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PARA LA ENSEÑANZA DE JOVENES Y ADULTOS
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MODULO CLEI III
MATEMÁTICAS
JUAN CARLOS MÁRQUEZ
2014
2
INTRODUCCION
Cada unidad de este modulo contiene los elementos teóricos necesarios de cada uno de los temas
señalados utilizando un lenguaje sencillo, el cual pueda generar confianza hacia el estudiante, además
cada capítulo contiene un número suficiente de ejercicios resueltos junto con ejercicios propuestos,
actividades diagnosticas, actividades evaluativas, talleres y evaluaciones tipo SABER-ICFES.
TABLA DE CONTENIDO
UNIDAD 1 “PENSAMIENTO NUMERICO” .................................................................................................................. 6
Sistemas lógicos. Lógica matemática Proposiciones. Términos de enlace. Negación de proposiciones
simples. Proposiciones compuestas. Conectivos lógicos. Conjunción, disyunción. Valor de Verdad. Negación
de proposiciones compuestas. Cuantificadores. Conjuntos.- Elemento. Diagramas de Venn – Euler.
Determinación de conjuntos. Subconjunto. Conjunto vacio. Conjunto universal. Operaciones entre
conjuntos: Unión, intersección, complemento. Propiedades de los conjuntos. Diferencia. Diferencia
simétrica. Sistema de numeración. Sistemas antiguos de numeración. Sistema de numeración Maya.
Sistema de numeración decimal. Lectura y escritura de números. Sistema de numeración binario. Sistema
de numeración en otras bases. Sistema de numeración Romano.
UNIDAD 2 “PENSAMIENTO NUMERICO-VARIACIONAL” ........................................... 39
Sistema numérico natural. Operaciones en el conjunto de los números naturales (adición, sustracción,
multiplicación, división y solución de expresiones aritméticas). Otras operaciones en el conjunto de los
números naturales (Potenciación y propiedades, expresiones con potencias, radicación, expresiones con
raíces y Logaritmación). Variación y ecuaciones. Nociones de cambio (fenómenos con cambio de tiempo y
cambio de posición, cambios simultáneos)Ecuaciones (conceptos iníciales, solución de ecuaciones y
lenguaje algebraico). Números enteros .Propiedades. Aplicación de los números enteros en la vida
cotidiana. Operaciones en el conjunto de los números enteros (adición, sustracción, multiplicación, división
y solución de expresiones aritméticas). Otras operaciones en el conjunto de los números enteros
(potenciación y propiedades, expresiones con potencias, radicación, expresiones con raíces y
logaritmación).Variación y ecuaciones.
UNIDAD 3 “PENSAMIENTO GEOMÉTRICO-METRICO” ............................................... 81
Conceptos básicos de la geometría. Punto. Línea recta. Semirrecta. Segmento. Plano. Construcción de
perpendiculares y de paralelas con escuadras. Elementos básicos de geométria. Definición de ángulo.
Clasificación de los ángulos según su amplitud y según la suma de sus medidas. Ángulos determinados por
dos paralelas y una secante. Construcción de ángulos con transportador. Polígonos. Definición.
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Propiedades y aplicación. Unidades de medida. Unidades de longitud, de peso, capacidad, superficie,
volumen
UNIDAD 4 “PENSAMIENTO ALEATORIO” ............................................................................................................. 110
Estadística. Conceptos (Estadística. Tipos de estadísticas. Aplicaciones. Usos). Población. Muestra.
Elemento. Datos. Variables. Clases de variables. Concepto de investigación y de estudio. Medidas de
tendencia central. Moda, mediana y media aritmética.
BIBLIOGRAFIA.......................................................................................... 125
NOTA: todas las unidades cuentan con actividades, ejercicios, talleres, evaluaciones, trabajos prácticos,
actividades de nivelación, talleres tipo SABER-ICFES, ejercicios o actividades complementarias,
ejercicios resueltos, entre otras.
4
UNIDAD 1
“PENSAMIENTO NUMERICO”
PROPOSICIONES LÓGICAS
Enunciado.- Es toda frase u oración que se utiliza en nuestro lenguaje
PROPOSICIÓN.-Es todo enunciado, respecto de la cual se puede decir si es verdadera (V) o falsa (F)
Notación
Por lo general, a las proposiciones se las representa por las letras del alfabeto desde la letra p, es decir,
p, q, r, s, t,... etc.
Así, por ejemplo, podemos citar las siguientes proposiciones y su valor de verdad:
Proposición
q: Rímac es el distrito de la provincia de Lima (V)
r: El número 15 es divisible por 3. (V)
s: El perro es un ave. (F)
t: Todos los triángulos tienen cuatro lados (F)
u: ¿Qué día es hoy? No es una proposición
p: ¡Viva el Perú 1!
EXPRESIONES NO PROPOSICIONALES
a) ¡Levántate temprano! b) ¿Has entendido lo que es una proposición? c) ¡Estudia esta lección! d) ¿Cuál es
tu nombre l? e) Prohibido pasar f) Borra el pizarrón
No son proposiciones por no poder ser evaluadas como verdaderas ni falsas. Las exclamaciones, órdenes
ni las preguntas son proposiciones
ACTIVIDAD 1
I.-Indique cual (es) de los siguientes enunciados son proposiciones:
a) 5 + 7 = 16 - 4 ( )
b) ¡Estudie lógica proposicional! ( )
c) Los hombres no pueden vivir sin oxigeno ( )
d) 3 x 6 = 15 + 1 y 4 - 2 23 x 5 ( )
e) ¿El silencio es fundamental para estudiar? ( )
f) 20 -18 = 2 ( )
g) Breña es un distrito de la provincia de Lima ( )
h) Un lápiz no es un cuaderno ( )
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i) ¿Eres estudiante de matemática? ( )
j) 15 < 13 ( )
k) Ponga atención ( )
ENUNCIADOS ABIERTOS.- son aquellos enunciados que constan de variables. Se convierte en una
proposición cuando se le asigna un valor específico a la variable". Ejemplos:
a) p: x es la capital del Perú
Sí x: Lima, Quito…
Para p (Lima): Lima es la capital del Perú es verdadero (V)
Para p (Quito): Quito es la capital del Perú es falso (F)
b) q: y + 4 = 11 , y es número natural
Y: 0; 1; 2; 3; 4;…..
Para q (1): 1+ 4 = 11 , es falso (F)
q (7): 8+4 = 11 , es verdadero (V)
ACTIVIDAD 2
1. Determine cuales de los siguientes enunciados son enunciados abiertos y para que valores de la
variable las proposiciones son verdaderas y falsas
a) x es hermano de y
b) 28 < 15
c) El es arquitecto
d) Tenga calma ,no se impaciente
e) 9x + 3 = 12 , x R
f) x es Ingeniero y Juan es Matemático
g) 3x – 8 > 15 , x R
h) x + y 15 , x , y R
i) 2x + 5 > 11, x R
j) 3x + 7 = 11, x N
l) x es un animal
CLASE DE PROPOSICIONES
A) Proposición Simple o Atómicas.- Son aquellas proposiciones que constan de un solo enunciado
proposicional. Por ejemplo, sea la proposición p: 3 + 6 = 9
B) Proposición Compuesta o molecular.- Son aquellas proposiciones que constan de dos o más
proposiciones simples. Ejemplo:
6
r: Pitágoras era griego y era geómetra
p q
Encontramos dos enunciados. El primero (p) nos afirma que Pitágoras era griego y el segundo (q) que
Pitágoras era geómetra.
Ejemplo:
p: Juan es profesor o Manuel es arquitecto
Donde podemos observar que la proposición p, se divide en dos proposiciones simples:
r: Juan es profesor y
s : Manuel es arquitecto
Es decir , p : r o s
CONECTIVOS LÓGICOS.- Enlazan proposiciones simples
A partir de proporciones simples es posible generar otras, simples o compuestas. Es decir que se puede
operar con proposiciones, y para ello se utilizan ciertos símbolos llamados conectivos lógicos
OPERACIONES PROPOSICIONALES
Definiremos las operaciones entre proposiciones en el sentido siguiente: dadas dos o más proposiciones,
de las que se conoce los valores veritativos, se trata de caracterizar la proposición resultante a través de
su valor de verdad. A tal efecto, estudiaremos a continuación el uso y significado de los diferentes
conectivos lógicos mencionados arriba:
1.-NEGACIÓN
Dada una proposición p, se denomina la negación de p a otra proposición denotada por ~p (se lee "no p")
que le asigna el valor veritativo opuesto al de p. Por ejemplo:
P : Diego estudia matemática
~p : Diego no estudia matemática
Por lo que nos resulta sencillo construir su tabla de verdad:
p ~p
V
F
F
V
Se trata de una operación unitaria, pues a partir de una proposición se obtiene otra, que es su negación.
7
Ejemplo: La negación de
p: todos los alumnos estudian matemática es
~p: no todos los alumnos estudian matemática o bien:
~p: no es cierto que todos los alumnos estudian matemática
~p: hay alumnos que no estudian matemática
2.-CONJUNCIÓN
Dadas dos proposiciones p y q, se denomina conjunción de estas proposiciones a la proposición p q (se
lee "p y q") Ejemplo: Sea la declaración
i) 5 es un número impar y 6 es un número par
p q
vemos que está compuesta de dos proposiciones a las que llamaremos p y q, que son
Símbolo Operación asociada Significado
~
Negación
Conjunción o
producto lógico
Disyunción o suma
lógica
Implicación
Doble implicación
Diferencia simétrica
no p o no es
cierto que p
p y q
p o q (en sentido
incluyente)
p implica q, o si p
entonces q
p si y sólo si q
p o q (en sentido
excluyente)
8
p: 5 es un número impar
q: 6 es un número par
y por ser ambas verdaderas, la conjunción de ellas (que no es sino la declaración i) es verdadera.
Tabla de verdad
La tabla que define esta operación, establece que la conjunción es verdadera sólo si lo son las dos
proposiciones componentes. En todo otro caso, es falsa.
Ejemplo 2: Si p: 3 es mayor que 7
q : Todo número par es múltiplo de dos
Entonces :
p q : 3 es mayor que 7 y todo número par es múltiplo de dos
Por ser ambas verdaderas la conjunción de ellas es verdadera
3.-DISYUNCIÓN
Dadas dos proposiciones p yq, la disyunción de las proposiciones p y q es la proposición p q , se lee ”
p o q “
Ejemplo 1.
Tiro las cosas viejas o que no me sirven
El sentido de la disyunción compuesta por p y q (p: tiro las cosas viejas, q: tiro las cosas que no me
sirven) es incluyente, pues si tiro algo viejo, y que además no me sirve, la disyunción es V.
La disyunción o es utilizada en sentido excluyente, ya que la verdad de la disyunción se da en el caso de
que al menos una de las proposiciones sea verdadera
Tabla de verdad
p q p q
V
V
F
F
V
F
V
F
V
F
F
F
p q p q
V
V
F
F
V
F
V
F
V
V
V
F
9
Ejemplo2
Si p : Hace frió en Invierno , y
q : Napoleón invadió Lima
p q : Hace frió en Invierno o Napoleón invadió
Lima
Por ser al menos una de la proposiciones verdadera la conjunción es verdadera
4.-IMPLICACIÓN O CONDICIONAL
Implicación de las proposiciones p y q es la proposición p q (si p entonces q). La proposición p se llama
antecedente, y la proposición q se llama consecuente de la implicación o condicional.
Ejemplo.
Supongamos la implicación
i)Si apruebo, ENTONCES te presto el libro
p q
La implicación está compuesta de las proposiciones
p: apruebo
q: te presto el libro
Nos interesa conocer la verdad o falsedad de la implicación i), en relación a la verdad o falsedad de las
proposiciones p y q. El enunciado puede pensarse como un compromiso, condicionado por p, y podemos
asociar su verdad al cumplimiento del compromiso. Es evidente que si p es F, es decir si no apruebo el
examen, quedo liberado del compromiso y preste o no el apunte la implicación es verdadera.
Si p es verdadera, es decir si apruebo el examen, y no presto el libro, el compromiso no se cumple y la
proposición i) es falsa. Si p y q son verdaderas, entonces la proposición i) es verdadera pues el
compromiso se cumple.
Tabla de verdad
p q p q
V
V
F
F
V
F
V
F
V
F
V
V
La tabla nos muestra que la implicación sólo es falsa si el antecedente es verdadero y el consecuente es
falso.
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5.-DOBLE IMPLICACIÓN O BICONDICIONAL
Doble implicación de las proposiciones p y q es la proposición p q (se lee "p si y sólo si q")
Ejemplo 1:
p : Karina ingresa a la universidad
q : Karina estudia mucho
Entonces:
p q : Karina ingresa a la universidad si y sólo si estudia mucho.
Ejemplo 2:
Sea i) a = b si y sólo si a² = b²
El enunciado está compuesto por las proposiciones:
p: a = b
q: a² = b²
Esta doble implicación es falsa si p es F y q es V. En los demás casos es V.
Tabla de verdad
La doble implicación o bicondicional sólo es verdadera si ambas proposiciones tienen el mismo valor de
verdad.
La doble implicación puede definirse como la conjunción de una implicación y su recíproca. De este modo,
la tabla de valores de verdad de p q puede obtenerse mediante la tabla de (p q) (q p), como
vemos:
Diferencia Simétrica
Diferencia simétrica o disyunción en sentido excluyente
de las proposiciones p y q es la proposición p q (se lee
"p o q en sentido excluyente") cuya tabla de valores de
verdad es:
p q p q
V
V
F
F
V
F
V
F
V
F
F
V
p q p
q q p (p q) (q p)
V
V
F
F
V
F
V
F
V
F
V
V
V
V
F
V
V
F
F
V
11
p q p q
V
V
F
F
V
F
V
F
F
V
V
F
La verdad de p q está caracterizada por la verdad de una y sólo una de las proposiciones componentes.
Ejemplo.
Sea i) o vamos a Lima o vamos a Ica
Queda claro que sólo podremos ir a uno de los dos lugares, y sólo a uno. Es decir que el enunciado i) es
verdadero sólo si vamos a una de las dos ciudades. En caso de ir a ambas, o de no ir a ninguna, el
enunciado es Falso.
PROPOSICIONES LÓGICAMENTE EQUIVALENTES
Dos proposiciones p y q se llaman equivalentes si sus tablas de verdad son idénticas. De ser así se denota:
p q
Ejemplo.
Sea p: p q, recordamos su tabla de verdad
p q p q
V
V
F
F
V
F
V
F
V
F
V
V
Ahora bien , si analizamos la
proposición q: ~p q, su tabla de verdad resulta:
p q ~p q
V
V
F
F
V
F
V
F
V
F
V
V
12
Como vemos, luego de realizar las tablas de valor veritativo encontramos que ambas proposiciones
tienen el mismo resultado final. Con esto, decimos que ambas proposiciones son lógicamente equivalentes,
y en este caso particular lo simbolizamos:
(p q) (~p q)
TAUTOLOGÍA, CONTRADICCIÓN Y CONTINGENCIA
Al conjunto de proposiciones, conectivos lógicos y símbolos de agrupación lo denominamos fórmula
lógica. Por ejemplo:
~{ (p q) (s t) }
Tautología
Si al evaluar una fórmula lógica, resulta que todos los valores de verdad resultantes son siempre V
para cualquier combinación de sus valores veritativos, decimos que dicha fórmula es una Tautología o
Ley lógica.
Ejemplo.
Si analizamos la proposición t: p ~p realizando su tabla de verdad:
Vemos que para cualquier combinación de las proposiciones p y su negación ~p, la proposición t: p ~p es
siempre verdadera. Entonces, la proposición t es una tautología.
Ejemplo.Analizemos ahora la fórmula lógica
{ ( p q ) p } q
p ~p p ~p
V
F
F
V
V
V
p q p q q p { ( p q ) p } q
V
V
F
F
V
F
V
F
V
F
V
V
V
F
F
F
V
V
V
V
13
En este caso comprobamos también que independientemente de la combinación de valores de verdad de
las proposiciones p y q, el resultado de la fórmula lógica es siempre V. Decimos, aquí también, que esta
fórmula es una tautología o ley lógica.
Contradicción
Si al estudiar una fórmula lógica, a diferencia de los ejemplos anteriores resulta que para cualquier valor
de verdad de las proposiciones intervinientes el resultado de dicha fórmula es siempre falso, decimos que
dicha fórmula es una Contradicción.
Ejemplo
Analizemos la fórmula lógica p ~p
p ~p p ~p
V
F
F
V
F
F
Contingencia
Encontramos que la fórmula es siempre falsa, es entonces una Contradicción. Si una proposición no es una
tautología ni una contradicción (es decir que contiene al menos un valor V y otro F) es una contingencia.
LEYES DEL ÁLGEBRA PROPOSICIONAL
Como bien dijimos arriba, aquellas fórmulas lógicas que resultan ser siempre verdaderas no importa la
combinación de los valores veritativos de sus componentes, son tautologías o leyes lógicas. En el cálculo
proposicional existen algunas tautologías especialmente útiles cuya demostración se reduce a la
confección de su correspondiente tabla de verdad, a saber:
Involución
~(~p) p
(se lee "no, no p, equivale a p")
Idempotencia
(p ~p) p
(p ~p) p
Conmutatividad
p q p q (p ~q) ~(p ~q) p q ~(p ~q)
V
V
F
F
V
F
V
F
V
F
V
V
F
V
F
F
V
F
V
V
V
V
V
V
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a) de la disyunción: p q q p
b) de la conjunción: p q q p
Asociatividad
a) de la disyunción: (p q) r p (q r)
b) de la conjunción: (p q) r p (q r)
Distributividad
a)de la conjunción respecto de la disyunción:
(p q) r (p r) (q r)
b)de la disyunción respecto de la conjunción:
(p q) r (p r) (q r)
Leyes de De Morgan
~( p q ) ~p ~q
" La negación de una disyunción equivale a la conjunción de las negaciones"
~( p q ) ~p ~q
"La negación de una conjunción equivale a la disyunción de las negaciones"
Negación de una Implicación
Las proposiciones p q y ~(p ~q) son equivalentes, como vemos realizando la tabla de valores
correspondientes:
Con esto, comprobamos que la negación de la primera equivale a la negación de la segunda, es decir ~(p
q) ~{ ~(p ~q)}, y podemos concluir entonces que:
~( p q ) ( p ~q)
Es decir, la negación de una implicación no es una implicación sino la conjunción del antecedente con la
negación del consecuente.
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Funciones proposicionales y cuantificadores
Cuantificadores
A partir de funciones proposicionales es posible obtener proposiciones generales mediante un proceso
llamado de cuantificación. Asociados a la indeterminada x, introducimos los símbolos x y x, llamados
cuantificador universal y cuantificador existencial respectivamente. Las expresiones
Cuantificador Universal:
Para todo x, se verifica p(x) ,se denota por x : p(x)
Cuantificador existencial
Existe x, tal que se verifica p(x) , se denota por x / p(x)
Corresponden a una función proposicional p(x) cuantificada universalmente en el primer caso, y
existencialmente en el segundo.
Ejemplo.
Una función proposicional cuantificada universalmente es V si y sólo si son V todas las proposiciones
particulares asociadas a aquella. Para asegurar la verdad de una proposición cuantificada universalmente
es suficiente que sea verdadera alguna de las proposiciones asociadas a la función proposicional.
Un problema de interés es la negación de funciones proposicionales cuantificadas. Por ejemplo, La
negación de
"Todos los enteros son impares" Es
"Existen enteros que no son impares"
y en símbolos: x / ~p(x)
Entonces, para negar una función proposicional cuantificada universalmente se cambia el cuantificador en
existencial, y se niega la función proposicional.
Ejemplo.
Supongamos la proposición:
Todos los alumnos de mi colegio son aplicados
La vamos a escribir en lenguaje simbólico, negarla y retraducir la negación al lenguaje ordinario.
Nos damos cuenta pronto que se trata de la implicación de dos funciones proposicionales:
p(x) : es alumno de mi colegio
q(x) : es aplicado
Tenemos:
x : p(x) q(x)
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Teniendo en cuenta la forma de negar una función proposicional cuantificada universalmente y una
implicación resulta:
x / p(x) ~q(x)
Y traduciendo al lenguaje ordinario resulta:
Existen alumnos de mi colegio que no son aplicados
TALLER 1
1.-Halle el valor de verdad de las siguientes proposiciones:
a).- Lima es la capital del Perú y Bolivia se encuentra ubicada en América del Sur.
b).-Si 2 > 1 , entonces 3 > 2 ó 21 < 5
c).- 24 es un número par y 42 es un número impar
d) Si Bolivia limita con el Perú , entonces Perú limita con Chile.
2.- Formalice las siguientes proposiciones
a).- Si ella no viene entonces nos vamos al cine
b)- Si trabajas y estudias te preparas mejor para el futuro
c) Ser bachiller o titulado en Ciclo Superior y tener 18 años cumplidos son condiciones para poder ejercer
la docencia
d).- Si dominas las asignaturas y te relacionas bien con todas las personas del colegio entonces no has
perdido el tiempo"
e)- Si tengo muchos exámenes que corregir y he descansado un poco al mediodía, trabajo hasta las doce
de la noche. Pero hoy no trabajo hasta las doce. Por tanto, será que no he descansado al mediodia
f) Si te cuesta entender las cosas , pero te esfuerzas diariamente, seguro que no suspendes
g).-Estudio Álgebra si y solo si estudio Física , o si no estudio Física entonces estudio Aritmética
h) Roxana estudia o trabaja , pero si no estudia entonces trabaja . En consecuencia , Roxana no trabaja
hoy no es lunes
3. - Clasifique como tautología, contradicción y contingencia. Los siguientes esquemas
moleculares:
a)[(pΛ q) → q ] v p d) ˜(p v q) Λ p
b) (p→q) v p e) [ (p → ˜ q) Λ p ] →˜ q
c) p→(pΛq) f) ˜p v ˜( p v q )
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4. - Si p y q son proposiciones falsa y verdadera respectivamente , halle el valor de
verdad de las siguientes proposiciones:
a) p V ( p → q ) c) p Λ ( p→ q )
b) ( p V q ) → p d) (p V q ) ↔ [ p Λ ( p→ q ) ]
5.- Si p=V , q= V, r= F. Halle el valor de verdad de los siguientes esquemas moleculares:
a) (p Λ q ) → ( ˜ p V r ) c) p Λ q → r e) ( p ↔ ˜ q ) → r
b) ˜ r Λ [p →( r V q ) ] d) )[(pΛ q) → (q Λ r )] ↔ ˜ p f) ( ˜ p V q ) →( ˜ r Λ q )
6.- a)Si la proposición p → ( ˜ p V q ) es falso , determine el valor de verdad de : ˜ (p V q )
b) Si la proposición ( p Λ q ) → ( q→r ) , es falsa determine el valor de : p V r
7. Formaliza los siguientes razonamientos. ¿Son tautologías, contradicciones o
indeterminaciones(contingencias)?
a).Si tengo razón, entonces estoy loco. Pero si estoy loco, entonces tengo razón. Por tanto, no estoy loco.
b).Si tengo razón, entonces estoy loco. Pero si estoy loco, entonces tengo
razón. Por tanto, no tengo razón.
c.)A menos que me equivoque, estoy loco. Pero si estoy loco, tengo que estar
Equivocado. Por tanto, estoy equivocado.
d).Si tengo razón, entonces tú estás loco. Si yo estoy loco, no tengo razón. Si
Tú eres un loco, tengo razón. Por tanto, no estamos los dos locos al mismo
Tiempo.
e) Si la prima de Mayra no quiere cenar, entonces come su empanada. Si come su empanada, no le dan
torta. La prima de Mayra no quiere cenar y se retira de la mesa. Por lo tanto no le dan torta.
8. Clasifica los siguientes enunciados: Proposición, Enunciado abierto, enunciado
I) 35 – 17 = 18 (…………….) II) 2 + 5 > 3 (…………….)
III) ¿Estudias Matemática? (…………….) IV) 9 es número primo (…………….)
V) ¡Eres grande Perú! (………… ..) VI) 27 - x = 40 (……………)
9. -Formalice la siguiente proposición:
Es falso que, estudie y no voy al cine
10. - Decir si la siguiente proposición es tautología, contingencia o contradicción:
( ) ( )p q p q
11. - Dada las siguientes premisas:
p: Hoy es feriado
18
q: Mañana es día laborable
r: Voy a clase
Formaliza la proposición: “No es verdad que, Hoy sea feriado y que no asista a clase. Por lo tanto voy a
clase.
12. -Si la proposición: ( )p p q , es falsa indicar el valor de verdad de la proposición:
( ) ( )p q p p q
13. -A menos que me equivoque, estoy loco. Pero si estoy loco, tengo que estar equivocado. Por tanto,
estoy equivocado
CONECTIVOS LÓGICOS SINÓNIMOS
^ conjunción
y
También
Aún
A la vez
No obstante
Además
Pero
Sin embargo
Aunque
~ negación
No es cierto que
Es falso que
No es el caso que
No sucede que
V disyunción
O
A menos que
p q implicación
p es condición suficiente para q
Si p , q
q si p
Que p siempre que q
Cuando p , q
q es condición necesaria para p
En caso de que p entonces q
p solo si q
P q
Si y sólo si
Cuando y sólo cuando
Equivale a
Es necesario y suficiente para
En el caso , y sólo en el caso , de que
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14. - Cuáles de los siguientes enunciados son proposiciones , función proposicional .Determine su valor de
verdad:
a) El pisco es peruano
b) 3 es un número racional
c) ¡ Viva el Perú!
d) Un triángulo es un polígono de tres lados
e) x es hermano de y
f) 28 < 15
g)¿Te gusta la Matemática?
h) El es arquitecto
i)2
1
8
2236
j)Tenga calma ,no se impaciente
k) 9x + 3 = 12 , x R
l)18 es múltiplo de 3
ll) 1, xxRx
m)x es Ingeniero y Juan es Matemático
n) 1.3
1/
xQx
ñ)Los cuadriláteros tienen 3 lados
o)3x – 8 > 15 , x R
p) x + y 15 , x , y R
q) 2x + 5 > 11, x R
r) 3x + 7 = 11, x N
t)x es un animal
15.
a) Si p es verdadera determinar el valor de verdad de ~p→q
b)Si p es falsa p vq
c) Si p es falsa , entonces ~p q es
d) Si la proposición (p ^ q)→r es falsa , determina el valor de las proposiciones:
16. Determinar el valor de verdad de las proposiciones p y q si se conoce la siguiente información :
rqpd
qrpd
)(2.
)(1.
)()(4.
)(3.
pqprd
rqpd
20
[(p v q ) ^ ~q]→q es falsa y [(~p ^ ~q )→ q ] ^ (p v q ) es verdadera
17. - Determinar el valor de verdad de las siguientes proposiciones:
TEORÍA DE CONJUNTOS
Definición
Conjunto: es la colección de reunión de objetos en la que se sabe cuáles pertenecen a ella y cuáles no. Los
objetos que componen un conjunto se denominan elementos. Hay conjuntos que tienen un solo elemento;
otros no tienen elemento alguno.
Ejemplos de conjuntos:
Conjunto formado por todas las piezas de un carro.
Conjunto compuestos por los objetos dentro de la cartera de una Dama.
Conjunto constituido por las instalaciones de un Conjunto Residencial.
Conjunto formado por los componentes de un computador.
Conjunto formado por las piezas publicitarias para un producto.
Conjunto al que pertenecen los números pares.
Formas de determinar o describir conjuntos
Existen dos formas para determinar, describir o definir un conjunto: por extensión y por compresión.
Por Extensión
Un conjunto se determina por extensión cuando se nombran cada uno de los elementos del conjunto.
Ejemplos:
A={parachoques, cauchos, amortiguadores, motor, caja, volante..........}
B={monedero, lentes, lápiz labial, polvo compacto, pastillero..............}
C={apartamentos, conserjería, ascensores, estacionamiento, escaleras....}
D={pantalla, mouse, teclado, unidad de discos, cpu}
0,.)
4,)
07/)
21,)
2
2
xxSid
xQxc
xNxb
xNxa
xxRxñ
xxRxn
xxRxm
xxll
1,)
,)
,)
44/)
1
09/)
22
4/)
1/)
1,)
2
2
1
0
xRxh
xx
xRxg
xxRxf
xRxe
0)
03/)
012,)
012/)
2
2
xxl
xIxk
xxZxj
xQxi
21
E={comercial de tv, anuncio de radio, vallas, anuncios de prensa, volantes, internet}
Por Comprensión
Un conjunto se determina por extensión cuando se da por una propiedad o una regla que verifican todos
sus elementos y solo ellos.
Ejemplos:
A={ piezas de un carro}
B={ objetos dentro de la cartera de una Dama}
C={ instalaciones de un Conjunto Residencial}
D={ componentes de un computador}
E={ piezas publicitarias para un producto}
Simbología
Los conjuntos como ya se expreso en los puntos anteriores se representan usualmente con letras
mayúsculas (A, B, C....), los elementos con letras minúsculas van separados por comas y encerrados entre
llaves ({}).
La forma gráfica de representar los conjuntos es mediante el uso del diagrama de Venn. En estos
diagramas se utilizan áreas rectangulares y circulares para visualizar los conjuntos. Como se muestra en
la siguiente figura.
Para denotar que un elemento x forma parte de un conjunto A, lo denotamos dela siguiente forma: x A
que expresa que: “x pertenece a A”.
La no pertenencia o bien la propiedad de no ser el elemento a un objeto del conjunto A, lo expresamos
como sigue: a A que expresa: “x no pertenece a A”.
En el desarrollo del curso se usaran con frecuencia entre otros los siguientes símbolos:
= símbolo de igualdad
símbolo usado para expresar “diferente de”
> mayor que
mayor o igual que
< menor que
C
C
D
E
22
menor o igual que
/ tal que
subconjunto de
intersección de conjuntos
C complementación de conjuntos
Clases de Conjuntos
Conjunto Vacío: es el que no contiene ningún elemento y se simboliza por Ø o { }.
Ejemplo:
A={conjunto de perros que hablan}
Conjunto Unitario: reciben el nombre de conjunto unitario aquellos conjuntos compuestos por un
sólo elemento.
Ejemplo:
B={mes del año que empiece por f}
Conjunto Finito: es el conjunto compuesto por un número determinado de elementos.
C= {x / x Z+ , x < 5} o C=={1,2,3,4}
Conjunto Infinito: es el conjunto que por su cantidad de elementos es difícil de cuantificar.
Ejemplo:
C= {x / x Z} Z son los números enteros
Conjunto Universal
Conjuntos Disjuntos o Disyuntos son los conjuntos cuya intersección no existe, es decir no se
interceptan entre sí
Operaciones con Conjuntos
Antes de describir las operaciones de conjuntos vale destacar las siguientes relaciones de conjuntos.
Relación de Contenencia o Subconjunto: si todos los elementos de un conjunto cualquiera S pertenecen a
otro R, decimos que el primero está incluido en el segundo o que S es subconjunto de R y se denota:
S R
R
S
23
Partes de un conjunto: se denomina parte de un conjunto A, al conjunto formado por todos los
subconjuntos de A y se simboliza por P(A). El número de elementos del conjuntos partes de A es 2n,
donde n es el número de elementos de A.
Ejemplo:
Dado el conjunto A={ guante, pelota, bate}
El número de subconjuntos de A es 8, ya que 23 = 8 y dichos subconjuntos son:
{guante},{pelota}, {bate},{guante, pelota}, {guante, bate}, {pelota, bate},
{ guante, pelota, bate}, { }
Luego P(A)= {{guante},{pelota}, {bate},{guante, pelota}, {guante, bate}, {pelota, bate},
{ guante, pelota, bate}, { }}
El cardinal de un conjunto: es el número de elementos de un determinado conjunto y se denota con la
letra n y acompañado entre paréntesis del nombre del conjunto. Ejemplo el cardinal del conjunto A se
representará como n(A).
Las operaciones con conjunto más comunes son: la unión, la intersección, el complemento y la diferencia.
Unión: cuando se unen dos conjuntos A y B, se obtiene un tercer conjunto C formado por todos los
elementos de A, de B de a ambos. La unión se simboliza AB
En general: AB = C ={ x / x A x B }
n(AB)= n(A)+n(B)- n(AB)
Intersección: cuando se intersecan dos conjuntos A y B, se obtiene un tercer conjunto C formado por los
elementos comunes a los dos conjuntos. La unión se simboliza AB y se lee A intersección B.
En general: AB = C ={ x / x A x B }
A
C
U
B
24
Diferencia cuando se hace la diferencia entre dos conjuntos A y B, se obtiene un tercer conjunto C
formado por los elementos que pertenecen a A y no pertenecen a B. La unión se simboliza A-B y se lee A
diferencia con B.
En general: A-B = C ={ x / x A x B }
Complemento: cuando se quiere obtener el complemento de un conjunto A dado, se escribe un conjunto C,
formado por todos los elementos del conjunto universal que no están en A. Se simboliza AC y se lee A
complemento.
En general: AC = C ={ x / x U x A }
Conjunto Numérico
Entre los conjuntos numéricos que existen están los conjunto de puntos de una recta, el conjunto de
puntos de los puntos de un plano que constituyen una figura geométrica, entre otros.
El conjunto de los números naturales:
N = {0, 1, 2, 3, 4,...........}
El conjunto de los números enteros:
Z = {....-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,...........}
El conjunto de los números racionales:
A
C
U B
A-B
25
Q = {a/b / a Z, bZ , b0}
ACTIVIDAD 1
1.- Describa por extensión los siguientes conjuntos:
P={x / x es país de sur América que tiene costa sobre el océano Pacífico}
A={x / xZ+ , x<15}
H={x / xZ, x≥10x≤25}
D={x / xR/ x2-9x+14=0}
L={x / x es letra de la palabra América}
F={x /xN x sea par}
2.- Escriba por comprensión los siguientes conjuntos:
A={1,2,3,4,5,6,..........}
B={x,y,z}
C={2,4,6,8}
D={-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2}
E={a,b,c,d,e,f.............z}
3.- En cada diagrama sombree la operación indicada
A) (A-B) (A-C) B) (AB) (BC)
U
C) ACBC
CC
U
4.- A continuación se presentan los principales productos de exportación de países de la comunidad andina
de naciones
Bolivia Colombia Ecuador Perú Venezuela
Estaño Café petróleo cobre petróleo
gas natural petróleo camarones petróleo acero
Plata Banano banano derivados del
pescado café
Antimonio esmeraldas café zinc aluminio
Café Frutas cacao café cacao
A A
C
C
U B
C
A B C C A
B
26
a) Determinar por extensión los conjuntos B, C, P y V, cuyos elementos son los principales productos
de exportación de Bolivia, Colombia, Ecuador, Perú y Venezuela, respectiva.
b) Determinar un conjunto que sirva como conjunto universal para B, C, E, P y V.
c) Encuentre:
I. CP
II. BC
III. EC (exprese en palabras el significado de este conjunto)
IV. B-E
V. BCEPV ¿Qué significado tiene este conjunto?
5.- En el siguiente diagrama de Venn muestra ciertas características de los empleados de una empresa
donde:
H: representa el conjunto de los hombres
C: representa el conjunto de casados
E: representa el conjunto de extranjeros
Determine:
a) ¿Cuántas personas forman el conjunto universal?
b) ¿Cuántos hombres casados hay?
c) ¿Cuántas mujeres extranjeras solteras hay?
d) ¿ Cuántas personas extranjeras hay en la empresa?
e) ¿ Cuántas hombres nativos solteros hay?
f) ¿Hay igual números de hombres que de mujeres?
g) ¿Hay igual número de extranjeros que de nativos?
h) ¿Cuántas mujeres casadas hay?
i) ¿ Cuántas mujeres nativas solteras hay?
6.- Sabiendo que:
n(A) =35 y n(B)=40, halle n(AB) si:
a) n(AB)=8
b) A y B son disjuntos.
E C
4 8 16
9 3 2
H 5 7
27
7.- En una encuesta realizada a 100 personas sobre sus inversiones, se observó que 45 personas poseían
acciones, 60 poseían bonos y 90 poseían por lo menos una de las dos inversiones. Se desea obtener la
siguiente información:
a) El número de personas que tienen ambas inversiones
b) El número de personas que no tienen ninguna de las dos inversiones
c) El número de personas que posee solamente acciones
d) El número de personas que poseen exactamente una de las dos inversiones
8.- En una encuesta sobre tres artículos A, B, C se obtuvieron los siguientes datos:
n(AB)=75, n(A)=43, n(C)=52, n(AB)=15, n(AC)=18, n(BC)=16, n(AC)=77 y n((ABC)C=113
Se desea saber:
a) El número de personas que prefieren el artículo B
b) Cuántas prefieren sólo el artículo B o C, pero no ambos
c) Cuántas prefieren por lo menos uno de los artículos
d) El número de personas a las que se les hizo la encuesta
e) El número de personas que sólo prefieren el artículo A
f) El número de personas que no prefiere ninguno de los tres artículos.
9.- En una universidad al analizar los horarios de clase se observo que:
El 43% de los estudiantes tienen clase a las 7 a.m
47% tiene a las 8 a.m.
40% a las 9 a.m
16% tienen clase a las 7 a.m. y a las 8 a.m
18% a las 7 a.m y a las 9 a.m
14% a las 8 a.m y a las 9 a.m
6% a las 7 a.m, 8 a.m y a las 9 a.m
Se desea conocer:
a) Que porcentaje de estudiantes tienen clase durante esas tres horas
b) Sólo a las 8 a.m
c) Qué porcentaje no tiene clase durante esas tres horas
d) Sólo a las 7 a.m y a las 8 a.m
28
TALLER 2
1. Dado el conjuntos A = { a, { a }, }. Indicar cuales de las siguientes proposiciones son verdaderas.
a. { a } A d. A
b. El conjunto A e. = { }
c. { a, { a } } A
2. Señalar cuáles de las siguientes proposiciones son verdaderas.
a. El conjunto vacío se representa por: = { }.
b. A = { x R / x2+1 = 0 } es un conjunto no vacío.
c. B = { x R / x3 + 2x = 0 } es unitario.
d. El conjunto C = { -1, 1, 3, 5, ..........} por comprensión es
C = { x / x = 2n - 3, n Z+ }.
e. Si W = { x / x R, x2 – 23 = 2 }, entonces –5 W.
f. Los conjuntos: D = 3 2/ 3 0x Z x x x y
E = 2 3/ , 5x x N x son iguales.
g. F = 3
3 1/ 927
xxx R
es unitario.
3. Determinar por extensión los siguientes conjuntos:
a. A = { x N / x - 1 5 }.
b. B = { x Z / - 2 x 3 }.
c. C = { x / x es un pronombre personal en Inglés }.
d. D = 2 1/ , 3 5x x N x .
e. E = 2
2/ , 2 5
1x Z x
x
.
4. Determinar por comprensión los siguientes conjuntos
a. A = { 4, 6, 8, 10 }.
b. B = { 3, 5, 7, 9, ..........}.
c. C = { 1, 4, 9, 16, 25, ..............}.
d. D = 9,9 .
e. E = 3 5 72,2 ,2 ,2 .
f. F = 2,3, 3 .
g. G = 1 1 1 1 1 1 1
, , , , , ,9 11 13 15 17 19 21
.
29
5. Indicar cuáles de los siguientes conjuntos son: unitarios, vacíos, finitos o infinitos.
a. A = 2/ 7 12 0x N x x .
b. B = 2 1/ , 1 2x x Z x .
c. C = 10 /x R x x .
d. D = 2/ 4 2 3x R x x
6. Sean los conjuntos gedbCgfedcBdcbaA ,,,y ,,,, ,,, Determine:
a) BA
b) AB
c) BC
d) BCA )(
e) )( CBA
f) )()( CABA
SISTEMAS DE NUMERACIÓN
SISTEMA DE NUMERACIÓN DECIMAL
Es el sistema que utilizamos normalmente para expresar cantidades. Se llama DECIMAL porque tiene 10
cifras o dígitos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 Es un sistema posicional porque una cifra cambia de valor según
la posición que ocupe:
Por ejemplo ¿Qué valor tiene el número 3 en las siguientes cantidades?
123 3 unidades
3124 3 unidades de mil = 3000 unidades
324 3 centenas = 300 unidades
8432 3 decenas = 30 unidades
Recordemos los valores de las distintas posiciones: 3.457.892
3 4 5 7 8 9 2
Unidades
de Millón
Centenas
de Mil
Decenas
de Mil
Unidades
de Mil Centenas Decenas Unidades
EXPRESIÓN POLINÓMICA DE UN NÚMERO DEL SISTEMA DECIMAL
Descomponemos un número en una suma:
3.457.892 = 2 + 90 + 800 + 7.000 + 50.000 + 400.000 + 3.000.000
Pero ya sabemos cómo se pueden expresar las potencias de 10
100 = 1
101 = 10
102 = 100
30
103 = 1.000
104 = 10.000
105 = 100.000
106 = 1.000.000
Y también sabemos que un número que termina en ceros se expresa con una potencia de 10 así:
90 = 9 x 10
800 = 8 x 100 = 8 x 102
7.000 = 7 x 1.000 = 7 x 103
50.000 = 5 x 10.000 = 5 x 104
400.000 = 4 x 100.000 = 4 x 105
3.000.000 = 3 x 1.000.000 = 3 x 106
Por tanto la descomposición polinómica del número será:
3.457.892 = 2 + 9.10 + 8.102 + 7.103 + 5.104 + 4.105 + 3.106
Como todos los números en el sistema decimal se descomponen con potencias de 10 y se usan 10 cifras, se
dice que este sistema es de BASE 10
Ejercicio 1: Halla la descomposición polinómica de los siguientes números:
1.043, 23.500, 7.520.000, 508
SISTEMA DE NUMERACIÓN BINARIO
Este sistema es de base 2, o sea que sólo tiene dos cifras, el 0 y el 1. Contemos en base 2 comparando con
la base 10.
Binario 0 1 10 11 100 101 110 111 1000
Decimal 0 1 2 3 4 5 6 7 8
Para pasar un número del sistema binario al decimal se hace lo siguiente:
Ejemplo, pasemos el número 111(2 al sistema decimal.
111(2 = 1 + 1.2 + 1. 22 = 1 + 2 + 4 = 7
1000(2 = 0 + 0.2 + 0.22 + 1.23= 8
1011100(2 = 0 +0.2 + 1.22 + 1.23 + 1.24 + 0.25 + 1.26 = 4 + 8 + 16 + 64 = 92
Pero ¿cómo pasamos de sistema decimal al binario?
Ejemplo: pasar a binario el número 75:
31
El número buscado se forma con el último cociente seguido de los restos de todas las divisiones desde
la última a la primera, o sea que será: 1001011(2
Probemos con el 92:
Por tanto el número será 1011100(2, como ya sabíamos.
Ejercicio 2: a) Pasar los números 25 y 1034 de base decimal a base 2. b) Pasar los números 10101(2 y
110010(2 de base 2 a base 10.
EL SISTEMA BINARIO EN LOS ORDENADORES
El sistema binario se utiliza en los circuitos electrónicos que componen los ordenadores. El 1 es que hay
corriente y el cero que no la hay, y de esa forma se interpretan los funcionamientos de los circuitos
digitales. Cada carácter, letra o número, en un ordenador se expresan con un byte (8 dígitos del sistema
binario)
Por ejemplo 01100001 representa el número 97 y en el ordenador es la letra “a” minúscula
El número 01000100 representa el número 68 y en el ordenador es la letra “D” mayúscula
En total hay 28=256 números de 8 dígitos del sistema binario, o sea 256 bytes distintos y que
representan las letras minúsculas y mayúsculas, los números, otros símbolos como el punto, la coma, abrir
paréntesis, etc y otros que representan órdenes del ordenador como imprimir, espacio, copia, etc.
Fíjate que en el sistema binario hay:
Dos números de una cifra, el 0 y el 1 y supone 21 números
Cuatro números de dos cifras, o sea 22 números: 00, 01, 10, 11
Ocho números de tres cifras o dígitos, o sea 23 números: 000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111
Dieciséis números de cuatro dígitos, o sea 24 números: 0000, 0001, 0010, 0011, 0100, 0101, 0110, 0111,
1000, 1001, 1010, 1011, 1100, 1101, 1110, 1111
Ejercicio 3: ¿Cuántos números de cinco dígitos se pueden formar? ¿Serías capaz de escribirlos todos?
En informática se toma como unidad el byte (8 bits), así decimos kilobytes, Megabytes, Gigabytes.
La relación entre unas unidades y otras es la siguiente:
32
Nombre Abrev. Factor binario Tamaño en el SI
bytes B 20 = 1 100 = 1
kilo k 210 = 1024 103 = 1000
mega M 220 = 1 048 576 106 = 1 000 000
giga G 230 = 1 073 741 824 109 = 1 000 000 000
SISTEMA DE NUMERACIÓN HEXADECIMAL
El sistema hexadecimal, a veces abreviado como hex, es el sistema de numeración posicional de base 16
—empleando por tanto 16 símbolos—. Su uso actual está muy vinculado a la informática y ciencias de la
computación, pues los computadores suelen utilizar el byte u octeto como unidad básica de memoria; y,
debido a que un byte representa 28 valores posibles, y esto puede representarse como
, que equivale al número en base 16 10016.
En principio dado que el sistema usual de numeración es de base decimal y, por ello, sólo se dispone de
diez dígitos, se adoptó la convención de usar las seis primeras letras del alfabeto latino para suplir los
dígitos que nos faltan. El conjunto de símbolos sería, por tanto, el siguiente:
Se debe notar que A = 10, B = 11, C = 12, D = 13, E = 14 y F = 15. En ocasiones se emplean letras minúsculas
en lugar de mayúsculas. Como en cualquier sistema de numeración posicional, el valor numérico de cada
dígito es alterado dependiendo de su posición en la cadena de dígitos, quedando multiplicado por una
cierta potencia de la base del sistema, que en este caso es 16. Por ejemplo: 3E016 = 3×162 + E×161 + 0×160
= 3×256 + 14×16 + 0×1 = 992
Tabla de conversión entre decimal, binario, octal y hexadecimal
33
0hex = 0dec = 0oct 0 0 0 0
1hex = 1dec = 1oct 0 0 0 1
2hex = 2dec = 2oct 0 0 1 0
3hex = 3dec = 3oct 0 0 1 1
4hex = 4dec = 4oct 0 1 0 0
5hex = 5dec = 5oct 0 1 0 1
6hex = 6dec = 6oct 0 1 1 0
7hex = 7dec = 7oct 0 1 1 1
8hex = 8dec = 10oct 1 0 0 0
9hex = 9dec = 11oct 1 0 0 1
Ahex = 10dec = 12oct 1 0 1 0
Bhex = 11dec = 13oct 1 0 1 1
Chex = 12dec = 14oct 1 1 0 0
Dhex = 13dec = 15oct 1 1 0 1
Ehex = 14dec = 16oct 1 1 1 0
Fhex = 15dec = 17oct 1 1 1 1
Para pasar un número escrito en el sistema decimal al sistema hexadecimal se divide entre 16 las veces
que se pueda, y el número resultante estará formado por el último cociente y los sucesivos restos desde
el último al primero.
Por ejemplo 19035 escrito en forma decimal vamos a pasarlo a hexadecimal.
19035:16 = 1189 y de resto 11 = B
1189:16 = 74 y de resto 5
74:16 = 4 y de resto 10 = A
El 4 ya no lo podemos dividir entre 16. El número sería 4A5B16.
Ejercicio 4: a) ¿Qué número representa en el sistema decimal el número 2516 del sistema hexadecimal?
¿Y en el binario? b) Pasa el número 111011(2 de base 2 a base 10 y luego a base 16. c) Pasa el número 2376
del sistema de numeración decimal al hexadecimal. d) Pasa el número 11100011(2 del sistema binario al
decimal, y del decimal al hexadecimal. e) ¿Cuánto suman 111 + 10 en el sistema binario?
34
SISTEMA DE NUMERACIÓN ROMANO
El sistema de numeración que usaba el Imperio Romano estaba formado por letras mayúsculas. La
equivalencia con el sistema decimal es la siguiente:
Romano Decimal
I 1
V 5
X 10
L 50
C 100
D 500
M 1000
Los romanos desconocían el cero, introducido posteriormente por los árabes, así que no existe
ningún símbolo en el sistema de numeración romano que represente el valor cero.
35
Reglas para escribir con números romanos
1) Una letra escrita a la derecha de otra de igual o menor valor, le suma a ésta su valor. EJEMPLOS:
VI = 5 + 1 = 6. LX = 50 + 10 = 60
2) Las letras I, X y C escritas a la izquierda de una de las dos siguientes de mayor valor, le restan a
ésta su valor. EJEMPLOS: IV = 5 – 1 = 4. XC = 100 – 10 = 90.
3) Sólo las letras I, X, C y M se pueden repetir, y además, tres veces como máximo. EJEMPLOS: CC =
100 + 100 = 200. MMM = 1000 + 1000 + 1000 = 3000
4) Una rayita escrita encima de una o varias letras multiplica por mil su valor. Sólo se usa para
valores mayores o igual a 4.000. EJEMPLO: = 10 x 1000 = 10.000
Ejercicio 5: a) Convertir los siguientes números de decimal a romano: 125, 38, 2008, 457, 539.
Romano
mayúsculas
Romano
minúsculas Nominación
II ii dos
III iii tres
IV iv cuatro
VI vi seis
VII vii siete
VIII viii ocho
IX ix nueve
XXXII xxxii treinta y dos
XLV xlv cuarenta y
cinco
36
b) Convertir los siguientes números de romanos a decimal: LXV, DLV, XXXIX, LXXXVIII, MCCXXXIV,
DCCXXIV, XLIX, CDXC, CMLXII, , MDCV, .
TALLER 1:
1. Compara los sistemas de numeración romano y decimal, piensa, y responde:
a.) ¿Cuál de los dos sistemas es posicional? ¿Por qué?
b.) En el número 5.345 ¿Qué indican la primera y la última cifra?
c.) ¿Cuál de los dos sistemas es de base diez? ¿Por qué?
d.) ¿En cuál de los dos sistemas el cero tiene símbolo propio? ¿Por qué?
2. Siguiendo las reglas de formación de ambos sistemas de numeración, completa la siguiente tabla:
ROMANO XII XL CC CCI XXVIII
DECIMAL 3100 156 479
3. Los siguientes números están mal escritos porque no cumplen algunas delas reglas de formación.
Descubre el error, escríbelos correctamente y explica que regla no se cumple.
a.) 40 = XXXX
b.) 99 = IC
c.) 15 = VVV
4. a.) Observa los siguientes ejemplos en los que se aplica la regla de formación del sistema romano para
escribir números a partir del 4000:
b.) Ahora, inventa otros tres ejemplos de aplicación de la regla.
5. Investiga qué hecho histórico importante ocurrió en cada uno de los años indicados y ubícalos en una
línea de tiempo
a.) MCMXXX b.) MDCCCX c.) MDCCCLIII d.) MCMXLV e.) MCMLXXXIII
6. Averigua en qué años y en qué siglos se produjeron los siguientes hechos y exprésalos en el sistema de
numeración romano
Ejemplos: 4000 = IV 15000 = XV 5300 = V CCC
d.) 110 = XC
e.) 500 = CCCCLL
f.) 18 = IIXX
37
a.) Descubrimiento de América b.) Revolución Francesa c.) Fundación de Córdoba
7. Con las cifras 3 – 7 – 1 - 6 – 0 - 9 escribe el mayor y el menor número natural posible,
a.) escribe como se leen los dos números formados,
b.) indica el valor absoluto y el valor relativo de cada cifra
8. realiza la descomposición de ambos números en forma sumativa, multiplicativa y polinómica.
9. ¿Qué números formas en cada caso?
a.) 5d; 4c; 2d de mil = b.) 1c de mil; 4c; 5u de mil; 3u = c.) 23u; 18u de mil =
d.) 136d; 21u=
10. ¿Qué lugar ocupa el número 2 en los siguientes números?
a.) 12.561 b.) 3.402 c.) 725 d.) 23.457
11. Forma el número y escríbelo en la segunda columna
Datos Número
4u de mil; 5c; 3d
8u; 5u de mil; 4d de mil
6c; 5c de mil; 4u de mil; 7d
4d de mil; 6u; 3c; 4d; 2u de mil
12. Escribe los siguientes números
a.) trescientos cinco mil uno b.) quince mil veinticuatro
c.) doscientos diez mil ciento treinta y dos d.) cincuenta y cinco mil seiscientos cuatro
13. Piensa y responde:
a.) ¿Cuántas unidades de mil hay en dieciséis docenas?
b.) ¿Cuál es el mayor número de tres cifras iguales?
c.) ¿Cuál es el menor número de 3 cifras que se puede formar, sin repetir, con 9; 4 y 6? ¿y el mayor?
d.) ¿Cuántas unidades hay en veintiocho decenas?
14. Lee atentamente las siguientes situaciones problemáticas, razona y responde de forma completa
a.) En una reunión, tres hacendados comentan sobre la cantidad de ganado que poseen en sus
establecimientos:
• El primero dice: tengo once grupos de cien vacas cada uno, sesenta y ocho decenas de vaquillonas,
una decena de toros y tres terneritas.
• El segundo dice: tengo nueve centenas de novillos, cuarenta y seis decenas de vacas, cuatrocientos
veintitrés terneros y una decena de toros.
38
• El tercero plantea un acertijo a los demás: la cantidad de hacienda que poseo puede expresarse
combinando los símbolos 2;3 y 4.
Como surgieron varias posibilidades (¿pueden escribirlas a todas?) el tercer hacendado dio una 2º pista:
El número de animales es par (tacha las que no correspondan ¿Ahora cuántas posibilidades quedan?).
Como todavía quedan varias alternativas, se ve obligado a dar una 3º pista: Es el menor número múltiplo
de cuatro que se puede formar ¿Pueden asegurar ahora cuántos animales tiene en total cada hacendado?
b.) Juan escribió un número. La cifra de las decenas es un 4 y la cifra de las unidades es el doble de la de
las decenas. La cifra de las centenas es la mitad de la de las unidades. ¿Qué número escribió? ¿Cuál es el
número de cuatro cifras más grande que tiene entre sus dígitos a 1 y 7, y que no tiene dos dígitos iguales?
¿Cuál es el menor número que se puede formar con cinco cifras diferentes, excluido el cero, si se sabe
que el 2 ocupa el lugar de las centenas?
c.) ¿Cuál es la “diferencia” (resultado de la operación “resta”) que hay entre el mayor número de cuatro
cifras (todas distintas entre sí) y el menor número de cuatro cifras (todas distintas entre sí)?.
39
UNIDAD 2
“PENSAMIENTO NUMERICO-VARIACIONAL”
NUMEROS NATURALES
El conjunto de los números naturales está formado por:
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,...}
Con los números naturales contamos los elementos de un conjunto (número cardinal). O bien expresamos
la posición u orden que ocupa un elemento en un conjunto (ordinal).
Los números naturales están ordenados, lo que nos permite comparar dos números naturales:
5 > 3; 5 es mayor que 3.
3 < 5; 3 es menor que 5.
Los números naturales son ilimitados, si a un número natural le sumamos 1, obtenemos otro número
natural.
Representación de los números naturales
Los números naturales se pueden representar en una recta ordenados de menor a mayor.
Sobre una recta señalamos un punto, que marcamos con el número cero. A la derecha del cero, y con las
mismas separaciones, situamos de menor a mayor los siguientes números naturales: 1, 2, 3...
Suma de números naturales
a + b = c
Los términos de la suma, a y b, se llaman sumandos y el resultado, c, suma.
Propiedades de la suma de números naturales
40
El resultado de sumar dos números naturales es otro número natural.
a + b
2. Asociativa:
El modo de agrupar los sumandos no varía el resultado.
(a + b) + c = a + (b + c)
(2 + 3) + 5 = 2 + (3 + 5)
5 + 5 = 2 + 8
10 = 10
3. Conmutativa:
El orden de los sumandos no varía la suma.
a + b = b + a
2 + 5 = 5 + 2
7 = 7
4. Elemento neutro:
El 0 es el elemento neutro de la suma porque todo número sumado con él da el mismo número.
a + 0 = a
3 + 0 = 3
RESTA DE NUMEROS NATURALES
a - b = c
Los términos que intervienen en una resta se llaman: a, minuendo y b, sustraendo. Al resultado, c, lo
llamamos diferencia.
41
Propiedades de la resta de números naturales
1. No es una operación interna:
El resultado de restar dos números naturales no siempre es otro número natural.
2 − 5
2. No es Conmutativa:
5 − 2 ≠ 2 − 5
MULTIPLICACION DE NUMEROS NATURALES
Multiplicar dos números naturales consiste en sumar uno de los factores consigo mismo tantas veces
como indica el otro factor.
a · b = c
Los términos a y b se llaman factores y el resultado, c, producto.
Propiedades de la multiplicación de números naturales
1. Interna: El resultado de multiplicar dos números naturales es otro número natural.
a · b
2. Asociativa:
El modo de agrupar los factores no varía el resultado.
(a · b) · c = a · (b · c)
(2 · 3) · 5 = 2· (3 · 5)
6 · 5 = 2 · 15
30 = 30
3. Conmutativa:
El orden de los factores no varía el producto.
42
a · b = b · a
2 · 5 = 5 · 2
10 = 10
4. Elemento neutro:
El 1 es el elemento neutro de la multiplicación de números naturales, porque todo número multiplicado
por él da el mismo número.
a · 1 = a
3 · 1 = 3
5. Distributiva:
La multiplicación de un número natural por una suma es igual a la suma de los multiplicaciones de dicho
número natural por cada uno de los sumandos.
a · (b + c) = a · b + a · c
2 · (3 + 5) = 2 · 3 + 2 · 5
2 · 8 = 6 + 10
16 = 16
6. Sacar factor común:
Es el proceso inverso a la propiedad distributiva.
Si varios sumandos tienen un factor común, podemos transformar la suma en producto extrayendo dicho
factor.
a · b + a · c = a · (b + c)
2 · 3 + 2 · 5 = 2 · (3 + 5)
6 + 10 = 2 · 8
16 = 16
43
DIVISION DE NUMEROS NATURALES
D : d = c
Los términos que intervienen en un división se llaman, D, dividendo y, d, divisor. Al resultado, c, lo
llamamos cociente.
Tipos de divisiones
1. División exacta:
Una división es exacta cuando el resto es cero.
D = d · c
15 = 5 · 3
2. División entera:
Una división es entera cuando el resto es distinto de cero.
D = d · c + r
17 = 5 · 3 + 2
Propiedades de la división de números naturales
1. No es una operación interna:
El resultado de dividir dos números naturales no siempre es otro número natural.
2 : 6
2. No es Conmutativo:
a : b ≠ b : a
6 : 2 ≠ 2 : 6
44
3. Cero dividido entre cualquier número da cero.
0 : 5 = 0
4. No se puede dividir por 0.
POTENCIA DE NUMEROS NATURALES
Una potencia es una forma abreviada de escribir un producto formado por varios factores iguales.
5 · 5 · 5 · 5 = 54
Base
La base de una potencia es el número que multiplicamos por sí mismo, en este caso el 5.
Exponente
El exponente de una potencia indica el número de veces que multiplicamos la base, en el ejemplo es el 4.
Propiedades de la potencias de números naturales
1. a0 = 1
2. a1 = a
3. Producto de potencias con la misma base:
Es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es la suma de los exponentes.
am · a n = am+n
25 · 22 = 25+2 = 27
4. División de potencias con la misma base:
Es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es la diferencia de los exponentes.
am : a n = am - n
25 : 22 = 25 - 2 = 23
45
5. Potencia de una potencia:
Es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es el producto de los exponentes.
(am)n = am · n
(25)3 = 215
6. Producto de potencias con el mismo exponente:
Es otra potencia con el mismo exponente y cuya base es el producto de las bases.
an · b n = (a · b) n
23 · 43 = 83
7. Cociente de potencias con el mismo exponente:
Es otra potencia con el mismo exponente y cuya base es el cociente de las bases.
an : bn = (a : b)n
63 : 33 = 23
Descomposición polinómica de un número
Un número natural se puede descomponer utilizando potencias de base 10. El numero 3 658 podemos
descomponerlo del siguiente modo:
3 658 = 3 ·103 + 6 ·102 + 5 ·101 + 8
RAIZ CUADRADA
La radicación es la operación inversa a la potenciación. Y consiste en que dados dos números, llamados
radicando e índice, hallar un tercero, llamado raíz, tal que, elevado al índice, sea igual al radicando.
En la raíz cuadrada el índice es 2, aunque en este caso se omite.
Consistiría en hallar un número conocido su cuadrado.
46
La raíz cuadrada de un número, a, es exacta cuando encontramos un número, b, que elevado al cuadrado
es igual al radicando: b2 = a.
Raíz cuadrada exacta
La raíz cuadrada exacta tiene de resto 0.
Radicando = (Raíz exacta)2
Cuadrados perfectos
Son los números que poseen raíces cuadradas exactas.
1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, ...
Raíz cuadrada entera
Si un número no es cuadrado perfecto su raíz es entera.
Radicando = (Raíz entera)2 + Resto
Algoritmo de la raíz cuadrada
Cálculo de la raíz cuadrada
1Si el radicando tiene más de dos cifras, separamos las cifras en grupos de dos empezando por la
derecha.
47
2 Calculamos la raíz cuadrada entera o exacta, del primer grupo de cifras por la izquierda.
¿Qué número elevado al cuadrado da 8?
8 no es un cuadrado perfecto pero está comprendido entre dos cuadrados perfectos: 4 y 9, entonces
tomaremos la raíz cuadrada del cuadrado perfecto por defecto: 2, y lo colocamos en la casilla
correspondiente.
3El cuadrado de la raíz obtenida se resta al primer grupo de cifras que aparecen en el radicando.
El cuadrado de 2 es 4, se lo restamos a 8 y obtenemos 4.
4 Detrás del resto colocamos el siguiente grupo de cifras del radicando, separando del número
formado la primera cifra a la derecha y dividiendo lo que resta por el doble de la raíz anterior.
Bajamos 92, siendo la cantidad operable del radicando: 492.
49 : 4 > 9, tomamos como resultado 9.
5 El cociente que se obtenga se coloca detrás del duplo de la raíz, multiplicando el número formado
por él, y restándolo a la cantidad operable del radicando.
Si hubiésemos obtenido un valor superior a la a la cantidad operable del radicando, habríamos probado
por 8, por 7...hasta encontrar un valor inferior.
48
6 El cociente obtenido es la segunda cifra de la raíz.
7 Bajamos el siguiente par de cifras y repetimos los pasos anteriores.
Como 5301 > 5125, probamos por 8.
Subimos el 8 a la raíz.
49
8Prueba de la raíz cuadrada.
Para que el resultado sea correcto, se tiene que cumplir:
Radicando = (Raíz entera)2 + Resto
89 225 = 2982 + 421
Operaciones combinadas con números naturales
Prioridad de las operaciones
1º.Efectuar las operaciones entre paréntesis, corchetes y llaves.
2º.Calcular las potencias y raíces.
3º.Efectuar los productos y cocientes.
4º.Realizar las sumas y restas.
Tipos de operaciones combinadas
1. Operaciones combinadas sin paréntesis
1.1 Combinación de sumas y diferencias.
9 − 7 + 5 + 2 − 6 + 8 − 4 =
Comenzando por la izquierda, vamos efectuando las operaciones según aparecen.
= 9 − 7 + 5 + 2 − 6 + 8 − 4 = 7
50
1.2 Combinación de sumas, restas y productos.
3 · 2 − 5 + 4 · 3 − 8 + 5 · 2 =
Realizamos primero las multiplicacion por tener mayor prioridad.
= 6 − 5 + 12 − 8 + 10 =
Efectuamos las sumas y restas.
= 6 − 5 + 12 − 8 + 10 = 15
1.3 Combinación de sumas, restas , productos y divisiones.
10 : 2 + 5 · 3 + 4 − 5 · 2 − 8 + 4 · 2 − 16 : 4 =
Realizamos los productos y cocientes en el orden en el que los encontramos porque las dos operaciones
tienen la misma prioridad.
= 5 + 15 + 4 − 10 − 8 + 8 − 4 =
Efectuamos las sumas y restas.
= 5 + 15 + 4 − 10 − 8 + 8 − 4 = 10
1.4 Combinación de sumas, restas , productos , divisiones y potencias.
23 + 10 : 2 + 5 · 3 + 4 − 5 · 2 − 8 + 4 · 22 − 16 : 4 =
Realizamos en primer lugar las potencias por tener mayor prioridad.
= 8 + 10 : 2 + 5 · 3 + 4 − 5 · 2 − 8 + 4 · 4 − 16 : 4 =
Seguimos con los productos y cocientes.
= 8 + 5 + 15 + 4 − 10 − 8 + 16 − 4 =
Efectuamos las sumas y restas.
= 26
2. Operaciones combinadas con paréntesis
(15 − 4) + 3 − (12 − 5 · 2) + (5 + 16 : 4) −5 + (10 − 23) =
51
Realizamos en primer lugar las operaciones contenidas en ellos.
= (15 − 4) + 3 − (12 − 10) + (5 + 4) − 5 + (10 − 8 )=
Quitamos paréntesis realizando las operaciones.
= 11 + 3 − 2 + 9 − 5 + 2 = 18
3.Operaciones combinadas con paréntesis y corchetes
[15 − (23 − 10 : 2 )] · [5 + (3 · 2 − 4 )] − 3 + (8 − 2 · 3 ) =
Primero operamos con las potencias, productos y cocientes de los paréntesis.
= [15 − (8 − 5 )] · [5 + (6 − 4 )] − 3 + (8 − 6 ) =
Realizamos las sumas y restas de los paréntesis.
= [15 − 3] · [5 + 2 ] − 3 + 2 =
En vez de poner corchetes pondremos paréntesis directamente:
= (15 − 3) · (5 + 2) − 3 + 2=
Operamos en los paréntesis.
= 12 · 7 − 3 + 2
Multiplicamos.
= 84 − 3 + 2=
Restamos y sumamos.
= 83
RESUMEN NUMEROS NATURALES
Números naturales
Los números naturales se utilizan para contar los elementos de un conjunto (número cardinal). O para
expresar la posición u orden que ocupa un elemento en un conjunto (ordinal).
52
Propiedades de la suma
1.Interna: a + b
2. Asociativa: (a + b) + c = a + (b + c)
3.Conmutativa: a + b = b + a
4. Elemento neutro: a + 0 = a
Propiedades de la resta
1. No es una operación interna: 2 − 5
2. No es Conmutativa: 5 − 2 ≠ 2 − 5
Propiedades de la multiplicación
1. Interna: a · b
2. Asociativa: (a · b) · c = a · (b · c)
3. Conmutativa: a · b = b · a
4. Elemento neutro: a · 1 = a
5. Distributiva: a · (b + c) = a · b + a · c
6. Sacar factor común: a · b + a · c = a · (b + c)
Propiedades de la división
1.División exacta: D = d · c
2. División entera : D = d · c + r
3. No es una operación interna: 2 : 6
4. No es Conmutativo: 6 : 2 ≠ 2 : 6
5. Cero dividido entre cualquier número da cero. 0 : 5 =0
6. No se puede dividir por 0.
53
Propiedades de las potencias
1.a0 = 1
2. a1 = a
3. Producto de potencias con la misma base: am · a n = am+n
4. Cocointe de potencias con la misma base: am : a n = am - n
5. Potencia de una potencia: (am)n = am · n
6. Producto de potencias con el mismo exponente: an · b n = (a · b) n
7. Cociente de potencias con el mismo exponente: an : bn = (a : b)n
Propiedades de las raíces
1.Raíz exacta: Radicando= (Raíz)2
2. Raíz entera: Radicando= (Raíz)2 + Resto
Prioridades en las operaciones
1º.Efectuar las operaciones entre paréntesis, corchetes y llaves..
2º.Calcular las potencias y raíces.
3º.Efectuar los productos y cocientes.
4º.Realizar las sumas y restas.
Ejercicios de números naturales
1.Busca el término desconocido e indica su nombre en las siguientes operaciones:
1. 327 + ....... = 1.208
2. ....... – 4.121 = 626
3. 321 · ....... = 32 100
4. 28.035 : ....... = 623
54
2.Busca el término desconocido en las siguientes operaciones:
1. 4 · (5 + ...) = 36
2. (30 – ...) : 5 + 4 = 8
3. 18 · ... + 4 · ... = 56
4. 30 – ... : 8 = 25
3.Calcular de dos modos distintos la siguiente operaciones:
1. 17 · 38 + 17 · 12 =
2. 6 · 59 + 4 · 59 =
3.(6 + 12) : 3
4.Sacar factor común:
1. 7 · 5 – 3 · 5 + 16 · 5 – 5 · 4 =
2. 6 · 4 – 4 · 3 + 4 · 9 – 5 · 4 =
3.8 · 34 + 8 · 46 + 8 · 20 =
5.Expresa en forma de potencias:
1. 50 000
2. 3 200
3. 3 000 000
6.Escribe en forma de una sola potencia:
1. 33 · 34 · 3 =
2. 57 : 53 =
3. (53)4 =
4. (5 · 2 · 3)4 =
55
5. (34)4 =
6. [(53)4 ]2 =
7. (82)3
8. (93)2
9. 25 · 24 · 2 =
10. 27 : 26 =
11. (22)4 =
12. (4 · 2 · 3)4 =
13.(25)4 =
14. [(23 )4]0=
15. (272)5=
16. (43)2 =
7.Utilizando potencias, haz la descomposición polinómica de estos números:
1. 3 257
2. 10 256
3.125 368
8.Calcular las raíces:
1.
2.
3.
9.Realiza las siguientes operaciones combinadas teniendo en cuenta su prioridad:
56
1. 27 + 3 · 5 – 16 =
2. 27 + 3 – 45 : 5 + 16 =
3. (2 · 4 + 12) (6 − 4) =
4. 3 · 9 + (6 + 5 – 3) – 12 : 4 =
5. 2 + 5 · (2 · 3)³ =
6. 440 − [30 + 6 (19 − 12)] =
7. 2{4 [7 + 4 (5 · 3 − 9)] − 3 (40 − 8)} =
8. 7 · 3 + [6 + 2 · (23 : 4 + 3 · 2) – 7 · ] + 9 : 3 =
Problemas de números naturales
1 Dados los números 5, 7 y 9 forma todos los números posibles de tres cifras distintas, ordénalos de
menor a mayor y súmalos.
2El cociente de una división exacta es 504, y el divisor 605. ¿Cuál es el dividendo?
3El cociente de una división entera es 21, el divisor 15 y el dividendo 321. ¿Cuál es el resto?
4Pedro compró una finca por 643 750 € y la vendió ganando 75 250 €. ¿Por cuánto lo vendió?
5Con el dinero que tengo y 247 € más, podría pagar una deuda de 525 € y me sobrarían 37 €. ¿Cuánto
dinero tengo?
6 Se compran 1600 Kg de boquerones, a razón de 4 €/Kg. Si los portes cuestan 400 € y se desea ganar
con la venta 1200€. ¿A cuánto debe venderse el kilogramo de boquerones?
7¿Cuántos años son 6 205 días? Consideramos que un año tiene 365 días.
8Pedro quiere comprar un automóvil. En la tienda le ofrecen dos modelos: uno de dos puertas y otro de
cuatro puertas. En ambos modelos los colores disponibles son: blanco, azul, rojo, gris y verde. Halla el
número de posibles elecciones que tiene Pedro.
9 En una piscina caben 45 000 litros. ¿Cuánto tiempo tarda en llenarse mediante un grifo que echa 15
litros por minuto?
10En un aeropuerto aterriza un avión cada 10 minutos. ¿Cuántos aviones aterrizan en un día?
57
11En una urbanización viven 4 500 personas y hay un árbol por cada 90 habitantes. ¿Cuántos árboles
hay en la urbanización? ¿Cuántos árboles habrá que plantar para tener un árbol por cada 12 personas?
Ejercicios resueltos de números naturales
1. Busca el término desconocido e indica su nombre en las siguientes operaciones:
1. 327 + ....... = 1.208
Sumando.
1.208 − 327 = 881
2. ....... – 4.121 = 626
Minuendo.
4.121 + 626 = 4747
3. 321 · ....... = 32 100
Factor.
32 100 : 321 = 100
4. 28 035: ....... = 623
Divisor.
28 035 : 623 = 45
Busca el término desconocido en las siguientes operaciones:
1. 4 · (5 + ...) = 36
4
2. (30 – ...) : 5 + 4 = 8
10
3. 18 · ... + 4 · ... = 56
2 y 5
58
4. 30 – ... : 8 = 25
40
Calcular de dos modos distintos la siguiente operación:
1. 17 · 38 + 17 · 12 =
1. 17 · 38 + 17 · 12 = 646 + 204 = 850
2. 17 · 38 + 17 · 12 = 17 (38 + 12) = 17 · 50 = 850
2. 6 · 59 + 4 · 59 =
1. 6 · 59 + 4 · 59 = 354 + 236 = 590
2. 6 · 59 + 4 · 59 = 59 (6 + 4) = 59 · 10 = 590
3.(6 + 12) : 3
1.(6 + 12) : 3 = 18 : 3 = 6
2.(6 + 12) : 3 = (6 : 3) + (12 : 3) = 2 + 4 = 6
Extraer factor común:
1. 7 · 5 – 3 · 5 + 16 · 5 – 5 · 4 =
7 · 5 – 3 · 5 + 16 · 5 – 5 · 4 = 5 (7 − 3 + 16 − 4)
2. 6 · 4 – 4 · 3 + 4 · 9 – 5 · 4 =
6 · 4 – 4 · 3 + 4 · 9 – 5 · 4 = 4 (6 − 3 + 9 − 5)
3.8 · 34 + 8 · 46 + 8 · 20 =
8 · (34 + 46 + 20)
Expresa en forma de potencias:
1. 50 000 = 5 · 104
2. 3 200 = 32 · 102
59
3. 3 000 000 = 3 · 106
Escribe en forma de una sola potencia:
1. 33 · 34 · 3 = 38
2. 57 : 53 = 54
3. (53)4 = 512
4. (5 · 2 · 3) 4 = 304
5.(34)4 = 316
6. [(53)4]2 = (512)2 = 524
7. (82)3 =[( 23)2]3 = (26)3 = 218
8. (93)2 = [(32)3]2 = (36)2 = 312
9. 25 · 24 · 2 = 210
10. 27 : 26 = 2
11. (22)4 = 28
12. (4 · 2 · 3)4 = 244
13.(25)4 = 220
14. [(23 )4]0 = (212)0 = 20 = 1
15. (272)5 =[(33)2]5 = (36)5 = 330
16. (43)2 = [(22)3]2 = (26)2 = 212
Utilizando potencias, haz la descomposición polinómica de estos números:
1. 3 257
3 257 = 3 · 103 + 2 · 102 + 5 · 10 + 7
2. 10 256
60
10 256 = 1 · 104 + 0 · 103 + 2 · 102 + 5 · 10 + 6
3. 125 368
125 368 = 1 · 105 + 2 · 104 +5 · 103 + 3 · 102 + 6 · 10 + 8
Calcula:
1.
2.
3.
Realiza las siguientes operaciones:
1. 27 + 3 · 5 – 16 =
61
= 27 + 15 − 16 = 26
2. 27 + 3 – 45 : 5 + 16=
27 + 3 – 9 + 16 = 37
3. (2 · 4 + 12) (6 − 4) =
= (8 + 12) (2) = 20 · 2 = 40
4. 3 · 9 + (6 + 5 – 3) – 12 : 4 =
= 27 + 8 – 3 = 32
5. 2 + 5 · (2 ·3)³ =
= 2 + 5 · (6)³ = 2 + 5 · 216 = 2 + 1080 = 1082
6. 440 − [30 + 6 (19 − 12)] =
= 440 − (30 + 6 · 7)] = 440 − (30 + 42) =
= 440 − (72) = 368
7. 2{4[7 + 4 (5 · 3 − 9)] − 3 (40 − 8)} =
= 2[4 (7 + 4 · 6) − 3 (32)] = 2[4 (7 + 24) − 3 (32)]=
2[4 (31) − 3 (32)]= 2 (124 − 96)= 2 (28)= 56
8.7 · 3 + [6 + 2 · (23 : 4 + 3 · 2) – 7 · ] + 9 : 3 =
= 21 + [ 6 + 2 · (2+ 6) – 14] +3 =
= 21 + ( 6 + 2 · 8 – 14) +3 =
= 21 + ( 6 + 16 – 14) + 3 =
= 21 + 8 + 3 = 32
62
TALLER EVALUATIVO
1. Ordena y suma las siguientes cantidades.
a.) 327 + 12.616 + 5= b.) 5.316 + 425 + 18 + 60=
ii.) Aplica la propiedad conmutativa en el caso a) y la asociativa en el caso b.) y verifica que obtienes los
mismos resultados
iii) ¿Cuál es el elemento neutro de la suma? ¿Por qué?
2. i.) Resuelve las siguientes sustracciones y coloca el nombre a sus elementos en cada caso:
a.) 2.422 – 1.519 = b.)635 – 148 =
ii.) ¿Puedes aplicar la propiedad conmutativa en la sustracción de números naturales? ¿Por qué?
iii) ¿Cuál es el elemento neutro de la resta? ¿Por qué?
3. i.) Multiplica los siguientes números naturales:
a.) 215 x 15 x 7 = b.) 1.711 x 29 =
ii.) Aplica la propiedad asociativa en el caso a) y la conmutativa en el caso b.) y verifica que obtienes los
mismos resultados
iii) ¿Cuál es el elemento neutro de la multiplicación? ¿Por qué?
iv) ¿Qué sucede si en una multiplicación uno de los factores es cero?
4. Resuelve las siguientes divisiones y responde:
a.) 12.342 : 7 = ¿Cuál es el valor del divisor y del resto? ____ y ____
b.) 3.634 : 23 = ¿Cuál es el valor del dividendo y del cociente? ______ y ______
c.) ¿Puedes aplicar la propiedad conmutativa en la división de números naturales? ¿Por qué?
d.) ¿Qué sucede si en una división el dividendo es cero? ¿y si es cero el divisor? Ejemplifica
5. Completa los espacios con el número que corresponda:
a.) 1.256 - = 798 b.) - 232 = 500 c.) 7.453 - = 2.998
63
7. Inventa y resuelve 5 ejemplos de cada tipo de operación (suma – resta – multiplicación -
división)
9. lee atentamente los siguientes problemas, razona y coloca la respuesta en el espacio
a.) Si en un edificio de 25 pisos hay 8 departamentos por piso y en cada departamento se
consumen aproximadamente 250 litros de agua por día:
¿Cuántos litros de agua se consumen diariamente en todo el edificio? litros
¿Cuántos litros de agua se consumen en todo el edificio en una semana? litros
¿Cuántos litros de agua se consumen en un mes solo en los dos primeros pisos? litros
b.) El profesor de educación física necesita trozos de soga de 3 metros para realizar el esquema de fin
de año. Si compra un rollo de 100 m ¿Cuántos trozos de soga puede cortar? trozos
c.) Si hoy es lunes ¿Qué día de la semana será dentro de 100 días?
d.) Gastón tiene $36 ahorrados y Julieta $29 para regalarle a su mamá una blusa el día de su cumpleaños. Al
recorrer varios negocios se dan cuenta que si tuvieran $11 más, les alcanzaría para comprarle también un
libro que cuesta $23. ¿Cuál es el precio de la blusa que eligieron?
e.) En el colegio compraron una docena de cajas de tizas con 20 tizas cada una. Si se deben repartir
equitativamente entre 15 aulas ¿Cuántas tizas le corresponden a cada aula? tizas
f.) Tres amigos se repartieron $ 1.020. Si el primero recibió la mitad de esa cantidad; el segundo la
tercera parte de lo que recibió el primero y el tercero se quedó con el resto de dinero ¿Cuánto le
correspondió al tercero?
g.) A un repartidor le entregaron 3.500 botellas de gaseosa para repartir entre 16 supermercados. En el
trayecto se le rompen 5 docenas de botellas. ¿Cuántas botellas recibe cada supermercado?
botellas
64
h.) Un jardinero cultiva 12 canteros. Cada cantero le da 2 docenas de plantines, que vende a $1 cada
uno. Si gasta en abono y semillas $45 ¿Cuál fue su ganancia después de vender todos los plantines?
i.) En una compra de herramientas al por mayor se gastaron $1.900. Si se compraron 60 juegos de
destornilladores a $15 cada uno y, además, se compraron 20 juegos de llaves. Cuánto se pagó por cada juego
de llaves?
TALLER TIPO SABER (ICFES)
MARCA CON UNA “X” LA LETRA DE ALTERNATIVA QUE CONSIDERES CORRECTA.
01.- El número 45.789 se escribe en notación desarrollada
a) 4*1000 + 5*10000 + 7*100 + 8*10 + 9*1
b) 5*1000 + 4*10000 + 7*100 +8*10 + 9*1
c) 45*100 + 78*10 + 9*1
d) Ninguna anterior
02.- La expresión 8UM + 3DM + 7CM + 5C + 4U corresponde a
a) 83.754
b) 738.054
c) 738.504
d) 830.547
03.- Si escribimos exponencialmente 8*102 + 7*104 + 2*100 + 3*101 + 8*106 equivale a
a) 8.070.032
b) 8.700.320
c) 8.700.032
d) 8.070.320
04.- El número 62.400 escrito en notación científica se escribe …
a) 62,4 * 103
b) 6,24 * 104
c) 0,624 * 105
d) N.A.
65
05.- La notación desarrollada 5 * 1000 + 7 * 10000 + 6 * 1000000 + 3 * 10 corresponde a:
a) 6.075.003
b) 5.760.030
c) 6.075.030
d) 6.750.030
06.- Si tenemos los números 607.376 y 607.736 el símbolo que debe ir entre ellos es:
a) >
b) <
c) =
d) N.Anterior
07.- El símbolo < debe ir entre …
a) 4.509.309 y 4.905.309
b) 4.389.210 y 4.138.210
c) 6.809.276 y 6.809.176
d) 8.098.387 y 8.980.287
08.- A la serie numérica 3.098 – 3.198 – 3.298 – 3.398 - _______ le falta el número
a) 3.389
b) 3.398
c) 3.498
d) 3.598
09.- La serie anterior es una serie …
a) ascendente
b) descendente
c) mixta
d) N.A.
10.- Si X= 12.890 y Z= 345.098 entonces X + Z es
a) 357.988
b) 347.988
c) 367.898
66
d) 357.898
11.- En la sustracción 4.387.230 – X el valor que debe tener X para que el resto sea 4.387.000
a) 4.387.230
b) 387.320
c) 320
d) 230
12.- Considera A=26.589, entonces A*10000 es igual a
a) 2655890000
b) 2006508900
c) 0,026589
d) N.A.
13.- ¿Por cuánto se debe dividir 120.000 para que el resultado sea 2.400?
a) 5
b) 500
c) 50
d) 5000
14.- La operación combinada 45*100 + 45:9 – 230 tiene como resultado
a) 4.725
b) 4.752
c) 4.275
d) 4.257
15.- La operación (902 – 1800)2 + 25*500 tiene como resultado final …
a) 39.702.500
b) 39.702.050
c) 39.720.500
d) N.A.
16.- Al tener V= 234 , M= 10 y T= 42, el valor de {(V*M)+ T}: 2 es
67
a) 1278
b) 1378
c) 1178
d) N.A.
17.- El decimal 8,009 se lee …
a) ocho mil nueve
b) ocho enteros nueve diez milésimas
c) ocho enteros nueve milésimas
d) ocho enteros nueve centésimas
18.- El decimal “tres diez milésimas” se escribe …
a) 0,0003
b) 0,003
c) 0,00003
d) N.A.
19.- Si comparamos estos decimales: 6,0765 y 6,765 podemos colocar entre ambos el signo
a) >
b) <
c) =
d) N.A.
20.- Si P=4,5 , Q=0,4 y R= 100 entonces la expresión (P+Q)*R vale
a) 4,9
b) 49
c) 490
d) 4900
21.- Si X=1000 , Y= 28,87 y Z=10 entonces la expresión X*Y:Z vale
a) 28870
b) 2887
c) 288,7
d) 28,87
68
22.- ¿Cuál es el número que representa la expresión 2,189*105?
a) 0,00002189
b) 21,89000
c) 218900
d) N.A.
23.- Si se quiere escribir en Notación Científica el número 156, se escribe …
a) 156,0*100
b) 15,6*102
c) 1,56*102
d) N.A.
24.- La fracción 5/6 al ser transformada en número decimal, se obtiene …
a) 0,83
b) 0,8888
c) 0,83
d) N.A.
25.- La fracción 3/5 equivale al decimal …
a) 0,6
b) 0,56
c) 0,15
d) N.A.
26.- ¿Qué fracción es la que corresponde al decimal 1,5?
a) 6/5
b) 3/5
c) 3/2
d) N.A.
_
27.- ¿Qué fracción es la que equivale al decimal 1,2?
a) 11/9
b) 9/11
c) 11/90
69
d) 90/11
28.- Si ordenamos los decimales 0,3 – 0,04 – 0,007 de menor a mayor tenemos …
a) 0,3 – 0,04 – 0,007
b) 0,04 – 0,3 – 0,007
c) 0,007 – 0,04 – 0,3
d) N.A.
29.- Supongamos que K= 0,06 y L= 3,50 entonces K : L es …
a) 0,0171428 ….
b) 0,1714
c) 0,1428
d) N.A.
30.- La ecuación 450 + X = 345 + 678 tiene como solución…
a) 1023
b) 456
c) 753
d) 573
A.- Completa este cuadro, con la escritura que se pide: (CONSULTA)
NUMERO EGIPCIA MAYA BINARIO
132
98
578
70
NÚMEROS ENTEROS
Conocer y aplicar los números enteros en diversas situaciones de la vida diaria: Hay ciertas
situaciones que no se pueden expresar matemáticamente utilizando los números naturales. A partir de
ahora utilizaremos un nuevo conjunto números para resolver este problema: los números enteros.
Observación: Los números enteros no tienen parte decimal.
Los números enteros están formados por los enteros positivos, los enteros negativos y el cero. El 0 no
se considera ni positivo ni negativo.
Lectura y escritura de números enteros
Para diferenciar los enteros positivos de los enteros negativos utilizamos los siguientes símbolos: + (para
los positivos) y − (para los negativos).
Para escribir un número entero positivo se coloca + delante de la cantidad expresada.
+ 200 Se lee: "más doscientos".
71
Para escribir un número entero negativo se coloca − delante de la cantidad expresada.
−100 Se lee: "menos cien".
Escritura sencilla: Los números positivos se escriben sin signo. Los números negativos se escriben
siempre con signo y entre paréntesis cuando sea necesario.
Por ejemplo:
3 + 5 + (−2) + (−4) + 1 = ... (Se entiende que 3, 5 y 1 son positivos).
Actividad 1 En la siguiente tabla se muestran algunas situaciones descritas con números enteros.
Asigna el número entero correspondiente a aquellas situaciones que no lo tengan.
Situación Nº Entero
La temperatura ambiente es de 2º bajo cero 2
La temperatura ambiente es de 2º sobre cero 2
La ciudad se encuentra a 800 m sobre el nivel del mar m800
El buzo está nadando a 20 m de profundidad m20
Estamos justo al nivel del mar 0 m
Julián tiene un deuda de $5.000 $5.000
El avión está volando a 9.500 metros de altura
El saldo deudor de la libreta de ahorro es de $12.356
Los termómetros marcaron una temperatura de 3º bajo cero
72
Resumiendo
Actividad 2. Responde.
1. ¿Cuántos números enteros hay entre y 6 6 ? ¿Y enteros?
2. Indica cual de las siguientes afirmaciones es verdadera o falsa. Justifica tu respuesta.
El conjunto Z+ está incluido en el conjunto Z _________________________________________
Todo número entero es natural. ___________________________________________________
El conjunto Z tiene principio pero no tiene fin. ________________________________________
El conjunto Z no tiene principio ni fin _______________________________________________
Actividad Nº3 Resuelve cada una de las siguientes ejercicios.
1. Completa según la tabla.
73
La gaviota está volando a _________ m _________ el nivel del mar.
El niño está buceando a _________ m _________ el nivel del mar.
El pez está nadando a _________ m
El cangrejo se encuentra a _________ m
El pelícano vuela a _________ m.
2. Dibuja en el gráfico.
ORDEN Y COMPARACION EN NUMEROS ENTEROS
El conjunto 3, –6, ––3, 0, 5, –1, ordenado de mayor a menor, corresponde a:
a) –6, –3, 0, 1, 3, 5
b) –6, –3, 0, 1, 3, 5
c) 5, 3, 1, 0, –3, –6
d) 5, 3, 0, –1, –3, –6
¿Cuál de las siguientes alternativas muestra una relación correcta?
a) –2 > – 4
b) – 3 = – 3
c) – 1< 1
d) (– 8) = – 8
Un pulpo a tres metros de profundidad. Un barco en la superficie del mar. El ancla del barco a cinco metros de profundidad. Un globo aerostático a 6 metros de altura. Una estrella de mar en una roca a cuatro metros de profundidad. Un pez espada a un metro de profundidad.
74
Completa con el signo <, > o = según corresponda.
a) 5 ____ 4
b) 3 ____ 2
c) – 4 ____ – 7
d) 3 ____ 3
e) – 11 ____ – 10
f) (– 1) ____ – 3
APLICACIÓN DE LOS NÚMEROS ENTEROS.
¿Cuál de las siguientes expresiones da como resultado 13?
a) 4 – (–3) + (–5) – 7
b) 4 + (–3) + (–5) + 7
c) (10 – 57) – (45 – 57)
d) 8 – (–3 + 2) + 4
Resuelve.
a) 46 – 13 – 27 =
b) 57 – 100 – 43 =
c) 74 + ( – 16) – 20 =
d) 100 – (–27) – 30 =
e) (–70) – 14 + (–16) =
f) 17 – 18 + (–54) =
g) –50 – (20) – 10 =
Resolucion de problemas
Si la temperatura a las 11:00 horas de hoy era 2º C y aumentó 9 grados al cabo de 2 horas, ¿cuál
será la temperatura a las 13:00 horas?
A las 12:00 horas se registró una temperatura de 9º C. Si hubo un aumento constante de 1º C por
hora, hasta llegar a los 15º C, ¿a qué hora se registró esa temperatura?
¿Cuántos años han transcurrido desde los siguientes acontecimientos históricos hasta la fecha?
75
a. El matemático Orofanto(al que se le suele atribuir la invención del Álgebra) nació en el año 245 d. C.
b. El gran matemático y físico Arquímedes nació en Siracusa en el año 287 a. C.
c. Pitágoras, famoso matemático griego, nació aproximadamente en el año 500 a. C.
Un bloque de hielo se encuentra a 6º bajo cero. Si se calienta hasta conseguir una temperatura de
17º C, ¿en cuánto aumentó la temperatura?
A las 23:00 hrs la temperatura era de 8º C. Si comenzó a descender 3º C cada una hora, ¿cuántos
grados habrá a las 2: 00 hrs?
Ana buceó hasta los 5 m bajo el nivel del mar. Pedro dice que buceó más alto que Ana porque llegó
a 7 m bajo el nivel del mar. ¿Estás de acuerdo con Pedro? Explica.
TALLER 1
1) Ubica en una recta numérica los siguientes enteros: -1 0 -3 4 2 1 -2
________________________________________________
2) Escribe el signo o :
-5 ____ Z -8 ____ Z+ -6 ____ Z- -5 ____ N
0 ____ Z 0 ____ Z+ 0 ____ Z- 0 ____ N
9 ____ Z 7 ____ Z+ 4 ____ Z- 3 ____ N
3) Escribe el signo o :
Z ____ Z+ Z+ ____ Z N ____ Z Z+ ____ N
Z- ____ N Z- ____ Z N ____ Z- Z+ ____ Z-
4) Anota el opuesto simétrico de :
-3 = 8 = -4 = 15 = 0 = a = -b =
5) Escribe el entero que representa las siguientes situaciones:
a) 3 grados bajo cero = b) Debo $ 2.000 =
c) 25 metros de profundidad = d) 80 metros de altura =
e) 6 metros a la derecha = f) 3.000 años antes de Cristo =
6) Escribe el signo > < o = según corresponda:
-3 ____ 3 -6 ____ -1 5 ____ 0 -2 ____ 0
0 ____ +8 -4 ____ +4 -9 ____ 0 -1 ____ -1.000
6 ____ +6 /-3/ ____ /+3/ 0 ____ /-8/ /-6/ ____ /+2/
76
7) Ordena de menor a mayor estos conjuntos:
A = { -5, 4, 0, -7, 3 } B = { -15, -6, -2, -100, -1 }
8) Ordena de mayor a menor estos conjuntos:
C = { 18, -14, 26, -32 } D = { -48, -35, -94, -76 }
9) Dadas las siguientes temperaturas de cinco días de la semana registradas en cierta ciudad del
Sur de Chile. Responde:
Temperaturas Lunes Martes Miércoles Jueve
s
Viernes
Máxima ºC 8 10 0 -3 15
Mínima ºC 0 3 -1 -7 7
a) ¿ Qué día se produjo la menor de las temperaturas mínimas ?
b) ¿ Cuál fue la mayor de las temperaturas máximas ?
c) Ordena las temperaturas mínimas de menor a mayor.
d) Ordena las temperaturas máximas de mayor a menor.
10) Resuelve las siguientes adiciones:
2 + 5 = -7 + -3 = 6 + -4 = -4 + 8 = -10 + -20 =
10 + -30 = -18 + 24 = 100 + -32 = 238 + 136 = -529 + -469 =
800 + -468 = 357 + -900 = 5 + -3 + 10 = -8 + -12 + 10 + -13 + -15 =
11) Anota el número de la columna “A” que corresponda en la “B” :
“A” “B”
1) 5 + 0 = 5 ____ Conmutativa
2) 2 + -3 = -3 + 2 ____ Asociativa
3) 7 + -7 = 0 ____ Neutro aditivo
4) (-4 + 6) + -2 = -4 + (6 + -2) ____ Inverso aditivo
12) Escribe el nombre de las siguientes propiedades de la adición:
a + 0 = a ___________ a + (b + c) = (a + b) + c ________________
a + b = b + a __________ a + -a = 0 ______________________
13) Resuelve las siguientes adiciones usando la propiedad asociativa :
a) -3 + 4 + -8 b) 6 + -5 + -2 + 9 c) -1 + 2 + -3 + -4 + 5 d) -10 + l5 + 34 + -28 + 60
14) Resuelve las siguientes proposiciones abiertas de adición :
+9 + = 5 +1 + = -3 + (-8) = 0 + (-7) = -4
77
15) Resuelve las siguientes sustracciones:
9 - 5 = -6 – ( -4) = -2 - 7 = 5 – (-1) = 18 - 30 = -24 – ( -19) =
-89 -56 = 67 – (-33) = 234 – (-500) = -538 - 700 = -800 – ( -208) =
600 - 209 = -10 – (-8) – (-15) = -7 - 3 – (-10) - 15 = 12 – (-8) – (-3) - 5 – (-4) =
16) Resuelve estos ejercicios combinados de adición y sustracción :
a) 3 + 5 - 8 + 4 - 9 b) 6 - 9 + 4 - 5 + 8 - 3 + 7 c) 9 - 8 + 7 – 6 + 5 – 4 + 3 – 2 + 1
17) Resuelve las siguientes multiplicaciones de enteros:
+5 x +9 = -4 x –8 = +3 x –7 = -2 x +6 =
18) Resuelve las siguientes proposiciones abiertas de multiplicación:
+6 x = +24 -7 x = -35 x +8 = 48 x -9 = -36
19) Resuelve estas divisiones de enteros:
+12 : +2 = -24 : - 3 = +30 : -15 = -40 : +20 =
20) Resuelve estos ejercicios combinados sin uso de paréntesis:
a) -6 + 3 x –2 – 7 x 4 b) 3 – 5 x 6 + 4 : 2 c) –45 x 2 – 14 : -7 + 6 x -3
21) Resuelve estos ejercicios combinados con uso de paréntesis:
a) -6 - (-2 + 1) + 8 b) -8 – [ 15 – (3 – 7) – 10 ] c) –7 – { -3 [ -5 (1 – 9) + 4] – 6} + 8
22) Resuelve estos problemas, anotando la operación y la respuesta:
a) Si pierdes 15 láminas en un juego y 18 láminas en otro. ¿ Cuántas láminas has perdido en total?
b) Un equipo de fútbol tiene 8 goles a favor y en otro partido hizo 5 goles más ¿ Cuántas goles tiene
en total ?
c) Un submarino descendió 46 metros y luego subió 18 metros. ¿ A qué profundidad se encuentra?
d) Las temperaturas máximas y mínimas de tres días fueron las siguientes:
Temperatura
mínima
Temperatura
máxima
12º 25º
15º 27º
10º 23º
¿ Cómo se calcula habitualmente la diferencia de temperaturas en un día ?
78
Representan en una recta numérica, como se muestra a continuación, el resultado de la diferencia
de temperatura en cada día.
/ / /
0 12 25
Escriben las operaciones aritméticas que permiten encontrar los resultados. Por ejemplo, en el primer
caso 25 –12 = 13
e) Encuentran la diferencia entre la máxima y la mínima en los siguientes tres casos:
Temperatura
mínima
Temperatura
máxima
0º 10º
-4º 5º
-8º 3º
Realizan cálculos apoyándose en una representación gráfica como la siguiente:
/ / /
-4 0 5
Escriben las operaciones correspondientes, es decir:
( la temperatura máxima) – ( la temperatura mínima) = incremento de temperatura 5 – (-4) = 9
f) Encuentran la diferencia entre la máxima y la mínima en los siguientes tres casos:
Temperatura
mínima
Temperatura
máxima
-8º -3º
-4º 0º
-10º -1º
g) Completa el siguiente cuadro:
Temperatura
mínima
Temperatura
máxima Operación
12 25
15 27
10 23
0 10
13
9
79
-4 5
-8 3
-8 -3
-4 0
-10 -1
TALLER DE OPERACIONES CON NUMEROS ENTEROS
Suma de dos números enteros del mismo signo:
+6+15 = -7-42 = 17+51 = -13-61 =
24+31 = -5-9 = -12-32 = 51+34 =
Suma de dos números enteros de distinto signo:
-15+32 = 85-24 = 5-12 = 92-123 =
-7+14 = 8-42 = 54-45 = -90+35 =
9-21 = 54-87 = -2+76 = 89-67 =
65-83 = -8+26 = -9+3 = 6-7 =
Suma de más de dos números enteros:
a) –4-7+5-8-81+65 = b) 5+7+9-12-32+31-5 = c) –1+2-3+4-5+6-7=
d) 76-43-54+87+91 = e) 4-7-8-9-3+18 = f) 43+51+65-94+12-86 =
g) –7-83+42+31-9-3 = h) –12-23+34+45-56 = i) 5-3+7-1+9-11-34 =
Multiplicación y la división de números enteros
a) 5x(-12) = b) –5.9 = c) 6.(-7) = d) (-5).(-14) =
e) 4.53 = f) 21.(-9) = g) (-24).(-7) = h) (-41).7 =
i) 20.74 = j) (-42).9 = k) (-6).(-43) = l) (-8).32 =
m) 32 : (-4) = n) (-122): (-2) = ñ) (-27) : 3 = o) 42 : 7 =
Jerarquía de las operaciones:
a) 7.(-8)+69:(-3)+15= b) 76-[-7+5.(9-14+7)-5]-4.(-3) c) (-6-43+31).(94-73)-12:(-6)
d) –9-(24+3.(-6)+7)-21 e) 5-(8+7-5).(-9+32-15)+18 f) 43-3.(-8)+4-3.2-6.5
80
g) 86:2-75:5+90:15+6.(-8) h) 5.[7-6.(3-42:7+1)-14]+31 i) (-3-8+3.4).(7+31-34+11)-4
j) –9-7-5.(-8)+4-92+72:(-6) k) (-6).(-4).(-5)+72.7-400 l)-4+9.(-8-5.(-6)-21+35)-211
Realiza los siguientes cálculos (observa bien y respeta la jerarquía de las operaciones):
a) 7 2 5 14 4 3 = b) 2 7 4 2 10 5 =
c) –12 + 15 + 4 – 18 = d) 5.(-4) + 5 – 2.(-3) =
e) 7 3 4 19 5 32 21 f) 2 3 4 5 1 2 3 25 17
g) 3.(-4) + 5.(-2) + 16= h) 8-4.5+3 =
i) -5+7-18-3+12 = k) 17 –25 –76 –45 +86 =
l) 2-7.(4+65-32+8)+5.(-7) ll) (-4-5+7).(6+9-12) –7.4+5 =
Respuestas
a) -15 b) +2 c) -11 d) -9 e) -22 f) 28
g) -6 h) -9 i) -7 k) -43 l) -348 ll) -29
DIVISIBILIDAD.
Descompón factorialmente los siguientes números:
a) 27 b) 81 c) 49 d) 63 e) 100 f) 121
g) 144 h) 12 i) 32 j) 64 k) 256 l) 24
m) 108 n) 98 ñ) 48 o) 34 p) 289 q) 361
r) 54 s) 162 t) 338 u) 500 v) 505 x) 1023
Calcula m.c.d. y m.c.m. de los siguientes números
a) 27, 81, 63 b) 1023, 11, 121 c) 8, 12, 256 d) 361,19, 38
e) 45, 9, 27 f) 98, 27, 81 g) 289, 34, 4 h) 4, 12, 36
81
UNIDAD 3
“PENSAMIENTO GEOMETRICO-METRICO”
En Geometría, existen puntos de partida necesarios para obtener nuevos saberes y que son aceptados por
sí mismos : son los axiomas y postulados ; es decir se fijan conceptos primitivos que se aceptan sin
definir y ciertas propiedades que se aceptan sin demostrar, que son los axiomas. A partir de los
conceptos primitivos ( punto, recta, plano ) se definen nuevos conceptos y de los axiomas se deducen
nuevas propiedades apareciendo los teoremas, que son verdades que deben ser demostradas y de las
cuales puedo obtener otras proposiciones que son los corolarios.
En Babilonia ( entre 8000 y 6000 años A.C.) y en Egipto ( 700 y 500 años A.C. ) se hicieron estudios de la
Geometría como conjunto de reglas prácticas aplicadas preferencialmente a la agromensura y la
agricultura, para que, posteriormente en Gracia se ordenaran dichos conocimientos dando paso a la
ciencia con sus deducciones en forma rigurosa y racional. En Grecia aparecen Thales, Heródoto,
Pitágoras, Euclides que con sus aportes permiten construir el edificio de la Geometría que prevalece
hasta hoy día.
AXIOMA :
POSTULADO :
TEOREMA :
COROLARIO :
ACTIVIDAD :
Como buen investigador, busca
antecedentes sobre los conceptos que
fueron entregados en el párrafo
anterior y complementa cada uno
con dos buenos ejemplos :
AXIOMA
POSTULADO
TEOREMA
COROLARIO
82
CONTENIDO 1
Recordar y aplicar los conceptos fundamentales
de la geometría plana :
a) axiomas y postulados
b) conceptos básicos :
recta, ángulo
c) teoremas sobre ángulos
Geometría: Ciencia que estudia las propiedades de las figuras desde
el punto de vista de la forma, de la magnitud, de la posición.
Algunos conjuntos de puntos son:
Nombre del
Conjunto
PUNTO RECTA SEGMENTO RAYO PLANO
Representación
X
P
M N
M N
M N
Simbolo
P
MN
MN
MN
P
Se lee
Punto P
Recta MN
Recta NM
Segmento
MN
Segmento
NM
Rayo MN
Plano P
Dimensión
No tiene
Una:
LARGO
Una:
LARGO
Una:
LARGO
Dos: LARGO
y ANCHO
83
A
O
B
ÁNGULO: podemos darle la siguiente definición : “es la porción de un plano limitada por dos rayos
(dos semirrectas) que tienen un vértice común”.
Un ángulo se mide en grados, minutos y segundos.
El circulo completo mide 360º, es decir, un grado es la trescientas sesenta ava parte del circulo
completo.
Un grado se divide en 60 partes iguales y cada una de estas partes se llama minuto, es decir:
Un minuto se divide en 60 partes iguales y cada una de ellas recibe el nombre de segundo, es decir:
CLASIFICACIÓN DE ÁNGULOS : (completa el cuadro)
ÁNGULO COMPLETO ÁNGULO EXTENDIDO ÁNGULO OBTUSO
mide
mide Mide
Dibujo
Dibujo Dibujo
1º = 60’
1’ = 60’’
O = vértice del ángulo
OA
y OB rayos
AOB BOA
84
ÁNGULO RECTO ÁNGULO AGUDO
mide
mide
Dibujo
Dibujo Dibujo
SUMA (RESTA) DE ANGULOS: Los ángulos expresados en grados, minutos y segundos se pueden sumar
o restar como sigue:
Ejemplos: 1) Suma de ángulos: 15º 28’ 35’’
+ 48º 47’ 52’’
63º 75’ 87’’
Luego, 63º 76’ 87’’ = 64º 16’ 27’’
2) Realiza la resta: 150º
- 122º 45’ 35’’
Así 149º 59’ 60’’
- 122º 45’ 35’’
27º 14’ 25’’
EJERCICIOS PROPUESTOS
1.) Determinar el valor de los siguientes ángulos:
AOC = BOE =
BOD = COF =
AOE = DOF =
AOF =
2.) Dados los siguientes ángulos:
D C B
42º 45º
30º
E 51º 0 A
F
85
= 23º 45’ , = 120º 40’ 32’’ , = 92º 10’ 20’’ Calcula
a) + + = b) - = c) 2
3) En la figura, OC es bisectriz del AOB.
Encuentra el valor de x e y , si AOB = 140º.
2y-20º
x+10º
DEFINICIONES :
ÁNGULOS CONSECUTIVOS
Dos ángulos son consecutivos si tienen un lado
en común.
y son consecutivos
ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS:
Dos ángulos consecutivos son complementarios si
suman en conjunto 90º.
9
ÁNGULOS SUPLEMENTARIOS
Dos ángulos consecutivos son suplementarios
si suman en conjunto 180º
180º
A C
O B
86
L1
ANGULOS FORMADOS POR DOS RECTAS PARALELAS CORTADAS POR UNA SECANTE.
1 2
3 4
5 6
7 8
EJERCICIOS :
4. En la figura, ¿ cuál es el valor de x ?
2x-1 29º
5. En la figura, ¿ cuál es el valor de x ?
x+80
70°
6. En la figura, encuentra los valores de x e y
7. La suma de las magnitudes de dos ángulos es 124º. Si la medida de uno de ellos es el
triple de la del otro. ¿ cuál es la medida de cada uno de ellos ?
8. Tres ángulos suman 157°. El mayor mide 32º más que el segundo, y éste 25º más que
el tercero. ¿ Cuánto vale cada ángulo ?
1 4 5 8
2 3 6 7
y+10º
2x 3x-70º
L2
87
9) 10) 11)
12) 13) 14)
CONSTRUCCIONES BÁSICAS
Es necesario para el trabajo posterior de polígonos, sepas realizar las construcciones básicas
de geometría, esto es con compás y escuadra.
14. Copia en tu cuaderno el ángulo dado en la figura :
15. En tu cuaderno, construye la simetral
del trazo AB:
La simetral es la perpendicular en el
punto medio del segmento dado.
A
B
3x 2x 5x
2x-10°
x+40°
x+50°
2x-80°
5x-75°
3x x+20°
3x-15°
3x x+20°
116°
88
16. Construye la bisectriz del ángulo dado.
17. Desde un punto P exterior a la recta L, traza otra recta perpendicular a la recta dada.
X P
L
18. Encuentra el conjunto de todos los puntos del plano que están a distancia “d” del punto dado P.
d x P
19. Comprueba con tus útiles , que los
ángulos opuestos por el vértice
son iguales entre sí.
20. Desde un punto exterior P a una recta L, traza una
paralela a la recta dada.
P
REFLEXIÓN :
Los conocimientos sobre la Geometría en Egipto cobraron suma importancia en la construcción de las
pirámides. ¿Puedes considerar tú la cantidad de personas empleadas en la construcción de ese inmensa
obra, la cantidad de material?
¿Sabías que este monumento ( la de Keops ) mide 230 metros por lado de su base cuadrada y 146 metros
de altura ? ¿ A cuántas canchas de fútbol equivale su base ? Escribe en tu cuaderno el producto de tu
reflexión
89
POLÍGONOS
Un polígono es una figura plana cerrada formada por trazos o segmentos. Los polígonos se pueden
clasificar en:
a) Cóncavos: son los aquellos polígonos que por lo menos tengan un ángulo interior mayor a 180 grado.
b) Convexos: son los aquellos polígonos que todos sus ángulos interiores son menores a 180 grados.
c) Polígono equilátero.- todos sus lados son congruentes (iguales).
d) Polígono irregular.-Sus lados tienen longitudes diferentes.
e) Polígono equiángulo.-Las medidas de sus ángulos interiores son congruentes.
f) Polígono regular.-Es equilátero y a su vez equiángulo.
Ej.: cuadrado, triángulo equilátero, pentágono regular, etc.
NOMBRE DE POLIGONOS SEGÚN EL NÚMERO DE LADOS
Triángulo: 3 lados
Cuadriláteros: 4 lados
Pentágono: 5 lados
Hexágonos: 6 lados
Heptágono: 7 lados
Octógono: 8 lados
Eneágono: 9 lados
Decágono: 10 lados
Endecágono: 11 lados
Dodecágono: 12 lados
Pentadecágono: 15 lados
Icoságono: 20 lados
90
Propiedades de los polígonos en general:
Existen algunas propiedades para todo tipo polígono (regular e irregular).
a) En todo polígono de "n" lados, la suma de los ángulos interiores está dada por la relación:
b) En cualquier polígono, independiente del n° de lados, la suma de sus exteriores es 360°
c) El n° de diagonales que se pueden trazar desde un vértice está dado por: (n = n° de lados de polígono)
d) El nº de diagonales que se pueden trazar en un polígono es:
n = n° total de lados del polígono dado
Propiedades de los polígonos regulares:
1) El valor de un ángulo interior se obtiene mediante la siguiente fórmula:
Ejemplo: calculemos la medida de un ángulo interior de un hexágono (polígono de 6 lados) regular:
180 (n - 2)
Suma ángulos exteriores = 360°
d = n - 3
D =
2
3nn
91
Si n = 6, entonces n
2nº180 =
6
26º180 =
6
4º*180= 30 * 4 = 120º
2) El valor de un ángulo exterior se obtiene mediante la siguiente fórmula
Ejemplo: en el ejemplo anterior, cada ángulo exterior mide: 6
º360= 60º
TALLER 1
Analiza y desarrolla los siguientes problemas.
Responde:
1) ¿Qué es un polígono?
________________________________________________________________________
2) ¿Qué características tiene un polígono cóncavo?
________________________________________________________________________
3) ¿Qué características tiene un polígono regular?
________________________________________________________________________
4) La medida del ángulo exterior w del polígono:
5) La suma de las medidas de los ángulos interiores de un polígono de 12 lados. _______
Angulo int. = n
2nº180
Angulo ext. = n
º360
92
6) Determina la medida de un ángulo interior y un ángulo exterior de un polígono regular de 16 lados.
_____________________________________________________________
7) Calcula el perímetro de un decágono regular si uno de sus lados mide 11,6 cm.
_________________________________________________________________
8) Calcula la medida del ángulo x en la siguiente figura: __________________________
9) ¿Es posible que exista un polígono cuya suma de los ángulos interiores sea 300°? Justifica tu
respuesta.
_____________________________________________________________________
10) En el dibujo, ABCDEF es un hexágono regular, determina la medida del EKD.
TALLER TIPO TEST ( ICFES-SABER)
11) El polígono en que la suma de los ángulos interiores es 540° es un:
a) eneágono
b) hexágono
c) nonágono
d) pentágono
e) ninguna de las anteriores
12) ¿Cuántas diagonales tiene un decágono regular?
a) sinco
6 cm
93
b) seis
c) ocho
d) diez
e) once
13) La figura es hexágono regular. El ángulo x mide:
a) 120º
b) 150º
c) 200º
d) 240º
e) 270º
14) La figura es un hexágono regular. "O" es el centro de la figura. El ángulo x mide:
a) 120°
b) 200°
c) 240°
d) 300°
e) 270°
15) La figura es un cuadrilátero cualquiera. La suma de los ángulos "x" e "y" vale:
a) 160°
b) 120º
c) 80º
d) 40º
e) 320º
16) En el pentágono regular ABCDE se traza la diagonal EC.
¿Cuánto mide el ángulo DEC?
a) 30°
b) 36°
c) 45°
d) 60°
e) 72°
17) El número de diagonales que pueden trazarse desde un vértice de un hexágono es:
a) 4
94
b) 9
c) 6
d) 27
e) ninguna de las anteriores
18) Un polígono regular cuyo ángulo exterior mide 40° tiene:
a) 12 lados
b) 9 lados
c) 7 lados
d) 6 lados
e) 4 lados
19) Al unir los puntos medios de los lados de un rombo resulta un:
a) rombo
b) rectángulo
c) cuadrado
d) romboide
e) trapecio
20) Dos polígonos regulares con igual número de lados, se puede afirmar que:
I. Tienen ángulos interiores respectivamente iguales.
II. Tienen áreas iguales.
III. Son congruentes.
a) Sólo I.
b) Sólo II.
c) Sólo III.
d) Sólo I y II.
e) Sólo II y III.
21) El número de diagonales que pueden trazarse desde un vértice de un heptágono es:
a) 4
b) 6
c) 7
d) 9
e) ninguna de las anteriores
22) ¿cuánto mide los ángulos exteriores de la figura?
a) 60°
b) 80°
c) 90°
95
d) 120°
e) 360°
23) ¿qué clasificación recibe la figura?
a) Cuadrilátero regular
b) Octógono regular
c) polígono regular
d) polígono convexo
e) polígono cóncavo
MEDICIONES Y CONVERSIONES
UNIDADES.
Las cantidades físicas se cuantifican en unidades de medida.
.
UNIDAD DE MEDIDA
Es una medida estándar o patrón que tiene un valor fijo y reproducible para tomar medidas exactas.
Las unidades de medida se relacionan convenientemente dando lugar a los sistemas de unidades.
SISTEMA DE UNIDADES
Conjunto unificado y coherente de unidades de medida, formado por unidades fundamentales y derivadas.
Los sistemas de unidades se clasifican de acuerdo a sus unidades fundamentales en: absolutos y
gravitacionales.
Métrico m.k.s (metro, kilogramo, segundo)
Absolutos c.g.s (centímetro, gramo, segundo)
Ingles
m.kgf.s (metro, kilogramo- fuerza, segundo)
Gravitacionales c.gf.s. (Centímetro, gramo-fuerza, segundo)
Ingles
96
Algunos sistemas desaparecieron y continuaron en uso el Sistema Ingles (gravitacional), utilizado en
Estados Unidos, Inglaterra y Australia y el métrico (absoluto) empleado en el resto del mundo.
Sistema Métrico creado en Francia en 1791, fue utilizado por los científicos de todo el mundo. Sus
cantidades fundamentales son longitud, masa y tiempo.
El sistema métrico se ramifica en dos sistemas de unidades el m.k.s y el c.g.s.
Sistema Inglés desarrollado en Inglaterra, los países de habla inglesa lo aplican para fines comerciales y
de ingeniería. Sus cantidades fundamentales son longitud, fuerza o peso y tiempo. Uno de los principales
inconvenientes de este sistema es que sólo puede emplearse en mecánica y termodinámica y no existe un
sistema ingles de unidades eléctricas.
En la tabla siguiente se presentan las cantidades fundamentales de dichos sistemas y sus unidades de
medida.
Cantidades
Fundamentales
Sistema métrico Cantidades
Fundamentales
Sistema
Ingles m.k.s. c.g.s.
Longitud metro
(m)
centímetro
(cm)
Longitud
pie
(ft)
Masa kilogramo
(kg)
gramo
(g)
Fuerza o peso libra
(lb)
Tiempo segundo
(s)
segundo
(s)
Tiempo segundo
(s)
El desarrollo de la ciencia, el comercio y la cooperación internacional, ha llevado a la necesidad de contar
con un sistema universal de unidades de medida. Así en 1960 durante la XI Conferencia Internacional
sobre pesas y medidas, celebrada en París, se adoptó, una forma revisada y complementada del sistema
m.k.s para uso internacional; este sistema se conoce oficialmente como Sistema Internacional (SI) la
abreviatura SI proviene del nombre en francés “ Système International “. Su uso ha sido legalizado en
casi todas las naciones. Actualmente los países de habla inglesa se encuentran en periodo de cambio hacia
estas unidades.
Para conformar el Sistema Internacional se seleccionaron siete cantidades fundamentales que son:
longitud, masa, tiempo corriente eléctrica, temperatura termodinámica, cantidad de sustancia e
intensidad luminosa. Una vez determinadas estas cantidades definieron la unidad de medida o patrón de
cada una de ellas.
97
UNIDADES FUNDAMENTALES DEL SISTEMA INTERNACIONAL
Cantidad fundamental
Unidad fundamental
Nombre Símbolo
Longitud metro m
Masa kilogramo kg
Tiempo segundo s
Corriente eléctrica ampere A
Temperatura, termodinámica kelvin K
Cantidad de sustancia mol mol
Intensidad luminosa candela cd
Este es un sistema perfectamente coherente, es decir hasta ahora no se ha descubierto ninguna
cantidad física que no pueda ser expresada en términos de estas siete cantidades fundamentales.
Las unidades de medida se definieron científicamente de manera que tienen un valor fijo y pueden
reproducirse en cualquier lugar con gran precisión.
De acuerdo al desarrollo de la ciencia dichas definiciones se actualizan continuamente. En el presente se
expresan mediante constantes atómicas, ya que están disponibles en todas partes, son invariables y se
pueden reproducir en cualquier laboratorio
Las cantidades derivadas del Sistema Internacional que se usarán en este curso se obtienen de las
cantidades fundamentales de: longitud, masa y tiempo.
En la siguiente tabla se indican las unidades de medida de las cantidades físicas del Sistema
Internacional que utilizaremos en el estudio de Física I.
SISTEMA INTERNACIONAL
Cantidad
Física
Unidad de medida
Símbolo SIMBOLO
Longitud
metro
m
Masa
kilogramo
kg
98
En este libro trabajaremos básicamente con las unidades del Sistema Internacional aceptado casi
mundialmente en la ciencia y la industria. También utilizaremos aunque en forma limitada el Sistema
Ingles debido a que en Estados Unidos aún se emplea, no obstante que este país se encuentra en
proceso de cambio hacia el Sistema Internacional.
En la siguiente tabla se presentan las unidades del Sistema Ingles que manejaremos en el curso de Física
I.
SISTEMA INGLES.
Cantidad Física
Unidad de medida
Símbolo
Longitud
pie
( ft )
Fuerza
libra
( lb )
Tiempo
segundo
( s )
Tiempo
segundo
s
Área ó superficie
metro cuadrado
m2
Volumen
metro cubico
m3
Velocidad
metro por segundo
Aceleración
metro por segundo al
cuadrado
Fuerza
newton
N =
99
Area
pie cuadrado
ft2
Volumen
pie cubico
ft3
Velocidad
pie por segundo
Aceleración
pie por segundo al
cuadrado
Masa
Slug
Slug=
ANÁLISIS DIMENSIONAL Y CONVERSIÓN DE UNIDADES
OPERACIONES CON CANTIDADES FÍSICAS
Las cantidades físicas se expresan mediante símbolos algebraicos. Un símbolo algebraico se forma por
número y literal, al igual que las cantidades físicas; por ejemplo una longitud se expresa como 20 m, 3 ft,
10 cm, etc. Es por ello que los cálculos de las cantidades físicas se realizan igual que lo hacemos con los
símbolos algebraicos.
Las unidades que se utilicen para la resolución de toda ecuación o fórmula deben pertenecer a un
mismo sistema (Internacional o Inglés).
SUMA
Para efectuar esta operación, todas las cantidades deben tener las mismas unidades. La operación se
resuelve, sumando los números y escribiendo la misma unidad.
Ejemplo:
5 m + 2 m + 41 m = 48 m
RESTA
Para restar una cantidad de otra, deben tener las mismas unidades. Se realiza, restando los números y
escribiendo la misma unidad.
Ejemplo:
100
7 m2 – 4 m2 = 3 m2
MULTIPLICACIÓN
Para efectuar la multiplicación las cantidades pueden tener distintas unidades. Para resolver esta
operación, multiplica los números y posteriormente multiplica las unidades como literales algebraicas.
Ejemplo:
(2 m) (8 m ) = 16 m2
(9 m2) (3 m) = 27 m3
(5 ) ( 3 s) = 15 = 15 m
DIVISIÓN
Las cantidades que se dividen pueden tener distintas unidades. Para efectuar la operación, divide los
números; a continuación divide las unidades como literales algebraicas
Ejemplo:
=
= 2 = 2
CONVERSIONES
En algunas ocasiones existe la necesidad de cambiar o convertir las unidades que se están empleando.
Esta conversión de unidades se puede efectuar aplicando el principio de cancelación.
La conversión de una cantidad expresada en determinada unidad, a su equivalente en una unidad diferente
de la misma clase, se basa en el hecho de que multiplicar o dividir cualquier cantidad por uno no afecta su
valor. Mediante este método las conversiones pueden ser fácilmente realizadas, conociendo las
cantidades equivalentes.
CANTIDADES EQUIVALENTES
Longitud
Volumen
Tiempo
1 m = 100 cm 1 m3 = 1 000 litros 1 hora = 60 min.
1 m = 1 000 mm 1 cm3 = 1 ml 1 min = 60 s
1 cm = 10 mm 1 l = 1 000 cm3 1 hora = 3 600 s
101
1 m = 39.37 in 1 l = 1 dm3
1 m = 3.281 ft 1 galón = 3.785 litros
1 m = 1.094 yd
1 km = 1000 m
1 in = 2.54 cm
1 ft = 0.3048 m
1 ft = 30.48 cm
Fuerza
Masa 1 ft = 12 in
1 mi = 1.609 km 1 lb = 4.45 N 1 slug = 14.59 kg
1 mi = 5280 ft
1 yd = 3.0 ft
1 yd = 3.0 ft
1 yd = 91.44 cm
1 in = 0.0254 m
CONVERSIÓN DE UNIDADES LINEALES (ELEVADAS A LA POTENCIA 1)
.
Ejemplo: Convertir 46 m en cm
1. – Escribimos la cantidad que se desea convertir 46 m
2. – Buscamos las cantidades equivalentes de las unidades involucradas (Tabla de cantidades
equivalentes). 1m = 100 cm
3. – Multiplicamos la cantidad original por un quebrado (factor de conversión), que estará formado por
las cantidades equivalentes, colocando la unidad que se quiere eliminar opuesta a su posición en la
cantidad original, de tal forma que al efectuar la operación, se cancele.
Por lo tanto: 46 m = 4 600 cm
Si efectúas la operación inversa o sea convertir cm en m basta invertir el factor de conversión. Ejemplo:
Convertir 25 cm en m
25 cm = 0.25 m
El factor de conversión está formado por una igualdad, por lo que su valor es uno, de forma que la
cantidad original no se afecta al multiplicarla por dicho factor.
102
CONVERSIÓN DE UNIDADES NO LINEALES (ELEVADAS A POTENCIA DIFERENTE DE 1)
Para convertir unidades elevadas a potencia diferente de 1 el método de conversión es el mismo, tomando
en consideración lo siguiente:
1m = 100 cm
(1m)2 = (100 cm)2 (1m)3=(100 cm)3
1m2 = 10 000 cm2 1 m3 = 1000 000 cm3
Ejemplo:
Convertir 540 m2 en cm2
Se utilizan las equivalencias lineales de las unidades involucradas
Equivalencia 1m = 100 cm
Para eliminar m2, el factor de conversión debe involucrar m2 por lo tanto se elevan las dos cantidades
equivalentes, de tal forma que el factor de conversión mantenga su valor = 1.
(1 m)2 = (100 cm)2
1 m2 = 10 000 cm2
Se colocan las cantidades equivalentes de modo que al efectuar la operación se cancelen m2 y sólo queden
cm2 = 5 400 000 cm2
540 m2 = 5 400 000 cm2
CONVERSIÓN DE UNIDADES COMBINADAS
Cuando se requiere convertir una cantidad física como la velocidad que implica la relación de dos
cantidades, el procedimiento es el mismo solo que se requerirá de dos factores de conversión.
Ejemplo:
Convertir 80 en
Equivalencias
1 km = 1 000 m
103
1 h = 3 600 s
Se multiplica la cantidad que se desea convertir por dos factores de conversión, colocados de forma que
al efectuar la operación se eliminen los km y las h y el resultado quede expresado en .
Ejercicios resueltos
Realiza las siguientes conversiones
1. - 28.3 cm a m
Equivalencia 1 m = 100 cm
28.3 cm = 0.283 m
2. - 568 ft a millas
Equivalencia 1 mi = 5 280 ft
568 ft = 0.108 mi
3. - 1 250 in a m
Equivalencia 1 in = 0.0254 m
1250 in =3.71 m
4. - 30 m3 a cm3
Equivalencia 1 m = 100 cm
1 m3 = 1 000 000 cm3
30 m3 = 30 000 000 cm3
5. - 300 cm2 a m2
104
Equivalencia
1 m = 100 cm
1 m2 = 10 000 cm2
300 cm2 = 0.03 m2
6. - 83.5 ft3 a m3
Equivalencias
1 ft = 0.3048 m
l ft3 = 0.0283 m3
83.5 ft3 = 2.363 m3
7. - 10
Equivalencias
1 km = 1 000 m
1 h = 3 600 s
10 = 2.778
8. - 367
Equivalencias
1 mi = 5 280 ft
1 h = 3 600 s
367 = 538.267
9. - Un contratista colocará azulejo importado en la pared de una cocina, que mide 3 metros de ancho
y 2 metros de alto. ¿Cuántos pies cuadrados (ft2) de azulejo se necesitan?
3.00 m
2.00 m
Solución I
Se requiere determinar el área o superficie de la pared en el Sistema Ingles, por lo que las dimensiones
de la pared deben estar expresadas en este sistema. De forma que se convierten las medidas de metros
(m) a pies (ft)
105
Equivalencia 1 m = 3.281 ft o 1 ft = 0.3048 m
Por tanto:
Area =(base) (altura)
Sustituyendo
Área = = 64.59 ft2
Área = 64.59 ft2
Solución II
Se calcula el área en m2 y el resultado se convierte a ft2
Area = = 6 m2
Convertir 6 m2 en ft2
Equivalencia
1 m= 3.281 ft
1 m2 = 10.765 ft2
6 m2 = 64.59 ft2
Área = 64.59 ft2
10. – Un cohete al ser lanzado alcanza una altura de 250 Km ¿A cuánto equivale esta distancia en ft?
Se convierten 250 Km a ft
En la tabla de equivalencias no contamos con el factor de conversión directa de km a ft. En este caso se
realiza la conversión utilizando factores intermedios conocidos. Por ejemplo convertiríamos km a m y
posteriormente los m a ft.
250 km a m
Equivalencia 1 km = 1 000 m
(250 km) = 250 000 m
250 000 m a ft
Equivalencia 1m = 3.281 ft
106
(250 000 m) = 820 250 ft 250 km = 820 250 ft
11. - Una persona pesa 130 lb y tiene una altura de 5 ft y 9 in. Expresa el peso y la altura en unidades
del Sistema Internacional.
En el Sistema Internacional el peso se expresa en newton (N)
Por lo tanto:
Se convierten 130 lb en N
Equivalencia 1 N = 0.225 lb
Peso = 577.778 N
En el Sistema Internacional la altura se expresa en metros ( m).
Convertir 5 ft en m
Equivalencia 1 ft = 0.3048 m
Convertir 9 in a m
Equivalencia 1 in = 0.0254 m
Altura = 1.524 m + 0.229 m = 1.753 m
Altura = 1.753 m
Ejercicios propuestos.
Efectúa las siguientes conversiones
1. - 875 km a mi
2. - 1250 in a m
3.- 0.6 m2 a cm2
4.- 9 ft2 a m2
5. - 60
6. - 367
Respuesta = 543.816 mi
Respuesta = 31.75 m
Respuesta = 6 000 cm2
Respuesta = 0.836 m2
Respuesta 96.54
Respuesta = 538.267
20.- Una sala de estar tiene 18 ft de ancho y 33 ft de largo ¿Cuál es el área de la sala en m2?
Respuesta = 55.184 m2
107
21.- Una acera requiere de 40 yd3 de concreto ¿Cuántos m3 se necesitan?
Respuesta = 30.550 m3
22. -La velocidad máxima a la que se puede circular en una carretera es de
40 . ¿Cuál sería el limite de velocidad en
Respuesta = 17.878
TALLER 1
1. Expresa en metros (m) las siguientes longitudes
A. 48,9 Km Rta/ 48 900 m
B. 36,875 Hm Rta/ 3 687,5 m
C. 846,1 Dm Rta/ 8 461 m
D. 538,34 cm Rta/ 5,3834 m
E. 6 790 mm Rta/ 6,79 m
F. 159’856 345 nm Rta/ 0,16 m
2. Expresa en segundos (s) los siguientes intervalos de tiempo:
A. 45 min Rta/ 2 700 s
B. 7 h Rta/ 25 200 s
C. 1 día Rta/ 86 400 s
D. 2 sem Rta/ 1’209 600 s
E. 1 año Rta/ 31’536 000 s
F. 2’000 000 s Rta/ 2 s
3. Escribe V o F en cada una de las siguientes afirmaciones según corresponda:
A. La masa en el sistema Internacional “S.I.” se mide en gramos ( )
B. Sería lógico medir la longitud de tu lápiz en Km ( )
C. Tiene sentido decir que David pesa 1,75 m ( )
D. El primer metro se determinó con la diezmillonésima parte del meridiano terrestre ( )
E. Para medir distancias entre ciudades puede utilizarse el cm ( )
F. El c.g.s. es un sistema derivado del M.K.S. ( )
G. Para medir la distancia entre astros se usa el “AÑO LUZ” ( )
H. Es posible convertir metros a segundos ( )
I. El prefijo “MEGA” significa un millón de veces ( )
J. En el sistema Inglés la masa se mide en gramos ( )
108
4. La rapidez es la distancia que recorre un cuerpo en la unidad de tiempo. Expresa en m/s las
siguientes rapideces:
A. 299 Km/h Rta/ 83,06 m/s
B. 0,765 Hm/min Rta/ 1,28 m/s
C. 97,64 Dm/min Rta/ 16,27 m/s
D. 100 Mll/h Rta/ 44,69 m/s
E. 144 Km/h Rta/ 40 m/s
F. 456 cm/s Rta/ 4,56 m/s
5. Juliana Sale a trotar diariamente 12,6 Km; en su recorrido tarda 1 hora y media
A. Cuántos metros trota Juliana en una hora? Rta/ 8 400 m
B. Cuántos segundos trota Juliana diariamente? Rta/ 5 400 s
C. Cuántas millas recorre Juliana en una semana? Rta/ 54,82 mll
D. Cuántos Km recorre Juliana en un mes? Rta/ 378 Km
E. Cuánto tiempo trota en total Juliana durante el año (supón que sólo deja de trotar 5 días
del año) Rta/ 540 h = 22,5 días
6. Piensa:
A. Qué cuerpo tiene más masa; Un Kg de hierro o un Kg de algodón?
B. Qué cuerpo tiene más volumen; Un Kg de hierro o un Kg de algodón?
C. A la pregunta: “¿Cuánto tiempo tardas de tu casa al colegio?” Tres niñas responden:
- media hora
- 1 800 s
- 30 min
Cuál de las tres se demora más y por qué?
7. Determina en m/s las siguientes medidas:
A. la rapidez de un pez: 3,6 Km/h Rta/ 1 m/s
B. La rapidez de una mosca: 18 Km/h Rta/ 5 m/s
C. La rapidez de una liebre: 65 Km/h Rta/ 18,06 m/s
D. La rapidez de un avión comercial: 1000 Km/h Rta/ 277,78 m/s
E. La rapidez de la tierra en su órbita: 108 000 Km/h Rta/ 30 000 m/s
8. Consulta las siguientes equivalencias del Sistema Inglés al Sistema Internacional:
A. 1 ft = _______________ cm (1 pie)
B. 1 in = _______________ cm (1 pulgada)
C. 1 mll = _______________ m (1 milla)
D. 1 yd = _______________ cm (1 yarda)
E. 1 lb = _______________ Kg (1 libra)
109
9. Observa a tu alrededor medidas usuales, cotidianas y escríbelas a continuación:
_____________________________________________
_____________________________________________
_____________________________________________
_____________________________________________
110
UNIDAD 4
“PENSAMIENTO ALEATORIO”
ESTADISTICA DESCRIPTIVA
1. ¿Qué es la Estadística?
La Estadística es una ciencia que estudia las características de un conjunto de casos para hallar en ellos
regularidades en el comportamiento, que sirven para describir el conjunto y para efectuar predicciones.
La Estadística tiene por objeto recolectar, organizar, resumir, presentar y analizar datos relativos a un
conjunto de objetos, personas, procesos, etc. A través de la cuantificación y el ordenamiento de los datos
intenta explicar los fenómenos observados, por lo que resulta una herramienta de suma utilidad para la toma
de decisiones.
2. Conceptos básicos
En cualquier trabajo en el que se aplique, la estadística debe hacer referencia a un conjunto de entidades,
conocido como población.
Población o Universo: es el total del conjunto de elementos u objetos de los cuales se quiere obtener
información. Aquí el término población tiene un significado mucho más amplio que el usual, ya que puede
referirse a personas, cosas, actos, áreas geográficas e incluso al tiempo.
La población debe estar perfectamente definida en el tiempo y en el espacio, de modo que ante la presencia
de un potencial integrante de la misma, se pueda decidir si forma parte o no de la población bajo estudio. Por
lo tanto, al definir una población, se debe cuidar que el conjunto de elementos que la integran quede
perfectamente delimitado. Si, por ejemplo, estamos analizando las escuelas primarias, debemos especificar
cuáles y cuándo: escuelas primarias de la Capital Federal, año 1992.
El tamaño de una población viene dado por la cantidad de elementos que la componen.
Unidad de análisis: es el objeto del cual se desea obtener información. Muchas veces nos referimos a las
unidades de análisis con el nombre de elementos. En estadística, un elemento o unidad de análisis puede ser
algo con existencia real, como un automóvil o una casa, o algo más abstracto como la temperatura o un
intervalo de tiempo. Dada esta definición, puede redefinirse población como el conjunto de unidades de
análisis.
111
Muestra: es un subconjunto de unidades de análisis de una población dada, destinado a suministrar
información sobre la población. Para que este subconjunto de unidades de análisis sea de utilidad estadística,
deben reunirse ciertos requisitos en la selección de los elementos.
Las causas por la cual se seleccionan muestras son muchas. Puede ocurrir que la población que se defina
tenga tamaño infinito, y en consecuencia, no fuera posible observar a todos sus elementos. En otras
ocasiones, el costo de la observación exhaustiva puede ser muy elevado, el tiempo de recolección de la
información muy extenso, o más aún, la observación de los elementos puede ser destructiva. Por ejemplo, si
quisiéramos hacer un estudio de la calidad de una partida de fósforos, no podríamos probarlos a todos pues
los destruiríamos.
Variable: es la cualidad o cantidad medible que se estudia de las unidades de análisis y que varían de una
unidad a otra. Por ejemplo: edad, ingreso de un individuo, sexo, cantidad de lluvia caída, etc.
Nivel de medición: las variables pueden ser medidas con mayor o menor grado de precisión según la
escala de medida utilizada para su observación. Podemos distinguir los siguientes niveles de medición de
una variable:
Nominal: sólo permite clasificar a las unidades de análisis en categorías. Por ejemplo: sexo –
varón y mujer -.
Ordinal: además de clasificar a los elementos en distintas categorías, permite establecer una
relación de orden de las mismas. Por ejemplo: clase social –baja, media y alta-.
Intervalar: permite clasificar, ordenar y medir la distancia entre las diferentes categorías. Por
ejemplo: edad.
Las variables se clasifican en dos grupos de acuerdo al nivel de medición utilizado para su observación:
Variables cualitativas: son las variables medidas en escala nominal u ordinal, ya que la
característica que miden de la unidad de análisis es una cualidad.
Variables cuantitativas: son las variables medidas en escala intervalar, puesto que lo que miden
es una cantidad.
3. Métodos de recolección de datos
La forma de obtener la información original de las unidades de análisis que componen el universo por
investigar puede ser efectuada a través de un censo, una encuesta o un registro administrativo.
112
Censo
Es un método de recolección de datos mediante el cual la información se obtiene relevando la totalidad de
los elementos que componen la población o universo bajo estudio. Un censo debe cumplir las condiciones de
universalidad (censar a todos los elementos de la población) y simultaneidad (realizarse en un momento
determinado). Un censo es equivalente a una fotografía de la población bajo estudio.
El término censo no sólo se aplica a aquellos relevamientos que comprenden todas las unidades de todo un
país y que se realizan con una frecuencia de recolección quinquenal o decenal, como es el caso de los censos
de población, económicos, agropecuarios, etc., sino también a todo relevamiento, cualquiera sea su cobertura
geográfica, número de unidades de información, o frecuencia de su recolección, siempre que incluya todas las
unidades que componen el universo que se investiga.
Encuesta
Es un método de recolección mediante el cual la información se obtiene relevando sólo un subconjunto o
muestra de elementos del universo en estudio, que permite obtener información sobre el mismo.
Para que la información obtenida con la encuesta sea generalizable a la población, la muestra utilizada debe
ser representativa de la población de la que proviene. Para lograrlo, se utilizan métodos de selección de
unidades especialmente diseñados con este fin.
Su uso ha ido en rápido aumento, en la medida en que las instituciones productoras de información disponen
de personal capacitado para efectuar su organización, diseño y análisis, debido a su menor costo y a que en
determinadas circunstancias la información resulta más exacta debido a que los errores ajenos al muestreo
(errores en la recolección y en el procesamiento) pueden ser reducidos a través de una mejor capacitación
de los empadronadores y la utilización de métodos de captación de información más objetivos.
Registro administrativo
Existen oficinas públicas que llevan registros administrativos para sus propios fines. Por ejemplo, los
Registros Civiles que registran los nacimientos, los casamientos, las defunciones, etc.; los Ministerios de
Educación que llevan registros de matriculación de alumnos, deserción escolar, etc.; la Aduana que registra
las importaciones y exportaciones, etc.
Esta información puede ser utilizada con fines estadísticos y se obtiene tal como está disponible. Los fines
administrativos no siempre coinciden totalmente con los fines estadísticos.
Por ejemplo, para un estudio sobre determinada enfermedad se puede recurrir a los registros disponibles
en hospitales, sanatorios, etc. Estos registros habrán sido diseñados para dar respuesta a ciertos
113
requerimientos administrativos y seguramente la información que contienen no coincidirá exactamente
con los requerimientos estadísticos.
Los registros constituyen la forma más económica de obtener información estadística de una población.
4. Agrupamiento de datos
Existen métodos para resumir los datos medidos u observados.
Cuando se trata de variables cualitativas donde las categorías están determinadas, lo único que hay que
hacer es contabilizar el número de casos pertenecientes a cada categoría y normalizar en relación al
número total de casos, calculando una proporción, un porcentaje o una razón.
En cambio, cuando se trata de variables cuantitativas, el resumen de los datos consiste en organizar
tablas que sintetizan los datos originales y se denominan distribuciones de frecuencia.
Frecuencia: es el número de veces que se presenta cada valor de la variable.
Tabla de frecuencias: es una tabla que presenta en forma ordenada los distintos valores de una variable
y sus correspondientes frecuencias.
Por ejemplo: consideremos la variable “número de aulas por escuela”, medida en las escuelas de una
localidad.
Número de
aulas por
escuela
(1)
Frecuencia
(2)
8 7
9 7
10 12
11 11
12 15
13 10
14 5
67
En la columna (1) se observan los valores que toma la variable “número de aulas por escuela”, que varían de 8 a 14. En la columna (2) se ha colocado la cantidad de escuelas correspondiente a cada valor de la variable. Si sumamos esta columna obtenemos la cantidad total de escuelas bajo estudio.
114
Representación gráfica: en general la representación gráfica de una tabla de frecuencias permite
percibir con mayor claridad algunas características de la masa de datos que se investiga. Por ello, a
través de gráficos, resulta bastante más fácil transmitir conclusiones a personas no habituadas a la
interpretación de tablas de frecuencias.
Para representar gráficamente una distribución de frecuencias se utiliza un par de ejes de coordenadas.
En el eje de las abscisas se representará la variable estudiada y en el eje de las ordenadas, las
correspondientes frecuencias.
El siguiente es un gráfico de frecuencias confeccionado con los datos del ejemplo anterior.
5. Parámetros estadísticos
Al obtener de una población la distribución de frecuencias de una variable lo que se persigue es reducir o
condensar en pocas cifras el conjunto de observaciones relativas a dicha variable.
Este proceso de reducción puede continuarse hasta su grado máximo, es decir, hasta sustituir todos los
valores observados por uno solo, que se llama promedio.
Existen numerosas formas de calcular promedios. La más conocida es la media aritmética, pero además
existen otras como la mediana y la moda o el modo.
Media aritmética: es el número que se obtiene al dividir la suma de todas las observaciones por la
cantidad de observaciones sumadas.
A la media aritmética la simbolizamos con X.
Por ejemplo, si tomamos las edades de un grupo de 9 personas:
16 - 17 - 19 - 20 - 22 - 22 - 23 - 28 - 29
15
10
5
número de aulas
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
frecuencia
115
X = (16+17+19+20+22+22+23+28+29)/9 = 21,8 años.
Mediana: si todos los valores observados de la variable se ordenan en sentido creciente (o decreciente),
la mediana es el valor de la variable que ocupa el lugar central, es decir, el que deja a un lado y a otro el
mismo número de observaciones.
La mediana se representa con el símbolo Mna.
En el ejemplo anterior, las edades ya están ordenadas de menor a mayor. La mediana será:
16 - 17 - 19 - 20 - 22 - 22 - 23 - 28 - 29
Mna= 22 años
Moda o modo: es el valor de la variable que más veces se repite, o sea, el valor que presenta mayor
frecuencia.
Es útil como medida de tendencia central, sólo en aquellos casos en que un valor de la variable es mucho
más frecuente que el resto. Se basa en la idea de “lo que es moda” o en el “comportamiento de la mayoría”
para tomar a cierto valor como representativo del comportamiento de los datos.
EJERCICIOS DE APLICACIÓN
Ejemplo: En un curso de 40 alumnos, se desea estudiar el comportamiento de la variable estatura,
registrándose los siguientes valores:
1,52 1,64 1,54 1,64 1,73 1,55 1,56 1,57 1,58 1,58
1,59 1,53 1,60 1,60 1,61 1,61 1,65 1,63 1,79 1,63
1,62 1,60 1,64 1,54 1,65 1,62 1,66 1,76 1,70 1,69
1,71 1,72 1,72 1,55 1,73 1,73 1,75 1,67 1,78 1,63
i. Serie simple:
Completa los cuadros siguientes, ordenando los datos obtenidos.
Alumno Talla Alumno Talla Alumno Talla Alumno Talla
1 1,52 11 21 31
2 1,53 12 22 32
3 1,54 13 23 33
4 1,54 14 24 34
5 1,55 15 25 35
116
6 1,55 16 26 36
7 1,56 17 27 37
8 1,57 18 28 38
9 1,58 19 29 39
10 1,58 20 30 40
ii. Agrupación de datos por serie o distribución de frecuencias: se registra la frecuencia de cada valor
de la variable. La frecuencia puede ser absoluta (f), número que indica la cantidad de veces que la
variable toma un cierto valor, relativa (fr), cociente entre la frecuencia absoluta de cada valor de la
variable y el número total de observaciones; relativa porcentual que es el porcentaje de la fr;
frecuencia Acumulada la suma de la fi y la acumulada porcentual, que el la suma de fr% .
Volviendo al ejemplo anterior, completa la tabla de serie de frecuencias.
x (tallas) Absoluta
fi
Relativa
fr = f/n
R. Porcentual
(100.fr) %
Acumulada
Fa
Ac. Porcentual
Fa %
1,52 1 1/40 = 0,025 2,5 % 1 2,5%
1,53 1 1/40 = 0,025 2,5% 2 5%
1,54 2 2/40 = 0,05 5% 4 10%
1,55
1,56
1,57
1,58
1,59
1,60
1,61
1,62
1,63
1,64
1,65
1,66
1,67
1,68
1,69
1,70
1,71
1,72
1,73
1,74
117
1,75
1,76
1,77
1,78
1,79
¿A cuánto es igual el total de la columna de frecuencias absolutas? ¿Por qué?
...................................................................................................................................
¿A cuánto es igual el total de la columna de frecuencias relativas? ¿Por qué?
...................................................................................................................................
¿Y el total de la columna de porcentajes?
...................................................................................................................................
TALLER 1
Agrupación de datos por intervalos de clase: intervalos iguales en los que se divide el número total de
observaciones. Es conveniente utilizar los intervalos de clase cuando se tiene un gran número de datos de
una variable continua.
¿Cómo saber cuántos intervalos considerar? ¿Cómo determinar su amplitud?
Primero debemos determinar el rango de los datos, que es la diferencia entre el mayor y el menor
de los valores obtenidos.
Rango = xmáx – xmín
Calcula el rango de los datos de nuestro ejemplo.
....................................................................................................................................
Luego debemos establecer el número de intervalos (N) y determinar la amplitud (A) de los mismos.
A = rango / N (N tu lo eliges, pero es conveniente que no sea muy pequeño)
Si queremos trabajar con 10 intervalos, ¿cuál es, para nuestro caso, la amplitud de cada uno de ellos?
De ser necesario, podemos aproximar el valor hallado
......................................................................................................................................
Siendo el primer intervalo [1,52 ; 1.55) completa la tabla con todos los restantes. Observa que el extremo
izquierdo del intervalo se usa un corchete “ [ “, lo que indica que tomamos este valor, en cambio en el
derecho usamos “ ) “ que nos indica que el intervalo es abierto, o sea, no se toma este valor. La Marca de
clase es el promedio aritmético de los extremos del intervalo.
118
Tallas Marca de clase
(MC)
fi fr fr% Fa Fa%
[1,52 ; 1.55) 1,535
[1,55 ; 1,58) 1,565
[1,58 ; 1,61) 1,595
Totales
Investiga sobre el número de hermanos de cada alumno de tu curso y dispone los datos obtenidos en
una serie o distribución de frecuencias.
Estas son las notas obtenidas por los 100 candidatos que se presentaron a un concurso:
38 51 32 65 25 28 34 12 29 43
71 62 50 37 8 24 19 47 81 53
16 62 50 37 4 17 75 94 6 25
55 38 46 16 72 64 61 33 59 21
13 92 37 43 58 52 88 27 74 66
63 28 36 19 56 84 38 6 42 50
98 51 62 3 17 43 47 54 58 26
12 42 34 68 77 45 60 31 72 23
18 22 70 34 5 59 20 68 55 49
33 52 14 40 38 54 50 11 41 76
Presenta dichos datos en una tabla de intervalos de clase.
En una cierta ciudad de la provincia de Valdivia, se registra el número de nacimientos ocurridos por
semana durante las 52 semanas del año, siendo los siguientes los datos obtenidos:
6 4 2 8 18 16 10 6 7 5 12 8 9
12 17 11 9 16 19 18 18 16 14 12 7 10
3 11 7 12 5 9 11 15 9 4 1 6 11
7 8 10 15 3 2 13 9 11 17 13 12 8
119
Confecciona una tabla de intervalos de clase.
Las edades de veinte chicos son 12, 13, 14, 10, 11, 12, 11, 13, 14, 12, 10, 12, 11, 13, 12, 11, 13, 12, 10 y15.
Organiza los datos en una tabla de frecuencias.
¿Qué porcentaje de chicos tienen 12 años?
¿Cuántos chicos tienen menos de 14 años?
En cada día del mes de enero, en el camping Iglú hubo la siguiente cantidad de turistas: 12, 14, 17, 16,
19, 15, 15, 21, 24, 26, 28, 24, 25, 26, 20, 21, 34, 35, 33, 32, 34, 38, 40, 43, 41, 45, 50, 53, 58.
Construye una tabla de frecuencias para estos datos.
TALLER 2
Ejercicios:
1. La tabla dada a continuación muestra la información sobre el número de casos de urgencias atendidos
diariamente en un hospital durante un trimestre. Hallar la moda, mediana y media aritmética de la
demanda del servicio de urgencias en ese hospital.
Xi . fi Fi % Acumulado Xi.fi
15 3 3 3,33 45
18 4 7 7,78 72
19 10 17 18,89 190
21 16 33 36,67 336
22 12 45 50,00 264
25 12 57 63,33 300
28 16 73 81,11 448
31 8 81 90,00 248
35 7 88 97,78 245
40 2 90 100,00 80
Total N = 90 2228
2. A una reunión asisten 6 personas con edades de15, 16, 18, 20, 12 y 14 años. ¿Cuál es la media
aritmética? ¿Cuál es la mediana? ¿Cuál de estos valores es más representativo? ¿Por qué?
El tiempo en segundos registrado por un grupo de 40 atletas en los 100 metros planos, presenta el
siguiente conjunto de datos estadísticos numéricos:
120
13 12 12 11 10 12 14 14 11 12
12 11 11 12 13 13 14 12 10 16
13 13 12 12 12 14 14 14 13 14
11 11 12 12 14 12 12 11 10 12
a. Elaborar una tabla de frecuencias
b. Establecer el número de atletas con un tiempo de 13 segundos.
c. Establecer el porcentaje de atletas con un tiempo de 13 segundos
d. ¿Cuántos atletas recorren los 100 metros en un tiempo inferior a 13 segundos?
e. ¿Cuántos atletas recorren los 100 metros en un tiempo superior a 13 segundos?
f. ¿Qué porcentaje de los atletas recorre los 100 metros en un tiempo máximo de 13 segundos?
g. ¿Qué porcentaje de los atletas recorre los 100 metros en un tiempo mínimo de 13 segundos?
h. Determinar el tiempo modal del grupo de atletas
i. ¿Cuál es el tiempo promedio del grupo en los 100 metros?
j. ¿El 25% del grupo hace los 100 metros en un tiempo inferior o igual a qué valor?
k. ¿El 50% del grupo hace los 100 metros en un tiempo inferior o igual a qué valor?
l. ¿El 75% del grupo hace los 100 metros en un tiempo inferior o igual a qué valor?
Ejercicios de Medidas de Tendencia Central
1. Un urbanista tiene los siguientes lotes: l1 = 85 m2 ; l2 = 120 m2 ; l3 = 205 m2 ; l4 = 186 m2 ; l5 = 150 m2
; l6 = 136 m2 ; l7 = 142 m2. ¿Cuál es el área promedio de los lotes?
2. Las notas obtenidas por los alumnos de 10º grado en estadística fueron:
4 alumnos obtuvieron 30; 5 alumnos obtuvieron 40; 7 alumnos obtuvieron 50; 10 alumnos obtuvieron 60;
8 obtuvieron 70; 6 obtuvieron 80, 3 obtuvieron 90; 1 obtuvo 100.
Con los datos anteriores, completa la tabla.
Calcula la media aritmética o nota promedio obtenida por los alumnos.
Xi f i Xi . f i
121
1. Los tiempos en minutos empleados por un grupo de atletas en recorrer 15 Km. Están
representados en la siguiente tabla. Calcula el tiempo promedio empleado por los atletas.
Tiempo Xi Frecuencia Absoluta f i Xi . f i
120 2
130 5
135 4
180 7
200 10
215 8
230 4
2. Calcula la mediana y la moda en los ejercicios anteriores.
3. Calcula la mediana de los números: 15, 6, 3, 8, 10.
4. Calcula la mediana de los números: 3, 6, 7, 10, 15, 18.
5. Con los datos dados a continuación llene la tabla de
frecuencias.
Las notas obtenidas por los alumnos de 10º grado en estadística fueron:
3 alumnos obtuvieron 30; 6 alumnos obtuvieron 40; 9 alumnos obtuvieron 50; 10 alumnos obtuvieron 60;
7 obtuvieron 70; 5 obtuvieron 80, 2 obtuvieron 90; 3 obtuvieron 100.
Con los datos anteriores, completa la tabla. (Cada columna vale 5 puntos)
Calcula la media aritmética o nota promedio obtenida por los alumnos. (Vale 5 puntos)
Halla la Moda y la Mediana. (Vale 5 puntos cada una)
Notas = Xi Frecuencia
Absoluta =
fi
Frecuencia
Absoluta
Acumulada =
Fi
Frecuencia
Relativa o
Porcentual =
%
Frecuencia
Porcentual
Acumulada
Xi.fi
30
40
50
60
122
70
80
90
100 45 100%
Total 45 1,00 =
100%
Promedio =
45x
Moda =
Mediana =
TALLER DE REFUERZO 1
I) Resuelva las siguientes sumas de números naturales:
1) 296 + 5.342 + 756 + 9 2) 192 + 55.564 + 56 3) 115 + 798 + 41 + 6
4) 9.767 + 8.953 + 9.543 5) 751 + 654 + 32.788 6) 489.620 + 2.398.701 + 9
7) 8.954 + 752 + 20 + 3 + 895 8) 2.301 + 9.610 + 8.530 + 5.478 9) 63.147 + 62 + 31 + 4
10) 98.563 + 4.872 + 36 + 687 11) 130 + 2.085 + 6 + 147 + 238 12) 658 + 8.756 + 3 + 143
13) 89.321 + 3.587 + 146 + 30 14) 3.698 + 752 + 157 +988 15) 32.587 + 369.877 + 1.011
II) Reste las siguientes Cifras:
1) 89.654.632 – 854.126 2) 1.336.945.122 – 3.655.244.552 3) 566.232.144 – 32.552
4) 54.855.888 – 3.555.425 5) 63.255.211 – 1.485.214 6) 145.585.217 – 99.985
7) 157.824.147 – 3.216.548 8) 254.721 – 95.989 9) 2.575.844 – 545.695
10) 565.421 – 2.545 11) 5.648.751 – 54.575 12) 32.561.147 – 5.445
13) 87.642 – 35.509 14) 123.986 – 99.977 15) 76.533 – 39.463
¡¡¡ Pídale al compañero si le falta!!!
123
III) Resuelva los siguientes ejercicios combinados:
1) (4 + 5 + 3) + 8 2) 150 – (14 – 6) 3) (9 – 6) + 4 4) (8 – 6) + (7 – 4)
5) (9 + 5) + (7 – 4) 6) 89 – (56 – 41) 7) (11 – 5) – (9 – 3) 8) (7 + 6) – (9 – 8)
9) (11 – 5) – 4 + (54 – 49) 10) (9 – 4) + (3 + 2 + 5) + (85 – 40) – (95 – 80)
11) (78.542 – 989) + (658.974 – 2.456) 12) (548.774.124 – 5.452.147) + 54.874
13) 25.498.787 + (57.874.554 – 54.5754) 14) (358.754 – 25.587) + (5.456.241 – 2.156.787)
15) (8645.488 + 58.844) – (54.754 – 998) 16) 2.457.517 + (77.787 – 3.322)
17) (21.587 + 24.577) – 5.157 18) 548.742.157 – (5.754 – 5.487)
19) 945.874 – (548.742 – 214.874) + 2.457 20) (548.521 – 35.567) + (548 + 25.600) – (8.214
– 58)
21) (7 – 5) + (13 – 4) – (17 + 3) + (18 – 9) 22) (15 – 7) + (6 – 1) + (9 – 6) + (19 + 8) + (4 + 5)
23) 350 – 2 – 125 + 4 – (31 – 30) – (7 – 1) – (5 – 4 + 1)
24) (8 – 1) – (16 – 9) + 4 – 1 + 9 – 6 + (11 – 6) – (9 – 4)
25) 915 + 316 – 518 – 654 + 673 – 185 + 114 + 2.396
IV) Resuelva las siguientes multiplicaciones de números naturales:
1) 12 x 2 2) 66 x 9 3) 54 x 8 4) 76 x 3 5) 61 x 7
6) 15 x 75 7) 46 x 92 8) 43 x 16 9) 33 x 10 10) 97 x 48
11) 37 x 18 12) 19 x 75 13) 57 x 61 14) 99 x 18 15) 67 x 37
16) 789 x 101 17) 654 x 379 18) 387 x 754 19) 369 x 156 20) 609 x 178
21) 387 x 330 22) 120 x 307 23) 109 x 905 24) 800 x 964 25) 184 x 667
26) 7.588 x 6.785 27) 2.790 x 8.472 28) 9.407 x 3.477 29) 4.111 x 1.777 30) 9.513 x 5.124
V) Divide las siguientes cifras:
1) 824 : 14 2) 14 : 10 3) 5.600 : 100 4) 7.245 : 26 5) 456 : 10
6) 4.000 : 1.000 7) 12.345 : 987 8) 1.234 : 14 9) 875.993 : 4.356 10) 567 : 11
11) 228 : 12 12) 437 : 23 13) 585 : 45 14) 990 : 55 15) 12.356 : 18
16) 21.762 : 26 17) 17.250 : 32 18) 79.943 : 79 19) 86.324 : 81 20) 28.523 : 45
VI) Resuelve los siguientes ejercicios combinados:
¡¡¡ El paréntesis siempre se resuelve primero!!!
¡¡¡ Destaca el resto si es que existe!!!
¡¡¡ Primero multiplica las unidades!!!
¡¡¡ El paréntesis siempre se resuelve primero!!!
124
1) (9 + 6) : 3 2) (18 – 12) : 6 3) (12 – 8 + 4) : 2
4) (18 + 15 + 30) : 3 5) (54 – 30) : 4 6) (15 – 9 + 6 – 3) : 3
7) (32 – 16 – 8) : 8 8) (16 – 12 – 2 + 10) : 2 9) (6 x 5) : 2
10) (9 x 4) : 2 11) (5 x 6) : 5 12) ( 5 x 9 x 8) : 3
13) (7 x 6 x 5) : 6 14) ( 4 x 7 x 25 x 2) : 25 15) (3 x 5 x 8 x 4) : (3 x 8)
16) (7 x 8) : 8 17) (60 x 2) : 10 18) 60 : (10 x 2)
19) (60 : 5) : (10 : 5) 20) (60 : 2) : 10 21) 60 : (10 : 2)
22) (60 x 2) : (10 x 2) 23) (24 : 3) – 2 24) (9 : 3) x (4 : 2)
25) 10 x (6 : 2) x (4 : 2) x 7
125
BIBLIOGRAFIA
BIBLIOGRAFIA.
ARITMÉTICA Y GEOMETRIA, Tomo I, Editorial Santillana.
ALFA 6 Y 7. Editorial norma
ARITMÉTICA Y GEOMETRÍA DE BALDOR
DESCUBRIENDO LA MATEMATICA. Tomo I. Editorial Salesiana
www. sectormatematica.com
