IV. Minimalni polinom

MATEMATIKA-RAZLIKA

26

IV. 1. DEFINICIJA

Neka je A n-dimenzionalna algebra s jedinicom

nad poljem . Tada, u nizu potencija elementa A A ne moe biti vie od n linearno nezavisnih

vektora te postoji tono odreen prirodni broj m

takav da su vektori linerano nezavisni.

Dakle, postoje skalari takvi da je:

1, , ,

mI A A

1, ,

m

1

1 1.

m m

m mA A A I

= + + +

IV. Minimalni polinom

MATEMATIKA-RAZLIKA

27

Znai, za polinom

vrijedi: .

Dakle, svaki element konanodimenzionalne algebre

s jedinicom ponitava netrivijalni polinom.

Navedeni polinom je polinom najmanjeg stupnja koji

ima to svojstvo i naziva se minimalni polinom od A.

Polinom je djelitelj svakog polinoma kojeg A

ponitava.

( ) 11 1m m m m = ( ) 0A =

( )

IV. Minimalni polinom

MATEMATIKA-RAZLIKA

28

IV.2. POSTUPAK ODREIVANJA MINIMALNOG

POLINOMA MATRICE2 3

11 12 13 1

22 23 2

33 3

k

k

k

k

kk

I A A A A

A A A A

A A A

A A

A

IV. Minimalni polinom

MATEMATIKA-RAZLIKA

29

ZADATAK 1. Odredite minimalni polinom matrice

ZADATAK 2. Pomou minimalnog polinoma odredite

inverz matrice

3 2 1

0 2 5 .

1 4 0

A

=

1 2 3

2 0 1 .

1 2 1

A

=