Sveuciliste J.J. Strossmayera u Osijeku

Odjel za matematiku

Sveucilisni nastavnicki studij matematike i informatike

Nikolina Kulundzic

Primjena diferencijalnih jednadzbi u fizici

Diplomski rad

Osijek, 2013.

Sveuciliste J.J. Strossmayera u Osijeku

Odjel za matematiku

Sveucilisni nastavnicki studij matematike i informatike

Nikolina Kulundzic

Primjena diferencijalnih jednadzbi u fizici

Diplomski rad

Mentor: Doc.dr. sc. Kresimir Burazin

Osijek, 2013.

Sadrzaj

Uvod 1

1. DIFERENCIJALNE JEDNADZBE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.1. Obicna diferencijalna jednadzba prvog reda . . . . . . . . . . . 2

1.2. Linearna diferencijalna jednadzba prvog reda . . . . . . . . . . . 3

1.3. Linearna diferencijalna jednadzba drugog reda . . . . . . . . . . 5

2. PRIMJENA DIFERENCIJALNIH JEDNADZBI . . . . . . . . . . . . . 10

2.1. Zagrijavanje i hladenje vode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.2. Torricellov zakon istjecanja vode . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.3. Radioaktivni raspad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.4. Strujni krug . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.5. Harmonijski oscilator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.6. Kosi hitac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

Literatura 39

Sazetak 40

Zivotopis 41

3

Uvod

Temelji diferencijalnog racuna postavljeni su u 17. stoljecu uvodenjem pojma deriva-

cije kao mjere promjene. Diferencijalnim racunom, kao osnovom matematicke analize,

opisani su temeljni fizikalni zakoni. Stanja prirode, koja ovise o nekakvim uvjetima,

u odredenom trenutku opisujemo diferencijalnim jednadzbama uz koje dodajemo pri-

padajuce pocetne uvjete. Takav opis nazivamo Cauchyjevim problemom. Rjesenjem

Cauchyjevog problema dobivamo opis proucavanog stanja prirode. Tako, diferenci-

jalnim jednadzbama mozemo opisati gibanje nekog tijela, titranje (npr.: matematicko

njihalo ili harmonijski oscilator), raspad atoma, istjecanje fluida, zagrijavanje i hladenje

tijela itd. Osim u fizici, njihova primjena znacajna je u kemiji, biologiji, medicini, elek-

trotehnici itd.

U prvom poglavlju rada upoznati cemo se s obicnom diferencijalnom jednadzbom,

linearnim jednadzbama prvog i drugog reda, njihovim rjesenjima te Cauchyjevim pro-

blemom. Opisati cemo strukturu rjesenja homogene linearne jadnadzbe drugog reda

te postupak rjesavnja linearne diferencijalne jednadzbe drugog reda s konstantnim

koeficijentima. U drugom poglavlju kroz niz fizikalnih pojava prikazana je primjena di-

ferencijalnih jednadzbi kao matematickih modela u fizici. U svrhu rjesavanja problema

fizikalne zakone kao sto su Drugi Newtonov zakon gibanja, Torricellov zakon istjecanja

vode, Newtonov zakon hladenja, Zakon radioaktivnog raspadanja i Kirchoffov zakon

napona opisali smo diferencijalnim jednadzbama.

1

1. DIFERENCIJALNE JEDNADZBE

Jednadzbe u kojima se osim nepoznate funkcije y = y(x) pojavljuju i neke njene de-

rivacije nazivaju se diferencijalne jednadzbe. Diferencijalna jednadzba koja ne sadrzi

parcijalne derivacije naziva se obicna diferencijalna jednadzba (skraceno ODJ). Ako

diferencijalna jednadzba pak sadrzi parcijalne derivacija naziva se parcijalna diferenci-

jalna jednadzba (PDJ).

Eksplicitni oblik ODJ je

y(n) = f(x, y, y′, · · · , y(n−1))

odnosno njen implicitni oblik

F (x, y, y′, · · · , y(n)) = 0.

Ukoliko se u jednadzbi pojavljuje najvise prva derivacija nepoznate funkcije tada se

ona naziva ODJ prvog reda, ukoliko se pojavljuje najvisa druga derivacija nepoznate

funkcije u jednadzbi ona se naziva ODJ drugog reda, itd. analogno. Sto znaci da gore

zapisani eksplicitni i implicitni oblik jednadzbe je zapis ODJ n−tog reda u eksplicitnom

i implicitnom obliku.

Definicija 1.1 Diferencijalna jednadzba oblika

y(n) + p1(x)y(n−1) + · · ·+ pn−1(x)y′ + pn(x)y = f(x) (1)

u kojoj su pk i f realne funkcije zove se linearna diferencijalna jednadzba n− tog reda.

Ako je f = 0, onda se (1) zove homogena, u protivnom nehomogena.

1.1. Obicna diferencijalna jednadzba prvog reda

Opci oblik obicne diferencijalne jednadzbe prvog reda zapisan eksplicitno

dy

dx= f(x, y)

odnosno implicitno

F (x, y, y′) = 0.

Ukoliko je funkcija f produkt dviju funkcija jedne varijable, tj. f(x, y) = g(x)h(y)

tada je opci oblik ODJ prvog reda

dy

dx= g(x)h(y).

Ovako zapisanu ODJ rjesavamo metodom separacije varijabli (razdvajanjem varijabli).

2

Mnozenjem gornje jednadzbe s dx te dijeljenjem s h(y) dobivamo

dy

h(y)= g(x)dx.

Dobili smo diferencijanlu jednadzbu kojoj su varijable razdvojene, sve sto ovisi o y

nalazi se na lijevoj strani znaka jednakost, a sto ovisi o x nalazi se na desnoj strani.

Kako su g(x) i h(y) poznate funkcije integracijom diferencijalne jednadzbe dobivamo∫dy

h(y)=

∫g(x)dx.

Veza izmedu x i y

y0 = y(x0)

naziva se pocetni uvjet. Integrirajuci svaku stranu jednakosti dobiti cemo rjesenje ODJ,

koje zapravo ovisi o samim funkcijama g i h.

Primjerice, ako je h(y) = 1y, (y 6= 0) i g(x) = −x tada je∫

ydy = −∫xdx.

Integriranjem dobivamo1

2y2 = −1

2x2 + c

gdje je c konstanta integriranja. Odnosno imamo

x2 + y2 = 2c.

Zelimo li odrediti konstantu integracije c moramo imati zadan jos jedan uvjet (vri-

jednost funkcije y(x0) u nekoj tocki x0). Problem pronalazenja rjesenja diferencijalne

jednadzbe koje zadovoljava dani pocetni uvjet, tj. y0 = y(x0) zove se Cauchyjev pro-

blem.

Tako, konstantu c iz gornje jednadzbe mozemo izracunati ako nam je zadan pocetni

uvjet y(1) = 1. Tada je 2c = 2, tj. rjesenje diferencijalne jednadzbe je x2 + y2 = 2.

1.2. Linearna diferencijalna jednadzba prvog reda

Diferencijalna jednadzba oblika

dy

dx+ P (x)y = Q(x)

gdje su P i Q funkcije naziva se obicna linearna diferencijalna jednadzba prvog reda.

Ako je Q = 0 jednadzba se naziva homogena, u protivnom ona je nehomogena. Jed-

nadzba je linearna jer ne sadrzi kvadratne ili vise clanove y2, · · · niti umnoske oblika

3

y( dydx

), medutim jednadzba ne mora biti linearna u varijabli x da bi se nazivala linearna

diferencijalna jednadzba.

Ova jednadzba moze se rijesiti metodom integracijskog mnozitelja. Prvo cemo cijelu

jednadzbu pomnoziti neodredenom funkcijom α(x), ciji cemo oblik odrediti tijekom

postupka, pa imamo

α(x)dy

dx+ α(x)P (x)y = α(x)Q(x).

Odaberimo α tako da bude

α(x)P (x) =dα

dx. (2)

Tada polazna jednadzba postaje

α(x)dy(x)

dx+dα(x)

dxy(x) = α(x)Q(x)

d

dx[α(x)y(x)] = α(x)Q(x).

Integriranjem gornje jednadzbe dobivamo∫d

dx

[α(x)y(x)

]dx =

∫α(x)Q(x)dx

α(x)y(x) =

∫α(x)Q(x)dx+ C0

y(x) =1

α(x)

[∫α(x)Q(x)dx+ C0

]. (3)

Iz (2) odrediti cemo α(x), razdvajanjem varijabli imamo

dα

α= P (x)dx∫

dα

α=

∫P (x)dx

α(x) = C1e∫P (x)dx.

Uvrstavanjem dobivenog izraza za α(x) u (3) rjesenje y(x) linearne diferencijalne jed-

nadzbe glasi

y(x) =1

C1e∫P (x)dx

[∫C1e

∫P (x)dxQ(x)dx+ C0

]

= e−∫P (x)dx

[∫e∫P (x)dxQ(x)dx+

C0

C1

].

4

Sa C2 oznacimo omjer konstanti C0 i C1. Tada konacno rjesenje za y(x) glasi

y(x) = e−∫P (x)dx

[∫e∫P (x)dxQ(x)dx+ C2

]. (4)

Konstantu C2 odredujeno iz pocetnog uvjeta danog za funkciju y. Gornje dobiveno

rjesenje je zbroj dva clana, tj. homogenog, yH i partikularnog, yP dijela rjesenja, pa

vrijedi

y = yH + yP .

Ako je jednadzba homogena, tj. Q = 0 pripadno homogeno rjesenje glasi

yH(x) = C2e−

∫P (x)dx.

Ako je jednadzba nehomogena,tj. Q 6= 0 pripadno partikularno rjesenje glasi

yP (x) = e−∫P (x)dx

∫e∫P (x)dxQ(x)dx.

1.3. Linearna diferencijalna jednadzba drugog reda

Diferencijalna jednadzba oblika

d2y

dx+ P (x)

dy

dx+Q(x)y = R(x)

u kojoj su P,Q,R neprekidne funkcije na nekom intervali I ⊆ R na kojem promatramo

jednadzbu naziva se linearna diferencijalna jednadzba drugog reda.

Definicija 1.2 Kazemo da je funkcija u ∈ C2(I) rjesenje linearne diferencijalne jed-

nadzbe drugog reda ako je

u′′(x) + P (x)u′(x) +Q(x)u(x) = R(x), x ∈ I.

Teorem 1.1 Neka su P,Q,R : I → R neprekidne funkcije na intervalu I ⊆ R. Tada

za svaki x0 ∈ I te za svaki a, b ∈ R Cauchyjev problemd2ydx

+ P (x) dydx

+Q(x)y = R(x)y(x0) = ay′(x0) = b

ima jedno i samo jedno rjesenje.

Uvesti cemo pojam linerane nezavisnosti funkcija, opisati strukturu rjesenja homogene

jednadzbe, te nakon toga opisati postupak rjesavanja linearne diferencijalne jednadzbe

drugog reda u slucaju kada su P,Q konstante.

5

Definicija 1.3 Funkcije y1 i y2 su linearno nezavisne na intervalu I ako identitet

C1y1(x) + C2y2(x) = 0, ∀x ∈ I

pri cemu su C1 i C2 realne konstante, povlaci C1 = C2 = 0.

Za provjeru linearne nezavisnosti potrebni su nam sljedeca definicija i teorem.

Definicija 1.4 Neka su y1, y2 : I → R derivabilne funkcije. Funkcija

W (x) =

∣∣∣∣ y1(x) y2(x)y′1(x) y′2(x)

∣∣∣∣ = y1(x)y′2(x)− y′1(x)y2(x)

je determinanta Wronskog ili Wronskijan funkcija y1 i y2.

Teorem 1.2 Ako su funkcije y1 i y2 linearno zavisne na intervalu I, tada je njihov

Wronskijan identicno jednak nula.

Dokaz. Neka je

C1y1 + C2y2 = 0,

pri cemu je , npr., C2 6= 0. Tada je y2 = λy1 za λ = −C1/C2. Tada je i

W =

∣∣∣∣ y1 λy1(x)y′1 λy′1(x)

∣∣∣∣ = λ

∣∣∣∣ y1 y1(x)y′1 y′1(x)

∣∣∣∣ = 0, ∀x ∈ I.

2

Zakljucak, dvije realne funkcije derivabilne na intervalu I ⊆ R su linearno nezavisne

na I cim je njihov Wronskijan u barem jednoj tocki intervala I razlicit od nule.

Pripadna homogena jednadzba drugog reda glasi

d2y

dx+ P (x)

dy

dx+Q(x)y = 0. (5)

Struktura skupa svih rjesenja homogene jednadzbe dana je sljedecim teoremima.

Teorem 1.3 Ako su y1 i y2 dva rjesenja homogene jednadzbe (5) na intervalu I ⊆ R,

tada je i svaka njihova linearna kombinacija C1y1 + C2y2, C1,2 ∈ R takoder rjesenje te

jednadzbe na intervalu I.

Dokaz. Linearnu kombinaciju rjesenja oznacimo sa y = C1y1 + C2y2. Tada jedy

dx=

C1y′1 + C2y

′2 i

d2y

dx= C1y

′′1 + C2y

′′2 . Uvrstavanjem u jednadzbu imamo

d2y

dx+ P (x)

dy

dx+Q(x)y = C1y

′′1(x) + C2y

′′2(x) + P (x)[C1y

′1(x) + C2y

′2(x)]

+ Q(x)[C1y1(x) + C2y2(x)]

= C1[y′′1(x) + P (x)y′1(x) +Q(x)y1(x)]

+ C2[y′′2(x) + P (x)y′2(x) +Q(x)y2(x)]

= C1 · 0 + C2 · 0 = 0.

6

2

Teorem 1.4 Neka su y1 i y2 dva rjesenja homogene jednadzbe (5). Sljedece tvrdnje su

ekvivalentne:

(i) W (x) 6= 0 za svaki x ∈ I,

(ii) W (x0) 6= 0 za neki x0 ∈ I,

(iii) funkcije y1 i y2 su linearno nezavisne na intervalu I,

(iiii) opce rjesenje jednadzbe (5) dano je s C1y1 + C2y2.

Dokaz mozete pogledati u [5].

Skup linearno nezavisnih rjesenja homogene jednadzbe (5) zove se fundamentalan skup

rjesenja.

Sada cemo promatrati linearnu diferencijalnu jednadzbu kojoj su koeficijenti uz dydx

i y

konstante. Takva jednadzba naziva se linearna jednadzba drugog reda s konstantnim

koeficijentima. Pripadna homogena diferencijalna jednadzba glasi

d2y

dx+ P

dy

dx+Qy = 0. (6)

Rjesenje gornje diferencijalne jednadzbe mozemo naslutiti. Svakako je y = 0 rjesenje,

ali ono je trivijalno rjesenje. Potrazimo njezina rjesenja u obliku

y = eλx

gdje je λ realan ili kompleksan broj. Prema teoremu (1.4) trebamo naci dva linearno

nezavisna rjesenja. Tada je y′ = λeλx, y′′ = λ2eλx. Uvrstavanjem u (6) imamo

λ2eλx + Pλeλx +Qeλx = 0

(λ2 + Pλ+Q)eλx = 0

sto je, zbog eλx 6= 0, ekvivalentno s

λ2 + Pλ+Q = 0.

Ovu algebarsku jednadzbu zovemo karakteristicnom jednadzbom diferencijalne jed-

nadzbe (6), a njezine korjene

λ1,2 =−P ±

√P 2 − 4Q

2

karakteristicnim korjenima te diferencijalne jednadzbe. Dakle, jednadzbu (6) zado-

voljavaju funkcije y1 = eλ1x i y2 = eλ2x, gdje su λ1 i λ2 karakteristicni korjeni te

jednadzbe.

Ovisno o predznaku diskriminante karakteristicne jednadzbe razlikujemo tri slucaja.

7

1. Ako je P 2 − 4Q > 0, nul-tocke su realne i razlicite, λ1 6= λ2, λ1, λ2 ∈ R. Tada su

y1 = eλ1x, y2 = eλ2x

dva linearno nezavisna rjesenja homogene jednadzbe zbog

W =

∣∣∣∣ eλ1x eλ2x

λ1eλ1x λ2e

λ2x

∣∣∣∣ = e(λ1+λ2)x(λ2 − λ1) 6= 0

pa je

yH = C1eλ1x + C2e

λ2x.

2. Ako je P 2 − 4Q = 0, tada je nul-tocka realna i dvostruka, λ1 = λ2 = λ = −P2.

Sljedeci teorem govori o rjesenju takve homogene jednadzbe.

Teorem 1.5 Ako karakteristcna jednadzba linearne homogene jednadzbe

d2y

dx+ P (x)

dy

dx+Q(x)y = 0, P (x), Q(x) ∈ R,

ima samo jedno rjesenje, tj. ako je λ1 = λ2 = λ = −P2∈ R, onda je uz y1 = eλx

rjesenje i y2 = xeλx. Funkcije x 7→ eλx i x 7→ xeλx su linearno nezavisne na Rpa je

yH = C1eλx + C2xe

λx

rjesenje jednadzbe.

Dokaz. Ako karakteristicna jednadzba λ2 + Pλ + Q = 0 ima jedno dvostruko

rjesenje onda je diskriminanta jednaka nuli, tj. Q =P 2

4. Najprije cemo provjeriti

da je funkcija x 7→ xe−P2x jedno rjesenje jednadzbe

d2y

dx+ P

dy

dx+P 2

4y = 0.

y = xe−P2x ⇒ dy

dx=(

1− P

2x)e−

P2x ⇒ d2y

dx=(− P +

P 2

4x)e−

P2x;

d2y

dx+ P

dy

dx+P 2

4y =

(− P +

P 2

4x)e−

P2x + P

(1− P

2x)e−

P2x +

P 2

4xe−

P2x

=(− P +

P 2

4x+ P − P 2

2x+

P 2

4x)e−

P2x = 0.

Preostaje jos pokazati da su funkcije x 7→ eλx i x 7→ xeλx linearno nezavisne.

Izracunajmo njihov Wronskijan.

W (x) =

∣∣∣∣ eλx xeλx

λeλx (1 + λx)eλx

∣∣∣∣ = (1 + λx)e2λx − λxe2λx = e2λx 6= 0, ∀x ∈ R.

Kako je njihov Wronskijan razlicit od nule dokaz je gotov. 2

8

3. Ako je P 2−4Q < 0, nul-tocke su konjugirano kompleksne, λ1 = λ2 ∈ C, odnosno

λ1 = −P2

+ i

√4Q− P 2

2≡ α + βi, λ2 = −P

2− i√

4Q− P 2

2≡ α− βi

onda je

y = e(α+βi)x = eαx(cos βx+ i sin βx).

Konjugirano kompleksni korijen λ1 daje dva realna rjesenja

y1 = eαx cos βx i y2 = eαx sin βx. (7)

Kako za njihov Wronskijan vrijedi

W (x) =

∣∣∣∣ eαx cos βx eαx sin βxeαx(α cos βx− β sin βx) eαx(α sin βx+ β cos βx)

∣∣∣∣= (α sin βx cos βx+ β cos2 βx− α sin βx cos βx+ β sin2 βx)e2αx

= βe2αx 6= 0, ∀x ∈ R

ona su linearno nezavisne na R.

Konjugirano kompleksni korjen λ2 daje realna rjesenja

y∗1 = eαx cos βx i y∗2 = −eαx sin βx (8)

koja su linearno zavisna od prethodnih realnih rjesenja. Tako paru konjugirano

kompleksnih korjena odgovaraju linearno nezavisna rjesenja (7) ili (8).

9

2. PRIMJENA DIFERENCIJALNIH JEDNADZBI

2.1. Zagrijavanje i hladenje vode

U ovom poglavlju proucavati cemo model zagrijavanja i hladenja vode pomocu elek-

tricnog grijaca. Tako, npr. mozemo se pitati je li efikasnije i jeftinije bojler gasiti preko

noci i opet ga paliti malo prije nego sto nam je potreban ujutro ili ostaviti termostat

da kontrolira temperaturu cijelu noc?

Varijable koje cemo koristiti:

Q - toplina

t - vrijeme zagrijavanja

m - masa tekucine

θ - temperatura tijela

∆θ - promjena temperature tijela

c - specificni toplinski kapacitet

j - koeficijent prijelaza topline.

Najprije cemo pogledati nacin kako se voda zagrijava, a nakon toga kako se hladi.

Pretpostavimo da pocnemo s metalnim spremistem za vodu punim hladne vode koju

zagrijava elektricni grijac u potpunosti uronjen u vodu. Takoder pretpostavimo da je

temperatura vode jednaka svagdje unutar cilindra. U praksi voda bi bila vise tempe-

rature u blizini grijaca, koji cesto doseze do pola cilindra.

Pretpostavimo jos da je toplina potrebna za promjenu temperature tijela produkt kons-

tantne stope q za vrijeme t, tako da je ukupni iznos topline dan s

Q = qt.

Eksperiment pokazuje da toplina potrebna za promjenu temperature vode ∆θ mase m,

proporcionalna s m i ∆θ.

Prema tome Q je proporcionalno s m∆θ:

Q = cm∆θ (9)

gdje je c konstanta proporcionalnosti koja se naziva specificni toplinski kapacitet.

Mjerna jedinica za toplinu, kao oblik energije, je Joule(J).

10

Slika 1: Uronjeni grijac

Snaga P je omjer rada (u nasem slucaju, toplina kao energija za promjenu temperature

tijela) i vremena u kojemu je rad izvrsen. Mjerna jedinica za snagu je Watt(W).

1Js−1 = 1W.

Iz (9) vidimo da je jedinica za specificni toplinski kapacitet Jkg−1K−1, gdje je K oznaka

za Kelvin.

Za vodu specificni toplinski kapacitet iznosi c = 4200Jkg−1K−1 i mozemo procijeniti

koliko treba grijacu od 3 kW da zagrije 100 kg vode s 15◦C na 60◦C.

Znajuci da je snaga omjer promjene energije u jedinici vremena mozemo pisati P = Qt,

odnosno t = QP

= cm∆θP

Sada, uvrstavanjem gore danih podataka u izraz za t dobivamo:

t = 4200 · 100 · 45/3000 = 13

4sata.

Da li je ovo moguce u stvarnosti? Tipican cilindar sadrzi oko 100 kg vode, ali vrijeme

dobiveno je predugo. Sto nam govori da smo u modelu imali krivu pretpostavku.

Pretpostavka da je sva voda u cilindru iste temperature nije tocna, jer uronjeni grijac

u cilindru doseze do polovine razine vode (sto se vidi i na Slici 1.), te stoga samo voda

iznad polovice je zagrijana. I drugo, u gornjem razmatranju u obzir nismo uzeli utjecaj

kucista cilindra, tj. prevlaku cilindra. Zagrijavajuci vodu, dio topline prelazi na kuciste

cilindra zagrijavajuci i njega, te je potrebno vise vremena da bi voda postigla zeljenu

temperaturu. Kako je grijac na vrhu cilindra, hladna voda tone, a topla se dize, te

mozemo pretpostaviti da toplina utjece samo na polovicu mase vode. To nam daje

vrijeme zagrijavanja t = 5212

minute, sto je u boljem slaganju sa stvarnoscu.

11

Da bi model bio blizi stvarnosti moramo u racun uzeti uobzir prevlaku cilindra i okolinu,

tj. dio ulozene topline (toplina koju daje grijac) se gubi na okolinu, a dio na zagrijavanje

prevlake. Ako je kuciste (prevlaka) cilindra jednake temperature kao i voda s kojom

je u dodiru, i mp masa tog dijela kucista koje okruzuje zagrijanu vodu, tada je

Q = cvmv∆θ + cpmp∆θ

gdje indeks v predstavlja vodu, p prevlaku, te imamo zanemarivo gubljenje topline u

okolinu.

Za primjer, ako imamo bakreni cilindar mase 5kg ciji je specificni toplinski kapacitet

400Jkg−1K−1, onda vrijeme potrebno da temperatura vode s 15◦C dode do 60◦C dano

je s

t = (4200 · 50 + 400 · 5) · 45/3000 = 531

2minute.

Dobiveno vrijeme u skladu je sa stvarnoscu, te razmatranje gubitka topline u okolinu

ispada relativno nevazno.

Sljedeci pokus prikazuje hladenje vode:

U casu ulite vrucu vodu i toplomjerom odcitajte pocetnu temperaturu tekucine. Sva-

kih 20 minuta tijekom 2 sata ponavljajte mjerenje temperature vode toplomjerom.

Dobivene podatke unesite u graf i spojite linijom.

Dobiveni podaci hladenja vode prikazani su donjom tablicom. Obujem vode kojoj smo

mjerili temperaturu iznosio je 5 dcl.

Vrijeme u minutama Temperatura

0 81 ◦C20 48.5 ◦C40 37 ◦C60 31 ◦C80 27.5 ◦C100 24.9 ◦C120 23 ◦C

Dobivene podatke pokusa unesemo u graf te spojimo izlomljenom linijom (Slika 2.).

Izmjerimo koeficijent linearne funkcije redom u intervalima ∆t = 20min, ∆t = 40min,

∆t = 60min, ∆t = 80min, ∆t = 100min i ∆t = 120min.

Nakon 20 minuta temperatura vode pala je s 81◦C na 48.5◦C, tj. promjena temperature

vode iznosi 32.5◦C. Tada koeficijent linearne funkcije u intervalu od t1 = 0min do

t2 = 20min iznosi 1.625. Za interval t1 = 0min do t2 = 40min koeficijent linearne

funkcije iznosi 1.1. Za sve ostale intervale na isti nacin izracunamo koficijent. Slika 3.

prikazuje dobivene koeficijente za sve intervale u grafu s temperaturom.

12

Slika 2: Hladenje tekucine

Slika 3: Koeficijenti linearne funkcije

Graf bi trebao dati liniju pribliznu ravnoj liniji sto predstavlja Newtonov zakon hladenja

koji kaze da je promjena temperature tijela proporcionalna razlici temperature tijela i

temperaturi okoline. U matematickom zapisu glasi

dθ

dt= −k(θ − θokoline) (10)

gdje je θ temperatura tijela, θokoline temperatura okoline i k pozitivna konstanta. Do-

bivenu diferencijalnu jednadzbu rjesavamo metodom separacije varijabli. Pa imamo:∫dθ

θ − θokoline=

∫−kdt.

13

Kako je k konstanta, integrirajuci svaku stranu dobivamo

ln(θ − θokoline) = −kt+ c

gdje je c prizvoljna konstanta. To je ekvivalentno

θ − θokoline = e−kt+c = Ce−kt

gdje je ec = C konstanta. Te konacno

θ(t) = θokoline + Ce−kt.

Pretpostavimo da je θ(0) = θ0, tada je

θ(0) = θ0 = θokoline + Ce0,

odakle slijedi da je C = θ0 − θokoline. Tada Newtonov zakon hladenja glasi

θ(t) = θokoline + (θ0 − θokoline)e−kt.

U trenutku t temperatura tijela odnosno rjesenje diferencijalne jednadzbe iz (10) dano

je s

θ(t) = θ0e−kt.

Nakon razmatranja pokusa hladenja vode u salici, vratimo se na hladenje vode unutar

cilindra s uronjenim grijacem. Pokusati cemo naci priblizan iznos za konstantu k iz

matematickog zapisa Newtonovog zakona hladenja. Brzina gubitka topline tijela (u

nasem slucaju, vode unutar cilindra) q proporcionalna je povrsini a koju tijelo zauzima

i promjeni temperature ∆θ. Tada vrijedi

q = ja∆θ

gdje je j konstanta. Sada, ako je Q ukupna toplina, onda

dQ

dt= −ja(θ − θokoline).

Ali iz Q = (cvmv + cpmp)∆θ, dobivamo

dθ

dt=

[−ja

cvmv + cpmp

](θ − θokoline) (11)

pa parametar k u (10) iznosija

cvmv + cpmp

.

Rjesenje diferencijalne jednadzbe u (11) ima eksponencijalni pad, jer je parametar k

negativan (tj. minus ispred k nam osigurava negativnost iznosa parametra k), i ono je

prikazano na Slici 4.

14

Slika 4: Dijagram promjene temperature tijela i vremena

Znajuci da ∆θ pada eksponencijalno mozemo vidjeti da je nagib krivulje veci kad je

∆θ veca nego kad je manja. Stoga odrzavanje vode vrucom znaci da se voda hladi

najvecom brzinom, gubitak topline se ispravlja redovitim pojacavanjem grijaca.

U drugu ruku, pustajuci vodu da se hladi dok ne bude potrebna vruca voda znaci da

se hladenje odvija postupno sporije, sto je pokazano nagibom krivulje koja postaje sve

manje strma. Gubitak topline tijekom vremenskog razdoblja mora dakle biti manji,

pa ukupno treba manje topline da se voda ponovno ugrije. Graficki argumenti tako

pokazuju da je jeftinije gasiti bojler (grijac) dok voda ne bude potrebna.

15

2.2. Torricellov zakon istjecanja vode

Pokus: Uzmemo prozirnu plasticnu bocu oblika valjka minimalne visine 10 cm. Na-

pravimo rupu dijametra 2 mm pri dnu boce. Fiksiramo skalu na bocu, napunimo je i

mjerimo vrijeme istjecanje vode za svaki centimetar u visini. Ponovimo eksperiment 3

ili 4 puta te zapisemo rezultate. U donjoj tablici zapisani su rezultati vremena istjeca-

nja vode izrazenog u sekundama kroz 6 mjerenja po visini boce izrezene u centimetrima.

Visina 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

1. 7 17 29 42 54 68 84 101 121 147 1802. 6 17 28 42 53 68 83 101 121 147 1813. 7 18 30 41 54 67 84 102 121 147 1794. 6 17 28 41 53 68 83 100 120 146 1795. 7 18 30 41 54 68 84 101 121 146 1806. 6 17 29 41 54 67 83 101 120 146 179

Prosjek 6.5 17.3 29.0 41.3 53.7 67.7 83.5 101.0 120.7 146.5 179.7

Varijable koje koristimo:

t - vrijeme od kada je voda krenula teci

h - visina vode iznad izlazne rupe

u - volumen vode u boci

V - volumen vode koja je istekla.

Pri istjecanju vode bez gubitaka u okolinu promjena volumena vode u boci jednaka je

volumenu vode koja je istekla, tj.du

dt= −V.

Kako je u = u0 +Ah, gdje je u0 volumen vode u boci ispod rupe i A povrsina poprecnog

presjek vode imamo

Adh

dt= −V. (12)

Iz eksperimenta vidimo da V ovisi o h. Zapravo, ako se h smanjuje volumen istjecene

vode se povecava, odnosno

V = ah

gdje je a pozitivna konstanta.

Sada iz (12) i V = ah te zapisom λ = aA

dobivamo diferencijalnu jednadzbu

dh

dt= −λh

16

koju rjesavamo metodom separacije varijabli kao i diferencijalnu jednadzbu (10) u

modelu zagrijavanje i hladenje vode. Njeno rjesenje je h = Ke−λh, gdje je K proizvoljna

konstanta.

Logaritmiranjem gore dobivenog rjesenja imamo

lnh = lnK − λt.

Tada bi graf lnh(t) trebao dati rezultate u ravnoj liniji. Podaci dobiveni nasim ekspe-

rimentom dani su na Slici 5.

Slika 5: Dijagram lnh i vremena t

Jasno je da bi podaci bolje odgovarali liniji koja se savija prema dolje nego ravnoj liniji.

Stoga ne mozemo imati previse povjerenja u nas model.

Zadnja pouzdana pretpostavka pokazala se funkcionalna za V = V (h), V = ah. Pos-

toje dva nacina za postupak. Svaki se sastoji od analiza cinjenica, te ili empirijskog

izvoda veze izmedu V i h kojoj odgovara cinjenica, ili pokusaju boljeg razumjevanja

pozadine fizickog procesa.

Pokusati cemo drugu metodu koja se oslanja na fizicki princip, zvan Torricellov za-

kon, koji mozemo koristiti.

”Za neviskoznu tekucinu brzina istjecanja v u mlazu kroz rupu u spremniku, gdje je

povrsina rupe puno manja od povrsine tekucine, dana je s

v2 = 2gh

gdje je h visina otvora od povrsine tekucine, a g ubrzanje zemljine sile teze.”

Volumen istjecene vode jednak je umnosku brzine v i povrsine izlazne rupe k:

V = kv

17

odnosno

V = k(2gh)1/2. (13)

Uvrsatavajuci gore dobiveni izraz u diferencijalnu jednadzbu iz (12) imamo

dh

dt= −µh1/2, µ =

k(2g)12

A.

Dobivena je diferencijalna jednadzba koja se rjesava metodom separacije varijabli, koju

mozemo zapisati kao ∫dh

h12

=

∫−µdt

2h12 = −µt+B

h12 =−µt

2+B

2.

Slika 6: Dijagram h1/2 i vremena t

Graf h12 (t) dobiven podacima iz eksperimenta trebao bi biti prikazan ravnom linijom.

Prikaz dobivenih podataka za istjecanje vode u visini 11 cm u vremenu t dan je gornjim

grafom. Visina vode na grafu prikazana je s√h.

Visina vode u eksperimentu bila je 11 cm, sto je relativno mala visina, te mozemo

zakljuciti da je pretpostavka, da ce podaci u grafu biti predstavljeni ravnom linijom,

tocna za mali h.

18

2.3. Radioaktivni raspad

Zakon radioaktivnog raspada opisuje smanjenje kolicine neraspadnute tvari tokom vre-

mena.

Varijable koje koristimo:

N - kolicina neraspadnute tvari u trenutku t

t - vrijeme

λ - konstanta radioaktivnog raspada, λ > 0

T1/2 - vrijeme poluraspada.

Radioaktivni raspad pretvara jednu jezgru atoma neraspadnute tvari u drugu ako nova

jezgra ima vecu energiju vezanja po nukleonu nego sto je imala pocetna jezgra. Vjero-

jatnost da ce se pojedina atomska jezgra raspasti tijekom nekog vremenskog intervala

ne ovisi o dobi jezgre ili o tome kako je ona stvorena.

Zakon radioaktivnog raspada: Promjena kolicine neraspadnute tvari po jedinici vre-

mena proporcionalna je kolicini neraspadnute tvari, tj.

dN

dt= −λN.

Znak minus u jednadzbi oznacava cinjenicu da se povecanjem vremena raspada t sma-

njuje kolicina neraspadnute tvari. Gornja jednadzba je obicna diferencijalna jednadzba

prvog reda koju rjesavamo metodom separacije varijabli.

Dijeljeci gornju jednadzbu s N imamo:

dNdt

N= −λ

odnosnodN

N= −λdt.

Integrirajuci gornju jednadzbu dobivamo∫dN

N=

∫−λdt,

tj. primjenjuci Newton-Leibnizovu formulu u granicama od N0 do N imamo

ln |N |

N

N0

= lnN − lnN0 = −λt

odnosno

lnN

N0

= −λt.

19

Konacno dobivamo

N = N0e−λt,

izraz za kolicinu neraspadnute tvari nakon vremena t u odnosu na pocetnu kolicinu

neraspadnute tvari.

Proces radioaktivnog raspada eksponencijalni je proces, jer kolicina neke tvari koja ce

se raspasti u datom vremenskom intervalu je razmjerna kolicini te tvari.

Promotrimo trenutak t0 i trenutak t1, t1 > t0 za koji vrijedi N(t1) = 12N(t0). Dobivamo

jednadzbu

N0e−λt1 =

1

2N0e

−λt0

eλ(t1−t0) = 2.

Logaritmiranjem dobivamo rjesenje

t1 − t0 =ln 2

λ=

0.693

λ.

Razlika t1 − t0 naziva se vrijeme poluraspada i oznaciti cemo ju s T1/2. Zakljucujemo

da je vrijeme poluraspada neovisno o odabranom trenutku t0, o pocetnoj kolicini N0

te o zatecenoj kolicini tvari N(t0) u trenutku t0.

Uvrstavajuci vrijeme poluraspada u izraz za N dobivamo

N = N0e− ln 2·t

T1/2 = N02− t

T1/2 .

Moguce je u svakom trenutku odrediti vjerojatnost da ce se neka tvar raspasti nakon

isteka nekog vremena. Ta vjerojatnost iznosi 50% za vrijeme poluraspada, 25% za

vremenski interval 2T1/2, a 12.5% za vremenski interval 3T1/2, itd.

Medutim, nemoguce je odrediti trenutak u kome ce se neka tvar raspasti. Na primjer,

ako je vjerojatnost raspada neke tvari tokom slijedece sekunde 99%, svejedno je moguce,

iako nije vjerojatno, da ce ta tvar ostati neraspadnuta i nakon isteka mnogo milijuna

godina.

20

2.4. Strujni krug

Promatrati cemo jednostavni strujni krug koji sadrzi otpornik, te induktor ili kon-

denzator u serijskom spoju s izvorom elektromotorne sile. Dinamika strujnog kruga

zasnovana je na sljedecim pretpostavkama:

Slika 7: Jednostavni strujni krug

Elekotromotorna sila E (elektromotorni napon ili unutrasnji napon izvora) uzrokuje da

struja jakosti I tece kroz strujni krug, to moze biti baterija ili generator koji proizvodi

razliku potencijala, tj. napon. Mjerna jedinica za elektromotornu silu je Volt. Jakost

elektricne struje I i naboj Q povezani su relacijom

I =dQ

dt. (14)

Mjerna jedinica za jakost elektricne struje je Ampere, a za naboj Coulomb.

Otpornik R u strujnom krugu predstavlja otpor elektricnoj struji, kao sto je zarulja ili

toster u strujnom krugu. Elektricni otpor izrazava omjer napona i jakosti elektricne

struje. Mjerna jedinica za elektricni otpor je Ohm. Napon, tjerajuci struju kroz ot-

pornik, trosi se, tj. dolazi do pada napona. Pad napona je razlika napona koji je bio

na pocetku otpornika i onoga na kraju otpornika. Napon se smanjuje prolaskom struje

kroz otpornik. Pad napona dan je Ohmovim zakonom:

ER = RI, (15)

gdje je ER pad napona struje koja je prosla kroz otpornik.

Magnetsko polje zicane zavojnice, proizvedeno prolaskom struje, protivi se bilo kakvoj

promjeni struje kroz zavojnicu. Promjena napona proizvedena u zavojnici proporci-

onalna je brzini promjene struje i konstanti proporcionalnosti, tj. induktivitetu L kao

svojstvu zavojnice kroz koju protjece elektricna struja. Mjerna jedinica za induktivitet

je Henry. Induktivitet proizvodi pad napona dan s

EL = LdI

dt. (16)

21

Kondenzator se obicno sastoji od 2 metalne ploce (vodica) razdvojenih materijalom

kroz koji moze prolaziti vrlo mala struja. Kondenzator ima ucinak promjene smjera

protoka struje kada jedna ili druga ploca postaju pune naboja. Elektricni kapacitet

kondenzatora C pohranjuje elektricni naboj u strujnom krugu proizvodeci tako pad

napona:

EC =Q

C. (17)

Mjerna jedinica za elektricni kapacitet je Farad.

Za nase razmatranje uzeti cemo da su velicine R, L i C su konstante, dok E moze biti

konstanta ili funkcija vremena. Kirchoffovim zakonom napona dan je pad napona u

krugu: ”Napon izvora kojim se napaja strujni krug jednak je zbroju padova napona po

ostalim elementima strujnoga kruga.” Posljedica Kirchoffova zakona: ”Suma ukupnog

pada napona unutar zatvorenog strujnog kruga jednaka je nuli.”

Primjenjujuci Kirchoffov zakon na strujni krug sa Slike 7.(i) imamo:

ER + EL − E = 0,

te koristeci (15) i (16) dobivamo

RI + LdI

dt= E.

Djeljenjem gornje jednakosti s L imamo:

dI

dt+R

LI =

E

L.

Dobivena je linearna diferencijalna jednadzba prvog reda koju cemo rijesiti integraci-

jom. Faktor integracije kojim cemo mnoziti diferencijalnu jednadzbu dan je s e∫

RLdt =

eRtL .

Imamo

eRtLdI

dt+R

Le

RtL I =

E

Le

RtL .

Lijevu stranu mozemo zapisati kao ddt

(eRtL I), pa vrijedi

d

dt(e

RtL I) =

E

Le

RtL .

Integrirajuci dobivamo

eRtL I =

∫E

Le

RtL dt+ A,

gdje je A konstanta integracije. Tada mozemo zapisati rjesenje dano s:

I(t) = e−RtL

∫E(t)

Le

RtL dt+ Ae−

RtL .

22

Primjerice, ako je E(t) = E konstanta, onda imamo

I(t) = e−RtLE

Le

RtLL

R+ Ae−

RtL =

E

R+ Ae−

RtL

i ako I(0) = I0 struja je dana s

I(t) =E

R+ (I0 −

E

R)e−

RtL .

Graf ovog rjesenja prikazana je na Slici 8.

Slika 8: Promjena struje

Kako vidimo struja tezi prema ravnomjernom polozaju kako se vrijeme povecava.

Ispitati cemo ponasanje kondenzatora u RC krugu sa Slike 7.(ii). Imamo dva slucaja,

nabijanje kondenzatora i izbijanje kondenzatora. U pocetnom trenutku kondenzator je

nenabijen. Zatvaranjem strujnog kruga naboj se pocinje gibati, struja tece i konden-

zator se nabija. Tada, primjenom Kirchoffova zakona imamo

ER + EC − E = 0.

Buduci da je I = dQdt

te koristeci (15) i (17) dobivamo

RdQ

dt+Q

C= E.

Ponavljajuci isti postupak kao i za strujni krug na slici (i), imamo:

dQ

dt+

Q

CR=E

R.

Faktor integracije za dobivenu linearnu diferencijalnu jednadzbu prvog reda iznosi

e∫

1CR

dt = et

CR .

Mnozeci njime prethodnu jednakost dobivamo

et

CRdQ

dt+

Q

CRe

tCR =

E

Re

tCR

23

odnosnod

dt(e

tCRQ) =

E

Re

tCR .

Integrirajuci gornju diferencijalnu jednadzbu dobivamo da je

et

CRQ =

∫E

Re

tCRdt+ A

gdje je A konstanta integracije. Sada mozemo izraziti naboj ovisan o vremenu kao:

Q(t) = e−t

CR

∫E(t)

Re

tCRdt+ Ae−

tCR .

Kao i u prethodnom slucaju, ako uzmemo da je E(t) = E konstanta, onda imamo

Q(t) = e−t

CRE

RCRe

tCR + Ae−

tCR = EC + Ae−

tCR

i ako je Q(0) = Q0 naboj je dan s

Q(t) = EC + (Q0 − EC)e−t

CR .

Graf ovog rjesenja prikazan je na slici 9.

Slika 9: Promjena naboja pri nabijanju kondenzatora

Na pocetku naseg razmatranja velicinu C definirali smo kao konstantu, dok smo za

velicinu E rekli da moze biti ili konstanta ili funkcija vremena. Uzimajuci da je i

velicina E konstanta integracijsku konstanu A mozemo zapisati kao A = −EC. Tada

dobiveni izraz za naboj mozemo zapisati u obliku

Q(t) = EC − ECe−t

CR = EC(

1− e−t

CR

).

Buduci da je I = dQdt

imamo

I(t) = ECd

dt

(1− e−

tCR

)24

odnosno

I(t) = EC1

CRe−

tCR .

Kako je I(0) = I0 = ER

konacno je

I(t) = I0e− t

CR .

Promjena struje u RC krugu prikazana je slikom 10.

Slika 10: Promjena struje pri nabijanju kondenzatora

U slucaju izbijanja kondenzatora u RC krugu prvo nabijemo kondenzator, a zatim

otvorimo strujni krug i preko otpornika izbijamo kondenzator. Sada imamo

EC + ER = 0.

Buduci da je I = dQdt

te koristeci (15) i (17) dobivamo

RdQ

dt+Q

C= 0.

Dijeljeci gornju jednadzbu s R dobivamo linearnu homogenu diferencijalnu jedandzbu

prvog reda ciji je faktor integracije e∫

1CR

dt = et

CR te imamo

et

CRdQ

dt+ e

tCR

Q

CR= 0

odnosnod

dt

(e

tCRQ

)= 0.

Integrirajuci dobivenu diferencijalnu jednadzbu dobivamo

et

CRQ = A.

Konacno imamo

Q(t) = Ae−t

CR .

25

U ovom slucaju integracijsku konstantu A mozemo zapisati kao umnozak velicina E i

C koje su takoder konstante. Tako, dobiveni izraz za naboj mozemo zapisati kao

Q(t) = ECe−t

CR .

Znajuci da je I = dQdt

mozemo pisati

I(t) =d

dt

(ECe−

tCR

)I(t) = −EC 1

RCe−

tCR .

Kako je I(0) = I0 = ER

konacno je

I(t) = −I0e− t

CR .

Promjena naboja i struje u slucaju izbijanja kondezatora prikazana je slikom 11.

Slika 11: Promjena naboja i struje pri izbijanju kondenzatora

Analizu jednostavnog strujnog kruga prosiriti cemo primjenjujuci teoriju na neznatno

kompliciraniju mrezu prikazanu na slici.

Slika 12: Strujni krug

Strujni krug prikazan na slici sastoji se od elektromotorne sile E, otpornika otpora R,

zicane zavojnice induktiviteta L i kondenzatora kapaciteta C.

26

Primjenjujuci Kirchhoffov zakon imamo:

LdI

dt+RI +

Q

C= E. (18)

Kako je

I(t) =dQ

dtdiferenciranjem gornje jednakosti dobivamo

Ld2I

dt2+R

dI

dt+I

C= E

gdje je E = konstanta.

Pripadna homogena jednadzba dobivene linearne diferencijalne jednadzbe 2. reda ima

karakteristicnu jednadzbu

m2 +R

Lm+

1

CL= 0,

koja ima rjesenje dano s

m = (−R±√R2 − 4L/C)/2L.

Primjer. Pretpostavimo da je L = 1 henry, R = 100 ohma, C = 10−4 farada, E = 1000

volta, te da je I(0) = 0 i Q(0) = 0, tj. nema protoka struje i naboja.

Tada je

m = −50± 50√

3i.

Rjesenje linearne homogene diferencijalne jednadzbe 2. reda je

I = e−50t(A cos 50√

3t+B sin 50√

3t).

Kako je I(t0) = 0, A nam mora biti 0, i

I = Be−50t sin 50√

3t.

Sad, iz (18) imamo

Q = C[E − LdIdt−RI] =

1

10− Be−50t[sin 50

√3t+

√3 cos 50

√3t]

200.

Kako je Q(t0) = 0, imamo da je B = 20√3. Prema tome

I =20e−50t sin 50

√3t√

3,

Q =1

10− e−50t[sin 50

√3t+

√3 cos 50

√3t]

10√

3.

Jednadzbe pokazuju da struja brzo pada prema nuli, dok naboj tezi stabilnom stanju

vrijednosti od 110

Coulomba.

27

2.5. Harmonijski oscilator

Varijable koje cemo koristiti:

m - masa tijela

F (t) - vanjska sila

a - duzina opruge u trenutku mirovanja tijela

x - produljenje opruge od polozaja mirovanja

Fo - sila opruge

Fp - sila prigusenja.

Razmotriti cemo idealni vibracijski sustav.

Tijelo mase m pricvrsceno je na oprugu koja je pricvrscena u fiksnoj tocki, s kons-

tantom opruge k. Pretpostavimo da se gibanje tijela vrsi u smjeru osi apscise, te

da u sustavu nema gravitacije. Prema Newtonovom drugom zakonu vrijedi da je

Fu = ma = mdvdt

= md2xdt2

, gdje je Fu zbroj svih sila koje djeluju na tijelo mase m,

v brzina tijela, a akceleracija.

Slika 13: Mehanicki sustav

Na sustav djeluje:

Sila opruge F0 koja je prema Hookeovom zakonu proporcionalna otklonu tijela (produ-

ljenju opruge) od polozaja mirovanja, tj. Fo = −kx, k > 0. Minus u formuli potjece od

cinjenice da je sila povratna, tj. orjentacija vektora sile suprotna je orjentaciji vektora

produljenja. Pozitivna konstanta k naziva se konstanta opruge ili elasticna konstanta

koja opisuje kako se opruga rasteze.

Sila prigusenja Fp = −cdxdt

, gdje je c koeficijent prigusenja dodanog u sustav.

Vanjska sila F (t) kao suma svih vanjskih sila koje djeluju na sustav.

28

Kako je Fu = Fo + Fp + F (t) Newtonov zakon postaje

md2x

dt2= −kx− cdx

dt+ F (t),

odnosno

md2x

dt2+ c

dx

dt+ kx = F (t).

Djeljeci gornju jednadzbu s m dobivamo

d2x

dt2+ Γ

dx

dt+ ω2x =

F (t)

m, (19)

gdje je Γ = cm, ω2 = k

m. Konstanta ω2 pozitivna je kao omjer pozitivne konstante k i

mase tijela m.

Nasu analizu poceti cemo specificnim slucajem. Pretpostavimo da nema prigusenja i

da nema vanjske sile, tj. F (t) = 0, c = 0. Tada jednadzba (19) izgleda ovako

d2x

dt2+ ω2x = 0. (20)

Dobivena jednadzba je homogena linearna diferencijalna jednadzba drugog reda.

Pripadna karakteristicna jednadzba je m2 + ω2 = 0. Njena rjesenja su

m1,2 = ±ωi.

Tada je opce rjesenje jednadzbe (20) dano s

x(t) = c1 cos(ωt) + c2 sin(ωt) = α cos(ωt− β).

Sljedecim postupkom pokazati cemo kako naci konstante α i β.

Koristeci identitet

cos(φ− ϕ) = cosφ cosϕ+ sinφ sinϕ

imamo

c1 cos(ωt) + c2 sin(ωt) = α cosωt cos β + α sinωt sin β.

Izjednacavajuci koeficijente uz cosωt i sinωt dobivamo

c1 = α cos β i c2 = α sin β.

Uocimo da, ako je c1 = 0 tada

α = c2 i β =π

2.

Ukoliko je c1 6= 0, α i β mozemo naci koristeci

α =√c2

1 + c22, sin β =

c2

αili cos β =

c1

α.

29

Konstante c1 i c2 mozemo odrediti ukoliko imamo zadane pocetne uvjete sustava. Pri-

mjerice, u trenutku t = 0 tijelo je bilo u pocetnom polozaju x0, a pocetna brzina tijela

v0. Uvrstavanjem u gornju jednadzbu dobivamo

c1 = x0

i

c2 =v0

ω.

Iz toga slijedi

x = x0 cos(ωt) +v0

ωsin(ωt) = α cos(ωt− β)

gdje je α =

√x2

0 +(v0

ω

)2

, β = arctg

(v0

ω

x0

).

Gibanje je periodicno s temeljnim periodom T = 2πω

. Takvo gibanje naziva se jednos-

tavno harmonijsko gibanje, i prikazano je na Slici 12., gdje je ω je prirodna frekvencija

titranja sustava, α je amplituda (maksimalno produljenje od polozaja ravnoteze), a β

fazni pomak.

Slika 14: Jednostavno harmonijsko gibanje

Sada cemo nasu analizu prosiriti, tj. u sustav cemo ukljuciti prigusenje (otpor). Tada

nasa jednadzba glasi

d2x

dt2+ Γ

dx

dt+ ω2x = 0. (21)

Pripadna karakteristicna jednadzba je

m2 + Γm+ ω2 = 0, (22)

a njena rjesenja su

m1,2 =−Γ±

√Γ2 − 4ω2

2.

Gibanje tijela ovisi o rjesenju jednadzbe (22), tj. o predznaku (Γ2 − 4ω2). Imamo tri

moguca slucaja:

30

1. Γ2 − 4ω2 < 0

U ovom slucaju jednadzba (22) ima dva kompleksno konjugirana rjesenja

m1,2 = −Γ

2± i√ω2 − 1

4Γ2.

Oznacimo s p =√ω2 − 1

4Γ2, tada je m1,2 = −Γ

2± ip. Opce rjesenje jednadzbe

(21) dano je s

x(t) = e−Γ2t(c1 cos(pt) + c2 sin(pt)).

Ponovno, konstante c1 i c2 odredujemo iz pocetnih uvjeta sustava, u trenutku

t = 0 tijelo je bilo u pocetnom polozaju x0, a pocetna brzina tijela v0. Tada je

c1 = x0 i c2 =Γx0 + 2v0

2p, iz cega slijedi da je partikularno rjesenje dano s

x(t) = e−Γ2t(x0 cos(pt) +

Γx0 + 2v0

2psin(pt)) = αe−

Γ2t cos(pt− β)

gdje je

α =√c2

1 + c22 =

√x2

0 +(Γx0 + 2v0

2p

)2

, tgβ =Γx0 + 2v0

2px0

.

Gibanje ovakvog tipa nazivamo malo prigusenje. Velicina αe−Γ2t je amplituda, a

β fazni pomak. Amplituda se smanjuje do nule kada vrijeme tezi u beskonacnost.

Period ovakvog gibanja naziva se period gusenja i iznosi T = 2πp

. Ovakovo gibanje

prikazano je donjim grafom (x0 = 1m, v0 = 1m/s,Γ = 0.2, ω = 1s−1).

Slika 15: Malo prigusenje

31

2. Γ2 − 4ω2 = 0

U ovom slucaju jednadzba (22) ima jedno dvostruko rjesenje

m1,2 = −Γ

2.

Sada opce rjesenje glasi

x(t) = c1e−Γ

2t + c2te

−Γ2t.

Uz iste pocetne uvijete za konstante c1 i c2 dobivamo:

c1 = x0

i

c2 = v0 +Γ

2 0.

Tada je

x(t) = e−Γ2t(x0 + t(v0 +

Γ

2x0)).

Ovakvo gibanje naziva se kriticno prigusenje. Gibanje vise nije oscilirajuce kao u

gornjem slucaju. Uz ovakvo prigusenje sustav se brze vrati u ravnotezni polozaj.

Donji graf prikazuje jedno kriticno prigusenje (x0 = 1m, v0 = 1m/s,Γ = 2, ω =

1s−1).

Slika 16: Kriticno prigusenje

3. Γ2 − 4ω2 > 0

U ovom slucaju jednadzba (22) ima dva negativna realna rjesenja

m1,2 = −Γ

2±√

Γ2

4− ω2.

Sada je opce rjesenje jednadzbe (21) dano s

x(t) = e−Γ2t(c1e

qt + c2e−qt), q =

√Γ2

4− ω2.

32

Uz iste pocetne uvijete za konstante c1 i c2 dobivamo:

c1 =2v0 + Γx0 + 2x0q

4q

i

c2 =−2v0 − Γx0 + 2x0q

4q.

Slijedi da je partikularno rjesenje

x(t) = e−Γ2t

(2v0 + Γx0 + 2x0q

4qeqt +

−2v0 − Γx0 + 2x0q

4qe−qt

).

Ovakav slucaj gibanja naziva se veliko prigusenje. Kako je q < Γ2

partikularno

rjesenje predstavljati ce eksponencijalna funkcija s negativnim eksponentom, te ce

graf funkcije x(t) uvijek tezi prema nuli. Graf jednog velikog prigusenja prikazan

je donjom slikom (x0 = 1m, v0 = 1m/s,Γ = 3, ω = 1s−1).

Slika 17: Veliko prigusenje

U proslom slucaju u sustavu smo imali ukljuceno prigusenje, a sad cemo ukljuciti

djelovanje vanjske sile F bez prigusenja. Sada je sustav opisan nehomogenom diferen-

cijalnom jednadzbomd2x

dt2+ ω2x = f(x), (23)

gdje je ω2 = km, f(x) = F (x)

m. Dobivena homogena jednadzba ima rjesenje

xH = c1 cos(ωt) + c2 sin(ωt).

Pretpostavimo da je f oblika f(t) = q cos(ω0t) kako bi nasli partikularno rjesenje. Tada

jednadzba (23) ima oblikd2x

dt2+ ω2x = q cos(ω0t). (24)

33

Partikularno rjesenje nehomogene jednadzbe je oblika

xP = A1 cos(ω0t) + A2 sin(ω0t),

gdje su A1 i A2 nepoznate konstante. Druga derivacija partikularnog rjesenja ima

oblik −A1ω20 cos(ω0t)−A2ω

20 sin(ω0t). Uvrstavanjem nje i xp u (24) te izjednacavanjem

koeficijenata uz cos(ω0t) i sin(ω0t) imamo

A1(−ω20 + ω2) = q

i

A2(−ω20 + ω2) = 0.

Iz gornjih jednakosti slijedi da je A1 = qω2−ω2

0, A2 = 0. Tada je opce rjesenje jednadzbe

(24) oblika

x = c1 cos(ωt) + c2 sin(ωt) +q

ω2 − ω20

cos(ω0t) = α cos(ωt− β) +q

ω2 − ω20

cos(ω0t),

gdje je α =√c2

1 + c22, tgβ =

c2

c1

. Konstante α i β odredujemo iz pocetnih uvjeta, a

konstantaq

ω2 − ω20

ovisi o vanjskoj sili F (t). Priblizavanjem ω0 ka ω amplituda A1

vanjske sile se povecava. Ako je ω ≈ ω0 amplituda moze biti velika, a ako je ω = ω0

tj. ako je frekvencija sustava jednaka frekvenciji vanjske sile, dolazi do pojave naziva

rezonancija. Tada partikularno rjesenje jednadzbe (24) dano je s

xP = t(A1 cos(ω0t) + A2 sin(ω0t)).

Konstante A1 i A2 dobijemo slicno kao u prethodnom slucaju

A1 = 0, A2 =q

2ω0

.

Opce rjesenje jednadzbe (24) glasi

x = xH + xP = α cos(ω0t− β) +qt

2ω0

sin(ω0t).

Kada t → ∞ oscilacije ce biti neomedene te ce za dovoljno veliki t doci do razbijanja

sustava. Donjim grafom je prikazana pojava rezonancije (R = 1, ω = 1, β = 1rad, q =

1).

34

Slika 18: Rezonancija

Rezonancija moze uzrokovati velike katastrofe. Najcesci primjeri su u graditeljstvu,

stoga prilikom gradenja u obzir moraju se uzeti vibracije. Najpoznatiji slucaj kada

je rezonancija uzrokovala katastrofu je most Tacoma Bridge u Washingtonu koji je

poceo snazno oscilirati pod utjecajem vanjske sile te se na kraju urusio. To nije jedino

urusavanje gradevine kao posljedica rezonancije.

35

2.6. Kosi hitac

Drugi Newtonov zakon gibanja~F = m~a

matematicki modelira gibanje cestice u polju sile F .

Zapisemo li vektor sile F pomocu njegovih Kartezijevih komponenata:

Fx, Fy, Fz

a vektor akceleracije razlozimo na njegove Kartezijeve komponenete:

ax =d2x

dt2, ay =

d2y

dt2, az =

d2z

dt2

onda iz drugog Newtonovog zakona dobijemo tri linearne diferencijalne jednadzbe dru-

gog reda:

md2x

dt2= Fx, m

d2y

dt2= Fy, m

d2z

dt2= Fz,

koje opisuju kako polozaj cestice (x(t), y(t), z(t)) ovisi o vremenu t u polju sile F =

(Fx, Fy, Fz). Rjesenjem gornjeg sustava od tri diferencijalne jednadzbe rijesiti cemo

problem gibanja cestice u danom polju sile F.

Koordinatni sustav smjestimo tako da apscisa bude vodoravna, a ordinata paralelna

sa silom teze, te s apscisom tvori ravninu u kojoj ispaljujemo projektil.

Slika 19: Koordinatni sustav

Ako ga ispalimo pod kutom α pocetne brzine v0 za t = 0 tada linearne diferencijalne

jednadzbe drugog reda izgledaju ovako:

md2x

dt2= 0, m

d2y

dt2= −mg,

36

dijeljeci gornje diferencijalne jednadzbe s m dobivamo

d2x

dt2= 0,

d2y

dt2= −g.

Uz uvjete x(0) = 0, dxdt

(0) = v0cos(α), y(0) = 0, dydt

(0) = v0sin(α) rjesiti cemo gornje

diferencijalne jednadzbe. Integrirajuci prvu jednadzbu od gornje dvije imamo

dx

dt= c,

ponovnim integriranjem dobivamo

x(t) = ct+ d.

Tada vrijedi

x(0) = c · 0 + d,

koristeci prvi uvjet slijedi da je d = 0. Vrijedi

dx

dt(0) = c,

koristeci drugi uvjet dobivamo

c = v0 cos(α),

sto nam na kraju daje rjesenje jednadzbe

x(t) = v0t cos(α).

Sada, integrirajuci drugu diferencijalnu jednadzbu imamo

dy

dt= −gt+ c,

ponovnim integriranjem dobivamo

y(t) = −g · t2

2+ ct+ d.

Tada vrijedi

y(0) = −g · 0

2+ c · 0 + d,

koristeci treci uvjet slijedi da je d = 0. Vrijedi

dy

dt(0) = −g · 0 + c = c,

koristeci cetvrti uvjet dobivamo

c = v0 sin(α),

37

sto nam na kraju daje rjesenje jednadzbe

y(t) = −1

2gt2 + v0t sin(α).

Dobivena rjesenja diferencijalnih jednadzbi, koja zadovoljavaju zadane pocetne uvjete,

opisuju gibanje projektila. Putanja mu je parametarski odredena tim jednadzbama.

Izrazimo li parametar t iz prve jednadzbe i uvrstimo ga u drugu dobivamo eksplicitnu

jednadzbu putanje:

y = − g

2v20cos

2(α)x2 + tg(α)x,

tj. parabolu.

Kako je gibanje ravninsko, ravnina xy se poklapa s ravninom gibanja, tj. z(t) = 0, pa

se treca diferencijalna jednadzba za z nije pojavila u prethodnom slucaju.

U slucaju pravocrtnog gibanja os apscisu mozemo postaviti u pravac gibanja. Onda

imamo samo jednu diferencijalnu jednadzbu:

md2x

dt2= F

koja opisuje gibanje jer je tada y(t) = z(t) = 0.

Slika 20: Kosi hitac

38

Literatura

[1] D.N. Burghes i M.S. Borrie, Modelling with differential equations, Ellis Horwood

Limited, England, 1981.

[2] M. Braun, Differential Equations and Their Applications, Fourth Edition, Sprin-

ger, New York, 1993.

[3] J. David Logan, A First Course in Differential Equations, Springer, New York,

2006.

[4] M. Alic, Obicne diferencijalne jednadzbe, Tiskara Ekoloski glasnik, Zagreb, 2001.

[5] I. Slapnicar, Matematika 2, Fakultet elektrotehnike, strojarstva i brodogradnje,

Sveuciliste u Splitu, Split, 2008.

[6] I. Vuksanovic, Mehanicke vibracije, Odjel za matematiku, Sveuciliste

J.J.Strossmayera u Osijeku, Osijek, 2011.

[7] M. Botincan, D. Lapaine, R. Markulin, A. Zgaljic, Vibracije mehanickih sustava,

Hrvatski matematicki elektronicki casopis, broj 2, lipanj 2004.

[8] http://hr.wikipedia.org/wiki/Popis trigonometrijskih identiteta.html [24.11.2012.]

[9] http://www.walter-fendt.de/ph14cr/lawdecay cr.html [08.02.2012.]

[10] http://www.grad.hr/nastava/matematika/mat2/node29.html [28.08.2012.]

[11] http://pages.pacificcoast.net/ cazelais/252/lc-trig.pdf [10.04.2013.]

[12] http://www.fizika.unios.hr/dstanic/Osnove fizike 2/10-RLC%20krugovi.pdf

[29.03.2013.]

[13] http://www.fizika.unios.hr/dstanic/Osnove fizike 1/12%20-%20Titranje.pdf

[29.03.2013.]

[14] http://www.fizika.unios.hr/ zglumac/utm.pdf [28.08.2012.]

39

Sazetak

Ovim radom prikazana je nezamjenjiva primjena diferencijalnih jednadzbi u raznim

granama fizike. Svaki proucavani problem sveden je na matematicki model zapisan

pomocu diferencijalnih jednadzbi i kao takav rjesen. Na pocetku rada dani su osnovni

pojmovi linearnih diferencijalnih jednadzbi prvog i drugog reda, te njihova rjesenja.

Nakon toga, svaki dani model prirodnu pojavu ili problem opisuje diferencijalnim jed-

nadzbama, daje objasnjenje pojave ili rjesenje problema, i kao takav prikaz je primjene

diferencijalnih jednadzbi. Modeli opisani u radu su: zagrijavanje i hladenje vode, Tor-

ricellov zakon istjecanja vode, radioaktivni raspad, strujni krug, harmonijski oscilator

i kosi hitac.

Kljucne rijeci: obicne diferencijalne jednadzbe, linearna diferencijalna jednadzba,

zagrijavanje i hladenje vode, Torricelov zakon istjecanja vode, radioaktivni raspad,

strujni krug, harmonijski oscilator, kosi hitac

AbstractIn this paper the irreplaceable application of differential equations is shown in various

branches of physics. Each studied problem is reduced to a mathematical model written

in terms of differential equations and solved as such. At the beginning of the paper basic

concepts of linear differential equations of first and second order are given and their

solutions. Afterwards, each given model describes natural phenomenon or problem

using differential equations, gives an explanation of phenomenon or solution of the

problem, and as such is an example of application of differential equations. Models

described in this paper are: water heating and cooling, Torricelli’s law of water efflux,

radioactive decay, electronic circuit, harmonic oscillator and projectile motion.

Key words: ordinary differential equations, linear differential equations, water he-

ating and cooling, Torricelli’s law of water efflux, radioactive decay, electronic circuit,

harmonic oscillator, projectile motion

40

Zivotopis

Ime mi je Nikolina Kulundzic. Rodena sam 8. sijecnja 1988. godine u Novoj Gradiski,

gdje i sada zivim. Osnovnu skolu ”Mato Lovrak” krenula sam pohadati 1994. go-

dine. Nakon zavrsetka osnovnoskolskog obrazovanja 2002. godine upisala sam se u

Prirodoslovno-matematicku gimnaziju ”Matija Mesic ”, Slavonski Brod koju sam us-

pjesno zavrsila 2006. godine. Daljnje obrazovanje nastavila sam iste godine upisom

Sveucilisnog nastavnickog studija matematike i informatike na Odjelu za matematiku

u Osijeku. Godine 2012. napisala sam zavrsni rad pod nazivom Laurentov red pod

vodstvom mentora doc. dr. sc. T. Marosevica i stekla naziv prvostupnica (bacca-

laurea) matematike. Krajem studija krenula sam raditi u Gimnaziji Nova Gradiska.

Prosle godine radila sam u OS ”Mato Lovrak”, Nova Gradiska te OS ”Matija Antun

Relkovic” Davor, gdje sam i sada zaposlena.

41