Num_Met_9

7/22/2019 Num_Met_9

1/11

Univerzitet u TuzliMainski fakultet Numerike metode u mainstvu, II godina kolska 2012/2013

1

NUMERIKE METODE U MAINSTVU

OBINE DIFERENCIJALNE JEDNAINE (ODJ) - NUMERIKA INTEGRACIJA

Dr. Salko osi

Tuzla, decembar 2012

7/22/2019 Num_Met_9

2/11


2

Diferencijalna jednaina je jednaina u kojoj se pojavljuju argument, nepoznata funkcija i njeni izvodi. ODJ i PDJ: osnovni matematski alat za modeliranje procesa u fizici i tehnici Obina diferencijalna jednaina (ODJ) n-tog reda: svi izvodi su pojednoj nezavisno promenljivoj

Rjeenje diferencijalne jednaine je funkcija u koja zadovoljava jednainu i poetno-granine uslove. Rjeenje

se moe odrediti

Analitiki Numeriki

Polje pravaca, MAPLE()

(n)

1 2 n

1 2 n

f(x,y,y ,y ,...,y ) 0

y y(x,C ,C ,...,C )

C , C , , C int. konstante

7/22/2019 Num_Met_9

3/11


3

Numeriko reenje: Diferencijalna jednaina se zamenjuje algebarskom jednainom ija rjeenja aproksimirajurjeenja date diferencijalne jednaine.

Standardni nain definisanja problema: Koi-jev oblik

Numeriki rijeiti ODJ y'=f(x,y) (Cauchy-jev zadatak) znai za dati niz argumenata0 1 2

, , , . . . ,n

x x x x uz uslov

0 0( )y y x bez odreivanja analitike funkcije y=f(x) odrediti niz

1 2, , . . . ,

ny y y tako da je

0 0 , , 1 , k kf x y y f x k n .

Rjeenje ODJ je :Stabilno ako male promjene inicijalne vrijednosti dovode do malih promjena originalnog rjeenjaNestabilno ako rjeenja koja su rezultat perturbacije divergiraju bez ogranienja od originalnog rjeenja

Primjer nestabilnog problema: Lorentz-ove jednaine

,

dyf x y

dx

7/22/2019 Num_Met_9

4/11


4

Osnovni numeriki metodi: Taylor-ov metod: Razvoj funkcije u stepeni red u okolini x0...

Taylor-ov metod

Euler, Huen, Runge-Kutta Ekstrapolacione formule Viekorane formule Vievrednosne formule

Metod Euler-a 00,y)f(x,y yxy Najprostiji, najmanja tanost,

najlaki za implementaciju:

Geometrijski prikaz

0000 tg)y,f(x)(xy

2 00 0 00 0 0 0

2 2

0

' ( 1)2 00 0 0

1 1 0

1

'( ) ''( ) ( )( ) ( ) ( ) ... ( )

1! 2! !

' ( , )

'' ' '

''' '' 2

.

.

,

( ) ...

1! 2! !

1!

mm

m

x y x y

xx xy yy x y y

k

mm

m

nn n

y x y x y xy x y x x x x x x R

m

y f x y

y f f f y f f f

y f f f f f f f f f f

x h x x kh

f f fy y x y h h h R

mf

y y h

' ( 1)2 0...

2! !

mm nn

m

f fh h R

m

i i 1 i i 1 i i 1 ii i i

i i 1 i

i 1 i i i i

y y y y y y yy ; korak: h= f(x ,y )

x x x h h

y y h f(x ,y ); x a i h; i 0,1, 2,3... 1

b a

n

n

7/22/2019 Num_Met_9

5/11


5

Primjer 1.Rijeiti diferencijalnu jednainu y' = 2xysa poetnim uslovimax0 = 0 i y0 = 1 na intervalu [0,1] za h =

0.1. U tabeli je dat rezultat dobijen Ojlerovom metodom i vrijednost analitikog reenja2

)(x

exy .

ALGORITAMx y y2

x

e

0.0 0.0 1.00 1.00

0.1 0.2 1.00 1.01

0.2 0.4 1.02 1.04

0.3 0.6 1.06 1.09

0.4 0.9 1.12 1.17

0.5 1.2 1.21 1.28

0.6 1.6 1.33 1.43

0.7 2.1 1.49 1.63

0.8 2.7 1,70 1.90

0.9 3.5 1.97 2.25

1.0 4.6 2.32 2.72

7/22/2019 Num_Met_9

6/11


6

Primjer 2

1x2yy 2

Nai rjeenje na intervalu [0; 1], ako je (0) = 1. Usvaja se n = 10, tada je korak h =(1-0)/10 = 0,1.

Opti oblik jednaine2x-2y1),(y yxf , Poetni uslovi x0 = 0, y0 = 1.

Prva taka1,331,01)012(10,111)f(0;1,01)y;f(xhyy 20001

x1 = x0 + h = 0 + 0,1 = 0,1

Druga taka

2,01,01,0xx

1,65959,31,03,10,01)2,6(10,11,3f(0,1;1,3)0,11,3)y;f(xhyy

12

1112

h

Nastaviti do n=10

Uticaj veliine koraka na tanost

7/22/2019 Num_Met_9

7/11


7

Programski zadatak br.1

program EulerForced

implicit none

integer:: i,Nreal:: m,d,k,Y1,Y2,Y0,Vo,Tint,dt,t,ft,Fext;

print*,'unesi parametre m,d,k'

read(*,*)m,d,k

print*,'unesi pocetne uslove Y0,Vo,Tint,N'

read(*,*)Y0,Vo,Tint,N

open(unit=101,file='Prisilne_Oscilacije.dat',status='unknown')

dt=Tint/N

Y1=Y0

Y2=Vo

t=0.

ft = Fext(t)

write(101,*)0,Y0

do i=1,N

t=i*dt

Y1=Y1+Y2*dt

write(101,*)t,Y1

7/22/2019 Num_Met_9

8/11


8

HEUN-ov metod (unaprijeeni Euler-ov metod) prediktor korektor koncept

Poetna procjena vrijednosti rjeenja u tekuoj takidobija se obino primjenom eksplicitne formule a zatim se

primjenjuje implicitna formula za korekciju. Na taj nain formira se par prediktor-korektor. Korektor se

primjenjuje vie puta (iterativno) dok se ne postigne eljena tanost.

i

i i 1

0

i i i 1 i i i

x x

x x x x 0

i i i 1 i 1

0

i 1 i i i i i 1 i 1

' ( ) ( , )

dy( ) f x ,y ; y y f x ,y h

dx

dy dy

dx dx 1( ) f x ,y f x ,y

2 21

y y h y f x ,y f x ,y h2

i

y tg f x y

tg

tg

7/22/2019 Num_Met_9

9/11


9

Metod Runge-Kutta: Jedan od osnovnih metoda, visoka tanost, jedno-korani, samo-startni...

Osnovna ideja (RK 4)

hkyhxfk

hkyhxfk

hkyhxfk

yxfk

hkkkkyy

yyyxfdxdy

ii

ii

ii

ii

ii

34

23

12

1

43211

0

,

2

1,

2

1

21,

21

,

226

1

)0(),,(

7/22/2019 Num_Met_9

10/11


10

Primjer RK4: y- 2y + x

2= 1, x [0;1], y(0) = 1. Usvaja se n = 10 , h = (1 - 0)/10 = 0,1.

Poetna vrijednost x0 = 0, y0 = 1.

2

1 0 0

202 0 0

213 0 0

4 0 0 2

PRVA TAKA

k f(x ;y ) f(0,1) 1 2 1 0 3

h Kf(x ; y h ) f(0,05; 1,15) 1 2 1,15 0,05 3,2975

2 2

h Kf(x ; y h ) f(0,05;1,164875) 1 2 1,164875 0,05 3,32725

2 2

f(x h; y h K ) f(0,1; 1,332725) 1

k

k

k2

1 0 1 2 3 4

2 1,332725 0,1 3,65545

h 0,1y y (k 2 k 2 k k ) 1 (3 2 3,2975 2 3,32725 3,65545) 1,3317491667

6 6

Nastaviti sa slijedeim takama 2, 3, ... , 10.

7/22/2019 Num_Met_9

11/11


11

ZADATAK: RIJEITI ODE POMOU MAPLE_A ?

,

Pitanja:

1.ODJdefinicija, definicija rjeenja ?2.Definicija numerikog rjeenja ODJ ?3.Stabilnost rjeenja ODJ ?4.Osnovni numeriki postupci za ODJ ?5.Objasni metodu Euler-a ?6.Objasni unaprijeenu Euler-ovu metodu (Heun) ?7.Objasni i grafiki prikai RK metod ?8.Nain rjeavanja ODE pomou MAPLE ?

Documents

Num_Met_9