Hidraulika 2 Kinematički talas - vežba

1/10

Kinematički talas

Matematički model

Za proračun neustaljenog tečenja u otvorenim kanalima koriste se Sen-Venanove jednačine (Adhémar Jean Claude Barré de Saint-Venant, francuski matematičar) koje predstavljaju sistem sastavljen od jednačine kontinuiteta (JK) i dinamičke jednačine (DJ):

JK: 𝜕ℎ

𝜕𝑡+

1

𝐵

𝜕𝑄

𝜕𝑥= 0, (1)

DJ: 𝜕𝑄

𝜕𝑡+

𝜕

𝜕𝑥

𝑄

𝐴+ 𝑔𝐴

𝜕ℎ

𝜕𝑥− 𝑔𝐴𝐼 +

1

2𝐶

𝑄

𝐴𝑅= 0, (2)

(A) (B) (C) (D) (E)

gde je (A) inercijalni član, odnosno lokalna komponenta ubrzanja,

(B) je promena brzinske visine duž toka, odnosno konvektivna komponenta ubrzanja,

(C) je doprinos sila pritiska,

(D) je doprinos sile težine u pravcu tečenja, a

(E) je uticaj sile trenja.

U zavisnosti od toga šta konkretno želimo da modeliramo, nije neophodno koristiti „pune“ Sen-Venanove jednačine sa svim članovima. U kanalima velikog podužnog nagiba 𝐼 u kojima se javlja buran režim tečenja (𝐹𝑟 > 1), određeni članovi u dinamičkoj jednačini će biti značajno veći od preostalih. U tom slučaju dominantni članovi su: sila težine (D) – jer je sila težine očigledno proporcionalna nagibu dna kanala 𝐼 , i sila trenja (E) – jer sila trenja raste sa povećanjem brzine (odnosno protoka) a u burnom režimu javljaju se velike brzine tečenja. Preostali članovi u DJ su nekoliko redova veličine (i do preko 100 puta) manji u odnosu na (D) i (E) i kao takvi se u tom slučaju mogu zanemariti.

Matematički model za neustaljeno tečenje koji nastaje zanemarivanjem članova (A)-(C) naziva se model kinematičkog talasa:

JK: 𝜕ℎ

𝜕𝑡+

1

𝐵

𝜕𝑄

𝜕𝑥= 0, (3)

DJ: 𝑔𝐴𝐼 =1

2𝐶

𝑄

𝐴𝑅. (4)

Zbog navedenih zanemarenja u DJ, model kinematičkog talasa može se primeniti samo kod tečenja sa dominantim uticajem trenja i sile težine u pravcu tečenja u odnosu na inercijalne i sile pritiska. Takođe, model kinematičkog talasa ne bi trebalo primenjivati u slučajevima kad postoji uticaj uspora na nizvodnom kraju kanala.

Hidraulika 2 Kinematički talas - vežba

2/10

Dinamička jednačina (4) ukazuje na to da su sila težine u pravcu tečenja i sila trenja u ravnoteži. Ako se umesto koeficijenta trenja 𝐶 upotrebi Maningov koeficijent trenja 𝑛, čiji odnos glasi:

𝐶 =2𝑔𝑛

𝑅 ⁄, (5)

dinamička jednačina (4) uzima nešto poznatiji oblik:

𝐼 =𝑛 𝑄

𝐴 𝑅 ⁄⇒ 𝑄 =

1

𝑛𝐴𝑅 / 𝐼 , (6)

koji se naziva Šezi-Maningova jednačina koja opisuje ustaljeno jednoliko tečenje u otvorenim kanalima. Ako se trenutno pitate kako jednačina ustaljenog tečenja može da modelira neustaljenost – potpuno je opravdano. Odgovor na tu dilemu krije se u jednačini kontinuiteta (3).

U knjizi prof. Ivetića (Računska hidraulika – otvoreni tokovi, poglavlje 1.2.2 i uvod u poglavlje 1.3) može se pročitati o tome da se neustaljenost u otvorenim kanalima može opisati putem elementarnih poremećaja između dva preseka. Za neki elementarni poremećaj koji se kreće brzinom 𝑐, može se napisati zakon održanja mase između dva bliska preseka za neki vremenski trenutak (Slika 1):

𝑐∆ ℎ𝐵 = ∆ 𝑄. (7)

Slika 1. Skica elementarnog poremećaja između dva bliska preseka

Deljenjem obe strane prethodnog izraza sa ∆ ℎ, ako se dopusti da se razmak između preseka smanjuje tako da važi ∆𝑥 → 0, jednačina (7) postaje diferencijalna:

𝑐𝐵 =𝜕𝑄

𝜕ℎ. (8)

Član 𝜕𝑄𝜕𝑥

iz jednačine kontinuiteta se sad može napisati kao:

𝜕𝑄

𝜕𝑥=

𝜕𝑄

𝜕ℎ

𝜕ℎ

𝜕𝑥= 𝑐𝐵

𝜕ℎ

𝜕𝑥, (9)

čime jednačina kontinuiteta (3) napokon postaje:

Hidraulika 2 Kinematički talas - vežba

3/10

𝜕ℎ

𝜕𝑡+ 𝑐

𝜕ℎ

𝜕𝑥= 0. (10)

Nova jednačina kontinuiteta (10) i Šezi-Maningova jednačina (6) zajedno sačinjavaju matematički model kinematičkog talasa. Kao nepoznate veličine u obe jednačine javljaju se dubina ℎ i brzina 𝑣 (ili protok 𝑄).

Brzina propagacije elementarnog poremećaja 𝑐 naziva se još i brzinom propagacije talasa i njena vrednost zavisi od brzine tečenja i oblika kanala. Neke karakteristične vrednosti brzine proragacije talasa date su u Tabeli 1.

Tabela 1. Veza brzine propagacije talasa 𝑐 i brzine tečenja u kanalu 𝑣

Oblik poprečnog preseka Veza 𝒄 i 𝒗 Pravougaoni 𝑐 = 5 3⁄ 𝑣 Parabolični 𝑐 = 1,44𝑣 Trougaoni 𝑐 = 4 3⁄ 𝑣

Numerički model

Numerički model dobiće se diskretizacijom jednačine kontinuiteta (10). Pošto se u burnom režimu poremećaji prostiru samo u nizvodnom smeru, naš numerički model bi morao da to pravilno oslikava. Pošto u određeni presek u kanalu poremećaj može stići samo iz uzvodnog preseka, diskretizacija po prostoru obaviće se konačnim razlikama unazad:

𝑐𝜕ℎ

𝜕𝑥≈ 𝑐 −

ℎ − ℎ −

∆𝑥, (11)

gde je sa 𝑖 obeležen poprečni presek, a sa 𝑛 vremenski trenutak. Pošto se simulacija neustaljenog tečenja po vremenu odvija unapred (a kako drugačije može vreme da teče), izvod po vremenu diskretizovaće se konačnim razlikama unapred:

𝜕ℎ

𝜕𝑡≈

ℎ + − ℎ

∆𝑡. (12)

Za ovu „strategiju“ diskretizacije često se sreće naziv FTBS = Forward in time, backward in space (Slika 2). Konačno, diskretizovana jednačina kontinuiteta (1010) glasi:

ℎ + − ℎ

∆𝑡+ 𝑐 −

ℎ − ℎ −

∆𝑥= 0, (13)

odnosno:

ℎ + = ℎ −𝑐 − ∆𝑡

∆𝑥(ℎ − ℎ − ) = ℎ − 𝐶𝑟 − (ℎ − ℎ − ) = 0. (14)

Hidraulika 2 Kinematički talas - vežba

4/10

Slika 2. Numerička šema FTBS diskretizacije

Član 𝐶𝑟 = 𝑐∆𝑡∆𝑥

je zapravo koeficijent i naziva se Kurantov broj, koji zapravo predstavlja

odnos stvarne (fizičke) brzine prostiranja poremećaja 𝑐 i računske brzine ∆𝑥 ∆𝑡⁄ . U računskoj hidraulici, Kurantov broj zauzima posebno mesto – kod svih eksplicitnih numeričkih modela, Kurantov broj ukazuje na numeričku stabilnost:

Za vrednosti 𝑪𝒓 ≤ 𝟏, eksplicitni numerički modeli su stabilni; Pri vrednostima 𝑪𝒓 > 𝟏 oni su zasigurno nestabilni.

Ovo ukazuje na potrebu da se tokom primene numeričkog modela prostorni i vremenski korak (∆𝑥,∆𝑡) usvoje tako da ovaj uslov stabilnosti bude zadovoljen u trajanju čitave simulacije.

Za vrednost 𝐶𝑟 = 1 dešava se zanimljiv numerički fenomen – iako je sam model stabilan, talas (poremećaj) u kanalu se pri ovoj vrednosti 𝐶𝑟 samo translira od preseka do preseka, bez difuzije. Difuzija je fenomen „ublaženja“ talasa na nekoj deonici – podsetiti se iz prethodne vežbe kako se hidrogram 𝑄(𝑡) koji ulazi u akumulaciju i talas koji iz nje izlazi razlikuju u najvećoj vrednosti na račun toga što se baza hidrograma povećava! Međutim, pojava translacije talasa u nekoj deonici kanala bez ublaženja pri 𝐶𝑟 = 1 nije fizički moguća. Prema tome, u svim praktičnim primenama vrednost Kurantovog broja 𝐶𝑟 treba da bude manja od 1. Analogno tome, sa smanjivanjem Kurantovog broja, efekat difuzije talasa (hidrograma) se pojačava – manje 𝐶𝑟 = veća difuzija odnosno veće ublaženje.

Napomena 1: Kratka diskusija o Kurantovom broju:

1. Uslov stabilnosti 𝐶𝑟 ≤ 1 naziva se često Kurantov uslov (stabilnosti). 2. Umesto pojma Kurantov uslov često se sreće ekvivalentan pojam – uslov Kurant-

Fridrih-Levi ili CFL uslov (Courant–Friedrichs–Lewy). 3. Uslov stabilnosti Cr ≤ 1 ukazuje na to da računska brzina ∆𝑥 ∆𝑡⁄ mora biti veća od

stvarne (fizičke) brzine prostiranja poremećaja u kanalu 𝑐. Iako za ovaj uslov postoji strogo matematički dokaz, dovoljno je upamtiti sledeće: ako dopustimo da talas putuje brže od našeg proračuna, nakon svakog koraka u proračunu deo informacija biva izgubljen, „pobegne“ od našeg numeričkog modela koji sad radi sa nepotpunim informacijama. Nakon par takvih vremenskih koraka vaš model više ne opisuje onaj isti fizički sistem kao na početku proračuna. Alternativno, jedna analogija koja se lako

Hidraulika 2 Kinematički talas - vežba

5/10

pamti: zamislite voz koji putuje brže nego vaš auto pored njega; svakog trenutka voz se sve više udaljava od vas, dok je nakon nekog vremena toliko daleko da vi više niste u stanju da ga vidite.

Napomena 2: Kinematički talas - Primena metode karakteristika:

Posmatra se jednačina (10), uz pretpostavku (zbog jednostavnosti) da je brzina propagacije 𝑐 približno konstantna duž toka. U fizičkom smislu predstavlja jednačinu transporta veličine „ℎ“ čistom advekcijom.

Ako se pogleda totalni izvod dubine ℎ(𝑥, 𝑡):

𝑑ℎ

𝑑𝑡=

𝜕ℎ

𝜕𝑡+

𝜕ℎ

𝜕𝑥

𝑑𝑥

𝑑𝑡

Vidi se da to odgovara polaznoj jednačini pod uslovom da je 𝑑𝑥𝑑𝑡 = 𝑐. Drugim rečima, polazna

jednačina (jednačina kinematičkog talasa) može se svesti na dve obične diferencijalne jednačine:

𝑑𝑥

𝑑𝑡= 𝑐

𝑑ℎ

𝑑𝑡= 0

⎭

⎬

⎫

Prva jednačina predstavlja familiju pravih, međusobno paralelnih linija (pod pretpostavkom da je 𝑐 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡.) u koordinatnom sistemu (𝑥, 𝑡), koje zovemo karakteristike. Na osnovu druge jednačine može se zaključiti da je dubina duž tih linija konstantna. Fizička interpretacija bi bila da se sve dubine transliraju nizvodno brzinom 𝑐, što se može napisati kao (Slika 3):

ℎ(𝑥, 𝑡) = ℎ(𝑥 − 𝑐∆𝑡, 𝑡 − ∆𝑡)

Ovo predstavlja i tačno rešenje polazne jednačine. Drugim rečima, tačno rešenje jednačine kinematičkog talasa predstavlja prostu translaciju dubina odgovarajućom brzinom. S obzirom da se radi o translaciji bez prigušenja pika talasa duž toka, jasno je da to ne odgovara u potpunosti realnim uslovima (što je cena izostavljanja članova u dinamičkoj jednačini).

Hidraulika 2 Kinematički talas - vežba

6/10

Slika 3. Propagacija dubine (ℎ) duž pojedinih karakteristika. S obzirom da brzina 𝑐 zavisi od dubine, brzina propagacija nije zaista konstantna. To samo znači da će se različite dubine prostirati različitim brzinama, ali

njihova vrednost se duž karakteristika ne menja.

Ako sada uporedimo numeričku šemu FTBS (14) sa tačnim rešenjem, vidimo odakle dolazi disperzija i prigušenje talasa koje daje numeričko rešenje (Slika 2). Numerička mreža je formirana iz uslova ∆𝑥

∆𝑡= 𝑐.

Prema FTBS šemi, dubina ℎ + se dobija kao interpolovana vrednost između vrednosti ℎ − i ℎ , gde interpolaciju određuje vrednost Kurantovog broja. Što je Kurantov broj bliži jedinici, rešenje se približava tačnom rešenju (generalno, za sve eksplicitne šeme važi da ih je poželjno koristiti što bliže granici stabilnosti – granica je u ovom slučaju uslov 𝐶 = 1). Interpolacija iz koraka u korak dovodi do prigušenja talasa, što zapravo predstavlja posledicu numeričke difuzije (ili „greške“). Međutim, ova numerička „greška“ daje rezultat koji je bliži realnim uslovima, zbog čega bi „strategija“ mogla da bude da se formira model sa kontrolisanom numeričkom difuzijom, tako da rezultati modela odgovaraju prirodi (osmotrenoj propagaciji talasa). Na primer, tako bi mogla da se interpretira Maskingam-Kanž metoda (videti Poglavlje 3.4 knjige).

Slika 4. Poređenje metode karakteristika i FTBS numeričke šeme

Hidraulika 2 Kinematički talas - vežba

7/10

Zadatak 7 – kinematički talas

Slika 5. Skica kanala sa položajem računskih preseka

Matematički i numerički model za priloženi zadatak dati su u prethodnom tekstu. U napomenama zadatka, savetuje se jedno pojednostavljenje: da trenje deluje samo u dnu kanala. Ova pretpostavka opravdana je kod kanala kod kojih je širina u dnu značajno veća od dubine (𝐵 ℎ⁄ >

5), i naziva se pretpostavka o širokom pravougaonom koritu. U tom slučaju, prilikom proračuna okvašenog obima (koji je po definiciji dužina u poprečnom preseku na kojoj u deluju naponi trenja) za pravougaono korito važi:

𝑂 = 𝐵 + 2ℎ = 𝐵 1 + 2ℎ

𝐵≈ 𝐵, (15)

pri čemu se izraz za hidraulički radijus svodi na:

𝑅 =𝐴

𝑂≈

𝐵ℎ

𝐵= ℎ. (16)

Shodno prethodnom izrazu, Šezi-Maningova jednačina svodi se na:

𝑄 =1

𝑛𝐵ℎ / 𝐼 . (17)

Početni uslov definisan je u tekstu zadatka – jednoliko i ustaljeno tečenje pri protoku 𝑄 . Pošto je korito pravougaono, neophodno je odrediti početnu, normalnu dubinu ℎ iz Šezi-Maningove jednačine.

Granični uslov na uzvodnoj strani je hidrogram talasa definisan dijagramom 𝑄(𝑡). Pošto će biti primenjen model kinematičkog talasa, treba očekivati da će režim tečenja biti buran za čitavo vreme proračuna. U burnom režimu poremećaji ne mogu da putuju uzvodno, tako da nije neophodan nizvodni granični uslov. Umesto njega, koristiće se Šezi-Maningova jednačina (6) u svakom preseku.

0

Hidraulika 2 Kinematički talas - vežba

8/10

Pošto je računski korak ∆𝑥 definisan u tekstu zadatka, stabilnost numeričkog modela pri uslovu:

𝐶𝑟 =𝑐∆𝑡

∆𝑥< 1, (18)

možemo obezbediti samo odabirom pogodnog vremenskog koraka ∆𝑡. Postavićemo ograničenje Kurantovog broja tako da u toku čitavog proračuna važi:

∆𝑡 < ∆𝑡 =∆𝑥

𝑐, (19)

pri čemu je 𝑐 najveća brzina propagacije talasa koja se može javiti u toku proračuna. Iako ova vrednost nije unapred poznata, očekuje se da će se ona javiti pri najvećem protoku za vreme trajanja proračuna 𝑄 = 40𝛼 m3/s (vrh hidrograma).

Postupak određivanja 𝑐 glasi:

1. Za protok 𝑄 = 40𝛼 m3/s odrediti normalnu dubinu ℎ , 2. Na osnovu ℎ odrediti 𝑣 = 𝑄 𝐵ℎ⁄ , 3. Konačno 𝑐 = 5 3 𝑣⁄ (pravougaono korito), 4. Na osnovu (19) odrediti ∆𝑡 , zaokružiti slobodno na manji pogodan broj (na strani

sigurnosti; na primer za ∆𝑡 = 2,654 s, bezbedno je usvojiti ∆𝑡 = 2,5 s).

Primer rešavanja zadatka dat je u nastavku. Za proračun je u ovom zadatku neophodno 5 preseka duž kanala – jedan uzvodni sa graničnim uslovom hidrograma 𝑄(𝑡), i 4 nizvodno na međusobnim rastojanjima ∆𝑥 = 𝐿/4 metara (preseci 1-4).

α = 8

β = 12

B = 23 m

L = 1400 m

Q0 = 240 m3/s ⇒ hn,0 = 1.611 m

Qmax = 480 m3/s ⇒ hn,max = 2.442 m ⇒ vn,max = 8.548 m/s ⇒ cmax = 14.246 m/s ⇒ Δtmax = 24.6 s

Id = 0.005 Δtusv = 20.0 s

n = 0.015 m-1/3s

Δx = 350 m

Hidraulika 2

K

inematički talas - vežba

9/10 Tabela 2. Praračun transform

acije hidrograma u deonici kanala m

odelom kinem

atičkog talasa (prikazano samo prvih

10 minuta od nailaska talasa)

Hidraulika 2 Kinematički talas - vežba

10/10

Slika 6. Transformacija talasa u deonici kanala: hidrogrami u 5 preseka

Slika 7. Transformacija talasa u deonici kanala: nivogrami u 5 preseka

200

250

300

350

400

450

500

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900

Q [m

3 /s]

t [sec]

Ulazni hidrogram

Presek 1

Presek 2

Presek 3

Presek 4

1.5

1.6

1.7

1.8

1.9

2.0

2.1

2.2

2.3

2.4

2.5

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900

h [m

]

t [sec]

Ulazni nivogram

Presek 1

Presek 2

Presek 3

Presek 4

HIDRAULIKA 2 ve�be

7. zadatak Kinematiqki talas

U kanalu pravougaonog popreqnog preseka, xirine B = 15+α m, du�ine L = 1000+50α m, uspostavljeno je jednoliko teqenje pri proticaju od Q0 = 20β m3/s. Nagibdna kanala je ID = 0.005, a Maningov koeficijent hrapavosti je n = 0.015 m−1/3s.U trenutku t = 0 sa uzvodne strane dolazi talas qiji je hidrogram prikazan nagrafiku:

Q [m3/s]

t [min]

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1020β

40α

Izraqunati i grafiqki predstaviti hidrograme za qetiri nizvodna profila (L/4,L/2, 3L/4, L). Raqunati sa du�inskim korakom ∆x = L/4 i odgovaraju�im vremen-skim korakom ∆t, tako da bude zadovoljena stabilnost numeriqke xeme.

Napomene:

• pretpostaviti da trenje deluje samo po dnu kanala;

• pretpostaviti da se dinamiqka jednaqina mo�e aproksimirati Xezijevomjednaqinom za jednoliko teqenje;

• na osnovu dobijenih rezultata izraqunati sve qlanove u kompletnoj di-namiqkoj jednaqini za jedan element toka, u izabranom vremenskom intervalui izraziti ih procentualno u odnosu na qlan koji pokazuje uticaj trenja.