METODE PRIMAL AFFINE-SKALING UNTUK MASALAH PROGRAM LINEAR … · METODE PRIMAL AFFINE-SKALING UNTUK MASALAH PROGRAM LINEAR Skripsi Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh

METODE PRIMAL AFFINE-SKALING

UNTUK MASALAH PROGRAM LINEAR

Skripsi

Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat

Memperoleh Gelar Sarjana Sains

Program Studi Matematika

Oleh:

Ajeng Retnojiwati

NIM : 013114013

PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS SANATA DHARMA

YOGYAKARTA

2007

i

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

ii


iii


HALAMAN PERSEMBAHAN

“Dan apa saja yang kamu minta dalam doa dengan penuh

kepercayaan, kamu akan menerimanya.”

(Matius 21:22)

Terimakasih Tuhan Yesus

Engkau bantu aku melewati satu pergumulan lagi dalam hidup

Kupersembahkan karya ini untuk:

Tuhan Yesus dan Bunda Maria

Bapak, Ibu, Mas Purwiyadi, Mas

Sugeng, simbah dan keluargaku

iv


v


ABSTRAK

Untuk menyelesaikan masalah program linear, selain dengan metode grafik atau metode simpleks dapat juga diselesaikan dengan metode titik-dalam. Salah satu kelas dalam metode titik-dalam adalah metode primal affine-skaling. Untuk menentukan penyelesaian masalah program linear dengan metode primal affine-skaling dimulai dengan memilih titik-dalam awal, yaitu dari suatu daerah layak di ruang penyelesaian awal. Kemudian ditransformasi oleh transformasi affine-skaling, yaitu sedemikian sehingga hasil transformasi diposisikan dekat dengan pusat di ruang penyelesaian hasil transformasi ini. Hasil transformasi sebut saja . Langkah selanjutnya, dari dijalankan ke titik-dalam lain, yaitu

yang menggerakkan nilai sampai optimum dicapai sesuai dengan alur iterasi , dengan adalah arah layak turun tercuram (steepest descent) yang menyebabkan nilai fungsi berkurang dengan cepat. Dan

kxkx

kT kxkx

ky ky1+ky f f

kyk

kk dyy α+=+1 kyd

kα adalah besarnya langkah yang menyatakan seberapa jauh arah tersebut akan menuju ke titik optimum yang tetap berada pada daerah layak. Penyelesaian yang didapat di ruang penyelesaian tersebut ditransformasikan kembali dengan transformasi invers, yaitu

. Proses iterasi ini diulang hingga penyelesaian optimum dicapai. 1−kT

vi


ABSTRACT

Linear programming problems not only can be solved with graphic method or simplex method, but also it can be solved with interior-point method. One of the classes of the interior-point method is primal affine-scaling method. To find the solution of linear programming using primal affine-scaling method, we should start by selecting the interior-point solution , namely from inside feasible region in original solution space. Then, is transformed with an affine-scaling transformation, which is called , so that the selected interior-point solution is placed near the transformed feasible region. The image of called . Then, from we move to another interior-point , which improves the value of objective function , in accordance to the iteration . Here, is the direction of steepest descent that causes the fastest rate of decrease in the objective function. While

kxkx

kTkx ky

ky 1+kyf k

ykkk dyy α+=+1 k

yd

kα is the step-length which gives how far the direction can move to the optimum point but it still remains in the feasible region. The solution, which is found in the solution space, is transformed back with inverse transformation, called . This process will be repeated until we obtain an optimum solution with the desired accuracy.

1−kT

vii


KATA PENGANTAR

Puji syukur penulis panjatkan kepada Tuhan Yesus atas segala kasih dan

perlindungan-Nya sehingga penulisan skripsi ini dapat terselesaikan. Skripsi ini

disusun dalam rangka melengkapi salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana

Sains pada Program Studi Matematika, Jurusan Matematika, Fakultas Matematika

dan Ilmu Alam, Universitas Sanata Dharma Yogyakarta.

Penulisan skripsi ini tidak lepas dari bantuan dan dukungan dari berbagai

pihak. Oleh karena itu, pada kesempatan ini penulis ingin menyampaikan ucapan

terima kasih kepada:

1. Ibu Lusia Krismiyati, S.Si, M.Si sebagai dosen pembimbing yang penuh

perhatian dan kesabaran telah membimbing serta memberi saran dan kritik

kepada penulis selama proses penulisan skripsi ini.

2. Bapak Y.G. Hartono, S.Si, M.Sc sebagai dosen pembimbing dan selaku Ketua

Program Studi Matematika, dosen pembimbing akademik dan dosen penguji yang

telah memberikan dukungan, saran dan kritik dalam skripsi ini.

3. Bapak Ir. Ig. Aris Dwiatmoko, M.Sc selaku Dekan fakultas MIPA yang telah

memberi dukungan dalm penulisan skripsi ini.

4. Ibu Any Herawati, S.Si, M.Si selaku dosen penguji yang telah memberikan saran

dan kritik dalam skripsi ini.

5. Bapak dan Ibu dosen di Fakultas MIPA yang telah membimbing dan mendidik

penulis selama menuntut ilmu di Universitas Sanata Dharma.

viii


6. Bapak dan Ibu karyawan Universitas Sanata Dharma, khususnya sekretariat

fakultas MIPA dan perpustakaan Universitas Sanata Dharma atas segala bantuan

dan fasilitas yang telah diberikan.

7. Sahabat-sahabatku seperjuangan angkatan 2001: Very, Upik, Yuli, Dani, Tabita,

Fanya, Andre, Indah, Ariel, Agnes, Erika, Wiwit, Deta, Maria, Rita, Alam,

Vrysca, Daniel, Tedy, Ray, April, Ardi, serta kakak-kakak angkatan 1998, 1999,

2000 dan adik-adik angkatan 2002, 2003, 2004 yang telah membantu dan

mendukung penulis.

8. Dhe-dhe dan keluarga yang telah memberi dukungan, semangat dan doanya.

9. Tien, Mei, Bayu, Helbin, Sinta, Heni, Henri, Mbak uci dan keluarga, mbak Novi,

Murni, Rini ikom, teman-teman Gloria Graha dan temen-temen radio masdha,

yang telah memberi dukungan, semangat dan doanya.

10. Semua pihak yang telah membantu penulis baik secara langsung maupun tidak

langsung hingga selesainya penulisan skripsi ini.

Penulis menyadari bahwa skripsi ini masih banyak kekurangannya. Oleh

karena itu, penulis mengucapkan terima kasih bila ada kritik dan saran yang dapat

membangun penulis. Penulis berharap semoga skripsi ini dapat bermanfaat dan

menjadi referensi bagi pembaca.

Yogyakarta, 7 Februari 2007

Penulis

ix


DAFTAR ISI

Halaman

HALAMAN JUDUL …………………………………………….…………..…. i

HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING …………….………………….. ii

HALAMAN PENGESAHAN ………………………………………………….. iii

HALAMAN PERSEMBAHAN ……………………………………….…..…… iv

PERNYATAAN KEASLIAN KARYA ……………………….…………….…. v

ABSTRAK ……………………………………………….………………….….. vi

ABSTRACT ………………………………………………….……………….... vii

KATA PENGANTAR …………………………………….……………….…… viii

DAFTAR ISI ……………………………………………………….……….….. x

DAFTAR GAMBAR ………………………………………………………..… xiii

TABEL ………………………………………………………………………… xiii

BAB I PENDAHULUAN ……………………………………………..…... 1

A. Latar Belakang Masalah …………………………………….…. 1

B. Rumusan Masalah …………………………………….…...…… 3

C. Pembatasan Masalah …………………………….…………...…. 4

D. Tujuan Penulisan …………………………………………….….. 4

E. Manfaat Penulisan ……................................................................. 4

F. Metode Penulisan ……………………………..…………..…….. 5

G. Sistematika Penulisan ……………………….………………….. 5

x


BAB II ORTOGONALITAS DAN OPTIMISASI UNTUK PERSOALAN

LINEAR ……………………………………………………………. 6

A. Sistem Persamaan Linear Dan Matriks ……………...…………. 6

B. Ruang Vektor ………………………………………..……….… 10

1. Ruang Vektor ……………..…..…………………..………... 10

2. Hasil Kali Dalam Dan Ortogonalitas …................................. 22

3. Transformasi Linear ……………………………….………… 31

C. Masalah Program Linear …………………………………...…. . 32

1. Bentuk Standar Masalah Program Linear ………………….. 32

2. Dualitas ……………………………………………………. . 37

D. Optimisasi Fungsi Untuk Persoalan Linear ………………..…… 40

1. Optimisasi ………………………………………………….. 40

2. Kelayakan ……………………………………………...….... 41

E. Metode Arah Layak ………………………………………...…... 42

F. Metode Arah Turun Tercuram (Steepest Descent) …………..... 44

BAB III METODE PRIMAL AFFINE-SKALING ……………………..…. 45

A. Metode Primal Affine-Skaling …………………………..……. 46

1. Transformasi Affine-Skaling …………………………….... 49

2. Menentukan Arah Layak ………………………………..… 61

a. Bentuk Masalah Program Linear di Ruang Penyelesaian Hasil

Transformasi ………………………………………………. 61

b. Menentukan Arah Layak ……………………………..…… 66

xi


c. Perumusan Arah Langkah Dengan Arah Turun Tercuram ..... 70

3. Menentukan Besar Langkah kα ……………..………...…… 74

B. Algoritma Primal Affine-Skaling ………………………...…..… 83

C. Aplikasi Metode Primal Affine-Skaling Untuk Menyelesaikan

Masalah Program Linear Dengan Program Matlab ……….....… 87

BAB IV PENUTUP ...................................................................................….. 99

A. Kesimpulan ……………....................................................…….. 99

B. Saran ………………………………………………………...… 100

DAFTAR PUSTAKA …………………………………………………………. 101

LAMPIRAN ………………………………………………………………….. 102

xii


DAFTAR GAMBAR

Halaman

Gambar 1.1 Metode titik-dalam vs metode simpleks ………………………….. 2

Gambar 2.1 yxc += ……………………………………………………….…. 28

Gambar 3.1 Ide transformasi affine-skaling ………………….…………...…… 50

Gambar 3.2 Titik-dalam ditransformasikan oleh ke posisi e ………..... 54 kx kT

Gambar 3.3 Sifat-sifat dari transformasi affine-skaling ………………………. 59

Gambar 3.4 Daerah layak soal A ……………………………………………… 65

Gambar 3.5 Daerah layak soal B …………………………………………...…. 66

Gambar 3.6 Proyeksi ke ruang nol ………………………………….. 71 kc− kA

Gambar 3.7 Daerah layak sebelum dikenai transformasi affine skaling ……... 94

Gambar 3.8 Daerah layak yang sudah ditransformasi

oleh transformasi affine skaling ………………………………….. 95

TABEL

Halaman

Tabel 1 Hasil iterasi contoh 3.4 …………………………………..…………. 103

Tabel 2 Hasil iter5asi contoh 3.5 ……………………………………………. 104

xiii


1

BAB I

PENDAHULUAN

A. LATAR BELAKANG MASALAH

Masalah program linear adalah suatu masalah penyelesaian sistem per-

samaan linear. Masalah program linear dapat diselesaikan dengan cara metode

grafik atau metode simpleks. Pada metode grafik penyelesaiannya khusus dikerja-

kan hanya untuk dua variabel saja, sehingga apabila memuat lebih dari dua varia-

bel akan sulit menyelesaikannya. Meskipun dalam prakteknya masalah program

linear jarang yang hanya memuat dua variabel tetapi metode grafik mempermu-

dahkan orang dalam memahami pengertian-pengertian yang timbul dalam ma-

salah program linear. Untuk menyelesaikan masalah program linear yang memuat

dua atau lebih variabel dapat digunakan metode simpleks.

Ada metode lain yaitu metode titik-dalam yang dapat digunakan untuk

menyelesaikan masalah program linear yang memuat dua atau lebih variabel.

Perbedaan proses penyelesaian antara metode simpleks dan metode titik-

dalam, yaitu pada metode simpleks penyelesaian dilakukan dengan meninjau

setiap titik-titik sudut pada batas dari daerah layak hingga dicapai titik optimum.

Sedangkan pada metode titik-dalam dengan meninjau titik-titik yang berada dalam

daerah layak hingga dicapai titik optimum. Sehingga apabila program linear me-

muat masalah yang kompleks maka proses penyelesaian yang dilakukan dengan

metode titik-dalam dapat lebih cepat dan efisien dibandingkan dengan metode

simpleks. Karena pada metode simpleks apabila program linear memuat masalah


2

yang kompleks maka program linear tersebut juga akan memiliki banyak titik ba-

tas. Sehingga dibutuhkan proses lebih panjang dibandingkan dengan metode titik-

dalam untuk mencapai titik optimum.

Sebagai ilustrasi perhatikan gambar 1.1 berikut:

Gambar 1.1

Metode Titik-dalam vs Metode Simpleks

Ada dua langkah yang diperlukan dari metode titik-dalam, yaitu

a. Mencari arah layak yang memperbaiki nilai fungsi sasaran pada titik yang

ditentukan dari tiap iterasi.

b. Menentukan besar langkah yang berada pada daerah layak sesuai arah layak

yang memperbaiki nilai fungsi sasaran.

Metode titik-dalam dibagi menjadi empat kelas utama, yaitu metode af-

fine-skaling (affine-scaling method), metode proyektif (projective method) atau

lebih dikenal dengan metode Karmarkar , metode path-following (path-following

method), dan metode potensial-reduksi (potential-reduction method).

Dalam tulisan ini hanya akan dibahas metode affine-skaling. Metode af-

fine-skaling adalah salah satu metode titik-dalam yang paling sederhana diantara

kx

Langkah-langkah Metode Simpleks

1+kx

Langkah-langkah metode titik-dalam


3

semua metode titik-dalam. Disebut metode affine-skaling karena transformasi

yang digunakan adalah transformasi affine-skaling. Metode affine-skaling yang

akan digunakan dibatasi hanya untuk masalah primal program linear yang

meminimumkan fungsi sasaran. Sehingga metode ini disebut juga sebagai me-

tode primal affine-skaling.

Ide dasar metode primal affine-skaling yaitu dimulai dengan memilih

suatu titik-dalam awal didalam daerah layak. Kemudian titik dalam yang dipilih

ditransformasi oleh transformasi affine-skaling sedemikian sehingga hasil

transformasi titik-dalam yang dipilih diposisikan dekat dengan pusat di ruang

penyelesaian hasil transformasi. Hasil transformasi titik-dalam yang dipilih

dijalankan ke suatu titik-dalam lain dengan arah layak dan besar langkah yang

sesuai. Penyelesaian yang didapat di ruang penyelesaian tersebut ditransformasi

kembali dengan transformasi invers yang sesuai. Proses iterasi ini diulang hingga

penyelesaian optimum dicapai.

Selain dibahas metode primal affine-skaling juga akan dibahas

aplikasinya dengan menggunakan program matlab untuk menyelesaikan masalah

program linear.

B. RUMUSAN MASALAH

Berdasarkan latar belakang masalah di atas, maka dibuat rumusan seba-

gai berikut:

1. Bagaimana menyelesaikan masalah program linear dengan menggunakan

metode primal affine-skaling?


4

2. Bagaimana aplikasi dari metode primal affine-skaling dengan mengguna-

kan program matlab?

C. PEMBATASAN MASALAH

1. Penulis hanya akan membahas masalah dalam bentuk meminimumkan, se-

hingga masalah memaksimumkan harus diubah dalam bentuk memini-

mumkan, yaitu negatif dari maksimum fungsinya.

2. Metode yang digunakan adalah metode primal affine-skaling.

3. Transformasi yang digunakan adalah transformasi affine-skaling.

4. Daerah layak dari soal program linear adalah terbatas dan tidak kosong.

5. Hanya memuat variabel kurang dari atau sama dengan 10 ( 10≤n ).

D. TUJUAN PENULISAN

Sesuai dengan latar belakang di atas, penulisan skripsi ini bertujuan un-

tuk menunjukkan langkah-langkah metode primal affine-skaling untuk menyele-

saikan masalah program linear yang memuat 10≤n dan dapat dipertanggung-

jawabkan langkah demi langkah.

E. MANFAAT PENULISAN

Manfaat dari penulisan skripsi ini adalah memberikan tambahan referensi

dalam menyelesaikan masalah program linear dengan metode primal affine -

skaling.


5

F. METODE PENULISAN

Metode yang digunakan dalam skripsi ini adalah penelitian kepustakaan,

yaitu dengan mempelajari buku-buku yang berkaitan dengan topik skripsi ini, se-

hingga dalam tulisan ini tidak ditemukan hal-hal yang baru.

G. SISTEMATIKA PENULISAN

Penulisan skripsi ini menggunakan sistematika sebagai berikut:

Bab I PENDAHULUAN

Bab ini berisi latar belakang masalah, perumusan masalah, pembatasan

masalah, tujuan penulisan, manfaat penulisan, dan metode penulisan.

Bab II ORTOGONALITAS DAN OPTIMISASI UNTUK PERSOALAN

LINEAR

Bab ini berisi tentang dasar teori yang berkaitan dan digunakan dalam

metode primal affine-skaling, yaitu mengenai sistem persamaan linear

dan matriks, ruang vektor, masalah program linear, optimisasi fungsi

untuk persoalan linear, metode arah layak dan metode arah turun

tercuram.

Bab III METODE PRIMAL AFFINE-SKALING

Bab ini membahas tentang langkah-langkah metode primal affine-skaling

dan aplikasinya menggunakan program matlab.

Bab IV PENUTUP

Bab ini berisi beberapa kesimpulan dan saran berdasarkan hasil

pembahasan dan keseluruhan proses penyusunan skripsi.


6

BAB II

ORTOGONALITAS DAN OPTIMISASI UNTUK PERSOALAN LINEAR

Pada bab ini akan dibahas hal-hal yang melandasi bab berikutnya. De-

finisi, teorema serta konsep-konsep mengacu pada daftar pustaka.

A. Sistem Persamaan Linear Dan Matriks

Definisi 2.1 Persamaan Linear

Persamaan linear dalam n variabel nxxx ,,, 21 L adalah persamaan yang dapat

dinyatakan dalam bentuk

bxaxaxa nn =+++ L2211 (2.1)

dengan naaa ,,, 21 K dan b adalah konstanta real dan naaa ,,, 21 K tidak semua

sama dengan nol.

Definisi 2.2 Sistem Persamaan Linear

Suatu sistem persamaan linear nm× adalah himpunan m persamaan linear

dengan n variabel, yang dapat dinyatakan dalam bentuk

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

11

121

111

xa

xaxa

m

M

+

++

22

222

212

xa

xaxa

m +

++

L

O

L

L

+

++

mnmn

nn

nn

bxa

bxabxa

=

==

M

22

11

(2.2)

dengan inii aaa ,,, 21 K dan ib adalah konstanta real dan inii aaa ,,, 21 K tidak semua

sama dengan nol, untuk mi ,,2,1 K= .


7

Dalam sistem persamaan linear nm× , dapat terjadi

nmnmnm <>= atau, . Apabila nn txtxtx === ,,, 2211 L dimana nttt ,,, 21 K

adalah konstanta-konstanta real yang memenuhi semua persamaan linear dalam

sistem (2.2), maka pasangan terurut ),,,( 21 nttt K disebut penyelesaian atau

jawab dari sistem persamaan linear (2.2).

Definisi 2.3 Konsisten dan Tidak Konsisten

1. Sistem persamaan linear disebut konsisten jika sistem persamaan tersebut

mempunyai penyelesaian.

2. Sistem persamaan linear disebut tidak konsisten jika sistem persamaan terse-

but tidak mempunyai penyelesaian.

Sistem yang konsisten dapat mempunyai tepat satu penyelesaian atau mempunyai

banyak penyelesaian.

Sistem persamaan linear (2.2) di atas dapat dituliskan dengan notasi ma-

triks sebagai berikut:

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

mnmnmm

n

n

b

bb

x

xx

aaa

aaaaaa

MM

L

MOMM

L

L

2

1

2

1

21

22221

11211

(2.3)

Atau lebih singkat ditulis bAx = , dimana )( ija=A yaitu matriks koefisien,

( )jx=x dan ( )ibb = , untuk mi ,,1K= dan nj ,,1L=


8

Definisi 2.4 Sistem Persamaan Linear Homogen

Suatu sistem persamaan linear disebut sistem persamaan linear homogen jika

konstanta 0=ib , untuk setiap mi ,...,2,1= . Sistem persamaan linear homogen

mempunyai bentuk umum:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

11

121

111

xa

xaxa

m

M

+

++

22

222

212

xa

xaxa

m +

++

L

O

L

L

+

++

0

00

2

1

=

==

nmn

nn

nn

xa

xaxa

M (2.4)

Sistem persamaan linear homogen selalu konsisten karena

0...,,0,0 21 === nxxx selalu merupakan penyelesaian. Penyelesaian ini disebut

penyelesaian trivial. Jika ada penyelesaian lain maka penyelesaian itu disebut

penyelesian nontrivial.

Definisi 2.5 Matriks Lengkap

Matriks lengkap dari sistem persamaan linear (2.2) adalah

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

1

21

11

ma

aa

M

2

22

12

ma

aa

L

O

L

L

mn

n

n

a

aa

M

2

1

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

mb

bb

M

2

1

Definisi 2.6 Operasi Baris Elementer

Operasi baris elementer pada suatu matriks adalah salah satu operasi:

1. Menukar letak dari dua baris matriks tersebut, yakni menukar baris ke- i dan

ke- j , dengan notasi ji RR ↔ .


9

2. Mengalikan suatu baris dengan konstanta tak nol, yakni mengalikan baris ke- i

dengan bilangan 0, ≠cc , dengan notasi icR .

3. Mengganti suatu baris dengan hasil penjumlahan baris tersebut dan kelipatan

baris lain, yakni mengganti baris ke- i ditambah c kali baris ke- j , dengan no-

tasi ji cRR + .

Definisi 2.7 Matriks Ekivalen Baris

Matriks B dikatakan ekivalen baris dengan matriks A jika terdapat matriks ele-

menter kEEE ,...,, 21 sehingga AEEEB 11...−= kk atau BEEEA 112

11 ... −−−= k .

Dengan operasi baris elementer, matriks lengkap dari suatu sistem per-

samaan linear harus diubah menjadi suatu matriks dari sistem persamaan linear

yang mudah dicari jawabnya, yakni dengan matriks eselon.

Definisi 2.8 Matriks Eselon

Matriks E disebut matriks eselon jika memenuhi dua sifat berikut:

1. Setiap baris yang hanya terdiri dari bilangan nol terletak sesudah baris yang

memuat elemen tak nol.

2. Pada setiap baris dari matriks E yang mempunyai elemen tak nol, elemen tak

nol yang pertama harus terletak di kolom sebelah kanan elemen tak nol dari

baris sebelumnya.

Matriks eselon ini disebut juga matriks eselon baris. Elemen tak nol pertama

dari suatu baris disebut elemen utama atau elemen pivot. Sifat kedua dari matriks

eselon mengatakan bahwa elemen di bawah elemen pivot haruslah nol.


10

B. Ruang Vektor

1. Ruang Vektor

Definisi 2.9 Ruang Vektor

Ruang Vektor atas lapangan F adalah himpunan tidak kosong V yang dileng-

kapi dengan operasi penjumlahan dan operasi perkalian dengan skalar sedemikian

sehingga V∈∀ zyx ,, dan F∈∀ βα , memenuhi syarat - syarat berikut:

a. V∈+ yx

b. xyyx +=+ (sifat komutatif)

c. zyxzyx ++=++ )()( (sifat asosiatif)

d. Terdapat elemen VV ∈∀∈ x0 , , x0x =+ (unsur identitas)

e. V∈∀ x V∈−∃ )( x sehingga 0xx =−+ )( (elemen invers)

f. V∈xα

g. yxyx ααα +=+ )( (sifat distributif)

h. xxx βαβα +=+ )(

i. xx =1

j. )()( xx βαβα =

Elemen – elemen di V disebut vektor dan biasanya dinyatakan dengan huruf –

huruf KK ,,,,, yxba . Elemen – elemen di F disebut skalar .


11

Contoh 2.1

Misalkan

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

nx

xx

M2

1

x dan

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

ny

yy

M2

1

y adalah vektor – vektor di nR . Penjumlahan

pada nR didefinisikan sebagai berikut:

n

nnnn yx

yxyx

y

yy

x

xx

Ryxyx ∈∀

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+

++

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=+ ,,22

11

2

1

2

1

MMM (2.5)

dan operasi perkalian dengan skalar α di R didefinisikan sebagai berikut:

RRxx ∈∀∈∀

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

= α

α

αα

αα ,,2

1

2

1

n

nn x

xx

x

xx

MM (2.6)

Tunjukkan bahwa nR merupakan ruang vektor.

Bukti:

Misalkan

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

nx

xx

M2

1

x ,

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

ny

yy

M2

1

y , dan

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

nz

zz

M2

1

z , nRzyx ∈∀ ,, , R∈∀ βα ,

a. Akan ditunjukkan nRyx ∈+ . Sudah jelas (dari persamaan (2.5))

b. Akan ditunjukkan xyyx +=+

xyyx +=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+

++

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+

++

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=+

nnnnnnnn x

xx

y

yy

xy

xyxy

yx

yxyx

y

yy

x

xx

MMMMMM2

1

2

1

22

11

22

11

2

1

2

1


12

c. Akan ditunjukkan )( zyx ++ zyx ++= )(

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

++

++++

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+

++

+

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=++

)(

)()(

)( 222

111

22

11

2

1

nnnnnn zyx

zyxzyx

zy

zyzy

x

xx

MMMzyx

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

++

++++

=

nnn zyx

zyxzyx

)(

)()(

222

111

M

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+

++

=

nnn z

zz

yx

yxyx

MM2

1

22

11

zyx ++= )(

d. Akan ditunjukkan ada elemen identitas terhadap operasi penjumlahan.

Elemen identitasnya

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

0

00

M0 sehingga

x0x =

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+

++

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=+

nnn x

xx

x

xx

x

xx

MMMM2

1

2

1

2

1

0

00

0

00

e. Akan ditunjukkan mempunyai invers.

Invers dari

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

nx

xx

M2

1

x adalah

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−−

=−

nx

xx

M2

1

x sehingga

0xx =

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−+

−+−+

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−−

+

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=−+

0

00

)(

)()(

)( 22

11

2

1

2

1

MMMM

nnnn xx

xxxx

x

xx

x

xx

f. Akan ditunjukkan nRx∈α . Sudah jelas (dari persamaan (2.6))


13

g. Akan ditunjukkan yxyx ααα +=+ )(

yxyx αα

α

αα

α

αα

αα

αααα

αα +=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+

++

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+

++

=+

nnnnnn y

yy

x

xx

yx

yxyx

yx

yxyx

MMMM2

1

2

1

22

11

22

11

)(

h. Akan ditunjukkan x)( βα + xx βα +=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+

++

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+

++

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+=+

nnnnnn x

xx

x

xx

xx

xxxx

x

xx

x

xx

β

ββ

α

αα

βα

βαβα

βα

βαβα

βαβαMMMMM

2

1

2

1

22

11

2

1

2

1

)(

)()(

)()( x

xx βα +=

i. Akan ditunjukkan ada elemen identitas terhadap operasi perkalian

xx =

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

nnn x

xx

x

xx

x

xx

MMM2

1

2

1

2

1

1

11

11

j. Akan ditunjukkan )()( xx βαβα =

)(

_)(

)()(

)(

)()(

)( 2

1

2

1

2

1

2

1

xx βα

β

ββ

α

βα

βαβα

βα

βαβα

αββα =

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

nnnn x

xx

x

xx

x

xx

x

xx

MMMM. ~

Definisi 2.10 Subruang (Subspaces)

Jika W adalah subhimpunan tak kosong dari suatu ruang vektor V dan W me-

menuhi syarat-syat berikut:


14

a. untuk W∈x dan sebarang skalar F∈α maka W∈xα

b. untuk W∈x dan W∈y maka vektor W∈+ yx

maka W disebut subruang vektor dari V .

Definisi 2.11 Ruang Nol (Null Spaces)

Misalkan A adalah matriks berukuran nm× . Misalkan )(AN menyatakan him-

punan semua penyelesaian dari sistem persamaan homogen 0xA = . Jadi

}{)( 0AxRxA =∈= nN (2.7)

)(AN disebut sebagai ruang nol.

Contoh 2.2

Tunjukkan bahwa }{)( 0AxRxA =∈= nN merupakan ruang vektor.

Bukti:

Misalkan

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

nx

xx

M2

1

x ,

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

ny

yy

M2

1

y , dan

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

nz

zz

M2

1

z , nRzyx ∈∀ ,, , R∈∀ βα ,

a. Akan ditunjukkan )(AAyAx N∈+

000AyAx =

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=+=+

0

00

0

00

0

00

MMM

Jadi )(AAyAx N∈+

b. Akan ditunjukkan AyAx + AxAy +=


15

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=+=+

0

00

0

00

0

00

0

00

MMMM00AyAx AxAy00 +=+

c. Akan ditunjukkan =++ )( AzAyAx AzAyAx ++ )(

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=++=++

0

00

0

00

0

00

0

00

0

00

0

00

)()(MMMMMM

000AzAyAx

AzAyAx000 ++=++= )()(

d. Akan ditunjukkan ada elemen identitas terhadap operasi penjumlahan

Elemen identitasnya

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

0

00

M0 sehingga

Ax0000Ax ==

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=+=+

0

00

0

00

0

00

MMM

e. Akan ditunjukkan ada elemen invers

Invers dari

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

==

0

00

M0Ax adalah

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−−

=−=−

0

00

)(M

0Ax sehingga

0AxAx =

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−−

+

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=−+

0

00

0

00

0

00

))((MMM


16

f. Akan ditunjukkan )(AAx N∈α

)(

0

00

0

00

A00Ax N∈=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

==MM

ααα

g. Akan ditunjukkan AyAxAyAx ααα +=+ )(

( ) AyAx00AyAx αα

α

αα

α

αα

ααα +=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=+=+

0

0 0

0

0 0

0

00

0

00

)(MMMM

h. Akan ditunjukkan =+ Ax)( βα AxAx βα +=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+

++

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+=+=+

0

0 0

0

0 0

0 )(

0 )(0 )(

0

0 0

)()()(

β

ββ

α

αα

βα

βαβα

βαβαβαMMMM

AxAx

AxAx βα +=

i. Akan ditunjukkan ada elemen identitas terhadap operasi perkalian

Ax00Ax ==

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

==

0

00

0

00

1 11MM

j. Akan ditunjukkan )()( AxAx βααβ =

)(

0

0 0

0 )(

0 )(0 )(

0

0 0

)()()( AxAxAx βα

β

ββ

α

αβ

αβαβ

αβαβαβ =

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

==MMM

. ~


17

Teorema 2.1

}{)( 0AxRxA =∈= nN merupakan subruang dari nR .

Bukti:

Akan dibuktikan bahwa )(AN adalah subruang dari nR , yakni

a. Misalkan )(Ax N∈ dan α suatu skalar, maka 00AxxA === ααα )()( .

Jadi )(Ax N∈α .

b. Misalkan x dan y adalah elemen – elemen dari )(AN , maka

000AyAxyxA =+=+=+ )(

Jadi )(Ayx N∈+ .

Dari (a) dan (b) terbukti bahwa )(AN adalah subruang dari nR . ▄

Definisi 2.12 Kombinasi Linear

Misalkan nxxx ,,, 21 K adalah vektor – vektor dalam suatu ruang vektor V atas

lapangan F . Jumlahan vektor-vektor yang berbentuk

nnxxx ααα +++ L2211 (2.8)

disebut suatu kombinasi linear dari nxxx ,,, 21 K , dengan skalar Fn ∈αα ,,1 K .

Definisi 2.13 Merentang (span)

Jika nxxx ,,, 21 K adalah vektor-vektor pada ruang vektor V dan jika masing-

masing vektor pada V dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari

nxxx ,,, 21 K maka dapat dikatakan bahwa vektor-vektor nxxx ,,, 21 K merentang


18

V dan dilambangkan ),,,( 21 nS xxx K .

Teorema 2.2

Jika nxxx ,,, 21 K adalah vektor-vektor dalam ruang vektor V maka

),,,( 21 nS xxx K adalah subruang dari V .

Bukti:

Misalkan β suatu skalar dan misalkan nnxxxb ααα +++= L2211 adalah

sebarang elemen dari ),,,( 21 nS xxx K .

Maka nn xxxb )()()( 2211 βαβαβαβ +++= L

Jadi ),,,( 21 nS xxxb K∈β

Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa sebarang jumlah elemen-elemen dari

),,,( 21 nS xxx K juga berada dalam ),,,( 21 nS xxx K

Misalkan nnxxxb ααα +++= L2211 dan nnxxxc βββ +++= L2211

Maka nnn xxxcb )()()( 222111 βαβαβα ++++++=+ L

Jadi ),,,( 21 nS xxxcb K∈+

Jadi ),,,( 21 nS xxx K adalah subruang dari V . ▄

Definisi 2.14 Himpunan Perentang

Himpunan },,,{ 21 nxxx K disebut himpunan perentang untuk ruang vektor V

jika hanya jika ),,,( 21 nS xxxV K= .


19

Contoh 2.3

Misalkan ie adalah vektor dalam nR yang komponen ke- i adalah 1 dan kompo-

nen yang lainnya semua sama dengan nol, untuk ni ,,2,1 K= . Jadi

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

1

00

,,

0

10

,

0

01

21M

LMM

neee .

Setiap vektor nRv∈ dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari vektor-vek-

tor neee ,,, 21 L tersebut, yaitu jika

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

nv

vv

M2

1

v adalah sebarang vektor dalam nR ,

maka nnvvv eeev +++= L2211 . Oleh karena itu },,,{ 21 neee L adalah himpunan

perentang untuk nR . ~

Definisi 2.15 Bebas linear (linearly independent)

Vektor – vektor nxxx ,,, 21 K dalam ruang vektor V disebut bebas linear jika

0xxx =+++ nnααα L2211 (2.9)

mengakibatkan semua skalar – skalar nαα ,,1 K harus sama dengan nol.

Definisi 2.16 Bergantung Linear (linearly dependent)

Vektor – vektor nxxx ,,, 21 K dalam ruang vektor V disebut bergantung linear

jika terdapat skalar – skalar nαα ,,1 K yang tidak semuanya nol sehingga

0xxx =+++ nnααα L2211 (2.10)


20

Definisi 2.17 Basis

Misalkan V suatu ruang vektor atas lapangan F . Himpunan vektor - vektor

{ }nxxx ,,., 21 K membentuk basis untuk ruang vektor V jika dan hanya jika

a. { }nxxx ,,., 21 K bebas linear

b. { }nxxx ,,., 21 K merentang V

Contoh 2.4

Tunjukkan bahwa { }neee ,,, 21 K adalah basis.

Bukti:

Dalam contoh 2.3 telah ditunjukkan bahwa neee ,,, 21 K merentang nR . Bila

0eee =+++ nnvvv L2211 maka

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

0

00

2

1

MM

nv

vv

, sehingga 021 ==== nvvv L .

Jadi neee ,,, 21 K bebas linear.

Maka { }neee ,,, 21 K merupakan basis untuk nR . ~

Basis tersebut disebut basis baku untuk nR

Definisi 2.18 Vektor-Vektor Baris dan Vektor-Vektor Kolom

Misalkan matriks

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

mnmm

n

n

aaa

aaaaaa

L

MOMM

L

L

21

22221

11211

A . Vektor-vektor dalam n×1R yaitu

[ ]naaa 112111 L=r , [ ]naaa 222212 L=r , [ ]mnmmm aaa LL 21, =r


21

yang dibentuk dari baris-baris matriks A dinamakan vektor-vektor baris dari A

dan vektor-vektor dalam mR , yaitu

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

1

21

11

1

ma

aa

Mk ,

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

2

22

12

2

ma

aa

Mk ,

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

mn

n

n

n

a

aa

ML 2

1

, k

yang dibentuk dari kolom-kolom matriks A , dinamakan vektor-vektor kolom

dari A .

Definisi 2.19 Ruang Baris dan Ruang kolom

a. Subruang yang direntang oleh m vektor baris matriks A merupakan subruang

dari n×1R dan disebut ruang baris A .

b. Subruang yang direntang oleh n vektor kolom matriks A merupakan

subruang dari mR dan disebut ruang kolom A . Ruang kolom A dapat

dinotasikan

{ }nmR RxAxbRbA ∈=∈= untuk )(

Definisi 2.20 Rank Dari Matriks

Rank dari matriks A berukuran nm× ditunjukkan dengan )(Ar . Rank matriks

A penuh jika )(Ar = min },{ nm .


22

2. Hasil Kali Dalam Dan Ortogonalitas

Definisi 2.21 Ruang Hasil Kali Dalam

Hasil kali dalam pada ruang vektor V adalah sebuah operasi pada V yang

menunjuk setiap pasang vektor - vektor x dan y di dalam V sebuah bilangan

real yx, yang memenuhi syarat berikut:

a. 0,dan ,, =≠∀≥ xx0x0xx jika hanya jika =x 0 .

b. V∈∀= yxxyyx ,,,

c. V∈∀+=+ zyxzyzxzyx ,,,,,, βαβα dan R∈∀ βα ,

Sebuah ruang vektor V dengan hasil kali dalamnya disebut ruang hasil kali

dalam .

Contoh 2.5

Ruang vektor nR . Tunjukkan bahwa hasil kali skalar yang didefinisikan:

[ ] nn

n

nT yxyxyx

y

yy

xxx +++=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

== KM

L 22112

1

21, yxyx . (2.11)

adalah hasil kali dalam untuk nR (yang disebut hasil kali dalam baku).

Persamaan (2.11) dapat juga ditulis

∑=

==n

iii

T yx1

, yxyx (2.12)

dengan Tx menyatakan transpose matriks x .


23

Bukti:

Ambil sebarang vektor

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

nx

xx

M2

1

x ,

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

ny

yy

M2

1

y , dan

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

nz

zz

M2

1

z dalam ruang

vektor nR dan sebarang skalar R∈βα ,

a. Dibuktikan 0, ≥= xxxx T

Diketahui xxxx T=,

[ ] 0, 222

21

2

1

21 ≥+++=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

== n

n

nT xxx

x

xx

xxx KM

Lxxxx

Jadi 0, ≥xx

)(⇒ Diketahui 0, =xx

Untuk 0... 222

21 =+++ nxxx diperoleh 0.......21 ==== nxxx

jadi 0x =

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

0

00

2

1

MM

nx

xx

)(⇐ Diketahui 0x =

Dibuktikan 0, == xxxx T

00xxxx TT ==, [ ]⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

0

00

000M

L


24

Jadi 00.00.00.0 =+++= KxxT

b. Dibuktikan nRyxxyyx ∈∀= ,,,

yaitu dibuktikan xyxyyxyx ,, === TT

yxyx T=,

[ ] nn

n

n yxyxyx

y

yy

xxx +++=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

= KM

L 22112

1

21

nn xyxyxy +++= K2211

[ ]⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

n

n

x

xx

yyyM

L 2

1

21

xyxy ,== T

Jadi xyyx TT = (2.13)

Jadi terbukti nRyxxyyx ∈∀= ,,,

c. Dibuktikan nRzyxzyzxzyx ∈∀+=+ ,,,,,, βαβα , R∈∀ βα ,

[ ]⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+++=+

n

nn

z

zz

yxyxyxM

L 2

1

2211, βαβαβαβα zyx

nnnn zyzyzyzxzxzx βββααα +++++++= KK 22112211

)()( 22112211 nnnn zyzyzyzxzxzx +++++++= KK βα


25

[ ] [ ]⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

n

n

n

n

z

zz

yyy

z

zz

xxxM

LM

L 2

1

212

1

21 βα

zyzx TT βα += (2.14)

zyzx ,, βα +=

Jadi terbukti nRzyxzyzxzyx ∈∀+=+ ,,,,,, βαβα

Dari (a), (b), (c) terbukti bahwa hasil kali dalam di ruang vektor nR adalah

hasil kali skalar yxyx T=, . ~

Definisi 2.22 Panjang atau norma

Jika x adalah sebuah vektor di dalam sebuah ruang hasil kali dalam nR , pan-

jang atau norma dari x didefinisikan

222

21)( n

T xxx +++== Kxxx (2.15)

Definisi 2.23 Ortogonal

Dua vektor dalam nR , yaitu yx dan , dikatakan orthogonal, dilambangkan

yx ⊥ , jika

0=yxT (2.16)

Definisi 2.24 Subruang Yang Ortogonal

Dua subruang vektor dalam nR , yaitu X dan Y , dikatakan orthogonal jika


26

XT ∈∀= xyx ,0 dan Y∈y (2.17)

Jika X dan Y saling orthogonal, dapat ditulis sebagai YX ⊥ .

Teorema 2.3

bAx = adalah konsisten jika hanya jika )(Ab R∈

Bukti:

)(⇒

Akan dibuktikan )(Ab R∈ , artinya b berada di ruang kolom dari )(AR

Misalkan A adalah matriks nm× dan nRx∈

Karena bAx = adalah konsisten maka bAx = mempunyai penyelesaian

Misalkan x adalah penyelesaian

Maka

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

nmnmm

n

n

x

xx

aaa

aaaaaa

M

L

MOMM

L

L

2

1

21

22221

11211

Ax

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+++

++++++

=

nmnmm

nn

nn

xaxaxa

xaxaxaxaxaxa

L

M

L

L

2211

2222121

1212111

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

mb

bb

M2

1

b

Atau dapat ditulis

niniii xaxaxab +++= L2211


27

Perhatikan bahwa b merupakan vektor yang direntang oleh vektor-vektor

kolom matriks A . Ini berarti b berada di ruang kolom A . Jadi )(Ab R∈

)(⇐

Akan dibuktikan bAx = adalah konsisten

Karena )(Ab R∈ maka b dapat direntangkan oleh oleh vektor-vektor

kolom matriks A , yang dapat ditulis

niniii xaxaxab +++= L2211

Berarti

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

nx

xx

M2

1

x memenuhi sistem bAx =

Jadi x adalah penyelesaian

Jadi bAx = adalah konsisten. ▄

Teorema 2.4

Misalkan A matriks berukuran nm× . Andaikan matriks A mempunyai rank

penuh m . Misalkan )(AN menyatakan ruang nol A dan )( TR A menyatakan

ruang kolom dari TA maka )(AN dan )( TR A merupakan subruang yang saling

orthogonal.

Bukti:

Misalkan )(Ax N∈ dan )( TR Ay∈

Akan dibuktikan ⊥)(AN )( TR A


28

Berarti cukup dibuktikan yx ⊥ , artinya 0=yxT , )( , )( TRN AyAx ∈∈∀

}{)( 0AxRxA =∈= nN dan

{ }mTnTR RzzAyRyA ∈=∈= untunk )(

Maka zAxzAxyx TTTT )()( ==

Karena 0Ax =

Maka z0yx TT =

Maka 0=yxT

Jadi yx ⊥

Jadi ⊥)(AN )( TR A . ▄

)( TR A disebut juga sebagai ruang jawab dari zAy T= .

Dari teorema 2.4 telah diperlihatkan bahwa nN RA ∈)( dan nTR RA ∈)(

adalah subruang yang saling orthogonal. Misalkan )(Ax N∈ dan )( TR Ay∈ dan

yxc += , nRc∈ .

Gambar 2.1. yxc +=

c

x0Ax =

y


29

x dapat juga ditulis

ycx −= (2.18)

Karena zAy T= , maka didapatkan

zAcx T−= (2.19)

Kalikan kedua ruas dengan A , maka didapatkan

zAAAcAx T−=

Diketahui bahwa 0Ax = , maka didapatkan

zAAAc0 T−=

zAAAc T=

z AcAA 1)( −= T (2.20)

Subsitusikan persamaan (2.20) ke persamaan (2.19), maka didapatkan

AcAAAcx 1)( −−= TT

cAAAAI ])([ 1−−= TT

Pc= (2.21)

dengan ])([ 1 AAAAIP −−= TT (2.22)

Definisi 2.25 Matriks Proyeksi Orthogonal

Matriks P berukuran nn× , dengan ])([ 1 AAAAIP −−= TT disebut matriks

proyeksi ruang nol A atau matriks proyeksi orthogonal.

Perhatikan bahwa )( TR Ay∈ , maka berdasarkan persamaan (2.20)

RcAcAAAzAy === −1)( TTT (2.23)


30

dengan AAAAR 1)( −= TT (2.24)

Sifat 2.1

Misalkan P adalah matriks proyeksi orthogonal berukuran nn× , dengan

])([ 1 AAAAIP −−= TT maka

a. PP =2

b. PP =T

Bukti:

a. Diketahui ])([ 1 AAAAIP −−= TT

Maka ])([])([ 112 AAAAIAAAAIP −− −−= TTTT

AAAAAAAAII 112 )())((2 −− +−= TTTT AAAA 1)( −TT

AAAAAAAAI 11 )())((2 −− +−= TTTT

=−= − AAAAI 1)( TT P

b. TP TTT ])([ 1 AAAAI −−=

AAAAI TTT ))(( 1−−=

AAAAI 1))(( −−= TTT

=−= − AAAAI ))( 1TT P . ▄


31

3. Transformasi Linear

Definisi 2.26 Transformasi

Misalkan V dan W dua ruang vektor. Transformasi atau pemetaan atau

fungsi T dari V ke dalam W adalah aturan yang memasangkan setiap elemen x

di V dengan satu dan hanya satu elemen di W . Untuk selanjutnya, transformasi

ini ditulis

WVT →:

Ruang vektor V disebut daerah asal T . Nilai transformasi T untuk elemen

V∈x ditulis )(xT yang merupakan elemen di W . Elemen )(xT disebut peta

dari x .

Definisi 2.27 Transformasi Linear

Misalkan V dan W dua ruang vektor. Transformasi WVT →: disebut transfor-

masi linear jika

a. Untuk sebarang vektor 1x dan 2x di V berlaku

)()()( 2121 xxxx TTT +=+ (2.25)

b. Untuk sebarang bilangan real s dan vektor x di V berlaku

)()( xx sTsT = (2.26)


32

C. Masalah Program Linear

1. Bentuk Standar Masalah Program Linear

Perumusan masalah program linear dibagi menjadi dua, yakni fungsi sa-

saran dan kendala-kendala.

Definisi 2.28 Fungsi sasaran

Fungsi sasaran dalam masalah program linear dapat dinyatakan sebagai

∑=

=p

jjj xcf

1

(2.27)

dengan p merupakan bilangan bulat yang menyatakan banyaknya variabel, jx

merupakan variabel ke- j , dan ∈jc R merupakan koefisien ongkos dari variabel

ke- j , dengan pj ,,1K=

Kendala-kendala dibagi dua, yakni kendala utama dan kendala tak nega-

tif.

Definisi 2.29 Kendala utama

Kendala utama masalah program linear berbentuk

( )∑=

≥=≤p

jijij bxa

1

,, , mi ,...,2,1= ; pj ,,1K= (2.28)

dengan m merupakan banyaknya persamaan, R∈ija merupakan koefisien

variabel ke- j pada persamaan ke- i dan ib menyatakan konstanta di ruas kanan

untuk persamaan ke- i .


33

Definisi 2.30 Kendala Tak Negatif

Kendala tak negatif berbentuk

;0≥jx .,...,2,1 pj = (2.29)

Untuk mencari penyelesaian dari sistem (2.28), kendala utama yang ber-

bentuk pertidaksamaan diubah menjadi persamaan, dengan cara sebagai berikut:

a. Kendala yang berbentuk ,1∑=

≤p

jijij bxa pada ruas kiri disisipkan variabel

pengetat (slack variable) is sedemikian sehingga dipenuhi:

∑=

=+p

jiijij bsxa

1

dengan ,0≥is mi ,...,2,1= ; pj ,...,2,1=

Dalam hal ini,

jika ;1∑=

=p

jijij bxa mi ,...,2,1= ; pj ,...,2,1= maka 0=is

dan jika ;1∑=

<p

jijij bxa mi ,...,2,1= ; pj ,...,2,1= maka 0>is

b. Kendala yang berbentuk ,1∑=

≥p

jijij bxa pada ruas kanan disisipkan variabel

surplus (surplus variable) it sedemikian sehingga dipenuhi:

;1∑=

+=p

jiijij btxa mi ,...,2,1= ; pj ,...,2,1=

yang ekivalen dengan

∑=

=−p

jiijij btxa

1

dengan ,0≥it mi ,...,2,1= ; pj ,...,2,1=


34

Dalam hal ini,

jika ;1∑=

=p

jijij bxa mi ,...,2,1= ; pj ,...,2,1= maka 0=it

jika ;1∑=

>p

jijij bxa mi ,...,2,1= ; pj ,...,2,1= maka 0>it

Dengan demikian kendala utama akan berubah menjadi sistem persamaan linear:

;1∑=

=n

jijij bxa mi ,...,2,1= ; nj ,...,2,1= (2.30)

yakni dengan memberi lambang variabel pengetat atau variabel surplus jx dimu-

lai dari 1+= pj sampai ,nj = dengan n adalah banyaknya variabel .jx Dan su-

paya penyelesaian sistem (2.30) menjadi layak masih harus dipenuhi kendala tak

negatif

;0≥jx .,...,2,1 nj = (2.31)

Untuk menyesuaikan dengan bentuk kendala yang baru, fungsi sasaran

yang semula berbentuk

pp

p

jjj xcxcxcxcf +++== ∑

=

...22111

(2.32)

dilengkapi menjadi

nnpppp

n

jjj xcxcxcxcxcxcf ++++++== ++

=∑ ...... 112211

1

(2.33)

dengan 0....21 ==== ++ npp ccc


35

Dengan demikian, suatu masalah program linear dapat dinyatakan dalam bentuk

sebagai berikut:

Maksimumkan (atau minimumkan)

∑=

=n

jjj xcf

1

(2.34)

dengan kendala

;1∑=

=n

jijij bxa mi ,...,2,1= .,...,2,1; nj = (2.35)

;0≥jx .,...,2,1 nj = (2.36)

Bentuk di atas (dengan semua kendala utama berbentuk persamaan) disebut ben-

tuk standar dari masalah program linear.

Bentuk di atas bila ditulis dalam notasi matriks adalah sebagai berikut

Maksimumkan (atau Minimumkan) xcTf = (2.37)

dengan kendala bAx },,{ =≥≤ (2.38)

0x ≥ (2.39)

dengan ( )jx=x

( )ija=A adalah koefisien matriks kendala

( )ib=b adalah vektor suku tetap

( )jc=c adalah vektor ongkos

Dimana mi ,...,2,1= ; .,...,2,1 nj =


36

Definisi 2.31 Penyelesaian Layak

Nilai-nilai variabel yang memenuhi kendala utama (2.38) dan kendala tak negatif

(2.39) disebut penyelesaian layak .

Pada umumnya sistem persamaan linear (2.38) mempunyai penyelesaian

takhingga banyak. Di antara penyelesaian-penyelesaian tersebut dicari juga yang

memenuhi (2.39), dan pada umumnya masih mempunyai penyelesaian takhingga

banyak. Kemudian di antara penyelesaian layak yang takhingga banyak ini dicari

yang mengoptimumkan fungsi sasaran, maka akan diperoleh penyelesaian opti-

mum.

Definisi 2.32 Penyelesaian Basis

Suatu vektor x merupakan penyelesaian basis, jika:

a. x memenuhi persamaan kendala dalam program linear

b. kolom-kolom matriks kendala yang bersesuaian dengan vektor tak nol x

adalah bebas linear.

Definisi 2.33 Penyelesaian Layak Basis

Suatu vektor x disebut penyelesaian layak basis jika vektor x merupakan

penyelesaian basis yang memenuhi kendala tak negatif 0x ≥ .

Definisi 2.34 Penyelesaian Layak Basis Optimum

Suatu vektor x disebut penyelesaian layak basis optimum jika x adalah


37

penyelesaian layak basis yang memberikan nilai optimum untuk fungsi sasaran.

2. Dualitas

Dalam masalah program linear timbul hubungan dual antara dua soal

program linear tertentu dan masing-masing penyelesaian optimumnya akan ber-

kaitan. Perhatikan contoh berikut.

Contoh 2.6

Misalkan terdapat masalah program linear , namakan saja soal P, yakni

Maksimumkan xcTf = (2.40)

dengan kendala bAx ≤ (2.41)

0x ≥ (2.42)

Masalah program linear ini berpola maksimum standar. Soal P disebut soal pri-

mal karena lebih dulu ditentukan. Dari soal primal dapat ditentukan soal dual,

yakni

Minimumkan wbTg = (2.43)

dengan kendala cwA ≥T (2.44)

0w ≥ (2.45)

dengan x adalah penyelesaian dari soal primal dan w penyelesaian dari soal

dual. Perhatikan bahwa vektor suku tetap dalam (2.41) menjadi vektor ongkos

dalam (2.43) dan sebaliknya vektor ongkos dalam (2.40) menjadi vektor suku


38

tetap dalam (2.44). Sedangkan koefisien matriks kendala (2.41) adalah transpose

matriks koefisien kendala (2.44).

Teorema 2.5

Jika x suatu penyelesaian layak dari soal primal dan w penyelesaian layak dari

soal dual maka wbxc TT ≤ (berarti nilai f yang bersesuaian dengan soal primal

lebih kecil atau sama dengan nilai g yang bersesuaian dengan soal dual)

Bukti:

Misalkan

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

nx

xx

M2

1

x adalah penyelesaian layak dari soal primal

dan

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

mw

ww

M2

1

w adalah penyelesaian layak dari soal dual

Maka i

n

jjij bxa ≤∑

=1

, untuk mi ,,1K=

Bila kedua ruas dikalikan dengan iw , maka didapatkan

ii

n

jjiji bwxaw ≤∑

=1

, untuk mi ,,1K= (karena 0≥iw )

Bila dijumlahkan menurut i , maka didapatkan

mm

n

jjijm

n

jjij bwbwxawxaw ++≤++ ∑∑

==

LL 1111

1

Dari persamaan (2.12), maka


39

∑∑∑===

≤m

iii

n

jjij

m

ii bwxaw

111

bwAxw TT ≤

Dari persamaan (2.13), maka didapatkan

wbAxw TT ≤ (2.46)

Karena w penyelesaian layak dari soal dual. Maka j

m

iiij cwa ≥∑

=1

,

untuk nj ,,1K= .

Bila kedua ruas dikalikan dengan jx , maka didapatkan

jjj

m

iiij xcxwa ≥∑

=

1

, untuk nj ,,1K=

jj

m

ijiji xcxaw ≥∑

=1

, untuk nj ,,1K=

Bila dijumlahkan menurut j , maka didapatkan

nn

m

inini

m

iii xcxcxawxaw ++≥++ ∑∑

==

LL 1111

11

( ) nnnini

m

ii xcxcxaxaw ++≥++∑

=

LL 11111

∑∑∑===

≥n

jjj

n

jjij

m

ii xcxaw

111

xcAxw TT ≥ (2.47)

Dari persamaan (2.46) dan persamaan (2.47), maka wbAxwxc TTT ≤≤

Jadi wbxc TT ≤ . ▄


40

Teorema 2.6

Jika 0x adalah penyelesaian layak dari soal primal dan 0w penyelesaian layak

dari soal dual dengan 00 wbxc TT = , maka 0x adalah penyelesaian optimum untuk

soal primal dan 0w penyelesaian optimum untuk soal dual. Ini berarti

minimummaksimum gf = .

Bukti:

Diketahui 00 wbxc TT = . Dari teorema 2.5, maka 00 xcwbxc TTT =≤ untuk

sebarang penyelesaian layak x . Jadi 0xcxc TT ≤ berarti 0x adalah

penyelesaian optimum bagi soal primal.

Analog dengan bukti di atas, untuk sebarang penyelesaian w bagi soal dual

berlaku 00 wbxcwb TTT =≥ . Jadi 0wbwb TT ≥ berarti 0w adalah

penyelesaian optimum untuk soal dual.

Sehingga minimum00maksimum gf TT === wbxc . ▄

D. Optimisasi Fungsi Untuk Persoalan Linear

1. Optimisasi

Optimisasi merupakan suatu proses penentuan penyelesaian yang terbaik

dari suatu masalah. Dalam masalah optimisasi fungsi sasaran adalah mengopti-

mumkan (memaksimumkan/meminimumkan) nilai suatu fungsi.

Perhatikan masalah berikut

)(kanMinimum xx

fS∈

, dengan nRx∈


41

Karena masalah memaksimumkan dapat juga dinyatakan sebagai masalah yang

meminimumkan seperti berikut

))((Minimum)(Maksimum xxxx

ffSS

−=∈∈

dan kemudian nilai optimum sasarannya dikalikan dengan -1. Alasan inilah se-

hingga cukup untuk dibahas masalah minimum saja.

Definisi 2.35 Pembuat Minimum Global

Suatu titik S∈*x disebut pembuat minimum global )(xf atas S jika untuk

setiap ∈x S berlaku ≤)( *xf )(xf .

Definisi 2.36 Pembuat Minimum Lokal

Suatu titik *x disebut pembuat minimum lokal )(xf atas S jika untuk setiap

∈x S terdapat 0>δ dan δ<− *xx sedemikian hingga berlaku ≤)( *xf )(xf .

2. Kelayakan

Definisi 2.37 Titik Layak dan Daerah Layak

a. Suatu titik yang memenuhi semua kendala disebut titik layak (feasible point)

b. Himpunan dari titik layak-titik layak disebut daerah layak (feasible region)

atau himpunan layak (feasible set) dan dinotasikan dengan S .


42

Definisi 2.38 Persekitaran (Neighbourhoods)

Persekitaran dari titik nRx∈ adalah himpunan dari titik – titik

{ }εε <−∈= xyRyx n :)(N , dengan 0>ε (2.48)

Definisi 2.39 Titik Dalam (Interior Point)

Suatu titik *x dikatakan titik dalam dari himpunan S jika ada persekitaran dari

*x sedemikian sehingga semua titik dalam persekitaran dari *x juga berada dalam

S , yakni

SN ⊂)( *xε (2.49)

Definisi 2.40 Titik batas

Suatu titik x dikatakan titik batas dari himpunan S jika setiap persekitaran dari

x terdiri dari titik yang berada di dalam dan di luar S , dinotasikan

∧≠∩ φε SN )(x φε ≠∩ cSN )(x (2.50)

E. Metode arah layak

Metode arah layak merupakan suatu metode untuk menyelesaikan ma-

salah program linear dengan bergerak dari suatu penyelesaian layak ke penyele-

saian layak yang lain pada suatu arah kd sehingga diperoleh nilai sasaran yang le-

bih baik dengan syarat-syarat yang menyertainya. Pada masalah meminimumkan,

ide dasar dari metode arah layak adalah memilih titik awal yang memenuhi semua


43

kendala, kemudian ke titik yang lebih baik sesuai dengan alur iterasi:

kk

kk dxx α+=+1

kx adalah penyelesaian layak pada iterasi ke- k ,

kd arah pencarian

kα adalah besar langkah )0( >α

Nilai α dipilih sedemikian sehingga nilai 1+kx tetap berada pada daerah layak.

Sedangkan arah langkah kd dipilih sedemikian sehingga pada setiap perpindahan

dalam iterasinya tidak melanggar kendala yang diberikan sehingga dapat mem-

perbaiki nilai dari fungsi sasaran.

Jadi, titik 1+kx yang diperoleh dipakai sebagai titik baru untuk iterasi

berikutnya dan iterasi diulang sampai diperoleh suatu titik (sebut *x ) sedemikian

sehingga tidak dapat ditentukan lagi arah layak yang memperbaiki nilai sasaran

atau dengan kata lain titik itu sudah memenuhi syarat arah langkah kd yang mem-

perbaiki nilai sasaran.

Definisi 2.41 Arah layak (Feasible direction)

Diberikan masalah meminimumkan )(xf dengan kendala S∈x dan S adalah

himpunan layak. Suatu vektor nRd∈ , 0≠d adalah arah layak pada S∈x jika:

∋>∃ 00α S∈+ dx α , ],0[ 0αα ∈∀ (2.51)

Selanjutnya, vektor d , 0≠d disebut arah layak yang memperbaiki nilai sasaran

(improving feasible direction) pada S∈x jika:

∋>∃ 00α S∈+ dx α dan )()( xdx ff <+α , ],0[ 0αα ∈∀ (2.52)


44

Dari definisi 2.41, secara umum iterasi dari metode arah layak memerlukan

dua langkah, yaitu:

1. Mencari arah layak yang memperbaiki nilai sasaran pada titik yang ditentu-

kan dari tiap iterasinya.

2. Menentukan besar langkah yang berada pada daerah layak sesuai arah layak

yang memperbaiki nilai sasaran.

F. Metode Arah Turun Tercuram (Steepest Descent Direction)

Metode arah turun tercuram adalah metode arah layak yang dalam

menentukan besar langkah α dipilih untuk memperoleh harga maksimum dari

penurunan fungsi sasaran pada setiap langkahnya.

Metode arah turun tercuram digunakan untuk mencari minimum suatu

fungsi, yakni dengan menggunakan nilai negatif dari gradien fungsi di suatu titik.

Digunakan nilai negatif dari gradien karena gradien memberikan nilai kenaikan

yang semakin besar. Dengan nilai negatif dari gradien maka akan diperoleh nilai

penurunan yang semakin besar.


45

BAB III

METODE PRIMAL AFFINE SKALING

Metode affine-skaling adalah salah satu kelas dalam metode titik-dalam

yang paling sederhana. Dalam tulisan ini akan dibatasi hanya untuk masalah pri-

mal program linear yang meminimumkan fungsi sasaran, sehingga metode yang

digunakan disebut sebagai metode primal affine-skaling.

Penyelesaian masalah program linear menggunakan metode primal af-

fine-skaling dimulai dengan memilih titik-dalam (interior point), namakan kx ,

dari suatu daerah layak di ruang penyelesaian awal. Kemudian kx ditransformasi

oleh transformasi affine-skaling, namakan kT , sedemikian sehingga hasil

transformasi kx diposisikan dekat dengan pusat di ruang penyelesaian hasil

transformasi. Hasil transformasi affine-skaling tersebut namakan ky .

Selanjutnya dari ky dijalankan ke titik-dalam lain, yaitu 1+ky yang

menggerakkan nilai f sampai f optimum. Digunakan arah turun tercuram

(steepest descent), yakni dengan menggunakan nilai negatif dari gradien fungsi

yang akan dioptimumkan di suatu titik, yang bertujuan untuk memilih pencapaian

jumlah maksimum berkurangnya nilai fungsi sasaran. Penyelesaian yang didapat

di ruang penyelesaian tersebut ditransformasikan kembali dengan transformasi

invers yang sesuai, yaitu 1−kT ke ruang penyelesaian awal. Proses iterasi ini

diulang hingga penyelesaian optimum dicapai.


46

Dalam bab ini akan dibahas yaitu bagaimana metode ini dimulai, bagai-

mana cara penentuan arah layak perpindahan terbaik dalam memperbaiki f , dan

bagaimana proses iterasinya berhenti.

A. Metode Primal Affine-Skaling

Untuk menyelesaikan masalah program linear dengan menggunakan

metode primal affine-skaling digunakan bentuk primal standar masalah program

linear berikut:

Minimumkan: xcTf = (3.1)

dengan kendala: bAx = (3.2)

0x ≥ (3.3)

dengan A adalah matriks nm× yang mempunyai rank penuh m , dengan nm ≤ ,

b adalah vektor yang panjangnya m , c dan x adalah vektor yang panjangnya n .

Definisi 3.1 Daerah Layak

Daerah layak dari soal primal adalah himpunan

{ }0xbAxRx ≥=∈= ,nP (3.4)

Definisi 3.2 Daerah Layak Dalam

Daerah layak dalam dari P adalah himpunan

{ }0xbAxRx >=∈= ,0 nP (3.5)


47

Definisi 3.3 Penyelesaian Dalam (Interior Solution)

Titik x disebut penyelesaian dalam dari masalah program linear jika 0P∈x dan

φ≠0P .

Definisi 3.4 Ortant tak negatif n+R

n+R disebut ortant taknegatif dari nR jika 0 , >∈∀ i

ni xx R ni ,,1dengan K= .

Definisi 3.5 Pusat

Vektor nRe∈ adalah vektor yang setiap elemennya sama dengan 1, yakni

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

1

11

Me . Vektor e disebut sebagai pusat n

+R .

Berikut merupakan contoh untuk menentukan dan memperkenalkan titik-dalam

dari soal program linear

Contoh 3.1

Minimumkan: 212 xxf +−=

dengan kendala: 1521 ≤− xx

152 ≤x

0, 21 ≥xx

Agar menjadi bentuk standar, variabel pengetat ditambahkan pada masalah pro-

gram linear tersebut, yakni:


48

Minimumkan: 4321 002 xxxxf +++−=

dengan kendala: 15321 =+− xxx

1542 =+ xx

0,,, 4321 ≥xxxx

Untuk menyelesaikan masalah program linear dengan metode primal affine-

skaling, diperlukan titik-dalam awal yang memenuhi persamaan (3.5). Untuk

menentukan titik-dalam awal dapat digunakan subsitusi mundur atau algoritma

Gauss-Jordan. Dalam contoh 3.1 digunakan subsitusi mundur.

Matriks lengkap dari persamaan kendala di atas adalah

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −=

151010150111

A

Kemudian matriks lengkap dari sistem persamaan kendala diatas diubah menjadi

matriks eselon

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎯⎯ →⎯⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ − +

151010301101

151010150111

21 RR

Setelah didapatkan matriks eselon. Tentukan variabel bebas dan variabel tak be-

bas. 43 , xx adalah variabel bebas dan 21 , xx adalah variabel tak bebas. Ke-

mudian nyatakan variabel bebas tersebut dalan parameter. Misal

txsx == 43 dan

Dari persamaan terakhir didapat

txx −=−= 1515 42

Dari persamaan pertama didapatkan

tsxxx −−=−−= 3030 431


49

Jadi penyelesaian dari persamaan linear tersebut adalah

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡−−−

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

ts

tts

xxxx

1530

4

3

2

1

x

Karena bentuk umum penyelesaian dari sistem persamaan linear ini diketahui, be-

berapa penyelesaian dari sistem persamaan linear ini dapat dicari dengan menen-

tukan nilai ts dan , dengan catatan harus memenuhi persamaan (3.5). Misal

13dan 7 == ts , maka didapat

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

1372

10

4

3

2

1

1

xxxx

x

adalah penyelesaian dalam untuk soal di atas. ~

1. Transformasi Affine-Skaling

Langkah pertama dari metode primal affine-skaling adalah transformasi

affine-skaling, yaitu mengubah penyelesaian dalam yang dipilih dengan transfor-

masi affine-skaling sedemikian sehingga penyelesaian dalam yang dipilih di-

posisikan dekat dengan pusat dari daerah layak.

Ide dasar dari transformasi ini, yaitu

a. Jika penyelesaian dalam yang dipilih letaknya dekat dengan pusat dari daerah

layak seperti titik 1x pada gambar 3.1. Maka dapat dibuat perpindahan ke titik

*x yang maksimum dengan tetap memenuhi kelayakan. Sehingga dihasilkan


50

juga perbaikan nilai fungsi sasaran yang maksimum. Sedangkan jika penyele-

saian dalam yang dipilih letaknya dekat batas daerah layak seperti titik 2x

pada gambar 3.1. Maka hanya sedikit perpindahan dapat dibuat dengan tetap

memenuhi kelayakan. Sehingga dihasilkan juga perbaikan nilai fungsi sasaran

yang kecil. Perpindahan tersebut dilakukan dengan menggunakan arah turun

tercuram dari fungsi sasarannya. Dengan demikian arah turun tercuram lebih

efektif jika penyelesaian dalam yang dipilih berada dekat dengan pusat dari

daerah layak.

Gambar 3.1 Ide transformasi affine-skaling

Keterangan: *x adalah titik optimum yang ingin dicapai, 1x adalah titik-dalam yang dipilih dan letaknya dekat dengan pusat dari daerah layak, 2x adalah titik-dalam yang dipilih dan letaknya dekat dengan batas dari daerah layak

b. Tanpa harus mengubah soal, suatu transformasi yang sesuai dapat digunakan

sedemikian sehingga penyelesaian dalam yang dipilih diposisikan dekat

dengan pusat daerah layak.

1x

*x

2x


51

Definisi 3.6 Matriks skaling (Scaling Matrix)

Misalkan nk Rx ∈ adalah titik-dalam dari ortan tak negatif n+R yaitu 0>k

ix un-

tuk ni ,,1L= . Matriks diagonal nn× dengan elemen diagonalnya adalah titik-

dalam kx disebut matriks skaling kX , dituliskan sebagai berikut

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

==

kn

k

k

kik

x

xx

xdiag

L

MOMM

L

L

00

0000

)( 2

1

X (3.6)

matriks kX adalah matriks nonsingular dengan matriks inversnya, yaitu

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

−

kn

k

k

ki

k

x

x

x

xdiag

100

010

001

1 2

1

1

L

MOMM

L

L

X (3.7)

Karena kX dan 1−kX adalah matriks diagonal nn× sehingga

kT

k XX =)( (3.8)

dan 11 )( −−= k

Tk XX (3.9)

Definisi 3.7 Transformasi affine-skaling (Affine-Scaling Tranformation)

Misalkan 0x ≥ , nRx∈ , transformasi affine-skaling )(xkT (atau dapat ditulis

kT ) dari n+R ke n

+R didefinisikan

=y xXx 1)( −= kkT (3.10)


52

Sifat 3.1

Misalkan ∈)(xkT n+R . Transformasi affine-skaling )(xkT dengan xXx 1)( −

= kkT

adalah transformasi linear.

Bukti:

a. Untuk sebarang vektor 1x dan 2x di nR

)()( 211

21 xxXxx +=+ −kT

21

11 xXxX −− += kk

)()( 21 xx TT +=

b. )()( 1 xXx ssT k−=

)( 1xX −= ks

)(xsT=

Jadi xXx 1)( −= kkT adalah transformasi linear. ▄

Transformasi kT memiliki beberapa sifat yaitu:

Sifat 3.2

Jika kx adalah suatu titik-dalam di n+R maka kT adalah pemetaan yang terdefinisi

dengan baik (well defined) dari n+R ke n

+R .

Bukti:

Terdefinisi dengan baik yaitu )()( ,, kk

kk

kknkk TT yxyxRyx =⇒=∈∀ +

Akan dibuktikan dengan kontrapositifnya, yaitu kkkk

kk TT yxyx ≠⇒≠ )()(


53

Misalkan nkk+∈Ryx ,

Bila kk yx dan dikenai transformasi affine-skaling kT , maka didapat

kk

kkT xXx 1)( −

= dan kk

kkT yXy 1)( −

=

Karena )()( kk

kk TT yx ≠

Maka kk

kk yXxX 11 −−

≠

kkk

kkk yXXxXX 11 −−

≠

Jadi kk yx ≠

Jadi kT adalah pemetaan yang terdefinisi dengan baik dari n+R ke n

+R . ▄

Sifat 3.3

kT memetakan kx ke posisi pusat dari n+R , yaitu ex =)( k

kT .

Bukti:

Misalkan n

kn

k

k

k

x

xx

+∈

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

= RxM2

1

Bila kx dikenai transformasi affine-skaling kT , maka didapat

kk

kkT xXx 1)( −

=

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

kn

k

k

kn

k

k

kk

x

xx

x

x

x

TM

L

MOMM

L

L

2

1

2

1

100

010

001

)(x


54

e=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

1

11

2

2

1

1

MM

kn

kn

k

k

k

k

xx

xx

xx

Jadi ex =)( kkT . ▄ (3.11)

Secara geometri pemetaan transformasi affine skaling )( kkT x dapat diperlihatkan

pada ilustrasi dalam 2R berikut ini

Gambar 3.2. Titik-dalam yang dipilih kx ditransformasikan oleh kT ke posisi e .

Sifat 3.4

Jika x adalah titik batas dari S maka )(xkT adalah titik batas dari )(ST .

Bukti:

Dari definisi 2.40, suatu titik x dikatakan titik batas dari S jika setiap

persekitaran dari x terdiri dari titik yang berada di dalam dan di luar S ,

yakni φφ εε ≠∩∧≠∩ cSNSN )()( xx

1x

kx

1y

e•

2y 2x


55

Akan dibuktikan )(xkT titik batas dari )(ST

Cukup dibuktikan

a. φε ≠∩ )())(( STTN k x

b. φε ≠∩ )())(( ck STTN x

Akan dibuktikan

a. φε ≠∩ )())(( STTN k x

Bila x dikenai transformasi affine-skaling, maka didapatkan

=y )(xkT 1−= kX x

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

kn

n

k

k

nkn

k

k

xx

xx

xx

x

xx

x

x

x

MM

L

MOMM

L

L

2

2

1

1

2

1

2

1

100

010

001

atau dapat juga ditulis ki

ii x

xy = , dengan ni ,,1K=

Akan dibuktikan dengan kontradiksinya

Andaikan φε =∩ )())(( STTN k x

Berarti ))((y xki TNε∈∀ , 0<iy

Pilih ))((y xki TNε∈ , dengan S∈x

Maka 0>= ki

ii x

xy (karena 0>ix dan 0>kix )

Timbul kontradiksi maka pengandaian salah


56

Jadi φε ≠∩ )())(( STTN k x

b. φε ≠∩ )())(( ck sTTN x

Andaikan φε =∩ )())(( ck sTTN x

Berarti ))((y xki TNε∈∀ , 0>iy

Karena φε ≠∩ )()( cSTN x

Maka ada 0<ix sehingga 0<= ki

ii x

xy (karena 0<ix dan 0>kix )


Jadi φε ≠∩ )())(( ck STTN x

Karena ∧≠∩ φε )())(( STTN k x φε ≠∩ )())(( ck STTN x

Jadi )(xkT adalah titik batas dari n+R . ▄

Sifat 3.5

Jika *x adalah titik-dalam dari S maka )( *xkT adalah titik-dalam dari )(ST .

Bukti:

Suatu titik *x dikatakan titik-dalam dari S berarti SN ⊂)( *xε

Akan dibuktikan )( *xkT titik-dalam

Cukup dibuktikan )())(( * STTN k ⊂xε

Andaikan )())(( * STTN k ⊇xε

Berarti ))((y xki TNε∈∃ , )( ci STy ∈


57

Karena S⊂*x berarti 0* >ix

Dan 0>kix

Maka 0*

>= ki

ii x

xy berarti )(STyi ∈


Jadi )())(( * STTN k ⊂xε

Jadi )( *xkT titik-dalam. ▄

Sifat 3.6

kT merupakan pemetaan satu-satu (one to one) dan juga pemetaan pada (onto)

dengan transformasi invers 1−kT , sehingga

yXy kkT =− )(1 (3.12)

Bukti:

a. kT merupakan pemetaan satu-satu (one to one), yaitu

)()( ), ( yxyxRyx kkn TT ≠⇒≠∈∀ +

Akan dibuktikan dengan kontrapositifnya, yaitu

yxyxRyx =⇒=∈∀ + )()( ), ( kkn TT

Misalkan n+∈Ryx,

Bila yx dan dikenai transformasi affine skaling, maka didapatkan

xXx 1)( −= kkT dan yXy 1)( −= kkT

Karena )()( yx kk TT =


58

Maka yXxX 11 −− = kk

Maka yx =

Jadi kT pemetaan satu-satu

b. kT merupakan pemetaan pada (onto), yaitu

)( n+∈∀ Ry )( n

+∈∃ Rx yx =)(kT

Misalkan n+∈Ry

Klaim yXx k= (3.13)

Bila x dikenai transformasi affine skaling, maka didapatkan

xXx 1)( −= kkT

yXX kk1−=

yx =)(kT

Jadi kT pemetaan pada

Jadi kT merupakan pemetaan satu-satu dan juga pemetaan pada. ▄

Agar lebih memahami sifat-sifat dari transformasi affine-skaling kT , perhatikan

contoh 3.2 berikut.

Contoh 3.2

Misalkan zyxdcba ,,,,,, di 3R . Misalkan ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

53,

101,

103a adalah titik-dalam


59

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

32,0,

31b , ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡=

76,

71,0c , ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡= 0,

41,

43d , [ ]0,0,1=x , [ ]0,1,0=y , [ ]1,0,0=z

adalah titik batas. Titik-titik zyxdcba ,,,,,, ditransformasi oleh transformasi af-

fine- skaling kT . Tentukan hasil dari transformasi affine-skaling kT tersebut.

Perhatikan gambar 3.3 berikut

Gambar 3.3.

Titik-dalam a ditransformasikan oleh kT tetap menghasilkan titik-dalam juga, yaitu )(akT , titik-

titik pada batas yaitu, zyxdcb ,,,,, ditransformasikan kT tetap menghasilkan titik pada batas juga,

yaitu )(),(),( dcb kkk TTT , )(),(),( zyx kkk TTT .

Jawab:

Misalkan a adalah titik-dalam, maka dapat dibuat matriks skaling kX , yaitu

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

5300

01010

00103

kX dan ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=−

35000100003

101

kX

Dari persamaan (3.10), yaitu

xXx 1)( −= kkT

a

b c

d x

y

z

)(xkT

)(zkT

)(akT

)(bkT

)(ckT

)(dkT

kT

)(ykT


60

Maka bila ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

53,

101,

103a dikenai transformasi affine-skaling, akan diperoleh

ea =⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=111

5310

110

3

35000100003

10

)(kT . Sesuai dengan sifat 3.3

Misalkan ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

32,0,

31b , ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡=

76,

71,0c , ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡= 0,

41,

43d , [ ]0,0,1=x , [ ]0,1,0=y ,

[ ]1,0,0=z adalah titik pada batas

Maka bila zyxdcb ,,,,, dikenai transformasi affine-skaling kT , akan diperoleh

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

910

09

10

3203

1

35000100003

10

)(bkT

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

710

710

0

76

710

35000100003

10

)(ckT

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=02

52

5

04

14

3

35000100003

10

)(dkT

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=003

10

001

35000100003

10

)(xkT

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=0

100

010

35000100003

10

)(ykT


61

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

3500

100

35000100003

10

)(zkT

Maka didapatkan )(bkT , )(ckT , )(dkT , )(xkT , )(ykT , )(zkT yang merupakan

titik pada batas di 3R . Sesuai dengan sifat 3.4. ~

2. Menentukan Arah Layak

Setelah titik-dalam yang dipilih kx ditransformasi oleh tranformasi af-

fine- skaling kT , langkah selanjutnya adalah menentukan ke arah mana suatu titik

itu akan menuju ke titik yang lebih baik (titik optimum) pada nilai fungsi, dengan

catatan arahnya adalah arah layak yaitu arah yang tetap pada daerah layak.

a. Bentuk Masalah Program Linear di Ruang Penyelesaian Hasil Transfor-

masi

Andaikan kx adalah penyelesaian dalam yang diketahui dari soal pro-

gram linear berikut

Minimumkan: xcTf = (3.14)

dengan kendala: bAx = (3.15)

0x ≥ (3.16)

dengan A adalah matriks nm× yang mempunyai rank penuh m , dengan nm ≤ ,

b adalah vektor yang panjangnya m , dan xc, adalah vektor yang panjangnya n .

Namakan soal A.


62

Penyelesaian dalam kx ditransformasi oleh transformasi affine-skaling

kT diposisikan ke e . Dari persamaan (3.13) yakni yXx k= , maka

• Fungsi sasaran xcTf = dari persamaan (3.14) dapat dituliskan

)( yXc kTf =


yXc )( Tk

Tf =

ycX Tk )(=

yc Tk )(= (3.17)

dengan cXc kk = (3.18)

• Himpunan kendala bAx = dari persamaan (3.15) dapat dituliskan

byAX =k (3.19)

atau byA =k (3.20)

dengan kk AXA = (3.21)

• Dengan kendala tak negatif di ruang penyelesaian hasil transformasi, yaitu

0y ≥ ( karena 0x ≥ ) (3.22)

Dengan demikian didapatkan soal program linear yang bersesuaian (berkorespon-

densi) di ruang penyelesaian hasil transformasi, yaitu

Minimumkan: yc Tkf )(= (3.23)

dengan kendala: byA =k (3.24)

0y ≥ (3.25)

dengan cXc kk = dan kk AXA = .


63

kA adalah matriks nm× yang mempunyai rank penuh m , dengan nm ≤ , b

adalah vektor yang panjangnya m , yc dank adalah vektor yang panjangnya n .

Namakan soal B.

Contoh 3.3

Minimumkan: 215 xxf −−=

dengan kendala: 1232 21 ≤+ xx (1.a)

82 21 ≤+ xx (2.a)

0, 21 ≥xx

Namakan soal A

Ubahlah soal A di atas ke bentuk soal B.

Penyelesaian:

Bentuk standar soal A program linear tersebut, yakni:

Minimumkan: 4321 005 xxxxf ++−−=

dengan kendala: 1232 321 =++ xxx (1.a’)

82 421 =++ xxx (2.a’)

0,,, 4321 ≥xxxx

dengan

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡−−

=

0015

c , ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

10120132

A , ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

812

b


64

Misal dipilih titik-dalam awalnya

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

5522

1

1x

Kemudian dibuat matriks skaling kX , yaitu

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

5000050000200002

1

kX

Dari persamaan (3.18) yakni cXc kk = , diperoleh

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡−−

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

0022

5

0015

5000050000200002

1

kc

Dari persamaan (3.21) yakni kk AXA = , diperoleh

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

50210561

5000050000200002

1

10120132

kA

Sehingga didapatkan suatu soal B yang bersesuaian dengan soal A, yaitu

Minimumkan: [ ]⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

3

3

2

1

00225

yyyy


65

dengan kendala: ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡8

1250210561

3

3

2

1

yyyy

0≥iy , 4,..,1=i

Agar dapat dinyatakan secara grafik abaikan saja variabel pengetatnya.

Maka soal B dapat ditulis lagi sebagai berikut:

Minimumkan: 21 225 yy −−

dengan kendala: 126 21 ≤+ yy (1.b)

82 21 ≤+ yy (2.b)

0≥iy , 2,1=i

Dari Gambar 3.4 diperlihatkan bahwa daerah layak dari soal A yaitu segi empat

yang diarsir.

Gambar 3.4 Daerah layak soal A


66

Dari Gambar 3.5 diperlihatkan daerah layak A pada gambar 3.4 yang sudah

ditransformasi oleh transformasi affine skaling sehingga menghasil segi empat

yang diarsir yang merupakan daerah layak dari soal B.

Gambar 3.5 Daerah layak soal B

b. Menentukan Arah Layak

Dalam menentukan arah layak harus ditentukan apakah arah layak terse-

but merupakan arah yang menuju ke titik yang lebih baik, yaitu ke titik yang

memberikan nilai optimum fungsi sasaran. Oleh karena itu akan ditentukan arah

layak yang memperbaiki nilai fungsi sasaran tersebut.

Perhatikan soal B berikut:

Minimumkan: yc Tkf )(= (3.26)

dengan kendala: byA =k (3.27)

0y ≥ (3.28)

dengan cXc kk = dan kk AXA = .

dengan kA adalah matriks berukuran nm× yang mempunyai rank m , dengan


67

nm ≤ , b adalah vektor yang panjangnya m , yc dank adalah vektor yang pan-

jangnya n .

Dengan memperhatikan soal B , akan ditentukan apakah kyd merupakan

arah layak dan apakah kyd tersebut merupakan arah yang memperbaiki nilai fungsi

sasaran.

Misal ky adalah penyelesaian layak, kemudian ky akan dijalankan ke

suatu titik layak lain yaitu 1+ky (yaitu titik dengan perubahan nilai sasarannya) di

ruang penyelesaian hasil transformasi sesuai dengan alur iterasi berikut:

kyk

kk dyy α+=+1 (3.29)

dengan:

ky adalah penyelesaian layak pada iterasi ke- k ,

kyd adalah arah perpindahan di ruang penyelesaian hasil transformasi

kα adalah besar langkah )0( >kα

Nilai kα dipilih sedemikian sehingga nilai 1+ky tetap berada pada daerah layak.

Sedangkan arah langkah kyd dipilih sedemikian sehingga pada setiap perpindahan

dalam iterasinya tidak melanggar kendala yang diberikan sehingga dapat mem-

perbaiki nilai dari fungsi sasaran.

Menurut definisi 2.41, yakni d , dengan 0≠d merupakan arah layak

pada S∈y jika terdapat 00 >α sedemikian sehingga S∈+ dy α ,

],0[ 0αα ∈∀ .


68

Maka vektor tak nol kyd merupakan arah layak jika memenuhi kendala

persamaan:

byA =+1kk (3.30)

dengan 01 ≥+=+ kyk

kk dyy α

Dimana )( kyk

k dy α+ merupakan kendala tak negatif untuk setiap ],0[ 0αα ∈k

dan Sk ∈y .


bdyA =+ )( kyk

kk α

Karena byA =k , maka

bdAyA =+ kykk

kk α

bdAb =+ kykkα

0dA =kykkα

Maka untuk nilai kα yang cukup kecil dan positif, nilai kα dapat diabaikan

Maka didapatkan

0dA =kyk (3.31)

Jadi kyd pasti berada di ruang nol dari matriks kk AXA = . Sehingga k

yd meru-

pakan penyelesaian di ruang nol matriks kA .

Pada kendala tak negatif yakni 0≥+ kyk

k dy α dengan 0>kα , diketahui

nilai kiy , yaitu 0>k

iy atau 0=kiy ; sedangkan nilai i

kyd )( yang mungkin adalah


69

1. 0)( >ikyd atau

k

ki

iky

yd

α−≥)( jika 0>k

iy

2. 0)( ≥ikyd jika 0=k

iy

Jadi, dari uraian di atas kyd merupakan arah layak jika hanya jika:

1. 0dA =kyk

2. k

ki

iky

yd

α−≥)( jika 0>k

iy

3. 0)( ≥ikyd jika 0=k

iy untuk setiap ni ,,2,1 L=

Selanjutnya akan ditunjukkan apakah kyd merupakan arah layak yang

memperbaiki nilai sasaran, menurut definisi (2.41). Perhatikan bentuk

dy α+

Bentuk ini merupakan titik baru iterasi, artinya fungsi )(yf didekati atau diham-

piri melalui tiap iterasi sampai pada titik y dengan arah d yang menghasilkan ti-

tik baru

dy α+ (3.32)

Dari definisi (2.41), untuk masalah meminimumkan )(yf , arah d merupakan

arah yang memperbaiki nilai sasaran jika:

)()( ydy ff <+α

atau 0)()( <−+ ydy ff α (3.33)

Atau, sesuai dengan alur iterasi dapat ditulis

0)()( 1 <−+ kk ff yy (3.34)


70

Dapat juga ditulis

0)()( 1 <−+ kTkkTk ycyc (3.35)


0)()()( <−+ kTkkyk

kTk ycdyc α

0)()()( <−+ kTkkyk

TkkTk ycdcyc α

0)()()( <−+ kTkkTkkyk

Tk ycycdc α

didapatkan

0)( <kyk

Tk dc α (3.36)

Maka untuk nilai kα yang cukup kecil dan positif, nilai kα dapat diabaikan.

Maka didapatkan

0)( <ky

Tk dc (3.37)

Jadi, kyd merupakan arah layak yang memperbaiki, yaitu yang menunjukan bahwa

0)()( 1 <−+ kk ff yy , jika 0)( <ky

Tk dc (3.38)

c. Perumusan Arah Langkah Dengan Arah Turun Tercuram

Akan ditentukan perumusan vektor arah perpindahan dengan arah turun

tercuram.

Misalkan matriks kA berukuran nm× yang mempunyai rank m .

Misalkan )( kN A menyatakan ruang nol dari matriks kA dituliskan sebagai

berikut


71

}{)( 0dARdA =∈= kyk

nkykN (3.39)

Dan )( TkR A menyatakan ruang jawab dari T

kA , dituliskan sebagai berikut

{ }mTk

nTkR RzzAyRyA ∈=∈= untuk ,)( (3.40)

Dari teorema 2.4 telah diperlihatkan ruang nol dan ruang jawab

merupakan subruang dari nR yang saling orthogonal. Jadi ⊥)( kN A )( TkR A .

Misalkan )( kky N Ad ∈ dan )( T

kR Ay∈ dan ydc += ky

k , nk Rc ∈ .

Perhatikan gambar 3.6

Gambar 3.6 Gradien negatif dari fungsi )(yf , yaitu kc−

diproyeksikan ke ruang nol kA agar tercipta arah layak kyd .

kyd dapat juga dituliskan sebagai

ycd −= kky

Karena zAy Tk= , maka didapatkan

−= kky cd zA T

k (3.41)

ky

1+ky

kc−

kyd


72

Bila kedua ruas dikalikan dengan kA , maka didapatkan

zAAcAdA Tkk

kk

kyk −=

Karena 0dA =kyk , maka didapatkan

zAAcA0 Tkk

kk −=

zAAcA Tkk

kk =

kk

Tkk cAAAz 1)( −= (3.42)

Subsitusikan persamaan (3.42) ke persamaan (3.41), maka didapatkan

kk

Tkk

Tk

kky cAAAAcd 1)( −−=

kk

Tkk

Tk cAAAAI ])([ 1−−=

kk cP= (3.43)

dengan ])([ 1k

Tkk

Tkk AAAAIP −−= (3.44)

kTkk

Tkk AAAAIP 1)( −−= disebut matriks proyeksi orthogonal pada ruang nol

kA

Perhatikan bahwa )( TkR Ay∈ , maka berdasarkan persamaan (3.42)

=y zA Tk

kk

Tkk

Tk cAAAA 1)( −= kk cR= (3.45)

dengan kT

kkT

kk AAAAR 1)( −= (3.46)

Perhatikan persamaan (3.44), karena kk AXA = maka

)()))((()( 1k

Tkk

Tkk AXAXAXAXIP −−=


73

kT

kkT

k AXAXAXAXI 1)))()((( −−=

kT

kT

k AXAAXAXI 12 ))(( −−= (3.47)

Perhatikan persamaan (3.43), yakni didapatkan arah perpindahan

kk

ky cPd = . Karena tujuan kita adalah meminimumkan nilai dari fungsi sasaran,

maka digunakan gradien negatif dari fungsi )( kf y , yaitu kc− untuk diproyeksi-

kan pada ruang nol matriks kA . Digunakan nilai negatif dari gradien karena gra-

dien memberikan nilai kenaikan yang semakin besar. Dengan nilai negatif dari

gradien maka akan diperoleh nilai penurunan yang semakin besar. Sehingga ter-

cipta arah kyd terbaik dengan perubahan nilai fungsi sasaran yang maksimum serta

menurunkan nilai fungsi sasaran dari soal B. Seperti digambarkan pada gambar

3.6.

Arah perpindahan kyd dengan arah turun tercuram dapat dituliskan

)( kk

ky cPd −= (3.48)

Dari persamaan (3.47) dan persamaan (3.18), maka persamaan (3.48) dapat ditu-

liskan

cXAXAAXAXId kkT

kT

kky ])([ 12 −−−= (3.49)


74

3. Menentukan Besar langkah kα

Setelah dapat ditentukan arah langkah kyd yang memperbaiki nilai sa-

saran maka selanjutnya akan ditentukan sejauh mana arah ini bergerak menuju

tiitk optimum. Diberikan vektor awal ky dan kyd adalah suatu arah layak yang

memperbaiki nilai fungsi sasaran. Untuk menentukan vektor berikutnya yaitu

kyk

kk dyy α+=+1

besar langkah kα dapat diperoleh dengan mencari penyelesaian dari masalah

Minimumkan: )( kyk

kf dy α+

dengan kendala: bdyA =+ )( kyk

kk α

0≥+ kyk

k dy α

0≥kα

Perhatikan bahwa:

byA =kk dan

0dA =kk

Maka

bdyA =+ )( kyk

kk α dipenuhi untuk setiap 0≥kα

Dalam kendala tak negatif diperoleh bahwa

0≥+ kyk

k dy α (3.50)

Dengan demikian untuk 0)( ≥ikyd maka batas maksimum kα agar persamaan

(3.50) tetap terpenuhi adalah ∞=makskα .


75

Dan untuk 0)( <ikyd maka batas maksimum kα agar persamaan (3.50) tetap

terpenuhi didapat dari bentuk

i

ky

ki

kikyk

ki d

ydy

)(0)(

−≥⇔≥+ αα

sehingga batas maksimumnya merupakan minimum darii

ky

ki

dy

)(−, untuk

ni ,,2,1 K= .

Dari sifat 3.3, maka

i

kyi

ky

ki

ddy

)(1

)( −=

−.

Sehingga untuk menentukan suatu besar langkah yang maksimum dan agar per-

samaan (3.50) tetap terpenuhi maka dipilih 10 << α , yaitu dipilih 99.0=α se-

hingga

i

kyi

ky

k dd )()(1

−=

−=

ααα

Jadi

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

<−

= 0)()(

99.0min iky

iky

ik dd

α (3.51)

Dengan demikian masalah di atas dapat diubah menjadi masalah pencarian besar

langkah

Minimumkan: )( kyk

kf dy α+

dengan kendala: maks0 αα ≤≤


76

dengan

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

∞

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

<−=

0;)(

99.0min ky

iky

k

ddα

0 jika0jika

≥<

k

k

dd

Langkah selanjutnya adalah memetakan penyelesaian baru 1+ky kembali

ke ruang penyelesaian awal, agar didapat suatu perpindahan penyelesaian 1+kx un-

tuk soal A. Hal ini dapat dilakukan dengan menggunakan transformasi invers

1−kT , yakni )( 111 +−+ = k

kk T yx .


1111 )( ++−+ == kk

kk

k T yXyx


)(1 kyk

kk

k dyXx α+=+

kykk

kk dXyX α+=


kykk

kk dXxx α+=+1 (3.52)

kxk

kk dxx α+=+1 (3.53)

dengan kyk

kx dXd = (3.54)

Ini berarti arah perpindahan di ruang penyelesaian awal yaitu kxd , dengan

kyk

kx dXd = dan besar langkahnya adalah kα .


77

Perhatikan kembali persamaan (3.52), yaitu

kykk

kk dXxx α+=+1


1+kx ]))([( 12 cXAXAAXAXIXx kkT

kT

kkkk −−−= α

])([ 2122 cAXAAXAcXx kT

kT

kkk −−−= α

][2 kTkk

k wAcXx −−= α (3.55)

dengan cAXAAXw 212 )( kT

kk −= (3.56)

Perhatikan persamaan (3.55), arah perpindahan di ruang penyelesaian awal dapat

juga ditulis

kxd ][2 kT

k wAcX −−= (3.57)

Perhatikan kembali persamaan (3.49), yaitu

cXAXAAXAXId kkT

kT

kky ])([ 12 −−−=

cAXAAXAXcX 212 )( kT

kT

kk−+−=


kTkk

ky wAXcXd +−=

][ kTk wAcX −−= (3.58)

atau kk

ky rXd −= (3.59)

dengan kTk wAcr −= (3.60)


78

Ada dua pengamatan penting yang perlu diperhatikan disini:

Pengamatan 1

Misalkan kk

ky cPd −= dan k

ykkx dXd = . Misalkan kP adalah pemetaan proyeksi,

maka dapat dilihat bahwa

)(1 kxk

kTkT dxcxc α+=+

)( kykk

kT dXxc α+=


1+kT xc ky

Tk

Tk

kT dXcxc α+=

ky

Tkk

kT dcXxc )(α+=

Dari persamaan (3.18) , maka didapatkan

1+kT xc ky

Tkk

kT dcxc )(α+=


1+kT xc kk

Tkk

kT cPcxc )(α−=

Dari sifat 2.1 , yakni , PP P= dan TP P= maka didapatkan

1+kT xc kkk

Tkk

kT cPPcxc )(α−=

kk

Tk

Tkk

kT cPPcxc )(α−=

kk

Tkkk

kT cPcPxc )(α−=

)()( kk

Tkkk

kT cPcPxc −−−= α


1+kT xc2k

ykkT dxc α−= (3.61)


79

Sehingga jika arah perpindahan 0d ≠ky ini berarti ada perpindahan yang terjadi

dari kx ke 1+kx . Sedangkan jika 0d =ky ini berarti 1+kT xc kT xc= , maka

kx 1+= kx berarti sudah tidak terjadi perpindahan, maka proses iterasi berhenti.

Beberapa teorema yang penting untuk kondisi arah layak kyd diberikan oleh teo-

rema berikut:

Teorema 3.1

Misalkan 0Pk ∈x . Misalkan kyd pada ruang nol dari kA dengan 0d >k

y maka

nilai fungsi sasaran f masalah program linear dari soal A adalah tak terbatas

(unbounded), maka soal A tidak mempunyai penyelesaian optimum.

Bukti:

Diketahui 0Pk ∈x maka nk Rx ∈ dengan bAx =k , 0x >k

Karena kyd pada ruang nol dari kA dengan 0d >k

y

Maka kyk

kk dyy α+=+1 adalah layak untuk soal B, untuk setiap 0>kα

Dari persamaan (3.61), yakni 1+kT xc2k

ykkT dxc α−=

Sehingga untuk 0)( >ikyd maka batas maksimum kα yang memenuhi

kyk

kk dyy α+=+1 adalah ∞=makskα

Maka 1+kT xc akan mencapai ∞− atau tak terbatas

Maka soal A tidak mempunyai penyelesaian optimum. ▄


80

Teorema 3.2

Misalkan 0Pk ∈x . Misalkan kyd pada ruang nol kA dengan 0d =k

y maka

penyelesaian layak dari soal A adalah penyelesaian optimum.

Bukti:

Diketahui 0Pk ∈x maka nk Rx ∈ dengan bAx =k , 0x >k

Diketahui kk

ky cPd −= , dengan kP matriks proyeksi pada ruang nol kA

Karena 0d =ky

Maka kk

ky cPd −= 0cAAAAI =−−= − k

kTkk

Tk ))(( 1

0ccAAAA =−− kkk

Tkk

Tk

1)(

kkk

Tkk

Tk ccAAAA =−1)(

kkTk cuA =

dengan kk

Tkk

k cAAAu 1)( −=

Perhatikan bahwa sebenarnya kk wu = , dengan kk AXA = .

Dari persamaan (3.18) dan persamaan (3.21), maka didapatkan

cXuAX kkT

k =)(


cXuAX Tk

kTk =)(


kT

kTk XcAXu =)(

11)( −− = kkT

kkTk XXcXAXu


81

TTk cAu =)(

Misalkan x adalah penyelesaian layak dari bAx = , maka

xcAxu TTk =)(

xcbu TTk =)(

xcub TkT =)(

Dengan menggunakan teorema 2.6, diperoleh x penyelesaian optimum soal

primal. ▄

Pengamatan 2

Jika kx adalah vertek, maka persamaan (3.56), yakni

cAXAAXw 212 )( kT

kk −=

Dapat disederhanakan menjadi

BTk cBw 1)( −= (3.62)

dengan )( 2 Tk

T AAXB = dan cAXc 2kB =

Perhatikan persamaan (3.62), bila kedua ruas dikalikan dengan TB maka didapat-

kan

BTTkT cBBwB 1)( −=

BkT cwB =

Vektor kw disebut sebagai penduga dual (dual estimates) yang bersesuaian

dengan penyelesaian primal kx .


82

Perhatikan persamaan (3.60), yakni

kTk wAcr −=

Persamaan (3.60) di atas dapat disederhanakan menjadi

Tk Acr −= BT cB 1)( −

kr disebut vektor ongkos tereduksi (reduced cost vector) yang bersesuaian

dengan kx . Misalkan kx penyelesaian primal . Bila kx dikenai transformasi af-

fine-skaling, maka

kk

kkT xXx 1)( −

=

Dari sifat 3.3, yakni =)( kkT x e

Maka e kk xX 1−

=

Bila kedua ruas ditransposkan, maka didapatkan

Te Tkk )( 1xX −

=


1)( −= kTkT Xxe

kkTk

kT XXxXe 1)( −=

Tkk

T )(xXe =


TkTk

T )(xXe =

TkTk )()( xeX =

Bila dikalikan dengan kr , maka

Tk )( eX kr Tk )(x= kr


83

Jika ≥kr 0 , maka penduga dual kw akan menjadi penyelesaian layak dual.

Dan Tk )( eX kr Tk )(x= kr disebut duality gap dari pasangan penyelesaian layak

),( kk wx , yakni

kk

TkTkT rXewbxc =− (3.63)

Perhatikan persamaan (3.63) tersebut, jika 0=kk

T rXe dan 0r ≥k , maka

kTkT wbxc = , artinya bahwa penyelesaian layak soal primal , yaitu kx sama

dengan penyelesaian layak soal dual, yaitu kw . Dari teorema 2.6, maka kx

adalah penyelesaian optimum soal primal dan kw adalah penyelesaian optimum

soal dual.

B. Algoritma Primal Affine-Skaling

Dari uraian pada bagian-bagian sebelumnya, maka algoritma primal af-

fine- skaling untuk masalah:

Minimumkan: xcTf =

dengan kendala: bAx =

0x ≥

dengan A adalah matriks nm× yang mempunyai rank penuh m dan nm ≤ , b

adalah vektor yang panjangnya m , xc, adalah vektor yang panjangnya n . Da-

pat disusun sebagai berikut:

Langkah 1 : (Inisialisasi)

Pilih titik-dalam awal kx yang memenuhi:


84

bAx =k

Ambil 1=k dan lanjutkan ke langkah 2.

Langkah 2 : (Menentukan vektor penduga dual)

Menentukan vektor penduga dual dengan aturan

cAXAAXw 212 )( kT

kk −=

dengan kX adalah matriks diagonal yang elemen diagonalnya adalah komponen-

komponen dari kx .

Langkah 3 : (Menentukan vektor ongkos tereduksi)

Menentukan vektor ongkos tereduksi dengan aturan

kTk wAcr −=

Langkah 4 : (Uji keoptimalan)

Jika 0r ≥k dan ε≤kk

T rXe (ε adalah bilangan positif kecil yang diberikan)

maka proses berhenti. Dengan demikian kx sudah optimum. Selainnya lanjutkan

ke langkah selanjutnya.

Langkah 5 : (Menentukan arah perpindahan kyd )

Menentukan arah perpindahan kyd dengan aturan

kk

ky rXd −=

Langkah 6 : (Cek untuk nilai f tak terbatas atau f sudah optimum)

Jika 0d >ky maka proses berhenti. Berarti f tak terbatas maka soal tak

mempunyai penyelesaian. Jika 0d =ky maka proses berhenti. Berarti f sudah


85

optimum maka kx adalah penyelesaian optimum soal primal. Selainnya lanjutkan

ke langkah selanjutnya

Langkah 7 : (Menentukan besar langkah)

Menentukan besar langkah dengan aturan

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

<−

= 0)()(

min iky

iky

ik ddαα , dimana 10 << α

dengan 99.0=α

Langkah 8 (Menentukan titik baru)

Menentukan titik baru dengan aturan

1+kx kkk Xx α+= k

yd


86

Flowchart metode primal affine-skaling adalah sebagai berikut:

Mulai

cAXAAXw 212 )( kT

kk −=

kTk wAcr −=

Masukkan ε,,,, eAcx k

dan

ε≤

≥k

kT

k

rXe0r kx

penyelesaian optimum

tidak

ya

kk

ky rXd −=

0d >

0d =ky

kx penyelesaian

optimum

Nilai f tak terbatas

⎪⎩

⎪⎨⎧

=i

)(d- min k

yi

αα k

kykk

kk dXxx α+=+1

ya

ya

tidak

tidak

berhenti

berhenti

berhenti


87

C. Aplikasi Metode Primal Affine-Skaling Untuk Menyelesaikan Masalah

Program Linear Dengan Program Matlab.

Contoh 3.4

Selesaikan masalah program linear berikut menggunakan metode primal affine-

skaling.

Minimumkan: 212 xxf +−=

dengan kendala: 1521 ≤− xx

152 ≤x

0, 21 ≥xx

Agar menjadi bentuk standar variabel pengetat ditambahkan pada masalah pro-

gram linear tersebut, yakni:

Minimumkan: 4321 002 xxxxf +++−=

dengan kendala: 15321 =+− xxx

1542 =+ xx

0,,, 4321 ≥xxxx

Matriks kendala A , vektor ongkos c , dan misal dipilih titik-dalam 1x dari sistem

tersebut, ditulis secara berurutan, yaitu

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −=

10100111

A ,

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡−

=

0012

c ,

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

1372

10

1x


88

Maka matriks skaling

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

130000700002000010

1X dan

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

1111

e , 00001.0=ε

Listing Program

function pas1 clc; clear; x=input('masukkan titik-dalam x= '); c=input('c = '); A=input('A = '); e=input('e= '); epsilon=input('epsilon = '); X=diag(x); w=inv(A*X*X*A')*A*X*X*c; r=c-A'*w; p=e'*X*r; d=-X*r; norm_d=sqrt(d'*d); d_min=min(d); alpa_maks=min(0.99/-d_min); x_baru=x+alpa_maks*X*d; fprintf('\n w = '); fprintf('\n %3.4f ',w); fprintf('\n\n r = '); fprintf('\n %3.4f ',r); fprintf('\n\n p = '); fprintf('\n %3.4f ',p); fprintf('\n\n d = '); fprintf('\n %3.4f ',d); fprintf('\n\n d min = '); fprintf('\n %3.4f ',d_min);


89

fprintf('\n\n norm_d = %3.4f ',norm_d); fprintf('\n\n alpa maks = %3.4f ',alpa_maks); fprintf('\n\n x baru = '); fprintf('\n %3.4f ',x_baru); fprintf('\n -------------------------------------------'); while (r<0 | p>epsilon); x=x_baru X=diag(x); w=inv(A*X*X*A')*A*X*X*c; r=c-A'*w; p=e'*X*r; d=-X*r; norm_d=sqrt(d'*d); d_min=min(d); alpa_maks=min(0.99/-d_min); x_baru=x+alpa_maks*X*d; fprintf('\n w = '); fprintf('\n %3.4f ',w); fprintf('\n\n r = '); fprintf('\n %3.4f ',r); fprintf('\n\n p = '); fprintf('\n %3.4f ',p); fprintf('\n\n d = '); fprintf('\n %3.4f ',d); fprintf('\n\n d min = '); fprintf('\n %3.4f ',d_min); fprintf('\n\n norm_d = %3.4f ',norm_d); fprintf('\n\n alpa maks = %3.4f ',alpa_maks); fprintf('\n\n x baru = '); fprintf('\n %3.4f ',x_baru);


90

fprintf('\n -------------------------------------------'); end; end; Output masukkan titik-dalam x= [10;2;7;13] c = [-2;1;0;0] A = [1 -1 1 0;0 1 0 1] e= [1;1;1;1] epsilon = 0.00001 w = -1.3335 -0.0077 r = -0.6665 -0.3258 1.3335 0.0077 p = 2.1187 d = 6.6647 0.6516 -9.3347 -0.1003 d min = -9.3347 norm_d = 11.4887 alpa maks = 0.1061 x baru = 17.0682 2.1382 0.0700 12.8618


91

------------------------------------------- x = 17.0682 2.1382 0.0700 12.8618 w = -1.9849 -0.0265 r = -0.0151 -0.9584 1.9849 0.0265 p = -1.8270 d = 0.2573 2.0493 -0.1389 -0.3407 d min = -0.3407 norm_d = 2.0980 alpa maks = 2.9058 x baru = 29.8296 14.8714 0.0417 0.1286 -------------------------------------------


92

Jadi didapat titik optimumnya, yakni

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

1286.00417.08714.148296.29

x

Nilai 7877.44−=f

Contoh 3.5

Minimumkan: 21 1020100 xxf −−=

dengan kendala: 42 21 ≤− xx

113 21 ≤+ xx

82 21 ≤+ xx

33 21 −≤− xx

0, 21 ≥xx

Penyelesaian:

Bentuk standar program linear tersebut, yakni:

Minimumkan: 654321 00001020100 xxxxxxf ++++−−=

dengan kendala: 42 321 =+− xxx

113 421 =++ xxx

82 521 =++ xxx

33 621 −=+− xxx

0,,,,, 654321 ≥xxxxxx


93

Dengan

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡−−

=

00001020

c ,

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

=

100031010021001013000112

A

Misal dipilih titik-dalam awalnya

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

11115

115

13

1x

Matriks skaling

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

10000001000000100000010000005

110

00000513

kX


94

Dari Gambar 3.7 diperlihatkan bahwa daerah layak sebelum ditransformasi oleh

transformasi affine-skaling yaitu segi empat yang diarsir.

Gambar 3.7 Daerah layak sebelum dikenai transformasi affine-skaling


95

Dari Gambar 3.8 diperlihatkan daerah layak pada gambar 3.7 yang sudah ditrans-

formasi oleh transformasi affine-skaling.

Gambar 3.8 Daerah layak yang sudah ditransformasi oleh transformasi affine-skaling

Output

masukkan titik-dalam x= [13/5;11/5;1;1;1;1]

c = [-20;-10;0;0;0;0]

A = [2 -1 1 0 0 0;3 1 0 1 0 0;1 2 0 0 1 0;1 -3 0 0 0 1]

e= [1;1;1;1;1;1]

epsilon = 0.0001

w =

-1.9830

-4.6185

-2.6355

0.6525


96

r =

-0.1953

-0.1359

1.9830

4.6185

2.6355

-0.6525

p =

7.7779

d =

0.5078

0.2989

-1.9830

-4.6185

-2.6355

0.6525

d min =

-4.6185

norm_d = 5.7430

alpa maks = 0.2144

x baru =

2.8830

2.3410

0.5749

0.0100


97

0.4351

1.1399

-------------------------------------------

x =

2.8830

2.3410

0.5749

0.0100

0.4351

1.1399

w =

0.5269

-6.8009

-0.9237

0.2686

r =

0.0042

-0.0191

-0.5269

6.8009

0.9237

-0.2686

p =

-0.1719

d =


98

-0.0120

0.0448

0.3029

-0.0680

-0.4019

0.3062

d min =

-0.4019

norm_d = 0.5948

alpa maks = 2.4636

x baru =

2.7975

2.5991

1.0040

0.0083

0.0044

1.9996

-------------------------------------------

Jadi didapatkan titik optimumnya, yakni

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

9996.10044.00083.00040.15991.27975.2

x

Nilai optimum 059.18=f


99

BAB IV

PENUTUP

A. Kesimpulan

Berdasarkan pembahasan yang telah diuraikan sebelumnya dapat diambil kesim-

pulan sebagai berikut:

1. Masalah program linear dapat diselesaikan dengan metode titik-dalam yang

salah satunya adalah metode primal affine-skaling.

2. Langkah-langkah untuk menyelesaikan masalah program linear dengan me-

tode primal affine-skaling dimulai dengan memilih titik-dalam awal, yaitu kx

dari suatu daerah layak di ruang penyelesaian awal. Kemudian kx ditransfor-

masi oleh transformasi affine-skaling, yaitu kT sedemikian sehingga hasil

transformasi kx diposisikan dekat dengan pusat di ruang penyelesaian hasil

transformasi ini. Hasil transformasi kx sebut saja ky . Langklah selanjutnya,

dari ky dijalankan ke titik-dalam lain, yaitu 1+ky yang menggerakkan nilai

f sampai f optimum dicapai sesuai dengan alur iterasi kyk

kk dyy α+=+1 ,

dengan kyd adalah arah layak turun tercuram (steepest descent) yang

menyebabkan nilai fungsi berkurang dengan cepat. Dan kα adalah besarnya

langkah yang menyatakan seberapa jauh arah tersebut akan menuju ke titik

optimum yang tetap berada pada daerah layak. Penyelesaian yang didapat di

ruang penyelesaian tersebut ditransformasikan kembali dengan transformasi


100

invers, yaitu 1−kT . Proses iterasi ini diulang hingga penyelesaian optimum

dicapai.

B. Saran

Bagi pembaca yang tertarik untuk menyelesaikan masalah program linear dengan

metode titik-dalam dapat juga digunakan misalnya metode proyektif (projective

method) atau lebih dikenal dengan metode Karmarkar , metode path-following

(path-following method), dan metode potensial-reduksi (potential-reduction

method).


101

DAFTAR PUSTAKA

Bhatti, M. A. (1998). Practical Optimization Methods with Mathematica

Applications. New york: Springer –Verlag.

Chong, E.K.P. and S.H. Zak (1996). An Introduction to Optimiza tion. New York:

Wiley.

Fang, S-C and S. Puthenpura. (1993). Linear Optimization and Extensions.

Englewood cliffs.NJ: Prentice-Hall.

Ignizio, J.P and T.M. Cavalier. (1994). Linear Programming. New Jersey:

Prentice-Hall, Inc.

Leon, S.J. (1998). Aljabar Linear dan Aplikasinya. Jakarta: Erlangga

Nash, G. S. and Ariela Sofer. (1996). Linear and Nonlinear Program-ming. New

York : Hill International Editions.

Susanta, B. (1994). Program Linear. Jakarta: LPTK Depdikbud.

Wono. S. B. (1995). Aljabar Linear. Jakarta: PT Gramedia Pustaka Utama


102

Lampiran


103

Tabel 1. Hasil iterasi contoh 3.4

k 1 2 3

kx ⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

1372

10

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

8618.120700.01382.20682.17

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

1286.00417.08714.148296.29

kcx -18 -31.9982 -44.7878

kw ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

0077.03335.1

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

0265.09849.1

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

9999.00000.2

kr ⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡−−

0077.03335.13258.06665.0

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡−−

0265.09849.19584.00151.0

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

9999.00000.20001.00000.0

kd ⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

1003.03347.9

6516.06647.6

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

3407.01389.0

0493.22573.0

kd 11.4887 2.0980

kα 0.1061 2.9058 k

kT rXe 2.1187 -1.8270

1+kx ⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

8618.120700.01382.20682.17

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

1286.00417.08714.148296.29

Status Belum optimum Belum optimum Sudah optimum


104

Tabel 2. Hasil iterasi contoh 3.5 k 1 2 3

kx

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

11115

115

13

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

1399.14351.00100.05749.03410.28830.2

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

9996.10044.00083.00040.15991.27975.2

kcx 26 18.93 18.059

kw ⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

6525.06355.26185.49830.1

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

2686.09237.08009.6

5269.0

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−

0001.00006.29995.50004.0

kr

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−−

6525.06355.26185.49830.11359.01953.0

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−−

2686.09237.08009.65269.00191.0

0042.0

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

0001.00006.29995.50004.00000.00000.0

kd

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

6525.06355.26185.49830.1

2989.05078.0

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−

3062.04019.00680.0

3029.00448.00120.0

kd 5.7430 0.5948

kα 0.2144 2.4636 k

kT rXe 7.7779 -0.1719

1+kx

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

1399.14351.00100.05749.03410.28830.2

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

9996.10044.00083.00040.15991.27975.2

Status Belum optimum Belum optimum Sudah optimum


105


Documents

METODE PRIMAL AFFINE-SKALING UNTUK MASALAH PROGRAM LINEAR … · METODE PRIMAL AFFINE-SKALING UNTUK MASALAH PROGRAM LINEAR Skripsi Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh