Diferencijalne jednadžbe i model populacije• Svjetska populacija:

http://en.wikipedia.org/wiki/World_population

http://matrixgreatescape.files.wordpress.com/2009/07/worldpopulation.jpg

Ekspo

nen

cijalni rast

Diferencijalne jednadžbe (DJ)

Numeričko rješavanje DJ

Diferencijalne jednadžbe i rast populacije• Vremenski kontinuirani eksponencijalni rast Promjene uzrokuju samo stope nataliteta i mortaliteta. Zanemareni utjecaji poput borbe za hranu, emigracije, imigracije itd.Vremenski ovisan broj jedinki P(t). Brzina promjene (derivacija) populacije proporcionalna je broju jedinki

Faktor proporcionalnosti (stopa rasta, r)

Rast populacije bakterija3-1: Prikažite ovisnost populacije od 10 bakterija tijekom 10 dana ako se populacija poveća za 10% u sat vremena.

RJ: Diferencijalna jednadžbar = 0.1 h-1

P

300 B

225 B

150 B

75 B

0

0 24 48 72 96 120 144 168 192 216 240

Time (h)

bro

j b

akt

eri

ja

P : Current

B = 109

M = 106

T = 1012

Zadatak za vježbu3-2. Prikažite ovisnost populacije od 1000 jedinki B tijekom 2 h (sata) ako je promjena opisana diferencijalnom jednadžbom

gdje su

Obratite pozornost na utjecaj vremenskog koraka na rezultate.

Prikaz populacije vrste B tijekom 2 sata:

P

1,000

750

500

250

0

0 0.20 0.40 0.60 0.80 1 1.20 1.40 1.60 1.80 2

Time (h)

B

P : Current

Zadatak za vježbu3-3. Prikažite ovisnost populacije od 10000 BJ (br. jedinki) tijekom 2 h (sata) ako je promjena populacije opisana diferencijalnom jednadžbom

gdje su

Obratite pozornost na utjecaj vremenskog koraka na rezultate.

Prikaz broja jedinki (BJ) tijekom 2 sata:

P

10,000

7,500

5,000

2,500

0

0 0.20 0.40 0.60 0.80 1 1.20 1.40 1.60 1.80 2

Time (h)

BJ

P : Current

Zadatak za vježbu3-4. Promotrite populaciju plijena P i predatora P2. Napišite diferencijalne jednadžbe koje opisuju brzine promjena populacija ako svakih sat vremena:• odseli se 40 P zbog straha od P2;• nestane dio od P zbog susreta s predatorom P2 koji

eliminira 0.01% P2*P2 jedinki P• kao rezultat ostalih faktora P se poveća za 50%;• populacija P2 naraste za 10%P.

Stope rasta i eliminiranja populacije P2 modificirajte i komentirajte njihove utjecaje na populacije.Obratite pozornost na utjecaj vremenskog koraka na rezultate.

Za P2(0)=1000 BJ; P(0)=10000 BJ

Selected Variables

60,000

45,000

30,000

15,000

-0.1

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Time (h)

BJ

P : Current P2 : Current