Nonparametric Statistik Non Parametrik... Statistik Non Parametrik 4 Uji Statistik Parametrik ... random variable having the binomial distribution ... •Contoh soal:

27/05/2016

1

STATISTIKA INDUSTRI 2

TIN 4004

Pertemuan 11 s.d. 13

• Outline:

– Nonparametric Statistics

• Referensi:

– Walpole, R.E., Myers, R.H., Myers, S.L., Ye, K.,

Probability & Statistics for Engineers & Scientists ,

9th Ed. Prentice Hall, 2012.

Nonparametric

• Distribution-free methods

• Analysis of ranks

• Small sample size

• Disadvantages:

– Do not utilize all information provided by the sample

– Less efficient than parametric procedure

Statistik Non Parametrik

Statistik Non parametrik

• Cabang ilmu statistik yang mempelajari prosedur-prosedur inferensial dengan kesahihan yang tidak bergantung kepada asumsi-asumsi yang kaku tapi cukup pada asumsi yang umum.

• Asumsi-asumsi yang kaku, misal: syarat kenormalan suatu data, ragam yang sama, dll

SI 2 - Statistik Non Parametrik 4

Uji Statistik Parametrik• Suatu uji yang modelnya menetapkan adanya syarat-syarat tertentu

(asumsi-asumsi) dari sebaran (distribusi) data populasinya. • Banyak digunakan untuk menganalisis data interval dan rasio• Biasanya datanya besar : > 30

Parametrik Vs Non Parametrik

Parametrik

• menuntut ukuran – ukuran tingkat taraf tinggi

• Ukuran taraf / tingkat tinggi adalah sesuatu yang menghasilkan ukuran-ukuran yang digunakan untuk menunjukkan arti penting dari perbedaan yang terjadi.

• Misal: Ukuran berat (kg)

Perbedaan (0 - 485 kg) sama dengan perbedaan (485 - 980 kg)


Non Parametrik

Terjadi ukuran ordinal (bukan taraf tinggi)

Misal:

Preferensi konsumen atas 5 jenis barang (1,2,3,4,5)

3 memiliki preferensi > dari 2 tapi perbedaannya belum tentu 1

Tingkatan eksekutif 4 manager (1,2,3,4)

Pengujian dalam ukuran ordinal dengan cara memberi rank.

Contoh : Ukuran berat : 3,4 1,8 5,8

Rank : 2 1 3

Skala Pengukuran...(review)

Semua skala pengukuran dapat diklasifikasikan kedalam empat jenis skalaberikut ini :

1.Nominal• Juga disebut sebagai skala kategorik

• Merupakan skala pengukuran yang bersifat membedakan saja

• Angka atau simbol yang diberikan tidak memiliki maksud kuantitatif hanyamenunjukkan ada atau tidak adanya atribut atau kharakteristik yang diteliti

• Contoh : Jenis kelamin seseorang, status perkawinan, kepesertaan keluargaberencana, lulus atau tidak dll.

• Bekerja dengan data ini, peneliti harus menentukan angka untuk tiap kategori, sebagai contoh : 1 untk wanita dan 2 untuk laki-laki (angka ini hanya representasidari kategori atau kelas-2 dan tidak meunjukkan bilangan dari suatu atribut ataukarakteristik.


27/05/2016

2

2.Ordinal • Skala pengukuran yang sifatnya membedakan dan mengurutkan

• Setiap sub kelas dapat dibandingkan dengan yang lain dalamhubungan “ lebih besar” atau “ lebih sedikit”.

• Contoh: misalkan seseorang diminta untuk mengurutkan tigabuah produk berdasarkan tingkat kepuasan terhadap produk.

Not at all satisfied

Product A Product B Product C

Very satisfied

Skala Pengukuran

Brand Rank

A 1

B 2

C 3

7SI 2 - Statistik Non Parametrik

3. Interval• Skala pengukuran yang bersifat membedakan,

mengurutkan dan memiliki jarak yang sama

• Tidak memiliki nilai nol mutlak.

• Contoh :

Suatu suhu 80 F tidak dapat dikatakan dua kali lebih panasdari suhu 40 F, karena kita tahu bahwa 80 F, pada skalasuhu yang lain, seperti celcius adalah 26,7 C sedangkan 40 F = 4,4 C. meskipun 80 F kelihatannya dua kali 40F , seseorang tidak dapat mengatakan bahwa 80F dua kali lebih panas dari 40F, karena pada skala yang lain panasnyatidak dua kalinya.

Skala Pengukuran


SI 2 - Statistik Non Parametrik

4. Ratio

• Skala pengukuran yang sifatnya membedakan, mengurutkan danmempunyai nilai nol mutlak.

• Nilai nol mutlak adalah nilai dasar yang tidak bisa diubah meskipunmenggunakan skala yang lain.

• Karenanya nilai-nilai dalam skala ini dapat dibandingkan dan dapatdilakukan operasi matematis seperti penjumlahan pengurangan, bagi ataupun perkalian.

• Contoh :

100 Kg memiliki berat dua kali 50 kg

1000 meter memiliki panjang 20 kali 50 meter

dll

Skala Pengukuran

9

Statistik Non Parametrik

Kelebihan statistik non parametrik

1. Asumsi yang digunakan minimum sehingga mengurangi kesalahan penggunaan

2. Perhitungan dapat dilakukan dengan cepat dan mudah

3. Konsep dan metode nonparametrik mudah dipahami bahkan oleh seseorang dengan kemampuan matematik yang minim

4. Dapat diterapkan pada skala peubah kualitatif (nominal dan ordinal)

5. Distribusi data tidak harus normal


Kekurangan statistik non parametrik

1. Bila digunakan pada data yang dapat diuji menggunakan statistika parametrik maka hasil pengujian menggunakan statistik nonparametrik menyebabkan pemborosan informasi

2. Pekerjaan hitung-menghitung (aritmetik) karena memerlukan ketelitian terkadang menjemukan

Statistik non parametrik

• Sampel ukuran kecil / tidak melibatkan parameter populasi

• Data yang digunakan : data ordinal atau nominal

• Bentuk distribusi populasi dan tempat pengambilan sampel tidak diketahui menyebar secara normal

• Ingin menyelesaikan masalah statistik dengan cepat

• Bila asumsi-asumsi yang diperlukan pada suatu prosedur pengujian parametrik tidak terpenuhi

• Bila penghitungan harus dilakukan secara manual


Kapan digunakan??

Langkah – langkah pemilihan metode statistik


ya tidak NON PARAMETRIKLIHAT JENIS DISTRIBUSINYA

ya tidak NON PARAMETRIKPARAMETRIK

1. Apakah distribusi data diketahui?

2. Apakah data berdistribusi normal?

3. Apakah sampel ditarik secara random?

NON PARAMETRIKPARAMETRIK ya tidak

27/05/2016

3

Langkah – langkah pemilihan metode statistik - 2


ya tidak NON PARAMETRIKLIHAT JENIS DISTRIBUSINYA

NON PARAMETRIKPARAMETRIK

4. Apakah varians kelompok sama?

5. Bagaimana jenis skala pengukuran data?

INTERVAL RASIO

NOMINAL ORDINAL

Langkah2 pemilihan metode statistik


Parametrik Vs Non Parametrik


Pengujian Hipotesis Statistik Non Parametrik

Langkah – langkah pengujian hipotesis:

1. Menentukan formulasi hipotesis

2. Menentukan taraf nyata dan nilai tabel

3. Menentukan kriteria pengujian

4. Menentukan nilai uji statistik

5. Membuat kesimpulan


Pengujian Hipotesis Statistik Non Parametrik


Uji Non Parametrik yang akan dipelajari:• Uji Tanda (Sign Test)• Uji Urutan Bertanda Wilcoxon• Uji Korelasi urutan Spearman• Uji Mann-Whitney• Uji Kruskal – Wallis (H Test)• Uji Run • Uji Median• Uji kolmogorov

Sign Test

• Used to test hypotheses on a population median

• Population mean = population median when distribution is symmetric

• In testing the 𝐻0: 𝜇 = 𝜇0 against an appropriate alternative, with random sample size = n, replace each sample value exceeding 𝜇0 with “+”, and each sample value exceeding 𝜇0 with “-”

• The sign test is applicable only in situations where 𝜇0cannot equal the value of any of the observations

• Binomial random variable 𝑋, representing the number of plus signs in our random sample

27/05/2016

4

Sign Test

• Test 𝐻0 that the number of “+” is a value of a random variable having the binomial distribution with 𝑝 = 1/2.

• P-values are calculated using binomial distribution

• Reject 𝐻0 if proportion of “+” is sufficiently less than ½, when the value 𝑥 of our random variable is small. 𝑃 − 𝑣𝑎𝑙𝑢𝑒 ≤ 𝛼

Sign Test

Reject 𝐻0, jika P-value ≤ α

Sign Test

• Contoh:

Sign Test

• Contoh:

Sign Test• Contoh

Sign Test• Contoh

27/05/2016

5

Wilcoxon Signed-Rank Test

• Symmetric continuous distribution

• Subtract sample value with 𝜇0, rank it from absolute smallest to the largest one

• When there are more than one differences are the same, rank it with the average number of the differences


• Test Procedures


• n < 5, and level of significance ≤ 0,05 (one-tailed test), level of significance ≤ 0,01 (two-tailed test) >>> 𝑤+, 𝑤−, 𝑤 will lead to acceptance 𝐻0

• 5 ≤ n ≤ 30, check table to set critical region


• Contoh:


• Contoh:


• Contoh:

27/05/2016

6

Wilcoxon Signed-Rank Test Wilcoxon Rank-Sum Test

• Testing equality of means of two continous distributions that nonnormal and samples are independent

• Take random sample, assign 𝑛1 for smaller number sample and 𝑛2 for larger one. Assigned randomly if two population have the same number of sample

• Arrange 𝑛1 + 𝑛2 observations in ascending order. If there are the identical observations value, mean the ranks

• 𝑤1= sum of ranks of 𝑛1 observations

• 𝑤2= sum of ranks of 𝑛2 observations

Wilcoxon Rank-Sum Test Wilcoxon Rank-Sum Test

• Procedures:

• Reject 𝐻0: 𝑢1, 𝑢2, 𝑢 less than or equal to the table value

Wilcoxon Rank-Sum Test

• Contoh:

Wilcoxon Rank-Sum Test

27/05/2016

7

Wilcoxon Rank-Sum Test Kruskal-Wallis Test

• Nonparametric alternative to analysis of variance

– ANOVA: testing equality of 𝑘 ≥ 2 population means, must be normal distribution when using F-statistic

– Kruskal-Wallis Test is a nonparametric procedure for testing the equality of means in the one-factor analysis of variance without normal populations assumption

• Generalization of Runk-Sum test for case 𝑘 > 2samples

Kruskal-Wallis Test

• Procedure:– Test 𝐻0: 𝜇1 = 𝜇2 = ⋯ = 𝜇𝑘; 𝐻1: Not all means are equalCondition: samples are independent

– Steps:1. Arrange the 𝑘 samples in ascending order, and assigne the

smallest number observations as 𝑛1 and so on. Compute 𝑛 = 𝑛1 + 𝑛2 + ⋯+ 𝑛𝑘

2. Rank all the observations inascending order. For identical observations, assign it with the mean of the ranks

3. Sum the rank of each sample, denote it by random variable 𝑅. 𝑅𝑖 is sum of ranks corresponding to the 𝑛𝑖observation in the 𝑖-th sample

Kruskal-Wallis Test

• Procedure:

– Steps:

4. Compute the 𝐻-statistic:

𝑯 =𝟏𝟐

𝒏(𝒏 + 𝟏)

𝒊=𝟏

𝒌𝑹𝒊

𝟐

𝒏𝒊− 𝟑(𝒏 + 𝟏)

>>> approximated very well by chi-squared distribution with 𝑑𝑓 = 𝑘 − 1

5. Critical Region:

𝑯 > 𝝌𝜶,𝒗=𝒌−𝟏𝟐

Kruskal-Wallis Test

• Contoh soal:

Kruskal-Wallis Test

• Contoh soal:

27/05/2016

8

Runs Test• Randomness Test• Run: subsequence of one or more identical symbols

representing a common property of the data• Runs test divides the data into two mutually exclusive

categories, so a sequence will always be limited to two distinct symbols

• 𝑛1: the number of symbols category that the least occurs; 𝑛2: the number of symbols belong to other category

• 𝑛 = 𝑛1 + 𝑛2

• Based on the random variable 𝑉• 𝑉: total number of runs that occur in the complete

sequence of experiment

Runs Test• Hipotesis:

– 𝐻0: the sequence is random– 𝐻1: the sequence is not random

• Tabel Runs Test to determine the P-value:– One tailed test:

𝑃 = 𝑃(𝑉 ≤ 𝑣∗, 𝑤ℎ𝑒𝑛 𝐻0 𝑖𝑠 𝑡𝑟𝑢𝑒)– Two tailed test:

𝑃 = 2𝑃(𝑉 ≤ 𝑣∗, 𝑤ℎ𝑒𝑛 𝐻0 𝑖𝑠 𝑡𝑟𝑢𝑒)– When 𝑣∗ is large (> 𝑛/2), use:

𝑃 = 𝑃 𝑉 ≥ 𝑣∗, 𝑤ℎ𝑒𝑛 𝐻0 𝑖𝑠 𝑡𝑟𝑢𝑒= 1 − 𝑃(𝑉 ≤ 𝑣∗ − 1,𝑤ℎ𝑒𝑛 𝐻0 𝑖𝑠 𝑡𝑟𝑢𝑒)

• Critical Region: 𝑃 − 𝑣𝑎𝑙𝑢𝑒 ≤ 𝛼

Runs Test• Contoh Soal:

Runs Test• Contoh Soal:

Runs Test• When 𝑛1 and 𝑛2 (≥ 10 𝑓𝑜𝑟 𝑒𝑎𝑐ℎ) is large, the

sampling distribution of 𝑉 approaches the normal distribution with mean and variance as follow:

• 𝑍 − 𝑇𝑒𝑠𝑡:

Runs Test

• Lakukan uji apakah data berikut random atau tidak:

27/05/2016

9

Kolmogorov-Smirnov Test

• Test for normality

• An alternative to the chi-squared test for distribution hypothesis test



Spearman Coefficient of Rank Correlation


27/05/2016

10


Uji Mann-Whitney (U Test)

• Disebut juga pengujian U.

• Dikembangkan oleh H.B. Mann dan D.R. Whitney

• Digunakan untuk menguji rata-rata dari 2 sampel berukurantidak sama

• Data ordinal


• Uji Mann-Whitney merupakan alternatif bagi uji-t. • Uji Mann-Whitney digunakan untuk membandingkan

dua mean populasi yang berasal dari populasi yang sama.

• Uji Mann-Whitney juga digunakan untuk menguji apakah dua mean populasi sama atau tidak.


• Untuk sampel kecil

• Tahapan: Menentukan n1 dan n2.

Menggabungkan kedua sampel dan memberi urutan(ranking) tiap-tiap anggota

Menjumlahkan urutan masing-masing sampel

Menghitung statistik U






111

2112

)1(. R

nnnnU

222

2122

)1(. R

nnnnU

Jika sample size kecil ≤ 30

http://statistik4life.blogspot.com/2009/11/uji-t-berpasangan.html

27/05/2016

11

Contoh 1. Uji Mann-Whitney (U Test)



Misalkan μ1 dan μ2 merupakan produktivitas padi dengan pupuk anorganik dan organik

• 1. Hipotesis

H0 : μ1 = μ2 (produktivitas padi dengan pupuk anorganik dan organik adalah sama)

H1 : μ1 ≠ μ2 (produktivitas padi dengan pupuk anorganik dan organik tidak sama atau berbeda)

• 2. Tingkat signifikansi 5%




Dipakai adalah U terkecil

Tabel U /Mann-Whitney



Latihan!!Tabel di bawah menunjukkan gaji yang diterima oleh 5 orang sarjana ekonomi dan 4 orang insinyur setelah 3 tahun bekerja yang diperoleh dari sampel secara random

SE Gaji Urutan ST Gaji Urutan

A 710 1 O 850 5

B 820 3,5 P 820 3,5

C 770 2 Q 940 8

D 920 7 R 970 9

E 880 6

R2 = 25,5R1=19,5


Ujilah bahwa setelah tiga tahun bekerja, gaji sarjana ekonomi tidak lebih rendahdibanding insinyur .



Jika sample size besar

27/05/2016

12



Contoh 2. Uji Mann-Whitney (U Test)Urutan Nilai Rank

1 25 1

2 30 2

3 50 3

4 55 4

5 65 5

6 70 7

7 70 7

8 70 7

9 75 9.5

10 75 9.5

11 78 11

12 80 12

13 85 13.5

14 85 13.5

15 88 15.5

16 88 15.5

17 90 17

18 95 18

19 98 19

20 100 20

SI 2 - Statistik Non Parametrik68

Berikut adalah nilai UAS Statistika 2 mahasiswa fakultasEkonomi dan ilmu komputer

Catatan: jumlah sampel mahasiswa 20



Berdasarkan tabel tersebut, ujilah dengan taraf nyata 5%, apakah (peringkat) nilai mahasiswa fakultas ekonomi lebih besar dibanding mahasiswa ilmu komputer?





Untuk menguji tingkat rata- rata operasi antara perusahaan 1 dan 2. Diambil sampel random n1 = 10 hari pada perusahaan 1 dan n2 = 12 hari pada perusahaan 2. Jumlah n1 + n2 = 22, kemudian tingkat rata-rata operasi diranking. Jumlah rank pada perusahaan 1 dan 2 berturut – turut adalah 145,5 dan 107,5. Pada α = 0,05 susunlah suatu pengujian untuk menentukan apakah tingkat rata-rata operasi perusahaan 1 lebih besar dari perusahaan 2?

JawabMisalkan μ1 dan μ2 merupakan tingkat rata – rata operasi perusahaan 1 dan 21. Hipotesis

H0 : μ1 = μ2 (tingkat rata – rata operasi perusahaan 1 dan 2 adalah sama)H1 : μ1 > μ2 (tingkat rata – rata operasi perusahaan 1 lebih besar dari pershn 2)

2. Nilai kritisDengan α = 0,05, diperoleh:Z0,05 = 1,64

Penyelesaian

3. Nilai hitung

Standar deviasi populasi

Nilai statistik Z sampel


4. Kesimpulan

Karena nilai statistik Zsampel = 2,01 > Z0,05 = 1,64 maka tolak H0. Ini berarti tingkat rata –rata operasi perusahaan 1 lebih besar dari pada tingkat rata – rata operasi perusahaan 2

27/05/2016

13



Penyelesaian

1. Hipotesis

H0 : μ1 = μ2

H1 : μ1 ≠ μ2

2. Nilai kritis

Karena uji dua sisi, α = 0,10, maka harus dibagi dua menjadi (0,10/2 ) = 0,05. Sehingga Z0,05 = 1,64

3. Nilai hitung

Standar deviasi populasi


𝜇𝑅1 =𝑛1(𝑛1 + 𝑛2 + 1)

2=14(14 + 11 + 1)

2= 182

𝛿𝑅 = 𝑛1𝑛2(𝑛1 + 𝑛1 + 1)

12=

(14)(11)(14+ 11 = 1)

12= 18,267

Penyelesaian

Nilai statistik Zsampel

4, Kesimpulan

Karena nilai statistik Zsampel = 1,26 < Z0,05 = 1,64 maka terima H0. Ini berarti taraf rata – rata kedua paket adalah sama


𝑍𝑠𝑎𝑚𝑝𝑒𝑙 =𝑅1 − 𝜇𝑅1

𝜎𝑅=205− 182

18,267= 1,26

Daerah penolakan H0

Daerah penolakan H0

Uji Median

76

• Untuk menguji apakah dua sampel independen berbeda mediannya.

• Kedua sampel acak yang diambil dapat memiliki besar sampel yang berbeda

SI 2 - Statistik Non Parametrik

Uji Median


Uji Median


27/05/2016

14

Uji Median


Uji Median


Contoh. Uji Median


Penyelesaian


Penyelesaian


Pertemuan 14 - Persiapan

• Materi– Validitas dan Realibilitas

27/05/2016

15

Documents

Nonparametric Statistik Non Parametrik... Statistik Non Parametrik 4 Uji Statistik Parametrik ... random variable having the binomial distribution ... •Contoh soal: