ndice1

Aritmtica de punto flotante..

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Aproximacin numrica 4 1.2 Errores: truncamiento, redondeo y su repercusin en los procesos 4 1.2.1 Error por truncamiento. ... 4 1.2.2 Error por redondeo 4 1.2.3 Clculo de error.. 5 1.3 Incertidumbre e importancia del error humano.. 5 1.4 Errores de redondeo y aritmtica de punto flotante 5 1.5 Exactitud y precisin: error absoluto y error relativo.. 6 1.5.1 Error absoluto... 61.1 1.5.2 Error relativo....

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Solucin de ecuaciones no lineales en una variable.7Mtodo de Newton Raphson.7

2.1

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2.2

Mtodo de la secante..8

3

Sistemas de lineales.9

ecuaciones

Mtodo de solucin: eliminacin Gaussiana (GaussJordan)..10 3.2 Mtodo iterativo de Jacobi. ..11 3.2 Mtodo recursivo de Gauss-Seidel. 133.1

4 Regresin e Interpolacin144.1 Regresin lineal mediante el modelo de mnimos cuadrados14 4.2 Mtodo de interpolacin de Lagrange.16 5 Derivacin e numrica.16

integracin

5.1 Derivacin numrica....17

6 Solucin numrica de ecuaciones diferenciales ordinarias...186.1 Mtodo de

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Euler..18 6.2 Mtodos de Kutta..20

Runge-

IntroduccinLos mtodos numricos constituyen procedimientos alternativos provechosos para resolver problemas matemticos para los cuales se dificulta la utilizacin de mtodos analticos tradicionales y, ocasionalmente, son la nica opcin posible de solucin.

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Aritmtica de punto flotante1.1 Aproximacin numricaSon tcnicas mediante las cuales un modelo matemtico es resuelto usando solamente operaciones aritmticas (tediosos clculos aritmticos), tcnicas sistemticas cuyos resultados son aproximaciones del verdadero valor que asume la variable de inters;

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la repeticin consistente de la tcnica, a lo cual se le denomina iteraciones, es lo que permite acercarse cada vez ms al valor buscado Se entiende por aproximacin numrica X* una cifra que representa a un nmero cuyo valor exacto es X. En la medida en que la cifra X* se acerca ms al valor exacto X, ser una mejor aproximacin de ese nmero Ejemplos: 3.1416 es una aproximacin numrica de , 1.4142 es una aproximacin numrica de 2, y 0.333333 es una aproximacin numrica de 1/3.

1.2 Errores: truncamiento, redondeo y su repercusin en los procesos.En el anlisis numrico, al error que existe entre el valor real y el obtenido, se le llama error de aproximacin. Existen varios tipos de error, pero los ms comunes son: 1.2.1 Error por truncamiento. Suponiendo que queremos calcular 24/7, sabemos que el resultado de este quebrado es 3.428571... Si truncamos a dos decimales, es decir 3.42 solamente, su expresin como quebrado sera 171/50, y esto, como se puede observar, est generando un error, que ms adelante lo calcularemos. 1.2.2 Error por redondeo. Tomando el ejemplo anterior, si redondeamos a dos decimales, es decir 3.43 solamente, su expresin como quebrado sera 343/100, y esto nos genera un error, que al igual que en el caso anterior, ms adelante calcularemos.

1.2.3 Clculo de error Cuando obtenemos un valor por aproximacin, independientemente del mtodo utilizado, podemos calcular el error de dos formas:

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Error absoluto (EA).- Es la diferencia que existe entre el valor real (R V) y el valor aproximado (V A). Es decir: EA = | VR - VA | Error relativo.- Es la diferencia porcentual que existe entre el valor absoluto y el valor real. Y se calcula como: (EA/VR)* 100 = ((|VR VA |)/VR)* 100 = % Error EA = | VR VA |

1.3 Incertidumbre e importancia del error humano.Algunos autores mencionan dentro de la clasificacin de errores inherentes, los yerros humanos, que se cometen al hacer la lectura de una medida, al transmitirla o al transcribirla; pero, en virtud de que estos errores de lectura, transmisin o transcripcin pueden constituirse en pifias garrafales que quedan fuera de todo control, no es posible estimarlos en forma sistematizada. Por ejemplo, si al transcribir en un documento la densidad de un producto, se anota 1.381 en vez de 1.831, que es la medida leda, la pifia es imposible de manejar y predecir.

1.4 Errores de redondeo y aritmtica de punto flotante.Los errores de redondeo se producen al realizar operaciones aritmticas en las que el resultado produce una mantisa cuyo nmero de dgitos difiere significativamente del nmero de dgitos de la mantisa de alguno de los valores numricos involucrados en la operacin. Al manejar un determinado nmero de cifras significativas en los clculos, el resultado tiene que ser redondeado de alguna manera, sobrestimando o subestimando el valor resultante verdadero. Sea X el resultado de una operacin aritmtica, el cual puede ser expresado mediante notacin matemtica, en forma normalizada: F x 10n, donde F est formada por m cifras obtenidas en el resultado, de las cuales, n son enteras. Este valor se puede descomponer en dos sumandos, igualmente normalizados: el primero formado por t cifras significativas, las t primeras cifras del resultado despus del punto decimal: f x 10n, y el segundo formado por las (m-t) cifras no

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significativas del resultado, g x 10n-t: X = F x 10n = f x 10n + g x 10n-t En virtud de que F, f y g son nmeros normalizados, su valor absoluto puede tomar algn valor dentro del intervalo semiabierto [0.1, 1). F est formado por m dgitos, f est formada por t dgitos y g est formada por (m-t) dgitos. 0.1 |F| < 1; [0.1, 0.999...99] m dgitos 0.1 |f| < 1; [0.1, 0.999...99] t dgitos 0 |g| < 1; [0, 0.999...] (m-t) dgitos

1.5 Exactitud y precisin: error absoluto y error relativo.1.5.1 Error absoluto Los errores numricos se generan con el uso de aproximaciones para representar las operaciones y cantidades matemticas. La relacin entre un resultado exacto o verdadero X y el valor aproximado X* est dado por: X = X* + error (1.1) El que un error tenga signo positivo o negativo, generalmente no tiene importancia, de manera que el error absoluto se define como el valor absoluto de la diferencia entre el valor verdadero y el valor aproximado: E = |X X*| (1.2) El error absoluto se expresa en las mismas unidades que X y no toma en cuenta el orden de magnitud de la cantidad que se est midiendo. El error relativo normaliza el error absoluto respecto al valor verdadero de la cantidad medida: e = |E/X| = |(X - X*)/X| (1.3) 1.5.2 Error relativo El error relativo es adimensional y puede quedar expresado as, en forma fraccional, o se puede multiplicar por 100 para expresarlo en trminos porcentuales:

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e (%) = |E/X| x 100 (1.4) Las ecuaciones (1.1), (1.2), (1.3) y (1.4) suponen que se conoce el valor verdadero de X, lo que hace que los errores absoluto y relativo: E y e sean tambin verdaderos. Pero normalmente X no se conoce; no tendra sentido considerar una aproximacin, si se conociese el valor verdadero. La mejor estimacin posible del verdadero valor de X es su aproximacin X* y se define entonces una estimacin del error relativo como: e* = |E/X*| Pero el problema est en cmo estimar E, en ausencia de conocimiento del verdadero valor de X. Algunos mtodos numricos usan un esquema iterativo en los que se hace una aproximacin con base en la aproximacin previa y esto se hace varias veces, para obtener cada vez mejores aproximaciones: e* = | (valor actual - valor anterior)/valor actual | Los clculos se repiten hasta que: e* < e0, donde e0 es un valor prefijado previamente. Los errores numricos se clasifican, por su origen, en tres tipos: errores inherentes, errores de redondeo y errores por truncamiento, cada uno de los cuales merece un tratamiento por separado.

Solucin de ecuaciones no lineales en una variable2.1 Mtodo de Newton Raphson.El Mtodo de Newton-Raphson asume que la funcin f(x) es derivable sobre un intervalo cerrado [a,b]. Entonces f(x) tiene una pendiente definida y una nica lnea tangente en cada punto dentro del intervalo [a,b]. La tangente en (x0, f (x0)) es una aproximacin a la curva de f(x) cerca del punto (x0, f(x0)) .En consecuencia, el cero de la lnea tangente es una aproximacin del cero de f(x) o denominada raz de f(x).

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f(x)

x2 x1 x0 Modelo general del mtodo Newton Raphson. Formula de Newton Raphson: xi+1 = xi ((f(xi))/(f(xi)))

Ejemplo: usar el mtodo de Newton Raphson para aproximar la raz de f(x)= e-x ln x comenzando con x0 = 1 y hasta que e (%)