MODERN İSTATİSTİK KARAR TEORİSİ

Dr Orhan İDÎL

1. İşletme kararlarında Bayes yaklaşımı

1.1. Belirsiz durumlarda işletme k a r a r l a n

İşletme yöneticileri sürekli olarak çeşitli a l ternati f davranış b i ­çimleri arasında uygun gördüklerini seçme, yani başka b i r ifade ile karar verme durumundadırlar. Karar verme işleminde mevcut alter­nati f lerden b i r i herhangi b i r kr i tere göre seçilebilir. Meselâ kârı ço­ğaltmak, mal iye t i düşürmek, satış hacmini arttırmak, pazar payını bü­yültmek bunlara b irer ömek olarak düşünülebilir. A l ternat i f l er i de­ğerlendirmek bunların sonuçlannı bilmekle mümkün olur. Bazı işlet­me problemlerinde bu sonuçlar karardan Önce b i l in i r ve karar prob­lemi kabul edilen kr i tere göre en i y i a l ternat i f i seçmekle çözülür. Böy­le b i r durumda opt imal karara varmak sanıldığı kadar kolay olma­yabi l ir . N i t ek im bu g ib i problemlerin çoğu ancak linear, nonlinear veya d inamik programlamalar yardmuyla b i r sonuca ulaşır. Buna kar­şılık yine pek çok problemlerde alternati f ler in getireceği sonuçlar tam olarak bilinemez. Böyle hallerde işletme yöneticisinin b i r karara va­rabilmesi daha da büyük güçlükler gösterir. Belirsiz durumlarda çe­şitli a l ternat i f ler in sonuçları her ne kadar tam olarak bilinemezse de eldeki t a r i h i veri ler veya tecrübeye dayanan tahminler yardımıyla b u alternat i f ler in sonuçlan hakkında bazı iht imal ler öne sürülebilir.

Diye l im k i b i r işletme gelecek ayki üretimini belirleyecektir. İşlet­menin ürettiği ma la olan aylık talep 1000 - 4000 b i r i m arasında oyna­maktadır ve son on ay içinde bu talep aşağıdaki dağılımı göstermiştir:

Talep

1000 Aylar

2 2000 4 3000 3 4000 1

10

— 214

Modern İstatistik Ka ra r Teorisi 215

Ele aldığımız işletmede yöneticinin pra t ik olarak 3001 tane karar alter­nat i f i mevcuttur, z ira üretilecek b i r i m sayısı olarak 1000, 1001, 1002, 4000 kabu l edilebilir. B u alternatif lerden herhangi b i r i n i n seçimi ha­linde ortaya çıkacak sonuç ise belirsizdir. Şayet işletme 1000 b i r i m üret­meye ka lkar ve b u devrede talep 4000 b i r i m olursa işletme 3000 b i r i m daha fazla satma imkânından mahrum kalacaktır. Diğer tara f tan üre­t im in 3000, talebin 1000 b i r i m olduğunu düşünelim. Bu da stok ma l i ­yet ini yükseltecek ve şayet üretilen ma l dayanıksızsa maliyet daha da artacaktır.

Bu durumda işletme yöneticileri gelecekteki talebi t ahmin etmek zorundadırlar. Son on yıllık talep rakamlarına dayanılarak nisbî fre­kanslar yaklaşımıyla şöyle b i r ih t ima l dağılımı çıkartılabilir :

Talep ihtimal

1000 2/10 = 0.20 2000 4/10 = 0.40 3000 3/10 = 0.30 4000 1/10 = 0.10

1.00

Şimdi işletme yöneticisi çeşitli kr i ter lere dayanarak aşağıdaki ka­rar la rdan b i r i n i vereb i l i r :

i— Üretim 1000 b i r i m olsun. Böylece üretilen malların hepsi satılır.

H — üretimi 4000 b i r i m olsun. Böylece gelecek her müşteri ma l bu ­labi l i r .

iü — Üretim 2000 b i r i m olsun. Bu gerçekleşme ih t ima l i en yüksek olan taleptir.

i 'v—Üretim 2300 b i r i m olsun. Bu talebin matematik ümididir1.

t! 1) Matematik ümit kesikl i değişkenler için E (X) — £J x- pi formülü ile ifade

edildiğinden talep miktarları xir bunlara ait İhtimaller ile gösterildiğinde ör­nekteki talebin matematik ümidi

ECX) =1000 X 0.20 + 2000 X 0.40 + 3000 X 0.30+ 4000 x 0.10= 2300 olarak bulunur.

216 O. İdil

Bu kriterlerde ihtimaller ön plânda tutulmuş,, fakat ekonomik fak­törlere önem verilmemiştir. Diğer uç hâl olarak sadece ekonomik kri ­terlere dayanan kararlar gösterilebilir. Örnekte bu durumu basitçe in­celeyebilmek için malların dayamksız olduğunu, yani satılmayan ma­lın tam bir maliyet kaybı teşkil ettiğini ve karşılanamayan taleplerin işletme maliyetine bir etki yapmadığını varsayalım. Ayrıca üretimin ve satışın binerlik partiler halinde yapıldığını düşünelim. Şayet bir bi­rimin maliyeti 2 TL, satış fiyatı 3 TL ise işletmenin dört karar alterna­tifinin muhtelif talep durumları ile karşılaştığında getireceği kâr aşa­ğıdaki tabloda görüldüğü gibidir:

Talep Üretim Alternatifleri

1000 2000 3000 4000

1000 1000 —1000 —3000 —5000 2000 1000 2000 0 —2000 3000 1000 2000 3000 1000 4000 1000 2000 3000 4000

Bu durumda işletme yöneticisi:

i —1000 birim üretip 1000 TL kân garanti etmek ii — 4000 birim üretip 4000 TL kâr edebilme imkânına sahip olma ve

buna karşılık 5000 TL lık zarar riskini göze almak i t i — 2000 veya 3000 birim üretip orta yollardan birini tutmak gibi de­

ğişik kararlar alabilir.

Rasyonel bir kararın ekonomik ve probabilistik faktörlerin birara-da incelenmesiyle ortaya çıkacağı şüphesizdir. Aşağıdaki tabloda se­çilecek her alternatifin getireceği kârın matematik ümidi hesaplan­mıştır :

Talep İhtimal Üretim Alternatifleri

1000 2000 3000 4000

1000 0.20 1000 —1000 —3000 —5000 2000 0.40 1000 2000 0 —2000 3000 0.30 1000 2000 3000 1000 4000 0.10 1000 2000 3000 4000

Kâr tahmini 1000.., 1400 600 —1100 (matematik ümit)

Modern İstatistik K a r a r Teorisi 217

Görüldüğü gibi 2000 bir im üretilmesi halinde İşletmenin kârını mak­simize etmesi beklenebilir.

İncelenen örnekte ihtimal dağılımı tarihi verilere dayanılarak he­saplanmıştır. Böyle verilerin olmaması halinde işletme yöneticileri kendi tecrübe ve içgüdülerine dayanarak "sübjektif" ihtimaller de tesbit edebilirler.

İşletme yöneticilerinin belirsizlik halinde tutabilecekleri ikinci bir yol ise anakütleden sondaj metodu yardımıyla bir numune almak ve bulunacak sonuçlara dayanarak anakütle parametrelerini tahmin et­mektir. Yukardaki örnekte bu yolu tercih edecek yönetici belki müş­teri kütlesinden tesadüfi şekilde seçeceği 100 kişiye önümüzdeki ay malından alıp almayacaklarını soracak ve bunlardan 10 kişi alacağını ifade ederse müşterilerinin % 10 una satış yapabileceğini düşünecek­tir. Şayet işletmenin ortalama 10000 müşterisi varsa talebin 1000 birim olacağı söylenebilir.

Bu ikinci yol işletmeye muhakkak k i birtakım masraflar yükle­yecektir. Fakat sondajdan elde edilecek bilgilerin sağlayacağı kazanç bu masrafları aşıyorsa böyle bir çalışma faydalı olacaktır. Diğer ta­raftan işletme yöneticisi her ik i metodu birlikte uygulamak isteyebi­lir. Böyle bir durumda sondaj sonuçları ile sondajdan önce sübjektif veya sübjektif esaslara göre bulunan ihtimallerin ne şekilde bağdaş­tırılabileceği sorusu ortaya çıkar. Bu sorular modern istatistik karar teorisinde "Bayes" yaklaşımı ile cevaplandırılabilmektedir.

Karar problemlerinin Bayes analizi ile çözülmesinde 18. yüzyılda Reverend Thomas Bayes tarafından şartlı ihtimallerin çarpımı kura­lından hareketle geliştirilen "Bayes Teoremi" önemli bir yer tutmak­tadır. Adı geçen teorem yardımıyla sondajdan önceki (prior) ihtimal­ler, sondajdan elde edilen bilgilerin ışığında yeni bir (posterior) ihti­mal fonksiyonu haline getirilebilir. Aşağıdaki bölümde "Bayes Teore­mi " basit bir örnek üzerinde açıklanmaktadır.

1.2. Bayes Teoremi

İçlerinde yüzer top olan i k i kutu düşünelim. Birinci kutudaki top­ların 70 tanesi siyah, geri kalanlar beyaz, ikinci kutudakilerin 20 ta­nesi siyah, diğerleri beyaz olsun. Bu kutuların herhangi birinden bir top. alındığı bilinirse bunun birinci veya ikinci kutudan alınmış olma ihtimalleri eşittir, yani :

218 O. İdil

P(l> = P(2) = 0.50

Şimdi kutuların herhangi birinden alman topun beyaz renkli ol­duğunu varsayalım. Birinci kutudan alman bir topun beyaz olması ihtimali (P/l) = 0.303, ikinci kutudan alman bir topun beyaz olması ihtimali P(B/2) = 0.80 dir. Bir topun hem birinci kutudan çıkması, hem de renginin beyaz olması ihtimali çarpım kuralı yardımıyla buluna­bil ir :

P (BDİ ) ~P(B/1) -P(l) = 0.30X0.50 = 0.15

Aynı şekilde bir topun ikinci kutudan alınması ve aynı zamanda be­yaz olması ihtimali

P (B 0 2) - P(B/2) . P(2) = 0.80X0.50 = 0.40

olduğundan herhangi bir kutudan alman topun beyaz olması ihtimali (marjinal ihtimal)

P(B) = p (B n i ) + P (B n 2) = 0.15+0.40 = 0.55

şeklinde bulunur. Öyleyse belirsiz bir kutudan alman topun beyaz ol­duğu görüldüğünde bunun birinci kutudan alınmış olma ihtimali

P (B) 0.55

ikinci kutudan alınmış olma ihtimali

P ( 2 / B > = P 1 M 1 > ̂ ^ 4 0 _ = 0.73 P (B) 0.55

şeklinde hesaplanacaktır.

Dikkat edileceği üzere nümune alınmadan önce bir topun birinci kutudan alınmış olma ihtimali % 50 iken alman topun beyaz olduğu görüldüğünde bu ihtimal % 27 ye inmektedir. Burada bir top alınıp rengine bakılması tek birimlik bir nümune teşkili şeklinde düşünüle­bilir. Sondaj ameliyesinden Önce objektif esaslara göre belirlenen ''prior" ihtimal sondajdan elde edilen ek bilginin yardımıyla değiş­mektedir.

2) P(B/l ) b i r inci kutudan alınmış olması şartıyla beyaz bir topun seçilmesi «şartlı ihtimalini» göstermektedir.

Modern İstatistik K a r a r Teorisi 2 1 9

Yukarıda şartlı iht imal lerden hareketle bulduğumuz sonucun ge-nelleşmiş şekli "Bayes Teoremi" adıyla anılır:

P tE/HJPtrL ) 3

PCH/E) = SiPlE/HiJPtHj)

Ele aldığımız örnekte beyaz b i r top çekme olayı E, b u topun b i r inc i ve ik inc i ku tu la rdan alınma olayı ise H x ve H 2 i le gösterilebilir. Dola­yısıyla

P (E/H Î ) = 0.30

P(H.) = 0.50

P(E/H 2 ) = 0.80 P(H 2 ) = 0.50

olduğundan

PCE/rLJPtfi"!) PCri/E) =

PtE/H^PtrL.) +P(E/H 2 )P(H 2 )

0 . 3 0 X 0 . 5 0 0 . 1 5

0.30 X 0.50 + 0.80 X 0.50 0.55 = 0.27

bulunur . Yan i tesadüfen beyaz b i r top alınmışsa bunun b i r inc i ku tuya ait olması i h t ima l i 0.27 dir . Görüldüğü gibi Bayes teoreminde sonuç­tan hareketle sebebe gidilmektedir. E olayı H, ( i — 1 , 2 , k ) olayların­dan herhangi b i r i n i n meydana gelmesi sebebiyle olmuştur. Başka b ir ifade ile H i l e r sebep, E sonuçtur. Hj sebepleri birarada meydana ge­lemezler ve E olayını meydana getiren sebepler k tanedir 4 .

3) Teoremin kolay anlaşılması bakımından E ve değişkenlerinden birinin, veya her ik is in in sürekli olmaları halinde formülde meydana gelecek değişiklikler gözönünde tutulmamıştır.

4) Bu durumu set teorisi yardımıyla şöyle ifade edebiliriz ;

Û H - S i= l

n = <(> i,j = 1, 2, . . . fo

E c S

220 O. îdil

1,3. Bayes teoreminin işletme kararlarına uygulanması.

Belirsizlik halinde karar verecek olan işletme yöneticisi şayet ana-kütleden bir nümune çekip bu kararın sonuçlarını etkileyecek para­metreler hakkında ek bilgi temin etme imkânına sahipse aşağıdaki üç soruya cevap vermek zorundadır:

1 — Karardan önce bir nümune yardımıyla ek bilgi toplanmalı mıdır?

2 — Eğer toplanacaksa bu nasıl yapılmalı ve ne miktarda olmalıdır?

3 — Sondajdan önceki objektif veya sübjektif ihtimal dağılımı yeni bil­giler yardımıyla nasıl değiştirilecektir?

Sorulardan i lk ikisini sondajın maliyeti ile sondajdan sağlanacak bilgilerin ekonomik değeri arasındaki farklar açısından incelemek ge­rekir. Üçüncüsü ise Bayes teoremi yardımıyla çözülebilir. Karar prob­lemlerinde Bayes analizi kullanıldığında her üç sorunun cevabı son­daja başlamadan belirlenir. Aşağıdaki örnekte soruların daha kolay anlaşılması gayesiyle üçüncüden başlayarak inceleyeceğiz.

Günde 100000 paket margarin üreten bir işletmede otomatik ola­rak paketlenen margarinlerden bazılarının fazla ağır olduğunun far-kedilmesi üzerine son yirmi gün içinde bütün paketler tartılmış, nor­malden ağır paketlerin günlük üretim içindeki yüzdeleri ve bu yüz­delerin görüldüğü günlerin sayısı kaydedilmiştir:

Yüzdelere p J Günler

0.05 0.10 0.15 0.20 0.25

Standardlara uymayan margarinlerin normallerden ortalama % 10 oranında ağır oldukları ve bunun işletmeye 10 kuruş ek maliyet yük­lediği tesbit edilmiştir. Ayrıca paketlenen margarinlerin hepsinin tek­rardan tartılması halinde paket başına 1.7 kuruşluk maliyet artışı ola­cağı hesaplanmıştır. İşletme yöneticileri paketlerin tartılıp tartılma-ması hakkında karar vereceklerdir.

Bir örnekte karar kriterinin alternatiflerden düşük maliyetli ola­nının seçimi şeklinde olacağı açıktır. Günlük üretimin hepsi tartılırsa maliyet

2 8 5 3 2

Modern İstatistik Ka ra r Teorisi 221

100000X0.017 TL = 1700 TL

olacaktır. Paketlerin tartılması halinde meydana gelecek maliyet ise matematik ümit şeklinde hesaplanabileceğinden ağırlık fazlası olan paketlerin yüzdelerine ait b i r ih t ima l fonksiyonu bulmak gerekir. Böy­le b i r fonksiyonu ise son y i r m i günlük veri ler i kul lanarak hesaplaya­b i l i r i z :

Pt PfPı>

0.05 2/20 = 0.10 0.10 8/20 = 0.40 0.15 5/20 = 0.25 0.20 3/20 = 0.15 0.25 2/20 = 0.10

Ağırlık fazlası gösteren paket ler in oranı % 5 olursa günde 5000 pa­kette normalden çok margar in bulunacak ve bu da maliyetlerde 500 TL lık b i r artışa sebep olacaktır. Aynı şekilde oranın % 10, % 15, % 20 ve % 25 olması maliyetlerde sırasıyla 1000 TL, 1500 TL, 2000 TL ve 2500 TL artışa yol açacaktır. Bu maliyetler P(pj.) ih t imal l e r i ile gerçekleşebile­cek tesadüfi değişkenler olduklarından paket ler in tartılmadan satıl­ması halinde ortaya çıkacak mal iyet in matematik ümidi

E = 500X0.10 + 1000X0.40 + 1500X0.25-1-2000 X 0.15 + 2500X0.10

= 1375 TL

olacaktır.

Yapılan bu hesaplar sonucunda işletme yöneticileri otomatik ola­rak paketlenen margar in le r i tekrardan ta r tma mal iyet inin (1700 TL), margar in ler in olduğu g ib i piyasaya sürülmesi maliyetinden (1375 TL) yüksek olduğunu görüp ik inc i a l ternat i f i kabul edebilirler. Ancak b u şekildeki b i r hareket sadece eski verilere dayanılarak karar vermenin r i sk in i taşır ve paketlerdeki fazlalık oranlarına ait ih t ima l dağılımın­da belirecek b i r farklılaşmayı gözönünde tutmaz. Ha lbuk i otomatik paketleme yapan aletlerdeki b i r ayar bozukluğu ih t ima l dağılımını değiştirebilir. Bu sebepten işletme yöneticileri 25 b i r im l ik b i r nümune almaya karar verebil ir ler. Alınan nümunede altı paketin standardlara uymadığının görüldüğünü varsayalım. Bu durumda binom teoremi yar-

222 O. İdil

dımıyla n = 25 ve r = 6 alınarak farklı sapma yüzdeleri pj için P (6/pi) şartlı i h t ima l l e r i

P(r) = n C r p r q n ~ r

formülü i le veya binom dağılımı tablolarından bakılarak hesaplanır. Sonra Bayes teoremine göre P(p/6) ih t imal l e r i bu lunur . Aşağıdaki tabloda PEp/6) değerlerinin hesaplanışı görülmektedir:

Pi P (p t) P (6/pj) P (6/Pi) P (pp P (p/6) (1) (2) (3) U) = (2 )X(3) (5) = (4 ) : S (4)

0.05 0.10 0.001 0.00010 0.005

0.10 0.40 0.024 0.00960 0.13 0.15 0.25 0.092 0.02300 0.31 0.20 0.15 0.163 0.02445 0.32 0.25 0.10 0.183 0.01830 0.24

Toplam 0.07545 1.00

Tablodaki Ptp/6) iht imal ler i Bayes teoreminde PCH/E) rumuzuy la gösterdiğimiz şartlı iht imal lerden başka bir şey değildir. Dolayısıyla ele aldığımız örnek için Bayes formülünü

Pl6/p.) P(p.) P(p1/6) =

2PC6/Pi) P(p,) şeklinde yazabil ir iz.

Tablodan anlaşılacağı g ib i eski ih t ima l dağılımı P(p s) 25 b i r im l i k b i r nümunede 6 paketin standardlara uymaması hal inde Ptp/6) şek­l i n i a lmakta ve oldukça değişmektedir. Paketlerin tartılmadan satıl­ması hal inde ortaya çıkacak mal iyet in matematik ümidini bu sefer yeni i h t ima l dağılımı yardımıyla hesaplarsak

E = 500X0+1000X0.13 + 1500X0.31-!-2000X0.32+2500X0.24 = 1835 TL

olarak bu luruz . Margar in ler in tartılması hal inde ise maliyet 1700 TL olacaktı. Dolayısıyla bu durumda işletme yöneticileri önceki karar la­rından vazgeçmek zorunda kalacaklardır.

A l m a n nümunede tartı fazlası olan paket ler in sayısı altıyı geçerse işletme yöneticilerinin paketleri tar tma al ternat i f in i tercih edecekleri

5) Burada P (0.05/6) <0.005 olduğundan tabloya 0.00 olarak yazılmıştır,

Modern İstatistik Ka ra r Teorisi 223

açıktır. Fakat b i r karar k r i t e r i teşkil edebilmek için nümunede stan-dardlara uymayan paket ler in sayısının altıdan az olma ha l in in ince­lenmesi ve 1700 TL olan tartı mal iyet in in ne vak i t aşıldığının belir len­mesi gerekir. Şimdi 25 paket içinde 5 paket in ağır olması du rumunu inceleyel im:

Pi P( P i > P(5/Pi) Ptö/piîPtpi) P(p/5)

0.05 0.10 0.006 0.00060 0.01 0.10 ~ 0.40 0.065 0.02600 0.23 0.15 0.25 0.156 0.03900 0.35 0.20 0.15 0.196 0.02940 0.26 0.25 0.10 0.165 0.01650 0.15

Toplam 0.11150 1.00

Paketlerin tartılmadan satılması hal inde ortaya çıkacak mal iyet in matematik ümidi Ptp/5) i h t ima l dağılımı kullanıldığında

E = 500X0.01 + 1000X0.23 + 1500X0.35-1- 2000X0.26 + 2500X0.15 = 1655 TL

olarak bulunur , öyleyse işletme yöneticileri 25 b i r i m l i k b i r nümune­de standardlara uymayan b i r i m sayısı beşi aşarsa paket ler in tartılması, aksi halde tartılmaması yolunda b i r karar alacaklardır.

Bayes yaklaşımından işletme kararlarında yarar lanmak için yu -kardak i analizler daha karar safhasına gelinmeden yapılır. Yan i önce b i r ön ih t ima l dağılımı P(pi) bel ir lenir ve sonra alınacak nümunede be l i r l i b i r özelliğe sahip (örnekte tartı fazlası olan) b i r im l e r in sayı­sının hang i sınırı aştığı takdirde hang i a l ternat i f in seçilmesinden daha rasyonel olacağı bu lunur . Fakat b u arada nümune alınmasının da işletmeye b i r mal iyet yükleyeceği unutulmamalıdır. Bu maliyet ge­nell ikle nümuneye alınacak b i r i m sayısı ile orantılı o larak artar. Bu sebepten rasyonel b i r karar verebilmek için cevaplandırılması gere­ken ik inc i soru sondaj masrafları üst sınırının belirlenmesidir.

1.4. Sondaj masrafları üst sınırının belirlenmesi

Sondaj masrafları üst sınırım belirlemede kullanılabilecek en ba­sit kr i ter , b u masrafların sondaj değerini aşmaması şeklinde olacak­tır. A l m a n b i r nümunenin ekonomik değeri belirsizliği azalttığı ölçüde artar, incelediğimiz örnekte işletme yöneticileri sondaj işleminden önce margar in paket ler ini olduğu g ib i piyasaya sürme kararını verip

224 O. İdil

1375 TL lık bir maliyeti kabul ediyorlardı. Diğer taraftan şayet 25 bi­rimlik bir nümunede standarda uymayan 5 paket bulunursa verile­cek kararın maliyeti 1655 TL olarak tahmin edilmişti. Aşağıdaki tab­loda 25 birimlik nümunenin çeşitli sonuçları için verilecek kararların maliyet tahminleri görülmektedir:

Standarda uymayan,

paket sayısı Verilecek karar Maliyet (TL)

0 tartılmasın 820 1 tartılmasın 970 2 tartılmasın 1120 3 tartılmasın 1295 4 tartılmasın 1475 5 tartılmasın 1655 6 ve daha çok tartılsın 1,700

Bilindiği gibi standarda uymayan paket sayısı beşi aşarsa paket­lerin tartılması alternatifinin maliyeti daha düşük olmaktadır ve bu 1700 TL na eşittir. Görüleceği üzere sondajın vereceği farklı sonuçlara göre maliyet tahminleri değişmektedir. Bunları sondajdan Önceki ka­rarın maliyeti olan 1375 TL ile karşılaştırabilmek gayesiyle her nü­mune sonucuna ait marjinal ihtimalleri İ^Pİr/^) P(pı) ) bu sonuçlara bağlı maliyetler için tartı olarak kullanabiliriz. Aşağıdaki tabloda çe­şitli nümune sonuçlarına ait marjinal ihtimaller ve maliyetler birara-da görülmektedir:

Standarda uymayan

paket sayısı İhtimali Maliyeti

0 0.06 820 1 0.14 970 2 0.18 1120 3 0.18 1295 4 0.15 1475 5 0.11 1655 6 0.08 1700 7 ve fazla 0.10 1700

Toplam 1.00

Modern İstatistik Kara r Teorisi 225

Bu ih t ima l l e r i ku l lanarak hesaplanan tartılı maliyet ortalaması 1329 TL dır. Yan i daha sondaja başlamadan sondaj sonunda mal iyet in 1329 TL olacağını söyleyebiliriz. Diğer taraf tan sondaja başvurmadan ve­rilecek kararın mal iyet i 1375 TL id i . Dolayısıyla sondajla sağlanacak ek b i lg i l e r in ekonomik değeri 1375 TL —1329 TL = 46 TL olmaktadır. Öyleyse 25 b i r im l i k sondajın mal iyet i 46 TL dan azsa sondaj yapılma­lıdır. Burada paket ler in tartılması hal inde paket başına 1.7 kuruşluk maliyet düşeceği gerekçesinden hareketle sondaj mal iyet in in 42.5 k u ­ruş olacağım söyleyemeyiz. Z i ra 1.7 kuruş 1700 TL günlük mal iyet in 100000 bir ime bölünmesi i le elde edilmiştir. Belki sabit tesis ve işçi­l i k masrafı dolayısıyla b u maliyet sadece 25 b i r i m i n tartılması hal inde de pek değişmeyecektir. Başka b i r ih t ima l ise günde 25 paket in tartıl­masının çok daha basit şekilde yapılması ve işletmeye hemen hiç ma­liyet yüklememesidir. Bu sebepten sondajın işletmeye yükleyeceği ma­l iye t in d ikka t l i b i r şekilde hesaplanması gerekir. Ekseriyetle kal i te kontrolü için yapılan sondaj işlemlerinde b i r i m maliyet, bütün b i r i m ­le r in üretim hattı üzerinde tek tek kontro l edilmesinde ortaya çıkan b i r i m mal iyet in üstündedir. İncelenen örnekte sondajın b i r i m mal iyet i 2 TL ise 25 b i r i m l i k b i r nümune almak 50 TL lık maliyete sebep ola­cağından nümunedeki b i r i m sayısını azaltmak gerekecektir. Burada şu noktaya d ikkat edi lmel idir k i nümunede b i r i m sayısı değişince daha önce bu lunan 46 TL lık sondaj mal iyet i sınırı kullanılamaz, çünkü nü­munedeki b i r i m sayısının değişmesi verilecek kararların mal iyet ler ini de etkiler.

1.5. Bayes yaklaşımı ve klâsik teori

Gerek klâsik teori, gerek Bayes yaklaşımı verilecek kararın opti-ıual olması gayesini güderler. Ancak kullandıkları aletler farklıdır ve klâsik istatist ik karar teor is inin işletme kararlarında Bayes yaklaşımı kadar yararlı olmadığı söylenebilir. Bazı t ip karar larda ise klâsik yak­laşımın kullanılması gerekir. Bu bölümde i k i yaklaşım arasındaki baş­lıca farkları kısaca inceleyeceğiz. -

Klâsik teori i le Bayes yaklaşımı arasındaki b i r inc i f a rk Bayes yak­laşımında verilecek kararın ekonomik sonuçları ile b i r l ik te b i r bütün olarak ele alınmasmdadır. Buna örnek göstermek istersek piyasaya yeni b i r mal sürmek isteyen b i r işletmenin klâsik teoriye göre yapa­cağı istatist ik analiz leri gözden geçirebiliriz. Böyle b i r durumda işlet­me alacağı tesadüfi b i r nümune yardımıyla önce talep için nokta tah­m i n i yapar, daha sonra ta lebin hangi sınırlar arasında olacağını be-

226 O. İdil

l i r l i iht imal ler le t ahmin eder. Yeni mamulün kârlı olabilmesi için ta­lebin be l l i b i r l i m i t i n üstünde olması gerekecektir. Bu sebepten tale­b i n bahsi geçen l i m i t i n üstünde olup olmayacağı hipotez testi yardı­mıyla bel ir lenir. Burada bilindiği g ib i i k i farklı hata yapılabilir : Doğru hipotez reddedilebil ir veya yanlış hipotez kabu l edilebilir (I. ve I I . t ip hata lar ) . İşletme yöneticisi yapılan analizler sonucunda ya­nılma ih t ima l i n i b i l i r , fakat alınacak kararın hatalı olması halinde işletmenin uğrayacağı zarar klâsik teoride hesaplara katılmaz. Aynı düşünceler I . ve I I . t i p hataların azaltılmaya çalışılmasında da (güven sınırlarının genişletilmesi ve OC eğrilerine dayanarak nümune büyük­lüğünün arttırılması) geçerlidir .Bayes yaklaşımında ise iht imal ler ve ekonomik sonuçlar b i rarada incelenirler. İşletme kararlarında eko­nomik sonuçların önemi büyüktür. Fakat b u d u r u m bazı bi l imsel ça­lışmalarda söz konusu değildir. Meselâ içindeki b i r maddenin; fazla olması halinde kullananın hayatım tehlikeye sokacak b i r ilâç_ düşü­nel im. Burada önemli olan ekonomik sonuçlar değil, bahsi geçen mad­denin hang i iht imal le hangi sınırlar arasında olacağının belirlenme­sidir. B u gibi.hallerde klâsik teori üstünlük kazanır.

Klâsik teori i le Bayes yaklaşımı arasındaki i k i n c i fark klâsik teo­r i n i n sadece nümune değerlerine dayanarak anakütle için birtakım yargılara varmasına karşılık diğerinin bütün mevcut b i l g i kaynakla­rım kullanmasıdır. Bunlar arasında "sübjektif ih t imal l e r " en önemli yer i alırlar. Karar verecek kimse hiçbir t a r i h i ve r in in mevcut olma­dığı b i r problemle karşılaşabilir. Buna örnek olarak piyasaya yeni b i r ma l çıkarma problemini gösterebiliriz. Bu mala olacak talep hakkın­da eski kayıtlara dayanarak b i r ih t ima l dağılımı bu lmak imkânı yok­tur . Fakat karar veren kimse benzer birçok durumlar la karşılaşıp tec­rübe sahibi olmuştur. Ayrıca problemi b i r zaman periodu içinde or­taya çıktığından yönetici probleme aşinadır ve muhtemel sonuçları hakkında bazı yargılara sahiptir. Klâsik teori böyle b i r halde yöneti­c in in muhte l i f talep miktarları için belirleyeceği sübjektif ih t imal l e r i önemsemez. Bayes ekolü mensuplarına göre ise karar ameliyesi esas olarak sübjektiftir ve objektif kr i ter ler yardımcı b i r r o l oynarlar. Bu sebepten istat ist ik analiz sonuçları ne olursa olsun yine de son ka­rarı verme yetkisine sahip olan yöneticinin b i l g i ve tecrübesini göz önünde tu tmamak yerinde b i r davramş olmayacaktır.

. Sonuç olarak klâsik istatistik, karar teorisinden, , hata ih t ima l in in yerilecek kararın ekonomik sonuçlarından önemli b i r ro l oynadığı bi*-

Modern İstatistik Kara r Teorisi

l imse l araştırmalarda daha i y i b i r şekilde yararlanılacağım söyleye^ bi l i r iz . İşletme problemlerinde ise objektif iht imal ler çoğunlukla mev ı r

cut değildir, buna karşılık verilecek kararın ekonomik, sonuçları har yatî önem taşırlar. Dolayısıyla işletme kararlarında Bayes yaklaşımı optimal sonuç alınması bakımından tercih edilecektir.

2. Normal dağılımlarda Bayes yaklaşımı

Şimdiye kadar Bayes teoreminin karar proseslerinde'genel olarak ne şekilde kullanılabileceğini inceledik. Bu bölümde pr ior ih t ima l da­ğılımının normal olması ha l in i ele alacağız. Prior i h t ima l dağılımının normal dağılıma uygunluğu söz konusu olduğunda işletme karar la­rında Bayes yaklaşımınm kullanılması oldukça basitleşir. Bu her ne kadar özel b i r hâl olarak kabu l edilebilirse de işletme kararlarında prior dağılımının normal dağılıma uymasına çok rastlanır. Karar ver­me durumundak i kimse ekseriyetle X tesadüfi değişkeninin bel l i b i r ortalama ( X ) etrafında normal dağılım gösterdiğini kabu l edecektir. Meselâ b i r işletmenin pazarlama müdürü yıllık talebin 2500 b i r i m ola­cağını talebin b u miktarın altında veya üstünde olması iht imal ler i ­n in eşit olduğunu ve .%-. 50 iht imal le 2000-3000 b i r i m arasında buluna­cağını düşünüyorsa, ta lebin X = 2500 ve a =^500 parametreleri ile ifade edilebilecek b i r normal dağılıma uygunluk gösterdiğini varsayıyor de­mektir . İşletme kararlarında b u gibi durumlar la çok karşılaşıldığı için ön ih t ima l dağılımının normal olduğu hâllerin Bayes teoreminde önemli b i r yer i vardır. :

2.1. Fırsat mal iyet i kayramı

- B ir kararın fırsat mal iyet i bu karar sonucu gerçekleşen maliyet veya kâr i le karar optimal olsa i d i gerçekleşecek maliyet veya kâr ara­sındaki f a rk şeklinde tanımlanabilir. Bu kayıp optimal hareket tar­zından ne kadar uzaklaşıldığının b i r ölçüsüdür. Diye l im k i b i r işletme çabuk bozulan, yan i satılmadığı takdirde tam b i r kayıp teşkil eden ve tanesi 2 TL ya ma l olan b i r maldan 2000 b i r i m almış ve bunların 1500 tanesini 3 TL f iyat la satmıştır. Bu durumda işletmenin kârı 500 TL dır. Ha lbuk i talebin 150 b i r i m olacağı daha önceden bilinse i d i işletmenin kârı 1500 TL olacaktı. Dolayısıyla işletme 1000 TL fazla kazanç sağlama fırsatını kaçırmıştır, işletmenin 2000 b i r i m satmalması ve talebin 1500 b i r i m olması d u r u m u ile i l g i l i fırsat mal iyet i 1000 TL dır. Her alterna­t i f hareket tarzı ile her farklı durumun Cstate of nature) kombinas­yonu ile i l g i l i b i r fırsat mal iyet i vardır. Opt imal hareket tarzında b u

228 O. İdil

maliyet sıfırdır. Meselâ yukardaki işletme 2000 birim satın, aldığında talep te 2000 bir im olsa idi fırsat maliyeti sıfır olacaktı. İşletme ka­rarlarında alternatif hareket tarzlarından herbiri farklı durumlarla karşılaşabilir. Bu durumlar tesadüfi değişkenlerdir. Şayet bu tesadüfi değişkene ait ihtimal dağılımı belirlenebilirse fırsat maliyetinin ma­tematik ümidi bir karar kriteri olarak kullanılabilir. Aşağıda basit bir örnekte fırsat maliyetlerinin karar kriteri olarak kullanılması açık­lanmaktadır.

Bir satıcının deposu sattığı maldan 4 tanesini depolama imkânını vermektedir. Depolanan her birimin maliyeti 1 TL, satılan her birimin getirdiği kâr ise 4 TL dır. Satıcı talep dağılımının P(X) fonksiyonuna uyduğunu ümit etmektedir. Bu oldukça basitleştirilmiş örneğe ait ve­rileri bir tablo haline getirip her farklı talep durumu ile her alterna­tif depolama kararı kombinasyonuna ait kârı hesaplayabiliriz:

Depolanan birimler

Talep (X) İhtimaUP(X)\ 0 1 2 3 4

0 0.05 0 — 1 —2 —3 —4 1 0.10 0 3 2 1 0 2 0.20 Ö 3 6 5 4 3 0.40 0 3 6 9 8 4 0.25 0 3 6 9 12 5 ve fazla 0.00 0 3 6 9 12

Fırsat maliyeti optimal hareket tarzından sapmaları gösterdiğinden yukardaki tabloda her satırın maksimum kârından o satırdaki kâr rakamlarını çıkarırsak fırsat maliyetlerini de bir tablo haline getir­miş oluruz:

Depolanan birimler

Talep (X) İhtimal IP(X)1 0 1 2 3 4

0 0.05 0 1 2 3 4 1 0.10 3 0 1 2 3 2 0.20 6 3 o 1 2 3. 0.40 9 6 3 0 1 4 0.25 12 9 6 3 0 5 ve fazla 0.00 . 12 9 6 3 0

Modern İstatistik Ka ra r Teorisi 229

Simdi P(X) fonksiyonu yardımıyla fırsat mal iyet ler in in matematik ümitleri (FMMÜ) hesaplanabi l ir :

Depolanan birimlerin sayısı Fırsat maliyeti matematik

(karar alternatifi) • ümidi(FMMÜ) (TL)

0 8.10 1 5.30 2 2.90 3 1.30 4 1.30

Görüldüğü g ib i satıcı 3 veya 4 b i r i m stok yaptığı takdirde b u hareket tarzının fırsat mal iyet i uzun dönemde en düşük olacaktır.

Bu satıcının b i r sondaj araştırmasıyla ek bi lg i edinmeyi istemesi ha l in i düşünelim. Böyle b i r durumda satıcı b u ek bilgiye en çok 1.30 TL Ödeyecektir. Z i ra satıcı fırsat mal iyet i anal iz i yardımıyla optimal kararı vereceğinden belirsizliğin hiç olmaması halinde kârı uzun dö­nemde sadece 1.30 TL artacaktır. Bu sebepten t am enformasyon (per-fect Information) değerinin matematik ümidi (TEDMÜ) en i y i kara­rın fırsat mal iyet in in matemat ik ümidine (FMMÜ) eşittir:

TEDMÜ - Opt imal karara ait FMMÜ

2.2. Normal dağılım ve fırsat maliyeti

B i r hareket tarzının kârı doğrusal b i r fonksiyonla ifade edilebil i-yorsa, yan i K = a + b X ise kârın matematik ümidi de E(X) i n doğru­sal b i r fonksiyonu olacaktır:

E(K) = a+bE (X )

Böyle b i r varsayım altında kâra geçebilmek için satılması gereken m i n i m u m b i r i m sayısının, diğer b i r ifade i le başabaş noktasının be­lir lenmesi de kolaylaşır. Başabaş noktasında satılması gereken b i r i m sayısına X B dersek işletmenin fırsat mal iyet i

b (X B —X) eğer X < X B

0 eğer X > X B

fonksiyonu ile ifade edilebilir, öyleyse işletmenin fırsat mal iyet i ne­gati f eğimli ve X eksenini X B de kesen ve b u noktadan sonra sıfır de-

23Ö O. İdil

ger in i ialan b i r doğru olarak gösterilebilir. Diğer tara f tan X normal dağılıma uyduğunda fırsat mal iyet in in matematik ümidi her L X i < ! X B

için fırsat mal iyet i i le P(Xi) l e r in çarpımlarının O ^ X ^ X B arasındaki toplânllârıdır. Doğrusal fırsat mal iyet i ile i h t ima l dağılımının normal olmasi. hal inde b u entegral kolayca hesaplanabil ir . Zira böyle b i r du­r u m d a fırsat mal iyet in in matematik ümidi üç unsura bağlı olarak değişir;

a) Nörmal dağılıma ait ax büyüdükçe aynı fırsat maliyetine dü­şen ihtimâl büyür, başka b i r ifade ile X ya güvenilmiyorsa fırsat ma­l iye t i artai*.

b) | XB*—X | uzaklığı azaldıkça aynı fırsat maliyetine düşen i h ­t i m a l artacaktır.

c) Firsafe mal iyet i eğrisinin eğimi X B den uzaklaştıkça b i r i m ba­şına artacak mal iyet i verdiğinden bu eğimin tb) yüksek olması ha­l inde fırsat mal iyet in in ümidi de artacaktır. X B değerini standardize eder ve b u değeri D olarak gösterirsek .

D = X B — X

çeşitli Standard D 1er için maliyet fonksiyonu veren tablolardan L N (D ) f l

değerleri bu lunur 7 .

L N (D ) değerleri Ve yukarda saydığımız unsur lar gözönünde tu tu ldu­ğunda fırsat mal iyet in in matematik ümidi

.' : FMMÜ = b . ax. L N (D ) şeklinde hesaplanabilir.

2.3. Posterior dağılımının belirlenmesi

Posterior dağılımın hesaplanmasında kullanılacak formülleri şöyle sıralayabiliriz:

6) Lj^CD) değerlerine ait-tablolar L^fD) = P ' N (D ) DP^(D) formülüne göre tertip edilmişlerdir. Burada..

P ' N (D ) normal dağılan D değerlerine ait yoğunluk ^fonksiyonunu P N ( D ) ise D den büyük. değerlere ait kümülatif normal dağılımı göstermekte­

dir. 7) Bkz.: B . Schlaifer: Introduçüon to Statistics for Business Decisions, New

Yo rk 1961, sah.: 370-371. .

Modern İstatistik Kara r Teorisi 231

1 1

+ Sİ S j ' o".

sl +

,2 ı

X ; ana kütle ortalaması

x : nümune ortalaması

X j : ana kütle ortalaması

X , j : ka ra r ver ic in in ana kütle ortalaması hakkındaki t ahmin i

X i : posterior dağılımın ortalaması

o : ana kütle standard sapması

S : nümjune standard sapması

S 0 : Xo a ait standard sapma '

Sj.: posterior dağılımın standard sapması

O" s G£: ortalamanın standard hatası, —

;. n•': numunedeki b i r i m sayısı olmak üzere, ana kütle sonsuz kabu l edildiğinde hesaplanabilir,

Posterior dağılımın ortalaması pr ior dağılımın ortalaması i le nümune ortalamasının tartılı ortalaması olmaktadır ve tartılar her i k i dağılı­mın varianslarmın tersleridir. Şayet pr io r dağılım darsa, yan i S 0 ufak-

sa.—-^—büyür ve ur io r ortalamanın tartısı artar. Eğer Ön {prior} da-So . .

ğılımda S 0 büyükse, yani karar veren kişi X 0 tahmininden emin de-1

•si ğilse, —^y - küçülür ve X t ~ x olur.

Diğer tara f tan o- = — ^ 7 - olduğundan n büyüdükçe, yan i nümune bi¬

r i m sayısı arttıkça as küçülür ve nümune ortalamasının tartısı büyür.

D ikkat edilecek başka b i r husus dâ posterior dağılımın standard sap­

masının ğerek pr ior dağılımın standard saymasından, gerekse nümu­

ne ortalamasının standard hatasından küçük olmasıdır, z i ra

232 O. îdi!

sf + * olduğundan S^S,,, a* matematik bir gerçektir. Formüller­

den kolayca anlaşılacağı gibi Bayes teoremi yardımıyla ön tahminler ile nümune sonuçları standard sapmalarına uygun olarak değerlen­mektedir ve bulunan sonucun standard sapması daima gerek ön tah­minlerden gerek nümune sonuçlarından küçük olmaktadır.

Prior dağılım normal kabul edildiği taktirde posterior dağılım da normal olur. Zira posterior dağılım görüldüğü gibi prior dağılımdan ve nümune ortalamalarının dağılımından meydana gelmektedir. Mer­kezî limit teoremine göre ise nümune ortalamaları ana kütle ortala­ması etrafında normal dağılım gösterirler. Posterior dağılımın da nor­mal olması halinde işletme kararlarının fırsat maliyetlerinin matema­tik ümitleri daha önce gördüğümüz

FMMÜ = b . a x . L N (D)

formiülü ile hesaplanabilir. Bu hesaplar prior veya posterior dağılım­lar için yapıldığında yukarıda belirtilen farklı ortalama ve standard sapmaların kullanılması gerekeceği açıktır.

2.4. Normal dağılımda Bayes teoreminin kullanılışı

Normal dağılım halinde Bayes yaklaşımından ne şekilde faydala­nılabileceğini bir örnek üzerinde inceleyelim.

Bir işletmenin pazarlama müdürü müşteri başına senelik ortalama satışın 25 birim olacağım ve standard sapmanın 5 birim olduğunu dü­şünmektedir. İşletmenin başabaş noktasına gelebilmesi için müşteri başına senede 20 birim satış yeterlidir. İşletmenin bu mal için sabit masrafları 10000 TL, birim kâr 50 kuruş ve işletmenin devamlı müş­terileri 1000 tanedir.

Yukardaki işletmenin doğrusal kâr fonksiyonuna göre kâr ümidi

E(K) =—10000+0.5 (1000) X

olacaktır, Prior ortalama 25 olduğuna göre E(K) =—10000+500(25) v= 2500 beklenen kârdır. Bu durumda işletmenin ek bilgiye ihtiyaç duyduğunu düşünelim. Tam enformasyon değerinin matematik ümidi şöyle hesaplanabilir:

Modern İstatistik Ka ra r Teorisi 233

olduğuna göre D = 20—25

= 1 I X r -

TEDMU=b s L j N (D) v e D = — j a*

L N (D ) =0.08

TEDMÜ = 500(5) (0.08) = 200 TL.

Şimdi 49 b i r i m l i k tesadüfi b i r nümune çekildiğini ve bu 49 müş­teriye yılda kaç b i r i m ma l alacaklarının sorulduğunu kabul edelim. Bulunan ortalamanın 19, standard sapmanın 14 olduğunu varsayalım. Nümune ortalamasının standard hatası

s _ 14 _ 0

°x~ y/T ~~ V49 " ve posterior dağılıma a i t değerler

25 19 + 52 2 2

X ! = = 20 1 1 +

5 2 2 a

1 1 1 29 -—=-.__. (—- s; v e s, = 1.9 olacaktır. S* 52 2 2 100

Posterior dağılımda beklenen satış tutarı başabaş noktası i le ça­kışmaktadır ve tahmin le r in standard hatası çok küçüktür. Posterior TEDMÜ hesaplandığında

D = 0 L N (D ) == 0.4

TEDMÜ = 500(1.9) (0.4) = 380 TL bu lunur .

Görüldüğü g ib i talebin matematik ümidi başabaş noktası ile ça­kıştığından işletme k r i t i k b i r karar verme durumundadır ve b u sebep­ten tam enformasyona ödenebilecek bedel yükselmiştir.

2.5. Opt imal nümune büyüklüğünün belirlenmesi

Yukarıdaki kısımda nümlune sonuçları ile ön bi lg i ler in ne şekilde birleştirilebileceğini inceledik. İşletme yöneticisi bundan önce b i r nu ­munenin gerekli olup olmadığını, gerekliyse büyüklüğünü bi lmek zo­rundadır. Nümune enformasyon değerinin matematik ümidi (NEDMÜ) nümune alınması kararlarında b i r kıstas, olarak kullanılabilir:

234 O. İdil

NEDMÜ = b . a ' . L N (D ) D = | .a' I

Burada a' 2 ~ — yan i nümune sonucu variansta meydana gelen

azalmayı vermektedir. Yukarıdaki örnekte pazarlama müdürünün 49 b i r i m l i k b i r nümu­

ne çekmeyi düşündüğünü varsayalım. Eski tecrübelere göre o değeri­n i n 14 olacağı tahmin edilsin. Bu durumda NEDMÜ aşağıdaki gibi he­saplanabil ir :

14 OV =

\/49

S 2 = 100/29 = 3.45 S, = 1.9 ı 1

0 « - 52—1.93 = 21.55 a' 2 = 4.(

20—25 D: - 1.1 L N (D ) = 0.07

4.6 NEDMÜ = 500(4.6) (0.07) = 161 TL

49 b i r i m l i k b i r numunenin karar veren kimse için değeri 161 TL olmaktadır. Daha önce yaptığımız hesap sonucu tam enformasyon de­ğeri matematik ümidini 200 TL olarak bulmuştuk. Demek k i 49 b i r i m ­l i k b i r nümune b u n u n % 80 i n i sağlamaktadır.

Nümune maliyet i genel olarak doğrusal b i r artış, gösterirken NEDMÜ önce hızla ar tan sonra TEDMÜ değerine asimtotik şekilde yaklaşan b i r seyir gösterir. Dolayısıyla b i r gra f ik üzerinde gösterilirse NEDMÜ nümune mal iyet i doğrusu tarafından genellikle i k i noktada kesil ir. B u sebepten NEDMÜ eğrisi ile nümune maliyet i doğrusu ara­sındaki farkın en fazla olduğu nokta optimal nümune büyüklüğünü verecektir.

. 2.6. Sonuç

Görüldüğü g ib i özellikle pr ior (ön) ih t ima l dağılımının normal ol­duğu hallerde Bayes yaklaşımı ile

i — b i r sondaj araştırmasının yapılıp yapılmaması ii — şayet yapılması.' gerekiyorsa alınacak - numunenin büyüklüğü.. - .

_ — ye, n ihayet sondajdan önceki ve sonraki b i lg i ler in ne şekilde pir-• • leştirilebileceği

soruları en i y i tarzda cevaplandırılmaktadır. •' "

Modem İstatistik. Karar Teorisi 235

Türkiye'de işletme kararlarında sübjektif ihtimallere dayanan tah­min ler en büyük yer i almaktadırlar. Sondaj usullerine dayanan tah­min ler ise oldukça yenidir. Yapılacak sondajın mal iyet i ile b u son­dajın sağlayacağı .bi lg i ler in modern istatistik teorisi yardımıyla kar­şılaştırılması ise henüz kullanılmamakta, fakat Türkiye açısından bü­yük önem taşımaktadır. Z i ra böyle b i r uygulama büyük kayıpları ön¬leyebileceği gibi işletmeleri daha fazla araştırmaya yöneltecektir. Şöyle k i

a) Türkiye'de işletmeler genellikle sondaj metodlarmı çok ender kullanmaktadırlar. Buna rağmen böyle b i r araştırmaya giren b i r iş­letme ya nümune b i r i m sayısının optimal miktarını belir]eyemediğin-den, veya kötü b ir tesadüfle bu araştırmanın sağlayacağı ek bilgile­r i n sondaj mal iye t in i kur tarmaya yetmiyecek b i r değere sahip olma­ları sonucu zarar ettiğinde, hem bu işletme b i r daha araştırmaya gi­rişmemekte, hem de diğer firmaları araştırmadan caydırmaktadır.

b) Türkiye'de büyük işletmelerin birçoğu ve orta büyüklükteki le-r i n hemen tamamı aile işletmeleridir. Bu işletmelerde işletmenin sa­h ib i kendi tahminler ine büyük değer vermekte ve tamamen nümune değerlerine dayanan b i r sonuç kendisine sunulduğunda direniş gös­termektedir. Bayes yaklaşımı ise sübjektif ih t imal l e r i de hesaba kat­tığından bu direnişin kırılması kolaylaşmış olacaktır.

c) Son olarak işletme kararlarında Bayes yaklaşımının kullanıl­ması sonucu hata payının azalması, lüzumsuz araştırmaların önlen­mesi ve yapılan araştırmanın opt imum büyüklükte gerçekleşmesi, do­layısıyla işletme kârlarının artması, mal iyet in düşmesi ve kal i tenin yükselmesi beklenir.

F A Y D A L A N I L A N K A Y N A K L A R

Bierman H., C.P. Bonini, L.E. Fouraker, R.K. Jaediche : Quantitative Analysis for Business Decisions,

İUinois, 1965.

Bunt Lucas N.H. Barton, Alan : Probability and Hypothesis Testing, London, 1967.

Ekeblad, Frederik A. : The Statistical Method in Business, New York, 1962.

Feichtmger, Gusfcav : «Zur Bayes - Analyse statistischer Entscheidungs-probleme» Zeitschrift für Betriebswirtschaft, Wiesbaden, 1972, Nr. 7.

238 O. İdil

Gren, Paul, E . Tul l , Donald S. Research for Marketing Decisions, New Jersey,

1970.

Hoel, Paul, G. .- Introduction to Mathematical Statistics, New York, 1966.

King , Wi[ l iam, R. : Probability for Management Decisions, New York, 1988.

Schlaifer. Robert : Probability and Statistics for Business Decisions, New York, 1959.

B * : Introduction to Statistics for Business Decisions, New York, 1961.

Spurr, Wi l l iam A. Bonini, Charles P. Statistical Analysis for Business Decisions, Illinois,

1967.