Naizmenicˇni signali i osnovna elektronska kolamikroelektronika.elfak.ni.ac.rs/files/AC.pdf · koja dva signala, pri cˇemu jedino treba voditi racˇuna o tome koji se signal od

Naizmenicni signali i osnovnaelektronska kola

Zoran Prijic, Aneta Prijic

Univerzitet u NišuElektronski fakultet

Katedra za mikroelektroniku

Niš, 2013.

Sadržaj

1 Uvod 1

2 Naizmenicni signali 3

2.1 Definicije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.2 Polarna reprezentacija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.3 Algebarska reprezentacija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.4 Vršna, efektivna i srednja vrednost . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.4.1 Sinusni signal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.4.2 Drugi oblici naizmenicnih signala . . . . . . . . . . . 12

3 Osnovna elektronska kola 17

3.1 Otpornik u AC kolu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.2 Kondenzator u AC kolu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3.2.1 Prelazni režim kondenzatora . . . . . . . . . . . . . . 213.3 RC kolo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.3.1 RC kolo sa paralelnim otpornikom . . . . . . . . . . 253.4 Kalem u AC kolu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.4.1 Prelazni režim kalema . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.5 RL kolo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.5.1 RL kolo sa paralelnim otpornikom . . . . . . . . . . . 323.6 RLC kolo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.7 Rezonansa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

Dodatak A Brojevi u tehnickoj literaturi 43

A.1 Formati brojeva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43A.2 Upotreba kalkulatora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

Dodatak B Osnovne operacije sa kompleksnim brojevima 49

B.1 Definicije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49B.2 Sabiranje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50B.3 Oduzimanje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50B.4 Množenje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51B.5 Deljenje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

i

ii SADRŽAJ

Dodatak C Izracunavanje efektivne i srednje vrednosti 53

C.1 Signal oblika testere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53C.2 Signal oblika trougla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54C.3 Signal oblika pravougaonika . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

Dodatak D Izracunavanje napona u prelaznom režimu kondenzatora 57

Dodatak E Odredivanje napona na kondenzatoru u RC kolu 59

Dodatak F Izracunavanje struje u prelaznom režimu kalema 61

Glava 1

Uvod

Ovaj tekst namenjen je pre svega studentima Elektronskog fakultetakao pomocni materijal u savladavanju gradiva iz predmeta ELEKTRONSKE

KOMPONENTE, na prvoj godini studija. U materijalu je dat kratak pregledosnovnih pojmova koji se odnose na naizmenicne signale, ukljucujuci i opisnaizmenicnih signala koji se najcešce srecu u praksi. Pored toga, data je ikratka analiza nekih osnovnih elektronskih kola kod kojih se naizmenicnisignali koriste kao pobuda. Za analizu kola upotrebljena je varijanta pro-grama SPICE, cija se besplatna verzija pod nazivom LTspiceIV može pre-uzeti sa Web lokacije http://www.linear.com. Studenti se ohrabruju danauce simulaciju kola jer autori smatraju da ce im to znanje biti od koristi iu radu na višim godinama studija.

Autori naglašavaju da ovaj materijal ne može da zameni znanja kojastudenti treba da steknu iz predmeta ELEKTROTEHNIKA, kako bi uspešnosavladali gradivo iz predmeta ELEKTRONSKE KOMPONENTE. Kvalitetanizvor informacija za detaljnije proucavanje ovde opisanih pojava može senaci npr. na http://www.ibiblio.org/kuphaldt/electricCircuits/, kaoi na više drugih Web lokacija.

Upozorenje: Materijal prezentiran u ovom tekstu koncipiran je tako da, ilu-strujuci pojedine fizicke pojave i tehnicke principe, služi isklju-civo u obrazovne svrhe. Zbog toga su u mnogim slucajevimakorišcene odredene aproksimacije. Citaoci moraju biti svesnicinjenice da se prakticna realizacija pojedinih kola u vecini slu-cajeva razlikuje od ovde predstavljene.

U slucaju da se ne poštuju propisane mere bezbednosti, rad sanaizmenicnim signalima može biti opasan po život !

1

http://www.linear.com

http://www.ibiblio.org/kuphaldt/electricCircuits/

2 GLAVA 1. UVOD

Glava 2

Naizmenicni signali

2.1 Definicije

Pod naizmenicnim signalom ce se u ovom tekstu podrazumevati signalcija se amplituda naizmenicno menja u vremenu, u odnosu na referentnu(„nultu“) vrednost, kao što je ilustrovano na Sl. 2.1. Nulta vrednost ne

Vreme

0

AB

faznipomeraj

perioda

am

plit

ud

a

Slika 2.1: Opšti oblik sinusnog naizmenicnog signala i definicija faznog po-meraja.

mora nužno podrazumevati nulu, jer u elektronici nije neuobicajeno da senaizmenicni signal superponira nekom jednosmernom signalu. Naizme-nicni signali se u strucnoj literaturi uobicajeno oznacavaju skracenicom AC(Alternate Current ), za razliku od jednosmernih koji se oznacavaju skra-cenicom DC (Direct Current ). Jednosmerni signali predstavljaju skalarnevelicine, dok naizmenicni, s obzirom na promene u vremenu, predstavljaju

3

4 GLAVA 2. NAIZMENICNI SIGNALI

vektorske velicine.Vreme za koje se izvrši jedna naizmenicna promena amplitude odreduje

periodu signala T (cycle). Broj perioda u jedinici vremena definiše ucesta-

nost ili frekvenciju f (frequency) naizmenicnog signala. Ako se za jedinicuvremena uzme sekunda, ucestanost se dobija u Hercima [Hz], tako da brojHz predstavlja broj perioda u jednoj sekundi. Evidentno je da su ucestanosti perioda obrnuto proporcionalni, tj. da je f = 1/T.

Za potpuni opis naizmenicnog signala je, pored ucestanosti, potrebnopoznavanje i pozicije tog signala na vremenskoj osi u odnosu na neki refe-rentni signal, kao što je to ilustrovano na Sl. 2.1. Ako je posmatrani signalA, a referentni signal B, razlika pozicija ta dva signala na vremenskoj osinaziva se fazni pomeraj (phase shift ). Pošto na vremenskoj osi može po-stojati n signala, to znaci da se fazni pomeraj može definisati i izmedu bilokoja dva signala, pri cemu jedino treba voditi racuna o tome koji se signalod ta dva proglašava referentnim. Iz ovoga se može izvesti zakljucak da jefazni pomeraj relativna velicina cija se vrednost meri izmedu dva signala.Ipak, u praksi je pogodno izabrati odredeni signal cija ce se pozicija na vre-menskoj osi proglasiti apsolutnom (tj. „nultom“) i u odnosu na koju ce seodredivati fazni pomeraj svih ostalih signala.

2.2 Polarna reprezentacija

Amplituda, ucestanost i fazni pomeraj dovoljni su za potpunu vek-torsku reprezentaciju naizmenicnog signala. Intenzitet vektora, odnosnonjegova dužina, predstavljace amplitudu1 signala. Ako se smatra da susignali prostoperiodicnog oblika, logicno je usvojiti polarni koordinatni si-stem tako da jedna perioda odgovara celom krugu, odnosno uglu 360

(= 2π rad). U tom slucaju se fazni pomeraj može izraziti preko ugla 0 ≤ϕ ≤ 360. Pod pretpostavkom da referentni signal B i posmatrani signal Aimaju iste ampltude V0, njihova vektorska reprezentacija bi izgledala kaona Sl. 2.2. Još jednom treba naglasiti da se ugao ϕ odreduje u odnosu na

V0

V 0

A

B

ϕ

Slika 2.2: Polarna reprezentacija naizmenicnih signala.

1Amplituda naizmenicnog signala naziva se i magnituda (magnitude).

2.2. POLARNA REPREZENTACIJA 5

referentni signal, kod koga se smatra da je ϕ = 0, tako da se signal B možeopisati izrazom V0∠0, a signal A, na osnovu Sl. 2.2, izrazom:

V = V0∠ϕ . (2.1)

gde je V vektor, što je ujedno i opšti oblik polarne (vektorske) reprezentacijenaizmenicnog signala.

Kada se signal A po vremenskoj osi u potpunosti poklapa sa signalomB, tj. kada je fazni pomeraj izmedu njih jednak nuli, kaže se da su signali"‘u fazi"’. Kada je fazni pomeraj izmedu dva signala jednak 180 kaže se dasu signali u protivfazi. U ostalim slucajevima signal ili kasni ili prednjaci uodnosu na referentni signal, kao što je to ilustrovano na Sl. 2.3.

0

A

B

C

D

90˚

-90˚

ABCD

Vreme

Slika 2.3: Ilustracija faznih pomeraja: signal A kasni u odnosu na signal B;signal C prednjaci u odnosu na signal B; signal D i signal B su u protivfazi.

Korišcenjem polarne reprezentacije moguce su i algebarske operacijenad skupom signala, po pravilima koja važe za vektore. Pored toga, po-larna reprezentacija omogucava definiciju ugaone brzine ω (angular velo-city) kao:

ω = 2π f . (2.2)

Ovakva definicija ugaone brzine podrazumeva ucestanost prostoperiodic-Ugaona brzina ω se udomacoj strucnoj litera-turi cesto naziva kružnaucestanost.

nog signala, odnosno signala cija perioda odgovara uglu 2π rad.Vektori prikazani u obliku (2.1) se nazivaju fazori (phasor). Algebarske

operacije nad fazorima mogu se sprovoditi samo nad signalima koji imajuistu ucestanost f .


2.3 Algebarska reprezentacija

Naizmenicni signal je moguce opisati i pomocu kompleksnog broja ualgebarskom (ortogonalnom) obliku:

V = a + jb , (2.3)

pri cemu se veza izmedu polarne i algebarske reprezentacije ostvaruje popravilima preslikavanja polarne koordinatne ravni u kompleksnu ravan,

U anglosaksonskoj teh-nickoj literaturi algebar-ska reprezentacija se na-ziva pravougaona (rec-tangular).

što je ilustrovano na Sl. 2.4. Na osnovu Sl. 2.4 zakljucuje se da je veza iz-

Slika 2.4: Polarna i algebarska reprezentacija naizmenicnog signala (kva-dranti su oznaceni rimskim brojevima).

medu (2.1) i (2.3) odredena relacijama:

V0 =√

a2 + b2 (2.4)

ϕ = arctanb

a. (2.5)

Primer 2.3.1 Signal V = 2 + j5 prikazati u polarnom obliku.

V0 =√

22 + 52

ϕ = arctan52

V = 5, 385∠68, 198

Primer 2.3.2 Signal V = 8∠32 prikazati u kompleksnom obliku.

a = 8 cos 32

2.3. ALGEBARSKA REPREZENTACIJA 7

b = 8 sin 32

V = 6, 78 + j4, 24

Treba obratiti pažnju na znake koje imaju vrednosti a i b u kompleksnojravni, jer oni odreduju kom kvadrantu u polarnoj ravni pripada ugao ϕ.

U anglosaksonskoj teh-nickoj literaturi funkcijaarctan(x) se oznacavasa tan−1(x), što nije istokao 1/ tan(x)!

arctanb

a=

arctan ba , za a > 0 i b > 0 (I kvadrant);

90, za a = 0 i b > 0;

arctan ba + 180, za a < 0 i b ≥ 0 (II kvadrant);

270, za a = 0 i b < 0;

arctan ba + 180, za a < 0 i b < 0 (III kvadrant);

arctan ba + 360, za a > 0 i b < 0 (IV kvadrant);

(2.6)

Definicija (2.6) prilagodena je tako da se na osnovu nje dobijaju vrednosti0 ≤ ϕ ≤ 360. Pri tome, prema ovde usvojenoj konvenciji, vrednost uglaϕ raste suprotno smeru kretanja kazaljke na satu2.

Primer 2.3.3 Signal V = −1 + j1 prikazati u polarnom obliku.

V0 =√

(−1)2 + 12 ≃ 1, 41

arctan+1−1

= −45

U ovom slucaju je a < 0 i b > 0, što odgovara drugom kvadrantu na Sl. 2.4. Toznaci da je ugao ϕ u stvari −45 + 180 = 135.

V = 1, 41∠135

Primer 2.3.4 Signal V = −1 − j1 prikazati u polarnom obliku.

V0 =√

(−1)2 + (−1)2 ≃ 1, 41

arctan−1−1

= +45

2U upotrebi mogu biti i drugacije definicije, u zavisnosti od usvojene konvencije. Medu-tim, rezultat izracunavanja ce uvek biti isti.


U ovom slucaju je a < 0 i b < 0, što odgovara trecem kvadrantu na Sl. 2.4. Toznaci da je ugao ϕ u stvari +45 + 180 = 225.

V = 1, 41∠225

Primer 2.3.5 Signal V = 1 − j1 prikazati u polarnom obliku.

V0 =√

12 + (−1)2 ≃ 1, 41

arctan−1+1

= −45

U ovom slucaju je a > 0 i b < 0, što odgovara cetvrtom kvadrantu na Sl. 2.4.To znaci da je ugao ϕ u stvari −45 + 360 = 315.

V = 1, 41∠315

U slucaju algebarske reprezentacije, operacije nad skupom signala izvr-šavaju se po pravilima koja važe za kompleksne brojeve (videti Dodatak B).Algebarska i polarna reprezentacija se mogu povezati i preko Ojlerove (Eu-ler) formule:

V = V0 exp(jϕ) = V0 cos ϕ + jV0 sin ϕ , (2.7)

koja je pogodnija za operacije množenja i deljenja.

2.4 Vršna, efektivna i srednja vrednost

Amplituda definisana na Sl. 2.1 naziva se i vršna (peak ili crest ) vred-nost, oznacava se sa V0 ili VP i može se koristiti za kvantitativno opisivanjenaizmenicnih signala. U praksi se koristi i vrednost izmedu suprotnih vr-hova signala VPP (peak-to-peak ), kao na Sl. 2.5.

Ako se posmatra kolo prikazano na Sl. 2.6(a) zakljucuje se da je snagaP koja se disipira na otporniku R jednaka V2/R, pri cemu je V vrednostjednosmernog (DC) napona. Postavlja se pitanje kakav naizmenicni signaltreba upotrebiti da bi se na otporniku disipirala ista snaga kao u slucajukada je na njega prikljucen DC signal vrednosti V. Drugim recima, trebapronaci vrednost naizmenicnog signala VRMS sa Sl. 2.6(b) koja predstavlja„ekvivalent“ DC vrednosti V. U tu svrhu potrebno je poznavanje oblikasignala.

2.4. VRŠNA, EFEKTIVNA I SREDNJA VREDNOST 9

-1,5

-1,0

-0,5

0,0

0,5

1,0

1,5

0,707

VPP

0 π 2π

A

BV0

VRMS

Slika 2.5: Definicija vršne i efektivne vrednosti sinusnog naizmenicnog sig-nala: A je osnovni signal, B je kriva snage.

RV RVRMS

(a) (b)

Slika 2.6: DC kolo (a) i AC ekvivalent (b).


2.4.1 Sinusni signal

Neka signal A sa Sl. 2.5 predstavlja napon koji se dovodi na otpornik uobliku:

v(t) = V0 sin(ωt + ϕ) , (2.8)

pri cemu se može, pošto je to jedini signal u kolu, uzeti da je ϕ = 0. Tre-nutna snaga koja se disipira na otporniku u svakom vremenskom trenutkut tokom jedne periode T je v2(t)/R, što dogovara krivoj B na Sl. 2.5. Dabi se pronašao DC „ekvivalent“ snage, logicno je potražiti njenu srednjuvrednost tokom jedne periode, što se svodi na pronalaženje srednje vred-nosti napona v2(t). S obzirom da je, na osnovu Sl. 2.5, T = 2π/ω, to je:

Definicija (2.9) koristiteoremu o srednjojvrednosti integrala, asam integral rešavase uvodenjem smeneωt = x i upotrebom tri-gonometrijske relacije1 − cos 2x = 2 sin2 x.

1T

⟨

v2(t)⟩

=V2

0

T

∫ T

0sin2(ωt)dt =

V20

2π

∫ 2π

0sin2(x) dx =

V20

2= V2

RMS . (2.9)

Izjednacavanjem uslova snage kola sa Sl. 2.6(a) i (b) dobija se:

V2

R≡ V2

RMS

R=

1R

V20

2, (2.10)

što daje:

VRMS =V0√

2= 0, 707V0 . (2.11)

Ovo znaci da ce naizmenicni napon amplitude V0 = 1 V proizvesti istu disi-paciju snage na otporniku R kao njegov jednosmerni ekvivalent vrednostiV = 0, 707 V (videti Sl. 2.5). Vrednost VRMS naziva se efektivna vrednostnaizmenicnog signala. Skracenica RMS u indeksu potice od engleskog iz-raza Root Mean Square, koji opisuje metodu kojom je efektivna vrednostizracunata. U literaturi se ova vrednost oznacava i sa Ve f f i u opštem slu-caju se može izraziti relacijom:

VRMS ≡ Ve f f =

√

1T

∫ T

0v2(t) dt . (2.12)

Posebno je važno reci da efektivna vrednost VRMS nije isto što i srednjavrednost VAVG (average), koja se dobija jednostavnim usrednjavanjem3:

VAVG =1T

∫ T

0|v(t)| dt =

V0

T

∫ T

0|sin(ωt)| dt = 0, 637V0 . (2.13)

Realni oblik sinusnog signala se može snimiti pomocu instrumenta koji senaziva osciloskop, kao što je to prikazano na Sl. 2.7.

Podeok (division) pred-stavlja stranicu jednogkvadrata na mreži pri-kazanoj na ekranu osci-loskopa.

Treba imati u vidu da analogni AC voltmetri (tzv. instrumenti sa kret-nim kalemom) mere srednju vrednost signala, ali su kalibrisani tako da pri-kazuju efektivnu vrednost. Kalibracija instrumenata je tacna samo kada je

3Rešenje (2.13) je 12π

∫ 2π0 |sin x| dx = 2

2π

∫ π0 sin x dx = 2

π = 0, 637


Slika 2.7: Realni sinusni signal, snimljen na osciloskopu. Na X osi je vreme,sa razmerom od 500 ns po podeoku; na Y osi je napon sa razmerom od 1 Vpo podeoku.

signal koji se meri sinusni. Digitalni voltmetri postoje u više varijanti. Neki,kao i analogni, mere srednju vrednost signala, a na osnovu kalibracioneskale prikazuju efektivnu vrednost, u kom slucaju važi i prethodna konsta-tacija o tacnosti merenja. Drugi, tzv. pravi RMS voltmetri (true RMS ), merevrednost amplitude signala u nizu vremenskih intervala koji su znatno ma-nji od periode signala i zatim izracunavaju i prikazuju efektivnu vrednostna osnovu prethodno opisanog algoritma. Postoje i AC voltmetri kod kojihse princip merenja zasniva na fizici pojave, odnosno na merenju disipacijesnage na otporniku poznate otpornosti. U svakom slucaju, pre upotrebeinstrumenta potrebno je obratiti pažnju za kakvu vrstu signala je kalibri-san, kao i na princip merenja na kome je zasnovan, što proizvodaci obicnonavode u tehnickim specifikacijama. Prakticni saveti u vezi sa metodologi-jom merenja i korekcijom grešaka mogu se najcešce naci na Web lokacijamaproizvodaca instrumenata.

Sinusni signal je svakako jedan od najzastupljenijih u praksi, pre svegazbog cinjenice da je i samo mrežno napajanje (line voltage) takvog oblika.Efektivna vrednost mrežnog napajanja u Evropi se krece u granicama 220÷240 V, a ucestanost je 50 Hz. To znaci da je amplituda takvog signala 311 ÷339 V. U SAD i nekim drugim zemljama efektivna vrednost mrežnog napa-janja je 110 ÷ 120 V, a ucestanost je 60 Hz, pa je amplituda takvog signala156 ÷ 170 V. Sinusni signal je takode zastupljen i u mnogim aplikacijama,pre svega analogne elektronike. Medutim, pored sinusnog, postoji još ne-koliko oblika naizmenicnih signala koji se cesto srecu u praksi, a koji ce bitirazmotreni u daljem tekstu.


2.4.2 Drugi oblici naizmenicnih signala

Na Sl. 2.8 je prikazan naizmenicni signal oblika testere (sawtooth ). Efektivna

Slika 2.8: Realni naizmenicni signal oblika testere.

i srednja vrednost ovog signala su V0/√

3 i V0/2, respektivno, a postupaknjihovog izracunavanja opisan je u Dodatku C.

Iako se, na osnovu formalne definicije date u 2.1, ne može smatrati pot-punim naizmenicnim signalom, zbog veoma ceste pojave u praksi, ovde cebiti razmotren i signal oblika rampe (ramp) koji je prikazan na Sl. 2.9. Za

Slika 2.9: Realni signal oblika rampe.

razliku od signala sa Sl. 2.8, amplituda signala sa Sl. 2.9 nikada nije manja


od nule. Efektivna i srednja vrednost signala su iste kao i u slucaju naizme-nicnog signala oblika testere (videti Dodatak C).

Drugi naizmenicni signal koji se cesto srece u primeni je signal oblikatrougla, prikazan na Sl. 2.10. Efektivna i srednja vrednost naizmenicnog

Slika 2.10: Realni signal oblika trougla.

signala oblika trougla su V0/√

3 i V0/2, respektivno, a postupak njihovogodredivanja dat je u Dodatku C.

Geometrijska reprezentacija naizmenicnog signala oblika pravougao-nika (square wave), koji je od velikog znacaja za primenu u digitalnoj elek-tronici, prikazana je na Sl. 2.11. Treba primetiti da u ovom slucaju ampli-

0

v

tT

VDC

t0

V0

V0

Slika 2.11: Naizmenicni signal oblika pravougaonika.

tuda signala naizmenicno menja vrednost u odnosu na konstantni jedno-smerni napon VDC, kao što je to napomenuto u 2.1. Napon VDC se nazivai napon pomeraja (offset voltage). Pored toga, promena vrednosti ampli-


tude nije ravnomerno rasporedena tokom jedne periode. Vreme t0 nazivase vreme trajanja impulsa (pulse time). Odnos vremena t0 i periode T na-ziva se faktor iskorišcenja periode D (duty cycle) i izražava se u procen-tima:

D =t0

T× 100 (%) (2.14)

U specijalnom slucaju, kada je VDC = 0 i t0 = T/2, srednja vrednost signalaje jednaka efektivnoj, tj. VRMS = VAVG = V0 (videti Dodatak C).

U digitalnoj elektronici se cesto srece i signal koji predstavlja povorkuimpulsa i cija je geometrijska reprezentacija prikazana na Sl. 2.12. Na osnovu

0

v

tTt0

V0

Slika 2.12: Povorka impulsa.

definicije (2.12) efektivna vrednost ovog signala je:

VRMS =

√

1T

∫ t0

0V2

0 dt = V0

√

t0

T, (2.15)

dok je, na osnovu (2.13) srednja vrednost signala:

VAVG =1T

∫ t0

0V0 dt = V0

t0

T. (2.16)

S obzirom da je uvek ispunjen uslov t0/T ≤ 1, to je i VAVG ≤ VRMS. Realnapovorka impulsa prikazana je na Sl. 2.13.

Treba istaci da su svi izrazi u ovom potpoglavlju izvedeni za slucaj daje opterecenje u kolu otpornik, uz pretpostavku uslova prilagodenja snage(2.10). Inace, ovi signali se dobijaju posebnim uredajima koji se nazivajusignal generatorima ili generatorima funkcija.


Slika 2.13: Realna povorka impulsa ucestanosti f = 10 kHz, sa faktoromiskorišcenja periode D = 25%.


Glava 3

Osnovna elektronska kola

3.1 Otpornik u AC kolu

Na Sl. 3.1 prikazano je AC kolo sa otpornikom kao opterecenjem. Naulazu kola je sinusni signal vin amplitude V0 = 1V i ucestanosti 1 kHz, aotpornik ima vrednost R = 1 kΩ.Primedba: Elektricne šeme i grafikoni dati u ovom tekstu generisani su iz

programa za simulaciju kola SPICE u kome, iz tehnickih razloga,nije moguce indeksno oznacavanje velicina. Zato ce u ovom tek-stu biti usvojena konvencija xk ≡ x_k i xk ≡ xˆk, koja povezujeoznake u tekstu sa oznakama na šemama i grafikonima.

v_R

1KHzv_in 1k

R

Slika 3.1: Otpornik u AC kolu.

Napon na otporniku vR, struja kroz otpornik iR i snaga na otporniku pR semenjaju sa promenom ulaznog napona vin na nacin prikazan na Sl. 3.2. Naosnovu Omovog zakona za AC kola može se napisati:

IR =VR

Z, (3.1)

pri cemu je Z vektorska velicina koja se naziva impedansa kola. U ovomslucaju se impedansa kola, na osnovu kompleksne reprezentacije (2.3) i

17

18 GLAVA 3. OSNOVNA ELEKTRONSKA KOLA

0,000m 0,200m 0,400m 0,600m 0,800m 1,000mVreme (s)

v_

R (

V)

-1,000

-0,750

-0,500

-0,250

0,000

0,250

0,500

0,750

1,000

i_R

(A

)

-1,000m

-0,750m

-0,500m

-0,250m

0,000m

0,250m

0,500m

0,750m

1,000m

p_

R (

W)

0,000m

0,100m

0,200m

0,300m

0,400m

0,500m

0,600m

0,700m

0,800m

0,900m

1,000mv_R

i_R

p_R

Slika 3.2: Napon, struja i snaga na otporniku u AC kolu.

Sl. 2.4, može napisati kao:

Z = R + j0 = R , (3.2)

jer su struja iR i napon vR u fazi, što je uocljivo sa Sl. 3.2.Snaga koja se disipira na otporniku definisana je kao pR = vRiR =

v2R/R. Sa Sl. 3.2 se uocava da je snaga, za razliku od napona i struje, uvek

pozitivna. To znaci da otpornik uvek disipira snagu (u obliku toplotneenergije), bez obzira na polaritet struje koja prolazi kroz njega. Jedan odvažnih parametara prilikom izbora otpornika za prakticnu primenu je, po-red vrednosti, upravo i maksimalna snaga za koju je otpornik predviden. .

3.2 Kondenzator u AC kolu

Na Sl. 3.3 prikazano je AC kolo sa kondenzatorom kao opterecenjem.Treba imati u vidu da se kondenzator u praksi nikada ne pojavljuje bezredne otpornosti Rs o kojoj ce biti više reci u 3.2.1 i 3.3, a na ovom mestu cenjen uticaj biti zanemaren zbog jednostavnosti razmatranja.

Primedba: U programu SPICE dvopolne komponente imaju svoj „+“ i „-“kraj, tj. pinove oznacene brojevima 1 i 2, respektivno. Da bi si-

3.2. KONDENZATOR U AC KOLU 19

v_C

1KHzv_in

100uFC

Rs

Slika 3.3: Kondenzator u AC kolu.

mulirani signali odgovarali realnosti, potrebna je i pravilna ori-jentacija komponente u elektricnoj šemi. To znaci da pin 1 kodkondenzatora treba da bude orijentisan ka „pozitivnom“ krajusignala. Prilikom postavljanja simbola kondenzatora na elek-tricnu šemu cesto se dešava da se pinovi nadu u obrnutom po-ložaju, pa se dobijaju neocekivani rezultati. Zbog toga treba pro-veriti položaj pinova ukljucivanjem opcije za prikaz brojeva pi-nova. Slicno važi i za kalem, a korisno je steci naviku da se tocini i kod otpornika. Pored toga, umesto oznake µ se u pro-gramu SPICE koristi slovo „u“, pa je µF≡uF.

Dovodenje naizmenicnog napona na kondenzator izaziva na njegovim oblo-gama naizmenicno nagomilavanje i odvodenje naelektrisanja. Proces na-gomilavanja naelektrisanja na oblogama naziva se punjenje (charging), aobrnuti proces pražnjenje (discharging) kondenzatora, o cemu ce detaljnijebiti reci u 3.2.1. Kada na jednu oblogu kondenzatora dode jedna kolicinanaelektrisanja, ekvivalentna kolicina napusti drugu oblogu, stvarajuci nataj nacin privid protoka struje kroz kondenzator. Kao posledica nagomi-lavanja naelektrisanja u vremenu nastaje porast napona na oblogama kon-denzatora vC, što rezultira smanjenjem struje iC i obratno. Struja u kolu je,dakle, srazmerna promeni napona u vremenu, pa se može napisati:

iC = CdvC

dt. (3.3)

Može se reci da se kondenzator suprotstavlja promenama napona na sop-stvenim oblogama koje mu namece izvor vin. Izraz (3.3) ukazuje da ce strujau kolu biti najveca kada je promena napona u vremenu najveca, a da ce bitijednaka nuli kada je ta promena jednaka nuli, što je ilustrovano na Sl. 3.4.


0,000m 0,200m 0,400m 0,600m 0,800m 1,000mVreme (s)

v_

C (

V)

-1,000

-0,750

-0,500

-0,250

0,000

0,250

0,500

0,750

1,000

i_C

(A

)

-750,0m

-500,0m

-250,0m

0,000m

250,0m

500,0m

750,0m

p_

C (

W)

-400,0m

-300,0m

-200,0m

-100,00m

0,000m

100,00m

200,0m

300,0m

400,0mv_C

i_C

p_C

Slika 3.4: Napon, struja i snaga na kondenzatoru u AC kolu.

S obzirom da je za proces punjenja kondenzatora potrebno odredenovreme, tj. da se napon na njemu ne može promeniti trenutno1, to se naosnovu Sl. 3.4 može reci da napon vC kasni za strujom iC. Fazni pomerajizmedu struje i napona je −90 (videti Sl. 2.3). Promena snage sa Sl. 3.4je takode naizmenicna, što govori da kondenzator kontinualno ne disipirasnagu u vremenu kao otpornik, vec vrši naizmenicnu apsorpciju i osloba-danje energije.

Opisani proces reakcije kondenzatora na promene napona u vremenuse može kvantifikovati velicinom koja se naziva reaktansa kondenzatora:

XC =1

ωC=

12π f C

[Ω] , (3.4)

pa se impedansa kola, na osnovu (2.3) i Sl. 2.4, može napisati kao:

Z = ZR + ZC = 0 − jXC = −j1

ωC, (3.5)

pri cemu −j oznacava da izmedu struje i napona postoji fazni pomeraj od−90.

1Da bi došlo do promene napona, potrebno je pokretanje naelektrisanja ka oblogama,što rezultira pojavom struje.

3.2. KONDENZATOR U AC KOLU 21

Treba primetiti da je reaktansa inverzno proporcionalna ucestanosti, štogovori da ce se kondenzator manje suprotstavljati cešcim promenama na-pona na njemu. Ovo znaci da se kondenzator na veoma niskim ucestano-stima u kolu ponaša kao prekid (tj. struja kroz njega se može zanemariti),a na veoma visokim ucestanostima kao kratak spoj. Frekventna karakteri-stika, odnosno zavisnost reaktanse od ucestanosti je sastavni deo tehnickespecifikacije koju daju proizvodaci kondenzatora i na nju treba obratiti pa-žnju prilikom projektovanja kola.

3.2.1 Prelazni režim kondenzatora

Radi detaljnijeg sagledavanja procesa punjenja i pražnjenja kondenza-tora, bice razmotreno kolo sa Sl. 3.5. U kolu se kao pobuda nalazi izvor

v_in

100uFC

0,1k

Rs v_C

Slika 3.5: RC kolo sa povorkom impulsa kao pobudom.

vin koji daje povorku impulsa sa Sl. 2.12, pri cemu je perioda signala T =200 ms, vreme trajanja impulsa t0 = T/2, a amplituda V0 = 1 V. Pojavaotpornika Rs u kolu posledica je cinjenice da se u realnom slucaju svi izvorikarakterišu unutrašnjom otpornošcu, a kondenzatori ekvivalentnom red-nom otpornošcu2. Pored toga, u realnim kolima se procesi punjenja i pra-žnjenja kondenzatora uvek odvijaju preko neke aktivne ili pasivne kom-ponente, tj. preko njene unutrašnje otpornosti. S obzirom da su sve te ot-pornosti redne, to se njihov zbir može predstaviti jednim ekvivalentnimotpornikom3.

2Ekvivalentna redna otpornost kondenzatora skaraceno se naziva ESR (equivalent seriesresistance). Pored redne, u ekvivalentnoj šemi kondenzatora postoji i paralelna otpornost.Linije veza takode imaju svoju otpornost

3Vrednost Rs na Sl. 3.5 ne odražava nužno realnu vrednost ekvivalentnih rednih otpor-nosti, vec je, kao i još neke vrednosti u ovom tekstu, odabrana tako da omoguci kvalitetnijuilustraciju opisanog efekta i lakše „prirucno“ izracunavanje.


Struja kroz kolo, napon na kondenzatoru i ulazni napon tokom jedneperiode, prikazani su na Sl. 3.6. Vremenska zavisnost promene napona na

0,000m 50,00m 100,0m 150,0m 200,0mVreme (s)

v_

C (

V)

0,000

0,200

0,400

0,600

0,800

1,000

1,200

v_

in (

V)

0,000

0,200

0,400

0,600

0,800

1,000

1,200

i_R

s (

A)

-12,00m

-10,00m

-8,000m

-6,000m

-4,000m

-2,000m

0,000m

2,000m

4,000m

6,000m

8,000m

10,000m

12,00mv_C

v_in

i_Rs

Slika 3.6: Ulazni napon, napon na kondenzatoru i struja u kolu sa Sl. 3.5tokom jedne periode.

kondenzatoru je:

vC(t) = vin(t)− iRs(t)Rs = V0

[

1 − exp(

− t

RsC

)]

. (3.6)

Razmatranje iz koga proizilazi (3.6) izloženo je u Dodatku D.Iz (3.6) se zakljucuje da ce promena napona na kondenzatoru zavisiti

od vrednosti amplitude V0 i proizvoda RsC koji se naziva vremenska kon-stanta τ (time constant ) ili RC konstanta kola. U ovom slucaju je τ = RsC =10 ms, pa je u t = T/2 = 100 ms, kada amplituda impulsa pada na nulu,prema (3.6), vC(T/2) = 1 · (1− e−10) ≃ 1V, jer je 1 ≫ e−10. Bez obzira na ci-njenicu da, formalno gledano, iz (3.6) proizilazi da je vC = V0 kada t → ∞,može se reci da je u praksi vC ≃ V0 vec za t = 4RsC, kao što se i primecujesa Sl. 3.6. U tom slucaju se može smatrati da je i iRs ≃ 0.

Kada je t > T/2 impuls se prekida, odnosno amplituda postaje V0 = 0V.Tada pocinje proces pražnjenja kondenzatora, tj. kondenzator pocinje da„vraca“ energiju izvoru i struja u kolu menja smer. Kao što se vidi sa Sl. 3.6,

3.3. RC KOLO 23

proces pražnjenja se vremenski odvija analogno procesu punjenja:

vC(t) = V0 exp(

− t

RsC

)

. (3.7)

Kada kroz kolo prestane da tece struja, kondenzator se ispraznio i nastajeravnotežna situacija kakva je bila i pre pocetka dejstva impulsa.

Treba primetiti da se kondenzator ne mora napuniti do vrednosti am-plitude signala i isprazniti do nule, što zavisi od odnosa t0/RsC. Poredtoga, iz prakticnih razloga treba razmotriti situaciju kada se na ulaz kolaumesto povorke impulsa dovodi sinusni signal.

3.3 RC kolo

Na Sl. 3.7 prikazano je RC kolo sa sinusnim signalom amplitude V0 =1 V i ucestanosti f = 50 Hz kao pobudom. Impedansa ovog kola je zbir

v_in100uFC

10

R v_C

Slika 3.7: RC kolo sa sinusnom pobudom.

otpornosti i reaktanse:Z = R − jXC . (3.8)

Izracunavanjem vrednosti (3.8) dobija se Z = 10 − j31, 831 Ω ili, u polarnojreprezentaciji (videti Sl. 2.4), Z = 33, 365 Ω∠− 72, 56 . Ako se ulazni naponvin proglasi za referentni signal, struja u kolu je, na osnovu (3.1):

IR =Vin

Z=

1 V∠0

33, 365 Ω∠− 72, 56≃ 30 mA∠72, 56 . (3.9)

To znaci da ce struja u kolu prednjaciti za 72, 56 u odnosu na ulazni napon,što je uocljivo sa Sl. 3.8.

Na osnovu kola sa Sl. 3.7 i (3.3) može se napisati:

vin = vR + vC = RiR + vC = RCdvC

dt+ vC , (3.10)


0,000m 10,00m 20,00m 30,00m 40,00m

v_

in, v_

C (

V)

-1,000

-0,750

-0,500

-0,250

0,000

0,250

0,500

0,750

1,000

i_R

(A

)

-30,00m

-20,00m

-10,000m

0,000m

10,00m

20,00m

30,00mv_in

v_C

i_R

Vreme (s)

Slika 3.8: Ulazni napon, napon na kondenzatoru i struja u RC kolu.

pri cemu je iR ≡ iC struja kroz kolo. Pošto je ulazni napon sinusnog oblika,izraz (3.10) postaje:

RCdvC

dt+ vC = V0 sin(ωt) . (3.11)

Rešavanjem diferencijalne jednacine (3.11), uz pocetni uslov da je za t = 0napon vc = 0, dobija se napon na kondenzatoru4:

vC =V0

1 + (ωRC)2

[

sin(ωt) + ωRC

(

exp(− t

RC)− cos(ωt)

)]

. (3.12)

Na osnovu (3.3) i (3.12) dobija se i struja kroz kolo:

iR =ωCV0

1 + (ωRC)2

(

cos(ωt)− exp(− t

RC) + ωRC sin(ωt)

)

. (3.13)

Napon vC i struja iR prikazani su na Sl. 3.8. Treba obratiti pažnju na to da ukolu postoji prelazni režim, tj. da struja iR ne dostiže odmah vrednost kojubi imala ako bi se kolo razmatralo u stacionarnom stanju (steady-state) kojepodrazumeva da napon vin deluje dovoljno dugo. Postojanje prelaznog re-žima posledica je cinjenice da je kondenzator na pocetku delovanja napona

4Tehnika rešavanja (3.11) data je u Dodatku E.

3.3. RC KOLO 25

vin prazan, pa je celokupan pad napona u kolu jednak padu napona naotporniku. U prvoj poluperiodi, sa porastom napona vin raste i kolicina na-elektrisanja na oblogama kondenzatora, usled cega na njemu dolazi do po-jave napona vC koji teži da smanji struju iR. Kada napon na kondenzatoruvC dostiže maksimum, struja iR je jednaka nuli, a napon vin je vec poceoda opada. Nakon toga, kondenzator pocinje da se prazni, a struja u kolumenja smer. Važno je uociti da u trenutku kada je vin = 0 na kondenzatorujoš uvek postoji napon vC > 0. Upravo zahvaljujuci ovom „zaostalom“ na-ponu struja iR dostiže tokom negativne poluperiode vecu amplitudu negošto ju je imala tokom pozitivne poluperiode. Velicina sledece amplitude iR

zavisice od velicine napona vC koji je „zaostao“ prilikom prelaska naponavin iz negativne u pozitivnu poluperiodu, sve dok se u kolu ne uspostavistacionarno stanje, kao što je ilustrovano na Sl. 3.8. Za datu ucestanostnapona vin, vreme trajanja prelaznog režima5, a samim tim i talasni oblicinapona vC i struje iR, zavise od RC konstante. Sa smanjenjem vrednosti R,talasni oblici se približavaju oblicima sa Sl. 3.4, a sa povecanjem vrednostiR onima sa Sl. 3.2.

3.3.1 RC kolo sa paralelnim otpornikom

Na Sl. 3.9 prikazano je RC kolo, kod koga se paralelno kondenzatorunalazi otpornik. Na ulaz kola se dovodi sinusni napon vin amplitude V0 =1 V i ucestanosti f = 50 Hz. Neka je ovaj napon i referentni u kolu.

v_in100uFC

10R

v_C

10

Rs

Slika 3.9: RC kolo sa paralelnim otpornikom.

Ukupna impedansa kola je:

Z = ZRs + ZR ‖ ZC = ZRs +1

1ZR

+1

ZC

, (3.14)

5U literaturi se cesto kolo sa Sl. 3.7 razmatra iskljucivo u stacionarnom stanju, sa za-nemarivanjem prelaznog režima. Matematicki, prelazni režim je opisan eksponencijalnimclanom u (3.12) i (3.13).


pri cemu je:

ZR = R + j0

ZRs = Rs + j0 (3.15)

ZC = 0 − j1

ωC.

Zamenom numerickih vrednosti (3.15) u (3.14) dobija se:

Z = 19, 10 − j2, 86 = 19, 31 Ω∠− 8, 52 .

na osnovu cega je struja kroz otpornik Rs:

IRs =Vin

Z= 517, 8 mA∠8, 52 . (3.16)

To znaci da struja kroz otpornik Rs prednjaci u odnosu na ulazni napon zaϕ = 8, 52. Ova struja, koja predstavlja zbir struja koje teku kroz grane kolau kojima se nalaze otpornik R i kondenzator C, prikazana je na Sl. 3.10.Struje kroz grane kola se mogu izracunati na osnovu:

0,000m 10,00m 20,00m 30,00m 40,00mVreme (s)

i_R

s, i_

R, i_

C (

A)

-75,00m

-50,00m

-25,00m

0,000m

25,00m

50,00m

75,00m

v_

in (

V)

-1,000

-0,750

-0,500

-0,250

0,000

0,250

0,500

0,750

1,000 i_Rs

i_R

i_C

v_in

Slika 3.10: Ulazni napon i struje u RC kolu sa paralelnim otpornikom.

VR =ZR ‖ ZC

ZVin . (3.17)

3.4. KALEM U AC KOLU 27

Treba napomenuti da kolo sa Sl. 3.9, bez izvora vin, u stvari predstavljaekvivalentno kolo kondenzatora, pri cemu je otpornik Rs ekvivalentna se-rijska otpornost izvoda, a otpornik R ekvivalentna paralelna otpornost tela,dok je C idealna kapacitivnost.

3.4 Kalem u AC kolu

Na Sl. 3.11 prikazano je AC kolo sa kalemom kao opterecenjem. Kaoi u slucaju kondenzatora u AC kolu (videti 3.2 i na ovom mestu ce, radijednostavnosti razmatranja, redna otpornost Rs biti zanemarena.

Primedba: U programu za simulaciju kola SPICE, kalem se ne može di-rektno prikljuciti na izvor jer ugradeni numericki model dovodido greške. Zbog toga se kalemu na red prikljucuje otpornik maleotpornosti, koja može biti i simbolicne vrednosti, npr. 1 mΩ ilimanja, kao što je to u ovom primeru.

v_L

1KHzv_in 1mH

L

Rs

Slika 3.11: Kalem u AC kolu.

Dovodenje naizmenicnog napona na kalem (inductor) izaziva naizme-nicnu promenu struje kroz njega. Na krajevima kalema se indukuje naponvL, koji je direktno proporcionalan promeni te struje u vremenu:

vL = LdiL

dt. (3.18)

Može se reci da se kalem indukcijom napona suprotstavlja promeni strujekroz njega koje mu „namece“ izvor vin. Izraz (3.18) ukazuje da ce napon nakalemu biti najveci kada je promena struje u vremenu najveca, a da ce bitijednak nuli kada je ta promena jednaka nuli, što je ilustrovano na Sl. 3.12.

S obzirom da je za protok struje kroz kalem potrebna promena naponana njegovim krajevima6, na osnovu Sl. 3.12 se može reci da napon na ka-lemu vL prednjaci u odnosu na struju iL za 90. Promena snage sa Sl. 3.12

6Ovo je suprotno ponašanju kondenzatora, kod koga je za promenu napona na njegovimoblogama potreban protok naelektrisanja kroz kolo, tj. uspostavljanje struje (videti 3.2).


0,000m 0,200m 0,400m 0,600m 0,800m 1,000mVreme (s)

v_

L (

V)

-1,000

-0,750

-0,500

-0,250

0,000

0,250

0,500

0,750

1,000

i_L

(A

)

-50,00m

0,000m

50,00m

100,0m

150,0m

200,0m

250,0m

300,0m

350,0m

p_

L (

W)

-250,0m

-200,0m

-150,0m

-100,00m

-50,00m

0,000m

50,00m

100,0m

150,0m

200,0m

250,0mv_L

i_L

p_L

Slika 3.12: Napon, struja i snaga na kalemu u AC kolu.

je takode naizmenicna, što govori da kalem kontinualno ne disipira snaguu vremenu kao otpornik, vec vrši naizmenicnu apsorpciju i oslobadanjeenergije.

Opisani proces reakcije kalema na promene struje u vremenu se možekvantifikovati velicinom koja se naziva reaktansa kalema:

XL = ωL = 2π f L [Ω] , (3.19)

pa se impedansa kola, na osnovu (2.3) i Sl. 2.4, može napisati kao:

Z = ZR + ZL = 0 + jXL = jωL , (3.20)

pri cemu j oznacava da izmedu struje i napona postoji fazni pomeraj od90.

Treba primetiti da je reaktansa direktno proporcionalna ucestanosti, štogovori da ce se kalem više suprotstavljati cešcim promenama struje kroznjega. Ovo znaci da se kalem na veoma niskim ucestanostima u kolu po-naša kao kratak spoj (tj. napon na njemu se može zanemariti), a na veomavisokim ucestanostima kao prekid. Frekventna karakteristika, odnosno za-visnost reaktanse od ucestanosti je sastavni deo tehnicke specifikacije kojudaju proizvodaci kalema i na nju treba obratiti pažnju prilikom projektova-nja kola.

3.4. KALEM U AC KOLU 29

3.4.1 Prelazni režim kalema

Proces uspostavljanja struje kroz kalem nije trenutan, vec je, slicno kao iza punjenje kondenzatora, za to potrebno izvesno vreme. Ovde ce biti raz-motren slucaj kada se na ulaz kola sa Sl. 3.13 dovodi povorka impulsa vin

sa Sl. 2.12, pri cemu je perioda signala T = 200 µs, vreme trajanja impulsat0 = T/2 i amplituda V0 = 1 V.

v_in

0,1k

Rs v_L

1mHL

Slika 3.13: RL kolo sa povorkom impulsa kao pobudom.

Ulazni napon, napon na kalemu i struja u kolu tokom jedne periodeprikazani su na Sl. 3.14. Promena struje u vremenu je:

iRs =V0

Rs

[

1 − exp(

−Rs

Lt

)]

, (3.21)

Razmatranje iz koga proizilazi (3.21) izloženo je u Dodatku F. Odnos τ =L/Rs predstavlja vremensku konstantu kola. U ovom slucaju je L/Rs =10 µs, pa je u t = T/2 = 100 µs, kada amplituda impulsa pada na nuluiRs(T/2) = V0(1 − e−10)/Rs ≃ V0/R = 10 mA. Formalno gledano, naosnovu (3.21) se zakljucuje da struja dostiže vrednost V0/Rs kada t → ∞.Medutim, u praksi se može smatrati da je ova vrednost dostignuta vec zat = 4L/Rs, što se i primecuje sa Sl. 3.14, nakon cega napon na kalemupada na nulu (tj. kalem pocinje da se ponaša kao kratak spoj), a struja krozkolo postaje konstantna i jednaka vrednosti V0/R. Po prestanku delovanjaimpulsa kalem apsorbovanu energiju „vraca“ u kolo, pa je struja:

iRs =V0

Rsexp

(

−Rs

Lt

)

. (3.22)

Uocava se da je vremenska konstanta kola L/Rs od presudnog znacaja zakarakterizaciju prelaznog režima. Pored toga, za primenu u praksi intere-santno je i razmatranje ponašanja RL kola sa sinusnom pobudom.


0,000u 50,00u 100,0u 150,0u 200,0uVreme (s)

i_R

s (

A)

0,000m

1,000m

2,000m

3,000m

4,000m

5,000m

6,000m

7,000m

8,000m

9,000m

10,00m

v_

L (

V)

-1,000

-0,750

-0,500

-0,250

0,000

0,250

0,500

0,750

1,000

v_

in (

V)

0,000

0,100

0,200

0,300

0,400

0,500

0,600

0,700

0,800

0,900

1,000 i_Rs

v_L

v_in

Slika 3.14: Ulazni napon, napon na kalemu i struja u kolu sa Sl. 3.13 tokomjedne periode.

3.5 RL kolo

Na Sl. 3.15 prikazano je RL kolo sa sinusnom signalom amplitude V0 =1 V i ucestanosti f = 50 Hz kao pobudom. Impedansa ovog kola je zbirotpornosti i reaktanse:

Z = R + jXL . (3.23)

Izracunavanjem vrednosti (3.23) dobija se Z = 1 + j0, 314 Ω ili, u polarnojreprezentaciji (videti Sl. 2.4), Z = 1, 048 Ω∠17, 43. Ako se ulazni napon vin

proglasi za referentni signal, struja u kolu je, na osnovu (3.1):

IR =Vin

Z=

1 V∠0

1, 048 Ω∠17, 43≃ 0, 954 A∠− 17, 43 . (3.24)

To znaci da ce struja u kolu kasniti za 17, 43 u odnosu na ulazni napon, štoje uocljivo sa Sl. 3.16.

Na osnovu kola sa Sl. 3.15 i (3.18) može se napisati:

vin = vR + vL = RiR + LdiR

dt, (3.25)

pri cemu je iR ≡ iL struja kroz kolo. Pošto je ulazni napon sinusnog oblika,

3.5. RL KOLO 31

v_L

v_in1mHL

1

R

Slika 3.15: RL kolo sa sinusnom pobudom.

izraz (3.25) postaje:

LdiR

dt+ RiR = V0 sin(ωt) . (3.26)

Rešavanjem diferencijalne jednacine (3.26), uz pocetni uslov da je za t = 0struja iR = 0, dobija se struja kroz kolo7:

iR =V0

R(1 + (ωLR )2)

[

sin(ωt) +ωL

R

(

exp(−R

Lt)− cos(ωt)

)]

. (3.27)

Na osnovu (3.18) i (3.27) dobija se i napon na kalemu:

vL =ωL

R

V0

1 + (ωLR )2

(

cos(ωt)− exp(−R

Lt) +

ωL

Rsin(ωt)

)

. (3.28)

Napon vL i struja iR prikazani su na Sl. 3.16. Treba obratiti pažnju na toda u kolu postoji prelazni režim, tj. da napon vL ne dostiže odmah vred-nost koju bi imao ako bi se kolo razmatralo u stacionarnom stranju, kojepodrazumeva da napon vin deluje dovoljno dugo. U prvoj poluperiodi, saporastom napona vin raste i struja kroz kalem koja indukuje kontraelek-tromotornu silu, koja teži da smanji napon vL. Kada struja kroz kalem iR

dostiže maksimum, napon vL je jednak nuli, a napon vin je vec poceo daopada. Nakon toga, kalem pocinje da se „prazni“ i napon na njegovim kra-jevima postaje negativan. Važno je uociti da u trenutku kada je vin = 0kroz kalem još uvek tece struja iR > 0. Upravo zahvaljujuci ovoj „zaosta-loj“ struji napon vL dostiže tokom negativne poluperiode vecu amplitudunego što je bila tokom pozitivne poluperiode. Velicina sledece amplitudevL zavisice od struje iR koji je „zaostala“ prilikom prelaska napona vin iznegativne u pozitivnu poluperiodu, sve dok se u kolu ne uspostavi staci-onarno stanje, kao što je ilustrovano na Sl. 3.8. Za datu ucestanost naponavin, vreme trajanja prelaznog režima8, a samim tim i talasni oblici napona

7Tehnika rešavanja (3.26) ekvivalentna je onoj opisanoj u Dodatku E.8Matematicki, prelazni režim je opisan eksponencijalnim clanom u (3.27) i (3.28).


0,000m 10,00m 20,00m 30,00m 40,00mVreme (s)

v_

in (

V)

-1,000

-0,750

-0,500

-0,250

0,000

0,250

0,500

0,750

1,000

i_R

(A

)

-1,000

-0,750

-0,500

-0,250

0,000

0,250

0,500

0,750

1,000

v_

L (

V)

-300,0m

-200,0m

-100,0m

0,000m

100,0m

200,0m

300,0mv_in

i_R

v_L

Slika 3.16: Ulazni napon, napon na kalemu i struja u RL kolu.

vL i struje iR, zavise od L/R konstante. Sa smanjenjem vrednosti R, tala-sni oblici se približavaju oblicima sa Sl. 3.12, a sa povecanjem vrednosti Ronima sa Sl. 3.2.

3.5.1 RL kolo sa paralelnim otpornikom

Na Sl. 3.17 prikazano je RL kolo, kod koga se paralelno kalemu nalaziotpornik. Na ulaz kola se dovodi sinusni napon vin amplitude V0 = 1 V iucestanosti f = 50 Hz. Neka je ovaj napon i referentni u kolu.

Ukupna impedansa kola je:

Z = ZRs + ZR ‖ ZL = ZRs +1

1ZR

+1

ZL

, (3.29)

pri cemu je:

ZR = R + j0

ZRs = Rs + j0 (3.30)

ZL = 0 + jωL .

Zamenom numerickih vrednosti (3.30) u (3.29) dobija se:

Z = 1, 09 + j0, 286 = 1, 127 Ω∠14, 70 ,

3.6. RLC KOLO 33

v_L

v_in1mHL

1

Rs

1R

Slika 3.17: RL kolo sa paralelnim otpornikom.

na osnovu cega je struja kroz otpornik Rs:

IRs =Vin

Z= 0, 89 A∠− 14, 70 . (3.31)

To znaci da struja kroz otpornik Rs kasni u odnosu na ulazni napon zaϕ = 14, 70. Ova struja, koja predstavlja zbir struja koje teku kroz granekola u kojima se nalaze otpornik R i kalem L, prikazana je na Sl. 3.18. Strujekroz grane kola se mogu izracunati pomocu (3.17).

Treba primetiti da ekvivalentno kolo kalema, pored redne otpornosti,može sadržati i parazitnu kapacitivnost koja je paralelno vezana sa ideal-nom induktivnošcu.

3.6 RLC kolo

Na Sl. 3.19 prikazano je RLC kolo sa signalom amplitude V0 = 1 V iucestanosti f = 50 Hz kao pobudom.

Impedansa ovog kola je:

Z = ZR + ZC + ZL , (3.32)

pri cemu je:

ZR = R + j0

ZC = 0 − j1

ωC(3.33)

ZL = 0 + jωL .

Struja kroz kolo je:

I =Vin

Z= 0, 329 A∠70, 78 , (3.34)

što znaci da prednjaci u odnosu na ulazni napon za ugao ϕ = 70, 78, kaošto je ilustrovano na Sl. 3.20.


0,000m 10,00m 20,00m 30,00m 40,00mVreme (s)

i_R

s, i_

R, i_

L (

A)

-1,000

-0,750

-0,500

-0,250

0,000

0,250

0,500

0,750

1,000

v_

in (

V)

-1,000

-0,750

-0,500

-0,250

0,000

0,250

0,500

0,750

1,000 i_Rs

i_R

i_L

v_in

Slika 3.18: Ulazni napon i struje u RL kolu sa paralelnim otpornikom.

v_C

v_in

1mH

L

1

R

1000uFC

Slika 3.19: RLC kolo sa sinusnom pobudom.

3.6. RLC KOLO 35

0,000m 10,00m 20,00m 30,00m 40,00mVreme (s)

v_

in, v_

C, v_

L (

V)

-1,250

-1,000

-0,750

-0,500

-0,250

0,000

0,250

0,500

0,750

1,000

1,250

i (A

)

-400,0m

-300,0m

-200,0m

-100,00m

0,000m

100,00m

200,0m

300,0m

400,0mv_in

v_C

v_L

i

Slika 3.20: Naponi i struja u RLC kolu.


Sa Sl. 3.20 se uocava da je amplituda napona na kondenzatoru vecaod amplitude ulaznog napona. Na osnovu (3.32) je Z = 3, 04 Ω∠− 70, 78,dok je ZC = 3, 18 Ω∠− 90. Naime, kada je u RLC kolu ukupna impedansamanja bilo od impedanse kalema bilo od impedanse kondenzatora, tada jei struja kroz kolo veca nego što bi to bila u kolu u kojem se ovi elementi po-javljuju pojedinacno. Efekat naponskog premašenja je posledica suprotnihreaktansi kalema i kondenzatora i može se izbeci povecanjem otpornosti R,što predstavlja tehniku ogranicavanja struje kroz kolo. Na primer, u kolu saSl. 3.19 je vec za R = 2 Ω amplituda napona na kondenzatoru VC0 ≈ 0, 9 V.

Na Sl. 3.21 prikazano je RLC kolo u paralelnoj konfiguraciji. OtporniciRsL i RsC predstavljaju redne otpornosti kalema i kondenzatora, respek-tivno. Na ulaz kola se dovodi sinusni signal amplitude V0 = 1 V i ucesta-nosti f = 50 Hz. Impedansa ovog kola je:

v_in 5mHL

5R

470uFC

0,5R_sL

0,5R_sC

Slika 3.21: RLC kolo u paralelnoj konfiguraciji.

Z =

(

1Z(R)

+1

Z(L)+

1Z(C)

)−1

, (3.35)

pri cemu su Z(R), Z(L) i Z(C) impedanse kroz R, L i C granu kola, respek-tivno. Ukupna struja kroz kolo je:

I =Vin

Z= 0, 585 A∠− 47, 49 (3.36)

i prikazana je na Sl. 3.22, zajedno sa strujama kroz grane kola u stacionar-nom stanju. Struja kasni za ulaznim naponom9 za ugao ϕ = 47, 49. Trebaprimetiti da je kod ovakvih kola lakše izracunati struje kroz grane kola,pa ih sabrati, nego racunati ukupnu struju korišcenjem (3.35), tj. ukupneimpedanse.

9Ulazni napon je u fazi sa naponom na otporniku R, pa mu je signal ekvivalentan signalustruje iR sa Sl. 3.22.

3.7. REZONANSA 37

40,00m 50,00m 60,00m 70,00m 80,00m 90,00m 100,0mVreme (s)

i (A

)

-750,0m

-500,0m

-250,0m

0,000m

250,0m

500,0m

750,0mi_C

i_L

i_R

i

Slika 3.22: Struje u RLC kolu sa Sl. 3.21

Prilikom izracunavanja parametara složenijih kola treba koristiti prin-cip „podele“ kola na manje (redne i/ili paralelne) celine, cije je impedanselakše izracunati po prethodno opisanim pravilima. Za kola veceg stepenasloženosti, a posebno za ona u kojima se pojavljuju i aktivne komponente(diode, tranzistori, itd.) u današnjoj praksi se uglavnom koriste simulatori.

3.7 Rezonansa

Na osnovu razmatranja datih u 3.2 i 3.4 jasno je da se kondenzator ikalem ponašaju suprotno prilikom dejstva naizmenicnog napona. Kon-denzator akumulira energiju izvora pomocu razdvajanja naelektrisanja, štoprouzrokuje pojavu elektricnog polja, odnosno napona na njegovim kraje-vima. Kalem akumulira energiju izvora pomocu magnetne indukcije, štorezultuje pojavom struje kroz njega. Neka su ove dve komponente vezaneparalelno, kao u kolu sa Sl. 3.23.

Ako se kolo trenutno pobudi jednosmernim naponom amplitude V =1 V, kondenzator ce se napuniti.

Primedba: U programu SPICE se trenutna pobuda ovog tipa može simuli-rati stavljanjem napona od 1 V kao pocetnog napona u modelu


2,7mHL

0,15R_sL

0,05R_sC

v

220nF1V

C

Slika 3.23: „Idealno“ rezonantno kolo.

kondenzatora.

Po prestanku pobude kondenzator ce poceti da se prazni, što ce izazvatiporast struje kroz kalem i kontraelektromotornu silu koja teži da se suprot-stavi porastu te struje. Kada se kondenzator isprazni, usled razlike naponana krajevima kalema, pojavljuje se struja u suprotnom smeru koja ponovopuni kondenzator, stvarajuci na njegovim oblogama napon koji je po znakusuprotan od pocetnog. Kada se kalem „isprazni“, kondenzator se napu-nio i opisani proces se ciklicno nastavlja u vremenu. Teorijski gledano, naovaj nacin bi energija ostala zarobljena u kolu, prebacujuci se sa kalema nakondenzator, beskonacno dugo. Medutim, u praksi uvek postoje gubici narednim otpornostima obe komponente, kao i na otpornosti veza izmedukomponenata, tako da se amplituda napona smanjuje u vremenu, kao štoje ilustrovano na Sl. 3.24. Transfer energije izmedu komponenata rezultiraucestanošcu promene napona fr , a vrednost te ucestanosti zavisi od vred-nosti reaktansi kalema i kondenzatora. U praksi, ako se kolo sa Sl. 3.23pobuduje naizmenicnim signalom ucestanosti fr, u njemu ce se uspostavitistanje rezonanse. Ucestanost pri kojoj se ova pojava dešava naziva se rezo-nantna ucestanost i dobija se iz uslova da su reaktanse u granama kola jed-nake. Ako se zanemare redne otpornosti, iz uslova ωL=1/ωC rezonantnaucestanost je:

fr =1

2π√

LC. (3.37)

Efekat rezonanse se može uociti analizom kola sa Sl. 3.25, kod koga suredne otpornosti predstavljene simbolicnim vrednostima. Kolo se pobu-duje ulaznim signalom sinusnog oblika, amplitude V0 = 1 V i linearno pro-menljive ucestanosti. Struja kroz otpornik Rv u zavisnosti od ucestanostiprikazana je na Sl. 3.26. Uocljivo je da pri ucestanosti fr = 6, 53 kHz strujakroz otpornik Rv pada na nulu, što znaci da se pri rezonantnoj ucestanosti

3.7. REZONANSA 39

0,000m 0,250m 0,500m 0,750m 1,000m 1,250m 1,500m 1,750m 2,000mVreme (s)

v (

V)

-1,000

-0,750

-0,500

-0,250

0,000

0,250

0,500

0,750

1,000 v

Slika 3.24: Napon u „idealnom“ rezonantnom kolu.

2,7mHL

v_in

1pR_sL

1pR_sC

1p

R_v

220nFC

Slika 3.25: Kolo za analizu rezonantne ucestanosti.


5,000k 5,500k 6,000k 6,500k 7,000k 7,500k 8,000kUčestanost (Hz)

i_R

v (

A)

0,000m

0,500m

1,000m

1,500m

2,000m

2,500m

3,000m

3,500m

4,000m

4,500m

5,000mi_Rv

Slika 3.26: Zavisnost struje od ucestanosti izvora vin za kolo sa Sl. 3.25.

kolo ponaša kao otvoreno10.U slucaju kada su kalem i kondenzator vezani na red, kao što je to na

Sl. 3.27, takode se može uociti pojava rezonanse, pri cemu je rezonantnaucestanost odredena izrazom (3.37). Zavisnost struje od ucestanosti u ova-

2,7mHL

v_in

1p

R_s

220nFC

Slika 3.27: Redno rezonantno kolo.

kvom kolu prikazana je na Sl. 3.28. Može se primetiti da se redna vezaizmedu kalema i kondenzatora u okolini rezonantne ucestanosti ponašakao kratak spoj i da kroz kolo tece jako velika struja. To znaci da kod ova-kvih kola treba biti izuzetno oprezan, jer se na kondenzatoru mogu pojavitinaponi znatno vecih amplituda od amplitude pobudnog signala.

10S obzirom da je rezonantna ucestanost dobijena izjednacavanjem reaktansi, to jeukupna impedansa kola Z = ZL ‖ ZC → ∞, za f = fr.

3.7. REZONANSA 41

5,000k 5,500k 6,000k 6,500k 7,000k 7,500k 8,000kUčestanost (Hz)

i_R

v (

A)

0,000

2,500

5,000

7,500

10,00

12,50

15,00

17,50

20,00

22,50

25,00 i_Rv

Slika 3.28: Zavisnost struje od ucestanosti u rednom rezonantnom kolu.


Dodatak A

Brojevi u tehnickoj literaturi

A.1 Formati brojeva

Formati brojeva koji se koriste u tehnickoj literaturi su:Pod pojmom „tehnickaliteratura“ se u ovomtekstu podrazumevapre svega literatura izoblasti elektronike.

• sa fiksnim decimalnim zarezom (fixed point )

• sa pokretnim decimalnim zarezom (floating point )

• naucni (scientific)

• inženjerski (engineering)

Format brojeva sa fiksnim decimalnim zarezom podrazumeva da sedecimalni zarez kod svakog broja pojavljuje uvek na istom mestu. Drugim

U anglosaksonskoj teh-nickoj literaturi se ume-sto decimalnog zarezakoristi decimalna tacka.

recima, broj decimalnih mesta je uvek konstantan.

Primer A.1.1 Brojevi prikazani u formatu sa fiksnim decimalnim zarezom:

0,25 11956,34 1215,00 4,84

Format brojeva sa pokretnim decimalnim zarezom podrazumeva pro-menljivi broj decimalnih mesta.

Primer A.1.2 Brojevi prikazani u formatu sa pokretnim decimalnim zarezom:

0,25 11956,348 1215 4,843333

Naucni format brojeva podrazumeva korišcenje stepena broja 10, pricemu se decimalni zarez pojavljuje odmah nakon prvog broja koji je veci ili

43

44

jednak jedinici, a manji od desetice. Broj mesta iza decimalnog zareza možebiti fiksan ili promenljiv. Racunari i kalkulatori prikazuju stepen broja desetkorišcenjem slova „E“, tako da je 10n ≡ En.

Primer A.1.3 Brojevi prikazani u naucnom formatu:

2, 5 · 10−1 1,1956134 · 104 1,215 · 103 4,84 · 100

2,5E-1 1,1956348E4 1,215E3 4,843333E0

Inženjerski format brojeva podrazumeva da je stepen broja 10 uvek jed-nak celobrojnom umnošku broja 3 (103n), pri cemu mantisa broja mora bitiveca ili jednaka od jedan, a manja od hiljadu. Broj mesta iza decimalnogzareza može biti fiksan ili promenljiv.

Primer A.1.4 Brojevi prikazani u inženjerskom formatu:

250 · 10−3 11,95634 · 103 1,215 · 103 4840 · 10−3

250E-3 11,956348E3 1,215E3 4843,333E-3

Odredeni brojevi u inženjerskoj notaciji imaju prefikse u SI sistemu je-dinica, kao što je prikazano u Tab. A.1.

Prefiks Simbol Brojato (atto) a 10−18

femto (femto) f 10−15

piko (pico) p 10−12

nano (nano) n 10−9

mikro (micro) µ 10−6

mili (milli ) m 10−3

kilo (kilo) k 103

mega (mega) M 106

giga (giga) G 109

tera (tera) T 1012

peta (peta) P 1015

eksa (exa) E 1018

Tabela A.1: Prefiksi u SI sistemu

Prefiksi se u elektronici cesto koriste za procenu reda velicine vrednostineke komponente ili parametra kola. Na primer, kaže se da je „kapacitiv-nost reda velicine mikrofarada“ ili da je „ulazna otpornost reda velicinemegaoma“.

45

Broj cifara iza decimalnog zareza definiše tacnost sa kojom je broj izra-cunat. Broj cifara iza decimalnog zareza sa kojim je izracunati broj prikazanodreduje preciznost prikaza. Prilikom prikazivanja brojeva uobicajeno sevrši zaokruživanje na odredenom decimalnom mestu, koje predstavlja brojznacajnih cifara (na primer: 3, 67804327 ≃ 3, 68 – zaokruživanje na dveznacajne cifre).

A.2 Upotreba kalkulatora

Racunari i kalkulatori sa tehnickim funkcijama mogu prikazati brojeveu bilo kom od prethodno opisanih formata. Kod racunara, svaki program-ski jezik poseduje specificne naredbe za formatiranje prikaza brojeva. Ta-kode, standardni kalkulatori na racunaru poseduju režim tehnickih funk-cija (tipicno: View → Scientific), dok se format prikaza brojeva bira odrede-nim tasterom (tipicno tasterom F-E). Rucni kalkulatori sa tehnickim funk-cijama (Sl. A.1) poseduju režime prikaza za razlicite formate brojeva.

Slika A.1: Tipican kalkulator sa tehnickim funkcijama.

Primer A.2.1 Kalkulator sa Sl. A.1 se uvodi u režim prikaza brojeva u formatusa fiksnim decimalnim zarezom i cetiri decimalna mesta pritiskom tastera po sle-decem redosledu:MODE → MODE → MODE → 1 → 4

Prikaz na displeju ce biti: .

46

Za prikaz brojeva u naucnom formatu sa pet decimalnih mesta, kojice biti korišcen u narednim primerima, koristi se sledeca sekvenca tastera:MODE → MODE → MODE → 2 → 6

Prikaz na displeju ce biti: .

Stepen broja 10 se na kalkulatoru unosi pomocu tastera EXP.

Primer A.2.2 Izracunavanje sa stepenom broja 10:1, 15 · 103 × 4, 78 · 10−12

1.15 → EXP → 3 → × → 4.78 → EXP → (−) → 12 → =

Važno je napomenuti da taster EXP na kalkulatoru ne predstavlja funkcijuex koja se u tehnickoj literaturi cesto oznacava sa exp(x).

Primer A.2.3 Izracunavanje sa funkcijom ex ≡ exp(x):e2 · e−3 ≡ exp(2) · exp(−3)SHIFT → ln → 2 → × → SHIFT → ln → (−) → 3 → =

Bilo koji stepen nekog broja se na kalkulatoru izracunava upotrebomtastera xy, dok se koren izracunava upotrebom tastera SHIFT i xy.

Primer A.2.4 Izracunavanje stepena i korena:63 = 2166 → xy → 3 → =

3−4 = 0, 012345673 → xy → (−) → 4 → =Pritiskom na taster ENG rezultat ce na displeju biti prikazan u inženjerskom

formatu:

4√

16 = 24 → SHIFT → xy → 16 → =

Prirodni logaritam nekog broja se na kalkulatoru izracunava upotre-bom tastera ln, a dekadni logaritam upotrebom tastera log.

47

Primer A.2.5 Izracunavanje prirodnog logaritma:ln 4, 13 = 1, 418277ln → 4.13 → = .

Izracunavanje dekadnog logaritma:log 4, 13 = 0, 615950log → 4.13 → =

Kod kalkulatora na racunarima je sekvenca primene funkcijskih tastera obratna uodnosu na rucne kalkulatore (tj. najpre treba uneti broj, pa onda pritisnuti tasterodgovarajuce funkcije, npr. 4.13 → ln) Ovo je moguce postici i na rucnim kalkulato-rima tako što se prvo unese broj za kojim sledi znak jednakosti, a zatim pritisne tasterodgovarajuce funkcije, npr. 4.13 →=→ ln.

Prilikom izracunavanja vrednosti trigonometrijskih funkcija (sinus, ko-sinus, tangens) posebnu pažnju treba obratiti na:

• režim rada kalkulatora, tj. da li je kalkulator podešen za rad u stepe-nima (degrees) ili radijanima (radians);

360 = 2πrad.• definiciju inverznih trigonometrijskih funkcija.

Primer A.2.6 Kalkulator sa Sl. A.1 se uvodi u režim rada u stepenima pritiskomtastera po sledecem redosledu:MODE → MODE → 1

Za režim rada u radijanima, redosled je:MODE → MODE → 2

Kod kalkulatora se vrednosti inverznih trigonometrijskih funkcija (ar-cus funkcija) izracunavaju na sledeci nacin:

Primer A.2.7 Izracunavanje funkcije arctan u stepenima:arctan 5 = 78, 690067

SHIFT → tan → 5 → =

Treba primetiti da notacija upotrebljena na tasterima kalkulatora (npr.tan−1) ne predstavlja reciprocnu vrednost trigonometrijske funkcije (1/ tan).Reciprocne vrednosti trigonometrijskih funkcija se izracunavaju na sledecinacin:

48

Primer A.2.8 Izracunavanje funkcije cot (kotangens) u stepenima:cot 5 ≡ 1/ tan 5 = 11, 430052

tan → 5 →=→ x−1 →=

Kalkulatori poseduju još dosta tehnickih funkcija, a za njihovu kon-kretnu upotrebu treba pogledati primere u korisnickom uputstvu svakogpojedinog tipa kalkulatora.

Dodatak B

Osnovne operacije sakompleksnim brojevima

B.1 Definicije

Kompleksni broj Z sastoji se od realnog dela X i imaginarnog dela Ykoji su povezani algebarskom relacijom:

Z = X + jY , (B.1)

pri cemu je j, po definciji:

j =√−1 , (B.2)

tako da je:

j2 = −1 . (B.3)

Pored toga, važi i da je:1j= −j . (B.4)

Konjugovani kompleksni broj se dobija promenom znaka ispred ima-ginarnog dela kompleksnog broja:

Z = X − jY . (B.5)

Kompleksni broj se može prikazati u polarnoj formi u obliku:

Z = |Z|∠θ , (B.6)

gde je |Z| moduo kompleksnog broja, a θ argument kompleksnog broja,odnosno ugao koji može biti u stepenima ili radijanima. Relacije kojima su

49

50

povezane forme kompleksnog broja su:

|Z| =√

X2 + Y2

θ = arctanY

XX = Z0 cos θ

Y = Z0 sin θ .

(B.7)

B.2 Sabiranje

Kompleksni brojevi Z1 i Z2 se sabiraju tako što im se posebno saberurealni, a posebno imaginarni delovi:

Z1 + Z2 = (±X1 ± X2) + j(±Y1 ±Y2) . (B.8)

Primer B.2.1 Sabrati kompleksne brojeve Z1 = 3 + j7 i Z2 = 11 + j2.

Z1 + Z2 = (3 + 11) + j(7 + 2) = 14 + j9 .

Dobijeni zbir se u polarnoj formi može predstaviti kao:

Z1 + Z2 =√

142 + 92∠ arctan(

914

)

= 16, 64∠32, 73 .

Primer B.2.2 Sabrati kompleksne brojeve Z1 = 2 − j5 i Z2 = −9 + j2.

Z1 + Z2 = (2 − 9) + j(−5 + 2) = −7 − j3 .

B.3 Oduzimanje

Kompleksni brojevi Z1 i Z2 se oduzimaju tako što im se posebno odu-zmu realni, a posebno imaginarni delovi:

Z1 − Z2 = [±X1 − (±X2)] + j[±Y1 − (±Y2)] . (B.9)

Primer B.3.1 Oduzeti kompleksne brojeve Z1 = 4 + j2 i Z2 = 1 + j3.

Z1 − Z2 = (4 − 1) + j(2 − 3) = 3 − j .

51

Primer B.3.2 Oduzeti kompleksne brojeve Z1 = 2 − j4 i Z2 = −6 − j8.

Z1 − Z2 = [2 − (−6)] + j[−4 − (−8)] = 8 + j4 .

B.4 Množenje

Kompleksni brojevi Z1 i Z2 se množe tako što im se moduli pomnože, auglovi saberu:

Z1 ·Z2 = |Z1||Z2|∠θ1 + θ2 . (B.10)

Primer B.4.1 Pomnožiti kompleksne brojeve Z1 = 1 + j4 i Z2 = 3 + j2.

Z1 ·Z2 =√

12 + 42∠ arctan(

41

)

·√

32 + 22∠ arctan(

23

)

=√

17∠75, 96 ·√

13∠33, 69

=√

17 · 13∠(75, 96 + 33, 69)

= 14, 87∠109, 65

= 14, 87 cos 109, 65 + j14, 87 sin 109, 65

≃ −5 + j14

Kompleksni brojevi se mogu množiti i u algebarskoj formi.

B.5 Deljenje

Kompleksni brojevi Z1 i Z2 se množe tako što im se moduli podele, auglovi oduzmu:

Z1

Z2=

|Z1||Z2|

∠θ1 − θ2 . (B.11)

Primer B.5.1 Podeliti kompleksne brojeve Z1 = 3 + j5 i Z2 = 6 − j2.

Z1

Z2=

√32 + 52∠ arctan

( 53

)

√62 + 22∠ arctan

(−26

)

52

=

√34∠59, 04√

40∠− 18, 43

=

√

3440

∠(59, 04 − (−18, 43))

= 0, 92∠77, 47

= 0, 92 cos 77, 47 + j0, 92 sin 77, 47

≃ 0, 2 + j0, 9

Kompleksni brojevi se mogu deliti i u algebarskoj formi. U principu,kada je potreban rad sa više kompleksnih brojeva, operacije sabiranja ioduzimanja se lakše obavljaju kada su kompleksni brojevi u algebarskojformi, a operacije množenja i deljenja kada su kompleksni brojevi u polar-noj formi. Prelaz iz algebarske u polarnu formu i obratno se može obaviti iupotrebom kalkulatora sa tehnickim funkcijama sa Sl. A.1.

Primer B.5.2 Prevodenje kompleksnog broja Z = 3 + j4 u polarnu formuupotrebom kalkulatora:

POL(→ 3 →,→ 4 →) →= RCL → tan

Prevodenje kompleksnog broja 5∠53, 1301 u algebarsku formu:

SHIFT → POL(→ 5 →,→ 53.1301 →) →= RCL → tan

Dodatak C

Izracunavanje efektivne isrednje vrednosti

C.1 Signal oblika testere

Posmatranjem geometrijske reprezentacije naizmenicnog signala oblikatestere prikazanog na Sl. C.1 može se uociti diskontinuitet u tackama nT, n =1, 2 . . ., što znaci da se vrednost signala promeni od V0 do −V0 za vremet = 0. Kod realnih signala je za ovu promenu potrebno konacno vreme t f ,

0

v

t

V0

-V0

T

Slika C.1: Naizmenicni signal oblika testere.

pa signal predstavlja kontinualnu funkciju1. Radi jednostavnijeg razmatra-nja, ovde ce se podrazumevati prva perioda signala sa sl. C.1, pri cemu seimplicitno podrazumeva da t f → 0, što znaci da ce postojanje diskontinui-

1Vreme t f naziva se vreme opadanja zadnje ivice signala (fall time). Kod signala oblikapravougaonika analogno se definiše i vreme porasta prednje ivice signala tr (rise time).

53

54

teta biti zanemareno2. Ovaj signal se u tom slucaju može opisati funkcijom:

v(t) =2V0

Tt − V0 . (C.1)

Korišcenjem identicnog pristupa kao u 2.4.1, tj. primenom (2.12) i (2.13) na(C.1) izracunava se efektivna vrednost signala oblika testere:

VRMS =

√

1T

∫ T

0v2(t) dt =

V0√3

. (C.2)

Srednja vrednost signala oblika testere je:

VAVG =1T

∫ T

0|v(t)| dt =

V0

2. (C.3)

Specijalan slucaj signala oblika testere je signal oblika rampe cija je geo-metrijska reprezentacija prikazana na Sl. C.2. Ako se, kao u prethodnom

0

v

t

V0

T

Slika C.2: Signal oblika rampe.

slucaju, zanemari postojanje diskontinuiteta, ovakav signal se može u pr-voj periodi predstaviti funkcijom:

v(t) =V0

Tt . (C.4)

Primenom (C.2) i (C.3) na (C.4) dobija se da su efektivna i srednja vrednostsignala jednake VRMS = V0/

√3 i VAVG = V0/2, respektivno, dakle iste kao

i u slucaju naizmenicnog signala oblika testere.

C.2 Signal oblika trougla

Geometrijska reprezentacija naizmenicnog signala oblika trougla dataje na Sl. C.3. Ovaj signal se može u prvoj periodi predstaviti funkcijom:

v(t) =

4V0T t , 0 ≤ t ≤ T

4

− 4V0T t + 2V0 , T

4 ≤ t ≤ 3T4

4V0T t − 4V0 , 3T

4 ≤ t ≤ T

(C.5)

2Treba primetiti da uvodenje ovakvog pojednostavljenja, s obzirom na prostpoeriodic-nost signala, ne umanjuje opštost dobijenih rezultata.

55

0

v

t

V0

-V0

2V0

-4V0

T/4 T/2

3T/4

T

Slika C.3: Naizmenicni signal oblika trougla.

Primenom (2.12) i (2.13) na (C.5) dobija se da su efektivna i srednja vrednostnaizmenicnog signala oblika trougla jednake VRMS = V0/

√3 i VAVG =

V0/2, respektivno.

C.3 Signal oblika pravougaonika

Ako se, kao kod naizmenicnog signala oblika testere, zanemari postoja-nje diskontinuiteta, na osnovu Sl. 2.11 se za prvu periodu može napisati:

v(t) =

VDC + V0 , 0 ≤ t ≤ t0

VDC − V0 , t0 ≤ t ≤ T(C.6)

Primenom definicije (2.12) na (C.6) dobija se:

VRMS =

√

(VDC + V0)2 t0

T+ (VDC − V0)2(1 − t0

T) . (C.7)

Srednja vrednost signala sa sl. 2.11 je, na osnovu definicije (2.13), jednaka:

VAVG = |VDC + V0|t0

T+ |VDC − V0| (1 −

t0

T) . (C.8)

U specijalnom slucaju, kada je t0 = T/2, srednja vrednost signala je VAVG =VDC, jer je VDC > V0. Medutim, kada je VDC = 0 i t0 = T/2, srednjavrednost signala je VRMS = VAVG = V0.

56

Dodatak D

Izracunavanje napona uprelaznom režimukondenzatora

U trenutku t = 0, na ulazu kola sa Sl. 3.5 se pojavio napon vin amplitudeV0 = 1 V. Prema zakljucku iz 3.2, da bi se na kondenzatoru pojavio naponvC kroz kolo mora najpre da protekne struja iRs , koja stvara pad napona naotporniku vRs . To znaci da je u trenutku t = 0 struja kroz kolo:

iRs (0) =V0

Rs. (D.1)

Time je stvoren uslov za nagomilavanje naelektrisanja Q na oblogama kon-denzatora, tj. za pocetak punjenja kondenzatora:

vin(t) = iRs(t)Rs +Q(t)

C. (D.2)

Pošto je struja definisana kao promena kolicine naelektrisanja u vremenuiRs(t) = dQ(t)/dt, to (D.2) postaje:

vin(t) = iRs(t)Rs +1C

∫ t

0iRs(t) dt , (D.3)

odakle se diferenciranjem dobija:

dvin(t)

dt= Rs

diRs (t)

dt+

1C

iRs(t) . (D.4)

Prema Sl. 3.6 je dvin(t)/dt = 0 za 0 < t < T/2, pa se iz (D.4) dobija:

diRs (t)

iRs

= − 1RsC

dt . (D.5)

57

58

Integraljenjem (D.5) u opštem slucaju (granice integrala su 0 i t) se dobija:

iRs(t) = iRs(0) exp(

− t

RsC

)

, (D.6)

a korišcenjem (D.1) dolazi se do:

iRs(t) =V0

Rsexp

(

− t

RsC

)

. (D.7)

Iz (D.7) se može dobiti vremenska zavisnost promene napona na konden-zatoru:

vC(t) = vin(t)− iRs(t)Rs = V0

[

1 − exp(

− t

RsC

)]

. (D.8)

Dodatak E

Odredivanje napona nakondenzatoru u RC kolu

Jednacina (3.11) glasi:

RCdvC

dt+ vC = V0 sin(ωt) , (E.1)

što je linearna nehomogena diferencijalna jednacina prvog reda ili reduko-vana linearna nehomogena diferencijalna jednacina drugog reda. Rešenjeove jednacine se dobija tako što se najpre potraži rešenje vC0 homogenejednacine:

RCdvC

dt+ vC = 0 (E.2)

i to metodom razdvajanja promenljivih, tako da je:

dvC

vC= − 1

RCdt , (E.3)

odakle je (videti i 3.2.1):

vC0 = K exp(− t

RC) , (E.4)

pri cemu je K konstanta. U daljem postupku se pretpostavlja da je partiku-larno rešenje (E.1) oblika:

η = A cos(ωt) + B sin(ωt) , (E.5)

gde su A i B konstante koje treba odrediti. Iz (E.5) je:

dη

dt= −ωA sin(ωt) + ωB cos(ωt) . (E.6)

Zamenom (E.5) i (E.6) u (E.1) dobija se:

(B − ωRCA) sin(ωt) + (A + ωRCB) cos(ωt) = V0 sin(ωt) . (E.7)

59

60

Iz (E.7) se, izjednacavanjem clanova se leve i desne strane, dobija:

B − ωRCA = V0 (E.8)

A + ωRCB = 0 , (E.9)

odakle se izracunavaju konstante A i B. Zamenom dobijenih vrednosti zaA i B u (E.5) dobija se:

η =V0

1 + (ωRC)2

(

sin ωt)− ωRC cos(ωt))

. (E.10)

Rešenje (E.1) je zbir:vC = vC0 + η , (E.11)

pri cemu se konstanta K odreduje iz uslova da je vC = 0 kada je t = 0:

K = ωRCV0

1 + (ωRC)2 . (E.12)

Zamenom (E.12) u (E.4) jednacina (E.11) postaje:

vC =V0

1 + (ωRC)2

[

sin(ωt) + ωRC

(

exp(− t

RC)− cos(ωt)

)]

, (E.13)

što je i konacno rešenje jednacine (E.1).

Dodatak F

Izracunavanje struje uprelaznom režimu kalema

Polazeci od toga da je vin = vRs + vL i imajuci u vidu (3.19), može senapisati1:

vin = RsiRs + LdiRs

dt, (F.1)

pri cemu je iRs struja kroz kolo. Ako se (F.1) posmatra u nekom trenutku tza koji je vin = V0, može se napisati:

RsiRs + LdiRs

dt= V0 , (F.2)

što se svodi na:diRs

V0 − RsiRs

=dt

L. (F.3)

U trenutku t = 0 struja iRs mora biti jednaka nuli jer, prema zakljucku iz3.4, da bi struja protekla najpre mora da se stvori pad napona na kalemu,pa je, u opštem slucaju:

∫ iRs

0

diRs

V0 − RsiRs

=1L

∫ t

0dt . (F.4)

Rešavanjem (F.4) dobija se struja u kolu:

iRs =V0

Rs

[

1 − exp(

−Rs

Lt

)]

, (F.5)

koja je ilustrovana na Sl. 3.14.

1Pojava u uloga otpornika Rs su komentarisani u 3.2.1, pa i ovde važi ista argumentacija.

61

Documents

Naizmenicˇni signali i osnovna elektronska kolamikroelektronika.elfak.ni.ac.rs/files/AC.pdf · koja dva signala, pri cˇemu jedino treba voditi racˇuna o tome koji se signal od