Método dos Mínimos Quadrados

Método dos Mínimos Quadrados

Motivação

A interpolação não é adequada quando desejamos obter um valor aproximado da função em um ponto fora do intervalo tabelado – extrapolar

Os valores tabelados são resultado de experimento físico ou de pesquisa que podem conter erros

Há necessidade de ajustar à função tabelada, uma função que seja uma boa aproximação para os valores tabelados

Esta boa aproximação deve permitir extrapolação com uma certa margem de segurança

Método dos mínimos Quadrados




f(x) – h(x)

h(x)



h(x)


h(x)

Caso discreto

Sejam dados os pontos (x1,f(x1)), (x2,f(x2)), ..., (xm,f(xm)) os pontos conhecidos

Sejam g1(x), g2(x), ..., gn(x) funções escolhidas de alguma forma

Sendo m >= n

O objetivo é determinar coeficientes α1, α2,..., αn tal que

h(x)= α1g1(x)+ α2g2(x)+...+ αngn(x)

E h(x) se aproxime ao máximo de f(x)

Seja dk = f(xk) – h(xk) o desvio em xk

O objetivo é encontrar α tal que a soma dos quadrados dos desvios seja mínima

m

k

m

k

k kk xhxfd1 1

22 )()(

m

k

m

k

knnkkkk xgxgxgxfd1 1

22 )(...)()()( 2211

Minimizando os desvios

Do cálculo diferencial: para obter um ponto de mínimo de F(α1,α2,...,αn) devemos encontrar os pontos críticos

Devemos encontrar os pontos onde as derivadas parciais são iguais a zero

m

kk knnkkk xgxgxgxfxF

1

2)(...)()()()( 2211

m

kkn xgxgxgxgxf

Fknnkkk

111

1)]([)(...)()()(2)...( 2211

Regra da Cadeia

.,...,2,1,0),...,,( 21 njj

Fn

.)()()...()(2),...,,(1

1121

m

k

kjknnkkn xgxgxgxfj

F

0)()()...()(1

211

m

k

kknnkk xgxgxgxf

0)()()...()(1

111

m

k

kknnkk xgxgxgxf

0)()()...()(1

11

m

k

knknnkk xgxgxgxf

...

...

)()()()(...)()( 22121

111

kknkknkk xgxfxgxgxgxgm

k

m

k

m

k

)()()()(...)()(111

11 knknknknknk xgxfxgxgxgxgm

k

m

k

m

k

)()()()(...)()( 11111

111

kknkknkk xgxfxgxgxgxgm

k

m

k

m

k

22222121 .... baaa nn

11212111 .... baaa nn

nnnnnn baaa ....2211

...

Propriedades

aij = aji – a matriz A é simétrica

Se as funções gi(x) forem tais que os vetores gi resultantes forem linearmente independentes, o sistema admite uma única solução

Se o sistema tem uma única solução, esta solução é o ponto mínimo da função F(α1,α2,...,αn)

Exemplo

Seja o conjunto de pontos:

Ajuste uma parábola do tipo x2aos pontos usando MQ

x -1 -0,75 -0,6 -0,5 -0,3 0 0,2 0,4 0,5 0,7 1

f(x) 2,05 1,153 0,45 0,4 0,5 0 0,2 0,6 0,512 1,2 2,05

)()()()(11

1

11

1

kkkk xgxfxgxgkk

)()()(11

1

11

1

2kkk xgxfxg

kk

11

1

211

1

2 )()()( 2

kk

k

kk xfxx

x -1 -0,75 -0,6 -0,5 -0,3 0 0,2 0,4 0,5 0,7 1 somas

x2.x2 1 0,3164 0,1296 0,0625 0,0081 0 0,0016 0,0256 0,0625 0,2401 1 2,8464

f(x).x2 2,05 0,6485 0,162 0,1 0,045 0 0,008 0,096 0,128 0,588 2,05 5,8756

2,8464α = 5,8756

α = 2,0642

Assim, h(x)=2,0642 x2 é a parábola que melhor se aproxima no sentido dos mínimos quadrados, da função tabelada

Para o caso contínuo

Vimos o método dos mínimos quadrados para o caso discreto

Como fazer para o caso contínuo?

...

)(2)()(2)(...1)(2)(1111

xkgxkfnxkgxkgnxkgxkgm

k

m

k

m

k

)()()()(...1)()(1111

xkgnxkfnxkgnxkgnxkgnxkgm

k

m

k

m

k

)(1)()(1)(...1)(1)(1111

xkgxkfnxkgxkgnxkgxkgm

k

m

k

m

k

dxxgxfndxxgxgndxxgxgb

a

b

a

b

a)(2)()(2)(...1)(2)(1

...


a

b

a

b

a)(1)()(1)(...1)(1)(1

dxxgnxfndxxgnxgndxxgnxgb

a

b

a

b

a)()()()(...1)()(1


a

b

a

b

a)(2)()(2)(...1)(2)(1

...


a

b

a

b

a)(1)()(1)(...1)(1)(1

dxxgnxfndxxgnxgndxxgnxgb

a

b

a

b

a)()()()(...1)()(1

Onde [a,b] é o intervalo onde f(x) e todas as gi(x) são contínuas

Casos não Lineares

Em alguns casos a família de funções pode ser não linear nos parâmetros

Nestes casos, deve-se linearizar o problema através de uma transformação conveniente

O método dos mínimos quadrados pode ser aplicado no problema linearizado

Os parâmetros obtidos não são ótimos porque o ajuste é feito no problema linearizado e não no problema original

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