Modos de Oscilacion

CONTROL DE OSCILACIONES ELECTROMECÁNICAS EN SISTEMAS

ELÉCTRICOS DE POTENCIA USANDO EL ANÁLISIS MODAL

VIVIANA MARÍA AGUDELO IDÁRRAGA

DIEGO FERNANDO PARRA LADINO

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE PEREIRA

FACULTAD DE INGENIERÍAS ELÉCTRICA, ELECTRÓNICA, CIENCIAS DE

LA COMPUTACIÓN Y FÍSICA

PROGRAMA DE INGENIERÍA ELÉCTRICA

PEREIRA

2008

CONTROL DE OSCILACIONES ELECTROMECÁNICAS EN SISTEMAS

ELÉCTRICOS DE POTENCIA USANDO EL ANÁLISIS MODAL

VIVIANA MARÍA AGUDELO IDÁRRAGA

DIEGO FERNANDO PARRA LADINO

Proyecto de grado presentado como requisito parcial para optar al título

de Ingeniero Electricista

Director:

M.Sc. Luis Alfonso Alzate Gómez

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE PEREIRA

FACULTAD DE INGENIERÍAS ELÉCTRICA, ELECTRÓNICA, CIENCIAS DE

LA COMPUTACIÓN Y FÍSICA.

PROGRAMA DE INGENIERÍA ELÉCTRICA

PEREIRA

2008

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Nota de aceptación

Firma del jurado

Firma del jurado

Pereira, Noviembre de 2008

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TABLA DE CONTENIDO

INTRODUCCIÓN ............................................................................................... 9

1. CONCEPTOS GENERALES SOBRE ESTABILIDAD............................... 12

1.1 ESTABILIDAD DE SISTEMAS ELÉCTRICOS DE POTENCIA.......... 121.1.1 Estabilidad de ángulo de rotor de las máquinas ......................... 13

1.1.1.1 Estabilidad de pequeña señal.............................................. 161.1.1.2 Estabilidad transitoria .......................................................... 20

1.1.2 Estabilidad de voltaje .................................................................. 211.1.2.1 Estabilidad de voltaje de perturbación severa ..................... 221.1.2.2 Estabilidad de voltaje de pequeña perturbación .................. 231.1.2.3 Casos reales de colapso de tensión .................................... 23

1.1.3 Estabilidad de mediano y largo plazo ......................................... 24

1.2 INTRODUCCIÓN A LAS OSCILACIONES ELECTROMECÁNICAS . 251.2.1 Oscilaciones de potencia locales e inter-áreas........................... 281.2.2 Reseña histórica ......................................................................... 31

2. MODELAMIENTO DE LOS ELEMENTOS DE UN SEP............................ 33

2.1 MÁQUINA SÍNCRONA ...................................................................... 342.1.1 Modelo A..................................................................................... 36

2.1.1.1 Ecuaciones diferenciales. .................................................... 362.1.1.2 Ecuaciones algebraicas del estator. .................................... 38

2.1.2 MODELO B................................................................................. 382.1.2.1 Ecuaciones diferenciales. .................................................... 392.1.2.2 Ecuaciones algebraicas del estator. .................................... 40

2.2 CONTROL DEL REGULADOR DE VELOCIDAD .............................. 40

2.3 CONTROL DEL SISTEMA DE EXCITACIÓN .................................... 40

2.4 CARGAS............................................................................................ 412.4.1 Modelo de carga estática............................................................ 432.4.2 Modelo de carga dinámica.......................................................... 44

3. HERRAMIENTA DE ANÁLISIS ................................................................. 45

3.1 ANÁLISIS MODAL ............................................................................. 453.1.1 Análisis matemático .................................................................... 46

3.1.1.1 Ecuaciones de estado ......................................................... 463.1.1.2 Ecuaciones de salida........................................................... 47

4

3.1.1.3 Linealización ........................................................................ 483.1.1.4 Valores propios.................................................................... 51

3.1.1.4.1 Valores propios reales ...................................................... 513.1.1.4.2 Valores propios complejos................................................ 52

3.1.1.5 Vectores propios.................................................................. 533.1.1.5.1 Vectores propios derechos ............................................... 533.1.1.5.2 Vectores propios izquierdos ............................................. 543.1.1.5.3 Factor de participación ..................................................... 55

3.1.2 Identificación de los modos electromecánicos............................ 563.1.3 Clasificación de los modos electromecánicos............................. 57

4. ESTUDIO DE MODOS ELECTROMECÁNICOS EN SISTEMAS DE PRUEBA........................................................................................................... 61

4.1 DESCRIPCIÓN DEL PRIMER SISTEMA DE PRUEBA..................... 614.1.1 Análisis modal para el primer sistema de prueba ....................... 62

4.1.1.1 Sistema con carga nominal.................................................. 634.1.1.1.1 Identificación de los modos electromecánicos.................. 634.1.1.1.2 Clasificación de los modos electromecánicos .................. 644.1.1.1.3 Efecto del PSS en el sistema ........................................... 68

4.1.1.2 Sistema con sobrecarga ...................................................... 734.1.1.3 Sistema con carga ligera ..................................................... 76

4.1.2 Observación en el dominio del tiempo del efecto de los PSS..... 79

4.2 DESCRIPCIÓN DEL SEGUNDO SISTEMA DE PRUEBA................. 914.2.1 Carga modelada como potencia constante (S cte) ..................... 924.2.2 Carga modelada como impedancia constante (Z cte)............... 101

4.3 SVCs EN SISTEMAS ELECTRICOS DE POTENCIA...................... 104

CONCLUSIONES........................................................................................... 107

BIBLIOGRAFÍA .............................................................................................. 109

5

LISTA DE FIGURAS

Figura 1. Ilustración del proceso de formación de las oscilaciones electromecánicas ............................................................................................. 14

Figura 2. Relación potencia – ángulo en un sistema radial .............................. 15

Figura 3. Naturaleza de la inestabilidad a pequeñas perturbaciones con voltaje de campo constante. ........................................................................................ 19

Figura 4. Naturaleza de la inestabilidad a pequeñas perturbaciones, con voltaje de campo controlado........................................................................................ 19

Figura 5. Respuesta del ángulo del rotor a una perturbación transitoria. ......... 22

Figura 6. Principales colapsos de voltaje en el mundo en los últimos 20 años 25

Figura 7. Clasificación de la estabilidad en SEPs ............................................ 26

Figura 8. Oscilaciones estudiadas por la estabilidad de pequeña señal. ......... 28

Figura 9. Flujo de potencia trifásico por una línea de interconexión................. 29

Figura 10. Modos inter-área y local. ................................................................. 30

Figura 11. Circuitos del estator y rotor de una máquina sincrónica.................. 36

Figura 12. Circuito de dos ejes para la máquina síncrona (Modelo A) ............. 37

Figura 13. Modelo del AVR IEEE tipo I (Modelo A) .......................................... 37

Figura 14. Circuito de dos ejes para la máquina síncrona (Modelo B) ............. 39

Figura 15. Modelo del AVR IEEE tipo II (Modelo B) ......................................... 39

Figura 16. Ejemplo de un sistema de excitación .............................................. 42

Figura 17. Circuito equivalente de un motor de inducción................................ 44

Figura 18. Respuesta asociada a la naturaleza de cada valor propio .............. 52

Figura 19. Ejemplo para deferentes valores de amortiguamiento ( ) ............... 54

Figura 20. Modo electromecánico inter-área.................................................... 58

Figura 21. Modo electromecánico máquina-sistema ........................................ 59

Figura 22. Diagrama de participación para el modo inter-área ........................ 59

Figura 23. Diagrama de participación para el modo máquina-sistema............. 60

Figura 24. Sistema de prueba (WSCC)............................................................ 61

6

Figura 25. Modo electromecánico máquina-sistema asociado a los valores propios 13 y 14................................................................................................. 66

Figura 26. Modo electromecánico máquina-sistema asociado a los valores propios 15 y 16................................................................................................. 67

Figura 27. Diagrama de participación de generadores modos 13 y 14 ............ 68

Figura 28. Diagrama de participación de generadores modos 15 y 16 ............ 68

Figura 29. Diagrama de bloques de un PSS .................................................... 69

Figura 30. Diagrama de bloques del PSS utilizado .......................................... 70

Figura 31. Velocidades angulares de los rotores de los generadores sin PSS 80

Figura 32. Voltajes generados por las máquinas sin PSS................................ 80

Figura 33. Potencias generadas por las máquinas sin PSS............................. 81

Figura 34. Potencias transferidas por las líneas que llegan al nodo 8 sin PSS 81

Figura 35. Voltajes de los nodos 7, 8 y 9 sin PSS............................................ 82

Figura 36. Velocidades angulares de los rotores de los generadores con PSS en el generador 1 ............................................................................................. 83

Figura 37. Voltajes generados por las máquinas con PSS el generador 1 ...... 83

Figura 38. Potencias generadas por las máquinas con PSS en generador 1 .. 84

Figura 39. Potencias transferidas por las líneas que llegan al nodo 8 con PSS en generador 1 ................................................................................................. 84

Figura 40. Voltajes de los nodos 7, 8 y 9 con PSS en generador 1 ................. 85


Figura 42. Voltajes generados por las máquinas con PSS en el generador 2 . 86

Figura 43. Potencias generadas por las máquinas con PSS en generador 2 .. 87




Figura 47. Voltajes generados por las maquinas con PSS en el generador 3 . 89

Figura 48. Potencias generadas por las maquinas con PSS en generador 3 .. 89



Figura 51. Sistema de prueba (dos áreas) ....................................................... 91

7

Figura 52. Modo local asociado a los valores propios 17 y 18 del sistema de dos áreas.......................................................................................................... 94

Figura 53. Modo local asociado a los valores propios 19 y 20 del sistema de dos áreas (S cte) .............................................................................................. 96

Figura 54. Modo inter-área asociado a los valores propios 21 y 22 del sistema de dos áreas (S cte) ......................................................................................... 96

Figura 55. Diagrama de participación de generadores modos 17 y 18 del sistema de dos áreas (S cte)............................................................................ 97



Figura 58. Diagrama de un SVC .................................................................... 104

Figura 59. Modelo del SVC ............................................................................ 105

8

INTRODUCCIÓN

El estudio de la estabilidad de los Sistemas Eléctricos de Potencia (SEPs) es una de las disciplinas más interesantes y complejas de la ingeniería, ya que involucra desde el diseño de las redes, hasta sus protecciones y sistemas de control. Mantener en sincronismo estos sistemas ante los diferentes puntos de operación que se presentan durante su actividad normal, ha sido un problema a manejar desde que la transmisión de energía eléctrica empezó a funcionar con corriente alterna; y se fue complicado cada vez más, conforme crecieron las distancias, aumentó el mallado de las redes, y se necesitó cada vez más potencia. Ante estos requerimientos, nuevos generadores fueron desarrollados, y sus sistemas de excitación junto a los disyuntores de líneas fueron perfeccionándose, aumentando su velocidad de respuesta. Sin embargo, la demanda de energía siguió creciendo, y la operación de los generadores al borde de sus límites obligó a ingenieros y matemáticos a desarrollar teorías sobre estabilidad, y a proyectar y ejecutar diversos mecanismos para simular la operación de los sistemas, en pos de prevenir los resultados catastróficos de eventuales situaciones.

Es normal que en la operación de un SEP se presenten continuas perturbaciones, éstas pueden ser de cualquier naturaleza y severidad, pero en su mayoría son cambios pequeños que ocurren, por ejemplo, a partir de las variaciones en la potencia generada por las máquinas, debido a los cambios en la potencia demandada por el sistema. Estas pequeñas perturbaciones reciben el nombre de oscilaciones electromecánicas (u oscilaciones de potencia), ya que involucran las masas rodantes de los generadores [9], [15], [16]. Las oscilaciones electromecánicas pueden producir problemas como limitación en las potencias transferidas por las líneas de transmisión, activación de protecciones de equipos, estrés en los ejes mecánicos de las turbinas, e incluso, ocasionar la salida de líneas y de generadores.

Los problemas anteriormente mencionados, pueden ser abordados por medio del estudio de la estabilidad de pequeña señal, llamada así debido a que analiza el comportamiento del sistema ante pequeñas perturbaciones [2], [9].

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La naturaleza (amplitud y frecuencia) de las oscilaciones electromecánicas depende directamente de las respuestas naturales del sistema, también llamadas “modos” electromecánicos, el cálculo y análisis de dichos modos se puede realizar utilizando como principal herramienta de trabajo el “análisis modal”.

Se debe tener en cuenta que el amortiguamiento de oscilaciones electromecánicas o de potencia, es sólo uno de muchos aspectos técnicos (estabilidad de voltaje, estabilidad transitoria, estabilidad de largo plazo, control de frecuencia, etc.) que sumados a otros económicos y ambientales se conjugan en la planeación de los SEPs.

Este Trabajo De grado (TDG) busca estudiar las oscilaciones electromecánicas que se presentan en el sistema multimáquina IEEE Western System Coordinating Council (WSCC) y en un sistema de prueba simple e hipotético de dos áreas, utilizando como herramienta el análisis modal. Inicialmente se identifican y clasifican los modos de oscilación de dichos sistemas, utilizando los valores propios de la matriz de estado (que resulta del proceso de linealización del sistema) y los diagramas de participación de los generadores; luego se analizan las características (frecuencia y amortiguamiento) de los modos de oscilación electromecánicos de dichos sistemas, para determinar su fortaleza o solidez y finalmente se corregirán los valores propios que caracterizan la respuesta del sistema incluyendo dispositivos de control suplementario denominados estabilizadores del sistema de potencia (PSS) en los puntos del sistema más convenientes de acuerdo a los resultados arrojados por el análisis modal; también se observará el efecto que tiene la utilización de compensadores estáticos (SVS) en el sistema. Para este fin, los cuatro capítulos del TDG proporcionan esta información:

A manera de introducción, en el capítulo uno se hace un repaso general de los problemas de estabilidad en los SEPs hasta culminar en el problema de las oscilaciones electromecánicas.

En el capítulo dos se indican los aspectos claves en la modelación de SEPs para una correcta simulación de las oscilaciones electromecánicas.

Las principales técnicas y herramientas para estudiar las oscilaciones electromecánicas, profundizando en el análisis modal, se dan en el capítulo tres.

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Como complemento a los aspectos teóricos de fondo, en el último capítulo se desarrolla una parte práctica de simulaciones utilizando el PSAT (Power System Analysis Toolbox) versión 1.3.4 el cual es un paquete de software para análisis de estabilidad transitoria y pequeñas perturbaciones y permite realizar análisis estático, dinámico y de control de los sistemas eléctricos de potencia. Se finaliza el capítulo realizando el análisis modal de los sistemas mencionados para conocer la naturaleza fundamental de sus respectivos modos electromecánicos y se analiza el efecto de estabilizadores del SEP (PSSs) ó compensadores estáticos (SVSs) sobre ellos.

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1. CONCEPTOS GENERALES SOBRE ESTABILIDAD

Los SEPs actualmente se desenvuelven bajo situaciones que los exigen al máximo, ya que a estos se les impone condiciones de cargabilidad que los hace trabajar en puntos cercanos a los límites de estabilidad, debido a que operan bajo un esquema de crecimiento de la demanda cada vez más exigente, es decir, con respecto al crecimiento de la demanda, la infraestructura que poseen la generación y el transporte de la energía eléctrica tiene una velocidad de crecimiento bastante menor, lo cual hace que la habilidad que posea el sistema de conservarse estable se mantenga en continua investigación como un tema de bastante interés.

En este capítulo se exponen de forma general los diferentes tipos de estudios de estabilidad en SEPs, haciendo énfasis en las oscilaciones electromecánicas, así como sus causas y efectos; para reconocer que el comportamiento de dichas oscilaciones depende de los modos electromecánicos: modos locales e inter-áreas. Finalmente se describe cómo ha sido la evolución del tema de investigación.

1.1 ESTABILIDAD DE SISTEMAS ELÉCTRICOS DE POTENCIA

La estabilidad de un SEP está definida como la propiedad que este posee para mantenerse en funcionamiento en cualquier punto de trabajo y recuperar un estado de equilibrio aceptable después de estar sujeto a un cambio, es decir, aun cuando se haya dado una situación que produjera una perturbación, el sistema debería llegar a nuevos valores aceptables que finalmente deben permanecer. De forma general, los estudios de estabilidad se pueden clasificar de la siguiente manera [1], [4], [10]:

Estabilidad de ángulo de rotor de las máquinas.

Estabilidad de voltaje.

Estabilidad de medio y largo plazo.

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1.1.1 Estabilidad de ángulo de rotor de las máquinas

Hace referencia a la capacidad que posee el sistema para mantener el sincronismo entre todas sus máquinas. Las variables a monitorear son los ángulos (relativos a una máquina de referencia) de los rotores de las máquinas que oscilan luego de una perturbación (si el sistema es estable las máquinas interconectadas permanecen "en sincronismo"). Este ángulo es función del balance entre la potencia mecánica aplicada al rotor y La potencia eléctrica transferida a la red.

El mecanismo mediante el cual las máquinas interconectadas mantienen el sincronismo entre sí, es a través de fuerzas de restauración, que actúan cuando hay fuerzas tendiendo a acelerar o desacelerar una o más máquinas con respecto a las otras. Bajo condiciones estables existe un equilibrio entre el torque mecánico y el torque de salida eléctrico de cada máquina, con lo cual la velocidad permanece constante [15].

Si el sistema es perturbado el equilibrio se trastorna, llevando a la aceleración o desaceleración de los rotores de las máquinas de acuerdo a las leyes de la dinámica de los cuerpos en rotación. Si un generador corre temporalmente más rápido que otro, la diferencia angular de su rotor respecto a la máquina más lenta aumenta y la diferencia angular resultante transfiere parte de la carga de la máquina lenta a la máquina rápida, dependiendo de la relación potencia-ángulo. Esto tiende a reducir la diferencia de velocidad, y por consiguiente la diferencia angular. Es importante resaltar que la pérdida del sincronismo puede ocurrir entre una máquina y el resto del sistema o entre grupos de máquinas. La Figura 1 ilustra el proceso de formación de estas oscilaciones utilizando una balanza mecánica.

Si se considera el sistema radial de la Figura 2, se puede demostrar fácilmente que la potencia activa inyectada por la máquina a la carga en régimen permanente es:

T

MG

X

senEEP (1.1)

Siendo:

EG, EM: fems atrás de las reactancias del generador y motor respectivamente.

: diferencia de los ángulos de fase de las fems EG y EM.

XT: reactancia total (línea+máquinas).

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Figura 1. Ilustración del proceso de formación de las oscilaciones electromecánicas

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Figura 2. Relación potencia – ángulo en un sistema radial

Se puede ver que representa también la posición relativa de las máquinas (diferencia entre los ángulos de los rotores de las máquinas). La relación potencia-ángulo indicada tiene las siguientes propiedades importantes:

Es fuertemente no lineal.

No hay transferencia para =0.

La transferencia es máxima si =90°.

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Es directamente proporcional a las fems e inversamente proporcional a la reactancia de la línea.

Si ocurre una perturbación cualquiera en el sistema que provoque un aumento en la velocidad del generador (por ejemplo un cortocircuito transitorio en la línea), la ecuación potencia-ángulo permite tener una idea aproximada (dado que es una relación de régimen) del comportamiento del sistema [4], [5]:

Para el caso estable, primero aparecería un aumento de velocidad en el generador, lo cual representaría un aumento del ángulo del par y a su vez un aumento de la potencia eléctrica transferida que finalmente provocaría una disminución en la velocidad del generador. En este caso el ángulo se mantiene siempre en la rama creciente de la gráfica potencia-ángulo.

Para el caso inestable, primero aparecería un aumento de velocidad en el generador, lo cual representaría un aumento del ángulo del par, pero se presentaría una disminución de la potencia eléctrica transferida que finalmente provocaría un aumento en la velocidad del generador. En este caso, en cambio, el aumento de la velocidad del generador lleva al ángulo a la rama decreciente de la gráfica potencia-ángulo.

Vale la pena destacar que la condición de estable o inestable en este análisis simplificado no depende sólo de la perturbación sino también del punto de régimen del que se parte (si el ángulo inicial está cerca del máximo es más probable que la perturbación lo lleve a la rama decreciente de la gráfica)

Por comodidad en el análisis y para entender más fácil la naturaleza de los problemas de estabilidad, es usual definir la estabilidad del ángulo del rotor en dos categorías [9]:

Estabilidad de pequeña señal.

Estabilidad transitoria.

1.1.1.1 Estabilidad de pequeña señal

Es la habilidad de los SEPs para mantener el sincronismo durante pequeños cambios de las condiciones de operación. Este tipo de estabilidad depende del estado de operación inicial ya que el sistema de ecuaciones algebraicas y diferenciales que permiten simular el comportamiento del SEP se linealizan alrededor de un punto de operación en particular.

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Para describir cualitativamente este tipo de fenómeno, consideremos una máquina única inyectando potencia hacia una red. El conjunto de ecuaciones que representan al SEP debe incluir no sólo las ecuaciones eléctricas (como la relación potencia-ángulo descrita más arriba) sino también las que describen el comportamiento mecánico de la máquina. La ecuación de Newton aplicada al rotor giratorio es de la forma:

emD2

2

PPWTdt

dK (1.2)

Siendo:

K: Una constante proporcional a la inercia de la máquina.

: Angulo del rotor respecto a un eje sincrónico de referencia.

w=dt

d: Velocidad de la máquina.

Pm: Potencia mecánica generada por la turbina.

Pe: Potencia eléctrica inyectada por la máquina a la red, función de (Pe=P para el caso particular del sistema radial visto).

TD: coeficiente de torque amortiguante (incluye el coeficiente de fricción de la turbina y el efecto de variación de las cargas con la frecuencia).

Si se supone que en el intervalo de estudio no cambia la potencia mecánica y se linealiza la ecuación respecto al estado de régimen previo:

0Tdt

dT

dt

dK SD2

2

(1.3)

ConP

T eS

Ts (Calculado en el estado de régimen) es igual al coeficiente de torque

sincronizante (en el ejemplo del sistema radial: T

OMGS X

cosEET (siendo 0 el

ángulo inicial).

Si se resuelve la ecuación diferencial de segundo grado en la forma clásica, la solución es de la forma:

tt 21 BeAe

(1.4)

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Con2K

4KTTT S2

DDj ; j=1,2

El torque sincronizante (TS) se encarga de mantener las máquinas unidas (eléctricamente), lo que es importante para la estabilidad del sistema posterior a una perturbación severa. En estabilidad de pequeña señal, TS determina la frecuencia de las oscilaciones de potencia, éste, se cuantifica como la pendiente de la recta tangente a la curva de relación potencia-ángulo en el punto de operación de la máquina (ver Figura 2). Si Ts es insuficiente (negativo o positivo pequeño), se produce una inestabilidad no oscilatoria (el ángulo del rotor “se escapa”) como lo muestra la Figura 3. Con la presencia de reguladores de voltaje, el problema de inestabilidad de pequeña señal se manifiesta con oscilaciones de amplitud creciente, debido a la falta de suficiente amortiguamiento del sistema, como se ilustra en la Figura 4 [9], [15].

El torque amortiguante (TD) determina la tasa de disminución de la amplitud de las oscilaciones. El amortiguamiento es determinado por muchos parámetros del sistema, normalmente es pequeño y positivo, pero puede hacerse negativo por la presencia de controles como AVR los cuales son prácticamente la única fuente de amortiguamiento negativo. El amortiguamiento negativo puede llevar a que las oscilaciones crezcan hasta que los relés del sistema respondan a las oscilaciones con la salida de elementos del sistema. Si TD es insuficiente (negativo o positivo pequeño) se produce una inestabilidad oscilatoria, las oscilaciones del rotor no se amortiguan, o se amortiguan muy lentamente. En los sistemas modernos reales el control de TD en valores adecuados está muy relacionado con el diseño y ajuste de los reguladores de tensión y eventualmente, con la incorporación de controladores adicionales [9].

De acuerdo al análisis anterior es posible concluir que la inestabilidad de pequeña señal puede ser de dos formas:

Incremento sostenido en el ángulo del rotor debido a la pérdida del suficiente torque sincronizante.

Oscilaciones del rotor con amplitud creciente debido a la pérdida del suficiente torque amortiguador.

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Figura 3. Naturaleza de la inestabilidad a pequeñas perturbaciones con voltaje de campo constante.

t

t

EstableTS positivoTD positivo

TS

TD

TS

TD

Inestabilidad nooscilatoria

TS negativoTD positivo

Figura 4. Naturaleza de la inestabilidad a pequeñas perturbaciones, con voltaje de campo controlado.

t

t

EstableTS positivoTD positivo

TS

TD

TS

TD

Inestabilidadoscilatoria

TS positivoTD negativo

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Las oscilaciones que se presentan en el sistema pueden ser de tres tipos [4], [5], [9], [16]:

Oscilaciones normales o positivamente amortiguadas. Ocurren debido a eventos de rutina en los SEPs, así por ejemplo: cambios de carga, salida de generadores y maniobras que pueden causar oscilaciones en el flujo de potencia, voltaje, corriente y frecuencia, el sistema no tiene problemas para reducir la amplitud de este tipo de oscilaciones.

Oscilaciones sostenidas o no amortiguadas. Este tipo de oscilaciones se auto sustentan y no desaparecen sin una acción correctiva. Las oscilaciones sostenidas no son crecientes pero tampoco tienden a reducirse. Este tipo de oscilaciones son dañinas en el sistema si tienen una amplitud suficientemente grande.

Oscilaciones amortiguadas negativamente Si una oscilación aparece y crece gradualmente en magnitud, es amortiguada negativamente. Este tipo de oscilación puede aparecer como oscilación normal o sostenida y crecer en tamaño hasta alcanzar una amplitud que los SEPs no pueden resistir por mucho tiempo.

1.1.1.2 Estabilidad transitoria

Es la habilidad del SEP de mantener el sincronismo cuando está sujeto a fuertes perturbaciones. La estabilidad depende de las condiciones iniciales de operación y la severidad de las perturbaciones. Usualmente, el sistema es alterado de tal forma, que el estado estable al que llega postperturbación, es diferente al previo al disturbio. La inestabilidad transitoria se produce a causa de perturbaciones severas, para las cuáles dejan de ser válidos los métodos de aproximación lineal.

El término transitorio hace referencia al hecho de que en un corto periodo de

tiempo (1 a 3 seg.), se podrá saber si el sistema está en capacidad de evolucionar a otros estados de equilibrio. Los métodos de análisis clásicos son las simulaciones numéricas en el tiempo, con intervalos típicos de estudio de entre 3 y 5 seg, aunque puede ser hasta de 10 segundos para sistemas que tengan predominación de los modos inter-áreas [9].

Existen varios casos en los que se puede observar una situación de estabilidad transitoria:

La inestabilidad transitoria “clásica” es la llamada primera oscilación ("first swing"); el ángulo de alguna de las máquinas se “escapa” en su

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primera oscilación a causa de una perturbación severa (normalmente se dice que la causa es la “falta de torque sincronizante”) (ver Figura 5, Caso 2).

El ángulo de alguna de las máquinas, no obstante, puede “escaparse” luego de varias oscilaciones (ver Figura 5, Caso 3), a causa de que las pequeñas oscilaciones, luego de terminada la perturbación, son a su vez no estables. Este caso es, por lo tanto, propiamente uno de inestabilidad a las pequeñas oscilaciones, al que se suele analizar en conjunto (prolongando la simulación temporal) con el análisis de estabilidad transitoria asociado a la perturbación inicial.

Las perturbaciones son de un amplio grado de severidad y probabilidad de ocurrencia en el sistema. Sin embargo este es diseñado y operado para soportar un conjunto de contingencias. Las contingencias usualmente consideradas son cortos circuitos de diferentes tipos: fase-tierra, bifásico-tierra, o trifásicos. Se asume que estos ocurren en las líneas de transmisión, pero ocasionalmente se consideran fallas en las barras o en los transformadores. Además se espera que la falla sea despejada por la apertura de los interruptores apropiados.

Como criterio de diseño para los sistemas respecto a la estabilidad transitoria y dada la enorme variedad de posibles perturbaciones importantes, es habitual normalizar la lista de las grandes perturbaciones que los sistemas deben soportar por ejemplo: "El sistema debe ser transitoriamente estable frente a

faltas con reenganche monofásico no exitoso, sin necesidad de despejar

carga."

También se normalizan habitualmente los criterios de aceptación de las oscilaciones post-perturbación por ejemplo:”Las oscilaciones electromecánicas

post-perturbación deben tener un amortiguamiento relativo mayor al 5 %.”

1.1.2 Estabilidad de voltaje

Un SEP sometido a una perturbación es estable en voltaje si las tensiones en los puntos cercanos a los nodos de consumo se aproximan a valores de equilibrio después de la perturbación. El sistema entra en inestabilidad de voltaje cuando una perturbación, tal como un aumento de carga o un cambio en la condición del sistema, causa una caída de voltaje que es progresiva e irreparable. El principal factor que causa inestabilidad, es la incapacidad del SEP para suministrar la potencia reactiva demandada.

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Figura 5. Respuesta del ángulo del rotor a una perturbación transitoria.

Para un punto de funcionamiento o para todos los nodos del sistema, este es estable en voltaje si en cada nodo aumenta la tensión cuando hay una inyección de potencia reactiva en el mismo nodo. Por el contrario el sistema es inestable si hay un nodo en donde el voltaje disminuye a medida que se produce una inyección de potencia reactiva. En conclusión la región de atracción a la estabilidad es donde la sensibilidad voltaje-potencia reactiva (V-Q) es positiva, y la región de atracción a la inestabilidad es donde la sensibilidad V-Q es negativa.

Luego de una inestabilidad de voltaje, una red puede sufrir un colapso si las tensiones de equilibrio después de la perturbación son inferiores a valores límites aceptables. La inestabilidad y el colapso de tensión son casi siempre provocados por situaciones como esquemas de voltajes iniciales bajos, aumentos importantes de la carga, funcionamientos próximos del límite de la capacidad de transporte de la energía, a una generación alejada eléctricamente de los puntos de consumo y a una insuficiencia de medios de compensación de potencia reactiva. Para propósitos de análisis, se clasifica la estabilidad de voltaje en dos tipos.

1.1.2.1 Estabilidad de voltaje de perturbación severa

Está relacionada con la habilidad del sistema de controlar los voltajes después de una perturbación severa como las fallas que se presentan en el sistema de transmisión, pérdida de generación o contingencias de corto circuito. Esta

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capacidad es determinada por las características del sistema, la carga y las interacciones de controles continuos y discretos y de protecciones. La determinación de la estabilidad de voltaje a grandes disturbios requiere la revisión de la respuesta no lineal del SEP durante el tiempo suficiente para capturar el funcionamiento y las interacciones de los dispositivos tales como los cambiadores de tomas bajo carga de los transformadores, y los limitadores de campo del generador. El período del estudio de interés se puede extender a partir de algunos segundos a diez minutos.

1.1.2.2 Estabilidad de voltaje de pequeña perturbación

Está relacionada con la capacidad del sistema de mantener los voltajes después de pequeñas perturbaciones como cambios de la carga del sistema. Esta forma de estabilidad es influenciada por las características de cargas, de controles continuos, y de controles discretos en un instante dado del tiempo. Este concepto es útil para la determinación, en todo momento, de cómo los voltajes de los nodos responderán a los pequeños cambios del sistema. Con simplificaciones apropiadas, las ecuaciones del sistema se podrían linealizar, sin embargo, no se podrían explicar los efectos no lineales de los controles. Por lo tanto, una combinación lineal y no lineal se utiliza en una manera complementaria para el análisis de la estabilidad de voltaje.

1.1.2.3 Casos reales de colapso de tensión

Entre los fenómenos descritos anteriormente se encuentra una desviación extrema del voltaje llamado colapso de tensión o de voltaje. Este es un proceso mediante el cual una secuencia de eventos es acompañado por una inestabilidad de voltaje, llevando el sistema a una caída de voltaje a niveles tan bajos que son imposibles recuperarlos. Los efectos de un colapso de voltaje son mucho más serios que un típico período de tener bajos voltajes. Como consecuencia de un colapso de voltaje, secciones enteras del SEP pueden experimentar “apagones”.

En los últimos años se ha incrementado el número de apagones en el mundo por colapso de voltaje, de tal manera, que en promedio de los últimos veinte años se ha presentado al menos un apagón de gran magnitud por año. A continuación se listan e ilustran en la Figura 6 los principales colapsos de voltaje en el mundo en los últimos 20 años:

Nueva York Power Pool, Septiembre 22 de 1970

23

Nueva Zelanda y Dinamarca, 1979 Florida, Diciembre 28 de 1982 Francia, Diciembre 19 de 1978 y Enero de 1987 Norte de Bélgica, Agosto 4 de 1982 Suecia, Diciembre 27 de 1983 Japón, Julio 23 de 1987 Estados Unidos, Julio 2 de 1996 Estados Unidos, Agosto 10 de 1996 Suecia y Dinamarca, Septiembre 23 de 2003 Italia, Septiembre 28 de 2003 Estados Unidos, Agosto 14 de 2003 Ecuador, Abril 12 de 2004

Estos incidentes tienen algunas características comunes:

Las perturbaciones que los provocan pueden ser importantes (salidas de líneas, generadores, etc.) o no (aumentos progresivos de carga).

Se mantiene por un cierto tiempo el suministro de las cargas sin variaciones relevantes de frecuencia.

Son fenómenos lentos, por lo que tienen tiempo de actuar los automatismos de control de tensión.

Se terminan produciendo caídas de tensión más allá de lo esperado.

El despeje final de los incidentes lo realizan relés convencionales.

1.1.3 Estabilidad de mediano y largo plazo

Los términos estabilidad de mediano plazo y estabilidad de largo plazo fueron introducidos por la necesidad de tratar con problemas asociados a la respuesta dinámica del SEP cuando es sometido a muchas perturbaciones.

La estabilidad de corto plazo del voltaje involucra la dinámica en el tiempo de los componentes rápidos de la carga, tales como motores de inducción, cargas controladas electrónicamente, los convertidores de la transmisión HVDC, controles de un generador protecciones, etc. Mientras que la estabilidad de voltaje de largo plazo involucra la dinámica de los equipos de respuesta lenta tal como los cambiadores de tomas de los transformadores, cargas controladas por temperatura, los limitadores de la corriente del generador, reguladores de velocidad, reguladores de voltaje-carga (taps), etc). Sin embargo, se debe decir que la principal diferencia entre estabilidad de mediano y largo plazo es el fenómeno analizado y la representación del sistema usado, en lugar de los periodos de tiempo involucrados [9].

24

Figura 6. Principales colapsos de voltaje en el mundo en los últimos 20 años

Algunos rangos típicos de tiempo para los estudios de estabilidad son: Periodo corto: 0 a 10 segundos. (Estabilidad transitoria) Medio plazo: 10 segundos a algunos minutos. (Estabilidad dinámica) Largo plazo: algunos minutos a decenas de minutos. (Estabilidad de régimen permanente)

El diagrama de la Figura 7 muestra en forma sintética los diferentes tipos de estabilidad descritos anteriormente, cada uno de ellos asociados a una gama de fenómenos [9].

1.2 INTRODUCCIÓN A LAS OSCILACIONES ELECTROMECÁNICAS

Los SEPs en estado estable operan a una frecuencia de 60 Hz (algunos a 50 Hz). Esta es la frecuencia necesaria para todas las variables eléctricas en los SEPs AC. Pero cuando se dice que el sistema está oscilando, lo que se quiere denotar es la presencia no deseada de oscilaciones diferentes a 60 Hz en tales variables. Estas oscilaciones se deben a la variedad de interacciones entre los componentes de los SEPs.

25

Figura 7. Clasificación de la estabilidad en SEPs

Las oscilaciones son iniciadas por cambios en la topología o en las condiciones operativas del sistema. Las perturbaciones pueden ser pequeñas (por ej. cambios constantes en la carga) o severas (por ej. una falla trifásica en una línea de transmisión).

Cuando las oscilaciones involucran las masas rodantes de los generadores, se denominan oscilaciones electromecánicas o de potencia. Las oscilaciones

26

debidas a cambios severos se denominan oscilaciones transitorias y son estudiadas por la estabilidad transitoria.

Las oscilaciones iniciadas por las pequeñas perturbaciones ocurren constantemente, ya que en todo momento se están haciendo ajustes en la generación, en la demanda, en los controles, etc. Estas oscilaciones son de baja frecuencia y se pueden dividir según los elementos involucrados en los siguientes tipos de oscilaciones:

Oscilaciones electromecánicas.

Oscilaciones asociadas con los controles.

Oscilaciones subsincrónicas (resonancia subsíncrona).

Estas oscilaciones están relacionadas directamente con los modos estudiados por la estabilidad de pequeña señal, como se puede ver en la Figura 8. Es de aclarar que un “modo” se entiende como una resonancia del sistema (frecuencia de oscilación natural del sistema), que se identifica por una combinación de su frecuencia de oscilación, amortiguamiento y diagrama de participaciones; el diagrama de participaciones indica que elementos del sistema oscilan entre sí. De la misma forma que se habla de un modo o una frecuencia de resonancia en un circuito LC, en un SEP se puede hablar de muchos modos de oscilación diferentes.

Más adelante se mostrara que cada modo de oscilación se representa por un

número complejo ( ), donde:

j (1.5)

La parte real de los valores propios ( ) cuantifica el amortiguamiento del modo,

y la imaginaria ( ) la frecuencia de oscilación.

Si se desea el radio de amortiguamiento (tasa de disminución de la amplitud de la oscilación del modo) se calcula como:

22 (1.6)

Continuamente en el sistema se superponen los modos (en su mayoría locales e inter-áreas), debido a los continuos cambios de la demanda, la generación, las ganancias de controles, etc. Lo que explica las variaciones de potencia por las líneas de interconexión (ver ejemplo en la Figura 9.).

27

Figura 8. Oscilaciones estudiadas por la estabilidad de pequeña señal.

Pro

ble

mas

de o

scila

ciones

ele

ctro

mecá

nic

as

Inestabilidadno oscilatoria

Estabilidad de pequeñaseñal

Pro

ble

mas

de

reso

nanci

asu

bsi

ncr

ónic

a

Inestabilidadoscilatoria

Modos detorsión

Modos decontrol

Modosinterárea

Modoslocales

Pro

ble

mas

de

inest

abili

dad d

evo

ltaje

Este problema de inestabilidad no ocurreen los sistemas actuales de potencia porla presencia de los reguladores de voltaje

Estos modos están asociados a las oscilacionesde baja frecuencia en los sistemas de potencia.Durante estas oscilaciones los generadoresintercambian energía eléctrica a través de lared. Este tipo de modos son los que hanocasionado históricamente incidentes deoscilaciones de potencia inestables o pocoamortiguadas.

Están relacionados con la tendencia de laspartes constitutivas de la turbina a oscilarentre si y respecto a la red eléctrica donde elgenerador está conectado.

Están asociados a variables eléctricas de losgeneradores y los controles. Reguladores devoltaje mal ajustadas, reguladores develocidad, convertidores de potencia AC-DC, ycompensadores estáticos son las causasusuales de inestabilidad de estos modos.

1.2.1 Oscilaciones de potencia locales e inter-áreas

Las oscilaciones electromecánicas u oscilaciones de potencia son imposibles de evitar y siempre están presentes en los SEPs; se originan por cambios pequeños y continuos en los equipos o en las condiciones del sistema*, como por ejemplo los cambios en la generación y la carga. Aunque las oscilaciones afectan muchas variables del sistema (voltajes, corrientes, frecuencias, etc.), la

* Un SEP es un sistema dinámico, es decir, continuamente está modificando su estado, ó sea, los SEPs no son sistemas estáticos o estacionarios.

28

velocidad de los generadores y la potencia que fluye por la red son las que más se ven afectadas. Cuando se presentan estos cambios, las unidades generadoras, en el intento de encontrar nuevos puntos de operación estables, responden con oscilaciones que pueden afectar toda la red [5].

Figura 9. Flujo de potencia trifásico por una línea de interconexión.

Fluj

o de

pot

enci

a (M

W)

tiempo del día (seg)

200

210

220

230

3300 3320 3340 3360

5 MW

Cuando ocurren estas oscilaciones de potencia en el sistema, las máquinas sincrónicas intercambian energía cinética en forma de potencia eléctrica a través de la red, de tres formas posibles*[9] como se observa en la Figura 10.

Un generador oscila contra el resto del sistema. Esta forma de oscilación es la más común de las tres, y está asociada con los modos máquina-sistema o también llamados planta-sistema. Este tipo de oscilaciones son causadas, generalmente, por reguladores automáticos de voltaje de sistemas de excitación (AVRs) de generadores que operan con altas salidas y están conectados al sistema por medio de interconexiones largas y radiales (conexión débil); el problema se agudiza con sistemas de excitación de alta respuesta. Las características de los modos de oscilación máquina-sistema han sido suficientemente estudiados, y su amortiguamiento se logra eficazmente con estabilizadores de SEPs (control suplementario de los sistemas de excitación).

Un grupo pequeño de generadores oscilan en fase o en contra de otros

grupos de generadores de la misma área. Esta forma de oscilación no es bien amortiguada por el sistema y está asociada a los modos inter-máquinas, inter-plantas o también llamados intra-áreas del sistema.

* Algunos textos como [5] mencionan una cuarta forma de oscilación: oscilaciones entre unidades de una misma central cuyo rango típico de oscilación es de 2 a 3 Hz.

29

Los generadores de un área oscilan en contra de generadores de otras

áreas. Esta forma de oscilación es la más grave, está asociada a los modos inter-áreas del sistema y tiene una frecuencia típica de oscilación de 0.1 a 1 Hz. Las características de esta forma de oscilación son más complejas, y en muchos aspectos diferentes a las dos formas anteriores.

Las dos primeras formas de oscilación solo involucran una pequeña parte del sistema, por lo cual representan un problema local. Los modos máquina-sistema e inter-máquina conforman los llamados modos locales; estos modos tienen frecuencias en el rango de 1 a 2 Hz.

En los SEPs, las oscilaciones que mayor traumatismo causan son las asociadas a los modos inter-áreas, ya que tienen menor amortiguamiento y menor frecuencia, su aparición causa fluctuaciones perceptibles en los voltajes del sistema, y las variaciones de potencia suelen alterar las protecciones de los equipos e incluso causar su actuación.

Figura 10. Modos inter-área y local.

Mod

o inter-área

P3-

4 (

MW

)

P3-

4 (

MW

)

Modointer-máquina

Modomáquina-sistema

Mod

os locales

30

Esta oscilaciones, en una forma muy general, ocurren cuando se involucran generadores de alta constante de inercia, generadores con uniones débiles a los sistemas de transmisión, o generadores con niveles de carga muy altos (cercanos al 100%). La estabilidad de pequeña señal, permite estudiar las oscilaciones de potencia, ya que son la consecuencia de pequeñas perturbaciones en el sistema. Pero como se ve en la Figura 8, la estabilidad de pequeña señal agrupa otros tipos de estudios (estudio de modos de torsión, modos de control), pero generalmente cuando se utiliza este término se está haciendo solo referencia al estudio de modos inter-áreas y modos locales. Entre las razones que justifican por qué se centra el estudio de estabilidad de pequeña señal en los modos de oscilación electromecánicos (modos inter-áreas y locales) están las siguientes [3], [7], [9], [12]:

Son los modos asociados a problemas globales en el sistema (oscilaciones que afectan más de una región del sistema).

Históricamente han estado asociados con incidentes de oscilaciones poco amortiguadas o inestables de baja frecuencia en SEPs alrededor del mundo.

Son modos difíciles de amortiguar (principalmente los inter-áreas).

Es conveniente reiterar que la literatura especializada algunas veces utiliza el término "estudio de estabilidad de pequeña señal" para hacer solo referencia a la estabilidad de los modos locales e inter-áreas que determinan la estabilidad de las oscilaciones electromecánicas u oscilaciones de potencia.

1.2.2 Reseña histórica

Los primeros SEPs estaban formados por generadores conectados en paralelo con líneas de baja impedancia, si ocurrían oscilaciones, eran mitigadas por los devanados de amortiguación ya que prácticamente las variaciones en el voltaje del sistema eran despreciables (por las bajas impedancias de interconexión), de esta forma los reguladores de voltaje no eran estimulados y no participaban dentro del fenómeno de oscilación.

Los sistemas actuales presentan tamaños mayores, pero un menor acople entre los generadores; debido a que los sistemas no se han expandido lo suficiente como consecuencia de las consideraciones financieras y ambientales actuales. Teniendo esto en cuenta, la respuesta de los sistemas actuales a las oscilaciones es bastante diferente a la de los sistemas antiguos. La alta impedancia externa vista por los generadores causa que los devanados amortiguadores se vuelvan poco efectivos contra las oscilaciones y que se

31

originen variaciones de voltaje en el SEP. Esto causa que los reguladores de voltaje actúen, produciendo amortiguamiento negativo (efecto no deseado), por lo que algunas veces se debe restringir la máxima potencia transferida por las líneas, o variar las ganancias de los reguladores para aumentar el amortiguamiento de las oscilaciones.

Entre los años 1920 y 1930 aparecen los primeros intentos de solución a los problemas de estabilidad en los SEPs. En un comienzo se pensaba en la máquina como una fuente de tensión inalterable, la carga como una impedancia constante y se creía que el problema se centraba exclusivamente en las redes de transmisión; pero gracias a la experimentación con modelos a escala y el avance en la teoría de SEPs, se logró establecer que la configuración del SEP y todos los equipos asociados tales como generadores, excitación, gobernador, líneas de transmisión, cargas, relés de protección, entre otros, influyen en la estabilidad del mismo.

La primera vez que se enfrentó un problema severo de estabilidad fue en los años sesenta en una interconexión entre las zonas oriental y occidental de los Estados Unidos, en este sistema aparecieron oscilaciones de baja frecuencia, las cuales lograron aislar las áreas y producir un apagón. Debido a las consecuencias ocasionadas por las fallas en las redes, derivadas de la inestabilidad de los SEPs, se despertó el interés de las empresas del sector eléctrico, ingenieros, usuarios y entes de regulación de los sistemas en el problema de la estabilidad. La atención despertada impulso el desarrollo de nuevos software, equipos para pruebas al SEP, relés de protección, compensaciones de línea, sistemas de control y estabilizadores de SEPs (PSS), con el fin de estudiar y minimizar los efectos de la inestabilidad en los SEPs.

En los años 60 y 70 el uso de los PSS fue difundido. Al final de los años 70 fue desarrollado el PSS de potencia acelerante (una potencia acelerante o desacelerante aparece cuando se presenta un desbalance entre la potencia eléctrica solicitada por el sistema al generador y la potencia mecánica aplicada a la turbina) en la Hidroeléctrica de Ontario (Canadá).

En los tiempos actuales se reconocen las bondades de los PSS, pero también se sabe que ellos solos, generalmente, no son suficientes para mitigar las oscilaciones. Actualmente se cuenta con otros equipos electrónicos de potencia para amortiguar oscilaciones como los condensadores serie controlados por tiristores (TCSCs), compensadores estáticos (SVSs), líneas de alto voltaje DC (HVDC), almacenadores de energía magnética mediante superconductores (SMESs), controladores unificados de flujo de potencia (UPFCs), y otros.

32

2. MODELAMIENTO DE LOS ELEMENTOS DE UN SEP

Los estudios de operación y planeación en SEPs están basados en simulaciones del modelo del sistema real. Los modelos son equivalentes matemáticos de los elementos del sistema que permiten prever su comportamiento mediante abstracciones matemáticas. Cada elemento del sistema es único, pero un solo elemento puede tener muchos modelos que varían en complejidad dependiendo del tipo de estudio que se desee hacer.

El objetivo principal de este capítulo es identificar factores importantes en el modelamiento de los elementos del SEP, que son requeridos para lograr exactitud en las simulaciones a realizar*. En términos generales, los modelos usados para el análisis modal son los mismos que se requieren para estudios de estabilidad transitoria.

Cualquier sistema de potencia puede modelarse usando un conjunto de n ecuaciones diferenciales y un conjunto de ecuaciones algebraicas para el estator y la red, tal que [1], [9]:

)u,y,x(fx

(2.1))y,x(g0

La primera ecuación representa las ecuaciones diferenciales y la segunda ecuación agrupa al conjunto de ecuaciones algebraicas del estator y de la red. Donde:

tfirifdidiqiiii )R,V,E,E,E,,(x .,...,1 mi (2.2)

tLLiiqidii )V,,V,,I,I(y

nml

mi

,...,1

.,...,1 (2.3)

tREFiii )V,TM(u mi ,...,1 (2.4)

Donde n es el número de barras del sistema y m es el número de barras generadoras, “x” es un vector de nx1 que contiene las variables de estado tales como los ángulos de los generadores, Fem’s, etc, “y” es un vector que contiene las variables algebraicas (generalmente voltajes en las barras y/o sus ángulos), * Es recomendable retroalimentar este capítulo con el capítulo 3.

33

y “u” es un vector rx1 con variables de entrada de parámetros tales como referencias de los generadores. Las funciones f y g se asumen que son continuas y diferenciales.

A continuación se discuten los modelos de los elementos del SEP a los cuales se les debe prestar mayor atención al momento de realizar un estudio de oscilaciones electromecánicas con el fin de obtener resultados adecuados en las simulaciones. Se consideraron los equipos y elementos del SEP, cuyos modelos son decisivos para una simulación bastante precisa de las oscilaciones de potencia. Los demás elementos que no fueron considerados, tales como, transformadores, líneas, etc., fueron incluidos en el modelo del sistema, pero no requieren atención extra, ya que el modelamiento que se hace de éstos para estabilidad transitoria es suficiente.

2.1 MÁQUINA SÍNCRONA

A diferencia de los elementos pasivos de la red (líneas, transformadores), cuyo modelado para estudios de estabilidad no difiere del que se usa habitualmente, en los estudios de régimen estacionario, la máquina síncrona debe ser modelada en una forma mucho más compleja y sofisticada.

Los modelos sencillos de líneas y transformadores que se usan al formular las ecuaciones del flujo de cargas son sustentables en estudios de estabilidad debido a que los transitorios de red son tan rápidos (a lo sumo unos pocos ciclos) que se puede asumir que la red va describiendo una sucesión de estados de equilibrio (calculables a través de las ecuaciones algebraicas del flujo de cargas) a medida que va transcurriendo la perturbación en estudio (metodo “cuasiestático” de análisis). Esta simplificación no es razonable para la máquina síncrona, cuyos transitorios (mecánicos, de los devanados del rotor, y de los sistemas de regulación de velocidad y tensión) muestran constantes de tiempo del orden de varios segundos. Se hace necesario, por lo tanto, modelar la máquina síncrona a través de un conjunto de ecuaciones no sólo algebraicas, sino también diferenciales. Estas ecuaciones deben incluir una descripción del comportamiento de la máquina en relación a las variables eléctricas (corrientes, tensiones) intercambiadas con la red, y también una descripción del comportamiento mecánico de la máquina al producirse la perturbación (se recuerda al respecto que el objeto clásico de estudio del análisis de estabilidad transitoria es la eventual pérdida de sincronismo del

34

sistema, lo cuál está directamente relacionado con las variaciones de posición relativas de los rotores de unas máquinas con respecto a otras).

No obstante, las dificultades y complejidad inherentes a un modelado excesivamente preciso justifican asumir diversas simplificaciones en los modelos usados, de forma que se pueda abordar el análisis sin complicar innecesariamente la teoría y las rutinas de cálculo. El nivel de estas simplificaciones depende del tipo de estudio a realizar (y en particular, del período de tiempo de análisis a partir de la perturbación en la red que motiva el estudio: régimen subtransitorio, transitorio o estacionario) y ha variado históricamente a lo largo del tiempo, a medida que se han ido haciendo cada vez más potentes y sofisticadas las herramientas de cálculo.

De esta forma, es posible encontrar en la literatura a la máquina síncrona modelada en forma tan simple como una fuente de tensión atrás de una reactancia (estudios de régimen y de estabilidad transitoria en la década del 70) o tan compleja como un conjunto de 7 o más bobinados acoplados electromagnéticamente a través de coeficientes de inducción propia y mutua que dependen del tiempo (estudios de estabilidad transitoria modernos).

Recordemos que los generadores sincrónicos son los elementos del SEP más importantes en los estudios de oscilaciones electromecánicas u oscilaciones de potencia ya que cuando ocurren pequeñas perturbaciones, aparecen oscilaciones en el sistema durante las cuales los generadores intercambian energía, éstas se deben a modos o respuestas naturales del sistema que se

superponen a la oscilación de operación (50 ó 60 Hz). Cuando se presentan oscilaciones, son las masas rodantes de los generadores (rotores) las que oscilan entre sí intercambiando energía cinética.

La transformación de Park es de gran ayuda al utilizarla para simplificar el análisis de máquinas sincrónicas, tal transformación lleva el circuito trifásico del estator a dos ejes que rotan a la misma velocidad, llamados eje directo y eje de cuadratura. El eje directo (eje d) esta alineado con el eje magnético del devanado de campo, y el eje de cuadratura (eje q) esta 90 o adelantado al eje d como lo muestra la Figura 11. La transformación tiene la ventaja de que anula la dependencia de las inductancias con el ángulo y representa a la máquina mediante dos circuitos equivalentes acoplados, cuyos parámetros son constantes.

35

Figura 11. Circuitos del estator y rotor de una máquina sincrónica

A continuación se muestran dos modelos de la maquina síncrona con regulador de voltaje [1].

2.1.1 Modelo A

Se emplea el modelo de dos ejes para la máquina síncrona (ver Figura 12) y para el regulador de voltaje se tiene el modelo IEEE tipo I (Ver Figura 13). No son tenidos en cuenta los efectos subtransitorios de la máquina síncrona. Las variables que representan este modelo son:

tdq1 E,E,,X Variables del generador (2.5)

tfRfd2 R,V,EX Variables del regulador (2.6)

tqd3 I,IX Variables algebraicas del generador (2.7)

2.1.1.1 Ecuaciones diferenciales.

sii

dt

d (2.8)

i

siidi

i

qiqidiqi

i

didiqi

i

ii

M.DI.

M

I.xEI.

M

I.xE

M

TM

dt

d (2.9)

36

doi

fdidi

i0d

didi

i0d

qiqi

T

EI.

T

xx

T

E

dt

Ed (2.10)

qii0q

qiqi

i0q

didi I.T

xx

T

E

dt

Ed (2.11)

Ei

Rifdi

Ei

fdiEiEfdi

T

VE.

T

)E(Sk

dt

dE (2.12)

)VVref.(T

KE.

T.T

K.KR.

T

K

T

V

dt

dVii

Ai

Aifdi

fiAi

fiAifi

Ai

Ai

Ai

RiRi (2.13)

fdi2fi

fi

fi

fifi E.T

K

T

R

dt

dR (2.14)

Figura 12. Circuito de dos ejes para la máquina síncrona (Modelo A)

dixjiRs

QiDi

)2i(j

qidi jIIe).jII(

QiDiij

i

)2i(j

qidi jVVe.Ve).jVV(

)2i(j

qiqidiqidi e.EjI).xx(E

Figura 13. Modelo del AVR IEEE tipo I (Modelo A)

- + +refV

A

A

ST1

K

EE STK

1

F

F

ST1

SK

)E(SE fd

RVfDE

37

2.1.1.2 Ecuaciones algebraicas del estator.

Las ecuaciones algebraicas del estator en forma polar, se obtienen directamente del circuito equivalente dinámico de la Figura 12, ecuaciones que también forman parte del modelo A.

Del modelo del circuito de dos ejes para la máquina síncrona se tiene:

)(j

qiqidiqidi

)(j

qidisidij

i2i2ii e.EjI).xx(Ee).jII).(Rxj(e.V0 (2.15)

.m,...,1i

Multiplicando todo por)(j

2ie :

qiqidiqidi

)(j

qididisi

)(jji EjI).xx(Ee).jII).(xjR(e.e.V0 2i2ii

(2.16)

qiqidiqiqidisididiqididisi

)(j

i EjI.xI.xEjRI.xjI.xI.Re.V0 2ii

(2.17)

qiqiqidiqisidididisiiiiiii EjI.xEI.jRI.xjI.R)cos(.jV)(sen.V0 (2.18)

Separando parte real y parte imaginaria.

diqiqidisiiii EI.xI.R)(sen.V0 (2.19)

qiqisididiiii EI.RI.x)cos(.V0 (2.20)

Organizando las ecuaciones:

qiqidisiiiidi I.xI.R)(sen.VE0 (2.21)

qisididiiiiqi I.RI.x)cos(.VE0 mi ,...,1 (2.22)

2.1.2 MODELO B

También existe otro modelo más simplificado que al igual que el anterior usa un modelo de dos ejes para la máquina síncrona (Ver Figura 14) pero para el regulador de tensión usa un modelo IEEE tipo II (Ver Figura 15), este conjunto es llamado modelo B. No son tenidos en cuenta los efectos subtransitorios de la máquina síncrona, también se desprecia el voltaje transitorio en eje directo (E’d) y el control de excitación es muy simple. Las variables que representan este modelo son:

38

tq1 )E,,(x Variables del generador. (2.23)

)E(x fd2 Variables del regulador. (2.24) t

qd3 )I,I(x Variables algebraicas del generador. (2.25)

Figura 14. Circuito de dos ejes para la máquina síncrona (Modelo B)

dixjiRs )2i(j

ii e).jIqId(

iji

)2i(j

ii e.Ve).jVqVd(

)2i(j

qididiqi e.EjI).xx(

Figura 15. Modelo del AVR IEEE tipo II (Modelo B)

+refV

A

A

ST1

K fDE

-

2.1.2.1 Ecuaciones diferenciales.

sii

dt

d(2.26)

)(M

DI.

M

I.xI.

M

I.xE

M

TM

dt

dsi

i

iqi

i

diqiqi

i

didiqi

i

ii (2.27)

i0d

ifddi

i0d

didi

i0d

qii

T

EI.

T

xx

T

E

dt

dE(2.28)

)VV(T

K

T

E

dt

dEii.REF

iA

iA

Ai

ifdifd (2.29)

.m,...,1i

39

2.1.2.2 Ecuaciones algebraicas del estator.

El análisis es igual al hecho en el modelo A para las ecuaciones algebraicas del estator, solo que para este modelo se desprecia el voltaje en eje directo

transitorio )E( d .

0I.xI.R)(senV qiqidisiiii (2.30)

0I.xI.R)cos(VE didiqisiiiiqi .m,...,1i (2.31)

2.2 CONTROL DEL REGULADOR DE VELOCIDAD

Los modos electromecánicos locales (frecuencias de 1 a 2 Hz) presentes en el sistema no se ven afectados por la respuesta de los gobernadores o reguladores, ya que ésta es demasiado lenta. Por el contrario los modos inter-

áreas (frecuencias menores a 1 Hz) se pueden ver afectados por la respuesta del regulador de velocidad, pero el efecto en ellos no es muy significativo [9] [15].

A medida que el modo disminuya en frecuencia más puede aumentar sobre él, el efecto del regulador, entrando así en su ancho de banda de respuesta. En sistemas grandes de potencia, la sensibilidad del gobernador es reducida intencionalmente para evitar interacciones adversas con los modos de oscilación del sistema. En sistemas pequeños, los reguladores son ajustados para responder rápidamente a las variaciones de frecuencia y así ayudar a amortiguar las oscilaciones de potencia. En conclusión, los gobernadores o reguladores de velocidad no afectan de forma significativa las oscilaciones de potencia, pero al no estar bien ajustados podrían influir en la disminución del amortiguamiento [9].

2.3 CONTROL DEL SISTEMA DE EXCITACIÓN

El AVR, la excitatriz y el PSS (si está presente) son los tres elementos principales en los cuales se divide el modelo del control del sistema de excitación. El sistema de excitación de los generadores es usado para cambiar el voltaje terminal y la producción de los MVAr, subsecuentemente cambiando

40

el perfil de voltaje del SEP, así al aumentar el nivel del voltaje de excitación la producción de MVAr aumenta y viceversa.

Mediante análisis de circuitos se logran determinar las funciones de transferencia de los AVRs y PSSs electrónicos (modernos) mientras que la caracterización de los AVRs convencionales (que utilizan equipos magnéticos) se logra a partir de pruebas de campo. Los AVRs modernos poseen altas ganancias y respuestas rápidas para proveer un control exacto del voltaje en terminales del generador. Estas características reducen el amortiguamiento intrínseco del generador y de aquí se desprende que aumente la inestabilidad a las oscilaciones de potencia. La reducción en amortiguamiento se puede superar adicionando un estabilizador del SEP (PSS) al control del sistema de excitación. Los PSSs utilizan como entrada, la potencia mecánica, la potencia acelerante, la velocidad, la frecuencia, o una combinación de las anteriores para adicionar torque amortiguante al generador.

La Figura 16 muestra un modelo que sirve como ejemplo de un sistema de excitación con rectificador rotativo, AVR digital y PSS [15]. Es importante recalcar que si el sistema de excitación es controlado manualmente (voltaje constante de campo) los parámetros más importantes son la constante de inercia, y los parámetros del circuito de campo de la máquina. Ahora bien, cuando se tengan sistemas de excitación automáticos, se deben tener en cuenta sus datos, ya que como es de esperarse, estos juegan un papel importante en la naturaleza de los modos electromecánicos [6].

2.4 CARGAS

Según el método de análisis que se este usando y del fenómeno bajo investigación se emplea un determinado tipo de modelo. El nivel de voltaje al que la carga modelada esta conectada es un aspecto importante para definir su representación, pues en bajos niveles, ésta es componente por componente, mientras que si las cargas se representan para estudios en altos niveles de voltaje, las cargas individuales se deben simplificar (proceso de agregación).

Normalmente las variables de entrada al modelo son el voltaje y la frecuencia de la barra en la cual esta conectada la carga; sus salidas son las potencias activa y reactiva demandadas. Los modelos de carga se dividen en modelos estáticos y dinámicos, los cuales pueden ser linealizados alrededor de un punto de operación de estado estable.

41

Figura 16. Ejemplo de un sistema de excitación

42

2.4.1 Modelo de carga estática

El modelo de carga estática se puede representar matemáticamente mediante las siguientes expresiones:

n21 Np

0n

Np

02

Np

01p0 V

Va

V

Va

V

VafM1PP (2.32)

n21 Nq

0n

Nq

02

Nq

01q0 V

Vb

V

Vb

V

VbfM1QQ (2.33)

Donde:

P: Potencia activa de la carga.

Q: Potencia reactiva de la carga.

V: voltaje de la barra en donde está conectada la carga.

f: Desviación de la frecuencia de la barra.

Npi, Nqi, Mp, Mq son los parámetros del modelo de la carga.

El subíndice 0 denota estado estable o cantidad nominal.

Existen expresiones comúnmente usadas en SEPs, éstas se obtienen a partir de las anteriores eliminando en ellas la dependencia de la carga con la frecuencia y llevando la dependencia con el voltaje a un solo índice.

Np

00 V

VPP

Nq

00 V

VQQ (2.34)

Los coeficientes Np y Nq pueden tomar valores reales positivos, pero existen casos especiales que consideran al modelo como la representación de una carga de impedancia constante, corriente constante o potencia constante, en este caso los valores para estos exponentes son iguales a 2, 1 y 0 respectivamente. Típicamente, para cargas agregadas, Np está en el rango de 1 a 2 y Nq en el rango 2 a 4. A continuación se muestra la forma linealizada de estos modelos:

00p V

VPNP

00q V

VQNQ (2.35)

43

Np y Nq representan las sensibilidades potencia – voltaje de la carga es decir son los diferenciales:

dV

dPNP dV

dQNq (2.36)

Es de aclarar que los modelos de carga estática son válidos solo para rangos pequeños de variación de voltaje. Si estos modelos se usan en simulaciones con grandes cambios de voltaje se introducen grandes errores como resultado del comportamiento no lineal del sistema. Por ejemplo, estos modelos deben usarse con mucho cuidado en estudios de estabilidad transitoria.

2.4.2 Modelo de carga dinámica

Los modelos de carga dinámica se utilizan debido a la existencia de grandes cantidades de cargas motorizadas* en los SEPs [9].

En la Figura 17 se puede observar el modelo equivalente del motor de inducción (se encuentra en mayor numero entre toda la carga motorizada) con las cantidades del rotor referidas al estator. Este equivalente y la ecuación de movimiento representan los efectos dinámicos de la carga.

Figura 17. Circuito equivalente de un motor de inducción

Los parámetros del circuito de la Figura 14 son:

R1 : resistencia del estator.

X1 : reactancia del estator.

X2' : reactancia del rotor referida al estator.

R2'/s : carga mecánica y resistencia del rotor referida al estator.

X0 : reactancia de magnetización.

s : deslizamiento.

* Normalmente los motores consumen del 40 al 70% de la potencia de un sistema, por lo que las características dinámicas atribuidas a la carga se deben al comportamiento dinámico de los motores [1]. Para el caso colombiano el porcentaje es de un 34%.

44

3. HERRAMIENTA DE ANÁLISIS

La principal herramienta para analizar el comportamiento oscilatorio y la estabilidad de voltaje de los SEPs, son los estudios de estabilidad de pequeña señal [9] [16], ésta estudia la respuesta del sistema cuando está sujeto a pequeñas perturbaciones; Ya que dichas perturbaciones ocurren frecuentemente, garantizar que el SEP presente buen amortiguamiento a estas, se torna un requerimiento fundamental para una operación satisfactoria.

Los estudios de oscilaciones electromecánicas pueden ser abordados de dos maneras [9] [15] [16]:

El análisis modal. Estudia las oscilaciones por medio del análisis de los modos de oscilación del sistema.

La identificación modal. Obtiene o identifica los modos a partir de la respuesta transitoria del sistema ante diferentes perturbaciones.

Estos dos métodos no deben entenderse como métodos opuestos, sino como procedimientos complementarios, ya que la identificación modal constituye la principal herramienta para verificar los resultados del análisis modal.

En este capítulo*, se presenta un relato de la técnica y la terminología matemática usada en el análisis modal de SEPs. Para lograr esto, se introducen aspectos fundamentales de la estabilidad de sistemas dinámicos.

3.1 ANÁLISIS MODAL

El análisis modal, es una técnica matemática usada para analizar la estabilidad de pequeña señal de diferentes SEPs. Esta es una técnica que puede clasificarse dentro de los métodos de análisis de sistemas dinámicos pero no corresponde a simulaciones en el tiempo. Se basa en la linealización del modelo no lineal del SEP alrededor de un punto de equilibrio representado por una condición de estado estable en la operación del sistema. Teniendo el modelo linealizado, se analiza el amortiguamiento de las oscilaciones con base

* Para esta sección se tienen como principales fuentes bibliográficas las referencias [4], [5] y [8].

45

en los modos naturales del sistema (valores propios). Si el sistema no es lo suficientemente amortiguado, las oscilaciones, que se originan por cambios pequeños en la demanda, en la generación o en ajustes de controles, podrían crecer en amplitud y arriesgar la estabilidad del sistema. Este método se emplea para determinar las áreas más débiles del sistema y para obtener información con respecto al aporte de cada uno de los mecanismos en la inestabilidad, por medio del cálculo de factores de participación (estos factores muestran la influencia de una determinada variable en un determinado modo).

La estabilidad de pequeña señal, de una manera simple, se puede definir como una herramienta que permite analizar la “fortaleza” o “solidez”, del punto de operación o de equilibrio alrededor del cual se hace la linealización del sistema. Esta definición se comprende cuando se vea que el análisis modal realiza pequeños incrementos en las variables del sistema para estudiar su respuesta (estable o inestable). Esto es precisamente lo que le ocurre a los SEPs en la operación real, ya que continuamente se presentan pequeñas variaciones, a las cuales, las unidades generadoras reaccionan, conduciendo el sistema a oscilaciones en el intento de encontrar nuevos puntos de operación.

3.1.1 Análisis matemático

El comportamiento de un sistema dinámico**, como es el caso de un sistema SEP, puede ser descrito por un conjunto de n ecuaciones diferenciales ordinarias no lineales de primer orden, de la siguiente manera:

3.1.1.1 Ecuaciones de estado

(t))u(t),...,u(t),u(t),x(t),...,x(t),(xf(t)xt

(t)xr21n21ii

i (3.1)

Donde:

i = 1, 2,...., n

n = orden de los sistemas = número de variables de estado.

r = número de entradas.

** Un sistema dinámico es aquel que presenta dependencia con el tiempo.

46

Ahora usando notación vectorial se puede escribir:

uxfx , (3.2)

Donde:

n

2

1

x

x

x

x (3.3)

r

2

1

u

u

u

u

n

2

1

f

f

f

f

Al vector columna x se le llama vector de estado, y las entradas xi variables de estado o variables dinámicas. El vector columna u es el vector de entradas del sistema (estas son señales externas que afectan el sistema) y las derivadas de

las variables de estado respecto al tiempo se denotan por .x

3.1.1.2 Ecuaciones de salida

Generalmente interesa observar algunas variables de salida del sistema. Estas se pueden expresar en función de las variables de estado y de las entradas. Las ecuaciones de salida se pueden expresar como:

(t))u(t),...,u(t),u(t),x(t),...,x(t),(xg(t)y r21n21jj (3.4)

Donde:j = 1, 2,…...., m. m = número de salidas.

De manera vectorial:

uxgy , (3.5)

Donde:

m

2

1

y

y

y

y (3.6)

m

2

1

g

g

g

g

El vector columna y es de variables de salida y g es un vector de funciones no lineales que relacionan las variables de estado y las entradas con las salidas.

47

El conjunto de las n ecuaciones de estado y las m ecuaciones de salida forman las ecuaciones dinámicas. Las n variables de estado y las r entradas del sistema brindan una completa descripción de su comportamiento. Las variables de estado pueden ser cantidades físicas como ángulos, velocidades, voltajes, o pueden ser abstracciones matemáticas asociadas con las ecuaciones diferenciales que describen el sistema dinámico.

3.1.1.3 Linealización

Ya que el interés de estudio en el sistema recae en un punto singular (o de equilibrio) de funcionamiento no es útil usar el modelo no lineal del sistema para poderlo estudiar. Lo más eficaz es utilizar una aproximación lineal del modelo en el punto singular estudiado, porque se pasa de un modelo no lineal a uno lineal (menor complejidad).

La linealización permite concentrarse en un solo punto de operación del sistema y estudiar cual es su comportamiento ante pequeñas perturbaciones que ocurren continuamente en las variables de estado ( x) y en las entradas del sistema o variables de control ( u)

Para un sistema no lineal representado en espacio de estado se tiene que:

uxfxx

,t

(3.7)

Cuando se da que son simultáneamente cero se puede decir que el

sistema ha alcanzado el punto singular de operación alrededor del cual se realiza la linealización, por lo cual se puede decir que se conoce el valor inicial de las variables de estado (x

n21 x,,x,x

0) y las entradas del sistema (u0); en este punto se cumple que:

0, 00 uxfx (3.8)

El sistema inicialmente en equilibrio se perturba, entonces:

uuxxfx

xxx

, 00

0 (3.9)

48

Ya que las perturbaciones son pequeñas, las función f(x,u) se puede expresar en términos de la serie de Taylor, despreciando los términos de potencias de segundo orden y superiores de x y u; queda entonces:

rr

i1

1

in

n

i1

1

i00iii0i

00iii0i

uu

fu

u

fx

x

fx

x

f,

,

uxfxxx

uuxxfxxx (3.10)

Pero como , se da que: 00ii0 ,uxfx

rr

i1

1

in

n

i1

1

ii u

u

fu

u

fx

x

fx

x

fx (3.11)

Con i = 1, 2,…, n

De manera similar se procede para uxgy , y se obtiene:

rr

j1

1

jn

n

j1

1

jj u

u

gu

u

gx

x

gx

x

gy (3.12)

Con i = 1, 2,…, m.

Llegando así a la forma linealizada :

= A x + B ux(3.13)

y = C x + D u

Con:

r

m

1

m

r

1

1

1

n

m

1

m

n

1

1

1

r

n

1

n

r

1

1

1

n

n

1

n

n

1

1

1

u

g

u

g

u

g

u

g

x

g

x

g

x

g

x

g

u

f

u

f

u

f

u

f

x

f

x

f

x

f

x

f

DC

BA

(3.14)

49

Donde:

x = vector de estado de dimensión n.

y = vector de salida de dimensión m.

u = vector de entrada de dimensión r.

A = Matriz de estado o planta (nxn).

B = Matriz de entrada o control (nxr).

C = Matriz de salida (mxn).

D = Matriz que contiene la relación entre entradas y salidas (mxr).

Se puede observar que la matriz A es la matriz Jacobiana que se utiliza en un flujo de carga común, de donde se sabe que los elementos aij son las derivadas

parcialesj

i

x

fevaluadas en el punto de operación singular para el cual se

realiza el análisis de pequeña señal. A esta matriz se le llama normalmente matriz de planta o de estado, términos introducidos de la teoría de control. La estabilidad de pequeña señal está regida por los valores propios de la matriz A;así, los modos naturales de oscilación con los que el sistema responde a las continuas perturbaciones dependen directamente de estos valores propios.

Aplicando la transformada de Laplace al anterior sistema de ecuaciones [2]:

s X(s) - x(0) = A X(s) + B U(s) (3.15)

Y(s) = C X(s) + D U(s)

Realizando las operaciones matemáticas necesarias y reemplazando en la ecuación de salida se obtiene:

sUDsUB0xAsIdet

AsIadjCsY (3.16)

Los polos de X(s) y Y(s) son raíces de la ecuación característica de la matriz A y las raíces de la ecuación característica son los valores propios de la matriz A.

A)det(sI = 0 Ecuación Característica de A (3.17)

50

3.1.1.4 Valores propios

Los valores propios de A, son todos los para los cuales existe una solución no trivial ( 0) de la ecuación:

A = (3.18)

Los valores propios se obtienen al resolver la ecuación característica de la matriz A:

0I)-det(A (3.19)

Las n soluciones que satisfacen la ecuación característica, son llamados valores propios de la matriz A y tienen las siguientes propiedades [2] [9] [11]:

El número de valores propios es igual al número de estados del sistema.

Los valores propios representan los modos naturales de oscilación de un sistema físico y caracterizan su respuesta temporal ante una pequeña perturbación.

Para un sistema estable todos los valores propios tienen parte real negativa.

En la Figura 18 se han representado las respuestas asociadas a diferentes valores propios. Como se observa los valores propios del semiplano izquierdo se asocian a respuestas de tipo estable mientras que los del semiplano derecho son asociados con respuestas inestables del sistema [].

3.1.1.4.1 Valores propios reales

Un valor propio real corresponde a un modo no oscilatorio, así:

Un valor propio real negativo representa un decaimiento del modo, mientras más grande es la magnitud del modo mas rápido decae.

Un valor propio real positivo representa una inestabilidad aperiódica.

51

Figura 18. Respuesta asociada a la naturaleza de cada valor propio

Para = 0, < 0 respuesta unidireccional amortiguada.

Para 0, < 0 respuesta oscilatoria amortiguada.

Para 0, = 0 respuesta oscilación de amplitud constante.

Para 0, > 0 respuesta oscilatoria con oscilaciones crecientes sin limite.

Para = 0, > 0 respuesta unidireccional monótonamente creciente.

3.1.1.4.2 Valores propios complejos

Un valor propio complejo ocurre en pares conjugados y cada par corresponde a un modo de oscilación.

Cada modo de oscilación se representa por un valor propio complejo ( ),donde:

La parte real ( ) será una medida del amortiguamiento del modo: 1. Una parte real negativa representa una oscilación amortiguada. 2. Una parte real positiva representa una oscilación que incrementa

su amplitud.

La parte imaginaria ( ) da una medida de la velocidad angular de la oscilación que el modo representa.

52

Dado un valor propio complejo:

2nn 1j (3.20)

Se tiene que:

n = Frecuencia natural de oscilación.

= Porcentaje de disminución de la amplitud de la oscilación del modo.

Para un modo de oscilación representado por un valor propio complejo ± j ,su frecuencia natural de oscilación y razón de amortiguamiento están dadas por:

n 22 (3.21)

Es considerado adecuado si todos los modos electromecánicos tienen un porcentaje de disminución de amplitud o amortiguamiento superior al 5% cuando el sistema cuenta con todos los vínculos de transmisión y superior al 3% para el caso de la pérdida de un elemento. En la Figura 19 se presentan, como ejemplo, dos gráficas de oscilaciones con distinto valor de .

3.1.1.5 Vectores propios

Cualquier vector pi diferente de cero que satisface la ecuación matricial.

0A)p-I( ii (3.22)

Se conoce como vector propio o vector característico de A, asociado con el auto valor i, es decir, por cada auto valor se tiene un auto vector.

3.1.1.5.1 Vectores propios derechos

Para cualquier i, el vector columna i que satisface la ecuación:

A i = i i (i = 1,2,…n) (3.23)

Es llamado vector propio derecho de A, asociado con el auto valor i. El k-ésimo elemento de i mide la actividad de la variable de estado Xk en el i-ésimo

53

modo. La magnitud de los elementos de i da la actividad de las n variables de estado en el modo i.

Figura 19. Ejemplo para deferentes valores de amortiguamiento ( )

3.1.1.5.2 Vectores propios izquierdos

Para cualquier i, el vector fila i que satisface la ecuación:

iA = i i (i = 1,2,....,n) (3.24)

Es llamado vector propio izquierdo de A, asociado con el auto valor i. El k-ésimo elemento de i da una medida de la contribución de la variable de estado Xk en el modo i-ésimo. El vector propio izquierdo, identifica cual combinación de las variables de estado muestra el modo i-ésimo.

El vector propio izquierdo mide la eficiencia de una real acción de control en diferentes oscilaciones, por lo tanto los vectores propios izquierdos pueden ser utilizados para la determinación del sitio de control. Los autovectores izquierdos y derechos que pertenecen a diferentes autovalores propios son ortogonales, así:

i i = 0 (3.25)

54

Los autovectores izquierdos y derechos que pertenecen al mismo valor propio cumple con:

i i = Ci (Ci 0) (3.26)

3.1.1.5.3 Factor de participación

La Utilización de los vectores propios para identificar la relación entre las variables de estado y los modos de oscilación, presenta el inconveniente que los vectores propios dependen de las unidades asociadas a las variables de estado. Como solución a este problema, una matriz llamada la matriz de participación (P), combina los vectores propios derechos e izquierdos, para medir la relación entre las variables de estado y los modos.

P = [P1 P2 … Pn] (3.27)

Con i= I, 2,…, n (3.28)

inni

2ii2

1ii1

ni

i2

i1

i

P

P

P

P

Donde:

ki es la k-ésima entrada del vector propio derecho i.

ik es la k-ésima entrada del vector propio izquierdo i.

El elemento pki = ki ik es llamado factor de participación y determina la participación relativa de la k-ésima variable de estado en el i-ésimo modo de oscilación y viceversa. Esta matriz combina vectores propios izquierdos y derechos, dando una medida de la asociación entre las variables de estado y los modos de oscilación.

Sabiendo que el factor de participación es pki = ki ik, cada parámetro representa:

El k-ésimo elemento de i ( ki) mide la actividad de la variable de estado Xk en el i-ésimo modo.

El k-ésimo elemento de i ( ik) pesa la contribución de esta actividad de la variable de estado Xk, en el modo i-ésimo.

Pki mide la contribución conjunta.

55

La suma de los factores de participación asociados con algún modo o con alguna variable de estado es igual a 1.

Si se relaciona el factor de participación pki con la sensibilidad, este es igual a la sensibilidad del valor propio i respecto a los elementos de la diagonal akk de la matriz de estado A.

kk

iki a

p (3.29)

3.1.2 Identificación de los modos electromecánicos

La identificación de los diferentes modos electromecánicos presentes en el sistema se puede llevar a cabo utilizando la matriz P anteriormente definida, dichos modos de oscilación se pueden clasificar en dos grupos, modos electromecánicos y modos de control, el primer grupo determina la manera como se presentarán las oscilaciones, es decir, éste definirá la naturaleza de los modos de oscilación, mientras que el segundo permite estudiar la estabilidad de voltaje (El sistema será inestable en voltaje cuando un modo de control se cruza hacia el lado derecho del plano complejo) [9] [14] [15] [16].

La manera de identificar lo modos de oscilación electromecánicos y de control recurre a la matriz P [9] [15]:

Un modo es electromecánico, si el elemento pki de mayor magnitud en el

vector de participación Pi está asociado a una variable de estado xi que representa una velocidad o un ángulo de rotor de un generador.

Un modo es de control, cuando no es un modo electromecánico.

El número total de modos (electromecánicos y de control) de un sistema depende del número de variables de estado utilizadas para representarlo, pero el número de modos electromecánicos siempre va ser igual a n-1, donde n es el número de máquinas del sistema.

Sobre la matriz P se puede visualizar de manera simple la contribución de cada variable de estado en cada modo y viceversa, lo anterior se puede observar asociando a las filas las variables de estado y a las columnas los diferentes modos; de esta manera resulta sencillo ver que P32 mide la participación de la variable de estado x3 en el modo 2, así:

56

4321

4

3

2

1

44434241

34333231

24232221

14131211

x

x

x

x

PPPP

PPPP

PPPP

PPPP

P

(3.29)

3.1.3 Clasificación de los modos electromecánicos

Los modos electromecánicos como se vio en secciones anteriores están conformados por los modos locales e inter-áreas. Un modo de oscilación es local o inter-área dependiendo de la respuesta de los rotores de los generadores. Dicha respuesta se puede cuantificar por los elementos del vector propio derecho ( i) asociados a variables de estado que representen ángulos de rotores de los diferentes generadores.

Se llevan a un plano complejo todos los ki asociados al i-ésimo modo (modo identificado como electromecánico) y a la k-ésima variable de estado (variable de estado que representa un ángulo de rotor), partiendo de ésta gráfica se determina si el modo electromecánico analizado es local o inter-área haciendo una comparación entre magnitudes y direcciones de todos los modos.

La Figura 20 muestra como un modo electromecánico (asociado al valor propio

1 = -a ± jb), corresponde a un modo inter-área, pues los generadores uno y dos oscilan en contra de los generadores tres y cuatro, y el generador cinco prácticamente no participa en las oscilaciones. La Figura 21 muestra como otro

modo electromecánico ( 3 = -c ± jd) corresponde a un modo local máquina-sistema, ya que el generador cinco oscila contra el resto de los generadores. i

clasifica al mismo tiempo al modo relacionado con i y con su conjugado, al representar un valor propio con su conjugado finalmente un solo modo.

El uso del diagrama de participación de los generadores es muy común para determinar la forma en que influyen en un modo determinado, este diagrama se construye tomando las partes reales de los elementos normalizados del vector propio derecho asociados a ángulos de rotor de generadores; la normalización consiste en dividir los elementos del vector propio derecho por el fasor de mayor magnitud del mismo vector.

57

Figura 20. Modo electromecánico inter-área

Las Figuras 22 y 23 muestran como deberían ser los diagramas de participación de los generadores para el par de modos electromecánicos ilustrados anteriormente. Así como se clasificaron con la información gráfica de las Figuras 20 y 21, estos diagramas también permiten clasificar de manera similar dichos los modos. La ventaja de trabajar con estos diagramas es que siempre se utilizan números reales que varían entre -1 y 1 en lugar de números complejos; la magnitud de la parte real de cada valor normalizado cuantifica la participación del generador en el modo, y su signo permite agrupar los conjuntos de generadores que oscilan entre si.

58

Figura 21. Modo electromecánico máquina-sistema

Figura 22. Diagrama de participación para el modo inter-área

59

Figura 23. Diagrama de participación para el modo máquina-sistema

60

4. ESTUDIO DE MODOS ELECTROMECÁNICOS EN SISTEMAS DE

PRUEBA

Con el objetivo de analizar las oscilaciones electromecánicas que se presentan en los SEPs se proponen dos casos de estudio, el primero es el popular sistema IEEE Western System Coordinating Council (WSCC) y el segundo es un sistema de prueba simple e hipotético que ha sido ampliamente divulgado en la literatura [9] [14] [15] y en estudios e investigaciones de oscilaciones electromecánicas; cuyas características topológicas favorecen la aparición de oscilaciones de potencia entre áreas.

4.1 DESCRIPCIÓN DEL PRIMER SISTEMA DE PRUEBA

El sistema IEEE Western System Coordinating Council (Ilustrado en la Figura 24) incluye 3 unidades generadoras y la potencia suministrada por cada una de ellas, las cargas, los parámetros de las líneas y los transformadores son diferentes entre sí. Las Tablas 1, 2 y 3 muestran los parámetros de los elementos usados en dicho sistema*.

Figura 24. Sistema de prueba (WSCC)

* Se utilizaron los modelos tipo IV para las máquinas generadoras y tipo III para los AVR con los cuales cuenta PSAT.

61

Tabla 1. Parámetros de los generadores Parámetros Gen 1 Gen 2 Gen 3

H(s) 23,64 6.4 3.01

Xd(pu) 0,146 0.8958 1.3125

X´d(pu) 0,0608 0.1198 0.1813

Xq(pu) 0,0969 0.8645 1.2578

X´q(pu) 0,0969 0.1969 0.25

T´do(s) 8,96 6.0 5.89

T´qo(s) 0,31 0.535 0.6

Tabla 2. Parámetros de los AVR

Parámetros AVR 1 AVR 2 AVR 3

µo 200 200 200

T1(s) 0 0 0

T2(s) 0,016 0,016 0,016

Tr(s) 0,01 0,01 0,01

Tabla 3. Ybus del sistema de prueba -17.361j 0 0 17.361j 0 0 0 0 0

0 -16j 0 0 0 0 16j 0 00 0 -17.065j 0 0 0 0 0 17.065j

17.361j 0 0 3.307-39.309j -1.365+11.604j -1.942+10.511j 0 0 00 0 0 -1.365+11.604j 2.553-17.338j 0 -1.188+5.975j 0 00 0 0 -1.942+10.511j 0 3.224-15.841j 0 0 -1.282+5.588j 0 16j 0 0 -1.188+5.975j 0 2.805-35.446j -1.617+13.698j 00 0 0 0 0 0 -1.617+13.698j 2.772-23.303j -1.155+9.784j 0 0 17.065j 0 0 -1.282+5.588j 0 -1.155+9.784 2.437-32.154j

4.1.1 Análisis modal para el primer sistema de prueba

El PSAT inicializa todas las variables del sistema a partir de un flujo de carga determinado, el cual depende de la forma como sean despachadas las máquinas generadoras del sistema. En esta sección se estudia el sistema de prueba WSCC para tres puntos de operación diferentes denominados como carga nominal, sobrecarga y carga ligera, en donde cada uno de estos términos hace referencia a diferentes escenarios de demanda. Esta sección tiene como objetivo analizar para los tres puntos de operación mencionados anteriormente, el margen de estabilidad que posee ante la presencia de oscilaciones electromecánicas, el efecto que tendría introducir dispositivos de control PSS, además de cuál sería el punto de mejor ubicación y si se justifica desde el punto de vista económico [8] [18].

62

4.1.1.1 Sistema con carga nominal

Inicialmente se hace un análisis sin ningún tipo de control*. La Tabla 4 muestra el resultado del flujo de carga del sistema para la condición de carga nominal, tomando como base 100 MVA. Los resultados obtenidos con este flujo de carga servirán para inicializar las variables de estado cuando se linealiza el sistema alrededor de un punto de operación; con el objetivo de hallar la matriz de estado que es fundamental para identificar, clasificar, caracterizar y corregir los modos electromecánicos presentes en el WSCC.

Tabla 4. Flujo de carga para el sistema con carga nominal Bus V phase P gen Q gen P load Q load

[p.u.] [deg] [p.u.] [p.u.] [p.u.] [p.u.]Bus 1 1,04 0 0,71641021 0,27045924 0 0

Bus 2 1,025 9,28000548 1,63 0,0665366 0 0

Bus 3 1,025 4,66475133 0,85 -0,10859709 0 0

Bus 4 1,02578839 -2,2167878 0 0 0 0

Bus 5 0,99563086 -3,98880527 0 0 1,25 0,5

Bus 6 1,01265432 -3,68739617 0 0 0,9 0,3

Bus 7 1,02576937 3,71970115 0 0 0 0

Bus 8 1,01588258 0,72753608 0 0 1 0,35

Bus 9 1,03235295 1,96671607 0 0 0 0

4.1.1.1.1 Identificación de los modos electromecánicos

La Tabla 5 muestra los 12 valores propios asociados a la matriz de estado del sistema, cuatro de ellos (dos pares de valores propios conjugados) corresponden a dos modos electromecánicos (modos 1, 2, 3 y 4), los cuales, se encuentran resaltados en amarillo* *, también es posible apreciar sus respectivas frecuencias de oscilación y amortiguamiento relativo.

Existe un modo de control inestable, el cual se encuentra resaltado en rojo, indica que el sistema puede ser inestable en voltaje. Otra forma de identificar los modos electromecánicos del sistema es a partir la matriz de participación que PSAT genera y entrega; sobre la cual se hizo énfasis en el capítulo tres, dicha matriz combina los vectores propios derechos e izquierdos para medir la relación entre las variables de estado y los modos del sistema.

* Para la excitación de las máquinas se considera voltaje de campo constante. **En el documento impreso se observan las partes resaltadas en diferentes tonalidades de gris, el lector podrá observar el original a color en su versión magnética.

63

Tabla 5. Valores propios asociados a la matriz de estado para el sistema con carga nominal y sin ningún tipo de control.

STATE MATRIX EIGENVALUES Eigevalue Most Associated States Real part Imag. Part Frequency (%) Eig As 1 delta_Syn_3, omega_Syn_3 -0,72513 12,74952 2,02914439 5,67833159

Eig As 2 delta_Syn_3, omega_Syn_3 -0,72513 -12,74952 2,02914439 5,67833159

Eig As 3 delta_Syn_2, omega_Syn_2 -0,19731 8,37731 1,33328718 2,35463765

Eig As 4 omega_Syn_2, delta_Syn_2 -0,19731 -8,37731 1,33328718 2,35463765

Eig As 5 e1d_Syn_2 -5,1354 0 0

Eig As 6 e1d_Syn_3 -3,40711 0 0

Eig As 7 e1q_Syn_2 0,047 0 0

Eig As 8 e1q_Syn_1 -0,15534 0 0

Eig As 9 e1q_Syn_3 -0,17392 0 0

Eig As 10 omega_Syn_1 0 0 0

Eig As 11 delta_Syn_1 0 0 0

Eig As 12 e1d_Syn_1 -3,22581 0 0

La Tabla 6 muestra sólo los modos electromecánicos (ahora 13, 14, 15 y 16) con sus respectivas frecuencias de oscilación y radio de amortiguamiento, obtenidos al introducir los reguladores automáticos de voltaje (AVR) en las máquinas generadoras.

Contrario a lo que se esperaba, la inclusión de AVRs tuvo como consecuencia un aumento en la magnitud del radio de amortiguamiento de ambos modos electromecánicos, debido a que el punto de operación en el que está trabajando el sistema no es muy exigente. Además, se observó que la parte real del modo de control se volvió negativa, es decir, se convirtió en un modo estable.

Tabla 6. Valores propios asociados a la matriz de estado utilizando AVR con carga nominal.

STATE MATRIX EIGENVALUES Eigevalue Most Associated States Real part Imag. Part Frequency (%) Eig As 13 delta_Syn_3, omega_Syn_3 -0,92761 13,1777 2,09729119 7,02186504


Eig As 15 delta_Syn_2, omega_Syn_2 -0,26974 8,62219 1,37226095 3,12690973


4.1.1.1.2 Clasificación de los modos electromecánicos

Los modos electromecánicos se pueden clasificar como modos locales e inter-áreas. Un modo de oscilación es local o inter-área dependiendo de la respuesta de los rotores de los generadores. Dicha respuesta se puede cuantificar por los elementos del vector propio derecho ( i) asociados a variables de estado que representen ángulos de rotores de los diferentes generadores. En la Tabla 7 se muestran los vectores propios derechos asociados a los modos de oscilación electromecánicos calculados a partir del sistema pero incluyendo en él los AVRs.

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Tabla 7. Vectores propios derechos asociados a los modos electromecánicos del sistema con AVR. STATE MATRIX EIGENVALUESMost Associated

States

RIGHT EIGENVECTOR

(EIG 13)

RIGHT EIGENVECTOR

(EIG 14)

RIGHT EIGENVECTOR

(EIG 15)

RIGHT EIGENVECTOR

(EIG 16)

delta_Syn_1 0.0024 + 0.0021i 0.0024 - 0.0021i -0.0142 - 0.0467i -0.0142 + 0.0467i

omega_Syn_1 -0.0001 + 0.0001i -0.0001 - 0.0001i 0.0011 - 0.0003i 0.0011 + 0.0003i

e1q_Syn_1 0.0003 + 0.0001i 0.0003 - 0.0001i 0.0010 + 0.0021i 0.0010 - 0.0021i

e1d_Syn_1 0 0 0 0

delta_Syn_2 0.0276 + 0.0151i 0.0276 - 0.0151i 0.0434 + 0.1406i 0.0434 - 0.1406i

omega_Syn_2 -0.0006 + 0.0009i -0.0006 - 0.0009i -0.0032 + 0.0009i -0.0032 - 0.0009i

e1q_Syn_2 0.0043 + 0.0024i 0.0043 - 0.0024i -0.0051 + 0.0123i -0.0051 - 0.0123i

e1d_Syn_2 0.0046 - 0.0034i 0.0046 + 0.0034i 0.0159 + 0.0024i 0.0159 - 0.0024i

delta_Syn_3 -0.0778 - 0.0488i -0.0778 + 0.0488i 0.0243 + 0.0847i 0.0243 - 0.0847i

omega_Syn_3 0.0019 - 0.0026i 0.0019 + 0.0026i -0.0020 + 0.0005i -0.0020 - 0.0005i

e1q_Syn_3 0.0013 - 0.0100i 0.0013 + 0.0100i -0.0032 + 0.0078i -0.0032 - 0.0078i

e1d_Syn_3 -0.0124 + 0.0099i -0.0124 - 0.0099i 0.0074 + 0.0002i 0.0074 - 0.0002i

vm_Exc_1 0.0001 - 0.0002i 0.0001 + 0.0002i 0.0009 - 0.0002i 0.0009 + 0.0002i

vr3_Exc_1 -0.0154 + 0.0399i -0.0154 - 0.0399i -0.1667 + 0.0688i -0.1667 - 0.0688i

vf_Exc_1 -0.0147 + 0.0399i -0.0147 - 0.0399i -0.1652 + 0.0701i -0.1652 - 0.0701i

vm_Exc_2 0.0009 - 0.0019i 0.0009 + 0.0019i 0.0028 + 0.0004i 0.0028 - 0.0004i

vr3_Exc_2 -0.0987 + 0.4097i -0.0987 - 0.4097i -0.5623 -0.5623

vf_Exc_2 -0.0914 + 0.4081i -0.0914 - 0.4081i -0.5576 + 0.0059i -0.5576 - 0.0059i

vm_Exc_3 -0.0028 - 0.0006i -0.0028 + 0.0006i 0.0018 + 0.0006i 0.0018 - 0.0006i

vr3_Exc_3 0.5646 0.5646 -0.3676 - 0.0600i -0.3676 + 0.0600i

vf_Exc_3 0.5614 - 0.0087i 0.5614 + 0.0087i -0.3658 - 0.0559i -0.3658 + 0.0559i

Si se llevan a un plano complejo todos los ki asociados al i-ésimo modo (modo identificado como electromecánico) y a la k-ésima variable de estado (variable de estado que representa un ángulo de rotor), se obtienen las Figuras 25 y 26, que permiten determinar si el modo electromecánico analizado es local o inter-área haciendo una comparación entre magnitudes y direcciones de todos los modos.

La clasificación del modo electromecánico 13 permite tipificar simultáneamente al modo 14 (también identificado como electromecánico) por ser uno el conjugado del otro y de esta manera representan el mismo modo. De la Figura 25 se puede concluir que el generador 3 oscila en contra de los generadores 1 y 2 (aunque se puede ver también que el generador 1 participa muy poco en este modo), es decir el modo electromecánico representado por los valores propios 13 y 14 se clasifica como un modo local máquina sistema.

65

Figura 25. Modo electromecánico máquina-sistema asociado a los valores propios 13 y 14

La clasificación del modo electromecánico 15 permite clasificar simultáneamente el modo 16 (también identificado como electromecánico) por ser uno el conjugado del otro y de esta manera representan el mismo modo. De la Figura 26 se puede concluir que el generador 1 oscila en contra de los generadores 2 y 3, es decir, el modo electromecánico representado por los valores propios 15 y 16 se clasifican como un modo local máquina sistema.

Haciendo uso del otro método que permite clasificar los modos de oscilación del sistema, se muestra la Tabla 8, en donde se ven sólo los elementos normalizados del vector propio derecho asociados a ángulos de rotor de los generadores, los cuales permiten construir los diagramas de participación tomando las partes reales de los elementos normalizados del vector propio derecho asociados a ángulos de rotor de los generadores; la normalización consiste en dividir los elementos del vector propio derecho por el complejo de mayor magnitud del mismo vector.

66

Figura 26. Modo electromecánico máquina-sistema asociado a los valores propios 15 y 16

Tabla 8. Elementos normalizados del vector propio derecho asociados a ángulos de rotor de generadores

State matrixeigenvalues Eig 13 Eig 14 Eig 15 Eig 16

Most Associated States Re Im Re Im Re Im Re Im

delta_Syn_1 0.0043 0.0037 0.0043 -0.0037 0.0253 0.0830 0.0253 0.0830

delta_Syn_2 0.0489 0.0267 0.0489 -0.0267 -0.0772 -0.2500 -0.0772 0.2500

delta_Syn_3 -0.1378 -0.0864 -0.1378 0.0864 -0.0432 -0.1506 -0.0432 0.1506

Las Figuras 27 y 28 muestran los diagramas de participación de los generadores para el par de modos electromecánicos hallados anteriormente. La magnitud de la parte real de cada valor normalizado cuantifica la participación del generador en el modo, y su signo permite agrupar los conjuntos de generadores que oscilan entre si. Se puede ver claramente en la Tabla 8 que la clasificación para un modo es la misma que para su conjugado.

La Figura 27 reitera que el modo caracterizado por los valores propios 13 y 14 representa un modo local máquina sistema ya que el generador 3 oscila en contra de los generadores 1 y 2; también se puede observar la poca participación del generador 1 en dicho modo.

67

Así mismo la Figura 28 muestra una vez más que el modo caracterizado por los valores propios 15 y 16 representa un modo local máquina sistema ya que el generador 1 oscila en contra de los generadores 2 y 3.

Figura 27. Diagrama de participación de generadores modos 13 y 14

Gen 3; -0,1378

Gen 1; 0,0043

Gen2 ; 0,0489

-0,17

-0,12

-0,07

-0,02

0,03

0,08

1 2 3

Figura 28. Diagrama de participación de generadores modos 15 y 16

Gen3; -0,0432

Gen2; -0,0772

Gen1; 0,0253

-0,1

-0,08

-0,06

-0,04

-0,02

0

0,02

0,04

1 2 3

4.1.1.1.3 Efecto del PSS en el sistema

Los sistemas de excitación rápidos con altas ganancias tienden a disminuir el amortiguamiento de los modos de oscilación de los SEPs, por lo que resulta lógico pensar que es en ellos donde se deben efectuar modificaciones. Para variar el efecto no deseado que producen estas altas ganancias, son utilizados

68

los estabilizadores de potencia (PSS) ya que introducen una señal adicional al sistema de excitación para modular la acción del regulador de voltaje y proveer disminución positiva de la amplitud de las oscilación, incluso introducen un amortiguamiento adicional al que se tenía sin la adición de los controles del sistema de excitación [9] [13] [15] [17] [18].

Para proveer amortiguamiento, el PSS debe introducir una componente de torque eléctrico en fase con las desviaciones de velocidad, monitoreando señales a la entrada pueden ser de velocidad, frecuencia, o potencia generada de la máquina. Además, estos dispositivos utilizan redes de adelanto-atraso (bloques de compensación de fase) para compensar los retardos del conjunto generador, sistema de excitación y SEP. La ganancia del PSS debe ser atenuada a altas frecuencias (> 5 Hz) para minimizar el impacto del ruido, y evitar la interacción con modos torsionales de la turbina. La Figura 29 muestra el diagrama de bloques correspondiente a un PSS, el cual consta de cuatro unidades: La primera determina la ganancia del PSS dada por KW, la segunda corresponde a un "washout" y además contiene dos redes de adelanto-atraso. El bloque de ganancia (KW) determina la cantidad de amortiguamiento introducido por el PSS; el bloque de "washout" equivale a un filtro pasa alto; sin este filtro los cambios en velocidad alterarían el voltaje del generador, los bloques de adelanto-atraso compensan el atraso entre la entrada del sistema de excitación y el torque eléctrico (retraso del conjunto generador, sistema de excitación y SEP).

Figura 29. Diagrama de bloques de un PSS

Los PSS deben ser ajustados para que entreguen el amortiguamiento deseado en las condiciones de operación que requieran una disminución de la amplitud de las oscilaciones. Normalmente estas situaciones involucran áreas del sistema o máquinas unidas débilmente con altas transferencias de potencia.

Cuando se trata de amortiguar oscilaciones máquina-sistema los PSS son muy efectivos. No obstante, controlar oscilaciones inter-área con PSS es una función compleja de muchos factores: localización de las unidades con PSS, características y localización de las cargas y los tipos de sistemas de excitación de las unidades [15]. Algunos aspectos importantes de la forma como afectan las características de las cargas al desempeño de los PSS son:

Los PSS adicionan amortiguamiento en forma apreciable a modos inter-área modulando las cargas del sistema. Cuando las cargas no varían con el voltaje, la efectividad de los PSSs sobre los modos inter-área cae en forma significativa, lo que obliga a tener en cuenta modelos apropiados de carga para estudiar el desempeño de los PSSs en el amortiguamiento de los modos inter-áreas.

69

El amortiguamiento que ofrecen los PSSs a los modos locales, no varía en forma apreciable con las características de la carga.

Para ilustrar el efecto de los PSS sobre el sistema de prueba WSCC, se agrega un dispositivo como el mostrado en la Figura 30 a cada una de las máquinas generadoras, utilizando el modelo tipo II* con el que cuenta el PSAT, el cual tiene definida la constante Te por defecto (Te=0.001). Esta acción se realiza según las características de cada modo. Una máquina será candidata a utilizar el dispositivo si oscila en contra de las otras ó si tiene la mayor participación en cierto modo aunque ésta no sea precisamente la que oscila en contra de las otras. Los parámetros utilizados en el modelo, son mostrados en las tablas 9, 10 y 11, donde además se verifica que, efectivamente la parte real de los valores propios correspondientes a los modos electromecánicos del sistema se hace aún más negativa, lo cual implica un corrimiento de los valores propios del hacia la izquierda en el plano complejo lo que aporta un mayor margen de estabilidad al sistema. Además se puede ver un significativo aumento en el radio de amortiguamiento de cada uno de estos modos.

Figura 30. Diagrama de bloques del PSS utilizado

Para el primero de los modos electromecánicos obtenidos en el análisis del sistema con carga nominal, se observó que la máquina 3 además de oscilar en contra de las máquinas uno y dos, tuvo la mayor participación, por lo que se tomó la decisión de experimentar ubicando allí el primer PSS.

En la Tabla 9 se puede verificar que para un aumento gradual de las ganancias del PSS Kw iguales a 1, 3 y 5, la parte real del primer modo empieza a moverse hacia la derecha en el plano complejo hasta el punto de producir un modo de control inestable para una ganancia de 10; mientras que en el caso del modo dos, este se mueve hacia la izquierda en todo momento. De acuerdo a este comportamiento se recomendaría utilizar el dispositivo de ganancia 3 en la máquina generadora tres ya que representa un punto intermedio con respecto a la ubicación de los modos en el plano lo cual le da un margen de estabilidad aceptable al sistema y además ofrece un alto radio de amortiguamiento.

* El tipo de señal de entrada al PSS es siempre velocidad (“omega” en PSAT)

70

Tabla 9. Respuesta del sistema con PSS en la máquina 3 (carga nominal) STATE MATRIX EIGENVALUES

Datos PSS Kw Real part Imag. Part Frequency (%) -1,84266 10,48488 1,668716578 17,30917608

-1,84266 -10,48488 1,668716578 17,30917608

-0,26444 8,51226 1,354765088 3,105080073 1

-0,26444 -8,51226 1,354765088 3,105080073

-1,50144 8,14575 1,296433346 18,12683487

-1,50144 -8,14575 1,296433346 18,12683487

-0,6224 8,45277 1,345296982 7,343386551 3

-0,6224 -8,45277 1,345296982 7,343386551

-0,55872 8,66214 1,378619175 6,436762242

-0,55872 -8,66214 1,378619175 6,436762242

-1,54777 6,77316 1,077979374 22,27727056 5

-1,54777 -6,77316 1,077979374 22,27727056

T1=T3=0,25s T2=T4=0,025s

Tw=10s

10 Esta ganancia produce un modo de control inestable

El segundo modo electromecánico caracterizado por medio del análisis modal realizado, permite establecer que el generador uno oscila en contra de los otros dos, pero que el que más participa es el dos, por lo tanto, ambos son candidatos para ubicar dispositivos PSS. Al ubicar el dispositivo de control en la máquina uno, de la Tabla 10 se puede observar que la parte real de los dos modos electromecánicos empieza a moverse hacia la izquierda en el plano complejo para los diferentes valores de la ganancia Kw, aunque se notó que para una ganancia de Kw de 10 el primer modo presentó un leve corrimiento hacia la derecha no se encontraron modos de control inestables. Luego de analizar todos estos efectos y teniendo en cuenta el que el costo de estos dispositivos aumenta si se elije una ganancia elevada, se recomienda nuevamente utilizar un PSS de ganancia Kw igual a 3, la cual presenta un radio de amortiguamiento satisfactorio.

De igual forma la Tabla 11 muestra que al ubicar un dispositivo PSS en la máquina 2 para los diferentes valores de la ganancia Kw; la parte real del primer modo se mueve hacia la izquierda para ganancias KW de 1 y 3, pero que al aumentar dicha ganancia el modo se mueve hacia la derecha en el plano complejo hasta el punto de producir un modo de control inestable para una ganancia de 10, el cual se encuentra resaltado con color rojo; mientras que en el caso del modo dos, este se mueve hacia la izquierda en todo momento.

De acuerdo a la descripción anterior, se recomendaría utilizar el dispositivo de ganancia 3 en la máquina generadora dos ya que representa un punto intermedio con respecto a la ubicación de los modos en el plano lo cual le da un margen de estabilidad aceptable al sistema y además ofrece un alto radio de amortiguamiento. Los resultados analizados confirman que los PSS efectivamente introducen un amortiguamiento adicional al que se tenía sin la adición de los controles del sistema de excitación, como se puede ver al comparar el radio de amortiguamiento de la respuesta natural del sistema con

71

carga nominal mostrada en la Tabla 5 con los amortiguamientos obtenidos en las Tablas 9, 10 y 11 que resultan de ubicar PSS en las tres máquinas generadoras del sistema incluyendo AVRs.



-0,94499 -13,16359 2,095045518 7,160389751

-0,34737 8,52329 1,356520563 4,072158378 1

-0,34737 -8,52329 1,356520563 4,072158378

-0,97172 13,1333 2,090224726 7,378732619

-0,97172 -13,1333 2,090224726 7,378732619

-0,48442 8,32735 1,325335816 5,807398938 3

-0,48442 -8,32735 1,325335816 5,807398938

-0,98914 13,10311 2,08541985 7,527477378

-0,98914 -13,10311 2,08541985 7,527477378

-0,59968 8,13668 1,294989814 7,350146876 5

-0,59968 -8,13668 1,294989814 7,350146876

-1,00573 13,03884 2,075190985 7,690495921

-1,00573 -13,03884 2,075190985 7,690495921

-0,81339 7,69537 1,22475331 10,51130802 10

-0,81339 -7,69537 1,22475331 10,51130802

-0,99573 12,96254 2,063047492 7,659032792

-0,99573 -12,96254 2,063047492 7,659032792

-1,05263 6,97755 1,110508976 14,91716233

T1=T3=0,25s T2=T4=0,025s

Tw=10s

20

-1,05263 -6,97755 1,110508976 14,91716233



-1,35152 -12,46098 1,983221925 10,7827802

-0,37966 8,02387 1,277035587 4,7263442 1

-0,37966 -8,02387 1,277035587 4,7263442

-1,43695 11,80134 1,878237204 12,0868899

-1,43695 -11,80134 1,878237204 12,0868899

-0,56828 7,08116 1,126998981 7,99951991 3

-0,56828 -7,08116 1,126998981 7,99951991

-1,40014 11,54716 1,837783295 12,0372396

-1,40014 -11,54716 1,837783295 12,0372396

-0,69298 6,39752 1,018194551 10,7690164 5

-0,69298 -6,39752 1,018194551 10,7690164

-1,33073 11,31959 1,801564489 11,6755878

-1,33073 -11,31959 1,801564489 11,6755878

-0,88305 5,30005 0,843527184 16,4346172 10

-0,88305 -5,30005 0,843527184 16,4346172

T1=T3=0,25s T2=T4=0,025s

Tw=10s


72

Es importante destacar la necesidad de poner limitadores de ganancia en los dispositivos de control PSS, porque aunque para altas ganancias se observa un alto amortiguamiento relativo de los modos electromecánicos, se puede arriesgar la estabilidad de voltaje del sistema. Situación que se presenta cuando se empieza a aumentar la ganancia Kw del PSS.

4.1.1.2 Sistema con sobrecarga

Para el punto de operación con sobrecarga se obtuvo el flujo de carga mostrado en la Tabla 12, a partir del cual se linealizó nuevamente el sistema y se obtuvo la matriz de estado y los dos modos electromecánicos correspondientes; además, las Tablas 13 y 14 muestran los modos electromecánicos naturales del sistema y los modos al incluir los AVR respectivamente.

Tabla 12. Flujo de carga para el sistema con sobrecargaBus V phase P gen Q gen P load Q load


Bus 2 1,025 0,97994029 1,92 0,56270824 0 0

Bus 3 1,025 -2,59851711 1,28 0,34674273 0 0

Bus 4 0,9914448 -7,22535731 0 0 0 0

Bus 5 0,93623432 -13,2668612 0 0 1,985 0,7683

Bus 6 0,95057315 -12,7224489 0 0 1,635 0,5683

Bus 7 0,99758201 -5,75964809 0 0 0 0

Bus 8 0,97086172 -10,3449545 0 0 1,735 0,6183

Bus 9 1,0078367 -6,76240025 0 0 0 0

Tabla 13. Respuesta natural del sistema (sobrecarga) STATE MATRIX EIGENVALUES

Real part Imag. Part Frequency (%) -0,63783 12,76577 2,031731 4,990183

-0,63783 -12,7658 2,031731 4,990183

-0,20656 8,24755 1,312635 2,503716

-0,20656 -8,24755 1,312635 2,503716

Tabla 14. Respuesta del sistema incluyendo AVRs (sobrecarga) STATE MATRIX EIGENVALUES


-0,43694 -13,226 2,10498 3,301841

-0,18513 8,45871 1,346242 2,188108

-0,18513 -8,45871 1,346242 2,188108

Al observar la Tabla 14 se nota una disminución del radio de amortiguamiento de los modos electromecánicos, con respecto a la respuesta natural del sistema para dicha condición de sobrecarga y para la condición de carga nominal. La combinación de este punto de operación del sistema sobrecargado

73

y la adición de los reguladores automáticos de voltaje tienen como consecuencia una disminución del margen de estabilidad del sistema lo cual explica la caída en el radio de amortiguamiento.

De la misma forma que para un punto de operación con carga nominal, en el caso de sobrecarga fue posible establecer que el generador uno oscila en contra de los otros dos, pero que el que más participa es el dos, por lo tanto, ambos son candidatos para ubicar dispositivos PSS.

Al ubicar el dispositivo de control en la máquina uno, de la Tabla 15 se puede observar que la parte real de los dos modos electromecánicos empieza a moverse hacia la izquierda en el plano complejo para los diferentes valores de la ganancia Kw. Teniendo en cuenta el que el costo de estos dispositivos aumenta si se elije una ganancia elevada y el comportamiento de los modos en el plano complejo, se recomienda nuevamente utilizar un PSS de ganancia Kw igual a 3, la cual presenta un radio de amortiguamiento aceptable.

Tabla 15. Respuesta del sistema con PSS en la máquina 1 (sobrecarga) STATE MATRIX EIGENVALUES


-0,45596 -13,2047 2,101582 3,450967

-0,24629 8,29628 1,320391 2,967373 1

-0,24629 -8,29628 1,320391 2,967373

-0,48169 13,16576 2,095391 3,656211

-0,48169 -13,1658 2,095391 3,656211

-0,34487 7,99615 1,272624 4,308945 3

-0,34487 -7,99615 1,272624 4,308945

-0,49655 13,13301 2,090179 3,778231

-0,49655 -13,133 2,090179 3,778231

-0,42005 7,72647 1,229703 5,42849 5

-0,42005 -7,72647 1,229703 5,42849

-0,511 13,07427 2,08083 3,905458

-0,511 -13,0743 2,08083 3,905458

-0,547 7,16122 1,139741 7,616177 10

-0,547 -7,16122 1,139741 7,616177

-0,51157 13,01278 2,071043 3,928255

-0,51157 -13,0128 2,071043 3,928255

-0,68633 6,34224 1,009396 10,75876

T1=T3=0,25s T2=T4=0,025s

Tw=10s

20

-0,68633 -6,34224 1,009396 10,75876

La Tabla 16 muestra que al ubicar un dispositivo PSS en la máquina 2 para los diferentes valores de la ganancia Kw; la parte real del primer modo se mueve hacia la izquierda para ganancias KW de 1 y 3, pero que al aumentar dicha ganancia el modo se mueve hacia la derecha en el plano complejo hasta el punto de producir un modo de control inestable para una ganancia de 20, el cual se encuentra resaltado con color rojo; mientras que en el caso del modo dos, este se mueve hacia la izquierda en todo momento. De acuerdo a la descripción anterior. Se recomendaría utilizar el dispositivo de ganancia 3 en la

74

máquina generadora dos ya que representa un punto intermedio con respecto a la ubicación de los modos en el plano lo cual le da un margen de estabilidad aceptable al sistema y además ofrece un alto radio de amortiguamiento.



-0,82924 -12,5353 1,995044 6,600832

-0,27017 7,97789 1,269718 3,384544 1

-0,27017 -7,97789 1,269718 3,384544

-0,95534 11,8379 1,884056 8,044029

-0,95534 -11,8379 1,884056 8,044029

-0,42094 7,17119 1,141328 5,85979 3

-0,42094 -7,17119 1,141328 5,85979

-0,93919 11,54245 1,837034 8,110031

-0,93919 -11,5425 1,837034 8,110031

-0,52786 6,5529 1,042924 8,029356 5

-0,52786 -6,5529 1,042924 8,029356

-0,88491 11,26166 1,792345 7,833576

-0,88491 -11,2617 1,792345 7,833576

-0,69855 5,51479 0,877704 12,56643 10

-0,69855 -5,51479 0,877704 12,56643

T1=T3=0,25s T2=T4=0,025s

Tw=10s

20 Se presenta un modo de control inestable

El otro modo de oscilación muestra de nuevo a la máquina 3 oscilando en contra de las máquinas uno y dos además de tener la mayor participación, por lo que se tomó la decisión de ubicar allí el tercer PSS.



-1,35259 -10,734 1,708372 12,50208

-0,15519 8,37884 1,333531 1,851848 1

-0,15519 -8,37884 1,333531 1,851848

-1,20483 8,67447 1,380582 13,75731

-1,20483 -8,67447 1,380582 13,75731

-0,37066 8,09079 1,287686 4,576458 3

-0,37066 -8,09079 1,287686 4,576458

-1,03898 7,10422 1,130669 14,47089

-1,03898 -7,10422 1,130669 14,47089

-0,52701 8,49407 1,35187 6,192538 5

-0,52701 -8,49407 1,35187 6,192538

T1=T3=0,25s T2=T4=0,025s

Tw=10s


75

En la Tabla 17 se puede verificar que para un aumento gradual de las ganancias Kw iguales a 1, 3 y 5, la parte real del primer modo empieza a moverse hacia la derecha en el plano complejo hasta el punto de producir un modo de control inestable para una ganancia de 10; mientras que en el caso del modo dos, este se mueve hacia la izquierda en todo momento. De acuerdo a la descripción anterior, se recomendaría utilizar el dispositivo de ganancia 3 en la máquina generadora tres, tal y como se hizo para el punto de operación con carga nominal, ya que representa un punto intermedio con respecto a la ubicación de los modos en el plano lo cual le da un margen de estabilidad aceptable al sistema y además ofrece un alto radio de amortiguamiento.

4.1.1.3 Sistema con carga ligera

Para este punto de operación se obtuvo el flujo de carga mostrado en la Tabla 18, y además se hallaron los resultados de las tablas 19 y 20, donde se observa un aumento del amortiguamiento de los modos electromecánicos en comparación con la respuesta natural del sistema y que es más significativo que en el caso de carga nominal con la introducción de los AVRs. Además, la Tabla 19 muestra como el sistema ofrece un buen amortiguamiento relativo a las oscilaciones electromecánicas ya que posee un margen de estabilidad mayor en comparación con los puntos de operación con carga nominal y con sobrecarga.

Tabla 18. Flujo de carga para el sistema con carga ligera Bus V phase P gen Q gen P load Q load


Bus 2 1,025 4,59962864 0,8 -0,1379799 0 0

Bus 3 1,025 2,60187492 0,45 -0,23311927 0 0

Bus 4 1,03453031 -1,03320611 0 0 0 0

Bus 5 1,01394297 -1,82293348 0 0 0,625 0,5

Bus 6 1,02826428 -1,68460465 0 0 0,45 0,3

Bus 7 1,03456407 1,89708676 0 0 0 0

Bus 8 1,03142459 0,48736079 0 0 0,5 0,245

Bus 9 1,03864627 1,18253751 0 0 0 0

Tabla 19. Respuesta natural del sistema (carga ligera) STATE MATRIX EIGENVALUES


-1,22683 -12,235 1,947255 9,977193

-0,45635 8,21331 1,307186 5,547669

-0,45635 -8,21331 1,307186 5,547669

Para efectos académicos de observación se muestran las Tablas 21, 22 y 23, donde es posible apreciar que los modos electromecánicos presentes para este punto de operación tienen el mismo comportamiento que en los anteriores análisis, donde el primer modo indica que el generador uno oscila en contra de

76

los otros dos; y que el segundo modo de oscilación muestra a la máquina tres oscilando en contra de las máquinas uno y dos.

Tabla 20. Respuesta del sistema incluyendo AVRs (carga ligera) STATE MATRIX EIGENVALUES


-1,89372 -12,4944 1,988539 14,98542

-0,79009 8,15922 1,298577 9,638318

-0,79009 -8,15922 1,298577 9,638318

Tabla 21. Respuesta del sistema con PSS en la máquina 1 (carga ligera) STATE MATRIX EIGENVALUES


-1,91428 -12,4851 1,987056 15,15545

-0,82807 8,08881 1,287371 10,184 1

-0,82807 -8,08881 1,287371 10,184

-1,94994 12,46421 1,983736 15,45631

-1,94994 -12,4642 1,983736 15,45631

-0,89755 7,9522 1,265629 11,2156 3

-0,89755 -7,9522 1,265629 11,2156

-1,97897 12,44184 1,980176 15,7083

-1,97897 -12,4418 1,980176 15,7083

-0,95933 7,8212 1,24478 12,17452 5

-0,95933 -7,8212 1,24478 12,17452

-2,02854 12,38654 1,971374 16,16167

-2,02854 -12,3865 1,971374 16,16167

-1,08658 7,51764 1,196467 14,30509 10

-1,08658 -7,51764 1,196467 14,30509

-2,07043 12,29855 1,95737 16,60115

-2,07043 -12,2986 1,95737 16,60115

-1,26219 7,00192 1,114388 17,74041

T1=T3=0,25s T2=T4=0,025s

Tw=10s

20

-1,26219 -7,00192 1,114388 17,74041

Las Tablas 21 y 22 muestran los resultados que se obtienen cuando se pretende corregir el primer modo electromecánico ubicando dispositivos PSS en las máquinas uno y dos para los diferentes valores de la ganancia Kw. En la primera tabla no se encontraron modos de control inestables., pero en la segunda tabla se encontró un modo de control inestable para una ganancia Kw de 20 cuya fila se encuentra resaltada con rojo, tal y como sucedió en los casos anteriores.

77



-2,02115 -11,8888 1,89216 16,75996

-0,86611 7,75135 1,233663 11,10456 1

-0,86611 -7,75135 1,233663 11,10456

-1,97809 11,30762 1,799659 17,23175

-1,97809 -11,3076 1,799659 17,23175

-1,00216 7,05608 1,123007 14,06167 3

-1,00216 -7,05608 1,123007 14,06167

-1,90519 11,05624 1,759651 16,98153

-1,90519 -11,0562 1,759651 16,98153

-1,10302 6,50602 1,035463 16,71531 5

-1,10302 -6,50602 1,035463 16,71531

-1,79683 10,81202 1,720782 16,39397

-1,79683 -10,812 1,720782 16,39397

-1,27197 5,54698 0,882827 22,35076 10

-1,27197 -5,54698 0,882827 22,35076

T1=T3=0,25s T2=T4=0,025s

Tw=10s

20 Se produce un modo de control inestable

Igualmente, la Tabla 23 muestra que al tratar de corregir el segundo modo para ganancias Kw iguales a 1, 3 y 5, la parte real del primer modo disminuye hasta el punto de producir un modo de control inestable para una ganancia de 10, como en los dos casos anteriores.


Datos PSS Kw Imag. Part Frequency (%) Real part -2,32586 10,25511 1,632148 22,11828

-2,32586 -10,2551 1,632148 22,11828

-0,73916 8,10859 1,290519 9,078125 1

-0,73916 -8,10859 1,290519 9,078125

-2,21237 8,40726 1,338054 25,44861

-2,21237 -8,40726 1,338054 25,44861

-0,77406 7,89638 1,256745 9,755958 3

-0,77406 -7,89638 1,256745 9,755958

-1,03023 7,8961 1,2567 12,93767

-1,03023 -7,8961 1,2567 12,93767

-1,91365 7,3396 1,168131 25,2295 5

-1,91365 -7,3396 1,168131 25,2295

T1=T3=0,25s T2=T4=0,025s

Tw=10s


De acuerdo a los procedimientos realizados anteriormente para los tres diferentes tipos de carga, es posible demostrar que la influencia negativa de estos dispositivos de regulación automática del voltaje (AVRs), depende directamente del punto de operación en el que se encuentre el sistema, es decir, entre más cargado esté, tiende a inestabilizarse fácilmente por lo que el

78

efecto de los dispositivos se hace más útil y evidente. Resultaría lógico entonces, pensar que es un desperdicio económico incluir PSS al sistema para un punto de operación de carga ligera, pues éste solo, sin la inclusión de dichos dispositivos ofrece una respuesta satisfactoria a las oscilaciones electromecánicas.

Aunque se confirmó la efectividad de estos dispositivos PSS para cualquier punto de operación, es necesario realizar una observación en el tiempo de la respuesta del las variables del sistema con el fin de poder tomar la decisión más acertada y económica en cuanto al punto de ubicación de estos dispositivos.

4.1.2 Observación en el dominio del tiempo del efecto de los PSS

La teoría enseña que para pequeños cambios en un SEP, las máquinas responden con oscilaciones electromecánicas caracterizadas en el tiempo por los modos de oscilación del sistema. Para poder observar de manera clara el efecto de un PSS sobre el sistema no basta con simular pequeñas perturbaciones, la cuales se pueden lograr por medio de la introducción de rampas o escalones en las potencias demandadas; ya que dichas perturbaciones causan un comportamiento de las máquinas casi estable, es decir, se presentan oscilaciones con amplitudes insignificantes en las potencias generadas de las máquinas que no proporcionan información palpable de las oscilaciones electromecánicas.

Como alternativa a esta situación, se propone utilizar una falla trifásica balanceada en alguna de las barras para alterar el sistema. Es de aclarar que las fallas trifásicas son cambios fuertes para el sistema, por lo que la falla misma no es la que introduce los pequeños cambios, sino, las variaciones en las variables de estado del sistema posteriores a la falla, ó sea, se está aprovechando la condición post-falla, en la cual existen variaciones leves en muchas de las variables de estado del sistema. Las primeras oscilaciones después de la perturbación severa (falla trifásica) se salen del alcance de los estudios de estabilidad de pequeña señal, ya que están determinadas por la no linealidad del sistema; pero las oscilaciones del sistema post-falla dependen directamente de los modos electromecánicos del sistema.

El resultados de generar dicha situación se ilustran en las Figuras posteriores, las cuales se obtuvieron después de ubicar una falla en el nodo 8 del sistema, la cual empezó en t=1s y tuvo una duración de 0.083 s, es de anotar que la falla se realizó para el punto de operación con carga nominal. Las Figuras 31, 32, 33, 34 y 35 muestran el comportamiento de algunas variables eléctricas y mecánicas del sistema sin la presencia de PSS.

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Figura 31. Velocidades angulares de los rotores de los generadores sin PSS

Figura 32. Voltajes generados por las máquinas sin PSS

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Figura 33. Potencias generadas por las máquinas sin PSS

Figura 34. Potencias transferidas por las líneas que llegan al nodo 8 sin PSS

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Figura 35. Voltajes de los nodos 7, 8 y 9 sin PSS

De las figuras anteriores se pude ver que la falla ubicada en el nodo 8 excitó el modo electromecánico para el cual, el generador uno oscila en contra de los generadores dos y tres, y que después de transcurridos 20 segundos, aún persisten pequeñas oscilaciones en el tiempo para las variables monitoreadas.

De acuerdo a los resultados obtenidos mediante al análisis modal se detectó que aunque el generador uno es quien oscila en contra de los otros, el generador dos es el que tiene la mayor participación en el modo. Ambos generadores son candidatos para la ubicación de dispositivos PSS, se propone entonces, observar la respuesta en el tiempo para esta acción y comprobar que es posible proveer amortiguamiento positivo ante la presencia de dichas oscilaciones y además para elegir una ubicación favorable para estos dispositivos.

Las Figuras 36 a la 40 muestran el comportamiento del sistema al incluir PSS en el generador 1 con una ganancia Kw=3; tal y como se había propuesto en la sección anterior luego de identificar, clasificar y caracterizar los modos de sistema WSCC. Ya que el PSS se encarga de introducir una componente de torque eléctrico en fase con las desviaciones de velocidad, los análisis posteriores estarán basados en las señales monitoreadas de los ángulos de los rotores de las máquinas generadoras.

82

Figura 36. Velocidades angulares de los rotores de los generadores con PSS en el generador 1

Figura 37. Voltajes generados por las máquinas con PSS el generador 1

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Figura 38. Potencias generadas por las máquinas con PSS en generador 1

Figura 39. Potencias transferidas por las líneas que llegan al nodo 8 con PSS en generador 1

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Figura 40. Voltajes de los nodos 7, 8 y 9 con PSS en generador 1

Luego de ubicar los dispositivos PSS en el sistema, se observa en las oscilaciones del ángulo del rotor de las máquina generadora 1 de la Figura 36 con respecto a la Figura 31, para el mismo punto de operación con carga nominal y la misma ubicación de la falla trifásica balanceada, que efectivamente la amplitud de las oscilaciones disminuye y que la señal empieza a establecerse aproximadamente a los 15 segundos

A continuación, las Figuras 41 a la 45 muestran el comportamiento del sistema al incluir PSS en el generador 2 con ganancia Kw=3, para las mismas condiciones de carga y de falla que en el análisis anterior.

En este caso se pude ver de la Figura 41, que la amplitud de las oscilaciones disminuye más rápidamente y que la señal empieza a establecerse aproximadamente a los 10 segundos, un tiempo mucho menor al que resulta de ubicar el dispositivo en la máquina uno que oscila en contra de las otras dos.

85


Figura 42. Voltajes generados por las máquinas con PSS en el generador 2

86

Figura 43. Potencias generadas por las máquinas con PSS en generador 2


87

Las Figuras 46 a la 50 muestran el comportamiento del sistema al incluir PSS en el generador 3 con ganancia Kw=3.



88

Figura 47. Voltajes generados por las maquinas con PSS en el generador 3

Figura 48. Potencias generadas por las maquinas con PSS en generador 3

89



90

En la Figura 46 se aprecia como al poner un dispositivo de control PSS en el generador tres, la amplitud de las oscilaciones disminuye y la señal se establece de forma muy similar al caso cuando se ubica el dispositivo en la máquina generadora dos.

Basados en estos resultados se concluye que la mejor decisión es ubicar un solo dispositivo, por motivos económicos, en el generador tres ya que no solo mitiga el efecto de la falla trifásica, sino que también prevé cualquier otro efecto que pueda excitar el otro modo electromecánico del sistema.

4.2 DESCRIPCIÓN DEL SEGUNDO SISTEMA DE PRUEBA

El segundo sistema, ilustrado en la Figura 51, cuenta con una topología simétrica que consta de dos áreas idénticas unidas débilmente (en este caso, la debilidad se debe a que la línea de transmisión que une las áreas es muy larga). Cada área incluye dos unidades generadoras, con sus respectivos transformadores, las cuales producen las mismas potencias. Los grupos de generadores, cargas y transformadores son idénticos entre sí; las líneas de enlace solo varían en longitud. El sistema de prueba no existe en la realidad, pero todos los parámetros usados en los modelos están acorde con valores prácticos. Se manejaron solo voltajes de 16.5 KV y 230 KV [9] [14] [15]. Es importante tener en cuenta que la combinación de las propiedades físicas del sistema con factores como los ajustes del sistema de excitación y el punto de operación favorece la aparición de los modos de oscilación inter-áreas.

Figura 51. Sistema de prueba (dos áreas)

Los parámetros de las máquinas generadoras son mostrados en la Tabla 22, la Tabla 23 muestra los parámetros de las líneas, las cuales solo varían en longitud; la Tabla 24 muestra las relación de transformación y reactancia equivalente de los transformadores y la Tabla 25 muestra las cargas de los nodos 5 y 6 (ambas iguales).

91

Esta sección tiene por objetivo estudiar la manera como influye el modelamiento de la carga sobre el rendimiento de los PSS al tratar de mitigar los modos inter-área que se presentan en el sistema de prueba. Apoyados en los modelos de la carga como potencia constante e impedancia constante para un punto de operación nominal.

De acuerdo a la teoría expuesta en la sección anterior sobre el efecto que tienen lo PSS sobre el sistema se espera que el amortiguamiento sobre los modos sean significativos cuando se modela la carga de forma adecuada.

Tabla 22. Parámetros de todos los generadores para el sistema de 2 áreas Parámetros

H(s) 23,64

Xd(pu) 0,146

X´d(pu) 0,0608

Xq(pu) 0,0969

X´q(pu) 0,0969

T´do(s) 8,96

T´qo(s) 0,31

Tabla 23. Datos de las líneas para el sistema de dos áreas Datos de las líneas

Voltaje 230 KV

Corriente Nominal 0,5 KA

Nodo 2/8 - Nodo 3/7 50 Km

Nodo 3/7 - Nodo 5/6 50 Km longitud

Nodo 5 - Nodo 6 250 Km

R - X - B (sec +) 0,00017(pu/Km) - 0,00144 (pu/Km) - 0,00149 (pu/Km)

Tabla 24. Datos de los transformadores Datos de los transformadores Potencia 180 MVA

Voltajes nominales HV - LV 230 KV - 16,5 KV

R - X 0 - 0,0576

Tabla 25. Datos de las cargas Datos de las cargas

Potencia activa 300 MW

Potencia reactiva 100 AR

4.2.1 Carga modelada como potencia constante (S cte)

Inicialmente se hace un análisis sin ningún tipo de control, de esta manera se puede observar la respuesta natural del sistema a las continuas y pequeñas perturbaciones. La Tabla 26 muestra el resultado del flujo de carga para este punto de operación.

92

Tabla 26. Flujo de carga para el sistema de dos áreas (S cte) Bus V phase P gen Q gen P load Q load

[p.u.] [deg] [p.u.] [p.u.] [p.u.] [p.u.]Bus 1 1.04 0 1.56507586 0.59484111 0 0

Bus 10 1.04 -6.11985973 1.57 1.39947833 0 0

Bus 2 1.01077856 -4.91954466 0 0 0 0

Bus 3 0.96641027 -11.282093 0 0 0 0

Bus 4 1.04 -6.11985973 1.57 1.39947833 0 0

Bus 5 0.84582558 -26.1843504 0 0 3 1

Bus 6 0.84582558 -26.1843504 0 0 3 1

Bus 7 0.96641027 -11.282093 0 0 0 0

Bus 8 1.01077856 -4.91954466 0 0 0 0

Bus 9 1.04 0 1.56507586 0.59484111 0 0

Luego de linealizar el sistema alrededor del punto de operación que resulta de correr el flujo de carga anterior, se obtienen 16 valores propios asociados a la matriz de estado del sistema como se puede ver en la Tabla 27, pero solo se muestran aquellos que están asociados a las variables mecánicas de las máquinas, los cuales caracterizan los modos electromecánicos del sistema. Estos valores propios tienen su parte real muy cercana al eje imaginario, lo cual implica un amortiguamiento pobre y una disminución del margen de estabilidad la cual empeora con la adición de AVRs.

Tabla 27. Modos electromecánicos del sistema de dos áreas sin ningún tipo de control (S cte)

STATE MATRIX EIGENVALUES Eigevalue Most Associated States Real part Imag. Part Frequency (%) Eig As 1 omega_Syn_4, delta_Syn_2 -0.00242 6.75071 1.07440635 0.03584808

Eig As 2 omega_Syn_4, delta_Syn_2 -0.00242 -6.75071 1.07440635 0.03584808

Eig As 3 delta_Syn_3, delta_Syn_1 -0.00305 6.68038 1.06321301 0.04565608

Eig As 4 delta_Syn_3, delta_Syn_1 -0.00305 -6.68038 1.06321301 0.04565608

Eig As 5 omega_Syn_3, delta_Syn_3 -0.0063 2.94231 0.46828209 0.21411699

Eig As 6 omega_Syn_3, delta_Syn_3 -0.0063 -2.94231 0.46828209 0.21411699

El efecto negativo por la inclusión de AVRs se evidencia en los resultados de la Tabla 28, la cual muestra solo los modos electromecánicos (ahora 17, 18, 19, 20, 21 y 22) con sus respectivas frecuencias de oscilación y amortiguamientos. Los modos del sistema pasan al semiplano complejo derecho llevando el sistema a la inestabilidad situación que explica los valores negativos de los radios de amortiguamiento.

93

Tabla 28. Respuesta del sistema de dos áreas incluyendo AVRs (S cte) STATE MATRIX EIGENVALUES

Eigevalue Most Associated States Real part Imag. Part Frequency (%) Eig As 17 omega_Syn_4, delta_Syn_2 0.02571 6.79914 1.08211421 -0.37813335

Eig As 18 omega_Syn_2, delta_Syn_2 0.02571 -6.79914 1.08211421 -0.37813335

Eig As 19 omega_Syn_3, omega_Syn_1 0.02671 6.74404 1.07334479 -0.3960503

Eig As 20 delta_Syn_3, delta_Syn_1 0.02671 -6.74404 1.07334479 -0.3960503

Eig As 21 omega_Syn_1, delta_Syn_1 0.01361 3.03879 0.48363732 -0.44787114

Eig As 22 omega_Syn_1, delta_Syn_1 0.01361 -3.03879 0.48363732 -0.44787114

Según el capítulo 1, los valores propios de la Tabla 28 se pueden clasificar en dos modos locales ya que tienen frecuencias de oscilación ubicadas en el rango 1-2 Hz y uno inter-área porque su frecuencia pertenece al intervalo 0,1-1Hz.

Si se grafican los valores que pertenecen a la variable de estado de la velocidad del rotor de las máquinas generadoras que corresponden a los vectores propios derechos, mostrados en la Tabla 29, asociados a cada modo electromecánico de la Tabla 28; es posible comprobar que dicha clasificación es correcta.

Figura 52. Modo local asociado a los valores propios 17 y 18 del sistema de dos áreas

94

Las Figuras 52 y 53 muestran como para los modos asociado a los valores propios 17, 18, 19 y 20 la máquina 1 oscila localmente con la máquina 2, y que de la misma forma la máquina 3 oscila localmente con la máquina 4.

Por otra parte la Figura 54 permite observar como el modo asociado a los valores propios 21 y 22 las máquinas 1 y 2 oscilan contra las máquinas 3 y 4 donde cada par de generadores pertenecen a áreas diferentes

Tabla 29. Vectores propios derechos asociados a los modos electromecánicos del sistema de dos áreas con AVR (S cte)STATE MATRIX EIGENVALUES Most Associated

States

RIGHT EIGENVECTOR

(EIG 17)

RIGHT EIGENVECTOR

(EIG 18)

RIGHT EIGENVECTOR

(EIG 19)

RIGHT EIGENVECTOR

(EIG 20)

RIGHT EIGENVECTOR

(EIG 21)

RIGHT EIGENVECTOR

(EIG 22)

delta_Syn_1 0.0476 - 0.0886i 0.0476 + 0.0886i 0.0362 - 0.0825i 0.0362 + 0.0825i 0.0562 - 0.2162i 0.0562 + 0.2162i

omega_Syn_1 0.0016 + 0.0009i 0.0016 - 0.0009i 0.0015 + 0.0006i 0.0015 - 0.0006i 0.0017 + 0.0004i 0.0017 - 0.0004i

e1q_Syn_1 0.0004 - 0.0074i 0.0004 + 0.0074i 0.0004 - 0.0078i 0.0004 + 0.0078i 0.0012 - 0.0083i 0.0012 + 0.0083i

e1d_Syn_1 0 0 0 0 0 0

delta_Syn_2 -0.0529 + 0.0977i -0.0529 - 0.0977i -0.0350 + 0.0801i -0.0350 - 0.0801i 0.0501 - 0.1915i 0.0501 + 0.1915i

omega_Syn_2 -0.0018 - 0.0009i -0.0018 + 0.0009i -0.0014 - 0.0006i -0.0014 + 0.0006i 0.0015 + 0.0004i 0.0015 - 0.0004i

e1q_Syn_2 0.0005 + 0.0025i 0.0005 - 0.0025i 0.0012 - 0.0012i 0.0012 + 0.0012i 0.0013 - 0.0140i 0.0013 + 0.0140i

e1d_Syn_2 0 0 0 0 0 0

delta_Syn_3 -0.0476 + 0.0886i -0.0476 - 0.0886i 0.0362 - 0.0825i 0.0362 + 0.0825i -0.0562 + 0.2162i -0.0562 - 0.2162i

omega_Syn_3 -0.0016 - 0.0009i -0.0016 + 0.0009i 0.0015 + 0.0006i 0.0015 - 0.0006i -0.0017 - 0.0004i -0.0017 + 0.0004i

e1q_Syn_3 -0.0004 + 0.0074i -0.0004 - 0.0074i 0.0004 - 0.0078i 0.0004 + 0.0078i -0.0012 + 0.0083i -0.0012 - 0.0083i

e1d_Syn_3 0 0 0 0 0 0

delta_Syn_4 0.0529 - 0.0977i 0.0529 + 0.0977i -0.0350 + 0.0801i -0.0350 - 0.0801i -0.0501 + 0.1915i -0.0501 - 0.1915i

omega_Syn_4 0.0018 + 0.0009i 0.0018 - 0.0009i -0.0014 - 0.0006i -0.0014 + 0.0006i -0.0015 - 0.0004i -0.0015 + 0.0004i

e1q_Syn_4 -0.0005 - 0.0025i -0.0005 + 0.0025i 0.0012 - 0.0012i 0.0012 + 0.0012i -0.0013 + 0.0140i -0.0013 - 0.0140i

e1d_Syn_4 0 0 0 0 0 0

vm_Exc_1-0.0023 - 0.0003i -0.0023 + 0.0003i -0.0024 - 0.0003i -0.0024 + 0.0003i -0.0012 - 0.0001i -0.0012 + 0.0001i

vr3_Exc_10.4618 0.4618 0.4818 + 0.0000i 0.4818 - 0.0000i 0.2317 + 0.0091i 0.2317 - 0.0091i

vf_Exc_10.4592 - 0.0036i 0.4592 + 0.0036i 0.4791 - 0.0037i 0.4791 + 0.0037i 0.2304 + 0.0082i 0.2304 - 0.0082i

vm_Exc_20.0008 - 0.0001i 0.0008 + 0.0001i -0.0003 - 0.0004i -0.0003 + 0.0004i -0.0020 - 0.0001i -0.0020 + 0.0001i

vr3_Exc_2-0.1581 + 0.0429i -0.1581 - 0.0429i 0.0719 + 0.0785i 0.0719 - 0.0785i 0.3909 - 0.0000i 0.3909 + 0.0000i

vf_Exc_2-0.1568 + 0.0439i -0.1568 - 0.0439i 0.0721 + 0.0774i 0.0721 - 0.0774i 0.3885 - 0.0014i 0.3885 + 0.0014i

vm_Exc_30.0023 + 0.0003i 0.0023 - 0.0003i -0.0024 - 0.0003i -0.0024 + 0.0003i 0.0012 + 0.0001i 0.0012 - 0.0001i

vr3_Exc_3-0.4618 - 0.0000i -0.4618 + 0.0000i 0.4818 0.4818 -0.2317 - 0.0091i -0.2317 + 0.0091i

vf_Exc_3-0.4592 + 0.0036i -0.4592 - 0.0036i 0.4791 - 0.0037i 0.4791 + 0.0037i -0.2304 - 0.0082i -0.2304 + 0.0082i

vm_Exc_4-0.0008 + 0.0001i -0.0008 - 0.0001i -0.0003 - 0.0004i -0.0003 + 0.0004i 0.0020 + 0.0001i 0.0020 - 0.0001i

vr3_Exc_40.1581 - 0.0429i 0.1581 + 0.0429i 0.0719 + 0.0785i 0.0719 - 0.0785i -0.3909 -0.3909

vf_Exc_40.1568 - 0.0439i 0.1568 + 0.0439i 0.0721 + 0.0774i 0.0721 - 0.0774i -0.3885 + 0.0014i -0.3885 - 0.0014i

95

Figura 53. Modo local asociado a los valores propios 19 y 20 del sistema de dos áreas (S cte)

Figura 54. Modo inter-área asociado a los valores propios 21 y 22 del sistema de dos áreas (S cte)

96

Aunque mediante las Figuras 52, 53 y 54 se confirma la clasificación de los modos para este sistema; la forma más clara de observar estos fenómenos es a través de los diagramas de participación de los generadores dados en las Figuras 55, 56 y 57. La Tabla 30 muestra solo los elementos normalizados del vector propio derecho asociados a ángulos de rotor de generadores para cada modo, con los cuales se construyen los diagramas de participación de los generadores.

Tabla 30. Elementos normalizados del vector propio derecho asociados a ángulos de rotor de generadores (S cte)

State matrixeigenvalues Eig 17 Eig 18 Eig 19 Eig 20 Eig 21 Eig 22

Most Associated States Re Im Re Im Re Im Re Im Im Re Im Re

delta_Syn_1 0,103 -0,192 0,103 0,192 0,075 -0,171 0,075 0,171 0,144 -0,553 0,144 0,553

delta_Syn_2 -0,114 0,216 -0,114 -0,216 -0,072 0,166 -0,072 -0,166 0,128 -0,49 0,128 0,49

delta_Syn_3 -0,103 0,192 -0,103 -0,192 0,075 -0,171 0,075 0,171 -0,144 0,553 -0,144 -0,553

delta_Syn_4 0,114 -0,216 0,114 0,216 -0,072 0,166 -0,072 -0,166 -0,128 0,49 -0,128 -0,49

Figura 55. Diagrama de participación de generadores modos 17 y 18 del sistema de dos áreas (S cte)

Gen 4; 0,114

Gen3; -0,103Gen2; -0,114

Gen1; 0,103

-0,15

-0,1

-0,05

0

0,05

0,1

0,15

1 2 3 4

97


Gen 4; -0,072

Gen 3; 0,075

Gen 2; -0,072

Gen1; 0,075

-0,1

-0,08

-0,06

-0,04

-0,02

0

0,02

0,04

0,06

0,08

0,1

1 2 3 4


Gen4; -0,128Gen3; -0,144

Gen2; 0,128Gen1; 0,144

-0,2

-0,15

-0,1

-0,05

0

0,05

0,1

0,15

0,2

1 2 3 4

Para cada uno de los tres modos electromecánicos del sistema se observa una participación similar de las cuatro máquinas, lo que hace difícil decidir acerca de cuál debería ser la, o las máquinas candidatas a PSS.

Si se ubican tales dispositivos en todos los generadores se puede observar el comportamiento de sistema en la Tabla 31. Donde claramente se evidencia un

98

corrimiento de la parte real de los tres modos electromecánicos hacia la izquierda en el plano complejo, lo cual aumenta el margen de estabilidad del sistema. Es de anotar que para una ganancia Kw de 20 el sistema presenta un modo de control inestable, el cual se encuentra resaltado con color rojo dentro de la misma tabla. Aunque esta acción no es óptima desde el punto de vista económico, se realiza para efectos de análisis de las ventajas del PSS.

Tabla 31. Respuesta del sistema de dos áreas con PSS en todas las maquinas (S cte)

STATE MATRIX EIGENVALUES Datos PSS Kw Imag. Part Frequency (%) Real part

-0,03435 6,76699 1,07699739 0,50760467

-0,03435 -6,76699 1,07699739 0,50760467

-0,02996 6,71329 1,068450789 0,4462745

-0,02996 -6,71329 1,068450789 0,4462745

-0,00282 3,02832 0,48197097 0,0931209

1

-0,00282 -3,02832 0,48197097 0,0931209

-0,15091 6,69926 1,066217851 2,25206554

-0,15091 -6,69926 1,066217851 2,25206554

-0,13983 6,64867 1,058166221 2,10266242

-0,13983 -6,64867 1,058166221 2,10266242

-0,03492 3,00726 0,478619175 1,16111164

3

-0,03492 -3,00726 0,478619175 1,16111164

-0,2448 6,58028 1,04728164 3,71763473

-0,2448 -6,58028 1,04728164 3,71763473

-0,26242 6,62735 1,054773046 3,95655155

-0,26242 -6,62735 1,054773046 3,95655155

-0,06607 2,98606 0,475245098 2,2120732

5

-0,06607 -2,98606 0,475245098 2,2120732

-0,48422 6,39606 1,017962185 7,54899592

-0,48422 -6,39606 1,017962185 7,54899592

-0,51711 6,43269 1,023792017 8,01293424

-0,51711 -6,43269 1,023792017 8,01293424

-0,13989 2,93268 0,466749427 4,76462223

10

-0,13989 -2,93268 0,466749427 4,76462223

-0,73559 6,22385 0,990554176 11,7371983

-0,73559 -6,22385 0,990554176 11,7371983

-0,6896 6,19939 0,986661255 11,0554872

-0,6896 -6,19939 0,986661255 11,0554872

-0,20829 2,87904 0,458212376 7,21584368

15

-0,20829 -2,87904 0,458212376 7,21584368

T1=0,3s T2=T3=T4=0,03s

Tw=10s


De la Figura 55 se puede ver que los generadores 2 y 4 tienen una relativa mayor participación en el modo asociado a los valores propios 17 y 18, así que se toma la decisión de ubicar dispositivos PSS en los dos generadores. La Tabla 32 muestra que para una ganancia Kw de 1 el sistema se hace inestable pero que para ganancias mayores se obtiene buen margen de estabilidad.

99

Tabla 32. Respuesta del sistema de dos áreas con PSS en las maquinas 2 y 4 (S cte)


-0,00315 6,78456 1,079794 0,046429

-0,00315 -6,78456 1,079794 0,046429

6,73558 1,071998 -0,09977 0,00672

-6,73558 1,071998 -0,09977 0,00672

0,00484 3,03339 0,482778 -0,15956

1

-3,03339 0,482778 -0,15956 0,00484

-0,03318 6,7183 1,069248 0,493869

-0,03318 -6,7183 1,069248 0,493869

-0,05903 6,75406 1,07494 0,873959

-0,05903 -6,75406 1,07494 0,873959

-0,01268 3,02265 0,481069 0,419496

3

-0,01268 -3,02265 0,481069 0,419496

-0,07296 6,70052 1,066418 1,088871

-0,07296 -6,70052 1,066418 1,088871

-0,11239 6,72192 1,069824 1,671993

-0,11239 -6,72192 1,069824 1,671993

-0,03015 3,01198 0,47937 1,001003

5

-0,03015 -3,01198 0,47937 1,001003

-0,17173 6,65395 1,059007 2,580014

-0,17173 -6,65395 1,059007 2,580014

-0,23456 6,63564 1,056092 3,532645

-0,23456 -6,63564 1,056092 3,532645

-0,07368 2,98557 0,475167 2,467119

10

-0,07368 -2,98557 0,475167 2,467119

-0,26934 6,60436 1,051114 4,078215

-0,26934 -6,60436 1,051114 4,078215

-0,34062 6,54314 1,041371 5,205757

-0,34062 -6,54314 1,041371 5,205757

-0,11697 2,95939 0,471 3,952504

15

-0,11697 -2,95939 0,471 3,952504

-0,36552 6,5518 1,042749 5,570263

-0,36552 -6,5518 1,042749 5,570263

-0,43096 6,44708 1,026082 6,669692

-0,43096 -6,44708 1,026082 6,669692

-0,15998 2,9333 0,466848 5,445832

T1=0,3s T2=T3=T4=0,03s

Tw=10s

20

-0,15998 -2,9333 0,466848 5,445832

De igual forma, al observar las Figuras 53 y 54 se se nota que quienes tienen una mayor participación en los modos asociados a los valores propios 19, 20 ,21 y 22 son los generadores 1 y 3, por lo tanto se ubican PSS en estas máquinas, la Tabla 33 muestra que para Kw de 1 el sistema se hace inestable pero que para ganancias mayores se obtiene buen margen de estabilidad.

100

Tabla 33. Respuesta del sistema de dos áreas con PSS en las maquinas 1 y 3 (S cte)


-0,00539 6,7817 1,079339 0,079479

-0,00539 -6,7817 1,079339 0,079479

-0,01028 6,72202 1,06984 0,15293

-0,01028 -6,72202 1,06984 0,15293

0,00583 3,03376 0,482837 -0,19217

1

-3,03376 0,482837 -0,19217 0,00583

-0,0654 6,74553 1,073582 0,969485

-0,0654 -6,74553 1,073582 0,969485

-0,08279 6,67679 1,062642 1,239872

-0,08279 -6,67679 1,062642 1,239872

-0,00973 3,02379 0,48125 0,32178

3

-0,00973 -3,02379 0,48125 0,32178

-0,12249 6,70779 1,067575 1,825781

-0,12249 -6,70779 1,067575 1,825781

-0,15328 6,63006 1,055204 2,311277

-0,15328 -6,63006 1,055204 2,311277

-0,02531 3,0139 0,479676 0,839746

5

-0,02531 -3,0139 0,479676 0,839746

-0,25232 6,60803 1,051698 3,815604

-0,25232 -6,60803 1,051698 3,815604

-0,32027 6,50756 1,035708 4,915557

-0,32027 -6,50756 1,035708 4,915557

-0,06428 2,98949 0,475791 2,149703

10

-0,06428 -2,98949 0,475791 2,149703

-0,36403 6,50299 1,034981 5,589136

-0,36403 -6,50299 1,034981 5,589136

-0,47351 6,37858 1,01518 7,403069

-0,47351 -6,37858 1,01518 7,403069

-0,10329 2,96544 0,471963 3,481015

15

-0,10329 -2,96544 0,471963 3,481015

-0,61275 6,24521 0,993954 9,764632

-0,61275 -6,24521 0,993954 9,764632

-0,45846 6,39551 1,017875 7,150119

-0,45846 -6,39551 1,017875 7,150119

-0,14231 2,94161 0,468171 4,832175

T1=0,3s T2=T3=T4=0,03s

Tw=10s

20

-0,14231 -2,94161 0,468171 4,832175

4.2.2 Carga modelada como impedancia constante (Z cte)

La Tabla 34 muestra para este caso la respuesta natural a las continuas perturbaciones y la Tabla 35 muestra la influencia negativa de los AVRs en la estabilidad del sistema.

De igual manera se puede observar la existencia de tres modos electromecánicos con la misma clasificación que para los análisis de la sección

101

anterior. Se presenta también una participación muy parecida de cada máquina sobre cada modo y de la misma manera que para el caso anterior se ubicaron los PSS en todas las maquinas, la Tabla 36 muestra el efecto de los PSS para este caso.

Tabla 34. Respuesta natural del sistema de dos áreas (Z cte) STATE MATRIX EIGENVALUES

Imag. Part Frequency (%) Real part -0,00185 6,77219 1,07782499 0,027318

-0,00185 -6,77219 1,07782499 0,027318

-0,00174 6,73557 1,07199675 0,025833

-0,00174 -6,73557 1,07199675 0,025833

-0,00505 3,06713 0,48814776 0,164649

-0,00505 -3,06713 0,48814776 0,164649

Tabla 35. Respuesta del sistema de dos áreas incluyendo AVRs (Z cte) STATE MATRIX EIGENVALUES

Imag. Part Frequency (%) Real part 0,01302 3,14664 0,500802 -0,41377

0,01302 -3,14664 0,500802 -0,41377

0,01731 6,80291 1,082714 -0,25445

0,01731 -6,80291 1,082714 -0,25445

0,01451 6,76086 1,076022 -0,21462

0,01451 -6,76086 1,076022 -0,21462

Comparando las Tablas 31 y 36 se puede observar que para un mismo grupo de parámetros del PSS cuando se modela la carga como impedancia constante, se obtienen mejores amortiguamientos relativos para los modos electromecánicos del sistema, es decir, la característica de la carga es muy importante para la efectividad del PSS. La anterior observación y en general el desempeño del PSS se puede hacer más evidente al obtener parámetros óptimos con técnicas sofisticadas basadas en la manipulación de la matriz de estado del sistema en un punto de operación determinado.

102

Tabla 36. Respuesta del sistema de dos áreas con PSS en todas las maquinas (Z cte)


-0,0385 6,77323 1,077990514 0,568405

-0,0385 -6,77323 1,077990514 0,568405

-0,04034 6,73118 1,071298065 0,59928981

-0,04034 -6,73118 1,071298065 0,59928981

-0,01102 3,13138 0,49837344 0,35191934

1

-0,01102 -3,13138 0,49837344 0,35191934

-0,14673 6,71072 1,068041762 2,18597912

-0,14673 -6,71072 1,068041762 2,18597912

-0,14654 6,6688 1,061370003 2,19686651

-0,14654 -6,6688 1,061370003 2,19686651

-0,05766 3,10062 0,493477846 1,85930661

3

-0,05766 -3,10062 0,493477846 1,85930661

-0,24784 6,60279 1,050864209 3,75092333

-0,24784 -6,60279 1,050864209 3,75092333

-0,25018 6,64443 1,057491406 3,76259282

-0,25018 -6,64443 1,057491406 3,76259282

-0,10243 3,0696 0,488540871 3,33506058

5

-0,10243 -3,0696 0,488540871 3,33506058

-0,47849 6,42532 1,022619048 7,42638052

-0,47849 -6,42532 1,022619048 7,42638052

-0,48642 6,46533 1,028986822 7,50231108

-0,48642 -6,46533 1,028986822 7,50231108

-0,2066 2,99143 0,476099758 6,88998346

10

-0,2066 -2,99143 0,476099758 6,88998346

-0,67629 6,2366 0,992583397 10,7806895

-0,67629 -6,2366 0,992583397 10,7806895

-0,68953 6,27362 0,998475299 10,9251527

-0,68953 -6,27362 0,998475299 10,9251527

-0,30054 2,91308 0,463629997 10,2624439

15

-0,30054 -2,91308 0,463629997 10,2624439

-0,84269 6,04394 0,961920677 13,8091475

-0,84269 -6,04394 0,961920677 13,8091475

-0,86034 6,07691 0,967168004 14,0177385

-0,86034 -6,07691 0,967168004 14,0177385

-0,38529 2,83529 0,451249363 13,4653273

T1=0,3s T2=T3=T4=0,03s

Tw=10s

20

-0,38529 -2,83529 0,451249363 13,4653273

103

4.3 SVCs EN SISTEMAS ELECTRICOS DE POTENCIA

Regular el voltaje de las barras críticas del sistema es una alternativa para amortiguar las oscilaciones de potencia, a través de una admitancia shunt variable [8] [9] [15]. Un ejemplo de esto lo constituyen los compensadores estáticos de potencia reactiva (SVCs). Los SVCs contienen un banco de condensadores suicheados con tiristores en paralelo con un banco de reactores controlados, que son conectados a la barra de nivel de voltaje de transmisión utilizando un transformador como muestra la Figura 58.

Figura 58. Diagrama de un SVC

Cuando se pretende utilizar un SVC para aumentar el amortiguamiento de oscilaciones electromecánicas, es necesario pleno conocimiento de la naturaleza compleja del sistema de potencia:

La naturaleza de las oscilaciones de potencia depende de la topología del sistema y de las condiciones de operación.

Las características de las cargas tienen una influencia importante en la efectividad del SVC para amortiguar oscilaciones de potencia.

El uso de SVCs sin control suplementario para adicionar amortiguamiento, tiene un efecto amortiguador casi despreciable en las oscilaciones electromecánicas del sistema. Cuando se desea que el SVC influya efectivamente en el amortiguamiento, se deben adicionar controles suplementarios [9] [15].

104

Como la función principal de un SVC* no consiste en amortiguar oscilaciones de potencia, se debe tener cuidado en no alterar su función principal, al adicionar el control suplementario de amortiguamiento (PSDC). En general, el punto en donde el SVC entrega el mayor amortiguamiento, es el punto del sistema que tiene mayores fluctuaciones de voltaje para el modo que se desea amortiguar [9]. La selección de la señal de entrada del PSDC, es otro factor bien importante; para seleccionar la señal o señales de entrada se puede evaluar la controlabilidad de diferentes variables (velocidades de máquinas, potencias, corrientes, etc.) en el modo de interés. En la mayoría de los casos, la corriente que circula por la línea de transmisión que enlaza las áreas implicadas en el modo, es la señal más apropiada. Se debe buscar que el PSDC no tenga sensibilidad a su salida (baja ganancia de lazo interno).

Como la versión de PSAT con la que se trabajó no cuenta con el PSDC; en esta sección se pretende mostrar esa pequeña contribución que el SVC tiene sobre al amortiguamiento de las oscilaciones electromecánicas en particular sobre el sistema de dos áreas trabajado en la sección anterior. Para este caso se buscó enviar una cantidad de potencia de un área a otra, con el fin de ilustrar un caso típico. Se utilizo el modelo tipo I que maneja PSAT para el SVC el cual se muestra en la Figura 59.

Figura 59. Modelo del SVC

El punto de operación sin SVC es ilustrado en la Tabla 37. Las cargas se modelaron como potencia constante.

Como puede observarse de la Tabla 37, el voltaje del nodo 6 tiene la magnitud más pequeña de todos y es allí entonces donde se ubicara el SVC para mejorar los perfiles de tensión, para dicho SVC se utilizaron los parámetros mostrados en la Tabla 38.

Como resultado directo de la acción del SVC sobre el sistema, se mejoraron los perfiles de tensión, pero además se proporciono cierta cantidad de amortiguamiento a los modos electromecánicos del sistema como lo muestra la Tabla 39.

* La función principal para la que se instalan SVCs en sistemas de potencia, es mejorar la estabilidad transitoria y amortiguar las fluctuaciones de voltaje.

105

Tabla 37. Flujo de carga para el sistema intercambiando potencia entre áreas Bus V phase P gen Q gen P load Q load

[p.u.] [deg] [p.u.] [p.u.] [p.u.] [p.u.]Bus 1 1,03 13,6631074 1,04 0,36293013 0 0

Bus 10 1,02 -4,02688283 1,04 1,29171305 0 0

Bus 2 1,01137771 10,366498 0 0 0 0

Bus 3 0,97863648 6,21187299 0 0 0 0

Bus 4 1,03 9,61890174 1,04 0,94940989 0 0

Bus 5 0,87851982 -3,0395321 0 0 1,5 1

Bus 6 0,8087882 -17,6267925 0 0 2,5 1,5

Bus 7 0,94887544 -7,57539871 0 0 0 0

Bus 8 0,99814044 -3,34365552 0 0 0 0

Bus 9 1,03 0 1,04101923 0,60009533 0 0

Tabla 38. Parámetros del SVC utilizado Parametros Datos (pu)

Tr 0,02

Kr 1

Vref 1

Bmax 1

Bmin 0

Tabla 39. Modos electromecánicos del sistema sin y con SVC (S cte) Imag. Part Frequency (%) Real part

0,01028 6,7087 1,06772 -0,15323

0,01028 -6,7087 1,06772 -0,15323

0,01037 6,65023 1,058415 -0,15593

0,01037 -6,65023 1,058415 -0,15593

0,00757 2,96555 0,471981 -0,25526

sin SVC

0,00757 -2,96555 0,471981 -0,25526

0,00957 6,6768 1,062643 -0,14333

0,00957 -6,6768 1,062643 -0,14333

0,01205 6,5434 1,041412 -0,18415

0,01205 -6,5434 1,041412 -0,18415

0,00704 3,295 0,524414 -0,21366

con SVC

0,00704 -3,295 0,524414 -0,21366

La Tabla 39 muestra un sistema siempre inestable, pero aunque es insignificante en la práctica, se puede observar la contribución del SVC al amortiguamiento.

Así como se mencionó para el PSS, el SVC mediante una buena selección de sus parámetros basada en técnicas especiales de estudio puede aportar un poco más, aunque en la práctica siempre sería insuficiente sin la presencia del PSDC.

106

CONCLUSIONES

La manipulación del sistema WSCC, permite concluir que las condiciones de carga en las que se encuentra un SEP están directamente relacionadas con el margen de estabilidad que este ofrece, por lo tanto se justifica introducir dispositivos de control PSS sólo para condiciones de operación cercanas a la sobrecarga.

El efecto negativo que tienen los reguladores automáticos de voltaje (AVR), puede llevar el sistema a la inestabilidad cuando se encuentra operando cerca de la sobrecarga, pero sucede lo contrario cuando el sistema opera en un punto de carga ligera pues la inclusión de estos dispositivos tiene como consecuencia un aumento en la magnitud del radio de amortiguamiento de los modos electromecánicos.

Es importante destacar la necesidad de poner limitadores de ganancia en los dispositivos de control PSS, porque aunque para altas ganancias se observa un alto amortiguamiento relativo de los modos electromecánicos, se puede arriesgar la estabilidad de voltaje del sistema

Aunque se confirmó la efectividad de los dispositivos PSS para cualquier punto de operación, es necesario realizar una observación en el tiempo de la respuesta del las variables del sistema con el fin de poder tomar la decisión más acertada y económica en cuanto al punto de ubicación de estos dispositivos ya que pude darse que con un solo dispositivo en el sistema se pueda mitigar el mayor número de modos electromecánicos del sistema, como fue el caso del sistema de estudio WSCC.

Es importante tener en cuenta que la combinación de las propiedades físicas del sistema, si es simétrico como pudo apreciar con el sistema hipotético, con factores como los ajustes del sistema de excitación y el punto de operación favorece la aparición de los modos de oscilación inter-áreas.

El amortiguamiento de oscilaciones inter-área con PSSs es una función muy compleja, la cual depende entre otras, de la localización de los PSSs, las condiciones de operación del sistema y hasta de los tipos o modelos de carga asumidos, de aquí se desprende un aspecto importante con respecto al modelamiento de las cargas, se debe tener un panorama claro acerca de su comportamiento en el sistema, pues de la dependencia que tengan estas con respecto al voltaje que las alimente, se puede tener un modelo más cercano a la realidad, lo cual es importante pues de dicho modelo, se puede partir para lograr resultados sobre simulaciones que podrán ser aplicables en la práctica.

Las oscilaciones inter-área están asociadas con áreas conectadas débilmente, tal vez que intercambian altos niveles de potencia entre ellas. Estas

107

oscilaciones son las más graves pues involucran máquinas de todo el sistema y por ende son las más difíciles de amortiguar. La estabilidad de un modo inter-área no es una función simple, pues depende como se menciono anteriormente de la localización y características de las cargas y de las condiciones de operación del sistema.

Con la simulación de la falla trifásica en la barra 8 del sistema WSCC se comprobó que las oscilaciones electromecánicas posteriores a una perturbación severa en el sistema, son regidas por los modos electromecánicos de la condición de operación postfalla siempre y cuando no haya cambios en la topología del sistema durante o después de la falla.

Si se pretende implementar dispositivos tales como SVCs en un SEP se debe tener siempre presente que éste tiene como función principal mejorar la estabilidad transitoria y amortiguar las fluctuaciones de voltaje, el SVC colabora con la estabilidad de pequeña señal del SEP siempre y cuando incluya el control suplementario para adicionar amortiguamiento (PSDC), pues solo, tiene un efecto amortiguador casi despreciable.

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