超伝導の南部理論と凝縮系における場の理論の発展強相関電⼦系の研究から

⼤阪市⽴⼤学 理学研究科 ⼩栗 章

OutlineI: 超伝導の南部理論

Meissner効果に関するゲージ不変な微視的理論の完成 BCS理論の擬スピン表現 と 超伝導の位相⾃由度

II: 凝縮系における場の理論のアプローチの進展

その概要と問題の背景にあった物理の発展, 特に位相⾃由度のもう⼀つの側⾯について:位相モード → プラズモン → Josephson効果

超伝導体に⼊りこむゲージ場の⾮減衰項 (ゼロ・モード)と巨視的量⼦効果 (磁束の量⼦化, Josephson効果, 不純物効果…)

Fermi流体論 と くりこみ群・有限サイズスケーリング

Landau の Fermi流体論から近藤問題、⾮Fermi流体へ

最近の研究から：カーボン・ナノチューブ量⼦ドットにおける近藤効果、局所Fermi流体論

I: 超伝導の南部理論

電磁場のたて波成分に関するゲージ不変性の問題から超伝導位相 および Josephson効果まで

その概要と問題の背景にあった物理

超伝導における集団励起とゲージ不変性

Anderson論⽂:

南部論⽂:

超伝導

完全反磁性 （Meissner 効果）

転移温度 Tc より低温では、電気抵抗がゼロ。

（温度）

水銀

Tc= 4.2K

Bardeen-Cooper-Schriefferによる微視的な理論 (1957)

巨視的に現れる量⼦効果

超伝導体中では 磁場 B はゼロになる。

超伝導体の表⾯に摩擦のない電流が⽣じ、その電流が誘起する磁場が外部磁場を打ち消す。

超伝導体中では、フォトンが質量を持つ（Anderson, Higgs の機構）

磁気侵⼊⻑の逆数 フォトンの質量

⽔銀の電気抵抗の温度依存性発⾒：Kamerlingh Onnes (1911)

超伝導: 理解への２つのポイント

[1] Cooper対が なぜ安定になるか。(Fermi⾯の不安定性)

[2] Cooper対が 何を起こすか。

(巨視的量⼦効果)

Fermi 球: Cooper対:

“⾮占有” と “２重占有” の量⼦⼒学的な重ね合わせ状態

超伝導の起源：電⼦-格⼦相互作⽤⾦属内部：結晶格⼦ + 伝導電⼦

結晶の周期的格⼦は、熱により振動する

特徴的な振動数は、Debye振動数

電⼦が格⼦点の近くを通過すると、正イオンは電⼦の⽅向に引き寄せられる。他の電⼦はその正イオンに引きずられ、結果として電⼦間に引⼒が⽣じる。

引⼒が働くのは Fermi準位 近くの電⼦のみ,波数 , ,  ,  が Fermi波数 程度の電⼦間 ≫

格⼦振動フォノン

電⼦ 電⼦

電⼦電⼦‐ ‐

‐

‐ ‐

‐+

伝導電⼦は, 負電荷 をもつ

格⼦点上のイオンは正に帯電

“電⼦は Pauli の 排他原理 にしたがう”

超伝導状態を基底状態とする 有効ハミルトニアン 有効ハミルトニアン:

Fermi球⾯ 近くの の ⾚点線で囲まれた波数の電⼦間に引⼒が働く.

′ ′

フォノンによる電⼦間引⼒

: Fermiエネルギー

↑,↓ : 電⼦のスピン⾃由度

:電⼦の⽣成・消滅演算⼦

g :引⼒の⼤きさ, V :超伝導体の体積

: Debye振動数

Fermi球⾯上に２個の電⼦を加えると,運動エネルギーの増加より引⼒によるエネルギ―利得が⼤きい(Cooper問題).

BCS理論ハミルトニアン を分割:

(part I)

電⼦対⽣成 電⼦対消滅

[ : エネルギーギャップ]

平均場近似では無視するが，ゲージ不変性の回復には無視できない部分がある．

最低エネルギ―状態：

“empty” と “full” の 重ね合わせ!!巨視的量⼦効果の源

固有値 固有状態

の Hilbert空間は (k↑) と (-k↓) に関する

次の4状態で完全系が張られる:

empty（占有数０):

k↑(占有数1):

-k↓(占有数1):

full（占有数2):

BCS理論 (part II)の 最低エネルギ―状態 (Cooper 対) : “empty” と “full” が エンタングル

Fermi準位 近く |∆| |∆| では,“empty” と “full” が同程度の確率

Fermi準位

ギャップ⽅程式：T=0 では,

0 : 伝導電⼦の状態密度

係数の k依存性;

全電⼦に対する の基底状態

全ての波数 k に対応する Cooper対の積

BCSハミルトニアンの擬スピン表⽰: 電荷⾃由度のSU(2)

Anderson の 擬スピン : ⾓運動量と同⼀の交換関係を満たす

南部表⽰

擬スピン の z 成分は 、x,y 成分は Δ の実部,虚部 と結合

BCSハミルトニアン・超伝導状態の持つ対称性が明確に⾒える

南部表⽰から⾒た Cooper対のエンタングルメント

Cooper対に (k,↑) を加える:

Cooper対から (-k,↓) を取る:

係数は異なるが同⼀の終状態、

に到達する。

南部スピノール は，散乱過程の対称性による分類を明確にする．

Cooper対は，時間反転対称性で結ばれる (k,↑) と (-k,↓) 強く相関した状態．

コヒーレンスの因⼦ “Green関数の計算等を簡潔にする“

磁場中の超伝導の微視的記述有効ハミルトニアン:

磁場中の運動エネルギー：

電荷密度と電流:

常磁性項:

反磁性項:

ゲージ変換 に対する不変性からの要請:

横波のゲージ場 に関しては, Meissner効果を正しく説明．

BCS理論に基づくMeissner効果の記述

外場: 磁場 B に対応する ベクトルポテンシャル A ( )線形応答理論(久保公式)を⽤いた解析：

BCSの平均場近似では, A(q) のたて波成分が消えてない．

応答: 超伝導体中をながれる遮蔽電流 j

波数 q 成分:

A(q)のたて波を消す

問題点:

常磁性項反磁性項

応答関数のテンソル , 部分の形が右側のように限定される

電流-電流相関関数

BCS理論で を⽤いて計算すると, 絶対零度 T→0 では

ここで, は展開係数.

による⾼次項の寄与を取り⼊れ問題は解決される：

集団励起・Vertex補正によるゲージ不変性の回復

BCSの平均場理論がゲージ不変性を満たさない原因

BCS理論は 個別励起をよく記述

平均場近似で 集団励起の考慮なし

Green関数, ⾃⼰エネルギ―は, ほぼ良し

電流-電流相関、密度-密度相関に対してバーテックス補正を考慮する必要あり

“場の理論的な解釈”

Ward-⾼橋恒等式を⽤い, 平均場近似の⾃⼰エネルギーに対応した梯⼦型バーテックス補正を考慮し，Bethe-Salpeter⽅程式を解く。

Anderson理論 南部理論平均場からのゆらぎを RPA近似 (Random Phase Approximation)を⽤い, BCS状態に運動量q を持つ “1粒⼦-正孔対”を加えた波動関数を構成。

元のハミルトニアン:

超伝導体中の集団励起: Bogoliubovモード, プラズマ振動

BCS状態に 運動量q を持つ拡張された”1粒⼦-正孔対” を加えた励起波動関数:

元のハミルトニアン:

しかし電⼦系では、 に含まれていない 電⼦間の⻑距離クーロン斥⼒ により集団励起はプラズマ振動と結合して⾼エネルギー領域へ移動する.

を 試⾏関数とし, エネルギー期待値を最⼩化して展開係数 を決めることもできる.

分散関係は⻑波⻑の極限(| | → 0)で、クーロン斥⼒による有限なギャップを持つ:

[プラズマ振動数]集団励起の分散関係

集団励起の分散関係:

⻑波⻑極限(| | → 0)では: [Bogoliubov-Andersonモード]

超伝導ギャップの位相 振動に関する南部-Goldstoneモード

位相⾃由度の復活: A のゼロ・モード と 磁束の量⼦化 Meissner効果の現象論:

London⽅程式

Ampèreの法則

中空の超伝導シリンダー内径 2a, 外径 2R , a Ü R,中⽳を z軸に沿った⼀様磁場 B が貫く場合:

“超伝導体”“中⽳”

“侵⼊⻑：”

磁場 Bzは，λ程度 までしか侵⼊しないが，ベクトルポテンシャル Aθ は超伝導体内部に侵⼊し, 超伝導ギャップ

の位相 変化させる (多重連結のトポロジー)．

磁束の量⼦化：超伝導体の深部では電流は減衰してゼロと⾒なせる

位相の⾃由度の物理：Josephson効果 Josephson接合: ２つ超伝導体(L, R) が絶縁体薄膜によって隔てて接触

絶縁体

超伝導体 (L) 超伝導体 (R)

Josephson電流: 左右の超伝導体のギャップに位相差がある場合，Cooper対のトンネルによる超伝導電流が流れる:

係数 I0 の⼤きさ絶縁膜の詳細に依存する．

電流の向きは，Cooper対のトンネル中に磁性不純物による散乱があると逆転する．

Josephson電流 I と 基底状態のエネルギー EGS の関係:

Josephson効果の理論

L-R 間のトンネル・ハミルトニアン左右の超伝導体

Josephson効果の有効ハミルトニアン: 超伝導体 (L) 超伝導体 (R)

TypeＩ:

Type II:

２次摂動のエネルギー:

位相差:

TypeＩ: E0>0, 0が極⼩.

Type II: E0<0, が極⼩. (古典スピン不純物の場合)

量⼦不純物系では近藤効果との競合が起こる

⾏列要素の時間反転対称性，コヒーレンス因⼦の違い

磁性不純物のスピン(⾮磁性)

(磁性)

位相⾃由度の復活 に関する補⾜

磁束の量⼦化は, 凝縮系に現れた”トポロジカルな不変量“の代表例．

その他の例：超流動体の量⼦渦，量⼦ホール効果，トポロジカル絶縁体，….

凝縮系では，主としてバルクの性質を中⼼に物理現象にあらわれる普遍性が追及されてきた．

トポロジカルな現象と繋がりがある物理系では，系のトポロジーを変え得る 表⾯散乱，境界条件，不純物効果,などが重要になる．

超伝導体ではトンネル接合系もそのひとつ。

第1部 の まとめ BCS理論において当初、残されていたMeissner効果ゲージ不変性の問題に

関して、 AndersonはRPA近似の範囲でゲージ不変性の回復を論じ、南部はより⼀般的かつ厳密な証明を与えた.

たて波成分のゲージ不変性には、BCSの平均場では考慮されていないため、平均場の回りのゆらぎに対応する集団励起を含める必要があった。

集団励起は、超伝導ギャップの位相の振動モード．⾦属ではさらに⻑距離のCoulomb斥⼒も考慮する必要があり、その結果このモードはプラズマ振動と結合しエネルギーの⾼い励起になり低温では励起されない．

ゲージ不変性の問題の不変性の背景にあった位相の⾃由度は、波数の定義できる振動モードとは異なる形で，磁束の量⼦化、Josephson接合の超伝導電流などに寄与し，Cooper対のエンタングルによる超伝導の巨視的量⼦効果に本質的な役割を果たしている．

II: 凝縮系における場の理論的アプローチ

近藤問題: 量⼦スピン磁性不純物と伝導電⼦が交換相互作⽤する系の基底状態は何か?

Landau の Fermi流体論 から 近藤問題へ

Fermi流体論: 現象論からくりこみ群と有限サイズスペクトルと組み合わせた発展へ

最近の研究: カーボンナノチューブ量⼦ドットの近藤効果・局所Fermi流体

反強磁性的交換相互作⽤ による

近藤効果 原因となる散乱は局在不純物の量⼦スピン と

近藤は電気抵抗を の3次摂動まで計算を⾏い抵抗が低温では log T で上昇すること発⾒し極⼩を説明した(1964).

近藤温度

D: バンド幅

伝導帯の状態密度

“singlet”

温度

磁性不純物を含む⾦属の電気抵抗の温度依存性に⾒られる極⼩の現象

⺟体CuにFe不純物が含まれた系の実験

⺟体⾦属の伝導電⼦スピン の間に働く

このハミルトニアンが量⼦多体問題として解かれたのは 1970年代に成ってから．

特徴: 局在量⼦スピンは伝導電⼦との相互作⽤により運動する

基底状態は singlet：特徴的なエネルギースケール (振動数) は,

局在スピンは で伝導電⼦スピンにより遮蔽される.

Fermi気体: 相互作⽤のない⾃由粒⼦系の場合（出発点として）

⾃由Fermi気体の場合: 全エネルギーは分布関数 (占有数) の汎関数になっている。

基底状態では

基底状態における分布

励起状態のエネルギーは,励起状態の例

●粒⼦

正孔

励起状態における占有数の変化分

(正規積に対して定義された状態を分類するのに必要な量⼦数の組)

{0 or 1}

: １準粒⼦(1準正孔)のエネルギー

Landau の Fermi流体論: 現象論 および 微視的理論の対応

相互作⽤するFermi粒⼦系の場合も，低エネルギーの固有値は分布関数 の汎関数になり で展開できる:

仮定:

：準粒⼦間の残留相互作⽤

1粒⼦Green関数の極と留数

Vertex補正のFermi準位における値

“微視的理論との対応”

“微視的導出には Ward-⾼橋恒等式，Luttinger-Ward汎関数が⽤いられた“

上の“仮定”が成⽴する場合，低エネルギーの極限では，量⼦状態がくりこまれた⾃由Fermi粒⼦系と弱い相互作⽤による補正により、漸近的に厳密に記述されること意味する。

Fermi流体:

相互作⽤するFermi粒⼦系の低エネルギー状態の基本概念

例外の代表例: 1次元朝永-Luttinger流体（低エネルギー励起は⾃由Boson+ゼロモード),

相転移を起こす系 (超伝導，磁気転移，⾦属絶縁体転移)，絶縁体．

(Landauパラメータ)

低エネルギー領域の物理を特徴づけるパラメータ:

Fermi流体: くりこみ群・有限サイズスケーリングとの出会い

“くりこみ変換”

エネルギー汎関数 (Fermi流体の場合):

固定点ハミルトニアン 固定点周りの主要補正項

固定点まわりの振る舞いから係数 および を決定できる!!

定義は考える系によって異なる: [例] 近藤問題の場合に拡張されたFermi流体論では

② Bethe仮説解の有限サイズスペクトル① Wilson 数値くりこみ群 系のサイズが⼤きい極限

の漸近的なふるまい

固定点ハミルトニアン と 有限サイズスケーリング を低エネルギ―状態へのアプローチ

⾮Fermi流体の場合, エネルギー汎関数を定義する量⼦数の組 がFermi流体とは異なる。

⾮Fermi流体の固定点ハミルトニアンの例

① ⾃由Bose気体 (朝永-Luttinger流体)② Wess-Zumino-Witten模型 (多チャンネル近藤系)

⾮Fermi流体にも拡張可能されている (共形場理論と結びついた発展)：

Wilson 数値くりこみ群 (NRG)

⾏列要素は指数関数的に減少

( > 1.0)

近藤模型・Anderson模型に開発された低エネルギー状態を⾼精度で求める数値計算法

Wilsonは伝導帯の対数離散化を導⼊

近藤模型:

伝導電⼦を３重対⾓化(Householder変換)

伝導電⼦系は1次元鎖に変換される:

Fermi準位 EF=0 近くの状態をより忠実に近似

有限サイズスケーリング1次元鎖のサイズ N の増⼤に対する，エネルギー固有値の変化を調べる:

収束値 固定点ハミルトニアン収束の仕⽅ 固定点周りの補正項

数値的に決定

Wilson 数値くりこみ群: 応⽤例

近藤模型:

0 10 20 30 40 50 60 70 800.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0TK/D = 4.4x10-5

=2.25

Eig

enen

ergy

: E N

N

/2 /D

N (even)

Kondo model: J/D = 0.23,

1E-3 0.01 0.1 1 10 100 10000.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Fermi Liquid

Entropy of impurity Spin

J/D = 0.23TK/D = 4.4x10-5 log 2

Kondo model: NRG results

S tota

l - S

cond

T/TK

不純物スピンのエントロピーの温度依存性

1次元鎖のサイズ N の増⼤に対するエネルギー固有値の変化:

収束値 位相のずれ収束の仕⽅ 局所Fermi流体パラメータ

有限サイズ励起スペクトルのN依存性

カーボンナノチューブ量⼦ドットにおける近藤効果

阪⼤・⼩林研介グループ(実験)との共同研究

理論グループの共同研究者： 阪野塁 (東⼤物性研),寺⾕義道 (⼤阪市⼤理)

Wilson数値くりこみ群を⽤いた解析

量⼦ドット: “⼈⼯原⼦”における近藤効果の新局⾯量⼦ドット: 半導体ヘテロ接合界⾯やカボンナノチューブ作成された

“⼈⼯原⼦”。電⼦を狭い領域に閉じ込めることが可能で、電⼦のエネルギー準位は量⼦化される。ゲート電圧でエネギー準位構造や占有電⼦数を制御すことにより、磁性不純物や⾮磁性原⼦の振る舞いを実現できる.

ヘテロ接合の量⼦ドット

近藤効果によるコンダクタンスの増⼤ (奇数個の電⼦占有状態)

ゲート電圧

[van der Wiel, et al, Nature 289,  21055 (2000)]

温度を下げると⽮印の向きに伝導度が変化:

奇数占有電⼦数

奇偶

偶数

占有電⼦数が奇数の場合、量⼦ドットは磁性不純物として振る舞う。コンダクタンスの温度依存性は，近藤効果によるものと説明できる。

量⼦ドットの閉じ込めポテンシャルとエネルギー準位構造

ゲート電圧 Vg によりFermi準位 を⼀定に保ちながら，井⼾型ポテンシャルの底を上下し，エネルギー準位の位置をシフトできる．

Vg

unitary極限値

カーボンナノチューブの場合は、離散準位が２重縮退する。

ゲート電圧:

阪⼤理・⼩林研介グループ,⾼感度の電流ゆらぎ測定系

500 nm

Gate electrode Drain

Source

Carbon Nanotube

500 nm

カーボン・ナノチューブ量⼦ドット

時計まわり

反時計まわり

カーボン・ナノチューブのエネルギー準位の２重縮退:円筒軸まわり回転対称性

ゲード電圧を変えると2準位が同時に を通過する:

カーボン・ナノチューブ系の近藤効果 “局所Fermi流体状態の実現”

M. Ferrier, T. Arakawa, T. Hata, R. Fujiwara , K. Kobayashi, et al,  Nat. Phys. 12, 230 (2016)

4

3

2

1

0

G (e

2 /h)

2826242220Vg (V)

SU(2)近藤状態スピン

SU(4)近藤状態スピン⊗軌道

ゲート電圧

“２重縮退”“縮退がとれている準位”

n=1 n=3

n=2

n=4

測定温度:T=16mK,

模型: SU(N) Anderson model:

Level width:

m’m

(m ≠ m’)

スピンを含めて N 重に縮退した局在量⼦準位をもつ不純物

Δ =Γ/2 0.9meV,6.0meV,

πΔ 2.1,カーボンナノチューブ量⼦ドット(⼩林グループ) の場合の実験値

∆≈ 0.48

A.O, PRB (2001) ,R. Sakano, T. Fujii, A.O., PRB (2011)

Ward恒等式,くりこまれた摂動論を⽤いた導出

波動関数くりこみ因⼦

vertex補正

Green関数の位相

理論との⽐較: 局所Fermi流体論による⾮平衡電流と電流ゆらぎ

電⼦正孔対称 SU(N) Anderson模型にもとづく輸送係数の低温 T，低バイアス eV の極限において漸近的に厳密な表式:

コンダクタンス：

ショットノイズ:

局所Fermi流体のLandauパラメータ:

① 近藤温度:

② Wilson⽐: 準粒⼦間相互作⽤の残留相互作⽤

③ 位相のずれ: 電⼦正孔対称の場合，各軌道の平均占有数は1/2に対応し

/2

実験と理論の⽐較：

∘NRGExperiments

4Γ ΓΓ Γ ≈ 0.92

SU(4)近藤状態のゲート電圧依存性: 理論と実験

ゲート電圧により, 位相のずれ が変化する (電⼦正孔⾮対称 )

4Γ Γ

Γ Γsin

絶対零度極限 T→0 の コンダクタンス G と占有数 :

：Friedel 総和則,

コンダクタンス

第2部 の まとめ

Landauにより現象論的に導⼊されたFermi流体論は、Landauとそのスクールの研究者により、Green関数とWard恒等式を⽤いた微視的導出がされていた。

Fermi流体論は、近藤問題を通し量⼦不純物系への拡張がなされた。さらに、くりこみ群や有限サイズ、および共形場理論との融合により、⾮Fermi流体をも含む、強相関電⼦系の低エネルギー状態を記述する⼀般的なアプローチに発展した、と⾒ることができる。

近藤効果は、元々の希薄磁性合⾦の物理にとどまらず、量⼦ドット、冷却原⼦系など、幅広い系で起こり得る. 量⼦多体問題における奥の深い普遍的な現象のひとつである．

カーボンナノチューブ量⼦ドットで実験的に実現された、局所Fermi流体状態に関する最近の研究について報告した．