método de diferença finita

O Método das Diferenças Finitas na Análise de Placas Finas 4.1

Capítulo 4

O Método das Diferenças Finitas na Análise

de Placas Rectangulares Finas

4.1 Conceitos Básicos

A função contínua f (x1, x2) = f (x, y) tem valores conhecidos num conjunto discreto

de pontos (i, j, k, l, etc.) como se representa no quadro 4.1. A determinação das derivadas

da função f (x, y) nos pontos (i, j, k, ...) pode fazer-se recorrendo ao chamado método das

diferenças finitas.

ponto coord.x coord.y f(x,y)... . . . . . . . . .i-1 xi-1 yi-1 f i-1j-1 xj-1 yj-1 f j-1

. . . . . . . . . . . .i xi yi f ij xj yj f j

. . . . . . . . . . . .

Quadro 4.1: Função f (x, y) tabelada.


Considere-se que os pontos (i, j, k, ...) no plano Oxy, para os quais se conhece o valor

f (x, y), de acordo com a figura 4.1, têm coordenadas tais que:

x...xxxx 1kk1ii ∆==−=− −− e y...yyyy jkji ∆==−=− 4.1

A consideração de intervalos yex ∆∆ = constante, segundo os eixos dos xx e dos yy,

facilita a sistematização e aplicação do método das diferenças finitas, não é porém condição

necessária para efeitos de utilização do referido método. A consideração de yx ∆≠∆ pode

tornar-se necessária.

O

i - 2 i - 1 i i + 1 i + 2

j - 2

k - 2

l - 2

i - 2

m - 2

j - 1 j j + 1 j + 2

k - 1

l - 1

i - 2

m - 2

k

l

i - 2

m

k + 1

l + 1

i - 2

m + 1

k + 2

l + 2

i - 2

m +2

∆ x ∆ x ∆ x ∆ x ∆ x

∆ y

∆ y

∆ y

∆ y

∆ y

∆ y

x

y

Figura 4.1: Malha no plano Oxy.

A derivada da função f (x, y) em ordem a x, de acordo com a definição de derivada

parcial, num ponto, é:

xf

limxf

0x ∆∆

=∂∂

→∆ 4.2

Se se considerar um intervalo ∆x suficientemente pequeno, pode considerar-se que:


xf

xf

∆∆

≅∂∂ 4.3

Considerando válida esta aproximação 4.3, para a função tabelada no quadro 1 e a

distribuição dos pontos no plano Oxy representada na figura 4.1, a derivada da função

f(x,y) em ordem a x no ponto k, pode determinar-se,

pela diferença à frente:x

ff

xf k1k

k ∆

−≅

∂∂ + (a)

pela diferença atrás:xff

xf 1kk

k ∆

−≅

∂∂ − (b) 4.4

ou pela diferença central:x2ff

xf 1k1k

k ∆

−≅

∂∂ −+ (c)

Destas três hipóteses possíveis para a determinação do valor aproximado da 1ª

derivada em ordem a x da função f (x, y) no ponto k, a chamada diferença central 4.4c,

conduz, em geral, a uma melhor aproximação.

A determinação das derivadas parciais de 2ª ordem, pode ser feita de modo análogo,

isto é:

xxf

xf

xxf

limx

f ED

0x2

2

∆

∂∂

−

∂∂

≅∆

∂∂

=∂∂

→∆

yyf

yf

yyf

limyf ED

0x2

2

∆

∂∂

−

∂∂

≅∆

∂∂

=∂∂ ′′

→∆ 4.5

Admita-se que os pontos D, E, D´, E´, são os pontos representados na figura 4.2, isto

é, os pontos correspondentes a metade dos intervalos k, k + 1; k - 1, k; j, k e k, l e

considerando o intervalo como sendo ∆x/2 e ∆y/2, as derivadas que aparecem no


numerador podem ser calculadas considerando uma das três hipóteses 4.4a, 4.4b e 4.4c.

Para as diversas hipóteses, obtêm-se expressões que correspondem a aproximações, por

diferenças finitas, distintas.

∆ x/2

∆ y/2

x

y

k - 1 E k D k + 1E'l

D'j

∆ x/2 ∆ x/2 ∆ x/2

∆ y/2

∆ y/2

Figura 4.2: Malha de diferenças finitas centrais.

Considerando que o cálculo das derivadas de 1ª ordem nos pontos D,E,D´,E´ é feito

recorrendo à fórmula 4.4c, diferenças centrais, obtém-se:

xff

xf k1k

D ∆

−≈

∂∂ +

xff

xf 1kk

E ∆

−≈

∂∂ −

yff

yf kj

D ∆

−≈

∂∂

′

yff

yf k1

E ∆

−≈

∂∂

′

4.6

Substituindo estas aproximações para as derivadas parciais de 1ª ordem nas fórmulas

4.5, obtém-se:

21kk1k

k2

2

xff2f

xf

∆

+−≅

∂∂ −+

2ikj

k2

2

yff2f

yf

∆

+−≅

∂∂ 4.7


As derivadas xyfe

yxf 22

∂∂∂

∂∂∂

determinam-se de modo análogo, ou seja:

y2xf

xf

limyxf ij

0yk

2

∆

∂∂

−

∂∂

=

∂∂

∂→∆

x2

yf

yf

limxy

f 1k1k

0xk

2

∆

∂∂

−

∂∂

=

∂∂

∂ −+

→∆ 4.8

Recorrendo à expressão 4.4.c, para a diferença ao centro, para efeitos de

determinação de um valor aproximado das derivadas:

1k1k1j yf,

yf,

xf,

xf

−+

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

obtêm-se para as derivadas 4.8, a expressão seguinte:

yx4ffff

yxf

xyf 11111j1j

2

k

2

∆∆

+−−≅

∂∂

∂=

∂∂

∂ −+−+ 4.9

A derivada 3

3

xf

∂

∂ , no ponto k, é determinada de modo análogo, sendo:

x2

xf

xf

limx

f 1k2

2

1k2

2

0xk

3

3

∆

∂∂

−

∂∂

=

∂∂ −+

→∆ (a) 4.10

ou seja:

( )32k1k1k2k

k3

3

x2

ff2f2fx

f∆

−+−≅

∂∂ −−++ (b)


As derivadas de ordem superior determinam-se de modo análogo. Assim a

metodologia seguida para a determinação das derivadas de ordem ímpar é a utilizada na

determinação das derivadas 33 x/fex/f ∂∂∂∂ e para a determinação das derivadas de

ordem par, segue-se a metodologia utilizada para a determinação da derivada 22 x/f ∂∂ . As expressões obtidas para as derivadas parciais necessárias à análise de placas

rectangulares por diferenças finitas são as representadas no quadro 4.2 e a notação está de

acordo com a figura 4.1. Podem utilizar-se outras aproximações por diferenças finitas para

efeitos de calculo das derivadas da função f, a aproximação aqui considerada é adequada ao

cálculo e os resultados obtidos são mais satisfatórios do que os resultados que se obteriam

usando a diferença atrás ou á frente na definição das várias derivadas.

x2ff

xf 1k1k

k ∆−

≅

∂∂ −+

x2ff

yf lj

k ∆−

≅

∂∂

xy2ff2fff2f

xyf

31ll1l1jj1j

2

3

k ∆∆

−+−+−≅

∂∂

∂ −+−+

xff2f

xf

21kk1k

2

2

k ∆

+−≅

∂∂ −+

xy2ff2fff2f

yxf

31l1k1j1l1k1j

2

3

k ∆∆

−+−+−≅

∂∂∂ −−−+++

yff2f

yf

2lkj

2

2

k ∆

+−≅

∂∂

xff4f6f4f

xf

42k1kk1k2k

4

4

k ∆

+−+−≅

∂∂ −−++

yx4ffff

xyf

yxf 1l1l1j1j

2

k

2

k ∆∆

+−−≅

∂∂

∂=

∂∂

∂ −+−+

y

ff4f6f4fyf

4mlkji

4

4

k ∆

+−+−≅

∂∂

x2ff2f2f

xf

31k1k1k2k

3

3

k ∆

−+−≅

∂∂ −−++

xy

ff2ff4f2ff2fxy

f3 3

1ll1lk1k1jj1j

22

4

k ∆∆

+++−−+−≅

∂∂∂ −++−+

y2ff2f2f

yf

3mlji

3

3

k ∆

−+−≅

∂∂

Quadro 4.2: Fórmulas das Diferenças Centrais


4.2. Representação da Equação de Lagrange pelo Método das Diferenças Finitas

A equação de Lagrange, obtida por consideração de equilíbrio na teoria geral das

placas, é:

D)y,x(p

yyx2

x 4

4

22

4

4

4

=∂∂

+∂∂

∂+

∂∂ ωωω 4.11

onde: ω representa o deslocamento transversal de um ponto do plano médio da placa

p(x,y) é a intensidade da carga aplicada;

D é a rigidez à flexão para placas finas.

Considere-se no plano médio da placa um conjunto discreto de pontos, como o que se

representa na figura 4.2, as derivadas do deslocamento transversal ω podem ser

determinadas no ponto k, a partir dos valores da função w nos pontos vizinhos de k, ou

seja:

( )42k1kk1k2k

k4

4

x

464x ∆

+−+−=

∂∂ −−++ ωωωωωω

( )4m1kji

k4

4

y

464y ∆

+−+−=

∂∂ ωωωωωω

( ) ( )2211111k1k1jj1j

k22

4

yx

2422yx ∆∆

+−+−−+−=

∂∂

∂ −++−+ ωωωωωωωωω 4.12

Tendo em conta as expressões das derivadas de 4ª ordem (4.12) intervenientes na

equação de Lagrange, esta toma a forma por diferenças finitas seguinte:

+∆

+−+− −−++

42k1kk1k2k

x464 ωωωωω


( ) ( )+

∆∆

+−++−+−+ −+−+−+

2211111k1k1k1jj1j

yx

242222

ωωωωωωωωω

( ) Dp

y

464 k4

m1kj1 =∆

+−+−+

ωωωωω 4.13 (a)

à qual se pode dar a forma seguinte:

( )4y1

∆

( ) ( )22 yx2

∆∆

( )−

∆− 4y

4

4

∆ x2 ∆ y2

( ) ( )22 yx2

∆∆

( )4x1

∆

( )−

∆− 2y

4

4

∆ x2 ∆ y2

( ) ( )+

∆+

∆ 44 y6

x6

( ) ( )22 yx8

∆∆

( )−

∆− 4x

4

22 yx4∆∆

( )4x1

∆

( ) Dpk=ω

( ) ( )22 yx2

∆∆

( )−

∆− 4y

4

22 yx4∆∆

( ) ( )22 yx2

∆∆

( )4y1

∆

4.13 (b)


sendo o quadrado médio considerado localizado no ponto k e os restantes coeficientes

considerados nos pontos localizados para cima e para baixo para direita e para esquerda do

ponto k.

A determinação da carga pk faz-se considerando a área de influência da carga p no

ponto k como se refere posteriormente.

A equação de Lagrange representada pelas (4.13) a e (4.13b) pode ser considerada em

qualquer ponto da malha de diferenças finitas no domínio da placa, uma vez que em

qualquer ponto da placa se deve verificar a equação de equilíbrio em particular nos pontos

da malha considerada por diferenças finitas. A aplicação da equação (4.13) a pontos no

interior da placa não oferece em geral dificuldades, deve notar-se que os pontos foram

considerados igualmente espaçados segundo o eixo dos xx e segundo o eixo dos yy. Nos

pontos da fronteira da placa a verificação da equação de equilíbrio implica em geral a

consideração de pontos fictícios fora do domínio da placa.

A equação de equilíbrio deve ser escrita tantas vezes quantas as que correspondem

ao número de pontos da malha por diferenças finitas por forma a obter-se um sistema de

equações com n equações a n incógnitas que são os deslocamentos transversais nos pontos

da malha considerada. A consideração das equações de equilíbrio por si sós não chega para

se obter a resposta da placa, sendo necessário considerar as condições de fronteira.

Vejamos para a placa representada na figura 4.3, as dificuldades que podem surgir na

aplicação da equação de Lagrange em termos de diferenças finitas. Para facilitar vamos

admitir que a placa está simplesmente apoiada ao longo de parte do contorno, seja, por

exemplo o lado B-D e que está encastrada ao longo de outro dos lados, seja por exemplo o

lado C-D. Os outros lados consideram-se livres.

A escrita da equação de Lagrange, não oferece dificuldade, nos pontos 21, 22, 23,

24, 25. Todos os pontos necessários à escrita da referida equação aparecem no interior da

placa ou no seu contorno. Para os pontos 8, 17, 26, 35, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, surge

a necessidade de se considerarem pontos no exterior da placa como se constata da figura

4.4. Esses pontos terão de ser considerados como pontos fictícios no exterior da placa,

sendo os deslocamentos nesses pontos relacionáveis com os deslocamentos nos pontos do

interior da placa por consideração das condições de fronteira.


∆ y

x

y

A

C D

B1 2 3 4 5 6 7 8 9

10 11 12 13 14 15 16 17 18

19 20 21 22 23 24 25 26 27

28 29 30 31 32 33 34 35 36

37 38 39 40 41 42 43 44 45

∆ x ∆ x

∆ y

Figura 4.3: Malha de diferenças para a placa ABCD.

x

y

A

CD

B1 2 3 4 5 6 7 8 9

10 11 12 13 14 15 16 17 18

19 20 21 22 23 24 25 26 27

28 29 30 31 32 33 34 35 36

37 38 39 40 41 42 43 44 45

∆ x ∆ x

∆ y

∆ y

59 58 57 56 55 54 53 52 51

50

49

48

47

46

Figura 4.4: Pontos fictícios.

Isto é equivalente a dizer que são necessárias equações complementares que são as

equações correspondentes às condições de fronteira. O número de equações de fronteira a

serem consideradas é equivalente ao número de pontos fictícios que têm de ser

considerados para que se considere verificada a equação de Lagrange em todos os pontos

do domínio da placa.


4.3 Representação por Diferenças Finitas dos Esforços Unitários e das Reacções de

Apoio

Os esforços unitários xyyx M,M,M podem determinar-se a partir do deslocamento

transversal W como foi definido anteriormente, recorrendo às formulas seguintes:

∂∂

+∂∂

−= 2

2

2

2

x yxDM ω

νω

∂∂

+∂∂

−= 2

2

2

2

y xyDM ω

νω

( )yx

1DM2

xy ∂∂∂

−−=ω

ν 4.14

onde yx

,y

,x

2

2

2

2

2

∂∂∂

∂∂

∂∂ ωωω representam as curvaturas, ou deformações generalizadas.

Considere-se o ponto k da malha representada na figura 4.1 e admita-se que são

conhecidos os deslocamentos transversais nos pontos da referida malha, fazendo uso das

fórmulas de diferenças finitas representadas no quadro 4.2, calculam-se as curvaturas no

ponto k fazendo uso das formulas seguintes:

( )21kk1k

k2

2

x

2x ∆

+−=

∂∂ −+ ωωωω

( )21kj

k2

2

y

2y ∆

+−=

∂∂ ωωωω 4.15

( )yx4yx11111j1j

k

2

∆∆

+−−=

∂∂

∂ −+−+ ωωωωω


Tendo em conta as expressões (4.15) para as curvaturas os esforços (4.14) podem ser

escritos por diferenças finitas do seguinte modo:

( )( ) ( )

∆

+−+

∆

+−−= −+

21kj

21kk1k

kx y

2

x

2DM

ωωων

ωωω

ou

( )2y∆

ν

( ) DM kx −= ( )2x1

∆

( ) ( )22 y2

x2

∆−+

∆− ν ( )2x

1∆

( )ω

( )2y∆

ν

4.16

A expressão correspondente ao momento yM , no ponto k, é:

( )( ) ( )

∆

+−+

∆

+−−= −+

21kk1k

21kj

ky x

2

y

2DM

ωωων

ωωω

ou seja:

( )2y

1∆

( ) DM ky −= ( )2x∆ν

( ) ( )22 x2

y2

∆−+

∆− ν ( )2x∆

ν

( )ω

( )2y

1∆

4.17


O momento torsor Mxy, em função dos deslocamentos nos pontos vizinhos do ponto

k, é:

( ) ( )yx4

1DM 11111j1jxy ∆∆

+−−−−= −+−+ ωωωω

ν c

ou

yx41

∆∆ yx4

1∆∆

−

( )ν−−= 1DM xy ( )ω

yx4

1∆∆

−

yx41

∆∆

4.19

Os esforços transversos e reacções Tx e Ty e as reacções Rx, Ry e Rv também

podem ser calculados a partir do valor da deformada num conjunto discreto de pontos. Os

esforços transversos exprimem-se em função da deformada ω (x, y), do seguinte modo:

∂∂

∂+

∂∂

−= 2

3

3

3

x yxxDT ωω

∂∂

+∂∂

∂−= 3

3

2

3

y yxyDT ωω 4.21

Por diferenças finitas as expressões dos esforços transversos são:

( )2yx21

∆∆

( )2yx2

1∆∆

−

DTx = ( )3x21

∆ ( ) ( )23 yx

1x

1∆∆

−+∆

−

( ) ( )23 yx

1x

1∆∆

+∆

( )3x21

∆−

(ω)

( )2yx21

∆∆

( )2yx2

1∆∆

−

e


( )3y21

∆

( ) yx21

2 ∆∆

( ) ( ) yx1

y21

23 ∆∆−

∆−

( ) yx21

2 ∆∆

Ty = D (ω)

( ) yx212 ∆∆

−

( ) ( ) yx1

y21

23 ∆∆+

∆

( ) yx212 ∆∆

−

( )3y21

∆−

As reacções de apoio Rx, Ry e Rv são de acordo com a "Teoria Geral das Placas

Finas", as seguintes:

( )

∂∂

∂−+

∂∂

−= 2

3

3

3

x yx2

xDR ω

νω

( )

∂∂

∂−+

∂∂

−=yx

2y

DR 2

3

3

3

yω

νω

( )

∂∂

∂−−=

xyD12R

2

vω

ν 4.26

As expressões acabadas de determinar podem ser utilizadas para efeitos de obtenção

dos esforços unitários relevantes para efeitos da análise de placas, desde que sejam

conhecidos os deslocamentos num conjunto discreto de pontos. Estas reacções exprimem-

se por diferenças finitas do seguinte modo:


2yx2

2∆∆

−ν

2yx2

2∆∆−ν

DR x = ( )3x21

∆

( ) ( )23 yx2

x1

∆∆−

+∆− ν

( ) ( )23 yx

2x1

∆∆−

−∆

ν ( )3x2

1∆

−

(ω)

2yx2

2∆∆

−ν

2yx2

2∆∆−ν

4.27

( )3y2

1∆

( ) yx2

22 ∆∆

−ν ( ) ( )23 xy

2x1

∆∆−

+∆− ν

( ) yx22

2 ∆∆−ν

DR y = (ω)

( ) yx2

22 ∆∆

−−

ν ( ) ( )23 xy

2x1

∆∆−

−∆

ν ( ) yx2

22 ∆∆

−−

ν

( )3y2

1∆−

4.28

e

yx2

1∆∆

−ν

yx2

1∆∆

−ν

Rv = D (ω)

yx2

1∆∆

−ν

yx2

1∆∆

−ν

4.29

Como foi referido anteriormente, a consideração da equação de Lagrange não é

suficiente para efeitos de cálculo do campo de deslocamentos, pelo que se deve considerar

também as condições de contorno.

4.4. Condições de Contorno


4.4.1 Bordo Simplesmente Apoiado

No caso do apoio da placa ocorrer segundo uma linha paralela ao eixo dos yy e a

uma distância x = a daquele eixo, para x = a é:

0e0Mx == ω ou 0e0yx

D 2

2

2

2

==

∂∂

+∂∂

ωω

νω

Mas 0y/ 22 =∂∂ ω ao longo da direcção x = a e portanto as condições anteriores

resumem-se a:

0e0x 2

2

==∂∂

ωω 4.30

No caso do apoio da placa ocorrer segundo uma linha paralela ao eixo dos xx e a

uma distância y = b daquele eixo, para y = b é:

My = 0 e ω = 0 ou 0e0yx

D 2

2

2

2

==

∂∂

+∂∂

ωωω 4.31

Mas para y = b é 0x/ 22 =∂∂ ω e portanto estas condições resumem-se a:

0e0y2

2

==∂∂

ωω

Se existirem momentos aplicados ao longo do contorno o momento xM para x = a e

o momento yM para y = b, são iguais aos momentos aplicados.


Designe-se por j, k, l os pontos existentes, ao longo do bordo simplesmente apoiado,

quando se considera uma malha, para efeitos de integração da equação de Lagrange, pelo

método das diferenças finitas como se representa na figura 4.7.

l -1 l l+ 1

k -1

j -1

i -1

k k + 1

j j + 1

x

y Bordo Sim plesm ente Apoiado

Figura 4.: Bordos Simplesmente Apoiados

No nó k deve ser, de acordo com as equações (4.30):

ω = 0 ou seja ωk = 0 e 2

2

x∂∂ ω ou seja 02 1kk1k =+− +− ωωω 4.32

donde se conclui que deve de ser:

0k =ω e 1k1k −+ = ωω 4.33

No nó i- 1 deve de ser:

01i =−ω e 1j1h −− = ωω

Os pontos h -1 e k + 1 são pontos fictícios necessários para efeitos do

estabelecimento da equação de Lagrange nos pontos k -1 e j -1 da placa. O uso das

equações (4.32) e (4.33) conjuntamente com a equação de Lagrange nos pontos referidos

fornece as duas equações suplementares que permitem o relacionamento dos deslocamentos

nos nós fictícios com os deslocamentos de pontos no interior da placa.


4.4.2 Bordo Encastrado

No caso de se tratar de uma placa com bordos encastrados como se representa na

figura 4.8 e no caso do sistema de eixos ter origem num dos cantos da placa, se a placa

estiver encastrada em todo o contorno, as condições de fronteira são:

k - 4

j - 4

i - 4

j

i

k - 3 k - 2 k - 1 k k + 1

j - 3 j - 2 j - 1

i - 3 i - 2 i - 1

j + 1

x

y

O

∆x

Ox

y

Bordo Encastrado

Figura 4.8: Bordos Encastrados.

ω = 0 e x∂

∂ω

= 0 para x = a e para x = 0

ω = 0 e y∂

∂ω

= 0 para y = b e para y = 0 4.34

Na figura 4.8, os pontos i, j, e k estão sobre um bordo encastrado. Aplicando as

formulas por diferenças finitas às expressões 4.34 obtém-se, para o nó k as condições

seguintes:


0k =ω e 1k1k −+ = ωω 4.35

Esta aproximação para a primeira derivada de ω utilizada para efeitos de cálculo do

deslocamento no nó fictício k + 1, é bastante grosseira. Os resultados obtidos considerando

este tipo de aproximação são bastante afastados dos resultados exactos a não ser que se

considerem malhas de diferenças finitas muito refinadas.

Para efeitos de estabelecimento das condições de fronteira de um bordo encastrado é

conveniente considerar-se um polinómio interpolador de ordem superior à primeira para

efeitos de cálculo de x/ ∂∂ω . Consideremos que ω (x + h, y) é definido considerando um

desenvolvimento em série de Taylor do seguinte modo:

( ) ( ) ...x4

hx3

hx2

hx

hxy,hx 4

44

3

33

2

22

+∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

+=+ωωωω

ωω 4.36

Admitindo que x/ ∂∂ω = 0 no ponto k, e considerando que h = ∆x, obtém-se:

( )( )

( )+

∆

−−∆+

∆

+−∆+= +−−−+

+ 31k1k2k

3

21kk1k

2

k1k x

36x

x

22x ωωωωωω

ωω

( )++

∆

+ .........

24x 4

Retendo os três primeiros termos da série de Taylor, obtém-se:

23 2k

1k1k−

−+ −=ω

ωω 4.37 (a)

No caso de se reterem os quatro primeiros termos da série de Taylor, obtêm-se:

( )1k2k3k1k 18631

−−−+ +−= ωωωω 4.37 (b)


No caso do bordo ser encastrado podem utilizar-se as equações 4.37 a) e 4.37 b) para

efeitos de cálculo do deslocamento no nó fictício k+1 que combinadas com a equação de

Lagrange podem conduzir às equações necessárias à resolução do problema. Os resultados

obtidos considerando estas aproximações para a primeira derivada do deslocamento

transversal são mais próximas das soluções exactas mesmo quando se consideram malhas

esparsas.

4.4.3. Bordo Livre

No caso do bordo livre e de acordo com a figura 4.9 têm de considerar-se as

condições de fronteira seguinte:

Para x = 0 e para x = a é: Mx = 0 e Rx = 0 ou Mx = MAplicado e Rx= RAplicado Para y = 0 e para y = a é: My = 0 e Ry = 0 ou My = MAplicado e Ry= RAplicado 4.38

k

j

k + 1k - 2 k - 1

j - 2 j - 1 j + 1

xO

j + 2

k + 2

x Bordo Livre

Figura 4.9: Bordo Livre.

Recorrendo às equações (4.17),(4.27),(4.28) e (4.29) podem determinar-se os

deslocamentos dos nós fictícios k+1, k+2 e j+1 e j+2 em função dos deslocamentos


transversais dos nós no interior da placa tendo em conta as condições (4.38) ou combinar

estas equações com as equações de Lagrange por forma a obter um sistema de equações

que permita a determinação do campo de deslocamentos.

4.5. Definição da Carga Elementar

No segundo da equação de Lagrange por diferenças finitas aparece a parcela

correspondente a carga que deve ser considerada na área de influência do nó, a qual para o

nó k é designada por pk. No caso da carga aplicada à placa ser uniformemente distribuída e

de intensidade p o valor a atribuir a pk é p qualquer que seja o nó que se esteja a considerar.

No caso de se tratar de uma carga distribuída de intensidade variável è necessário

determinar a área de influência do nó para se poder determinar o valor médio da carga

distribuída no nó k. Na figura 4.10 representam-se áreas de influência no interior e no

contorno de uma malha de diferenças finitas. Essas áreas elementares são:

2xyAyxA kk

∆∆=∆∆= ′

2y

2xA

2yxA kk

∆∆=

∆∆= ′′′′′ 4.39

No caso de se tratar de uma distribuição de cargas qualquer p (x, y) a carga pk deve ser

calculada a partir da resultante de p (x, y) na respectiva área de influência a qual se pode

designar por Rk ou seja:

k

kk

k

kk A

Rp,

AR

p′

′′ ==

k

kk

k

kk A

Rp,

AR

p′′′

′′′′′′

′′

′′′′ == 4.41


k k'

k'''

ângulo

bordo

k''

∆x

∆y

Figura 4.10: Áreas de Influência.

No caso de se tratar de uma carga concentrada P num dos pontos k, k', k'' ou k''' determina-

se o valor de pk correspondente substituindo Rk pelo valor ponderado da carga concentrada

no ponto k, k´, k´´, k´´´, nas expressões atrás consideradas.

4.6. Aplicações

4.6.1.Método das Diferenças Finitas na Análise de uma Placa Quadrada Simplesmente

Apoiada

Considere-se uma placa quadrada de lado l e espessura t , sujeita a uma carga

uniformemente distribuída de intensidade p, constituída por um material isotrópico com

módulo de Young E e coeficiente de Poisson ν .A placa é considerada simplesmente

apoiada ao longo do contorno. Para efeitos de análise da placa considere-se um sistema de

eixos Oxyz, sendo o plano Oxy coincidente com o plano médio da placa e o eixo dos zz

normal ao plano médio da placa. A origem do sistema de eixos é considerada coincidente

com o centro da placa. Note-se que para efeitos de utilização das expressões desenvolvidas

no capítulo 2 se considera x = x1, y = x2 e z = x3.

Na Figura 4.11 representa-se a placa pelo respectivo plano médio e considera-se uma

malha por diferenças finitas que corresponde a ∆x = ∆y = l/4 . Note-se que a numeração


dos nós na malha de diferenças finitas tem em conta a simetria existente em relação aos

eixos e às diagonais da placa.

6

5

4

5

5

3

2

3

4

2

1

2

5

3

2

3

6

5

4z

l

C D

A B

c

b

ax

y6 5 4 5 6

l

Bordo Simplesmente Apoiado

Figura 4.11: Placa Quadrada.

As condições de contorno que correspondem ao bordo simplesmente apoiado, são:

0654 === ωωω e [ ] [ ] [ ]6n5n4n MMM == =0 4.42

A equação de Lagrange deve ser verificada em todos os pontos da placa, em

particular nos pontos da malha por diferenças finitas. Note-se que nos pontos 4, 5, 6 não é

necessário considerar a equação de Lagrange uma vez que se conhecem os deslocamentos.

As equações que resultam da aplicação da equação de Lagrange aos pontos 1, 2 e 3, são:

D256p483220

4

4321 =+−− ωωωω

D256p244816820

4

52a524312 =+++++−−− ωωωωωωωωω

D256p22224161620

4

3b614523 =+++++−− ωωωωωωωω 4.43


onde D representa o modulo de rigidez à flexão Et3/12 (1 - ν2).

As equações anteriores podem ser simplificadas fazendo uso das condições de

fronteira que após impor a condição de momento nulo, são:

0654 === ωωω e 3b2a e ωωωω −=−= 4.44

Substituindo estas condições nas equações (4.43), obtém-se:

D256p83220

4

321 =+− ωωω

D256p16248

4

321 =−+− ωωω

D256p20162

4

321 =+− ωωω

Resolvendo este sistema de equações obtém-se:

Dp00214.0;

Dp00293.0;

Dp00403.0

4

3

4

2

4

1 ≈≈≈ ωωω

O cálculo dos momentos flectores unitários é feito fazendo uso das expressões 4.17,

tendo em conta que ∆x = ∆y = l / 4, ou seja.

[ ] [ ] ( ) ( )[ ]1221y1x 132DMM ωων −+−==

Para n=0.3, o momento no centro da placa é:

[ ] [ ] lp04576.0MM 21y1x ==


Os resultados obtidos por diferenças finitas podem ser comparados com os resultados

tabelados do Timoshenko1 para o ponto médio da placa que são:

D/lp00406.0 4=ω e lp0479.0MM 2yx == no caso de ser ν=0.3

constatando-se que o erro cometido no cálculo dos esforços,4.6%, é mais elevado que o

erro cometido no cálculo dos deslocamentos,.0.74%. Os outros esforços são facilmente

calculados uma vez conhecidos os deslocamentos e as tensões também são facilmente

calculadas.

4.6.2.Método das Diferenças Finitas na Análise de uma Placa Quadrada Encastrada

Considere-se uma placa quadrada de lado l e espessura t , sujeita a uma carga

uniformemente distribuída de intensidade p, constituída por um material isotrópico com

módulo de Young E e coeficiente de Poisson ν . A placa é considerada encastrada ao

longo do contorno exterior. A origem do sistema de eixos é considerada coincidente com o

centro da placa. Note-se que para efeitos de utilização das expressões desenvolvidas no

capítulo 2 se considera x = x1, y = x2 e z = x3.

Na Figura 4.12 representa-se a placa pelo respectivo plano médio e considera-se uma malha

por diferenças finitas que corresponde a ∆x = ∆y = l/4 . À semelhança do caso anterior

pode considerar-se simetria e portanto é suficiente considerar no interior da placa três

pontos com deslocamentos distintos, os pontos 1,2 e 3 da figura. Nos pontos do contorno é

conhecido o deslocamento e a inclinação, ou seja:

0654 === ωωω e 0xxx 654

=∂∂

=∂∂

=∂∂ ωωω

1 Stephen P. Timoshenko and S. Woinowsky-Krieger, Theory of Plates and Shells, McGRAW-HILL Book Company.


6

5

4

5

5

3

2

3

4

2

1

2

5

3

2

3

6

5

4z

l

C D

A B

c

b

ax

y6 5 4 5 6

l

Bordo Encastrado

Figura 4.12: Placa Encastrada sujeita a uma Carga Uniformemente Distribuida

As equações que resultam da consideração da equação de Lagrange nos pontos 1,2 e 3 são:

D256p483220

4

4321 =+−− ωωωω

D256p244816820

4

52a524312 =+++++−−− ωωωωωωωωω

D256p22224161620

4

3b614523 =+++++−− ωωωωωωωω 4.45

Tendo em conta que as condições de fronteira implicam que seja:

0654 === ωωω e ( ) ( )ωωωωωω 23b12a 61931e619

31

−=−=

tendo em conta as equações (4.37b), o sistema de equações (4.45) toma a forma:

D256p83220

4

321 =+− ωωω

D256p16)3(3.3110

4

321 =−+− ωωω

D256p)6(6.34202

4

321 =+− ωωω

cuja solução é:

Dp000480.0;

Dp000757.0;

Dp001215.0

4

3

4

2

4

1 ≈≈≈ ωωω


Pode comparar-se o valor obtido para w com o valor tabelado do Timoshenko que é:

D

4

1p00126.0=ω

O erro cometido é de 3.57%, como se vê para uma malha análoga à malha utilizada no caso

da placa simplesmente apoiada o erro é mais elevado no caso de placa encastrada.

Podem calcular-se também os momentos no ponto médio da placa, que são:

[ ] [ ] ( ) ( )[ ] 21221y1x p01905.0132DMM =−+−== ωων

O valor tabelado no Timoshenko para o momento é 0.0231p 2 , o erro cometido no cálculo

do momento por diferenças finitas é 17.5%, bastante mais elevado que o erro cometido no

cálculo do deslocamento.

Problemas

1. Considere uma placa quadrada de lado a encastrada ao longo do contorno exterior e

submetida à acção de uma carga hidrostática tal que 2p

axp

p 00 += . Designe por E o

módulo de Young e por ν o coeficiente de Poisson. Fazendo uso do método das diferenças

finitas, determine:

a) O deslocamento nos pontos 1, 2 e 3 da malha representada na figura.

6

5

4

5

5

3

2

3

4

2

1

2

5

3

2

3

6

5

4z

a

C D

A B

c

b

ax

y6 5 4 5 6

a

b) Os momentos flectores nos pontos 1 e 4.

c) O momento flector máximo.


d) As tensões σx , σy e σxy nos pontos 1 e 4.

e) Compare os resultados obtidos para o deslocamento e momentos no ponto 1 com os

resultados tabelados do Timoshenko . Comente os resultados obtidos por diferenças finitas.

2. Considere uma placa quadrada de lado a, encastrada em três lados e simplesmente

apoiada no outro, como se representa na figura , sujeita a uma carga uniformemente

distribuída de intensidade p. A placa é isotrópica sendo E o modulo de Young e ν o

coeficiente de Poisson. Fazendo uso do método das diferenças finitas, determine:

1

3

5

2

4

6

z

a

C D

A B

c

b

ax

y

a

a) Determine os deslocamentos nos pontos 1, 3 e 5.

b) Determine os momentos unitários nos pontos 1, 3, 5.

c) Determine o momento flector máximo na fronteira da placa.

d) Determine as tensões σx , σy e σxy no ponto 1. Trace os diagramas de tensões segundo

a direcção do eixo dos yy que passa no ponto 1.

3. Considere uma placa quadrada de lado a simplesmente apoiada ao longo do contorno e

sujeita a uma distribuição triangular de carga como se representa na figura. Considere que o

material da placa é isotrópico sendo E o modulo de Young e ν o coeficiente de Poisson.

Fazendo uso do método das diferenças finitas determine:


CD

A B

6

a

ax

y

− W2 − W4

z

z

x

p

− W4

− W4

− W6

− W6

− W5 W5

W6

W6

W2

W1

W2

W 4

W 4

W3

a) Os deslocamentos nos pontos indicados na figura.

b) Os momentos unitários no ponto 1. O Diagrama de momentos segundo a direcção do

eixo dos xx que passa no ponto 1.

c) As reacções de apoio.

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método de diferença finita