MÓDULO: FÍSICA PARA INGENIERÍA

Todo lo que nos rodea, el aire, agua, los cuerpos celestes, las plantas, los animales, incluidos nosotros mismos constituye la naturaleza. Esta naturaleza está en constante movimiento, cambio , transformación y estas transformaciones que ocurren en la naturaleza llevan el nombre de fenómenos.

La Física es la ciencia natural que estudia la materia (es todo lo que puede percibirse por nuestros sentidos, ya sea directamente o con la ayuda de un equipo), sus propiedades, las leyes a las que está sometida y los fenómenos naturales que tienen acción sobre ella, sin modificar su naturaleza, para poder entenderlos.

CONCEPTOS FUNDAMENTALES

Cada fenómeno que ocurre y lo percibimos mediante nuestros sentidos (visión, oído, etc…) lo abstraemos, lo que constituye un objeto de estudio de la física, como por ejemplo el comportamiento de la luz, lo que escuchamos, el movimiento, entre otros, a los cuales le aplicamos un modelo de estudio y de análisis, como son la óptica, el sonido, la mecánica, etc.

CONCEPTOS FUNDAMENTALES

Cada modelo tiene su contenido, sus características que son las que nos hacen entender el fenómeno físico que vemos, escuchamos, sentimos… de aquí surgen por ejemplo en el estudio del cambio de posición de una partícula de un lugar a otro, el modelo del movimiento rectilíneo uniforme y de aquí las magnitudes de desplazamiento, tiempo, velocidad ,aceleración, también las leyes que rigen esos fenómenos.

CONCEPTOS FUNDAMENTALES

Una vez que somos capaces de entender el fenómeno lo podemos manipular a nuestra conveniencia, para aprovecharlo en algún beneficio de nuestras vidas. Ejemplo los espejos, los calefones, el automóvil, etc…

CONCEPTOS FUNDAMENTALES

Lógica de la Investigación de las Ciencias Naturales

Fenómeno

Objeto

Modelo

Magnitud, Propiedad

Leyes

abstraer

abstraer

caracterizar

relacionar

En esta primera fase del módulo estudiaremos uno de estos modelos que es la cinemática.

CONCEPTOS FUNDAMENTALES

CINEMATICA ContenidoIntroducciónConceptos Básicos

Partícula Sistema de ReferenciaPosición Vector PosiciónMovimiento TrayectoriaDistancia recorridaDesplazamientoRapidez mediaRapidez instantáneaVelocidad mediaVelocidad instantáneaAceleración mediaAceleración instantáneaAceleración normal y tangencial

Contenido (continuación…)

Movimiento Rectilíneo UniformeMovimiento Rectilíneo Uniformemente AceleradoCaída LibreMovimiento ParabólicoMovimiento Circular Uniforme

Aceleración Centrípeta

Movimiento Circular Uniformemente Acelerado

Introducción Un fenómeno que siempre está presente y que observamos a nuestro

alrededor es el movimiento. La cinemática es la parte de la Física que describe los posibles movimientos sin preocuparse de las causas que lo producen. No es lícito hablar de movimiento sin establecer previamente ''respecto de que'' se le refiere.

Debido a esto, es necesario elegir un sistema de referencia respecto del cual se describe el movimiento.

El sistema de referencia puede ser fijo o móvil.

CINEMÁTICA DE LA PARTÍCULA

Sistema de referencia Inercial: cuando en él se cumplen las leyes del movimiento de Newton.Sistema de referencia NO Inercial: cuando en él NO se cumplen las leyes del movimiento de Newton.Ejemplo:

Un ascensor se mueve hacia arriba, las personas que están en el suelo lo ven perfectamente cambiar de posición a una velocidad determinada. Esas personas están sobre un Sistema de Referencia Inercial.

Sin embargo las personas que están dentro del ascensor están sobre un Sistema de Referencia NO Inercial.

Magnitud: es la propiedad de los cuerpos de ser medidos, todo aquello que pueda ser medido se llama magnitud. La medición es la técnica por medio de la cual asignamos un número a una propiedad física, como resultado de una comparación de dicha propiedad con otra similar tomada como patrón, la cual se ha adoptado como UNIDAD.

Punto material o partículaEs un cuerpo uniforme, que en la realidad no existe y que corresponde a la idealización matemática de un objeto cuyas dimensiones y orientación en el espacio son despreciables para la descripción particular del movimiento.

Sistema de referenciaEs un cuerpo respecto del cual se describe el movimiento de otro u otros cuerpos. Al cuerpo rígido suponemos unida una terna de ejes fundamentales (por ejemplo un sistema de ejes cartesianos).

PosiciónPunto del espacio referido a un sistema de referencia.

Vector posición Vector que une el origen O del sistema de referencia con el punto P del espacio en el cual está el punto material o la partícula. Para el sistema ortogonal cartesiano x, y, z el vector posición se identifica por el trío ordenado (x,y,z)

Conceptos Básicos

y

z

x

O

P

Movimiento Es un concepto relativo pues depende del sistema de referencia. Se puede definir como el cambio de posición de la partícula en el tiempo, respecto de un punto o sistema de referencia considerado fijo.

TrayectoriaEs la curva descrita por la partícula durante su movimiento.

Conceptos Básicos

• Distancia recorrida Es la longitud del recorrido seguido por la partícula. 

AB = ∆S = SB − SA

DesplazamientoEs la diferencia entre dos vectores posición de la partícula. El desplazamiento entre los puntos 1 y 2 es:

Conceptos Básicos

• Rapidez media

Es el cociente entre la distancia recorrida AB y el tiempo t empleado en recorrerla.

r1 r2

∆r

1 2

O

∆r = r2 −

r1

= =

Rapidez InstantáneaEs el límite de la rapidez media cuando el

intervalo de tiempo tiende a cero.

Conceptos Básicos

• Velocidad MediaEs el cociente entre el desplazamiento y el intervalo de tiempo empleado en desplazarse.

𝑣= lim∆𝑡→0

∆𝑆∆ 𝑡 es decir: 𝑣=

𝑑𝑆𝑑𝑡

t

rmv

Velocidad InstantáneaEs el límite de la velocidad media cuando el intervalo t tiende a cero

Conceptos Básicos

• Aceleración Media Es el cociente entre la diferencia de la velocidad instantánea y el intervalo de tiempo en que se produce dicha variación.

𝑣= lim∆𝑡→0

∆ 𝑟∆ t

𝑣=𝑑 𝑟𝑑𝑡

= =

Aceleración InstantáneaEs el límite de la aceleración media cuando el intervalo t tiende a cero

Conceptos Básicos

• Aceleración Normal y TangencialLa velocidad y la aceleración pueden expresarse en otro sistema de coordenadas ortogonal, en el que el origen del sistema coincide con la partícula siendo los vectores bases at y an con at tangente a la trayectoria y en el sentido del movimiento y an normal a at dirigido hacia el centro de la curvatura.at : es un vector

tangente a la curva y corresponde al cambio de la rapidez en el tiempo. an : es un vector normal a la curva y corresponde al cambio de dirección del vector velocidad.

an at

P

Hemos expresado la posición x de un objeto como una función del tiempo t indicando la función matemática que relacionaba a x y a t. Luego se obtuvo su velocidad calculando la derivada de x con respecto a t. Finalmente, se calculó la aceleración a de un objeto derivando la velocidad con respecto al tiempo t. Un movimiento rectilíneo uniforme es aquél en el cual la velocidad es constante, por tanto, la aceleración es cero (la derivada de una constante es cero).

Movimiento Rectilíneo Uniforme

La función desplazamiento es la integral de la función velocidad que en este caso es constante v ( t ) = C, por tanto el desplazamiento será x ( t ) = xo + v . t , donde x0 será la posición inicial del móvil.

Si un objeto se mueve con aceleración constante en una sola dimensión ¿Existe alguna forma de ir de a a v y luego a x ? Sí, por un proceso llamado integración. Dada la aceleración podemos obtener la función velocidad integrando la aceleración y dada la velocidad podemos obtener la función desplazamiento integrando la velocidad.

Movimiento Rectilíneo Uniformemente Acelerado

La función velocidad es la integral de la aceleración a ( t ) = C , por tanto la velocidad será v ( t ) = v0 + a . t . La función desplazamiento es la integral de la velocidad, por tanto:

Esta es la expresión general de la posición de un objeto en el caso del movimiento en una dimensión con aceleración constante, donde x0 es la posición inicial del objeto.

Deducción de la fórmula del Movimiento Rectilíneo Uniformemente Acelerado

Como ya vimos en el gráfico anterior (centro) la variación de la velocidad con respecto al tiempo nos da una aceleración constante, eso quiere decir que si dividimos el área bajo la curva en el grafico, en 2 figuras geométricas, un rectángulo y un triángulo y le hallamos el área a cada uno, por ejemplo en el rectángulo seria (vo)t-to y para el triangulo sería 1/2 de la base (t-to) xa (t-to) o sea, 1/2a(t-to)². Precisamente el área bajo la curva es la integral de la velocidad en función del tiempo que es la posición, es decir que mediante la formula:

ttto

v

vo

v-vo = a(t-to)

X-Xo

Si el instante inicial del movimiento comienza con la medición del tiempo, entonces t0=0, por tanto:

Resumen de formulas del MRU y del MRUA

ttto

vo

X-Xo

Movimiento Rectilíneo Uniforme (MRU)

tto

v

vo

v-vo =

a(t-to)

X-Xo

Movimiento Rectilíneo Uniforme Acelerado(MRUA)

Despejando t en la segunda ecuación y sustituyéndola en la tercera, relacionamos la velocidad v, con el desplazamiento x-xo

Aquí como no hay variación de la velocidad respecto al tiempo,

o sea, v=cte =v0 y la

aceleración a=0

Si permitimos que un cuerpo caiga en vacío, de modo que la resistencia del aire no afecte su movimiento, encontraremos un hecho notable:

todos los cuerpos independientemente de su tamaño, forma o composición, caen con la misma aceleración en la misma región vecina a la superficie de la Tierra. Esta aceleración, denotada por el símbolo g , se llama aceleración en caída libre

  Si bien hablamos de cuerpos en caída, los cuerpos con movimiento hacia arriba

experimentan la misma aceleración en magnitud y dirección. El valor exacto de la aceleración en caída libre varía con la latitud y con la altitud. Hay también variaciones significativas causadas por diferencias en la densidad local de la corteza terrestre, pero este no es el caso que vamos a estudiar en esta sección.

  Las ecuaciones vistas en la sección anterior para un movimiento rectilíneo con

aceleración constante pueden ser aplicadas a la caída libre, con las siguientes variaciones:

Establecemos la dirección de la caída libre como el eje Y y tomamos como positiva la dirección hacia arriba.+

Reemplazamos en las ecuaciones de un movimiento uniformemente acelerado a

la aceleración por -g , puesto que nuestra elección de la dirección positiva del eje Y es hacia arriba, significa que la aceleración es negativa.

Caída Libre

En la gráfica podemos observar la dirección de los vectores aceleración y velocidad, de un objeto que ha sido lanzado hacia arriba con una velocidad inicial; en el primer instante (bola a la izquierda) notamos que el vector velocidad apunta hacia arriba, en el sentido positivo del eje Y, mientras el vector aceleración ( g ) tiene una dirección hacia abajo, en el sentido negativo del eje Y. En el segundo instante cuando el objeto cae (bola a la derecha) la dirección de la velocidad es hacia abajo en el mismo sentido del desplazamiento y el vector aceleración ( g ) mantiene su misma dirección, en el sentido negativo del eje Y.

Caída Libre

Con estas variaciones las ecuaciones resultan ser:  a ( t ) = - g  v ( t ) = v0 - gt  

Llamamos movimiento parabólico a la trayectoria de un objeto que describe un vuelo en el aire después de haber sido lanzado desde un punto cualquiera en el espacio. Si el objeto tiene una densidad de masa suficientemente grande, los experimentos muestran que, a menudo, podemos despreciar la resistencia del aire y suponer que la aceleración del objeto es debida sólo a la gravedad. Como de costumbre, vamos a definir el eje x como horizontal y el +y en la dirección vertical hacia arriba. En este caso la aceleración es a = -g , entonces:

Movimiento en un Plano - Movimiento Parabólico

Supongamos que un proyectil se lanza de forma que su velocidad inicial v0 forme un ángulo q con el eje de las x , como se muestra en la figura:

Descomponiendo la velocidad inicial, obtenemos las componentes iníciales de la velocidad:

Movimiento Parabólico

Para deducir las ecuaciones del movimiento parabólico, debemos partir del hecho de que el proyectil experimenta un movimiento rectilíneo uniforme a lo largo del eje x , y uniformemente acelerado a lo largo del eje y . De esta forma tenemos que:

Movimiento Parabólico

Si derivamos estas ecuaciones obtenemos la aceleración y si integramos obtenemos el desplazamiento:

sustituimos el tiempo por x de las ecuaciones del desplazamiento x e y , obtenemos la ecuación de la trayectoria de la forma : 

y = ax2 +bx +c

Para Para

Sustituyendo las Vx y Vy, en x e y, y además despejando el tiempo en la ecuación de la posición en x, obtenemos:

Movimiento Parabólico

El alcance horizontal máx. para cada objeto lanzado, se obtiene con la condición y=0

El altura máxima para cada objeto lanzado, se obtiene con la condición Vy=0

De la definición de radián (unidad natural de medida de ángulos) obtenemos la relación entre el arco y el radio. Como vemos en la figura, el ángulo se obtiene dividiendo la longitud del arco entre su radio

Movimiento en un Plano - Movimiento Circular

Derivando s=r  respecto del tiempo, obtenemos la relación entre la velocidad lineal y la velocidad angular

La dirección de la velocidad es tangente a la trayectoria circular, es decir, perpendicular a la dirección radial. Derivando esta última relación con respecto del tiempo obtenemos la relación entre la aceleración tangencial at y la aceleración angular.

Examinaremos ahora el caso especial en que una partícula se mueve a velocidad constante en una trayectoria circular. Como veremos, tanto la velocidad como la aceleración son de magnitud constante, pero ambas cambian de dirección continuamente. Esta situación es la que se define como movimiento circular uniforme. Para el movimiento en círculo, la coordenada radial es fija ( r ) y el movimiento queda descrito por una sola variable, el ángulo , que puede ser dependiente del tiempo (t). Supongamos que durante un intervalo de tiempo dt, el cambio de ángulo es d.

Movimiento Circular Uniforme

La longitud de arco recorrida durante ese intervalo está dada por ds = r d. Al dividir entre el intervalo de tiempo dt, obtenemos una ecuación para la rapidez del movimiento:

Movimiento Circular Uniforme

de donde d/dt es la rapidez de cambio del ángulo y se define como la velocidad angular, se denota por y sus dimensiones se expresan en radianes por segundo (rad/s) en el SI. En términos de ω, tenemos que:

v = ω rUna cantidad importante que caracteriza el movimiento circular uniforme es el período y se define como el tiempo en que tarda el cuerpo en dar una revolución completa, como la distancia recorrida en una revolución es 2r, el período T es:2 r = v T

La frecuencia es el número de revoluciones que efectúa la partícula por unidad de tiempo, por lo general es 1 segundo. La unidad en el SI es el hertz (Hz), que se define como un ciclo por segundo. La frecuencia es el inverso del período, esto es:

Aceleración centrípeta

Aunque la rapidez es constante en el caso del movimiento circular uniforme, la dirección de la velocidad cambia, por lo tanto, la aceleración no es cero

Sea P1 la posición de la partícula en el tiempo t1 y P2 su posición en el tiempo t2. La velocidad en P1 es V1, un vector tangente a la curva en P1. La velocidad en P2 es V2, un vector tangente a la curva en P2. Los vectores V1 y V2 tienen la misma magnitud V , ya que la velocidad es constante, pero sus direcciones diferentes. La longitud de la trayectoria descrita durante t es la longitud del arco del punto P1 a P2, que es igual a r. ( donde esta medida en radianes ), la velocidad es la derivada del desplazamiento con respecto al tiempo, de esta forma:

r . = V . t

Aceleración centrípeta

Podemos ahora trazar los vectores V1 y V2 de tal forma que se originen en un punto en común:

Esta figura nos permite ver claramente el cambio en la velocidad al moverse la partícula desde P1 hasta P2 . Este cambio es: V1 - V2 = V

Ya que la dirección de la aceleración promedio es la misma que la de V, la dirección de a está siempre dirigida hacia el centro del círculo o del arco circular en el que se mueve la partícula. Para un movimiento circular uniforme, la aceleración centrípeta es:

Movimiento circular uniformemente acelerado

Cuando el movimiento es uniformemente acelerado, existe una aceleración angular, y se define como la razón instantánea de cambio de la velocidad angular:

Las unidades de la aceleración angular son radianes por segundo al cuadrado. Si la aceleración angular es constante, entonces la velocidad angular cambia linealmente con el tiempo; es decir,

donde ω0 es la velocidad angular en t = 0. Entonces, el ángulo está expresado por:

= 0 + α t

Resumen:

(t) = 0 + 0 t + ½ α t ²

Movimiento Circular

La dirección de la velocidad de un móvil en movimiento circular es tangente a la circunferencia que describe. Un móvil tiene aceleración tangencial at siempre que cambie el módulo de la velocidad con el tiempo. El sentido de la aceleración tangencial es el mismo que el de la velocidad si el móvil acelera y es de sentido contrario, si se frena. Un móvil que describe un movimiento circular uniforme no tiene aceleración tangencial. Un móvil que describe un movimiento circular siempre tiene aceleración normal, an ya que cambia la dirección de la velocidad con el tiempo. La aceleración normal tiene dirección radial y sentido hacia el centro de la circunferencia que describe. La aceleración del móvil se obtiene sumando vectorialmente ambas componentes de la aceleración.

Una rueda de r=0.1 m de radio está girando con una velocidad de ω0=4π rad/s, se le aplican los frenos y se detiene en 4s. Calcular la aceleración angular ?

ω=ω0+αtEn el instante t=4 s la velocidad angular ω=0α=-π rad/s2

- El ángulo girado hasta este instante es

- En el instante t=1 s, la posición y la velocidad angular del móvil es =7π/2=2π+3π/2 radω=4π+(-π)·1=3π rad/s

- La velocidad lineal ------------------------ v=ω·r     v=0.3π m/s

-La componente tangencial de la aceleración es --------at=α·r      at=-0.1π m/s2

- La componente normal de la aceleración es -------------------------------- an=v2/r    an=0.9π2 m/s2

Ejemplo

Movimiento Armónico Simple (Cinemática)

El movimiento armónico simple (MAS) es un movimiento periódico que guarda relación con el movimiento circular uniforme MCU. Desde el punto de vista de la cinemática obtendremos la ecuación fundamental por medio de la función sinusoidal, en donde la partícula esta en una posición inicial con ángulo Ф0 y después se mueve a otra posición cuyo ángulo en Ф, que se puede sustituir por la velocidad angular y el tiempo.

t

yA

A – amplitud o elongación de la oscilación, en este caso igual al radio de la circunferencia.t – valor del ángulo Ф en función de la Velocidad angular y el tiempo.Ф 0 - valor inicial del ángulo.y – posición de la partícula en un instante cualquiera (también puede ser descrita la posición por la variable x.v – velocidad lineal.a – aceleración lineal.

y0Ф0

Movimiento Armónico Simple (Dinámica)

Un movimiento armónico simple (MAS) esta caracterizado por el movimiento de una masa que salta cuando esta sujeta a una fuerza de reconstitución elástica lineal dada por la ley de Hooke. El movimiento es sinusoidal en tiempo y da solo una frecuencia de resonancia.

t

yA

y0Ф0

(Ley de Hooke)Que plantea que la cantidad de estiramiento o de compresión (cambio de longitud X o Y) es directamente proporcional a la fuerza aplicada.

F = -K x (donde K es la constante elástica del material, en este caso del muelle.)

T- periodof – frecuencia

Formula para hallar la frecuencia de resonancia de un sistema