa Benda

Apabila titik pusat O berimpit dengan titik berat G, dimana vektor posisi titik berat G dirumuskan

V

V

dvr

dvrrr

)(

)(

Sehingga titik pusat O berimpit dengan G dirumuskan

V

dvrrM )(

wwGIMVT :21

21 2

Sehingga persamaan energi kinetik berubah menjadi

Dimana V adalah kecepatan dari titik berat dan I (G) tensor inersia dari titik berat

wwGIMVT :21

21 2

Komponen – komponen Tensor Inersia

Dari persamaan tensor yang telah dibahas diatas :

V

dvrrrrI )1()()0( 2

Dimana r adalah vektor posisi dari benda terhadap titik O dan 1 adalah tensor satuan.

Misalkan vektor posisi r dinyatakan dengan x1, x2, x3 maka :

rrr 12

rrr 12

Sehingga jika tensor inersia I(O) terssebut dinyatakan dalam komponen komponen menjadi

Momen Inersia (Momen Kelembaman)

Momen inersia terhadap sumbu-sumbu utama yang bersesuaian, seperti ;

Jari-jari girasi

Ellipsoid Momental

Contoh