UniverzitetuBeograduGraevinskifakultet

Katedrazatehnikumehanikuiteorijukonstrukcija

METODKONANIHELEMENATA

DOC.DRMARIJANEFOVSKADANILOVI

Uvod

tajeMKE?Numerika metoda za reavanje diferencijalnihjednaina kojim se opisuju fiziki fenomeni urazliitim oblastima inenjerstva (mainstvo,graevinarstvo, elektrotehnika, ...)SistemdiferencijalnihjednainasaodgovarajuimgraninimuslovimaineGRANINIPROBLEM

METODKONANIHELEMENATA 2

Uvod

OsnoveMKEFizikadiskretizacijaKonanielementi(KE)meusobnopovezaniuvorovimaOsnovnenepoznateveliinedefinisaneuvorovimaKEMetodadeformacijeMetodasilaMeovita(hibridna)metodaInterpolacionefunkcije

METODKONANIHELEMENATA 3

Uvod

RazlikaizmeuMKEidrugihnumerikihmetoda(metodakonanihrazlikaMKR)?U MKR vri se aproksimacija izvoda nepoznatefunkcije, koji se pojavljuju u diferencijalnojjednaini.U MKE vri se aproksimacija nepoznate funkcije,tj. polja pomeranja svakog konanog elementapomou interpolacionih funkcija

METODKONANIHELEMENATA 4

Uvod

PrednostiMKEuodnosunaostalenumerikemetode:Nemaogranienjaugeometriji,optereenju,graninimuslovima,materijaluKombinovanjerazliitihtipovaKETanostreenjasemoepoveatipoveanjembrojaKE...

METODKONANIHELEMENATA 5

Uvod

PrimeriprimeneMKE

METODKONANIHELEMENATA 6

Formiranjematematikogmodela

METODKONANIHELEMENATA 7

Fiziki model (realna konstrukcija)

Matematiki modelDiferencijalne jednaine

+ granini uslovi

Idealizacija Geometrija Materijal Optereenje Granini uslovi Kinematika

Pitanja Koji su najvaniji fiziki fenomeni? Da li problem zavisi od vremena? Da li je problem linearan ili nelinearan? Koje rezultate elimo da dobijemo? Tanost rezultata?

Da li moemo da reimo matematiki model analitiki?

Primerformiranja matematikogmodela

METODKONANIHELEMENATA 8

E=210GPa=0.3h=10cmd=0.2cml=60cma=35cmB=20cm2c=6cmp=0.5kN/cm

Cilj analize:

1. Naponi u preseku-

2. Maksimalni ugib na delu duine l

Primerformiranja matematikogmodela

Izbormatematikogmodelazavisiod: Fenomenakojinasukonkretnomprimeruzanimaikojeelimodaanaliziramo Geometrije Optereenja GraninihuslovaMaterijalnihkarakteristika Kojerezultateelimodadobijemoikojajezahtevanatanost

METODKONANIHELEMENATA 9

1D(linijski)matematikimodel

METODKONANIHELEMENATA 10

Cilj analize:

1. M =?

2. T=?

3. vA = ?

Pretpostavka: Euller-Bernoulli-eva greda

Diferencijalna jednaina?

Granini uslovi?

Da li matematiki model moemo reiti analitiki?

1D(linijski)matematikimodel

Pitanja:Pouzdanost?Efikasnost? Koncentracijenapona?Uticajiuostalimdelovima?Odgovor: Sloenijimatematikimodel 2D

METODKONANIHELEMENATA 11

2Dmatematikimodel

METODKONANIHELEMENATA 12

u = v = 0

00

nt

n

00

nt

n

0

nt

n p

NumerikimodelMKE

METODKONANIHELEMENATA 13

Da li moemo da reimo ovaj matematiki model analitiki?

TEKO!

NUMERIKIPOSTUPAKMKE

Fiziki model (realna konstrukcija)

Matematiki model(Diferencijalne jednaine

+Granini uslovi)

Numeriki model

(MKE)

Numerikimodel MKE

METODKONANIHELEMENATA 14

Geometrijskimodel Numerikimodel MKE

AlgoritamskikonceptMKE

METODKONANIHELEMENATA 15

1.Korak DiskretizacijaMatematiki (geometrijski model) se pomouzamiljenih linija (povri) deli na podddomene KONANE ELEMENTE koji su meusobno povezani uVOROVIMA

K. e.

vor

Greke diskretizacije?

Preprocesing

AlgoritamskikonceptMKE

METODKONANIHELEMENATA 16

2.Korak Opisponaanjasvakogkonanogelementa Definisanje polja pomeranja Interpolacione funkcije

Osnovna relacija u MKE:

3.Korak Opisponaanjasistema Assembling:

e e eK q Q

Kq Q

AlgoritamskikonceptMKE

METODKONANIHELEMENATA 17

4.Korak Reavanjesistemajednaina(odreivanje nepoznatihuvorovima)5.Korak Odreivanjeuticajauelementima(pomeranja,naponi,deformacije,...) postprocessing6.Korak Analiza,verifikacija,kritikiosvrt

Dasevratimonaprimer...

METODKONANIHELEMENATA 18

Pomeranja

Dasevratimonaprimer...

METODKONANIHELEMENATA 19

x

Dasevratimonaprimer...

METODKONANIHELEMENATA 20

y xy

Analizarezultata

1DMATEMATIKIMODEL

Maksimalniugib

Normalninapon

2DMATEMATIKIMODEL

Maksimalniugib

Normalninapon

METODKONANIHELEMENATA 21

2/11 cmkNx

cmvA 1715.0

2/57.11 cmkNx Zakljuak: U skladu sa ciljevima analize, 1D model e dati pouzdanerezultate ukoliko je greka manja od 5% za normalni napon, odnosno 17%za ugib. Efikasnost 1D modela ogleda se u njegovoj jednostavnosti, tj. dopouzdanih rezultata se dolazi na jednostavan nain, bez primenenumerikog postupka i raunara.

cmvA 1429.0

Darezimiramo....

Izbor matematikog modela izmeuostalog zavisi i od toga ta elimo dadobijemo kao rezultat analize. Najefikasniji je matematiki model kojidaje pouzdane rezultate uz najmanji utroakresursa, vremena i napora. Reenje numerikog modela je tanoonoliko koliko je taan matematiki model.

METODKONANIHELEMENATA 22

Umestozakljuka...

METODKONANIHELEMENATA 23

Fiziki model

Matematiki model

Numeriki model

Proguenje mree, promena tipa k.e., ...

Kraj!Da

Ne

Promena fizikog modela

Zadovoljni dobijenim rezultatima? Promena

matematikog modela