GUÍA MATEMATICAS

Estudiante _____________________________________________ CLEI III A Fecha ______________

Logros

Resuelvo y formulo problemas cuya solución requiere de la potenciación o radicación.

Formulo y resuelvo problemas en situaciones aditivas y multiplicativas, en diferentes contextos y

dominios numéricos.

Indicadores de desempeño

Identifico y aplico las propiedades de la potenciación en la resolución de problemas de la cotidianidad

Realizo conversiones entre números naturales y potencias

Resuelvo ejercicios de suma, resta, multiplicación y división de potencias teniendo en cuentas las leyes

de la potenciación.

Relaciono correctamente la potenciación, radicación y logaritmación.

Tema: Potenciación

La potencia 𝒂𝒏 representa el producto que tiene n veces el número a. El número a se llama base y el número n se llama exponente.

30 = 1 31 = 3 32 = 3 𝑥 3 = 9

33 = 3 𝑥 3 𝑥 3 = 27 34 = 3 𝑥 3 𝑥 3 𝑥 3 = 81 35 = 3 𝑥 3 𝑥 3 𝑥 3 𝑥 3 = 240

Para convertir un número entero a potencia se debe descomponer el número, la base es el número que se

repite y el exponente corresponde a las veces que se repita. Ejemplos:

Propiedades de la potenciación:

𝑈𝑛𝑜 𝑒𝑙𝑒𝑣𝑎𝑑𝑜 𝑎 𝑐𝑢𝑎𝑙𝑞𝑢𝑖𝑒𝑟 𝑒𝑥𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑒𝑠 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙 𝑎 1

𝟏𝒏 = 𝟏

13 = 1 120 = 1

𝑇𝑜𝑑𝑜 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎 𝑐𝑒𝑟𝑜 𝑒𝑙𝑒𝑣𝑎𝑑𝑜 𝑎𝑙 𝑒𝑥𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑐𝑒𝑟𝑜 𝑒𝑠 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙 𝑎 1 𝒂𝟎 = 𝟏 𝒔𝒊 𝒂 ≠ 𝟎

10 = 1 70 = 1

𝐶𝑒𝑟𝑜 𝑒𝑙𝑒𝑣𝑎𝑑𝑜 𝑎 𝑐𝑢𝑎𝑙𝑞𝑢𝑖𝑒𝑟 𝑒𝑥𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑐𝑒𝑟𝑜 𝑒𝑠 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙 𝑎 𝑐𝑒𝑟𝑜 𝟎𝒏 = 𝟎 𝒔𝒊 𝒏 ≠ 𝟎

01 = 0 02 = 0

𝑇𝑜𝑑𝑜 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑒𝑙𝑒𝑣𝑎𝑑𝑜 𝑎𝑙 𝑒𝑥𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑢𝑛𝑜 𝑒𝑠 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙 𝑎𝑙 𝑚𝑖𝑠𝑚𝑜 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 𝒂𝟏 = 𝒂 51 = 5 11 = 1

Si la base es diez (10), el exponente expresa la cantidad de ceros que se le deben agregar al uno (1)

𝟏𝟎𝒏 = 𝟏 + 𝒏𝒗𝒆𝒄𝒆𝒔 𝒄𝒆𝒓𝒐

102 = 100 104 = 10000

Si la base es negativa el signo del resultado depende de si el exponente es par o impar, si el exponente es para dará positivo, pero si es impar dará negativo

(−𝒂)𝒏 = {𝒂𝒏 𝒔𝒊 𝒏 𝒆𝒔 𝒑𝒂𝒓

−(𝒂)𝒏 𝒔𝒊 𝒏 𝒆𝒔 𝒊𝒎𝒑𝒂𝒓

(−𝒂)#𝒑𝒂𝒓 = 𝒃

(−𝒂)#𝒊𝒎𝒑𝒂𝒓 = −𝒃

(−2)4 = 16

(−2)3 = −8

La potencia de un numero diferente de cero elevada a (-1) es igual a su inverso

𝒂−𝟏 =𝟏

𝒂

𝒔𝒊 𝒂 ≠ 𝟎

𝟒−𝟏 =𝟏

𝟒

La potencia de un numero diferente de cero elevada a (-n) es igual al inverso del número elevado a la (n) (Si el exponente es negativo la base cambia de lugar en una fracción pero con exponente positivo)

𝒂−𝒏 =𝟏

𝒂𝒏

𝟏

𝒂−𝒏= 𝒂𝒏

𝒔𝒊 𝒂 ≠ 𝟎

𝟑−𝟐 =𝟏

𝟑𝟐

𝟏

𝟐−𝟓= 𝟐𝟓

Operaciones con potencias

1. Suma y resta

2. Multiplicación

El producto de dos potencias con la misma base es la potencia de dicha base y cuyo exponente es la suma de los exponentes (En la multiplicación de potencias con la misma base se debe colocar la misma base y se suman los exponentes).

𝒂𝒎. 𝒂𝒏 = 𝒂𝒎+𝒏

𝟐𝟐𝒙 𝟐𝟑 = 𝟐𝟐+𝟑 = 𝟐𝟓

= 𝟐𝒙𝟐𝒙𝟐𝒙𝟐𝒙𝟐= 𝟑𝟐

𝟓𝟒𝒙 𝟓𝟑𝒙𝟓𝒙𝟓−𝟔

= 𝟓𝟒+𝟑+𝟏−𝟔 = 𝟓𝟐 = 𝟓𝒙𝟓 = 𝟐𝟓

Cuando son bases diferentes pero con el mismo exponente, se multiplican la bases y queda el mismo exponente. La potencia de un producto de factores es igual al producto de las potencias de los factores

𝒂𝒏𝒙 𝒃𝒏 = (𝒂. 𝒃)𝒏

(𝒂. 𝒃)𝒏 = 𝒂𝒏𝒙 𝒃𝒏

𝟑𝟐𝒙𝟐𝟐 = (𝟑𝒙𝟐)𝟐

= 𝟔𝟐 = 𝟔𝒙𝟔= 𝟑𝟔

En la potencia de una potencia se coloca la misma base y se multiplican los exponentes

(𝒂𝒎)𝒏 = 𝒂𝒎𝒏

(𝟐𝟐)𝟑 = 𝟐𝟐𝒙𝟑 = 𝟐𝟔

= 𝟐𝒙𝟐𝒙𝟐𝒙𝟐𝒙𝟐𝒙𝟐= 𝟔𝟒

En el producto de monomios y polinomios recordar que se multiplica el monomio por cada término del polinomio

𝒂(𝒃𝒏 ± 𝒄) = 𝒂𝒃𝒏 ± 𝒂𝒄

𝟒(𝟑𝟐 + 𝟐) = 𝟒𝒙𝟑𝟐 + 𝟒𝒙𝟐 = 𝟒𝒙𝟑𝒙𝟑 + 𝟖 = 𝟑𝟔 + 𝟖 = 𝟒𝟒

3. División o cociente

El cociente de dos potencias con la misma base es la potencia de dicha base y cuyo exponente es la resta de los exponentes (se coloca la misma base y se restan los exponentes, el numerador menos el denominador).

𝒂𝒎

𝒂𝒏= 𝒂𝒎−𝒏

𝟒𝟓

𝟒𝟑 = 𝟒𝟓−𝟑

= 𝟒𝟐 = 𝟒𝒙𝟒

= 𝟏𝟔

𝟐𝟐

𝟐𝟑 = 𝟐𝟐−𝟑

= 𝟐−𝟏 =𝟏

𝟐

La potencia de un cociente de números (𝒂

𝒃)

𝒏 es igual al cociente de las

potencias de los números 𝒂𝒏

𝒃𝒏 pero b debe ser diferente de cero.

Si b = 0 el resultado es una indeterminación.

(𝒂

𝒃)

𝒏

=𝒂𝒏

𝒃𝒏

𝒑𝒆𝒓𝒐 𝒃 ≠ 𝟎

(𝟐

𝟑)

𝟑

=𝟐𝟑

𝟑𝟑

=𝟐 𝒙 𝟐 𝒙 𝟐

𝟑 𝒙 𝟑 𝒙 𝟑=

𝟖

𝟐𝟕

(𝟓

𝟐)

𝟐

=𝟓𝟐

𝟐𝟐

=𝟓 𝒙 𝟓

𝟐 𝒙 𝟐=

𝟐𝟓

𝟒

Cuando el exponente es negativo (𝒂

𝒃)

−𝒏, la potencia será la fracción

inversa con exponente positivo (𝒃

𝒂)

𝒏 (el numerador intercambia con el

denominador). Pero a debe ser diferente de cero. Si a = 0 el resultado es una indeterminación.

(𝒂

𝒃)

−𝒏

= (𝒃

𝒂)

𝒏

𝒑𝒆𝒓𝒐 𝒂 ≠ 𝟎

(𝟑

𝟐)

−𝟏

=𝟐

𝟑

(𝟓

𝟒)

−𝟐

= (𝟒

𝟓)

𝟐

=𝟒𝟐

𝟓𝟐 =𝟒𝒙𝟒

𝟓𝒙𝟓=

𝟏𝟔

𝟐𝟓

𝐶𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑎 𝑓𝑟𝑎𝑐𝑐𝑖ó𝑛 𝑠𝑒 𝑝𝑢𝑒𝑑𝑎 𝑠𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑟, 𝑠𝑒 𝑠𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎 𝑦 𝑙𝑢𝑒𝑔𝑜 𝑠𝑒 𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎:

(𝟒

𝟐)

𝟑

= (𝟐)𝟑 = 𝟐 𝒙 𝟐 𝒙 𝟐 = 𝟖

(𝟓

𝟏𝟓)

𝟒

= (𝟏

𝟑)

𝟒

=𝟏𝟒

𝟑𝟒 =𝟏

𝟑𝒙𝟑𝒙𝟑𝒙𝟑=

𝟏

𝟖𝟏

Cuando el numerador y denominador tengan el mismo valor, la base es uno (1); (𝒂

𝒃)

𝒏

=

𝒂𝒏

𝒃𝒏 𝒑𝒆𝒓𝒐 𝒔𝒊 𝒂 𝒚 𝒃 𝒑𝒐𝒔𝒆𝒆𝒏 𝒆𝒍 𝒎𝒊𝒔𝒎𝒐 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓 𝒆𝒍 𝒓𝒆𝒔𝒖𝒍𝒕𝒂𝒅𝒐 𝒆𝒔 𝒖𝒏𝒐

(𝟒

𝟒)

𝟑

= (𝟏)𝟑 = 𝟏

Si en la fracción el numerador es cero, el resultado será cero:

𝑺𝒊 𝒂 = 𝟎, 𝒆𝒍 𝒓𝒆𝒔𝒖𝒍𝒕𝒂𝒅𝒐 𝒔𝒆𝒓𝒂 𝒄𝒆𝒓𝒐; (𝒂

𝒃)

𝒏

= (𝟎

𝒃)

𝒏

= 𝟎

(𝟎

𝟓)

𝟑

= 𝟎

Si en la fracción el denominador es uno la base es un entero que corresponde al numerador:

𝑺𝒊 𝒃 = 𝟏, 𝒆𝒍 𝒓𝒆𝒔𝒖𝒍𝒕𝒂𝒅𝒐 𝒅𝒆𝒑𝒆𝒏𝒅𝒆𝒓𝒂 𝒅𝒆 𝒂; (𝒂

𝒃)

𝒏

= (𝒂

𝟏)

𝒏

= 𝒂𝒏

(𝟓

𝟏)

𝟑

= 𝟓𝟑 = 𝟓 𝒙 𝟓 𝒙 𝟓

4. Conversión de potenciación a radicación o logaritmación

Cuando el exponente es una fracción, la operación se convierte en una radicación. La base se mantiene, pero en la fracción del exponente el denominador se convierte en el índice de la raíz y el numerador queda como exponente de la base.

𝑎𝑚/𝑛 = √𝑎𝑚𝑛

91/2 = √92

54/3 = √543

Para convertir una potencia en logaritmo se debe tener en cuenta que:

Base de la potencia = base del logaritmo

El exponente = logaritmo

La potencia = argumento

𝑎𝑏 = 𝑐 log𝑎 𝑐 = 𝑏

Si la base del logaritmo es 10

no se coloca

53 = 125

log5 125 = 3

103 = 1000

log 1000 = 3

5. Aplicabilidad de la potenciación

La potenciación se relaciona con el perímetro, área y volúmenes de cuerpos de cuadrados y cubos con base en

la medida de uno de los lados (l) de un cuadrado o un cubo.

o El perímetro es la suma de los cuatro lados del cuadrado, como la medida de los cuatro lados son iguales

nos queda que 𝑃 = 𝑙 + 𝑙 + 𝑙 + 𝑙, 𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑐𝑖𝑟 𝑝 = 4𝑙.

o El área de un cuadrado es el producto de dos de sus cuatro lados y como todos sus lados son iguales

entonces nos queda que 𝐴 = 𝑙 × 𝑙, 𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑐𝑖𝑟 𝐴 = 𝑙2

o Cuando se trata de cubos podemos encontrar el volumen utilizando la medida de alguno de sus lados al

que llaman arista (a) y la fórmula:

𝑉 = 𝑎 × 𝑎 × 𝑎, 𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑐𝑖𝑟 𝑉 = 𝑎3

o Conociendo la cantidad de cuadriculas de la base de un cuadrado y de un cubo se puede determinar

cuántos cuadros o cubos se forman en total, en un cuadrado se aplica la fórmula del área y en el cubo la

fórmula del volumen:

En la base hay 4 cuadros Por lo cual nos queda 42 = 4 × 4 = 16 Podemos deducir que hay 16 cuadros sin contarlos

En la base hay 3 cuadros Por lo cual nos queda 33 = 3 × 3 × 3 = 27 Podemos deducir que hay 27 cubos sin contarlos

o Cuando hay artículos dentro de paquetes de cantidades iguales, es muy útil la potenciación:

Ej. Un comerciante posee 5 bolsas y en cada bolsa hay 5 regalos ¿Cuántos regalos hay?

𝟓𝟐 = 𝟓 × 𝟓 = 𝟐𝟓 𝒓𝒆𝒈𝒂𝒍𝒐𝒔

En resumen podemos expresar:

TALLER POTENCIACIÓN

Resuelve en el cuaderno mostrando el procedimiento de los ejercicios, tomar fotos y montar el trabajo al

correo aririchard0@gmail.com

1. Transcribir el documento al cuaderno (si no desean realizar cuadros los escriben en forma continua sin

perder el hilo de la explicación).

2. Resuelve las siguientes potencias aplicando las propiedades de la potenciación:

5-1

74

00

1

6−2

110

61

(-5)4

53

106

18

1

9−1

(-3)3

3-3

05

S

3. Resuelve las siguientes sumas y restas de potencias:

a) 7𝑋3 + 8𝑋3 − 10𝑋3 + 𝑋3 − 3𝑋3

b) 32 + 2 ∗ 32 + 4 ∗ 32 + 3 ∗ 32 + 3

c) −2 ∗ 23 + 6 ∗ 42 + 4 ∗ 23 − 5 ∗ 42

d) 22 + 23 + 22

4. Descomponga los siguientes números y conviértalos en potencia:

a) 243 b) 16 c) 1000

d) 441 e) 7 x 7 x 2 x 7 x 2 x 7

5. Resuelve las siguientes operaciones aplicando las propiedades de la multiplicación en la potenciación:

a) 43𝑥45 b) ((−2)2)2 c) 2(52 − 10)

d) 37𝑥32𝑥3−6 e) 23𝑥13𝑥33

6. Resuelve las siguientes operaciones aplicando las propiedades de la división en la potenciación:

a) 67

64

b) (1

4)

2

c) (10

5)

−3

d) (9

9)

20

e) (5

20)

−2

7. Lleva las siguientes operaciones a la mínima expresión:

a) 33×25×57

54×32×23

b) [(6

5)

−3]

2

c) [(86)3]0

d) 57×5

58

e) (24 𝑥 4−2

45 𝑥 2−3)−1

8. Completa la siguiente tabla:

Producto de factores Potenciación Base Exponente Potencia

8 x 8 x 8

27

5 4

3 27

3125

9. Realiza las siguientes conversiones:

a) Convertir las potenciaciones a radicación:

35/7 123/2

152/3 46/2

b) Convertir las potenciaciones a logaritmación:

28 = 256 73 = 343

35 = 243 105 = 100000

10. Resolver los siguientes problemas:

a) Don Francisco tiene almacenadas 4 cajas en la oficina. En cada caja tiene 4 bolsas y en cada bolsa tiene

4 libros. ¿Cuántos libros tiene almacenado don Francisco?

b) De acuerdo a la figura demuestra ¿cuantas cuadriculas hay en el tablero?

c) José enfrenta un problema de aritmética 2 × 3 + 23 𝑥 6 – 30 ÷ 21 − (−3)2 + 50 al tratar de

resolver el problema ¿Cuántos artículos obtendrá José?

d) Si un niño juega con un cubo mágico como muestra la figura y se rompe ¿cuantos cubos debe recoger

el niño?

e) Un tanque de forma cubica posee una arista de 6cm, si se agrega agua de forma tal que quepa de

manera exacta ¿Cuál es la cantidad de agua en el estanque?

f) Un ingeniero mide un terreno que posee forma cuadra y a determinado que cada lado mide 20m ¿Cuál

es el perímetro? ¿de cuánto es el área del terreno?