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MODELOS DE INTERPOLACIÓN
3.1 INTRODUCCIÓN
Como se dijo anteriormente, la idea básica del método de elementos finitos es de una aproximación trozos, esto es, la solución de un problema complicado es obtenida al dividir la región de interés en regiones pequeñas (elementos finitos) y aproximar la solución en cada subregión mediante una función simple. Por lo tanto, un paso necesario e importante es el de elegir una simple función para la solución en cada elemento. Las funciones usadas para representar el comportamiento de la solución dentro de un elemento son llamadas Funciones de Interpolación, Funciones de Aproximación o Modelos de Interpolación. Funciones de interpolación tipo polinomial, han sido las más utilizadas, por las siguientes razones:
(i) Es más fácil de formular y calcular las ecuaciones de elementos finitos con funciones de interpolación tipo polinómica. En concreto, es más fácil llevar a cabo la diferenciación o la integración con polinomios.
(ii) Es posible mejorar la convergencia de los resultados al incrementar el orden del polinomio, como se muestra en la Figura 3.1. Teóricamente un polinomio de orden infinito corresponde a la solución exacta. Pero en la práctica se usa polinomio de orden infinito solo como una aproximación.
Aunque las funciones trigonométricas también poseen estas propiedades, pero rara vez se las utiliza en el análisis por elementos finitos.
Cuando el polinomio de interpolación es de orden uno, el elemento se denomina como elemento lineal. Un elemento lineal es llamado elemento simple si el número de nodos es 2, 3, y 4 en 1, 2, y 3 dimensiones, respectivamente. Si el polinomio de interpolación es de orden dos o más, el elemento es conocido como Elemento de Orden Superior. En elementos de orden superior, algunos nodos (medio lado y / o interior) secundarios se introducen, además de los nodos (esquina) primarios con el fin de que coincida, el número de grados de libertad nodales, con el número de constantes (coordenadas generalizadas) en el polinomio de interpolación.
En general, menos elementos de mayor orden son necesarios para lograr el mismo grado de exactitud en los resultados finales. Aunque esto no reduce el tiempo de cálculo, la reducción en el número de elementos reduce generalmente el esfuerzo necesario en la preparación de los datos y por lo tanto la posibilidades de errores en los datos de entrada. Los elementos de orden superior son especialmente útiles en casos en los que se espera que el gradiente de la variable de campo varié rápidamente. En estos casos los elementos simples, que se aproximan al gradiente por medio de una serie de valores constantes, no dan buenos resultados. La combinación de una mayor precisión y una reducción en el esfuerzo de preparación de los datos ha dado como resultado el uso generalizado de los elementos de orden superior en varias aplicaciones prácticas.
Si el orden del polinomio de interpolación e fijo, la Discretización de la región (o dominio) puede ser mejorada por dos métodos.
En el primer método, conocido como el Método “R” la ubicación de los nodos se alteran sin cambiar el número total de elementos. En el segundo método, conocido como el Método “H”, el número de elementos es incrementado. Por otro lado, si se busca la mejora en la precisión mediante el aumento del orden del polinomio de interpolación, este método se conoce como el Método “P”.
Problemas que involucran límites o fronteras curvas no pueden modelarse satisfactoriamente usando elementos de lados rectos. La familia de elementos conocidos como Elementos "isoparamétricos" se ha desarrollado para este propósito. La idea básica que fundamenta a los elementos isoparamétricas es utilizar las mismas funciones de interpolación para definir la forma o geometría del elemento, así como para la variación de la variable de campo dentro del elemento. Para obtener las ecuaciones isoparamétricas del elemento, en primer lugar se debe introducir un sistema de coordenadas local o natural para cada forma del elemento. Luego las funciones de interpolación o de forma, son expresadas en términos de las coordenadas naturales. La representación de la geometría en términos de las funciones de forma (no lineales), puede considerarse como un procedimiento de mapeo que transforma una forma regular como un triángulo de lados rectos o un rectángulo en el sistema de coordenadas local, a una forma distorsionada como un triángulo de lados curvos o un rectángulo en el sistema global de coordenadas cartesianas. Este concepto puede usarse en la representación de problemas con límites curvos con la ayuda de elementos isoparamétricos de lados curvos. Hoy en día los elementos isoparamétricos son extensamente utilizados en el análisis de problemas tridimensionales y recipientes.
3.2 FORMA POLINOMIAL DE LAS FUNCIONES DE INTERPOLACIÓN
Si se asume una variación de tipo polinomial para la variable de campo ϕ (x ) en un elemento de una dimensión, ϕ ( x ) puede ser expresado como
ϕ ( x )=α 1+α2 x+α3 x2+…+α m xn (3.1)
De manera similar, en elementos finitos bi y tridimensionales la forma polinomial de la funciones de interpolación pueden ser expresadas como
ϕ ( x , y )=α1+α 2 x+α 3 y+α 4 x2+α 5 y2+α 6 xy+…+α m yn (3.2)
ϕ ( x , y , z)=α 1+α2 x+α3 y+α 4 z+α5 x2+α6 y2+α7 y2+α 8 xy+α9 yz+α 10 zx …+α m zn
(3.3)
donde:
α 1, α 2,…..α m son los coeficientes del polinomio, conocidos como Coordenadas
Generalizadas n es el grado del polinomio. m es el numero de coeficiente polinomiales dado por
m=n+1 para elementos de una dimensión (3.4)
m=∑j=1
n+1
j para elementos de bidimensionales (3.5)
m=∑j=1
n+1
j(n+2− j) para elementos de bidimensionales (3.6)
En muchas de las aplicaciones prácticas el orden del polinomio en las funciones de interpolación es tomado como uno, dos o tres. De modo que, las ecuaciones (3.1) – (3.3) se reducen a las siguientes, para casos de interés práctico.
Para n=1 (Modelo Lineal)
Caso de una dimensión:
ϕ ( x )=α 1+α2 x (3.7)
Caso bidimensional:
ϕ ( x , y )=α1+α 2 x+α 3 y (3.8)
Caso tridimensional:
ϕ ( x , y , z)=α 1+α2 x+α3 y+α 4 z (3.9)
Para n=2 (Modelo Cuadrático)
Caso de una dimensión:
ϕ ( x )=α 1+α2 x+α3 x2 (3.10)
Caso bidimensional:
ϕ ( x , y )=α1+α 2 x+α 3 y+α 4 x2+α 5 y2+α 6 xy (3.11)
Caso tridimensional:
ϕ ( x , y , z)=α 1+α2 x+α3 y+α 4 z+α5 x2+α6 y2+α7 z2+α 8 xy+α 9 yz+α10 xz (3.12)
Para n=3 (Modelo Cúbico)
Caso de una dimensión:
ϕ ( x )=α 1+α2 x+α3 x2+α 4 x3 (3.10)
Caso bidimensional:
ϕ ( x , y )=α1+α 2 x+α 3 y+α 4 x2+α 5 y2+α 6 xy+α7 x3+α 8 y3+α 9 x2 y+α 10 x y2 (3.11)
Caso tridimensional:
ϕ ( x , y , z)=α 1+α2 x+α3 y+α 4 z+α5 x2+α6 y2+α7 z2+α 8 xy+α 9 yz+α10 xz+α11 x3+α 12 y3+α 13 z3+α14 x2 y+α15 x2 z+α16 y2 z+α 17 x y2+α18 xz2+α 19 yz2α 20 xyz
(3.12)
3.3 ELEMENTOS SIMPLES, COMPLEJOS Y MULTIPLES
Los elementos finitos pueden ser clasificados dentro de tres categorías como Simples, Complejos y Múltiples, dependiendo de la geometría del elemento y el orden del polinomio usado en la función de interpolación.
Los elementos simples son aquellos en los que el polinomio de aproximación consiste en términos constantes y lineales. Por lo tanto, los polinomios dados por las ecuaciones (3.7) – (3.9) representan funciones simples, para elementos de una, dos, y tres dimensiones. Cabe notar que un elemento simple está definido como una Figura geométrica que se obtiene uniendo n+1 uniones (nodos) en un espacio n-dimensional, se puede considerar las esquinas de los elementos como nodos de un elemento simple. Por ejemplo, el elemento simple en dos dimensiones es el triángulo con tres nodos (esquinas). Los tres coeficientes polinomiales α1, α2, y α3 de la ecuación (3.8) pueden de este modo ser expresados en términos de los valores nodales de la variable de campo ɸ. Los elementos complejos son aquellos en los que el polinomio de aproximación consiste en términos de orden cuadrado, cubico, y de orden superior, de acuerdo a la necesidad, además
de las constantes y términos lineales. Por lo tanto, los polinomios dados por las ecuaciones (3.10) – (3.15) denotan funciones complejas.
Los elementos complejos podrían tener las mismas formas que los elementos simples, sino que tendrán nodos adicionales en las fronteras y, algunas veces nodos internos. Por ejemplo el polinomio de interpolación para un elemento complejo bidimensional (incluyendo términos por sobre los términos cuadráticos) está dado por la ecuación (3.11). Puesto que esta ecuación tiene seis coeficientes desconocidos αi, el elemento complejo correspondiente debe tener seis nodos. Por lo tanto, un elemento triangular con tres nodos de esquina y tres nodos en medio lado cumple con este requisito. Elementos múltiples son aquellos cuyos límites o fronteras son paralelos a los ejes coordenados para lograr continuidad entre elementos y cuyo polinomio de aproximación contiene términos de orden superior. El elemento rectangular mostrado en la Figura 3.2 es un ejemplo de un elemento múltiple en dos dimensiones.
Se debe tener en cuenta que las fronteras o límites de un elemento simple o complejo no necesariamente deber ser paralelas a los ejes coordenados.
3.4 INTERPOLACIÓN POLINÓMICA EN TÉRMINOS DE LOS GRADOS DE LIBERTAD NODALES
La idea básica del método de los elementos finitos es considerar a un cuerpo como una composición de varios elementos (o subdivisiones), que están conectados en puntos nodales específicos. La solución desconocida o la variable de campo (por ejemplo presión, desplazamiento o temperatura) dentro de cualquier elemento finito se supone que está dada por una función simple en términos de los valores nodales de dicho elemento. Los valores nodales de la solución, también conocida como grados de libertad nodales, son tratados como incógnitas en la formulación del sistema o ecuaciones generales. La solución del sistema de ecuaciones (por ejemplo, las ecuaciones de equilibrio de fuerzas o las ecuaciones de equilibrio térmico o
ecuaciones de continuidad) da los valores desconocidos de los grados de libertad nodales. Una vez que los grados de libertad nodales son conocidos, la solución dentro de cualquier elemento finito (y por lo tanto dentro del cuerpo completo) también será conocida.
Por lo tanto, tenemos que expresar el polinomio de aproximación en términos de los grados de libertad nodales de un elemento finito típico e. para esto se supone que el elemento finito tiene M
nodos. Se puede evaluar los valores de la variable de campo en los nodos, al sustituir las coordenadas nodales dentro de la ecuación polinómica dado por las ecuaciones (3.1) – (3.3). Por ejemplo, la ecuación (3.1) puede expresarse así
ϕ⃗ (x )=η⃗T α⃗ (3.16)
donde:
ϕ⃗ (x )=ϕ (x )
η⃗T={1 x x2 … xn }
α⃗={ α1α2⋮
α n+1}
La Evaluación de la ecuación (3.16) en varios nodos del elemento da como resultado
{ ϕ⃗ (enel nodo1)ϕ⃗ (enel nodo2)
⋮ϕ⃗ (enel nodo M )
}e
=Φ⃗(e)=[ η⃗T (enel nodo1)η⃗T (enel nodo2)
⋮η⃗T (enel nodo M )
] α⃗= [ η ]⏟ α⃗ (3.17)
donde:
Φ⃗(e) es el vector de valores nodales de la variable de campo correspondiente al elemento
e [ η ] matriz cuadrada identificada de la ecuación anterior
Ahora al invertir un término de la ecuación (3.17) se obtiene
α⃗= [η ]⏟−1Φ⃗(e)
(3.18)
Sustituyendo la ecuación (3.18) en las ecuaciones (3.1) – (3.3) se obtiene
ϕ⃗= η⃗T α⃗=η⃗T [ η ]⏟−1Φ⃗(e)= [ N ] Φ⃗(e)
(3.19)
donde:
[ N ]=η⃗T [ η ]⏟−1
La ecuación (3.19) ahora expresa el polinomio de interpolación dentro de cualquier elemento finito en términos de las incógnitas nodales Φ⃗(e) de dicho elemento. Una limitación importante de
las funciones de interpolación tipo polinómica es que se tiene que invertir la matriz [ η ] para
obtener ϕ⃗, y [ η ]−1 podría ser una matriz singular en muchos casos. Esta última dificultad podría ser
evitada al usar otros tipos de funciones de interpolación.
3.5 SELECCIÓN DEL ORDEN DEL POLINOMIO DE INTERPOLACIÓN
Mientras se realiza la elección del orden del polinomio en el tipo de función de interpolación polinómica, las siguientes consideraciones deben tenerse en cuenta:
(i) El polinomio de interpolación debe satisfacer, en la medida de lo posible, los requisitos de convergencia que establecen en la Sección 3.6.
(ii) El modelo de variación de la variable de campo resultante del modelo polinomial debe ser independiente del sistema de coordenadas local.
(iii) El número de coordenadas generalizadas (α i) debe ser igual al número de grados de
libertad nodales (Φ i)
Un debate sobre la primera consideración, a saber, los requisitos de convergencia que debe cumplir el polinomio de interpolación, se da en la siguiente sección. De acuerdo a la segunda consideración, como se puede experimentar intuitivamente también, no es deseable tener una dirección preferencial de coordenadas. Es decir, la representación de la variable de campo dentro de un elemento, y por lo tanto el polinomio, no debe cambiar con un cambio en el sistema de coordenadas local (cuando una transformación lineal está hecha de un sistema de coordenadas cartesianas a otro). Esta propiedad se denomina isotropía geométrica o invariancia geométrica o isotropía espacial. Con el fin de lograr la isotropía geométrica, el polinomio debe contener términos que no violan la simetría en la figura 3.3, que se conoce como triángulo de Pascal en el caso de dos dimensiones y tetraedro Pascal en el caso de tres dimensiones. Por lo tanto, en el caso de un elemento simple bidimensional (triángulo), el polinomio de interpolación debe incluir términos que contengan x e y, pero no solo uno de ellos, además del término constante. En el caso de un elemento complejo bidimensional (triángulo), si se omite el termino x3, (o x2y) por cualquier razón, no se debe incluir y3 o (xy2) del mismo modo, con el fin de mantener la isotropía geométrica del modelo. Del mismo modo, en el caso de un elemento simple tridimensional (tetraedro), el polinomio de aproximación debe contener términos que contengan x, y, z, además del término constante.
La consideración final que trata de la selección de la orden del polinomio de interpolación, es hacer que el número total de términos involucrados en el polinomio sea igual al número de grados de libertad nodales del elemento. El cumplimiento de este requisito permite expresar los
coeficientes del polinomio en términos de las incógnitas nodales del elemento, como se indica en la sección 3.4.
3.6 REQUISITOS DE CONVERGENCIA
Dado que el método de elementos finitos, es una técnica numérica, se obtiene una secuencia de soluciones aproximadas a medida que el tamaño del elemento se reduce sucesivamente. Esta secuencia converge a la solución exacta si el polinomio de interpolación cumple los requisitos de convergencia siguientes:
(i) La variable de campo debe ser continua dentro de los elementos. Este requisito se satisface fácilmente por la elección de las funciones continuas en los modelos de interpolación. Dado que los polinomios son inherentemente continuos, el tipo de polinomio de interpolación de los modelos discutidos en la Sección 3.2 cumplen con este requisito.
(ii) Todos los estados uniformes de la variable de campo ɸ y sus derivadas parciales hasta el orden más alto que aparecen en el funcional I(ɸ) deben tener representación en el
polinomio de interpolación, cuando en el límite, el tamaño del elemento se reduzca a cero.La necesidad de este requerimiento puede ser explicado físicamente. Los valores constantes y uniformes de la variable de campo es el tipo más elemental de variación. Por lo tanto, el polinomio de interpolación debe ser capaz de dar un valor constante de la variable del campo dentro del elemento cuando los valores nodales son numéricamente idénticos. Del mismo modo, cuando el cuerpo se divide en elementos más pequeños y más pequeños, las derivadas parciales de la variable de campo aumentan hasta el más alto orden apareciendo en el funcional I(ɸ) y acercándose a un valor constante dentro de cada elemento.Por lo tanto, no se puede esperar obtener convergencia a la solución exacta, al menos el polinomio de interpolación permite el estado constante de derivación.
(iii) La variable de campo ɸ y sus derivadas parciales deben ser continuas en los límites o interfaces del elemento.
Se sabe que en el método de los elementos finitos el modelo de discretización para la función de continuidad es tomado como un conjunto de funciones continuas por partes, cada una definida en un solo elemento. Por ello se tendrá que evaluar integrales de la forma
∫ dr ϕd xr dx
para obtener los vectores y matrices característicos del elemento. Se conoce que la integral de una función continua a trozos, por ejemplo f(x), se define si f(x) permanece acotada en el intervalo de integración. Por lo tanto para que la integral
∫ dr ϕd xr dx
este definida, ɸ debe ser continua en el orden (r-1) para asegurarse que solo ocurran discontinuidades de salto finito en la r-ésima derivada de ϕ
Los elementos cuyos polinomios de interpolación satisfacen los requisitos (i) y (iii) se llaman elementos “compatibles” o “conformes” y aquellos que además satisfacen la condición (ii) se los conoce como elementos “completos”. Si la r-ésima derivada de la variable de campo ϕ es continua, entonces se dice que ϕ tiene continuidad Cr. En términos de esta notación, el requisito de integridad implicaϕ que debe tener continuidad Cr dentro de un elemento. Considerando el requisito de compatibilidad implica que ϕ debe tener continuidad en Cr-1 en las interfaces del elemento.
Si el polinomio de interpolación satisface todos los tres requerimientos, la solución aproximada converge a la solución correcta cuando se refina la malla y se utiliza un número cada vez mayor de elementos más pequeños. Para probar la convergencia matemáticamente, el refinamiento de malla tiene que ser hecho en forma regular a fin de satisfacer las siguientes condiciones:
(i) Todas las mallas anteriores (burdas) deben estar contenidas en las mallas refinadas.(ii) Los elementos deben ser más pequeños de tal manera que cada punto de la región
solución siempre puede estar dentro de un elemento.
(iii) La forma del polinomio de interpolación debe permanecer sin cambios durante el proceso de refinamiento de malla.
Las condiciones (i) y (ii) están ilustradas en la Figura 3.4, en la que una región bidimensional (en forma de un paralelogramo) esta discretizada con un número cada vez mayor de elementos. En la Figura 3.5 se asume que la región solución tiene límites curvos, se puede observar que las condiciones (i) y (ii) no se satisfacen si se utiliza elementos con límites rectos.
Notas:
1. Existen cuatro enfoques básicos para mejorar de forma adaptativa un modelo de elementos finitos:(a) Subdividir los elementos seleccionados (conocido como Método “H”).(b) Incrementar el orden del polinomio de los elementos seleccionados. (c) Mover los puntos de nodo en la topología elemento fijo (llamado Refinamiento “R”).(d) Definir una nueva malla con una mejor distribución de los elementos.
Varias combinaciones de estos enfoques son también posibles. La determinación de cuál de estos enfoques es el mejor para una determinada clase de problemas es una dificultad compleja que debe considerar, el costo del proceso de solución completo.
3.7 POLINOMIOS DE INTERPOLACION LINEAL EN TERMINOS DE COORDENADAS GLOBALES
Los polinomios de interpolación lineal corresponden a elementos simples.
3.7.1 Elemento simple en una dimensión
Considérese un elemento simple en una dimensional (segmento de línea) de longitud l con dos nodos, uno en cada extremo, como se muestra en la Figura 3.6. Si se denota a los nodos como i y j, y los valores nodales de la variable de campo ϕ como Φ i y Φ j. La variación de ϕ en el interior del elemento e asume que es lineal como
ϕ ( x )=α 1+α2 x (3.21)
donde:
α 1 y α 2 son los coeficientes desconocidos.
Mediante el uso las condiciones nodales
ϕ ( x )=Φi en x=x i
ϕ ( x )=Φ j en x=x j
y la ecuación (3.21), se obtiene
Φ i=α 1+α2 xi
Φ j=α1+α 2 x j
La solución de estas ecuaciones da
α 1=Φi x j−Φ j xi
l
(3.22)
α 2=Φ j−Φi
l
donde
x i y x j denotan las coordenadas globales de los nodos i y j, respectivamente.
Al sustituir las ecuaciones (3.22) en la ecuación (3.21) se obtiene
ϕ ( x )=(Φ i x j−Φ j x i
l )+(Φ j−Φi
l ) x (3.23)
Esta ecuación se puede escribir, después de reordenamiento de términos, como
ϕ ( x )=N i (x ) Φi+N j (x ) Φ j=[ N ( x ) ]Φ⃗(e)❑ (3.24)
donde:
[ N ( x ) ]=N i (x )+N j (x ) (3.25)
N i ( x )=x j−x
l (3.26a)
N j ( x )=x−x i
l (3.26b)
Φ⃗(e)={Φi
Φ j}=vector de incógnitas nodales del elemento e (3.27)
Hay que tener en cuenta que el superíndice “e” no se usa en Φ i, Φ j por simplicidad.
Las funciones lineales de x definidas en las ecuaciones (3.26) son llamadas Funciones de Interpolación o Funciones de Forma. Se debe observar que cada función de interpolación tiene un subíndice para indicar el nodo al que está asociado. Por otra parte, el valor de N i ( x ) puede ser
visto como 1 en el nodo i (x=x i) y 0 en el nodo j (x=x j ). Del mismo modo, el valor de la N j ( x ) será 0 en el nodo i y 1 en el nodo j. Estas representan las características comunes de las funciones de interpolación. Las mismas que serán igual a 1 en un nodo y 0 en cada uno de los otros nodos del elemento.
3.7.2 Elemento Simple Bidimensional
El elemento simple bidimensional es un triángulo de lados rectos con tres nodos, uno en cada esquina, como se indica en la figura 3.7. Si se etiquetan a los nodos como i, j, k numerando en el sentido de las agujas del reloj desde el nodo i, el cual es arbitrariamente especificado. Si las coordenadas globales de los nodos i, j, k, están dadas por (x i , y i), (x j , y j), y (xk , yk) y los valores
nodales de la variable de campo ϕ (x , y) por Φ i, Φ j y Φk, respectivamente. Si se supone que la variación de ϕ en el interior del elemento es lineal e igual a
ϕ ( x )=α 1+α2 x+α3 y (3.28)
Las condiciones nodales
ϕ ( x , y )=Φ i en ( x=x i , y= y i )
ϕ ( x , y )=Φ j en ( x=x j , y= y j )
ϕ ( x , y )=Φk en ( x=xk , y= yk )
conducen al sistema de ecuaciones
Φ i=α 1+α2 xi+α3 y i
Φ j=α1+α 2 x j+α3 y j (3.29)
Φk=α 1+α2 xk+α3 yk
La solución de las ecuaciones (3.29) conduce a
α 1=12 A
(aiΦ i+a jΦ j+ak Φk )
α 2=12 A
(biΦ i+b jΦ j+bk Φk ) (3.30)
α 1=12 A
(ci Φi+c jΦ j+ck Φk)
donde: A es el área del triángulo i j k dado por
A=12 [1 x i y i
1 x j y j
1 xk yk]=12 (x i y j+x j yk+xk y i−x i yk−x j yi−xk y j) (3.31)
a i=x j yk−xk y j
a j=xk y i−x i y k
ak=x i y j−x j y i
b i= y j− yk
b j= y k− y i (3.32)
bk= y i− y j
c i=xk−x j
c j=x i−xk
ck=x j−x i
Sustituyendo las ecuaciones (3.30) en la ecuación (3.28) y reordenando los términos de la ecuación
ϕ ( x , y )=N i ( x , y )Φ i+N j ( x , y )Φ j+N k ( x , y )Φk=[ N (x , y) ]Φ⃗(e) (3.33)
[ N (x , y)]= [N i ( x , y )+N j (x , y )+N k ( x , y ) ] (3.34)
N i ( x , y )= 12 A
(ai+b i x+c i y )
N j ( x , y )= 12 A
(a j+b j x+c j y) (3.35)
N k ( x , y )= 12 A
(ak+bk x+ck y )
y
Φ⃗e={Φ i
Φ j
Φk}=vector de incognitas nodales del elemento e (3.36)
Notas:
1. Cuando la función de forma N i ( x , y ) es evaluada en el nodo i ( xi , y i ) se obtiene
N i ( x i , y i )=12 A
(ai+b i x i+c i y i)
N i ( x i , y i )=12 A
¿ (3.37)
Se puede demostrar que N i ( x , y )=0 en los nodos j y k, y en todos los puntos sobre la
línea que pasa a través de estos nodos. Del mismo modo, las funciones de forma N j y N k tienen un valor de 1 en los nodos j y k, respectivamente, y 0 en los otros nodos.
2. Dado que las funciones de interpolación son lineales en x e y, el gradiente de la variable de campo en las direcciones x e y será constante. Por ejemplo,
∂ ϕ ( x , y )∂ x
= ∂∂ x
[ N (x , y)] Φ⃗(e)=(b¿¿ iΦ i+b jΦ j+bk Φk )/2 A ¿ (3.38)
Dado que Φ i, Φ j, y Φk son valores nodales de ϕ, bi, bj, y bk son constantes cuyos valores
son fijos una vez que se especifican las coordenadas nodales, (∂ ϕ /∂ x ) serán una constante. Un valor constante del gradiente de ϕ dentro de un elemento significa que muchos elementos pequeños tienen que ser utilizados en lugares en donde se espera cambios rápidos en el valor de ϕ.
3.8 POLINOMIOS DE INTERPOLACIÓN PARA CANTIDADES VECTORIALES
En las ecuaciones (3.21), (3.28), y (3.39), la variable de campo ϕ se supuso que es una variable escalar. En algunos problemas la variable de campo podría ser una cantidad vectorial teniendo magnitud y dirección, (por ejemplo desplazamiento en mecánica de sólidos). En tales casos, el procedimiento usual es el procedimiento habitual es resolver el vector en componentes paralelas a los ejes de coordenadas y tratar a estas componentes como las cantidades desconocidas. Por lo tanto, habrá más de una incógnita en cada nodo para este tipo de problemas. El número de grados de libertad en un nodo será uno, dos, o tres, dependiendo si el problema es de uno, dos, o tres dimensiones. La notación utilizada para los componentes del vector se muestra en la Figura 3.9.
Todos los componentes son designados por el mismo símbolo, Φ, con un subíndice que denota los componentes individuales. Los subíndices, en cualquier nodo, se ordenan en secuencia x, y, z a partir de la componente x. Las componentes x, y, z de la cantidad vectorial (campo variable) ɸ se denota por u, v, w, respectivamente.
La función de interpolación para una cantidad vectorial en un elemento en una dimensión será igual a la de una magnitud escalar ya que sólo hay una incógnita en cada nodo. Por lo tanto,
u ( x )=N i ( x )Φ i+N j ( x ) Φ j=[ N (x )]Φ⃗(e) (3.50)
donde
[ N ( x ) ]=[ N i(x) N j(x)],
Φ⃗(e)={Φi
Φ j}.
y u es la componente de ɸ (por ejemplo, desplazamiento) paralelo al eje del elemento que se asume que coincide con el eje x. las funciones de forma N i(x ) y N j(x) son las mismas dadas en las ecuación (3.26).
Para un elemento (simple) triangular en dos dimensiones, el modelo de interpolación lineal de la ecuación (3.33) será válida para cada una de las componentes de ɸ, llamadas u y v. Por lo tanto
u ( x , y )=N i ( x , y )Φ2i−1+N j ( x , y )Φ2 j−1+N k (x , y )Φ2k−1 (3.51)
v ( x , y )=N i (x , y )Φ2 i+N j ( x , y ) Φ2 j+N k ( x , y )Φ2k (3.51)
donde
N i, N j, y N k son los mismo definidos por la ecuación (3.35)
Φ2i−1, Φ2 j−1, y Φ2k−1 son los valores nodales de u (componente de ɸ paralela al eje x)
Φ2i, Φ2 j, y Φ2k son los valores nodales de v (componente de ɸ paralela al eje y)
Ahora en forma matricial
ϕ ( x , y )={u (x , y )v (x , y )}=[ N (x , y )]Φ⃗(e)
(3.53)
donde
N=[N i(x , y ) 0 N j(x , y) 0 N k (x , y ) 00 N i(x , y) 0 N j(x , y) 0 N k (x , y)] (3.54)
Φ⃗(e)={Φ2i−1
Φ2 i
Φ2 j−1
Φ2 j
Φ2k−1
Φ2k
}=vector de grados de libertad nodal (3.55)
3.9 POLINOMIOS DE INTERPOLACIÓN LINEAL EN TÉRMINOS DE COORDENADAS LOCALES
La obtención de los vectores y matrices característicos de un elemento involucran la integración de funciones de forma, sus derivadas o incluso ambas, sobre el elemento. Estas integrales se pueden evaluar con facilidad si las funciones de interpolación están escritas en términos de un sistema de coordenadas local que se define por separado para cada elemento. En este apartado se obtendrán las funciones de interpolación de elementos simples en términos de un tipo particular de sistemas de coordenadas locales, conocidos como sistemas de coordenadas naturales. Un sistema de coordenadas naturales es un sistema de coordenadas local que permite la especificación de cualquier punto dentro del elemento a través de un conjunto de números adimensionales cuya magnitud se encuentra entre 0 y 1. Por lo general, los sistemas naturales de coordenadas se eligen de modo que algunas de las coordenadas naturales tengan magnitud unitaria en los nodos primarios o esquinas del elemento.
3.9.1 Elemento en una dimensión
Las coordenadas naturales para un elemento en una dimensión (lineal) se muestran en la Figura 3.10.
Cualquier punto P dentro del elemento se identifica por dos coordenadas naturales L1 y L2, que están definidas como
L1=l1l=
x2−x
x2−x1
L2=l2l=
x−x1x2−x1
donde (3.59)
l1, l2 son distancias mostradas en la Figura 3.10.
l es la longitud del elemento.
Ya que este es un elemento undimensional, debería haber solo una coordenada independiente que defina al punto P. Esto es cierto incluso con coordenadas naturales, porque las dos coordenadas naturales L1 y L2 no son independientes pero están relacionadas por
L1+L2=l1l+
l2l=1 (3.60)
Un estudio de las propiedades de L1 y L2 revela algo muy interesante. Las coordenadas naturales L1 y L2 son también funciones de forma para el elemento lineal. Por lo tanto
N i=L1 N j=L2 (3.61)
Cualquier punto x dentro del elemento puede ser expresado como una combinación lineal de las coordenadas nodales de los nodos 1 y 2, como
x=x1L1+x2L2 (3.62)
donde
L1 y L2 son interpretadas como Funciones de Ponderación.
Por lo tanto, la relación entre las Coordenadas Naturales y Cartesianas de cualquier punto P puede ser escrito en forma matricial como
{1x}=[ 1 1x1 x2]{L1
L2} (3.63)
O también
{L1L2}= 1
x2−x1 [ x2 −1−x1 1 ]{1x}=1l { x2 −1
−x1 1 }{1x } (3.64)
Si f es una función de L1 y L2, la derivación de f con respecto a x puede llevare a cabo mediante la Regla de la Cadena, esto es
dfdx
= ∂ f∂ L1
∂ L1∂ x
+ ∂ f∂ L2
∂ L2∂ x
(3.65)
donde, de la ecuación (3.59)
∂ L1∂ x
= −1x2−x1
∂ L1∂ x
= 1x2−x1
(3.66)
La integración de los términos polinomios en coordenadas naturales puede ser desarrollado al usar la formula simple
∫❑
❑
L1α L2
β dx= α ! β !(α +β+1 )!
l
donde (3.67)
α ! es el factorial de α dado por α !=α (α−1 ) (α−2 ) …(1)
La ecuación (3.67) es válida para ciertas combinaciones de α y β en la Tabla 3.1.
3.9.2 Elemento Bidimensional (Triángulo en dos dimensiones)
Un sistema de coordenadas natural para un elemento triangular (también conocido como sistema de coordenadas triangular) es mostrado en la Figura 3.11(a). Si bien, tres coordenadas L1, L2, L3
son usadas para definir un punto P, solo dos de ellas son independientes. Las coordenadas naturales están definidas como
L1=A1
A, L2=
A2
A, L3=
A3
A (3.68)
donde
A1 es el área del triángulo formado por los puntos P, 2 y 3.
A2 es el área del triángulo formado por los puntos P, 1 y 3.
A3 es el área del triángulo formado por los puntos P, 1 y 2.
A es el área del triángulo 123, mostrado en la Figura 3.11.
Porque Li están definidos en términos de áreas, están son conocidas como Coordenadas de Área. Ya que
A=A1+A2+ A3
se tiene
A1
A+
A2A
+A3A
=L1+L2+L3=1 (3.69)
Un estudio de las propiedades de L1, L2 y L3 revela algo muy interesante. Las coordenadas
naturalesL1, L2 y L3 son también funciones de forma para el elemento lineal. Por lo tanto
N i=L1 N j=L2 N k=L3 (3.70)
La relación entre las coordenadas naturales y cartesianas está dada por
x=x1L1+x2L2+x3L3 (3.71a)
y= y1L1+ y2L2+ y3L3 (3.71b)
Para cada conjunto de coordenadas naturales ( L1 , L2 , L3) (las cuales no son independientes pero
están relacionadas por la ecuación (3.69)) le corresponde un conjunto único de Coordenadas Cartesianas ( x , y ). En el nodo 1 L1=1, y L2=L3=0, y así para cada nodo. La relación lineal entre
Li(i=1,2,3) y (x , y ) implica que los contornos de L1 son líneas rectas ubicadas igualmente
paralelas a los lados 2, 3 del triángulo (en el cual L1=0), etc, como se muestra en la Figura 3.11(b).
Las ecuaciones (3.69) y (3.71) pueden expresarse en forma de matriz como
{1xy }=[ 1 1 1x1 x2 x3y1 y2 y3
]{L1L2L3
} (3.72)
La ecuación anterior puede ser invertida para obtener
{L1L2L3
}= 12 A [ x2 y3−x3 y2 y2− y3 x3−x2
x3 y1−x1 y3 y3− y1 x1−x3x1 y2−x2 y1 y1− y2 x2−x1
]{1xy} (3.73)
donde A es el área del triángulo 1, 2, 3, dada por
A=12 [1 x1 y11 x2 y21 x3 y3
] (3.74)
Si f es una función de L1 , L2 , y L3 la derivación con respecto a x e y puede desarrollarse como
∂ f∂ x
=∑i=1
3∂ f∂ Li
∂ Li
∂ x
∂ f∂ y
=∑i=1
3∂ f∂ Li
∂ Li
∂ y
(3.75)
donde
∂ L1∂ x
=y2− y32 A
,∂ L1∂ y
=x3−x22 A
∂ L2∂ x
=y3− y12 A
,∂ L2∂ y
=x1−x32 A
∂ L3∂ x
=y1− y22 A
,∂ L3∂ y
=x2−x12 A
(3.76)
Para integrar los términos del polinomio en Coordenadas Naturales, se puede usar las siguientes relaciones
∫L
❑
L1α L2
β ∙ d L=¿ α ! β ! γ !( α+β+γ )!
L ¿
(3.77)
∬A
❑
L1α L2
β L3L ∙ d A= α ! β ! γ !
(α+β+γ+2 ) !2 A
(3.77)
La ecuación (3.77) es usada para evaluar una integral que es una función de la longitud a lo largo de un borde de un elemento. por lo tanto, L denota la distancia entre los nodos que definen el borde bajo consideración. La ecuación (3.78) es usada para evaluar las integrales de área. La Tabla 3.2 da los valores de la integral para varias combinaciones de α , β, y γ .
