MÉTODOS NUMÉRICOS Y CÁLCULO DE PROBABILIDADES

Universidad Industrial de Santander

Facultad de Ciencias

Escuela de Física

CONTENIDO:

1. Operaciones Matemáticas Básicas (16 horas)

1. Algoritmo, diagrama de flujo y programa (2h)

2. Raíces de ecuaciones algebraicas (4h)

3. Interpolación y derivación numérica (4h)

4. Problema de ajuste (opcional) (2h)

5. Integración numérica (4h)

Proyecto I (Puntos de retorno de trayectorias clásicas, Trayectorias

de Poincare simples, Trayectorias de cuasi-clásicas de Bohr-

Zommerfeld, Dispersión clásica, Fórmula de Rutherford

Transiciones de fase, Representación gráfica de Patrones de

Difracción e Interferencia, de Campos Eléctricos y Magnéticos

estacionarios, etc.)

2. Ecuaciones diferenciales y Modelamiento de sistemas

determinísticos (20horas)

1. Problema de Cauchy para sistemas de ecuaciones

diferenciales

2. Métodos de un paso (Euler, Runge-Kutta)

3. Métodos de multipasos explícitos e implícitos

4. Predictor-corrector

5. Problema de contorno para ecuación diferencial de

segunda orden. es parciales.

Proyecto II (Oscilaciones no-lineales, modelo clásico de átomo

helio, problemas de uno y dos cuerpos, sistemas mini-solares,

osciladores acoplados, trayectorias de Poincare y caos, partículas

cargadas en campos externos, ondas estacionarias en 1D, difusión y

transferencia de energía en 1D, etc.)

2. Modelamiento de sistemas estocásticos (20 horas)

1. Sucesos aleatorios. Frecuencia y Probabilidad

2. Teoremas de la adición y multiplicación Pruebas

independientes. Formula de Bernoulli

3. Teoremas de hipótesis y de Bayes

4. Variables aleatorias discretas y continuas

5. Función y densidad de distribución y características

numéricas

6. Distribución normal y relacionadas con ella

7. Teoremas de límite central y de los números grandes.

Fórmulas de Moivre-Laplace

8. Generadores de números aleatorios. Caminos aleatorios y

cadenas de Markov

9. Métodos de Monte Carlo

Proyecto III (Distribuciones de Gauss, Botzmann, Maxwell,

Planck, Fermi, Bose. Distribuciones en Mecánica Cuántica. Caminos

aleatorios. Decaimiento de núcleos y distribución de Poisson,

Crecimiento de Polímeros, Umbral de Percolación, Formación de

“clusters”, etc.)

4. Elementos de estadística Matemática (12 horas)

1. Estimaciones e intervalos de Confianza

2. Estadística inferencial. Contraste de hipótesis

3. Regresión y Ajuste de Curvas

Proyecto IV (Intervalos de confianza a) para los promedios de las

muestras grandes, b) muestras pequeñas, c) probabilidades.

Contraste de hipótesis sobre los promedios de dos conjuntos,

Correlación. Verificación de hipótesis sobre existencia de

correlación entre dos conjuntos. Regresión lineal y no lineal.

BIBLIOGRAFÍA BÁSICA Y

COMPLEMENTARIA:

Nakamura, Sh. Métodos numéricos

aplicados con software, Prentice

Hall, México, 1992.

H. Gould y J. Tobochnik. An

Introduction to Computer Simulation

Methods Applications to Physical

Systems, Addison -Wesley

Publishing Company, 1989

T. Pang. Introduction to

computational physics , Cambridge

University Press, 2006

Koonin, S.E, Computational Physics,

Addisson-Wesley, Publishing

Company, Inc. 1986

J. D. Faires, R. L. Burden, Métodos

numéricos. Thompson. 2004

Mathews, J. y Fink, K. Métodos

numéricos con Matlab. Tercera

edición. Prentice Hall, Madrid-

2000.

INTRODUCCIÓN

Proceso de simulación en computador de un fenómeno:

1) Elaboración del modelo matemático (determinista o estocástico);

2) Definición de métodos numéricos para analizar el modelo matemático;

3) Elaboración de un algoritmo que ajuste métodos numéricos al modelo

4) Confección un programa en un lenguaje de programación

5) Chequeo y optimización del algoritmo y del programa

El principio “divide et impera” permite construir el algoritmo en la forma de una

serie de subprogramas “encapsulados en un programa principal (main)”

Una vez son definidos los métodos numéricos para cada subprograma se construye

un algoritmo en la forma de un diagrama de flujo o un pseudocódigo.

CAPITULO I. ALGORITMOS DE ALGUNOS OPERACIONES MATEMÁTICAS BASICAS (12 horas)

1.1.1 Algoritmo

1.1.2 Diagrama de flujo

1.1.3 Pseudocódigo

1.1.4 Procesos Iterativos

1.1.4 Algoritmos” divide y vencerás”

I ALGORITMOS DE ALGUNOS OPERACIONES MATEMÁTICAS BASICAS (12 horas)

1.1 Algoritmo Diagrama de Flujo Pseudocódigo Programa

1.1.1 Algoritmo

Un algoritmo es una secuencia de instrucciones que permiten a realizarlas en orden obtener la solución de un problema..

Los algoritmos son independientes de lenguajes de programación y pueden escribirse y ejecutarse en lenguajes diferentes.

Un programa es una serie de instrucciones ordenadas, codificadas en lenguaje de programación que expresa un algoritmo

y que puede ser ejecutado en un computador

Características de un algoritmo: Un algoritmo debe ser:

a) preciso - indicar las instrucciones exactas e inequívoca;

b) finito, porque un algoritmo debe tener un número limitado de pasos;

c) definido - producir los mismos resultados para las mismas condiciones de entrada.

Un algoritmo producir puede tener cero o más elementos de entrada pero

siempre un o varios resultados. Los datos de salida serán los resultados de

efectuar las instrucciones.

Partes de un algoritmo: Todo Algoritmo debe tener las siguientes partes:

Entrada de datos, son los datos necesarios que el algoritmo necesita para ser

ejecutado. Proceso (o instrucciones) que presenta una secuencia de pasos para

ejecutar el algoritmo. Salida de resultados, son datos obtenidos al ejecutar el

algoritmo.

Técnicas de representación: Representaciones más conocidos son:

Diagramación libre (Diagramas de flujo).

Pseudocódigo.

Lenguaje natural (español, inglés, etc.).

Fórmulas matemáticas.

1.1.2 Diagrama de flujo

Diagrama de flujo es una representación gráfica de un proceso que tienen objetivos:

- Describir actividades en un proceso mostrando la relación secuencial entre ellas.

- Facilitar comprensión relación entre actividades, flujo y ramas de información

- Estimular estudio analítico de proceso, para generar alternativas.

- Establecer valor agregado de cada una de las actividades.

Un ejemplo de diagrama de flujo correspondiente al algoritmo para un solucionar

ecuación lineal AX=B se muestra en Fig.1. El algoritmo debe tener en cuenta que la

ecuación tiene solución solo cuando el coeficiente A no es igual a cero. Se utilizan los

símbolos estándares para los diagramas de flujo de la lista presentada a continuación

Fig.1 Diagrama de flujo delalgoritmo para solucionar laecuación lineal AX=B

Lista de símbolos que se usan comúnmente en diagramas de flujo y sus significados.

UN EJEPLO DE DIAGRAMA DE FLUJO

Proceso iterativo del esquema de Horner para calcular raíces cuadradas

Ejemplo 2 Algoritmo para calcular la función exponencial usando serie de Taylor

1.1.4 Procesos Iterativos

Una gran mayoría de los algoritmos numéricos se usan un procedimiento iterativo, una secuencia de instrucciones para

obtener sucesivamente resultados más cercanos al resultado deseado, que se repiten un número específico de veces o

hasta que se cumpla una condición específica.

Siendo R el resultado exacto, y se busca un valor aproximado RA con tolerancia sugerida tol, que cumpla condición

|RA-R|

Ejemplos de procesos Iterativos

Proceso Iterativo de cálculo de la integral usando el método

de rectangulos

Proceso iterativo para resolver la ecuación algebraica x = (x)

1.1.5 Algoritmos” divide y vencerás”

La estrategia de Divide y Vencerás es una técnica algorítmica que permite disminuir la complejidad de un problema

dividiéndola en subproblemas encapsulados en un programa principal.

La estrategia del algoritmo es la siguiente:

En primer lugar, se plantea el problema de forma que pueda ser descompuesto en subproblemas elementales de

menor tamaño. división.

En segundo lugar, se preparan algoritmos para resolver los subproblemas elementales. casos bases.

Por último, herramientas elaboradas en paso anterior se usan en programa principal solucionar el problema original.

Un ejemplo: El movimiento de un cohete, impulsado por una fuerza que está dada en una tabla en

función de tiempo F(t). La variación de la masa de cohete m(t) debido a la expulsión de gases en

función de tiempo también está dada en tabla. La pregunta es: ¿Cuánto tiempo se demora el vuelo del

cohete hacia arriba y hasta que altura máxima sube el cohete?

Modelo matemático basa en la II Ley de Newton

; 0 0; ; 0 0dx td

m t V F t m t g V V t xdt dt

(1)

Dos ecuaciones diferenciales (1) tienen solución analítica para velocidad coordenada en función de tiempo (¡demuéstrelo!):

0 0 0

1;

t t tg

V t F t dt m t dt x t V t dtm t m t

(2)

Las fórmulas (2) permiten encontrar, por ejemplo, el tiempo de vuelo y la altura máxima, analizando las funciones V(t) y x(t)

sobre una malla de tiempo discreta (¡igual como cualquier algoritmo computacional!).

La específica de la mayoría de algoritmos computacionales consiste en el uso de las funciones definidas sobre una malla

discreta, como en los datos experimentales de las funciones F(t) y m(t), o los valores de velocidades calculados V(t).

Esto sugiere la elaboración de los subprogramas universales de operaciones básicas como las herramientas que funcionen

con la misma eficiencia tanto para tratar la información dada en una forma analítica como en una tabla. Algunos de ellos

consideremos en los siguientes capítulos, particularmente diferentes variantes de los siguientes subprogramas :

( , , ( ))

(* Para dada tabla permite calcular el valor de la función ( ) para cada fuera de malla*)

function Interpola te Tabla x Fun x

y Fun x x

La integración numérica

La interpolación

( ( ), , ) (* Para una función ( ) permite calcular la Integral= ( ) *)

b

a

function Integral Fun x a b Fun x Fun x

La búsqueda de las raíces de ecuaciones algebraicas

_ ( ( ), , , , ( )) (* Para una función algebráica ( ) 0

dentro del intervalo ( , ), permite encontrar el número de las raices y

todas las ( ), 1,2,...,n

function All raices Fun x a b nraiz raices nraiz Fun x

a b nraiz

raices i i

raiz *)