STATISTIKA U PSIHOLOGIJI 1STATISTIKA U ISTRAIVANJU OBRAZOVANJA

SLUAJNE VARIJABLE I NJIHOVE DISTRIBUCIJEOliver TokoviUniverzitet u BeograduFilozofski fakultet

SLUAJNA VARIJABLASluajna varijabla je funkcija koja preslikava ishode iz S (skupa moguih ishoda sluajnog eksperimenta) u skup realnih brojeva

Sluajna varijabla - svaka mogua vrednost kao sluaj sa odreenom verovatnoom, zbir verovatnoa za sve mogue vrednosti je 1

Svako ponaanje ispitanika, podatak, je nepredvidivo, tj deava se sa odreenom verovatnoom

Primer: ukupan broj pisama u tri bacanja novia, IQ, broj lanova porodice, statistik AS (ako je uzorak sluajan)

DISKRETNE I KONTINUIRANEDiskretna: uzima konaan ili prebrojivo beskonaan broj vrednostiKontinuirana (neprekidna): uzima kontinuiran, neprebrojivo beskonaan broj vrednostiPrimeri: diskretne: broj dece, bacanje noviakontinuirane: IQ, visina

DISTRIBUCIJERaspodele uestalostiOdnos vrednosti varijable i njihovih frekvenciFunkcije gustineocena broj studenata

Chart1

0000860

000020

000060

000050

000020

000010

jun

septembar

oktobar

novembar

januar

april

svi

staroPoeniOcenepetestsedamosamdevetdesetukupno% palo% proloprolo (f)

kolok1januarapriljunseptembaroktobarnovembarjan862652110284.3115.6916.00

Prezime i imepoeniocenaIIIkred1kred2totalIIIkred1kred2totalIIIkred1kred2totalIIIkred1kred2totalIIIkred1kred2totalIIIkred1kred2totalkolok1januarapriljunseptembaroktobarnovembarapril00000000.000.000.00

004_06Sulji Bojan35732375jun00000000.000.000.00

005_06Ranelovi Marina40843435sept00000000.000.000.00

008_06Krsti Danijela408634747okt00000000.000.000.00

009_06Risti Saa30622325nov00000000.000.000.00

010_06Iliji Sanela433516.00

013_06Kosti Sonja3065342365

015_06Truni Jasmina40832425

016_03Vukadinovi Ivana1042425

016_06arac Gorana40822425

019_06Krsti Danijela40832425

021_06oki Jovana459114691-1.46-1.469

023_06Mileti Nevena202025

025_06Kouti Marko504045

026_06Vasi Jelena40822425

028_06Ostoji Branislava408838788

030_06Deni Aleksandra35743385

035_06ekrdin Senka322245

040_06Zubac Marina40854445

049_06Milkovi Suzana30622325

052_06Staji Nataa30622325

053_06Radulovi Marija45922475

055_06Anti Danica322245

056_06Vasi Dubravka35732375

057_06Jovanov Danijel30643335

062_06Labus Martina45954495

067_06Dmitrovi Neda61341355

072_06Pavi Svetozar40843435

073_03Joci Tanja524265

073_06ai Ana35754395

075_06Zari Tijana40800405

076_06Perii Marija501043535

077_06Jaimovi Sanja843817556

078_06Trii Ana408634747

079_06Petrovi Katarina40822425

083_06Bokovi Bojana501032525

087_06Romi Slavica40832425

095_06Mati Zorica30632325

098_06Karadin elimira30622325

099_06Radnovi Suzana554485

100_06Mijatovi Uro433255

104_06orevi Bojana40822425

108_06orevi Magdalena306634646

116_06urevi Ana35732375

118_06orevi Milica408736768

120_06urii Katarina501022525

123_06Stojanovi Dragana408940808

136_06Dudok Ana40843435

140_03Milievi Marija73362385

144_06Stevanovi Branka433255

147_06Kosti Marijana35743385

155_06Petri Andrea501032525

162_06Staji Bogdan3572020375

172_06arac Iva35743385

173_06Petrovi Ivana35732375

175_06iri Aleksandra40822425

177_06Kovaevi Nataa40843435

178_06Pantovi Bojana357634697

180_06Vueti Marija45911465

182_06Bezarevi Aleksandra408838788

184_06Stanimirovi Duanka459940859

188_06Velikovi Ana357736717

189_06Jani Dubravka1042425

190_06Muli Vladana501011469610

191_06Gavrilovi Nataa501043535

194_06Vujanovi Dragan40832425

197_06Simi Ivana30654345

203_06Godi P. Aleksandra40832425

205_06Nikoli D. Aleksandar306736667

206_06Josi N. Katarina35743385

207_06Markovski N. Miljana40822425

208_06Petrovi M. Katarina35722375

209_06orevi J. Jasmina40832425

216_06ivkovi M. Sneana35722375

236_06Ilijin G. Sran634345

242_06Milovanovi M. Mia3225

245_06Kani . Marko312135

252_06Rabrenovi R. Sofija35743385

260_06Stojanovi S. Jelena35754395

266_06Perakovi Z. Marina342355

269_06Krsti S. Sonja40811415

278_06orevi D. Marina222245

287_06Panii L. Jelena121235

291_06Vorkapi S. Danka40832425

297_06Ajdani Lj. Branka35711365

300_06Pilipovi D. Petar332245

306_06Sulejmani V. Elma443365

307_06Gvozdenovi M. Petar35743385

317_06umi Z. Maja30611315

329_06Milutinovi Z. Tijana501022525

334_06Parezanovi . Dragan020225

342_06Boi D. Saa357634697

349_06Gaji D. Ivana459634798

360_06Bira . Sanja141345

372_06Beronja S. Maja40854445

376_06Nikoli B. Ivan322245

381_06Ravas P. Andrija30622325

392_06Marinovi B. Milica4335

404_06Maksimovi R. Jelena524265

408_06Vinji M. Marina232245

414_06Blagojev S. Jelena40832425

415_06Tanasi M. Jelena501054545

418_06Popovi J. Vanja501032525

080_06Aksentijevi Sneana357

210_06Aleksi M. Marija306

347_06Aleksi T. Katarina408

268_06Andonov K. Danka

389_06Anii L. Borislav

137_06Anti Jelena306

235_06Arseni G. Lara5010

438_06Arsin . Tamara357

213_06Babi R. Rada357

357_06Babi . eljana357

316_06Baji O. Nevena408

336_06Balti Lj. Milica408

274_06Banovaki D. Ivana408

202_06Batakovi R. Milomirka408

340_06Belovanovi J. Jovana357

134_06Bence Sanja408

107_06Beranovi R. Mirjana408

250_06Bjeki B. Jelena408

097_06Bogdanovi Irena

238_06Bogievi R. Gorica408

429_06Bojovi D. Danilo459

141_06Borjan Ilijana408

140_06Bokovi Bojana459

146_06Boani Marija

183_06Boicki Maja459

327_06Brdarevi Z. Nemanja357

084_06Brkovi Sofija459

283_06Budeevi S. Marija459

130_06Butaevi Vladimir408

420_06avajda S. Luka408

039_06ipak Aneta357

225_06irkovi D. Ljubica408

253_06irovi M. Milica357

440_06osi P. Violeta

111_06ovi Martina408

338_06Cvetinov S. Bojan408

218_06Cvetkovi B. Katarina357

354_06Deli N. Bojana306

044_06Dimitrijevi Tamara306

229_06Dimitrov Z. Ivana408

407_06Dimovi D. Jelena408

071_06oki Marijana

380_06oki R. Kosa

156_06oki Tamara408

063_06oki Zorana

170_06oli Radmila357

292_06onli S. Branka408

401_06orevi D. Marija408

277_06orevi M. Tamara408

061_06orevi Milica357

022_06Dragievi Marina408

043_06Draji Jelena408

058_06Drakovi Dubravka459

006_06Drobnjak Bojana

192_06uza Filip

106_06Dufi Jasna459

148_06Erovi Marica306

014_06Fati Saka408

161_06Filajdi Milica5010

132_06Filipovi Ljiljana306

133_06Galjak Aleksa357

273_06Glavonji Lj. Nemanja459

011_06Golijan Nevenka459

219_06Govedarica D. Anela357

371_06Grgi M. Jasmina357

231_06Grozdanovi A. Emilija

220_06Gruji S. Ivana408

179_06Ili Bojana5010

363_06Ili D. Milena306

215_06Ili M. Dragica357

041_06Ivkovi Danijela357

237_06Ivljanin J. Marina357

373_06Jakupovi L. Semir408

187_06Jani Ivana357

001_06Jankovi Katarina306

303_06Jankovi Z. Bojana408

344_06Janoevi G. Ksenija5010

270_06Jemenica M. Sneana408

186_06Jeli Mirjana306

088_06Joki Marijana357

241_06Joki P. Biljana408

227_06Josimovi Jelena459

271_06Josipovi R. Iva

396_06Jovanovi A. Jelena408

409_06Jovanovi D. Branka408

126_06Jovanovi Danijela

102_06Jovanovi Jasmina459

171_06Jovanovi Jelena306

246_06Jovanovi Z. Zorana357

221_06Jovi S. Ivana408

027_06Kaarevi Aleksandra357

361_06Kaji R. Jovica

365_06Kariik D. Duanka408

074_06Kisi Sneana306

012_06Koji Bojana459

096_06Kokanovi Marija357

375_06Kolarevi . Aleksandra

122_06Koprivica Jovana408

125_06Kostadinovi Suzana459

064_06Kostadinovi Tamara306

281_06Kosti Z. Ivana306

442_06Kova M. Nataa408

110_06Kovai Anita459

249_06Kozina J. Ljubica357

339_06Krivokua Z. Tijana306

114_06Krstovi Marija5010

320_06Kusturin J. Marija306

002_06Kuzmanovi Marijana408

163_06Labovi Nataa357

377_06Lazi S. Mina306

092_06Lazi Slaana459

157_06Lekovi Milka459

263_06Ljubinkovi M. Ivana

353_06Ljuboja B. Romana357

201_06Luki A. Marija408

094_06Luki Marija357

038_06Luki Silvana408

159_06Lukovi Ivana408

066_06Madarac Momir

412_06Maji M. Katarina

289_06Maki V. Biljana357

160_06Mari Lidija357

441_06Marjanovi T. Milica306

131_06Markovi Danijel306

364_06Markovi G. Marija408

046_06Markovi Jelena357

417_06Markovi M. Marko408

085_06Markovi Marija459

081_06Martinovi Gordana357

042_06Mati Ivana357

018_06Mati Tamara459

400_06Medakovi B. Andrijana408

422_06Merdovi V. Slavica357

243_06Mihajlica M. Jovana408

295_06Mihalj Z. Renata357

256_06Mijatovi D. Danka408

199_06Milenkovi Jovana357

248_06Milenkovi Z. Dragana408

149_06Mileti Bojana408

045_06Milivojevi Ivan408

007_06Milivojevi Marina408

233_06Miljatovi V. Tijana408

323_06Milojevi M. Svetlana357

539_07Milosavljevi R. Marija

264_06Miloevi D. Bojana357

352_06Miloevi J. Kristina

129_06Miloevi Jelisavka357

330_06Miloevi Z. David

195_06Mitov Bojana357

419_06Mitrovi A. Ivana5010

054_06Mitrovi Bojana5010

314_06Mladenovi R. Momir

127_06Mladenovi Rada408

181_06Mrvi Ivana306

020_06Narandi Ivan306

217_06Nedi S. Milijana

128_06Nedovi Tanja357

426_06Neovi S. Jelena

366_06Nikoli I. Marija306

193_06Nikoli Ivana408

423_06Nikoli N. Svetislav408

029_06Obradovi Dubravka408

142_06Obradovi Tamara306

135_06Oroslamo Monika

348_06Ostoji N. Mladena306

395_06Panjik B. Tamara

382_06Paunovi S. Tijana357

051_06Pavlovi Rada

222_06Pavlovi B. Jovana306

391_06Perii D. Ivana

321_06Pervulovi M. Marko357

164_06Petkovi Maja408

176_06Petkovi Marija357

262_06Petkovi S. Marija

065_06Petrovi Biljana306

255_06Petrovi R. Dijana408

247_06Popadi D. Dunja

101_06Popovi Aleksandra408

456_06Popovi Ivana357

257_06Popovi Z. Nevena306

103_06Puri Ivana408

174_06Putica Zorana

068_06Puzovi Branka459

240_06Radmilovi D. Ivana408

138_06Radoii Marija408

356_06Radovi J. Ana408

288_06Raji Z. Svetlana357

387_06Raki N. Marina357

091_06Rakovi Ivana459

405_06Ralevski D. Jelena

379_06Rali M. Milana

158_06Ranelovi Tijana357

290_06Rani M. Jelena5010

115_06Rapai Marko

284_06Rai P. Marija459

121_06Relji Milica5010

609_06Risti D. Nataa357

265_06Ristovi I. Ksenija306

299_06Rodi I. Iva408

301_06Rogli Nataa306

228_06Rovanin P. Danijela357

298_06ajinovi S. Marijana408

500_06Sari Gordana357

169_06atara Jelena5010

322_06Savanovi M. Kristina306

394_06Savi Lj. Biljana306

113_06evrt Ana306

275_06Simi M. Tanja306

093_06Simovi Irena408

124_06kundri Aleksandar

226_06Smili D. Sanja357

315_06Sokolov M. Sandra459

332_06ovljanski J. Nataa408

437_06Sretenovi R. Ivana306

214_06Staji G. Branislav

119_06Stamenkovi Marina

024_06Stani Jelena459

435_06Stanisavljevi S. Jelena408

143_06Stanii Aleksandra408

153_06Stankovi Ivana357

294_06Stankovi Lj. Ivana357

406_06Stankovi S. Marina

070_06Starinac Predrag

318_06Steki Lj. Ana306

383_06Stevanovi Lj. Ana306

267_06Stjepanovi N. Nataa459

384_06Stoiljkovi P. Jelena

086_06Stoisavljevi Teodora

154_06Stojanovi Anela408

355_06Stojanovi D. Ivana357

351_06Stojanovi M. Ivana408

254_06Stojanovi M. Marija

151_06Stojanovi Olja357

145_06Stojkovi Slaana306

313_06Stojkovski S. Jovana

150_06Stori Anica357

117_06Tijani Rada408

425_06Tirnani D. Biljana357

368_06Todorovi J. eljko408

393_06Todorovi N. eljka306

310_06Todorovi Z. Katarina357

105_06Toi Nataa357

089_06Vasi Dragana

261_06Vasiljevi V. Jelica

059_06Velikovi Andrijana408

033_06Velinovi Nela357

037_06Ven Maja5010

017_06Vidi Renata

036_06Vuji Ivana459

200_06Vujnovi Milica408

112_06Vujovi Sneana408

060_06Vuki Aleksandra408

331_06Vukmir V. Tijana306

003_06Vukovi Milica5010

139_06Zazuljak Ivana408

311_06Zdravkovi Z. Jovana

410_06ivanovi R. Ivana5010

302_06ivojinovi V. Tamara5010

358_06Zlatkovi S. Miroslav

411_06uni . Milica5010

irena: . - .

svi

jun

septembar

oktobar

novembar

januar

april

racunanje

% palo

%uslovno

jun

septembar

oktobar

novembar

januar

april

stampa

&C - -&R 2007/08.

&C- -

irena: . - .

Rezultati 1. kolokvijuma iz Metodologije, mart 2008.

Prezime i imepoeniocenaPrezime i imepoeniocena

Rezultati ispita iz Metodologije, januar 2008.

Prezime i imepoeniocenaPrezime i imepoeniocena

deo 1deo 2deo 1deo 2

Ajdani Lj. Branka15Milkovi Suzana25

Anti Danica325Milovanovi M. Mia35

Beronja S. Maja55Milutinovi Z. Tijana25

Bezarevi Aleksandra87Muli Vladana119

Bira . Sanja145Nikoli B. Ivan325

Blagojev S. Jelena35Nikoli D. Aleksandar77

Bokovi Bojana35Ostoji Branislava87

Boi D. Saa66Panii L. Jelena125

ekrdin Senka325Pantovi Bojana66

iri Aleksandra25Parezanovi . Dragan025

oki Jovana119Pavi Svetozar45

ai Ana55Perakovi Z. Marina345

Deni Aleksandra45Perii Marija45

Dmitrovi Neda615Petri Andrea35

orevi Bojana25Petrovi Ivana35

orevi D. Marina225Petrovi Katarina25

orevi J. Jasmina35Petrovi M. Katarina25

orevi Magdalena66Pilipovi D. Petar335

orevi Milica77Popovi J. Vanja35

Dudok Ana45Rabrenovi R. Sofija45

umi Z. Maja15Radnovi Suzana555

urevi Ana35Radulovi Marija25

urii Katarina25Ranelovi Marina45

Gaji D. Ivana66Ravas P. Andrija25

Gavrilovi Nataa45Risti Saa25

Godi P. Aleksandra35Romi Slavica35

Gvozdenovi M. Petar45arac Gorana25

Iliji Sanela45arac Iva45

Ilijin G. Sran66Simi Ivana55

Jaimovi Sanja846Staji Bogdan205

Jani Dubravka108Staji Nataa25

Joci Tanja525Stanimirovi Duanka98

Josi N. Katarina45Stevanovi Branka435

Jovanov Danijel45Stojanovi Dragana98

Kani . Marko315Stojanovi S. Jelena55

Karadin elimira25Sulejmani V. Elma445

Kosti Marijana45Sulji Bojan35

Kosti Sonja535Tanasi M. Jelena55

Kouti Marko505Trii Ana66

Kovaevi Nataa45Truni Jasmina35

Krsti Danijela66Vasi Dubravka35

Krsti Danijela35Vasi Jelena25

Krsti S. Sonja15Velikovi Ana77

Labus Martina55Vinji M. Marina235

Maksimovi R. Jelena525Vorkapi S. Danka35

Marinovi B. Milica45Vueti Marija15

Markovski N. Miljana25Vujanovi Dragan35

Mati Zorica35Vukadinovi Ivana108

Mijatovi Uro435Zari Tijana05

Mileti Nevena205ivkovi M. Sneana25

Milievi Marija735Zubac Marina55

&C - -&R 2007/08.

&C- -

DISTRIBUCIJA VEROVATNOE DISKRETNE VARIJABLEDistribucija (funkcija) verovatnoe varijable p(x):svaka mogua vrednost xi, vezana za verovatnou deavanja, pi: P(X = x)Bacanje novia tri bacanja, broj grbovaP(X = 0) = 1/8 = 0.125P(X = 1) = 3/8 = 0.375P(X = 2) = 3/8 = 0.375P(X = 3) = 1/8 = 0.125Ukupan zbir = 1

DISTRIBUCIJA, FUNKCIJA GUSTINE KONTINUIRANE VARIJABLE

Funkcija gustine kontinuirane sluajne varijable X, f(x):

Ne govori se o odreenoj vrednostiGustina pojedinih vrednosti, povrina ispod kriveVerovatnoa da varijaba uzme neku od vrednosti iz intervala

Funkcija distribucije ili kumulativna funkcija distribucije sluajne varijable X je:F(x) = P(X x)Verovatnoa da sluajna varijabla uzme vrednost manju ili jednaku od neke vrednosti xBacanje novia:F(0) = 1/8 = 0.125F(1) = 4/8 = 0.5F(2) = 7/8 = 0.875F(3) = 8/8 = 1

KUMULATIVNA FUNKCIJA DISTRIBUCIJE

Kumulativna funkcija distribucije diskretne sluajne varijable X je:

Zbir pojedinanih verovatnoa da sluajna varijabla uzme vrednost manju ili jednaku od neke vrednosti xBacanje novia:F(0) = 1/8 = 0.125F(1) = p(0) + p(1) = 1/8 + 3/8 = 4/8 = 0.5F(2) = p(0) + p(1) +p(2) = 1/8 + 3/8 + 3/8 = 7/8 = 0.875F(3) = p(0) + p(1) +p(2) + p(3) = 1/8 + 3/8 + 3/8 + 1/8 = 8/8 = 1 KUMULATIVNA FUNKCIJA DISKRETNE VARIJABLE

Kumulativna funkcija distribucije kontinuirane sluajne varijable X je:

Integral za neki interval vrednosti (povrina ispod krive)Dakle:

Iz fundamentalne teoreme integralnog rauna sledi: KUMULATIVNA FUNKCIJA KONTINUIRANE VARIJABLE

OSOBINE KUMULATIVNE FUNKCIJE DISTRIBUCIJEFunkcija distribucije je neopadajua funkcijaF(-) = 0;F() = 1;F(a) F(b) ako je a b.

DISTRIBUCIJA VEROVATNOE I FUNKCIJA DISTRIBUCIJE DISKRETNE VARIJABLEvrednost na ordinati funkcije distribucije = zbir verovatnoa do vrednosti apscise distribucije

DISTRIBUCIJA VEROVATNOE I FUNKCIJA DISTRIBUCIJE KONTINUIRANE VARIJABLEvrednost na ordinati funkcije distribucije = povrina ispod vrednosti apscise distribucije

OEKIVANA VREDNOST I VARIJANSA DISKRETNE VARIJABLE

Oekivana vrednost diskretne sluajne varijable, E(X), ili definisana je:

Najverovatnija vrednost!

Varijansa diskretne sluajne varijable, 2 definisana je:

Pouzdanost oekivane vrednosti!

OEKIVANA VREDNOST I VARIJANSA KONTINUIRANE VARIJABLE

Oekivana vrednost kontinuirane sluajne varijable, E(X), ili definisana je:

Najverovatniji interval vrednosti!

Varijansa kontinuirane sluajne varijable, 2 definisana je:

Pouzdanost oekivane vrednosti!

KVANTIL

q-ti kvantil (xq): vrednost sluajne varijable za koju je F(xq) = q, odnosno P(X xq) = qkvantil je vrednost varijable ispod koje se nalazi tano odreeni procenat sluajeva kvantil kao inverzna funkcija: x = F-1(y) ako je y = F(x)xq = F-1(q) Medijana je x0.5, tj. 0.5-ti kvantilPercentili su zapravo odreeni kvantili

GRAFIKO ODREIVANJE KVANTILAna distribuciji - taka na x osi za koju je povrina levo od nje jednaka qna funkciji distribucije - taka na x osi za koju je ordinata jednaka q

VANE DISTRIBUCIJEAko uradimo n DA/NE eksperimenata (diskontinuirana var)npr bacanje novia, ili odgovor na jedno pitanje u testu Kolika je verovatnoa da emo x puta uspeti?npr poloiti testako je p verovatnoa uspeha u jednom pokuaju (jednom pitanju)Binomna raspodela

VANE DISTRIBUCIJEAko nespremni doemo na ispit (nita nismo uili):p0 (verovatnoa reavanja pojedinanog pitanja)A broj pitanja drastino poraste: nPuasonova raspodelapokazuje stepen rasprenja oko neke poznate prosene vrednosti ()

VANE DISTRIBUCIJEAko je varijabla kontinuiranaA pitanja su viestrukog izbora (postoji mogunost pogaanja p0) A broj pitanja drastino poraste: nNormalna raspodelapokazuje raspodelu oko neke prosene vrednosti

NORMALNA DISTRIBUCIJAAko na neku pojavu deluje beskonano mnogo inilaca, postoji tendencija da se entiteti grupiu oko centralne vrednosti

NORMALNA DISTRIBUCIJA

NORMALNA DISTRIBUCIJANajvea uestalost sredinjih meraNajvie prosenih vrednostiMali broj ekstremnih vrednosti, u oba smeraSimetrina oko sredinje vrednostiPodjednak broj niskih i visokih mera

ODSTUPANJAAsimetrijaPojava malog broja veoma ekstremnih vrednostiMera asimetrije: skjunes (Sk)Pozitivno asimetrina distribucijaNegativno asimetrina distribucijaSk > 0Sk < 0

Pozitivno asimetrina distribucijaNegativno asimetrina distribucijaModMedAsModMedAs

ODSTUPANJADevijacije rasponaVelika meusobna slinost ili razliitost unutar grupeMera izduenosti: kurtozis (Ku)Leptokurtina distribucijaPlatokurtina distribucijaKu > 0Ku < 0

RASPODELA NA TESTU

TOI2012Mean13.40Median13.00Mode14.00SD3.81Variance14.49Skewness.069Kurtosis-.572

STANDARDNE SKALEZ-skorStandardizovano odstupanje od proseka

POVRINA ISPOD DISTRIBUCIJE

POVRINA ISPOD DISTRIBUCIJE

PERCENTILIP50P84.13P97.72P2.28P15.87Percentil