mod birleştirme yöntemi

8/6/2019 mod birletirme yntemi

1/175

UKUROVA NVERSTESFEN BLMLER ENSTTS

YKSEK LSANS TEZ

Sleyman ENEZ

DZLEM EREVE SSTEMLERN

MOD BRLETRME YNTEMLE DNAMKANALZ

NAAT MHENDSL ANABLM DALI

ADANA, 2009


2/175

I

Z

YKSEK LSANS TEZ

Sleyman ENEZ

UKUROVA NVERSTES

FEN BLMLER ENSTTS

NAAT MHENDSL ANA BLM DALI

Danman: Do.Dr. Hseyin R.YERL

Yl: 2009, Sayfa: 164

Jri: Do.Dr. Hseyin R.YERLDo.Dr. H. Murat ARSLANDo.Dr. S. Seren GVEN

Bu almada, doru eksenli elemanlardan oluan ve dzlemi iindeyklenmi erevelerin dinamik ykler altndaki davranlar mod sperpozisyonyntemi ele alnarak incelenmitir.

Yaplarda dinamik davran incelenirken, ncelikle ele alnan sistemin

matematiksel modeli kurulmaktadr. Daha sonra ise matematiksel modeli kurulmuolan sistemin serbest titreim analizi yaplmaktadr. Serbest titreim analizitamamlandktan sonra sistem, mod sperpozisyon metoduyla sistem denklem takmgiriimsiz hale getirilmekte ve eitli yntemler yardm ile bu sistemlerin zorlanmtitreimi analizi yaplmaktadr.

Bu almann sonucunda, ereve sistemlerin serbest ve zorlanm titreimanalizlerini yapan bilgisayar programlar hazrlanmtr. Bu programlarnhazrlanmasnda MATHEMATICAbilgisayar paket program kullanlmtr.

Anahtar Kelimeler: Serbest titreim, Zorlanm titreim, Dinamik davran, ModSperpozisyon Yntemi, Mathematica

DZLEM EREVE SSTEMLERN

MOD BRLETRMEYNTEMLE DNAMKANALZ


3/175

II

ABSTRACT

MASTER THESIS

DYNAMIC ANALYSIS OF PLANAR FRAMES

WITH MODE SUPERPOSITION TECHNIQUE

Sleyman ENEZ

DEPARTMENT OF CIVIL ENGINERING

INSTITUTE OF NATURAL AND APPLIED SCIENCES

UNIVERSITY OF UKUROVA

Supervisor: Assoc. Prof. Dr. Hseyin R. YERL

Year: 2009 , Pages: 164

Jury: Assoc. Prof. Dr. Hseyin R.YERL

Assoc. Prof. Dr. H. Murat ARSLANAssoc. Prof. Dr. S. Seren GVEN

In this study, dynamic behaviour of planar frames with members of straightaxes is investigated with the aid of mode superposition technigue.

During the investigation of dynamic behaviour of planar frames, firstlymathematical model of system is obtained. Then, free vibration analysis of thissystem is studied. After the free vibration analysis, uncoupled system equations areobtained with the aid of mode superposition technique and then forced vibrationanalysis of system is performed with the aid of several methods.

At the end of this study, general purpose computer programs, which analysefree end forced vibration behaviours of planar frames, are prepared. In thepreparation of computer programs, the computer algebra system MATHEMATICAis used.

KeyWords: Free vibration, Forced vibration, Dynamic response, ModeSuperposition Technique, Mathematica


4/175

III

TEEKKR

Bu tez almasnda, bilgi ve tecrbelerini benden esirgemeyen deerli hocam

Sayn Do.Dr. Hseyin R. YERLye ve salam olduu yksek lisans burs

yardmndan dolay Trkiye Bilimsel ve Teknolojik Aratrma Kurumu

(TBTAK)na teekkr bir bor bilirim.


5/175

IV

NDEKLER SAYFA

Z... I

ABSTRACT II

TEEKKR III

NDEKLER... IV

SMGELER VE KISALTMALAR. VII

ZELGELER DZN IX

EKLLER DZN. X

1. GR.. 1

2. NCEK ALIMALAR... 2

3. MATERYAL VE METOD. 4

4. YAPI DNAM HAKKINDA GENEL BLGLER.... 5

4.1. Yaplarn Dinamik Ykler Altndaki Davran 5

4.2. Matematiksel Modelin Kurulmas.... 6

4.2.1. DAlembert Metodu.............................................................. 6

4.2.2. Virtel Deplasman Metodu 7

4.3. Dinamik Davrann Formlasyonu.. 8

4.4. Sistem Rijitlik ve Ktle Matrislerinin Tekili... 10

5. SERBEST TTREM. 13

5.1. Giri... 13

5.2. zdeer ve zvektrlerin Baz zellikleri... 14

5.2.1. zvektrlerin Normalizasyonu.. 14

5.2.2. Rayleigh Oran .. 15

5.2.3. Sturm Teoremi 15

5.2.4. Genel zdeer Probleminin Standart Hale Dntrlmesi.. 16

5.2.5. Kaydrma ( Shift ).. 18

5.3. zdeer Problemlerinin zm Yntemleri 19

5.3.1. Kesin zm.. 19

5.3.2. Yaklak zm Yntemleri.. 20

5.3.2.1. Vektr terasyon Yntemleri... 21


6/175

V

5.3.2.1.(1). Ters terasyon Yntemi 21

5.3.2.1.(2). leri terasyon Yntemi 23

5.3.2.1.(3). Rayleigh Oran ile terasyon 25

5.3.2.1.(4). Gram-Schmidt Ortogonalizasyonu.. 26

5.3.2.2. Transformasyon Yntemleri... 28

5.3.2.2.(1). Jacobi Metodu.. 29

5.3.2.2.(2). Genel Jacobi Metodu... 32

5.3.2.2.(3). Householder-QR-Ters terasyon Metodu 34

5.3.3. Byk Sistemlerin zdeer Problemlerinin zm 35

5.3.3.1. Determinant Arama Metodu... 35

5.3.3.2. Alt Uzaylarla terasyon Metodu. 36

6. ZORLANMI TTREM.. 44

6.1. Giri... 44

6.2. Saysal zm Yntemleri... 44

6.2.1. Direkt ntegrasyon Metodlar. 44

6.2.1.1. Merkezi Sonlu Farklar Metodu... 45

6.2.1.2. Houbolt Metodu.. 45

6.2.1.3. Wilson Metodu... 45

6.2.1.4. Newmark Metodu... 45

6.2.2. Mod Sperpozisyon Metodu.. 48

7. FOURIER TRANSFORM METODU 62

7.1. Fourier Dnm 62

7.2. Fourier Dnmn Baz zellikleri 63

7.3. Ayrk Fourier Dnm.. 65

7.3.1. Ayrk Fourier Dnmn nemi. 66

7.3.2. Kompleks Fourier Serileri.. 66

7.4. Ayrk Fourier Dnm Formlleri.. 69

7.5. Fourier ve Ters Fourier Dnmn Bulunmas.. 71

7.5.1. Fourier Dnm Bulmak in zlenecek Yntem.. 71

7.5.2. Ters Fourier Dnm Bulmak in zlenecek Yntem.. 72

7.6. Fourier Dnmn Yap Dinamii Problemlerine Uygulanmas... 72


7/175

VI

7.6.1. Tek Serbestlik Dereceli Sistemlerin zm 73

7.6.2. ok Serbestlik Dereceli Sistemlerin zm 74

8. DEPREM ANALZ 78

8.1. Giri... 78

8.2. Yer Hareketi Durumunda Yaplarn Davran. 78

8.3. Spektrum Analizi.. 80

8.4. ok Serbestlik Dereceli sistemlerin Deprem Analizi... 84

9. SONULAR VE NERLER 90

KAYNAKLAR 92

ZGEM. 93

EKLER 94

EK-1. BLGSAYAR PROGRAMLARI 94

E1.1. Mathematica Programlar... 94

E1.2. Program erikleri ve Listeleri 94

E1.2.1. MSSN.MAT Program. 94

E1.2.2. MSRN.MAT Program 105

E1.2.3. MSSFT.MAT Program... 114

E1.2.4. MSRFT.MAT Program.. 124

E1.2.5. MSSSP.MAT Program... 133

E1.2.6. MSRSP.MAT Program.. 141

EK-2. RNEKLERN DATA DOSYALARI. 148

E2.1. rnek 5.9.un Data Dosyas... 148

E2.2. rnek 6.1.in Data Dosyas 158

E2.3. rnek 6.2.nin Data Dosyas.. 160

E2.4. rnek 6.3.n Data Dosyas... 161




8/175

VII

SMGELER VE KISALTMALAR

M : Sistem ktle matrisi,

C : Sistem snm matrisi,

K : Sistem rijitlik matrisi,

X : Sistem deplasman vektr,

( )tP : Sistem yk vektr,

: Sistemin snmsz haldeki serbest titreim frekans

: Sistemin snm oran

W : D kuvvetlerin virtel ii

U : kuvvetlerin virtel ii

F : Dtan etkiyen dinamikyk vektr

a : vme vektr

E : Elastisite modl

I : Atalet momenti

L : Elemann boyu

r : Atalet yarap

: Birim boyun arl

T : Transformasyon matrisi

: zdeer (serbest titreim frekanslarnn karesi)

: zvektr (mod ekil fonksiyonu)

[ ] : Spektral matris

[ ] : Modal matris

VS : Hz spektrumu

D : Sistemin snml serbest titreim frekansI

(u) : Toplam deplasman

gx : Yer hareketi


9/175

VIII

dS : Deplasman spektrumu

aS : vme spektrumuT : Serbest titreim periyodu

0C : Deprem blge katsays

akS : Knnc modun ivme spektrum deeri

kT : Knnc modun periyodu

oT : Zemin hakim periyodu

K : Yap tipi katsays

I : Yap nem katsays

g : Yerekimi ivmesi

r : Statik etki katsaylar vektr


10/175

IX

ZELGELER DZN SAYFA

izelge 5.1. rnek 5.9.ait serbest titreim frekanslar (dnme var)... 42

izelge 5.2. rnek 5.9.ait serbest titreim frekanslar (dnme yok).. 42

izelge 6.1. rnek 6.1.e ait serbest titreim frekanslar. 53

izelge 6.2. rnek 6.1.e ait max moment ve deplasman deerleri 56

izelge 6.3. rnek 6.2.e ait serbest titreim frekanslar. 56

izelge 6.4. rnek 6.3.e ait kesme kuvveti ve deplasman deerleri.. 61

izelge 7.1. Fourier dnm ifadeleri... 64

izelge 7.2. rnek 7.1.e ait deerler.. 77

izelge 8.1. Tipik deplasman spektrum erisi deerleri. 83

izelge 8.2. rnek 8.1.e ait saysal veriler. 89


11/175

X

EKLLER DZN SAYFA

ekil 4.1. Statik ve Dinamik Durumun Karlatrlmas........................................ 5

ekil 4.2. Virtel Deplasman Durumu. 7

ekil 4.3. Tek Serbestlik Dereceli Sistem 8

ekil 4.4. Serbest Cisim Diyagram. 8

ekil 4.5. Kiri Eleman in Kod Numaralar.. 10

ekil 5.1. Karakteristik Polinom Grafii. 36

ekil 5.2. rnek 4.9a Ait ekil... 41

ekil 5.3. Serbest Titreim Mod ekilleri 43

ekil 6.1. rnek 5.1e Ait ekil... 52

ekil 6.2. Serbest Titireim Mod ekilleri... 54

ekil 6.3. Deplasman ve Moment Diyagramlar.. 55

ekil 6.4. rnek 5.2ye Ait ekil. 57

ekil 6.5. Deplasman Diyagram. 58

ekil 6.6. rnek 5.3n Basitletirilmi Modeli.. 59


ekil 7.1. Zaman Uzaynda F(t) fonksiyonu 62

ekil 7.2. F(t)nin Ayrk Tanm.. 65

ekil 7.3. Ayrk Fourier Dnmnn Simetri ve Antisimetri zellii 70


ekil 8.1. Yer Hareketi Bulunmasn Durumunda Yaplarn Hareketi. 78

ekil 8.2. Deplasmann Zamana Gre Deiimi.. 81

ekil 8.3. Deprem Deplasman Spektrum Erileri 83

ekil 8.4. TDYnin nerdii Deprem vme Spektrum Erisi. 84


12/175

1. GR Sleyman Enez

1

1. GR

Bu almada amalanan, yaplarn dinamik ykler altndaki davranlarnn

incelenmesi ve dinamik ykler altnda yap sistemlerinin mhendislik zelliklerinin

(deplasman, ivme, kesit tesirleri vb.) tespit edilmesidir.

Bilindii gibi, yaplarn dinamik ykler altndaki davran ikinci mertebeden

diferansiyel denklem takm tarafndan idare edilmektedir. Bu tezde, diferansiyel

denklemlerin saysal zm yntemleri zerine allmaktadr. Mod sperpozisyon

metodunun kullanlmas temel ama olduundan dolay yapnn serbest titreim

analizinin yaplmasnn gereklilii ortaya kmaktadr. Bu sebepten dolay serbest

titreim konusu, bu tezde nemli bir yer tutmaktadr.

Yine mod sper pozisyon metodu ile giriimsiz hale gelen diferansiyel

denklem takmnn eitli yntemler (Newmark metodu, Fourier transform metodu

ve spektrum analizi) ile zlmesi ve karlatrlmas amalanmaktadr.

Son olarak deprem gibi yer hareketi sz konusu olduu zaman yaplarn

davrannn incelenmesi amalanmaktadr.

Yukarda anlatlan amalara uygun olarak, sembolik ilem yapabilen

MATHEMATICA paket program kullanlarak eitim amal bilgisayar

programlarnn gelitirilmesi amalanmaktadr.


13/175

2. NCEK ALIMALAR Sleyman Enez

2

2. NCEK ALIMALAR

Tez zerinde yaplan nceki almalardan bazlar ksaca aada

grlmektedir.

Serbest titreim konusunda yaplm olan almalarn bazlar u ekildedir:

BAUER (1957), ilk olarak vektr iterasyon yntemleri zerinde almtr.

Kuvvet metodlar zerinde de almalar yaparak, eitli tipteki matrisler iin bu

metodlarn zelliklerini tespit etmeye almtr.

SCHWARZ (1968), vektr iterasyon yntemlerinin yaknsama zellikleri

zerinde bir dizi almalar yapmtr.

RUTISHAUSER (1969), vektr iterasyon yntemlerini, simetrik ve tam

pozitif matrisler zerinde uygulamtr. Ayrca iterasyon vektrlerinin ortogonal

olma zelliinin, Gram-Schmidt ortogonalizasyonu ve Cholesky arpanlarna ayrma

yntemlerini kullanarak muhafaza edilmesi zerinde almalar yapmtr.

BATHE ve WILSON (19701979), Rayleigh-Ritz analizi olarak da bilinen

alt uzaylarla iterasyon ynteminin vektr iterasyon yntemleri ile birlikte

kullanlmasnn iyi sonular verdiini iaret etmilerdir. Bu yntemin, byk hacimli

problemler iin uygun olduunu gstermitir.

WILSON ve ITOH (1983), hesaplama esnasnda, daha nceden bulunan

zdeerlere tekrar yaknsamay nlemek iin, iterasyon vektrlerine

ortogonalizasyon uygulamlardr. Ayrca hzl yaknsamay salamak iin shift

zelliini kullanmlardr.

Zorlanm titreim konusunda nceden yaplan almalarn bazlar u

ekildedir:

CLOUGH (1975), keyfi olarak zamanla deien ykler altnda yaplarn

davrann incelemitir. Ayrca tipik birka sistem ve ykleme iin seri eklinde

kapal zmler elde etmitir. Bununla beraber deprem mhendislii konusunda,

zellikle yap-zemin etkileimi konusunda almalar yapmtr.

BATHE ve WILSON (1976), yaplarn dinamik ykler altndaki

davranlarn idare eden diferansiyel denklemlerin zmleri zerinde


14/175

2. NCEK ALIMALAR Sleyman Enez

3

almlardr. zm metodu olarak direkt integrasyon yntemleri ile mod

sperpozisyon metodunu kullanmlardr.

CRAIG (1981), yaplarn eitli tipteki yklemeler altndaki davranlarn ve

serbest titreim analizi zerinde almalar yapmtr. Sistemlerin Fourier uzayndaki

zmleri zerinde de almtr.


15/175

3. MATERYAL VE METOD Sleyman Enez

4

3. MATERYAL VE METOD

Gz nne alnan kiri elemana ait malzemenin, homojen, lineer elastik ve

izotop olduu kabul edilmektedir. Ele alnan yap sistemlerinin bu malzemeden

meydana geldii varsaylmaktadr.

Tezde ilk olarak sonlu elemanlar metodu kullanlarak, dzlemi iinde ykl

ubuk sistemler iin elde edilen eleman rijitlik ve ktle matrisleri verilmektedir.

Sonra kodlama teknii vb. bir metodla sistem rijitlik ve ktle matrisleri

oluturulmaktadr. Daha sonra serbest titreim analizine deinilmektedir. Bundan

sonrada zorlanm titreim analizi yaplmaktadr. Tez almas esnasnda

yaplanlarn tezde sunulu ekli srasyla aada gsterilmektedir.

Drdnc blmde, sistemin davrann idare eden diferansiyel denklemin

bulunuu anlatlmakta, eleman rijitlik ve ktle matrisleri verilmekte ve sonra ortak

bir takmda sistem matrislerinin tekilinden bahsedilmektedir.

Beinci blmde, yap sistemlerinin serbest titreimi anlatlmaktadr. Serbest

titreim analizi esnasnda ortaya kan zdeer problemi ve zellikleri hakknda zet

bilgi verildikten sonra bu tip problemlerin saysal olarak zmn yapan deiik

trde ve zellikteki metodlardan bahsedilmekte ve konu ile ilgili rnekler

verilmektedir.

Altnc blmde, yaplarn dinamik ykler altndaki zorlanm titreim

analizine deinilmektedir. Zorlanm titreim analizinde uygulanan zm

metodlarndan bahsedilmektedir. Blmn sonunda ise hazrlanan bilgisayar

programlar ile zlm saysal uygulamalar verilmektedir.

Yedinci blmde, Fourier transform metodu anlatlmaktadr. Ayrca bumetodun yap dinamiine nasl uygulanaca gsterilmektedir.

Sekizinci blmde, deprem gibi yer hareketi durumunda yaplarn

davrannn mod sperpozisyon metodu ve spektrum analizi ile nasl yapld

konusu anlatlmaktadr.

Ekler blmnde, MATHEMATICA programlar ile hazrlanan bilgisayar

programlar tantlmakta ve listeleri verilmektedir. Ayrca tez iinde zlm

rneklere ait data dosyalarnn listeleri de sunulmaktadr.


16/175

4. YAPI DNAM HAKKINDA GENEL BLGLER Sleyman Enez

5

4. YAPI DNAM HAKKINDA GENEL BLGLER

4.1. Yaplarn Dinamik Ykler Altndaki Davran

Fizikte olayn zamanla deiimi dinamik kelimesiyle ifade edilmektedir.

Benzer bir statik problemine gre, bir yap dinamii problemi balca iki konuda

farkllk gstermektedir. Bunlardan ilki, dinamik problemlerde ykn ve davrann

sabit olmad yani zamanla deimesidir (ekil 4.1.). kinci deiiklik ise dinamik

problemlerde, dinamik yer deitirme esnasnda sisteme atalet kuvvetlerinin de dahil

olmasdr. Bunlarn yan sra dinamik problemlerin zm, statik problemlerden

farkl olarak tek bir zm olmayp, zamana bal olarak bir zm takmndan

meydana gelmektedir. Yukarda anlatlan sebeplerden tr, dinamik zmn statik

zme oranla daha zor olduu sonucu ortaya kmaktadr, (Clough ve Penzien,

1993).

elastik eri

(sabit)

Statik durum

elastik eri

(zamanla deiiyor)

Dinamik durum

ekil 4.1.- Statik ve dinamik durumun karlatrlmas

Yap dinamiinin konusu ierik itibari ile zamana bal olarak deien ykler

altnda tayc sistemlerde meydana gelen gerilmelerin ve yer deitirmelerin

hesaplanmasdr.


17/175


6

4.2. Matematiksel Modelin Kurulmas

Sistemin davranna ait matematiksel modelin kurulmasnda, yap

dinamiinde balca iki farkl metod kullanlmaktadr. Bunlar,

a) DAlembert metodu,b) Virtel deplasman metodlardr.

4.2.1. DAlembert Metodu

DAlembert metodunda Newtonun ikinci hareket kanunu kullanlmakta ve

dzlemsel halde aada gsterildii gibidir.

amF = (4.1)

):,, MFFF yx= Dtan etkiyen dinamik yk vektr

( ):,, yx aaa = vme vektr

2

2

xdt

xda = ;

2

2

dt

yday = ; 2

2

dt

da

= (4.2)

Yukardaki eitlikte grlen m a atalet kuvvetini gstermektedir. DAlembert

prensibine gre, sistemin analizi srasnda atalet kuvvetlerinin gz nnde alnmas

art ile dinamik problem statik bir problemmi gibi ele alnarak zlebilmektedir.Aklamak gerekirse;

( ) 0=+ xx maF

( ) 0=+ yy maF

( ) 0=+ IaM (4.3)eklinde yazld takdirde, sistem statik bir problemmi gibi zlmektedir.


18/175


7

4.2.2. Virtel Deplasman Metodu

ekil 4.2. de grld gibi denge halinde bulunan sistemin x deplasmanna

x kadar virtel (keyfi) bir deplasman verilmektedir.

ekil 4.2. Virtel deplasman durumu

xxx + (4.4)

Virtel deplasman ynteminde dikkat edilmesi gereken husus, x virtel

deplasman sistemin kinematik snr artlarn salamaldr. Virtel deplasman

metoduna gre, virtel deformasyon srasnda d kuvvetlerin yapt virtel i, i

kuvvetlerin yapt virtel ie eittir.

(4.5)

:W D kuvvetlerin virtel ii

:U kuvvetlerin virtel ii

Bu ekilde virtel deplasman metodu kullanlarak sistemin matematiksel

modeli kurulabilmektedir.

UW =


19/175


8

4.3. Dinamik Davrann Formlasyonu

Burada tek serbestlik dereceli bir sistem zerine DAlembert metodu

uygulanarak dinamik davrann formlasyonu elde edilmektedir.

ekil 4.3. Tek serbestlik dereceleri sistem

Sistemin deformasyon yapm halde serbest cisim diyagram aada grlmektedir.

ekil 4.4. Serbest cisim diyagram


20/175


9

ekil 4.4. teki sistem iin DAlembert metodu uygulanrsa sistem denklemi,

0)(0 == kxxcxmtPFx (4.6))(tPkxxcxm =++ (4.7)

olarak elde edilir. Tek serbestlik dereceli sistemler iin aadaki tarifler

yaplmaktadr.

2;2 ==

m

c

m

k(4.8)

: Sistemin snmsz haldeki serbest titreim frekans

: Sistemin snm oran

Yap sistemlerinin ou iin snm oran 1.001.0 arasnda deer

almaktadr. (4.8) ifadeleri (4.7) bantsnda yerine yazlrsa ( )txx = iin olay

idare eden diferansiyel denklem aadaki ekle gelmektedir:

( )m

tPxxx =++ 22 (4.9)

Sistem serbestlik derecesi birden fazla olan sistemler (sistemin hareketi

srasnda meydana gelen atalet kuvvetlerini belirlemek iin gerekli olan deplasman

says birden fazla olan sistemler), ok serbestlik dereceli sistemler olarak

adlandrlr. ok serbestlik dereceli sistemlerde, hareketi diferansiyel denklem takm

idare etmekte ve aadaki gibi matris eklinde ifade edilebilmektedir.

( )tPXKXCXM =++ (4.10)


21/175


10

:M Sistem ktle matrisi,

:C Sistem snm matrisi,:K Sistem rijitlik matrisi,

:X Sistem deplasman vektr,

( ) :tP Sistem yk vektr,

Sisteme dtan etkiyen bir yk yok, ( ) 0=tP , ise sistem serbest titreim

frekans yapmaktadr. Sisteme dtan etkiyen ve zamanla deien bir yk var,

( ) 0tP , ise sistem zorlanm titreim hareketi yapmaktadr. lerleyen konularda

serbest ve zorlanm titreim olaylar ayrntl olarak incelenecektir.

4.4. Sistem Rijitlik ve Ktle Matrislerinin Tekili

Bu balk altnda dzlemi iinde yklenmi, kiri elemanlardan oluan

dzlemsel sistemler iin eleman rijitlik ve eleman ktle matrisleri verilmektedir.

ekil 4.5.Kiri eleman iin kod numaralar

ekil 4.5. deki, kendi dzlemi iinde yklenmi tipik bir kiri eleman iin,

eleman koordinatlarnda rijtlik ve ktle matrisleri aada gsterilen ekillerdeki

gibidir, (James ve Smith, 1989) :


22/175


11

=

22

22

22

22

3

460260

61206120

00)/(00)/(

260460

61206120

00)/(00)/(

LLLL

LL

rLrL

LLLL

LL

rLrL

L

EIk

Eleman Rijitlik Matrisi:

A

Ir= (4.11)

=

22

22

42203130

22156013540

001400070

31304220

13540221560

007000140

420

LLLL

LL

LLLL

LL

Lm

Eleman Ktle Matrisi:

(4.12)

Yukarda geen simgeleri tanmlamak gerekirse;

E: Elastisite modl

I: Atalet momenti

L: Elemann boyu

r: Atalet yarap

: Birim boyun arl

Eleman koordinatlarnda verilmi olan bu matrislerin btn sistem iin ortak

bir takma gre yeniden dzenlenmesi gerekmektedir. Bunun iin aada

gsterildii ekilde bir transformasyon ilemi uygulanmaktadr.

TkTkT='

TmTmT=' (4.13)

T matrisi transformasyon matrisi olup, dzlemi iinde yklenmi sistemler

iin aada gsterildii ekliyle verilmektedir.


23/175


12

(4.14)

Bu ekilde global takmda elde edilen eleman matrislerinin uygun bileenleri

kullanlarak, kodlama teknii gibi bir yntemle sistem rijitlik ve ktle matrisleri

oluturulmaktadr.

Mm

Kk

i

i

''

(4.15)

=

=

1000

0

;0

0

CosSin

SinCos

tt

t

T


24/175

5. SERBEST TTREM Sleyman Enez

13

5. SERBEST TTREM

5.1. Giri

Serbest titreimde, 4. blmde bahsedilen (4.10) denkleminde ( ) 0=tP

olmas sonucunda sistem denklemi aada gsterildii ekildeolmaktadr.

0=++ XKXCXM (5.1)

Serbest titreimde yaplan hesaplamalarda, sistemin snm zellii ihmal

edilmektedir )0( =C . Bu durumda (5.1) eitlii aada gsterildii ekilde

olmaktadr.

0=+ XKXM (5.2)

ekline gelmektedir. Ayrca sistemin bilinmeyenleri iin zmn,

tSinX = (5.3)

eklinde olduu varsayldnda, sistem ivme vektr aadaki ekle gelmektedir:

tSinX 2= (5.4)

(5.3) ve (5.4) bantlar (5.2) eitliinde yerine yazlrsa, sistem denklemleri

aadaki gibi cebrik zdeer problemine dnmektedir.

2

2

;

0)(

==

=

MK

MK (5.5)


25/175


14

: zdeer (serbest titreim frekanslarnn karesi)

: zvektr (mod ekil fonksiyonu)

MKA = (5.6)

Yukardaki gibi bir A matrisi tanmlanrsa, (5.5) denklemindeki zdeer

probleminin zm iin aada belirtilen artlar ortaya kmaktadr.

00

00

=

=

A

A(5.7)

Yukardaki artlardan da grlebilecei zere, (5.5) denkleminin zmnn

olabilmesi iin katsaylar determinatnn sfr olmas gerekmektedir. Bundan dolay

problemlerde katsaylar matrisinin determinantn sfr yapacak deerlerini

bulmak gerekmektedir. Yani zdeer problemi zmek gerekmektedir.

5.2. zdeer ve zvektrlerin Baz zellikleri

Bu balk altnda, zdeer ve zvektrlerin yalnzca bu tezde kullanlan

zellikleri hakknda bilgi verilmektedir.

5.2.1. zvektrlerin Normalizasyonu

zdeer problemlerin zm sonucunda bulunan zvektrler, eitli

amalar dorultusunda deiik formlarda ifade edilmektedirler. Yaplan bu

deitirme ilemine zvektrlerin normalizasyonu denilmektedir. Tez erevesinde,

zvektrlerin ktle matrisine gre normalizasyonu kullanlmaktadr. Ktle matrisine

gre normalizasyona ayn zamanda ktle ve rijitlik matrislerine gre ortogonalite

artlar da denilmekte ve aadaki ekilde ifade edilmektedir.


26/175


15

[ ] [ ][ ]

[ ] [ ][ ] ijijTiijj

T

i

K

M

=

=

=

==

0

1

ij

ij

ji

ji

(5.8)

5.2.2. Rayleigh Oran

Rastgele seilmi bir v vektr iin (5.9) Rayleigh oran denilmektedir. v

vektr sistemin herhangi bir zvektrne eitse )( iv = , Rayleigh oran zdeere

( )i karlk gelmektedir.

nT

T

vvMv

vKvv = )(,

]][[][

]][[][)(

1 (5.9)

i

i

T

i

i

T

ii

M

K

==

]][[][

]][[][)( (5.10)

5.2.3. Sturm Teoremi

Genel bir zdeer probleminde keyfi bir says seilecek olursa;

[ ] [ ] [ ]MKK =~ (5.11)

yukardaki ekildeki gibi bir matris tanmlanacak olursa, tanmlanm olan bu matris

aadaki gibi arpanlarna ayrlabilmektedir.

[ ] [ ] [ ] [ ]TLDLK =~ (5.12)


27/175


16

5.12 formlnde grlen [ ]D diagoanal matris, [ ]L ise alt gen matristir. [ ]D

matrisinin diagonali zerindeki negatif elemanlarn says p ise, Sturm teoreminegre, bu zdeer problemi iin saysndan kkp adet zdeer mevcut anlamna

gelmektedir, (Bathe, 1982).

5.2.4. Genel zdeer Probleminin Standart Hale Dntrlmesi

Kuvvetli zm yntemlerinin gelitirilmi olmasndan dolay, genel bir

zdeer problemi sistematik bir ekilde kolayca standart haledntrlebilmektedir. Standart hale dntrme ilemi iin balca iki farkl yol

izlenebilmektedir.

Birinci tip dnmde [ ]M ktle matrisinin tam pozitif olmas hali iin

aada gsterilmektedir. lk olarak ktle matrisi,

[ ] [ ] [ ]TSSM = (5.13)

eklinde arpanlaraayrlp, aadaki dnmler yaplrsa,

[ ] [ ] [ ][ ][ ] [ ] [ ] T

T

S

SKSK

=

=

~

~ 1

(5.14)

eklinde (5.5) genel zdeer problemi,

~~~

=K (5.15)

eklinde standart hale dntrlmektedir. kinci tip dnmde ise [ ]K rijitlik

matrisinin tam pozitif olmas hali iin aada gsterildii ekilde yaplmaktadr. lk

olarak sistem rijitlik matrisi,


28/175


17

[ ] [ ] [ ]TSSK = (5.16)

eklinde arpanlarna ayrldktan sonra,

[ ] [ ] [ ][ ]

[ ] [ ] [ ] T

T

S

SMSM

=

=

~

~ 1

(5.17)

Dnmleri yaplr ise, problem

[ ][ ] [ ]

~1~~

=M (5.18)

eklinde standart hale dnmektedir.

rnek 5.1. Rijitlik ve ktle matrisleri aada gsterilen genel zdeer problemininstandart hale dntrlmesi:

=

==

1000

0100

0020

0002

;

5410

4641

1464

0145

, MKMK

lk adm olarak ktle matrisi (5.13) teki gibi arpanlarna ayrlacak olursa,

==

===

1

1

2/1

2/1

1

1

2

2

1 TTTSSSSSSM

matrisleri elde edilir. Bu matrisler yardmyla,


29/175


18

==

542/10

46828.22/1

2/1828.232

02/125.2

~~ 1KSKSK

T

eklinde yeni sistem matrisi elde edilir. Bu ekilde genel tip problem, (5.15)

denklemindeki gibi standart hale dntrlm olur.

5.2.5. Kaydrma (Shift)

Genel bir zdeer probleminde, keyfi bir say olmak zere,

[ ] [ ] [ ]MKK =~ (5.19)

Dnm yapldktan sonra, (5.5) denkleminde yerine konulursa, zdeer problemi

[ ][ ] [ ][ ] MK =~ (5.20)

halini almaktadr. Bu genel zdeer probleminin zm ile aada gsterildii

ekilde, ilk sistemin zdeerleri )( i bulunmaktadr.

+= ii (5.21)

Yukardaki gibi bir yol izlemenin balca iki nemli nedeni bulunmaktadr.

Bunlardan birincisi, sistem matrislerinden herhangi biri tam pozitif deil ise, zm

yntemlerinin birou kullanm dnda kalmaktadr. Bu durumun grld

sistemlerde shift yntemi kullanlarak matrisler tam pozitif hale getirilebilmektedir.

kinci bir neden ise, iteratif yntemlerle ilemleri hzlandrmasdr. Semi

olduumuz shift, zdeere ne kadar yakn ise problem o derece yaknlkta abuk

yaknsamaktadr.


30/175


19

5.3. zdeer Problemlerin zm Yntemleri

Genel zdeer problemleri ve standart zdeer problemler iin eitli zm

yntemleri gelitirilmitir. Gelitirilmi olan zm yntemlerini genel olarak iki

gruba ayrmak mmkndr.

a ) Kesin zm,

b )Yaklak zm.

5.3.1. Kesin zm

Aada gsterildii ekilde bir zdeer problemi,

0)( = MK (5.22)

gsterilen formln tanmndan hareketle, zmn olabilmesi iin katsaylar

matrisinin determinantnn sfr olmas gerekmektedir. (5.22) denkleminde katsaylar

matrisinin determinant alnrsa ya bal olarak bir polinom elde edilmektedir.

Elde edilen bu denkleme karakteristik polinom denilmektedir.

( ) ( )

( )

n

n

n

n

n aaaap

MKDetp


31/175


20

Karakteristik polinomdaki doru bir ekilde hesaplanmas ve sonrada polinom

kklerinin hassas bir ekilde hesaplanmas hususuna dikkat edilmelidir. Yksek

dereceli polinomlarn kklerinin hassas olarak belirlenmesi olduka zor veya

imkanszdr. Bundan dolay zdeer problemleri iin, karakteristik polinomun

kklerinin hesabna dayanmayan eitli zm yntemleri gelitirilmitir.

rnek 5.2. rnek 5.1.deki sistemin kesin zmnn bulunmas:

( ) ( ) 25285276664

5410

4641

14264

01425

)(234 ++=

==

pMKDetp

yukarda gsterildii ekilde sistemin karakteristik polinomu bulunur. Polinomun

kkleri hesaplanrsa sistemin zdeerleri bulunur.

snrad

snrad

snrad

snrad

/26166.36384.10

/09130.237355.4

/17961.139147.1

/31071.009654.0

44

33

22

11

==

==

==

==

zdeerlerde bulunduktan sonra (5.24) bants yardm ile her bir zdeere karlk

gelen zvektrler yani mod ekil fonksiyonlar hesaplanmaktadr.

5.3.2. Yaklak zm Yntemleri

Yaklak zm yntemlerini genel olarak kendi iinde iki farkl gruba

ayrmak mmkndr:

a ) Vektr iterasyon yntemleri,

b ) Transformasyon yntemleri.


32/175


21

5.3.2.1. Vektr terasyon Yntemleri

Bu yntemlerde bir dizi iterasyon sonunda zdeerler ve zvektrler

bulunmaktadr. Vektr iterasyon yntemlerini grupta toplamak mmkndr.

a ) Ters iterasyon yntemi,

b )leri iterasyon yntemi,

c )Rayleigh oran ile iterasyon yntemi.

Bu yntemler ayn zamanda kuvvet metodlar olarak ta adlandrlmaktadr.

5.3.2.1.(1). Ters terasyon Yntemi

Bu yntemin kullanlabilmesi iin sistem rijitlik matrisinin, K, tam pozitif

olmas gerekmektedir. Eer tam pozitif deil ise shift zelliinden faydalanlarak bu

yntem kullanlabilir. Bunun yan sra ktle matrisi, M , herhangi bir zel koul

aranmamaktadr. Bu yntemin algoritmas aada gsterildii ekildedir.

1- lk olarak bir balang vektr seilir. Balang vektr genellikle birim vektr

seilmektedir.

[ ] [ ]TX 1..111 =

2-Daha sonra problem yaknsayana kadar aadaki ilem dngs yaplmaktadr.

[ ][ ] [ ][ ]

( ) [ ] [ ][ ][ ] [ ][ ]

[ ][ ]

[ ] [ ][ ]( )

=

=

=

=

++

++

++

+++

+

.......,,2,1

2/1

11

1

1

11

111

1

k

XMX

XX

XMX

XKXX

XMXK

k

T

k

k

k

k

T

k

k

T

kk

kk

(5.25)


33/175


22

3- L adm sonunda problemin yaknsad kabul edilirse,

[ ] [ ]1111 ;)( ++ LL XX (5.26)

eklinde sistemin zdeer ve zvektrlerinden biri (serbest titreim frekans ve mod

ekil fonksiyonlarndan biri) bulunmaktadr. (Bathe ve Wilson, 1976)

Ters iterasyon ynteminin en nemli zellii, balang vektr ne seilirse

seilsin daima en kk zdeer ve zvektr bulunmaktadr, (Bathe ve Wilson,

1976). Bu yntemde (5.25) dngs aadaki yaknsama kriteri salanncaya kadartekrarlanmaktadr.

( ) ( )

( ) Tolk

kk

+

+

1

1

1

1

1

(5.27)

Yaknsama kriterindeki tolerans deeri s210 olarak kullanlmaktadr (en kk

zdeerinin 2s dijit doru olarak bulunmas iin).

rnek 5.3. Ters iterasyon yntemini kullanarak, rnek 5.1.deki sistemin zdeer

hesab:

Balang vektr [ ] [ ]TX 11111 = ve yaknsama tolerans6

10

(s=3) olacak ekilde ters iterasyon algoritmas uygulandnda, aadaki deerler

elde edilmektedir.

k=1

[ ] ( ) 0966516.02.78.112.128.7 22 == XX T

k=2

[ ] ( ) 0965374.0001.3962.4132,5239.3 33 == XX T


34/175


23

k=3

[ ] [ ] ) 0965373.0002.3963.4133.5238.344 == XX

T

k=3 adm sonunda problem yaknsadndan iterasyona son verilerek aadaki

sonular elde edilmektedir.

[ ]

==

2898.0

4791.0

4955.0

3126.0

09654.011

5.3.2.1.(2). leri terasyon Yntemi

Bu yntem, ters iterasyon yntemi ile benzerlik gstermektedir. Ters

iterasyon ynteminin aksine, bu yntemle en byk zdeer ve buna karlk gelen

zvektr bulunmaktadr. (Bathe ve Wilson, 1976). Bu yntemin kullanlabilmesi iin

ktle matrisinin, M , tam pozitif olmas gerekmektedir. Ktle matrisinin tam pozitif

olmad durumlarda shift uygulanarak bu yntem kullanlabilmektedir. Yntemin

algoritmas aada gsterildii ekildedir.

1- lk olarak bir balang vektr seilir. Balang vektr genellikle birim vektr

seilmektedir.

[ ] [ ]TX 1..111 =


35/175


24

2-Daha sonra problem yaknsayana kadar aadaki ilem dngs yaplmaktadr.

[ ][ ] [ ][ ]

( ) [ ] [ ][ ][ ] [ ][ ]

[ ][ ]

[ ] [ ][ ]( )

=

=

=

=

++

++

++

+++

+

.......,,2,1

2/1

11

1

1

11

111

1

k

XMX

XX

XMX

XKXX

XKXM

k

T

k

k

k

k

T

k

k

T

kk

kk

(5.28)


[ ] [ ]nLnL XX ++ 11 ;)( (5.29)

eklinde sistemin en byk zdeer ve zvektr bulunmaktadr. Bu yntemde de

iterasyonu sonlandmak iin, (5.27) yaknsama kriteri kullanlmaktadr.

rnek 5.4. leri iterasyon yntemini kullanarak, rnek 5.1.deki sistemin zdeer

hesab:

Balang vektr [ ] [ ]TX 11111 = ve yaknsama tolerans6

10

(s=3) olacak ekilde ileri iterasyon algoritmas uygulandnda, aadaki deerler

elde edilmektedir.

k=1

[ ] [ ] ( ) 93333.520.15.01 22 == XX T

k=2

[ ] ( ) 57887.8929.4017.4183.0096.133 == XX

T


36/175


25

k=9

[ ] ( ) 63844.10982.5748.7713.2138.1 1010 == XX T

k=10

[ ] [ ] ( ) 63845.10982.5748.7717.2142.1 1111 == XX T

k=10 adm sonunda problem yaknsadndan iterasyona son verilerek aadaki

sonular elde edilmektedir

[ ]

==

56227.0

72827.0

25539.0

10731.0

63845.1044

5.3.2.1.(3). Rayleigh Oran le terasyon Yntemi

Yaplan almalar sonucu shift ile uygulanan ters iterasyon ynteminin daha

abuk yaknsad anlalmtr. Seilmi olan shift deeri aranan zdeere ne kadar

yakn ise yntem o kadar abuk yaknsamaktadr. Buradaki temel zorluk uygun shift

deerinin nasl seileceidir. Uygun shift deerini semenin bir yolu, shift olarak

Rayleigh orannn seilmesidir. Ters iterasyon algoritmas srasnda her admda

bulunan Rayleigh oran bir sonraki adm iin shift deeri olarak kullanlrsa yntem

daha abuk yaknsamaktadr. Bundan dolay Rayleigh orannn shift olarak seilmesi

ile uygulanan ters iterasyon yntemine Rayleigh oran ile iterasyon yntemi

denilmektedir. Ters iterasyon yntemi iin sylenenler, bu yntem iinde geerlidir

(Bathe ve Wilson, 1976).


37/175


26

Yntemin algoritmas aada gsterilmektedir:

1- lk olarak bir balang vektr, [ ]1X

, ve balan shift deeri seilir. Genelliklebalangta shift deeri sfr, ( ) 01 =X , seilmektedir.2-Daha sonra problem yaknsayana kadar aadaki ilem dngs yaplmaktadr.

[ ][ ] [ ][ ]

[ ] [ ] ( )[ ]

( ) [ ] [ ][ ][ ] [ ][ ]

( )

[ ][ ]

[ ] [ ][ ]( )

=

=

+=

=

=

++

++

++

+++

+

.......,,2,1

~

~

2/1

11

1

1

11

111

1

k

XMX

XX

XXMX

XKXX

MXKK

XMXK

kT

k

k

k

k

k

T

k

k

T

kk

k

kk

(5.30)


[ ] [ ]iLiL XX ++ 11 ;)( (5.31)

eklinde sistemin zdeer ve zvektrlerinden biri bulunmaktadr. Bu yntemde de

iterasyonu sonlandmak iin, (5.27) yaknsama kriteri kullanlmaktadr.

5.3.2.1.(4). Gram-Schmidt Ortogonalizasyonu

Ters iterasyon yntemi ile en kk zdeer, ileri iterasyon yntemi ile ise en

byk zdeer bulunmaktadr. Arada kalan zdeerlerin bulunmas iin ise Rayleigh

oran ile iterasyon kullanlmaktadr. Rayleigh oran ile iterasyon yntemi

kullanlrken balangtaki shift deerini seme zorluu ortaya kmaktadr. Bu


38/175


27

nedenle, aradaki zdeer ve zvektr iftlerini bulmak iin baka bir yntem arama

zorunluluu ortaya kmaktadr. Alternatif yntemlerden bir tanesi her seferinde

balang vektrnn deitirilmesidir. Bu ilem iin gelitirilen metodlardan biri

Gram-Schmidt metodudur. Bu metotta yeni balang vektr, nceden bulunan

zvektrlere dik olacak ekilde hesaplanmaktadr. Yeni vektrn hesaplanmasnda

daha nce bulunan zvektr kullanlmakta ve bu ekilde yeni bir zdeer, zvektr

ifti bulunmaktadr. Gram-Schmidt ortogonalizasyonu ile yeni balang vektrnn

hesab iin aadaki bantlar kullanlmaktadr, (Bathe ve Wilson, 1976).

[ ] [ ][ ] miXMTii ,.......,2,11 == (5.32)

[ ] [ ] [ ]=

=m

i

iiXX1

11

~ (5.33)

Bu ekilde hesaplanan yeni balang vektr ve Rayleigh oran ile iterasyon

metodu kullanlarak aradaki zdeer ve zvektr iftleri bulunmaktadr.

rnek 5.5. Gram-Schmit ortogonalizasyonu ve Rayleigh oran ile itersayon

yntemini kullanarak, rnek 5.1.deki sistemin zdeer hesab:

Ters iterasyon metodu ile rnek 5.3.te en kk, ileri iterasyon metodu ile

rnek 5.4te en byk zdeer ve zvektr bulunmutu. Dier bir zdeer ve

zvektrn hesab iin, Gram-Schmidt metodu ile yeni balang vektr aadaki

gibi bulunmaktadr.

[ ] [ ][ ] 3850.21111

== XMT

[ ] [ ][ ] 1299.02142

== XMT

[ ] [ ] [ ] [ ]

==

=

2358.0

0481.0

2149.0

2683.0

~~1

2

1

11XXX

i

ii


39/175


28

Elde edilen bu balang vektr ve balang shift deeri ( ) 01 =X kullanlarak

Rayleigh oran ile iterasyon algoritmas uygulanrsa aada grlen zdeer,zvektr ifti bulunur.

[ ]

==

516965.0

02322.0

41674.0

43867.0

37355.433

5.3.2.2. Transformasyon Yntemleri

Transformasyon yntemlerinde temel ama, sistem rijitlik ve ktle

matrislerini diagonal forma getirmektir. Matrislerin diagonal forma gelmesi iin

sadan ve soldan sras ile TPveP gibi ortogonal matrislerle arpma ilemi

uygulanmaktadr. Bu ileme benzerlik dnmleri de denilmektedir. Bu yolla

diagonal forma gelmi olan matrislerden oluan sistemin zdeerleri ile orijinal

haldeki sistemin zdeerleri tamamen ayndr. Bylece diagonal forma gelen

sistemin zdeerlerini bulmak olduka kolaydr. [ ] [ ]MM =1 ve [ ] [ ]KK =1 olmak

zere, sembolik olarak

[ ] [ ] [ ][ ]

[ ] [ ] [ ][ ]kkT

kk

kk

T

kk

PMPM

PKPK

=

=

+

+

1

1

(5.34)

eklindeki transformasyon ilemlerinden sonra k iin [ ]1+kK ve [ ]1+kM

matrislerinin diagonal forma geldii kabul edilirse zdeer ve zvektrler aadaki

gibi bulunmaktadr, (Bathe, 1982):


40/175


29

[ ] ( ) ( )( )

[ ] [ ][ ] [ ] ( )( )121

11

/1

/

+

++

=

=

L

rL

L

r

L

r

MDiagPPP

MKDiag

(5.35)

[ ]: Spektral matris

[ ] : Modal matris

Yukardaki denklemde grlen spektral matris, diagonal elemanlar

zdeerler olan matris; modal matris ise her bir kolonu zvektrlere karlk gelen

matristir.

Transformasyon yntemlerinin en nemli zelliklerinden biri, bu metodlar ile

sonuta tm zdeerlerin bulunmasdr. Transformasyon yntemleri genel olarak

metottan meydana gelmektedir. Bunlar,

a) Jacobi metodu,b) Genel Jacobi metodu,c) Hoselholder-QR-Ters iterasyon metodudur.

5.3.2.2.(1). Jacobi Metodu

Jacobi metodu, sadece standart tip zdeer problemlerin zm iin

gelitirilmi bir metottur. Genel bir zdeer problemi jacobi metodu ile

zlmeden nce problem standart hale dntrlmelidir. Daha sonra jacobi

yntemi kullanlarak problem zlmelidir, (Bathe, 1982).

[ ]

=

1

.

.

1

CosSin

SinCosPk (5.36)


41/175


30

Bu metotta sistem matrislerini diagonal forma getirmek iin ortogonal

rotasyon matrisleri,

[ ]k

P , kullanlmaktadr. (5.36) tipik bir rotasyon matrisine

rnek olarak gsterilebilir. (5.36) ifadesinde grlen as sistem

matrislerinin sfrlanacak elemanlarna bal olarak (5.37) denkleminden

bulunmaktadr. Bununla birlikte transformasyon matrisinde gsterilmeyen

elemanlarn deerleri sfrdr.

4

22tan

)()(

)()(

)(

)()(

==

=

k

jj

k

ii

k

jj

k

ii

k

ijk

jj

k

ii

kk

kk

kkk

(5.37)

Transformasyon ilemine son vermek iin aadaki yaknsama kriterlerinin

birlikte salanmas gerekmektedir.

( )

)(

...,,2,1,10

......,,2,110

2

2/1

)1()1(

2)1(

2

)1(

)()1(

ji

njikk

k

nik

kk

s

k

jj

k

ii

k

ij

s

k

ii

k

ii

k

ii

Documents

mod birleştirme yöntemi