Upload
vandien
View
214
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
Universidad de Salamanca - Escuela de Educación y Turismo
�������������������� ��������������������� �������������
��������
������������ � �����������
���������������
� ������� ����
� ��� ������������� ����
� ��������������������
� ��������������������
� ������������������
� ������������������������� � ���������������
� ��� � ����������� ������������� ��
� � �������� �� � ���
������������
� �� � ����������������������������������� ������� ����������������� ������������� ��������������!� ����
� �����"������� � ���������� ���������������� �������������!������������������ ������������� ��������������� � ����������������"����#����������������� ����������������$����� ��$�������������� ��� �����������������!������������� ������������� ���$��������������� %����� ����
� ������ ��&��������������������������������� �����������$���������'������ ���������������� � �������������!�&����������������������������!�� ����
� (������������������ ��� ���������#������$�)� ����$�*�+������,����+$�-���������������������� � �����������#�����������#���������!� ��������������� ���������� �����!���.�
����������������������������
����������
� � ��������������������� ��� � �������������!�������������!������������ �������� ��������� �������� ��������!����������$����� ��$�� �-/.�0������
� 1��� ���� ������� �����������#���������� ����������������������!���"�����������!�����#������ ��������
� (��������� �������� ������������������!���"�����������!��$���������������������$�#������������������� ������� ���������������2 ������3 �������������!���������$������ ���/��������&���������4������ �� ������� ��$����#�������2 0�����3 5�4��������4����� ��� �� ������������� �� �����������
����������������������������
��������������
� ����� ��� ��� ��$������� �������������!������������ ��������$��� �� �����������������!�������� 5�4������ %�� �� ������������������������������������-/.��������������� ����
� �
� 6������������������������������ ������� ����������������������������!7�������������������������� � ����������$��������� ����������7������� ������ � ������������������������������������ �����
����������������������������
���������������
� � �����
� 6������������������������������!���������� �����-/.�0�8/9
����������� ����:-/.�0�/8 ���#�����-/.�0�8/9��)����#���������!����������� ��������-4.��� ���$����������#���8/9 ������ ����&������������������������!������ ����/8$�/8 5�3$�/8 ; <=$��� �����������$� ��#������������!���������� �����-/.�0�8/9 ��� �����������/8 5�4�������4������� ��������
����������������������������
����������Para encontrar una primitiva de una función dada, basta con descomponerla en sus funciones elementales, cuyas primitivas o antiderivadas ya conocemos, o bien podemos obtener leyendo al revés una tabla de derivadas, y luego aplicar la linealidad de la integral:
Las principales funciones primitivas son:
Ejemplo:
����������������������������
�������������
���������� ������� ������� ���������� ����� ���������
����������������������������
��������������
���������� ������� ������� ���������� ����� ���������
Ejemplos:
f’(x)= x4, ∀ n≠-1f(x)=x4+1 / (4+1) + k
,∀ n≠1
����������������������������
�������������
���������� ������� ������� ��������������� ���������
����������������������������
������������
���������� ������� ��������������������� ���������
Ejemplos:
����������������������������
���������
De los conceptos anteriores, podemos definir que básicamente, una integral, es una suma de infinitos sumandos que son infinitamente pequeños.
Dada una función f(x) de una variable real x y un intervalo [a,b] de la recta real, la integral
es igual al área de la región del plano xy limitada entre la gráfica de f, el eje x, y las líneas verticales x = a y x = b, donde son negativas las áreas por debajo del eje x.
����������������������������
�������������
�������������������������������
���������
� 6�������������������������������������������������������-/.�������-/.�
-�����������������'�������������������� ����.�
� ����� ��#����� �������� $��� ������"��#���
� (��/���� ��������������/�0�������� ��
0=
�������������������������������
��������������
� (�������������"�����>�$�"?������ �
� �����!�������������!����(�������������"���������������!��� ���������������������$�"��� ������ ���
�����������������������������
����������������
Teorema fundamental del cálculo o Regla de Barrow.
=F(x2) - F(x1).
El cambio total en F(x) cuando x cambia de �� a x� es la diferencia entre el valor de F al final y el valor de F al principio, es decir, F(x�) - F(x�).
Ejemplo.- Si c(x) es el coste para producir x unidades de un producto, entonces el coste marginal es la derivada c'(t).
Por consiguiente = c(x2) - c(x1), que es el incremento
en el coste cuando la producción aumenta desde x1 hasta x2 unidades.
c
�������������������������������
��������������
Ejemplo:Calcula el área bajo la curva f(x)= x3 -2x+6, limitada porx = -1 y x = 2
Aplicando el teorema fundamental del cálculo;
= F(b) - F(a)
x3 -2x+6-1
2
�������������� ���
��� ����� �����
�� ������
�� ����������
�� ��� ����������������������������
��������� ���
��� ����
��������������� �����!����!����
� 6������������������������������������� ����� ������������!����$�������������������"�7�������� � ���������� ������������� ������������������������� ����!����
����������������������������������
� @"��� ������������������������������������������������������������� ����
� @"��� ��������� ������������������������� ��������������������� ������������ ����
� @"��� ��������� ���������������� ����� ������������!����������� ������ ����
� @"��� ������������ ��������������$��� �
"�������"����������#
Ejercicio 1 solución:
Ejercicio 2 solución:
Ejercicio 3 solución:
Ejercicio 4 solución:
Ejercicio 5 solución:
��������������� ��������������������������� �� � � � � ��� ���������
����������� �
�
���������
���������� � 3 2
"�������"�����������#
�������������������� ! ������"#"$�"��%�$�&������"� �������
���'� ���"��'��(�� ������� ��'#�)��������������#����"*�"�� ����� ��+
,-�*��������*"��#�.���"���/
,0�� ������*"��#�������/�����������'������
1��'"�����$ �����#�����2�������� �������� ����'�����%�#������ ��
("&���'����'�� ��"����� ����#��#������$���("�"��
������"#"$�"��������'#���"��'��������#�-3����03����'��.��� �� ���
�/�����/��4�5/�����4���������� "����������"#"$�"��
.������#��#���#�����2�������� ��� � �#������#����'��������$�����"� �*����#�����2�����03�����������"�6�0�����03�������������/����
"�������"������������#
������/����������/� 7�0���
������'� ���"��'��(�� ������� ��'#�)���������'#������!�������#�
$���("�"���� �����"���"�����#�����'���������"*��#���/��'���#���������
"*��#������-8�"�*������ � �#����������08����� ��� � �#���
0������$����������#�-8�'����'���"��'������ "������/����5//
-8�0�����4�5//������/� 7����4���5//�����
���/����� 7����4���������
5//���� ��/�7��4�7��������������#������ ���("&������#����'����
0���������/� ���
9�-8�0����5//���������/����� ������5//��������/ �����5//�
��/���/��5//�5//�/����*:��#����("�"����� ��"����� ��
"�������"�����������
Calcula el incremento en el coste para la producción de una empresa, sabiendo que la curva de costes marginales es C’(x)= -x²+2x, y que estamos entre los valores x = -1 y x = 4.
Notas.- El coste de producir esas unidades adicionales es equivalente al área de la figura, pero en economía no tienen sentido cantidades de producto negativas, ni costes negativos. Solución real => C(x)=4/3 (para valores entre 0 y 2)
$�%�������!�
� A�������'�B����$�C� ������������������� ��������B������� ������ ������ ��7�� ��-3�==3.�
� ������$�������������"�� �����B������� ���)������"� � �����-3==8.�
� C�'#��'������$�BD E�7������������� ��!�����B������� ��"�� ������� ��� ���(� ����)������"� � �����-3==<.�
� � ������� %����$�������B������� ��-� �������.��1*�)�-2FG=.�