Nyelvi előkészítő évfolyam Matematika Tanterv. MATEMATIKA pénzügy.pdfhát az általános iskolai matematika tananyag újratanítása helyett a képességfejlesztésen van a

1

MATEMATIKA

Nyelvi előkészítő évfolyam

Matematika

Tanterv

Nevelési alapelvek a matematika tantárgyban

A nyelvi előkészítő év általánosan megfogalmazott cél és feladatrendszerére építve

kiemeljük a legfontosabb tantárgy specifikusnak tartott pedagógiai alapelveket, melynek

megvalósítását mindig szem előtt kívánjuk tartani:

az együttműködési képesség és az egészséges versenyszellem kialakítása

a munka, az erőfeszítés megbecsülése

a kezdeményezőkészség,

a játék személyiségformáló erejének erősítése

a kommunikációs készség sokoldalú fejlesztése

az absztrakt gondolkodás képességének fejlesztése

korszerű társadalom- és természettudományos ismeretek megalapozása

alkotó gondolkodásra és gondolkodva cselekvésre nevelés

színvonalas, következetes oktatás

a hagyományok tisztelete, ápolása

Az előkészítő év céljai szaktárgyunk szempontjából:

A tanulók elvégezték az általános iskola 8 osztályát, de nagyon különböző tudással. Az előkészí-

tőév végére alkalmasaknak kell lenniük a középiskolai tanulmányok minőségi elsajátítására. Te-

hát az általános iskolai matematika tananyag újratanítása helyett a képességfejlesztésen van a

hangsúly, de alapos ismétlésre is szükség van.

A felhasználható taneszköz

Matematika összefoglaló feladatgyűjtemény 10-14 éveseknek

Szerzők: Kosztolányi-Mike-Palánkainé-Szederkényiné-Vincze

Kiadó: MOZAIK Oktatási Stúdió (MS-2204T)

Matematika a nyelvi előkészítő évfolyam számára ( Szerz : Borbás Lászlóné)

Négyjegyű függvénytáblázatok

Óraszám: 36 óra

Tanítási ciklus 1 óra/hét

1.SZÁMOK, SZÁMHALMAZOK 8 óra

2.FÜGGVÉNYEK, GRAFIKONOK 6 óra

3. ELEMI GEOMETRIAI ISMERETEK 10 óra

4. ALGEBRAI KIFEJEZÉSEK, EGYENLETEK 12 óra

1. Számok és számhalmazok 8 óra

Ismeretek, fejlesztési követelmények kapcsolat

készség szinten tudja a racionális számkörben a négy alapmű-

veletet elvégezni.

Pozitív egész kitevőjű hatványokat kiszámolni, az azonosságo-

kat alkalmazni számításokban.

Alkalmazza helyesen a műveleti sorrendet, a zárójeleket, a hat-

ványozás azonosságait.

Ismerje az aránypár fogalmát, tudja kiszámítani a százalékérté-

ket, a százaléklábat vagy az alapot a másik kettő ismeretében.

Ismerje fel helyesen az egyenes illetve fordított arányossági

absztrakciós képes-

ség kialakítása

elvonatkoztatás

2

kapcsolatokat, tudja ezeket alkalmazni.

Tudja megbecsülni számolásának várható eredményét.

Használja célszerűen a számolási algoritmusokat,lehetőleg

zsebszámológép használata nélkül az egyszerűbb esetekben

(kétjegyű egész számok négyalapművelet, kis nevezőjű törtek,

egyszerűsítések, bővítések)

2. Függvények, grafikonok 6 óra

készség szinten tudjon pontokat ábrázolni és pont koordinátáit

leolvasni a derékszögű koordinátarendszerben,

különféle kapcsolatok közül tudja kiválasztani a függvénykap-

csolatot,

ismerje és helyesen használja az értelmezési tartomány, érték-

készlet fogalmát, a függvények megadásimódjait,

tudja ábrázolni a lineáris függvényt,

tudja megállapítani a függvények szemléletes tulajdonságait, áb-

rázolni konkrét transzformáltjaikat,

legyen képes megismert függvények grafikonját felhasználni

egyenlet és egyenlőtlenségek megoldására.

Változó mennyiségek kö-

zötti kapcsolatok felisme-

rése

összefüggések leírása kép-

let segítségével

fizika: erő- tömeg kapcso-

lat, munka – teljesítmény

kapcsolat

3. Elemi geometriai ismeretek 10 óra

Nevezetes ponthalmazok átismétlése, a halmazszemlélet fej-

lesztése.

ismerje és szerkesztési és egyszerűbb bizonyítási feladatokban

tudja alkalmazni a megismert nevezetes

ponthalmazokat, a nevezetes szögpárokat,

ismerje a háromszög oldalai, szögei, oldalai és szögei közötti

összefüggéseket, a háromszög nevezetes

vonalainak és köreinek fogalmát, tulajdonságait, tudja ezeket

alkalmazni szerkesztési feladatokban,

ismerje a háromszögek egybevágóságát biztosító alapeseteket,

ezek alapján tudjonháromszögszerkesztési feladatokat elvégez-

ni,

legyen képes a szerkesztés menetét indokolni, egyszerű esetek-

ben a feladatot diszkutálni.

Rajzkészség fejlesztése

Térbeli látás fejlesztése

Alakok, formák alakzatok

a biológiában, kémiában

4. Algebrai kifejezések, egyenletek 12 óra

készség szinten tudjon elsőfokú egyenletet megoldani,

tudja a szöveges feladatok adatait táblázatba foglalni, egyenle-

tet felállítani, megoldani, eredményétellenőrizni.

Tört együtthatós elsőfokú egyenletek és egyenlőtlenségek

megoldása.

Elsőfokú egyenletre vezető szöveges feladatok (mozgási, mun-

kavégzéssel kapcsolatos, számjegyekkelkapcsolatos keverési

feladatok), az adatok táblázatba rendezése, a megoldás ellenőr-

zése.

fizika, kémia

Munkavégzéses, keveréses

feladatok megoldása

A továbbhaladás feltételei:

Ismeri a négy alapműveletet, jól alkalmazza a műveletek sorrendjét.

Hibátlanul alkalmazza a racionális számokon értelmezett műveleteket.

Képes ábrázolni és jellemezni egy lineáris függvényt és annak transzformációját.

Felismeri az egyenes és fordított arányosságot a változók kapcsolatában.

3

Képes szöveges egyenleteket megoldani.

Ismeri a szerkesztés alapjait, képes háromszöget szerkeszteni a megadott adatokból.

Ismeri a háromszögek nevezetes vonalait.

Felismeri a négyszögeket és ismeri az oldalak, szögek és átlókra vonatkozó szabályokat.

Képes megoldani egy egyenletet vagy egyenlőtlenséget.

Tud százalékot számolni.

9–10. évfolyam

A 9–10. évfolyamon, a szemlélet alapján, a tevékenységeken, felfedeztetéseken keresztül koráb-

ban kialakított fogalmak pontos definiálására, az összefüggések felismerésére, modellek készíté-

sére kell helyezni a fő hangsúlyt. Szükséges a matematika alkalmazási területeinek széles körű

bemutatása a matematikán belüli problémák megoldásában, illetve más tudományok segítője-

ként. Ezekben az években erősödik a tanulók önismerete, és megfelelő képességfejlesztéssel és

módszertani változatossággal mind több tanulóban kialakulhat a matematika, illetve a természet-

tudomány valamely ága iránti érdeklődés.

A megismerés módszerei között továbbra is fontos a gyakorlati tapasztalatszerzés, de az

ismeretszerzés fő módszere a tapasztalatokból szerzett információk rendszerezése, igazolása, el-

lenőrzése, és az ezek alapján elsajátított ismeretanyag alkalmazása. Ezeken az évfolyamokon a

fogalmak definiálásán, az összefüggések igazolásán, az ismeretek rendszerezésén, kapcsolataik

feltárásán és az alkalmazási lehetőségek megismerésén van a hangsúly. Ezért a tanulóknak meg

kell ismerkedniük a tudományos feldolgozás alapvető módszereivel. (Mindenki által elfogadott

alapelvek/axiómák, már bizonyított állítások, új sejtések, állítások megfogalmazása és azok iga-

zolása, a fentiek összegzése, a nyitva maradt kérdések felsorolása, a következmények elemzése.)

A problémamegoldás megszerettetésének igen fontos eszközei lehetnek a matematikai

alapú játékok. A gyerekek szívesen játszanak maradékos osztáson, oszthatósági szabályokon

alapuló számjátékokat, és szimmetriákon alapuló geometriai, rajzos játékokat. Nyerni akarnak,

ezért természetes módon elemezni kezdik a szabályokat, lehetőségeket. Olyan következtetésekre

jutnak, olyan elemzéseket végeznek, amilyeneket hagyományos feladatokkal nem tudnánk elér-

ni. A matematikatanításnak ebben a szakaszában sok érdekes matematikatörténeti vonatkozással

lehet közelebb hozni a tanulókhoz a tantárgyat. A témakör egyes elemeihez kapcsolódva mutas-

suk be néhány matematikus életútját. A geometria egyes területeinek (pl. szimmetriák) a művé-

szetekben való alkalmazásait megjelenítve világossá tehetjük a tanulók előtt, hogy a matematika

a kultúra elválaszthatatlan része. Az ezekre a témákra fordított idő bőven megtérül az ennek kö-

vetkeztében növekvő érdeklődés, javuló motiváció miatt.

Változatos példákkal, feladatokkal mutathatunk rá arra, hogy milyen előnyöket jelenthet

a mindennapi életben, ha valaki jól tud problémákat megoldani. Gazdasági, sport témájú felada-

tokkal, számos geometriai és algebrai szélsőérték-feladattal lehet gyakorlati kérdésekre optimá-

lis megoldásokat keresni.

Ez az életkor már alkalmassá teszi a tanulókat az önálló ismeretszerzésre. Legyen köve-

telmény, hogy egyes adatoknak, fogalmaknak, ismereteknek könyvtárban, interneten nézzenek

utána. Ez a kutatómunka hozzájárulhat a tanulók digitális kompetenciájának növeléséhez, ugya-

núgy, mint a geometriai és egyéb matematikai programok használata is. A számítógép által nyúj-

tott határtalan lehetőségeket képesek legyenek felismerni, és hatékonyan felhasználni. Fontos

célkitűzés, hogy a feladatmegoldások közben a számológépet segédeszközként tudják használni.

Ebben az életkori szakaszban már elvárható, hogy a tanulók a leírt szöveget pontosan

megértsék, gondolataikat igyekezzenek szabatosan kifejteni. A matematikai gondolkodásmód

fejlődésével egyre magabiztosabban képesek véleményt nyilvánítani, érvelni, mások gondolatait

megérteni.

4

9. évfolyam

Óraszám: 108 óra/év

3 óra/hét

Sorszám Témakör Óraszám

1. Gondolkodási módszerek, halmazok, matematikai logika 10 óra

2. Algebra és számelmélet 25 óra

3. Ponthalmazok, háromszögek, sokszögek 16 óra

4. Függvények 14 óra

5. Egyenletek, egyenlőtlenségek 15 óra

6. Egybevágósági transzformációk 12 óra

Összefoglalás, számonkérés 10 óra

Év végi ismétlés 6 óra

Tematikai egység/

Fejlesztési cél

1. Gondolkodási módszerek, halmazok, matematikai

logika

Órakeret

10 óra

(9+1)

Előzetes tudás

Csoportosítás különböző szempontok alapján. Halmazműveletek véges

halmazokon. Halmazábra. Részhalmaz. Számhalmazok, ponthalmazok.

Állítások megfogalmazása a hétköznapi életből. Matematikai állítások

vizsgálata. Igaz és hamis állítások. Állítás tagadása.

A tematikai egység

nevelési-fejlesztési

céljai

A halmaz fogalmának mélyítése, alkalmazása problémamegoldásra, ma-

tematikai modellek alkotására. Több szempont alkalmazásával a meg-

osztott figyelem fejlesztése. Definíciók, jelölések használata során az

emlékezet fejlesztése. A köznapi életben használt logikai következteté-

sek és a matematikai logikában használt kifejezések összevetése. A hét-

köznapi, nem tudományos szövegekben található matematikai informá-

ciók felfedezése, rendszerezése a célnak megfelelően. Matematikai állí-

tások helyes megfogalmazása, érvelés, vitakultúra fejlesztése.

Ismeretek/fejlesztési követelmények Kapcsolódási pon-

tok

Intervallumok: zárt, nyílt, félig zárt, félig nyílt.

A fogalom szemléletes kialakítása, majd definiálása.

Halmazműveletek: unióképzés, metszetképzés, különbségképzés,

komplementer halmaz.

Halmazműveletek alkalmazása több halmazra.

Definíciók megfogalmazása, megértése. Halmazok felbontása

Informatika: adatbá-

zis-kezelés, adatál-

lományok, adatok

szűrése különböző

5

diszjunkt halmazok uniójára. szempontok szerint.

Biológia-egészségtan:

rendszertan.

Nevezetes ponthalmazok. Ponthalmazok a koordinátasíkon.

Koordinátákkal megadott feltételek. Descartes-szorzat.

Matematikatörténet: René Descartes.

Matematikai tartalmú szöveg értelmezése.

Tétel kimondása, bizonyítása.

Állítás és megfordítása.

Direkt, indirekt bizonyítás.

Szükséges, elégséges, szükséges és elégséges feltétel.

Állítások megsejtése, bizonyítás vagy cáfolat megadása.

Logikai műveletek: NEM, ÉS, VAGY, „Minden”, „van olyan”, ha ….,

akkor.

A köznapi szóhasználat és a matematikai kifejezés kapcsolatá-

nak megértése.

Matematikai és más jellegű érvelésekben a logikai műveletek

felfedezése, alkalmazása.

Érvelés és vita, ellenpélda szerepe.

A tananyag 10 %-át az ismeretek mélyebb elsajátítására használjuk.

1 óra összetett feladatok a halmazműveletek köréből.

Magyar nyelv és iro-

dalom: retorikai alap-

ismeretek.

Kulcsfogalmak/

fogalmak

Véges és végtelen halmaz, unió, metszet, különbség, komplementer hal-

maz, Descartes-féle szorzat. Intervallum. Logikai művelet (NEM, ÉS,

VAGY. Ha…. akkor), szükséges és elégséges feltétel. Sejtés, bizonyítás.

Tematikai egység/

Fejlesztési cél

2. Számelmélet, algebra

(Hatványozás, oszthatóság, algebrai kifejezések)

Órakeret

25 óra

(+2)

Előzetes tudás

Természetes számok, egész számok, racionális számok halmaza. Művele-

tek elvégzése a racionális számok halmazán fejben, írásban. Műveletek

sorrendje, zárójelek használata. Hatványozás. Összefüggések leírása algeb-

rai kifejezésekkel, helyettesítési érték, zárójelfelbontás.

A tematikai egy-

ség nevelési-

fejlesztési céljai

A számkör bővítés elveinek megértése. Gondolkodás: ismeretek rendsze-

rezésének fejlesztése. Az absztrakciós készség fejlesztése. Algebrai kifeje-

zések biztonságos használata, célszerű átalakítási módok megtalálása, el-

végzése. Direkt bizonyítási módszer alkalmazása. Ismeretek tudatos me-

morizálása, az emlékezet fejlesztése.

Ismeretek és fejlesztési követelmények Kapcsolódási pontok

A valós számkör.

Műveleti tulajdonságok alkalmazása: kommutativitás, asz-

szociativitás, disztributivitás.

Pozitív egész kitevős hatvány.

Korábbi ismeretekre való emlékezés.

A hatványozás azonosságai.

Hatványozás 0 és negatív egész kitevőre. Permanencia-elv.

Számok normálalakja.

Számolás normálalakban felírt számokkal.

Fizika; kémia; biológia-

egészségtan: a tér, az idő,

6

Normálalak a számológépen.

A természettudományokban és a társadalomban előforduló

nagy és kis mennyiségekkel történő számolás.

Számok tizedes tört alakja. Véges, végtelen szakaszos, végtelen

nem szakaszos tizedes törtek.

Irracionális számok.

A valós számok és a számegyenes kapcsolata.

A racionális számok halmaza nem elegendő a számegyenes

pontjainak jelölésére.

az anyagmennyiség nagy

és kis méreteinek meg-

adása normálalakkal.

Osztó, többszörös, oszthatóság, oszthatósági szabályok.

A tanult ismeretek felidézése: prímszám, összetett szám, prímté-

nyezős felbontás.

A számelmélet alaptétele.

Végtelen sok prímszám van.

Osztók számának meghatározása a prímtényezős felbontás-

ból.

Matematikatörténet: Euklidesz, Eratosztenész, Euler, Fermat.

Algebrai kifejezések.

Egész kifejezések, polinomok, törtkifejezések. Racionális és

nem racionális kifejezések.

A kifejezés értelmezési tartománya.

Helyettesítési érték.

Műveleti tulajdonságok (kommutativitás, asszociativitás,

disztributivitás) vizsgálata.

Fizika; kémia: mennyi-

ségek kiszámítása képlet

alapján, képletek átren-

dezése.

Műveletek többtagú egész algebrai kifejezésekkel.

Többtagú kifejezés szorzása többtagú kifejezésekkel – záró-

jelfelbontás, előjelszabályok.

Többtagú kifejezés szorzattá alakítása kiemeléssel.

Nevezetes azonosságok: 2)ba( ; baba ; 3)( ba ; 2)( cba ; 33 ba ;

33 ba

Ismeretek (képletek) tudatos memorizálása.

Azonos átalakítások.

Polinomok összeadása, kivonása, szorzása, hatványozása. Ki-

emelés, szorzattá alakítás. Kifejezések legnagyobb közös osz-

tója, legkisebb közös többszöröse.

Algebrai törtek összeadása, kivonása, szorzása, osztása. Egy-

szerűsítés. Bővítés.

A tanult azonosságok, tulajdonságok felhasználása algebrai

átalakítások, egyszerűsítések során.

A tananyag 10 %-át az ismeretek mélyebb elsajátítására fordítjuk.

2 óra gyakorlás szorzattá alakítási feladatok.

Fizika; kémia: képletek

értelmezése, egyenletek

rendezése.

Kulcsfogal-

mak/ fogal-

mak

Valós szám, normálalak, kommutativitás, asszociativitás, disztributivitás. Al-

gebrai kifejezés, polinom, algebrai tört, azonosság, számtani közép, mértani

közép.

7

Tematikai egység/

Fejlesztési cél 3.Geometria (ponthalmazok, háromszögek, sokszögek)

Órakeret

16 óra

(+2)

Előzetes tudás

Térelemek kölcsönös helyzete, távolsága. Háromszögek, négyszögek,

sokszögek tulajdonságai. Speciális háromszögek, négyszögek elnevezé-

se, felismerése, tulajdonságaik. Háromszögek szerkesztése alapadatok-

ból. Háromszög köré írt kör és beírt kör szerkesztése. A Pitagorasz-tétel

és a Thalész-tétel ismerete.

A tematikai egység


céljai

A geometriai szemlélet, látásmód fejlesztése. A szükséges és az elégsé-

ges feltétel felismerése. Bizonyítási igény kialakítása. Összetett számí-

tási probléma lebontása, számítási terv készítése (megfelelő részlet ki-

választása, a részletszámítások logikus sorrendbe illesztése). Valós

probléma geometriai modelljének megalkotása, számítások a modell

alapján, az eredmények összevetése a valósággal. Számoló-, számítógép

használata.

Ismeretek/fejlesztési követelmények Kapcsolódási pon-

tok

Térelemek kölcsönös helyzete, távolsága, szöge.

Nevezetes ponthalmazok:

adott térelemtől adott távolságra lévő pontok halmaza – síkban és

térben;

két térelemtől egyenlő távol lévő pontok halmaza – síkban és tér-

ben.

Vegyes feladatok ponthalmazok alkalmazására szerkesztéssel.

Informatika: geomet-

riai szerkesztőprog-

ram.

A háromszög oldalai és szögei.

Háromszög-egyenlőtlenség.

Összefüggések a háromszög szögei között – belső szögek, külső

szögek.

Összefüggések a háromszög oldalai és szögei között.

A háromszögek szögeiről, oldalairól tanult tételek bizonyítása,

alkalmazása számítási, szerkesztési és bizonyítási feladatokban.

A háromszögek nevezetes vonalai:

A háromszög oldalfelező merőlegesei, a háromszög köré írt köre.

A háromszög magasságvonalai, magasságpontja.

A háromszög szögfelező egyenesei, a háromszög beírt köre, hoz-

záírt körei.

A háromszög súlyvonalai, súlypontja.

A háromszögek nevezetes vonalairól és köreiről tanult tételek

bizonyítása, alkalmazása számítási, szerkesztési és bizonyítási

feladatokban.

Euler-egyenes, Feuerbach-kör bemutatása grafikus program-

mal.

A tananyag 10 %-át az ismeretek mélyebb elsajátítására fordítjuk.

2 óra szerkesztési feladatok. A háromszög beírható, köré írható és

hozzáírható köreinek megismerése, szerkesztése.

Informatika: geomet-

riai szerkesztő prog-

ram használata.

Négyszögek, sokszögek, szabályos sokszögek.

Belső és külső szögek összege.

Átlók száma.

8

Pitagorasz-tétel és megfordításának bizonyítása és alkalmazása.

Számítási feladatok síkban és térben.

A tétel és megfordításának alkalmazása bizonyítási feladatok-

ban.

Matematikatörténet: Pitagorasz.

Fizika: vektor felbon-

tása merőleges össze-

tevőkre.

Thalész tétele és a tétel megfordításának bizonyítása és alkalmazása.

Szerkesztési és bizonyítási feladatok.

Körérintő szerkesztése.

Matematikatörténet: Thalész.

Kulcsfogalmak/

fogalmak

Hozzáírt kör. Sokszög.

Tematikai egység/

Fejlesztési cél 4. Függvények

Órakeret

14 óra

(+1)

Előzetes tudás

Halmazok. Hozzárendelés fogalma. Grafikonok készítése, olvasása. Pon-

tok ábrázolása koordináta-rendszerben. Lineáris függvények, fordított

arányosság függvénye, abszolútérték-függvény, másodfokú függvény is-

merete.

A tematikai egység


céljai

Függvény-transzformációk algebrai és geometriai megjelenítése. Össze-

függések, folyamatok megjelenítése matematikai formában (függvény-

modell), vizsgálat a grafikon alapján. A vizsgálat szempontjainak kialakí-

tása. Számítógép bevonása a függvények ábrázolásába, vizsgálatába.

Ismeretek/fejlesztési követelmények Kapcsolódási pontok

Függvény fogalma.

Értelmezési tartomány, értékkészlet.

A függvény megadási módjai, ábrázolása, jellemzése.

Új fogalmak: paritás, korlátosság.

Informatika: függ-

vényábrázolás, grafi-

konkészítés számító-

gépes program segít-

ségével.

Egyenes arányosság.

Elsőfokú függvények, lineáris függvények.

Lineáris kapcsolatok felfedezése a hétköznapokban.

Fizika; kémia: egyene-

sen arányos mennyisé-

gek.

Abszolútérték-függvény.

Másodfokú függvények.

Teljes négyzetté kiegészítés.

Hatványfüggvények.

Gyökfüggvények.

A függvénygrafikonok elkészítése és használata a függvény jel-

lemzésére.

Informatika: függ-

vényábrázolás, grafi-

konkészítés számító-

gépes program segít-

ségével.

Fordított arányosság, elsőfokú törtfüggvény. Fizika; kémia: fordí-

tottan arányos mennyi-

ségek.

Függvény transzformációk.

A tanult függvények többlépéses transzformációi az alábbiak összeté-

telével: cxf ; cxf ; xfc ; xcf ; xf .

Függvények jellemzése (értékkészlet, monotonitás, szélsőérték, korlá-

tosság, paritás, zérus hely).

Fizika: a megfigyelés

időbeli és térbeli kezdő-

pontja változásának ha-

tása a mennyiségek kö-

zötti összefüggésekre.

9


1 óra függvénytranszformációs feladatok. összetett transzformáci-

ók.

Kulcsfogalmak/

fogalmak

Függvény grafikonja. Paritás, korlátosság.

Tematikai egység/

Fejlesztési cél

5. Számelmélet, algebra (egyenlet, egyenlőtlenség, egyen-

letrendszer)

Órakeret

15 óra

(+2)

Előzetes tudás

Egyismeretlenes elsőfokú egyenletek, egyenlőtlenségek megoldása.

Alaphalmaz vizsgálata, ellenőrzés. Azonosság. Szöveges feladatok – ma-

tematikai modell alkotása.

A tematikai egység


céljai

Gyakorlati problémák matematikai modelljének felállítása, a modell ható-

körének vizsgálata, a kapott eredmény összevetése a valósággal; az ellenőr-

zés fontosságának belátása. A problémához illő számítási mód kiválasztása,

eredmény kerekítése a problémának megfelelően. Számológép használata.


Elsőfokú egyenletek.

Alaphalmaz, megoldáshalmaz.

Ekvivalens átalakítások.

Mérlegelv.

Egyenletek algebrai, grafikus megoldása.

Digitális technikák használata az egyenletmegoldás során.

Elsőfokú egyenlettel megoldható szöveges feladatok.

A korábban tanult feladattípusok megoldási módszereinek el-

mélyítése.

A mindennapokhoz kapcsolódó problémák matematikai mo-

delljének elkészítése, egyenlet felírása; a megoldás ellenőrzése,

a gyakorlati feladat megoldásának összevetése a valósággal

(lehetséges-e?).

Fizika: kinematika, di-

namika.

Kémia: oldatok össze-

tétele.

Törtes egyenletek, egyenlőtlenségek.

Értelmezési tartomány. Ekvivalens átalakítások. Az ellenőrzés

szerepe, szükségessége.

Törtek előjelének vizsgálata.

A tananyag 10 %-át az ismeretek mélyebb elsajátítására használjuk:

1 óra összetettebb törtes egyenletek megoldása, értelmezési tarto-

mány vizsgálata.

Abszolút értéket tartalmazó egyenletek, egyenlőtlenségek.

Elsőfokú egyenletrendszerek.

Grafikus megoldás.

Behelyettesítő módszer.

Egyenlő együtthatók módszere.

Új ismeretlen bevezetése.

Különböző módszerek megismerése és alkalmazása ugyanarra

a problémára.

Egyenletrendszerrel megoldható szöveges feladatok.

A kapott eredmény értelmezése, valóságtartalmának vizsgálata.

Informatika: számító-

gépes program haszná-

lata.

10

Egyenlőtlenségek grafikus megoldása.

Egyenlőtlenségek algebrai megoldása.

Egyismeretlenes egyenlőtlenségrendszer.


1 óra Egyszerű törtes egyenlőtlenségek megoldása.

Kulcsfogalmak/

fogalmak

Elsőfokú egyenlet, egyenlőtlenség, értelmezési tartomány, azonosság. Ekvi-

valens átalakítás, hamis gyök. Egyenletrendszer.

Tematikai egység/

Fejlesztési cél 6. Geometria (Egybevágósági transzformációk)

Órakeret

12 óra

(+3)

Előzetes tudás Geometriai transzformációk, a szimmetria felismerése környezetünkben,

alkalmazásuk egyszerű feladatokban.

A tematikai egység


céljai

A geometriai transzformációk alkalmazása problémamegoldásban. A

szimmetria szerepének felismertetése a matematikában és a valóságban.

Tájékozódás valóságos viszonyokról térkép és egyéb vázlatok alapján.

Valós probléma geometriai modelljének megalkotása, számítások a mo-

dell alapján, az eredmények összevetése a valósággal. Számológép, szá-

mítógép használata.


Geometriai transzformáció fogalma.

Egybevágósági transzformációk rendszerezése.

Tengelyes tükrözés, középpontos tükrözés, pont körüli elforga-

tás, eltolás.

A geometriai transzformációk tulajdonságai:

– fixpont, fix egyenes, fix sík;

– szögtartás, távolságtartás, irányítástartás;

– szimmetrikus és nem szimmetrikus transzformáció.

Geometriai transzformációk szorzata.

Informatika: geometri-

ai szerkesztőprogram

használata.

Az egybevágóság fogalma.

Egybevágó alakzatok felismerése.

Alakzatok egybevágósága.

A háromszögek egybevágóságának alapesetei.


1 óra Feladatok háromszögek egybevágóságára.

Szimmetrikus alakzatok.

A szimmetrián alapuló tulajdonságok felismerése: szögek, sza-

kaszok egyenlősége.

Vizuális kultúra: mű-

vészettörténeti stílus-

korszakok.

Szerkesztési, számítási és bizonyítási feladatok.

Az egybevágóság, a szimmetria felismerése, hatékony alkal-

mazása.

Vázlatkészítés, elemzés, diszkusszió.

A paralelogramma, a háromszög és a trapéz középvonala.

A középpontos tükrözés alkalmazása.

11

Kulcsfogalmak/

fogalmak

Geometriai transzformáció, egybevágósági transzformáció, szimmetrikus

alakzat.

2 óra Év végi összefoglalásra, gyakorlásra. Hiányok feltárása és pótlása.

A fejlesztés várt

eredményei a 9.

évfolyam végén

Gondolkodási és megismerési módszerek

Halmazműveletek alkalmazása számhalmazokra, ponthalmazokra, inter-

vallumokra, véges és végtelen halmazokra.

Definíció, tétel felismerése, az állítás és a megfordításának felismerése;

bizonyítás gondolatmenetének követése.

Számelmélet, algebra

Racionális és irracionális számok – a valós számok halmazának szemlé-

letes fogalma.

Számok normálalakja, normálalakkal műveletek végzése.

Biztos műveletvégzés, műveletek sorrendje, zárójelek használata.

Algebrai kifejezésekkel végzett műveletek, azonosságok alkalmazása.

Elsőfokú egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek megoldási

módszereinek használata. Szöveges feladatok megoldása.

A számológép használata.

Geometria

Térelemek ismerete.

A kör és részeinek ismerete.

Egybevágósági transzformációk ismerete, alkalmazása szerkesztési és

bizonyítási feladatokban. Egybevágó alakzatok tulajdonságainak ismere-

te, alkalmazása feladatokban.

Háromszögek, szögeinek, nevezetes vonalainak, köreinek ismerete. Az

ismeretek alkalmazása számítási, szerkesztési és bizonyítási feladatok-

ban.

A Pitagorasz-tétel és a Thalész-tétel alkalmazásai.

Függvények, az analízis elemei

A függvény fogalmának ismerete..

Többlépéses függvénytranszformációk elvégzése cxf ; cxf ;

xfc ; xcf ;.

Mindennapjainkhoz, más tantárgyakhoz kapcsolódó folyamatok elemzé-

se a megfelelő függvény grafikonja alapján.

10. évfolyam


3 óra/hét

Ajánlás az éves óraszám felosztására


1. Gondolkodási módszerek, kombinatorika, gráfok 14 óra

12

2. Algebra és számelmélet: négyzetgyök, másodfokú kifejezés 26 óra

3. Statisztika, valószínűség 10 óra

4. Geometria: hasonlóság 26 óra

5. Szögfüggvények 16 óra


Év végi ismétlés 6 óra

Tematikai egység/

Fejlesztési cél

1.Gondolkodási módszerek, halmazok, matematikai logi-

ka, kombinatorika, gráfok

Órakeret

14 óra

(+1)

Előzetes tudás

Halmazműveletek. Halmazábra. Részhalmaz. Matematikai állítások vizs-

gálata. Igaz és hamis állítások. Állítás tagadása. Elemek sorba rendezése,

adott szempont szerinti kiválasztása.

A tematikai egység


céljai

A halmaz fogalmának mélyítése, alkalmazása problémamegoldásra, ma-

tematikai modellek alkotására. A kombinatorikai problémák felfedezése a

hétköznapi életben, modellek alkalmazása. A rendszerező képesség, a fi-

gyelem fejlesztése. Gráfok segédeszközként való használata a gondolko-

dásban.


n elemű halmaz részhalmazainak a száma.

Korábbi ismeretek felhasználása, a tanult jelölések alkalmazá-

sa.

Halmazok számossága.

Véges és végtelen halmazok, megszámlálható, nem megszám-

lálható halmazok.

Matematikatörténet: Georg Cantor.

Magyar nyelv és iro-

dalom: mondatok, sza-

vak, hangok rendsze-

rezése.

Skatulyaelv.

Logikai szita.

Modellalkotás egy-egy tipikus problémára.

A szorzási és összeadási szabály.

Az összeszámlálás technikáinak megértése, alkalmazása.

Sorba rendezés.

Kiválasztás.

A szöveg matematikai nyelvre fordítása, matematikai modell

készítése.

Kombinatorikai problémák felfedezése a mindennapokban.

n!, nk. Az összeszámlálási módszer megértése.

Gráfok: csúcs, él, fokszám.

Gráfok alkalmazása feladatmegoldásban.

Gondolatmenet megjelenítése gráffal.


1 óra feladatok gráfokkal. Fokszám, élek, csúcsok kiszámítása.

Kémia: molekulák

szerkezete.


gépes hálózatok felépí-

tése.

Földrajz: térképek, út-

13

hálózat.

Kulcsfogalmak/

fogalmak

Véges és végtelen halmaz. Szorzási szabály, összeadási szabály, faktoriális,

gráf, csúcs, él, fokszám.

Tematikai egység/

Fejlesztési cél

2.Számelmélet, algebra (gyökös és másodfokú algebrai

kifejezések használata)

Órakeret

26 óra

(+2)

Előzetes tudás

Műveletek sorrendje, zárójelek használata. Hatványozás. Összefüggések

leírása algebrai kifejezésekkel, helyettesítési érték, zárójelfelbontás.

Egyismeretlenes elsőfokú egyenletek, egyenlőtlenségek megoldása.

Alaphalmaz vizsgálata, ellenőrzés.

A tematikai egység


céljai

Gyakorlati problémák matematikai modelljének felállítása, a modell ha-

tókörének vizsgálata, a kapott eredmény összevetése a valósággal; az el-

lenőrzés fontosságának belátása. A problémához illő számítási mód kivá-

lasztása, eredmény kerekítése a problémának megfelelően. Számológép

használata.


Négyzetgyök fogalma. A négyzetgyökvonás azonosságai.

Az indirekt bizonyítás: a 2 irracionális.

Bevitel a gyökjel alá, kiemelés a gyökjel alól.

Nevező gyöktelenítése.

Műveletek gyökös kifejezésekkel.

Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek.

Grafikus megoldás.

Teljes négyzetté kiegészítés.

Egyenletmegoldás szorzattá alakítással.

Algoritmus keresése a megoldásra.

A másodfokú egyenlet megoldóképlete.

A megoldóképlet készségszintű alkalmazása.

Számológép használata.

A másodfokú egyenlet diszkriminánsa.

Diszkusszió.

Gyöktényezős alak, Viete-formulák.

Másodfokúra visszavezethető egyenletek.

Új ismeretlen bevezetése.

Matematikatörténet: magasabb fokú egyenletek megoldhatósága.


1 óra Törtek egyszerűsítése a gyöktényezős alak ismeretében.

Másodfokú egyenlettel megoldható szöveges feladatok.

Modellalkotás, megoldási módszerek. Szövegben történő elle-

nőrzés.

Másodfokú függvények vizsgálata.

Teljes négyzetté alakítás használata. Számítógépes program

használata.

Szélsőérték-feladatok.

Fizika: egyenletesen

gyorsuló mozgás leírá-

sa.


gépes program haszná-

14

Másodfokú függvény vizsgálatával.


1 óra Szöveges feladatok megoldása.

lata.

Másodfokú egyenlőtlenségek.

A megoldás megadása másodfokú függvény vizsgálatával.

Másodfokú egyenletrendszer.

Másodfokú egyenletrendszerrel megoldható szöveges feladatok.

Emlékezés korábban megismert módszerekre, alkalmazás az

adott környezetben.

Fizika: ütközések.

Négyzetgyökös egyenletek.

Ekvivalens és nem ekvivalens egyenlet-megoldási lépések.

Hamisgyök, gyökvesztés.

Értelmezési tartomány. Ekvivalens átalakítások. Az ellenőrzés

szerepe, szükségessége.

Kulcsfogalmak/

fogalmak

Másodfokú egyenlet, egyenlőtlenség, teljes négyzetté alakítás,

megoldóképlet, diszkrimináns, diszkusszió. Egyenletrendszer. Négyzetgyö-

kös egyenlet.

Tematikai egység/

Fejlesztési cél 3. Statisztika. valószínűség

Órakeret

10 óra

(+1)

Előzetes tudás Adatok elemzése, átlag, táblázatok, grafikonok használata, gyakoriság,

relatív gyakoriság, valószínűség fogalma. Százalékszámítás.

A tematikai egység


céljai

Tapasztalatszerzés kísérletekkel, a kísérletek kiértékelése, következteté-

sek. Diagram készítése, olvasása. Táblázat értelmezése, készítése. Számí-

tógép használata az adatok rendezésében, értékelésében, ábrázolásában.

Ismeretek/és fejlesztési követelmények Kapcsolódási pontok

Statisztikai adatok gyűjtése, elemzése és ábrázolása.

Adatok rendezése, osztályokba sorolása, táblázatba rendezése,

ábrázolása.

Következtetések levonása.

Számológép használata.

Adathalmazok jellemzői: terjedelem, átlag, medián, módusz,

szórás.


1 óra Kördiagram készítése.

Földrajz: időjárási,

éghajlati és gazdasági

statisztikák.

Történelem, társadal-

mi és állampolgári is-

meretek: történelmi,

társadalmi témák vizu-

ális ábrázolása (táblá-

zat, diagram).

Informatika: adatkeze-

lés, adatfeldolgozás,

információ-

megjelenítés.

Véletlen jelenségek megfigyelése.

Kockadobások, pénzérme.

Véletlen jelenségek számítógépes szimulációja.

Esemény, eseménytér, biztos esemény, lehetetlen esemény, komple-

menter esemény.

Műveletek eseményekkel.

Kétváltozós műveletek értelmezése.

15

Egyszerűbb események valószínűségének kiszámítása.

Klasszikus valószínűségi modell.

A valószínűség meghatározása kombinatorikus eszközökkel.

Kulcsfogalmak/

fogalmak

Terjedelem, szórás.

Tematikai egység/

Fejlesztési cél 4.Geometria (hasonlóság)

Órakeret

26 óra

(+3)

Előzetes tudás Geometriai transzformációk, a szimmetria felismerése környezetünkben,

alkalmazásuk egyszerű feladatokban.

A tematikai egység


céljai

A geometriai transzformációk alkalmazása problémamegoldásban. A

szimmetria szerepének felismertetése a matematikában és a valóságban.

Tájékozódás valóságos viszonyokról térkép és egyéb vázlatok alapján.

Valós probléma geometriai modelljének megalkotása, számítások a mo-

dell alapján, az eredmények összevetése a valósággal. Számológép, szá-

mítógép használata.


A párhuzamos szelők tétele és megfordítása.

A párhuzamos szelőszakaszok tétele.

Szakasz arányos osztása.

Számítási és bizonyítási feladatok.

A középpontos hasonlóság fogalma és tulajdonságai.

A hasonlósági transzformáció fogalma és tulajdonságai.

Aránytartó transzformáció.

Szerkesztési, számítási, bizonyítási feladatok.

Földrajz: térképek.

Hasonló alakzatok.

A háromszögek hasonlóságának alapesetei.

A sokszögek hasonlósága.

A hasonló síkidomok területének aránya.

A hasonló testek felszínének és térfogatának aránya.


2 óra Feladatok hasonló háromszögekre. Hasonló síkidomok terü-

letének kiszámítása.

Fizika: hasonló három-

szögek alkalmazása –

lejtőmozgás, geometri-

ai optika.

Arányossági tételek háromszögekben.

Magasságtétel, befogótétel.

A számtani és a mértani közép közötti egyenlőtlenség geometriai bi-

zonyítása.

Mértani közép szerkesztése.

Vizuális kultúra: festé-

szet, építészet.

A vektor.

Ellentett vektorok, nullvektor, egyenlő vektorok, vektor

abszolútértéke.

Műveletek vektorokkal:

– összeadás (paralelogramma módszer, láncmódszer);

– kivonás;

– számmal való szorzás.

Vektor felbontása összetevőkre.

A vektorműveletek tulajdonságai.

Fizika: vektormennyi-

ségek.

16

Szerkesztési feladatok.

Vektorműveletek gyakorlása síkbeli és térbeli ábrákon is.

Analógia a számhalmazokon végzett műveletekkel.

Bázisvektorok, bázisrendszer.

Vektorok koordinátái.

Vektor hosszának számítása.

Helyvektor, szabadvektor.


1 óra: Vektorok a koordináta rendszerben.

Kulcsfogalmak/

fogalmak

Hasonlósági transzformáció, hasonló alakzat, számtani és mértani közép, ke-

rületi és középponti szög, húrnégyszög, érintőnégyszög, látókörív. Vektor-

művelet, paralelogramma-módszer, láncmódszer, vektorfelbontás,

nullvektor, ellentett vektor, egyenlő vektor. Bázisvektor, bázisrendszer, vek-

torkoordináta. Helyvektor, szabadvektor.

Tematikai egység/

Fejlesztési cél 5. Szögfüggvények

Órakeret

16 óra

(+4)

Előzetes tudás Hasonlóság alkalmazása számolási feladatokban, vektorok koordinátái-

nak használata.

A tematikai egység


céljai

Síkbeli és térbeli ábra készítése a valós geometriai problémáról. Számítá-

si feladatok, a megoldáshoz alkalmas szögfüggvény megtalálása. Számo-

lógép, számítógép használata.

Ismeretek/és fejlesztési követelmények Kapcsolódási pontok

Távolságok, magasságok meghatározása arányokkal.

A valóság kicsinyített ábrájáról szögek és szakaszok meghatá-

rozása méréssel és számolással.

A hegyesszögek szögfüggvényeinek definíciója.

Szögfüggvény értékének és szögek értékének meghatározása

számológéppel.

Számítási feladatok szögfüggvények használatával síkban és

térben.


2 óra: Geometriai feladatok a háromszög ismeretlen oldalainak és

szögeinek kiszámítására.

Fizika: lejtőn mozgó

testre ható erők kiszá-

mítása.

Nevezetes szögek szögfüggvényei: 30°; 60°; 45°.

Összefüggések egy hegyesszög szögfüggvényei között.

Pótszögek szögfüggvényei.

Egyszerű trigonometrikus összefüggések bizonyítása.

A szög ívmértéke.

A radián mint mértékegység.

Átváltás fok és radián között.

Fizika: szögsebesség,

szöggyorsulás.

Kulcsfogalmak/

fogalmak

Szögfüggvény, ívmérték, periódus, radián. Forgásszög, egységvektor, egy-

ségkör.

2 óra Év végi ismétlésre. Hiányok feltárása és pótlása.

A fejlesztés várt Gondolkodási és megismerési módszerek

17

eredményei a 10.

évfolyam végén Definíció, tétel felismerése, az állítás és a megfordításának felismerése;

bizonyítás gondolatmenetének követése.

Bizonyítási módszerek ismerete, a logikai szita és a skatulyaelv alkalma-

zása feladatmegoldás során.

Szorzási és összeadási szabály alkalmazása kombinatorikai feladatokban.

Gráfok használata gondolatmenet szemléltetésére.

Számelmélet, algebra

A gyökvonás fogalmának ismerete, a gyökvonás azonosságainak alkal-

mazása, négyzetgyökös egyenletek megoldása.

Első és másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek

megoldási módszereinek használata. Szöveges feladatok megoldása.

Másodfokúra vezető szélsőérték-problémák megoldása teljes négyzetté

alakítással.

Geometria

Térelemek ismerete, a távolság és szög fogalmának értése, ismerete, a tá-

volság és a szög mérése.

A kör és részeinek ismerete.

Körrel kapcsolatos tételek alkalmazása .

Egybevágósági és hasonlósági transzformációk ismerete, alkalmazása

szerkesztési és bizonyítási feladatokban. Egybevágó alakzatok, hasonló

alakzatok tulajdonságainak ismerete, alkalmazása feladatokban.

Vektor fogalmának ismerete, vektorműveletek szerkesztése. Vektorfel-

bontás.

Háromszögek, négyszögek, sokszögek szögeinek, nevezetes vonalainak,

köreinek ismerete. Az ismeretek alkalmazása számítási, szerkesztési és

bizonyítási feladatokban.

Hegyesszögek szögfüggvényeinek értelmezése, számolás szögfüggvé-

nyekkel. Szögfüggvények közötti összefüggések ismerete.

Függvények, az analízis elemei

A függvény fogalmának mélyülése. Új függvényjellemzők ismerete: kor-

látosság, periodicitás, paritás.

A négyzetgyökfüggvény, trigonometrikus alapfüggvények ábrázolása,

jellemzése.

Többlépéses függvénytranszformációk elvégzése cxf ; cxf ;

xfc ; xcf ; xf felhasználásával.

Mindennapjainkhoz, más tantárgyakhoz kapcsolódó folyamatok elemzé-

se a megfelelő függvény grafikonja alapján.

Valószínűség, statisztika

Statisztikai adatok elemzése: adat gyakoriságának és relatív gyakoriságá-

nak kiszámítása.

Táblázat olvasása és készítése; diagramok olvasása és készítése; adat-

halmaz móduszának, mediánjának, átlagának meghatározása.

Véletlen esemény, biztos esemény, lehetetlen esemény, véletlen kísérlet,

esély/valószínűség fogalmak ismerete, használata. A műveletek elvégzé-

se az eseménytérben.

A valószínűség klasszikus modelljének alkalmazása.

18

11–12. évfolyam

Ez a szakasz az érettségire felkészítés időszaka is, ezért a fejlesztésnek kiemelten fontos

tényezője az elemző- és összegzőképesség alakítása. Ebben a két évfolyamban áttekintését adjuk

a korábbi évek ismereteinek, eljárásainak, problémamegoldó módszereinek, emellett sok, gya-

korlati területen széles körben használható tudást is közvetítünk. Olyanokat, amelyekhez kell az

előző évek alapozása, amelyek kissé összetettebb problémák megoldását is lehetővé teszik. Az

érettségi előtt már elvárható többféle ismeret együttes alkalmazása. A sík- és térgeometriai fo-

galmak és tételek mind a térszemlélet, mind az analógiás gondolkodás fejlesztése szempontjából

lényegesek. A koordináta-geometria elemeinek tanításával a matematika különböző területeinek

összefüggéseit s így a matematika komplexitását mutatjuk meg.

Minden témában nagy hangsúllyal ki kell térnünk a gyakorlati alkalmazásokra, az isme-

retek más tantárgyakban való felhasználhatóságára. A statisztikai kimutatások és az információk

kritikus értelmezése, az esetleges manipulációs szándék felfedeztetése hozzájárul a vállalkozói

kompetencia fejlesztéséhez, a helyes döntések meghozatalához. Gyakran alkalmazhatjuk a digi-

tális technikát az adatok, problémák gyűjtéséhez, a véletlen jelenségek vizsgálatához. A terület-,

felszín-, térfogatszámítás más tantárgyakban és mindennapjaink gyakorlatában is elengedhetet-

len. A sorozatok, kamatos kamat témakör kiválóan alkalmas a pénzügyi, gazdasági problémák-

ban való jártasság kialakításra.

Az anyanyelvi kommunikáció fejlesztését is segíti, ha önálló kiselőadások, prezentációk

elkészítését, megtartását várjuk el a diákoktól. A matematikatörténet feldolgozása például al-

kalmas erre. Ez sokat segíthet abban, hogy a matematikát kevésbé szerető tanulók se tekintsék

gondolkodásmódjuktól távol álló területnek a matematikát.

19

11. évfolyam


4 óra/hét

Az éves óraszám felosztása


1. Számtan, algebra (hatvány gyök logaritmus) 29+3 óra

2. Geometria (trigonometria) 29+3 óra

3. Geometria (koordinátageometria) 31+4 óra

4. Gondolkodási és megismerési módszerek

(kombinatorika, gráf) 14+2 óra

5. Valószínűségszámítás, statisztika 14+2 óra


Tematikai egység/

Fejlesztési cél 1. Számtan, algebra (hatvány gyök logaritmus)

Órakeret

29+3 óra

Előzetes tudás Hatvány fogalma egész kitevőre, hatványozás azonosságai. Egyenlet,

egyenlőtlenség megoldása. Ekvivalens egyenlet fogalma.

A tematikai egy-

ség nevelési-


Tájékozódás a világ mennyiségi viszonyaiban: valós problémák megoldá-

sa megfelelő modell választásával. A matematika alkalmazása más tudo-

mányokban. Ismeretek rendszerezése, alkalmazása. A matematika épülé-

sének elvei: létező fogalom újraértelmezése, kiterjesztése. A fogalmak ki-

terjesztése követelményeinek megértése. Függvénytulajdonság alkalmazá-

sa egyenlet megoldásánál (pl. szigorú monotonitás). Tájékozódás az idő-

ben: lineáris folyamat, exponenciális folyamat.

Ismeretek Fejlesztési követelmények Kapcsolódási pontok

n-edik gyök.

A négyzetgyök fogalmának ál-

talánosítása.

A matematika belső fejlődésének

felismerése, új fogalmak alkotása.

Hatványozás pozitív alap és ra-

cionális kitevő esetén.

Fogalmak módosítása újabb ta-

pasztalatok, ismeretek alapján. A

hatványfogalom célszerű kiterjesz-

tése, permanenciaelv alkalmazása.

Hatványozás azonosságainak

alkalmazása. Példák az azonos-

ságok érvényben maradására.

Ismeretek tudatos memorizálása.

Ismeretek mozgósítása.

Az exponenciális függvények. Permanenciaelv alkalmazása.

Exponenciális folyamatok a

természetben és a társadalom-

ban.

Modellek alkotása (függvény

modell): a lineáris és az expo-

nenciális növekedés/csökkenés

matematikai modelljének ösz-

Fizika; kémia: radioakti-

vitás.

Földrajz: a társadalmi-

gazdasági tér szerveződé-

20

szevetése konkrét, valós prob-

lémákban (például: népesség,

energiafelhasználás, járványok

stb.).

se és folyamatai.

Történelem, társadalmi és

állampolgári ismeretek;

földrajz: globális kérdé-

sek: - erőforrások kimerü-

lése, fenntarthatóság, de-

mográfiai robbanás a

harmadik világban, népes-

ségcsökkenés az öregedő

Európában.

A definíciók és a hatványozás

azonosságainak közvetlen al-

kalmazásával megoldható expo-

nenciális egyenle-

tek,egyenlőtlenségek.

Modellek alkotása (algebrai

modell): exponenciális egyen-

letre vezető valós problémák

(például: befektetés, hitel, ér-

tékcsökkenés, népesség alaku-

lása, radioaktivitás).


vitás.

Földrajz; biológia-

egészségtan: globális

problémák - demográfiai

mutatók, a Föld eltartó

képessége és az élelmezé-

si válság, betegségek, vi-

lágjárványok, túltermelés

és túlfogyasztás.

A logaritmus értelmezése.

A logaritmussal való számolás

szerepe a Kepler-törvények fel-

fedezésében.

Korábbi ismeretek felidézése

(hatvány fogalma).

Ismeretek tudatos memorizálá-

sa.

Technika, életvitel és gya-

korlat: zajszennyezés.

Kémia: pH-számítás.

Fizika: Kepler-törvények.

Zsebszámológép használata, táb-

lázat használata.

Annak felismerése, hogy a

technika fejlődésének alapja a

matematikai tudás.

Fizika; kémia: számítási

feladatok.

A logaritmus azonosságai. A hatványozás és a logaritmus

kapcsolatának felismerése.

A logaritmusfüggvények vizsgá-

lata. Logaritmus alapfüggvények

grafikonja, jellemzésük.

A logaritmusfüggvény mint az

exponenciális függvény inverze.

Függvénynek és inverzének a

grafikonja a koordináta-

rendszerben.


vitás.

A definíciók és a logaritmus azo-

nosságainak közvetlen alkalmazá-

sával megoldható logaritmusos

egyenletek, egyenlőtlenségek

A megtanított ismeretek elmélyí-

tése és gyakorlása

(Exponenciális és logaritmusos

egyenletek megoldása)

Modellek alkotása (algebrai

modell): logaritmus alkalmazá-

sával megoldható egyszerű ex-

ponenciális egyenletek; ilyen

egyenletre vezető valós prob-

lémák (például: befektetés, hi-

tel, értékcsökkenés, népesség

alakulása, radioaktivitás).

Életvitel és gyakorlat: zaj-

szennyezés.

Kémia: pH-számítás.

Biológia-egészségtan: ér-

zékelés, az inger és az ér-

zet.

Kulcsfogalmak/ fogal-

mak

n-edik gyök. Racionális kitevőjű hatvány. Logaritmus. Exponenciális

függvény, logaritmusfüggvény. Exponenciális folyamat.

21

Tematikai egység/

Fejlesztési cél 2. Geometria (trigonometria) Órakeret

29+3 óra

Előzetes tudás

Sokszögekkel, körrel kapcsolatos ismeretek. Ponthalmazok, nevezetes

ponthalmazok ismerete. Háromszög nevezetes vonalai, pontjai, körei.

Háromszögekre, speciális háromszögekre vonatkozó tételek. Hegyesszö-

gek szögfüggvényei. Alapszerkesztések, egyszerű szerkesztési feladatok

körrel, háromszöggel kapcsolatosan. Vektorok, vektorműveletek.

A tematikai egység


céljai

Tájékozódás a térben. Tájékozódás a világ mennyiségi viszonyaiban: távol-

ságok, szögek, terület, kerület, felszín és térfogat kiszámítása. A matematika

két területének (geometria és algebra) összekapcsolása: koordináta-

geometria. Emlékezés, korábbi ismeretek rendszerezése, alkalmazása.


Szögfüggvények kiter-

jesztése, trigonometrikus

alapfüggvények (sin, cos,

tg).

A kiterjesztés szükségességének,

alapgondolatának megértése. Időtől

függő periodikus jelenségek kezelése.

Fizika: periodikus mozgás,

hullámmozgás, váltakozó

feszültség és áram.

Földrajz: térábrázolás és

térmegismerés eszközei,

GPS.

A trigonometrikus függ-

vények transzformációi:

cxf )( , )( cxf ; )(xcf ;

)(cxf .

Tudatos megfigyelés a változó szem-

pontok és feltételek szerint.

Informatika: tantárgyi szi-

mulációs programok hasz-

nálata.

Szinusztétel, koszinusz-

tétel.

Általános eset, különleges eset viszo-

nya (a derékszögű háromszög és a két

tétel).

Fizika: vektor felbontása

adott állású összetevőkre.

Földrajz: térábrázolás és

térmegismerés eszközei,

GPS.

Síkidomok kerületének

és területének számítása.

Ismeretek alkalmazása. Földrajz: felszínszámítás.

Pitagoraszi összefüggés

egy szög szinusza és ko-

szinusza között. Össze-

függés a szög és a mel-

lékszöge szinusza, illetve

koszinusza között. A

tangens kifejezése a szi-

nusz és a koszinusz há-

nyadosaként.

A trigonometrikus azonosságok meg-

értése, használata.

Függvénytáblázat alkalmazása fela-

datok megoldásában.

Egyszerű trigonometri-

kus egyenletek. Trigo-

nometrikus egyenletre

vezető, háromszöggel

kapcsolatos valós prob-

lémák. Azonosság alkal-

mazását igénylő egyszerű

trigonometrikus egyenlet.

A problémához hasonló egyszerű

probléma keresése.

Fizika: rezgőmozgás, adott

kitéréshez, sebességhez,

gyorsuláshoz tartozó időpil-

lanatok meghatározása.

22

Két vektor skaláris szorza-

ta. A skaláris szorzat tulaj-

donságai. Két vektor merő-

legességének szükséges és

elégséges feltétele

A megtanított ismeretek

elmélyítése és gyakorlá-

sa.

(Szinusz- és koszinusz-

tétel alkalmazása)

újszerűségének felfedezése. A műve-

let

A szükséges és az elégséges feltétel

felismerése, megkülönböztetése.

Fizika: mechanikai munka,

mágneses fluxus.

Kulcsfogalmak/

fogalmak

Valós szám szinusza, koszinusza, tangense. Bázisrendszer, helyvektor. Skalá-

ris szorzat. Szinuszfüggvény, koszinuszfüggvény, tangensfüggvény.

Tematikai egység/

Fejlesztési cél 4. Geometria (koordinátageometria) Órakeret

31+4 óra

Előzetes tudás

Sokszögekkel, körrel kapcsolatos ismeretek. Ponthalmazok, nevezetes

ponthalmazok ismerete. Háromszög nevezetes vonalai, pontjai, körei.

Háromszögekre, speciális háromszögekre vonatkozó tételek. Elsőfokú

és másodfokú egyenlet, kétismeretlenes egyenletrendszer algebrai

megoldása. Vektorok, vektorműveletek. Számológép (számítógép)

használata.

A tematikai egység


céljai

Tájékozódás a térben. Tájékozódás a világ mennyiségi viszonyaiban:

távolságok, szögek, terület, kerület kiszámítása. A matematika két te-

rületének (geometria és algebra) összekapcsolása. Emlékezés, korábbi

ismeretek rendszerezése, alkalmazása.


Helyvektor. Emlékezés: jelek, jelölések, megál-

lapodások.

Fizika: vonatkoztatási

rendszer, hely megadása.

Műveletek koordinátáikkal

adott vektorokkal. Vekto-

rok és rendezett számpárok

közötti megfeleltetés.

A vektor fogalmának bővítése (algeb-

rai vektorfogalom). Sík és tér: a di-

menzió szemléletes fogalmának fej-

lesztése.

Fizika: erők összeadása

komponensek segítségé-

vel, háromdimenziós kép-

alkotás (hologram).

A helyvektor koordinátái.

Szakasz felezőpontjának,

harmadoló pontjának, a há-

romszög súlypontjának ko-

ordinátái.

Képletek értelmezése, alkalmazása. Fizika: hely megadása.

Két pont távolsága, a sza-

kasz hossza.

Képletek értelmezése, alkalmazása.

A kör egyenlete. Geometria és algebra összekapcso-

lása.

Informatika: ponthalmaz

megjelenítése képernyőn

(geometriai szerkesztő-

program).

Az egyenes különböző

megadási módjai. Az

Megosztott figyelem; két, illetve

több szempont egyidejű követése.



23

irányvektor, a normálvek-

tor, az iránytangens.


program).

Iránytangens és az egyenes

meredeksége.

Fizika: út-idő grafikon és

a sebesség kapcsolata.

A merőlegesség megfogal-

mazása skaláris szorzattal.

Geometriai ismeretek feleleveníté-

se, megfogalmazása algebrai alak-

ban.

Az egyenes egyenlete.

Két egyenes párhuzamos-

ságának, merőlegességének

feltétele.

Az egyenest jellemző adatok, a kö-

zöttük felfedezhető összefüggések

értése, használata.

Informatika: tantárgyi

szimulációs programok

használata (geometriai

szerkesztőprogram).

Két egyenes metszéspontja.

Kör és egyenes kölcsönös

helyzete.

Geometriai probléma megoldása

algebrai eszközökkel. Ismeretek

mozgósítása, alkalmazása (elsőfo-

kú, illetve másodfokú

kétismeretlenes egyenletrendszer

megoldása).




program).

A kör adott pontjában hú-

zott érintője.

A geometriai fogalmak megjelení-

tése algebrai formában. Geometriai

ismeretek mozgósítása.




program).

A koordinátageometriai is-

meretek alkalmazása egy-

szerű síkgeometriai felada-

tok megoldásában.

A megtanított ismeretek el-

mélyítése és gyakorlása

(Az egyenes és a kör

egyenletével megoldható

feladatok)

Geometriai problémák megoldása

algebrai eszközökkel. Geometriai

problémák számítógépes megjelení-

tése.

Informatika: tantárgyi

szimulációs programok

használata (geometriai

szerkesztőprogram hasz-

nálata).

Fizika: égitestek pályája.

Kulcsfogalmak/

fogalmak

Bázisrendszer, helyvektor. Skaláris szorzat. Ponthalmaz egyenlete;

kétismeretlenes egyenletnek megfelelő ponthalmaz.

Tematikai egy-

ség/

Fejlesztési cél

5. Gondolkodási és megismerési módszerek (kombi-

natorika, gráf)

Órakeret

14+2 óra

Előzetes tudás Sorbarendezési, leszámlálási problémák megoldása.

A tematikai egy-

ség nevelési-


Ismeretek rendszerezése, alkalmazása. Mintavétel céljának, értelmének

megértése A modellhasználati, modellalkotási képesség fejlesztése.


Vegyes kombinatorikai fela-

datok, kiválasztási feladatok.

A kombinatorika alkalmazá-

sa egyszerű geometriai fela-

Modell alkotása valós problémá-

hoz: kombinatorikai modell.

Megosztott figyelem; két, illetve

több szempont egyidejű követése.

Földrajz: előrejelzések,

tendenciák megfogalmazá-

sa

Biológia-egészségtan: ge-

24

datokban.

Mintavétel visszatevés nélkül

és visszatevéssel.

Matematikatörténet: Erdős

Pál.

netika

Binomiális együtthatók. Jelek szerepe, alkotása, használata:

célszerű jelölés megválasztásának

jelentősége a matematikában.

Kulcsfogalmak/

fogalmak

Mintavétel visszatevéssel, visszatevés nélkül.

Előzetes tudás Gráffal kapcsolatos alapfogalmak.

A tematikai

egység nevelési-


Ismeretek rendszerezése, alkalmazása. Mintavétel céljának, értelmének meg-

értése. Gráfokkal kapcsolatos ismeretek alkalmazása, bővítése, konkrét pél-

dák alapján gráfokkal kapcsolatos állítások megfogalmazása. A modellhasz-

nálati, modellalkotási képesség fejlesztése.


Gráfelméleti alapfogalmak,

alkalmazásuk. Fokszám ösz-

szeg és az élek száma közötti

összefüggés.

Matematikatörténet: Euler

A megtanított ismeretek elmé-

lyítése és gyakorlása

(A kombinatorika alkalma-

zása, gráfokkal kapcsolatos

ismeretek alkalmazása)

.

Modell alkotása valós problé-

mához: gráfmodell. Megfelelő,

a problémát jól tükröző ábra ké-

szítése.

Tematikai egység/

Fejlesztési cél 6. Valószínűség, statisztika Órakeret

14+2 óra

Előzetes tudás

A statisztika alapfogalmai. Adathalmaz statisztikai jellemzői, adathal-

maz ábrázolása. Táblázatok kezelése. A véletlen esemény fogalma, a vé-

letlen kísérlet fogalma. Gyakoriság, relatív gyakoriság. Esély és valószí-

nűség hétköznapi fogalma. Kombinatorikai ismeretek.

A tematikai egy-

ség nevelési-


Ismeretek rendszerezése, alkalmazása, bővítése. Műveletek értelmezése

az események között. Matematikai elvonatkoztatás: a valószínűség mate-

matikai fogalmának fejlesztése. Véletlen mintavétel módszerei jelentősé-

gének megértése.


Eseményekkel végzett mű-

veletek. Példák események

összegére, szorzatára,

komplementer eseményre,

egymást kizáró esemé-

nyekre.

A matematika különböző területei

közötti kapcsolatok tudatosítása.

Logikai műveletek, halmazművele-

tek és események közötti művele-

tek összekapcsolása.

Informatika: folyamatok,

kapcsolatok leírása logikai

áramkörökkel.

25

Elemi események. Esemé-

nyek előállítása elemi

események összegeként.

Példák független és nem

független eseményekre.

Véletlen esemény, valószí-

nűség.

A valószínűség matemati-

kai definíciójának bemuta-

tása példákon keresztül.

A véletlen kísérletekből számított

relatív gyakoriság és a valószínű-

ség kapcsolata.

A valószínűség klasszikus

modellje.

Matematikatörténet: Ré-

nyi: Levelek a valószínű-

ségről.

A modell és a valóság kapcsolata.

Egyszerű valószínűség-

számítási problémák.

Ismeretek mozgósítása, tanult

kombinatorikai módszerek alkal-

mazása.

Fizika: az űrkutatás hatása

mindennapjainkra, a talál-

kozás valószínűsége.

Statisztikai mintavétel. Va-

lószínűségek visszatevéses

mintavétel esetén, a binomi-

ális eloszlás. Visszatevés

nélküli mintavétel.

Modell alkotása (valószínűségi

modell): a mintavételi eljárás lé-

nyege.

Informatika: tantárgyi szi-

mulációs programok hasz-

nálata (binomiális elosz-

lás).

Adathalmazok jellemzői: át-

lag, medián, módusz, terje-

delem, szórás. Nagy adat-

halmazok jellemzése statisz-

tikai mutatókkal


mélyítése és gyakorlása.

(A valószínűség klasszikus

modelljének az alkalmazá-

sa.)

A statisztikai kimutatások és a va-

lóság: az információk kritikus ér-

telmezése, az esetleges manipulá-

ciós szándék felfedeztetése.

Közvélemény-kutatás, minőség-

ellenőrzés, egyéb gyakorlati alkal-

mazások elemzése.

Számológép/számítógép használata

statisztikai mutatók kiszámítására.

Kulcsfogalmak/

fogalmak

Valószínűség matematikai fogalma. Klasszikus valószínűség-számítási mo-

dell. Szórás.

Továbbhaladás feltételei

Képes egyszerű kombinatorikai feladatok megoldására.

Ismeri a gráf szemléletes fogalmát, képes egyszerű alkalmazásokra.

Biztonsággal alkalmazza a hatványozás azonosságait egész- és törtkitevő esetén.

Ismeri a logaritmus fogalmát, jól alkalmazza az azonosságokat egyszerűbb esetekben.

Képes megoldani egyszerű exponenciális, logaritmusos és trigonometrikus egyenleteket.

26

Tájékozott az alapfüggvények grafikonjait és legfontosabb tulajdonságait (értelmezési-

tartomány, értékkészlet, zérushely, szélsőérték) illetően.

Ismeri és alkalmazza a vektorműveleteket (összeadás, kivonás, skalárral való szorzás).

Alkalmazza a szinusztételt és a koszinusztételt a háromszög hiányzó adatainak meghatá-

rozására.

Képes vektorok koordinátáival számolni.

Ki tudja számolni szakasz felezőpontjának koordinátáit.

Fel tudja írni a kör középponti egyenletét.

Ismeri és alkalmazza az egyenes (egy szabadon választott) egyenletét.

Meg tudja határozni két egyenes metszéspontjának koordinátáit.

Tudja vizsgálni kör és egyenes kölcsönös helyzetét.

Képes egyszerű valószínűségi feladatok megoldására.

27

12. évfolyam


4 óra/hét

Az éves óraszám felosztása


1. Gondolkodási módszerek, matematikai logika 5+1 óra

2. Sorozatok 24+3 óra

3. Felszín-, és térfogatszámítás 28+3 óra

4 Gondolkodási és megismerési módszerek (rendszerező összefogla-

lás) 4+1 óra

5 Algebra, számelmélet (rendszerező összefoglalás) 15+2 óra

6 Geometria, mérés (rendszerező összefoglalás Függvény, sorozat

(rendszerező összefoglalás) 9+2 óra

7 Függvény, sorozat (rendszerező összefoglalás) 9+1 óra

8 Valószínűség-számítás, statisztika 4 óra

9 Érettségi feladatok gyakorlása 7 óra

10 Összefoglalás, számonkérés 10 óra

Tematikai egység/

Fejlesztési cél 1 Gondolkodási módszerek, matematikai logika Órakeret

5+1 óra

Előzetes tudás

Matematikai állítások elemzése, igaz és hamis állítások. Logikai műve-

letek: NEM, ÉS, VAGY. Skatulyaelv, logikai szita. Sorbarendezési és

kiválasztási feladatok, gráf használata feladatmegoldásban. Gráf, csúcs,

él.

A tematikai egység


céljai

A matematikai logika különböző területeinek felismerése, felfedezése a

hétköznapi problémákban.


Logikai műveletek: negáció,

konjunkció, diszjunkció,

implikáció, ekvivalencia.

Matematikatörténet: magyar

matematikusok szerepe a

matematikai logikában


mélyítése és gyakorlása.

(Logikai műveletek alkal-

mazása)

Matematikai logika

A köznapi szóhasználat és

a matematikai szóhasználat

összevetése.

Logikai és halmazelméleti

műveletek kapcsolata.

28

Kulcsfogalmak/

fogalmak

Negáció, konjunkció, diszjunkció, implikáció, ekvivalencia.

Tematikai egység/

Fejlesztési cél 2. Sorozatok Órakeret

24+3 óra

Előzetes tudás Függvénytani alapfogalmak.

A tematikai egység


céljai

A folyamatok elemzése a függvényelemzés módszerével. A matematika

és a valóság: matematikai modellek készítése, vizsgálata. Alkotás önte-

vékenyen, saját tervek szerint; alkotások adott feltételeknek megfelelő-

en. Sorozat vizsgálata; rekurzió, képletek értelmezése. Ismerethordozók

használata.


A számsorozat fogalma. A

függvény értelmezési tarto-

mánya a pozitív egész szá-

mok halmaza.

Matematikatörténet: Fibo-

nacci.

Sorozat megadása rekurzióval és

képlettel.

Informatika: probléma-

megoldás informatikai

eszközökkel és módsze-

rekkel: algoritmusok meg-

fogalmazása, tervezése.

Számtani sorozat, az n. tag,

az első n tag összege.

Matematikatörténet: Gauss.

A sorozat felismerése, a megfelelő

képletek használata problémameg-

oldás során.

Mértani sorozat, az n. tag,

az első n tag összege.

A sorozat felismerése, a megfelelő

képletek használata problémameg-

oldás során.

A számtani sorozat mint lineáris

függvény és a mértani sorozat mint

exponenciális függvény összeha-

sonlítása.

Fizika; kémia, biológia-

egészségtan; földrajz; tör-

ténelem, társadalmi és ál-

lampolgári ismeretek: ex-

ponenciális folyamatok

vizsgálata.

Kamatoskamat-számítás.



(Számtani és mértani so-

rozatokkal kapcsolatos fe-

ladatok)

Modellek alkotása: befektetés és

hitel; különböző feltételekkel

meghirdetett befektetések és hite-

lek vizsgálata; a hitel költségei, a

törlesztés módjai.

Az egyéni döntés felelőssége: az

eladósodás veszélye.

Korábbi ismeretek mozgósítása

(pl. százalékszámítás).

A szövegbe többszörösen mélyen

beágyazott, közvetett módon meg-

fogalmazott információk és kate-

góriák azonosítása.

Földrajz: a világgazdaság

szerveződése és működé-

se, a pénztőke működése,

a monetáris világ jellemző

folyamatai, hitelezés,

adósság, eladósodás.

Történelem, társadalmi és

állampolgári ismeretek: a

család pénzügyei és gaz-

dálkodása, vállalkozások.

Magyar nyelv és irodalom:

szövegértés.

Kulcsfogalmak/

fogalmak

Számsorozat. Rekurzió. Számtani sorozat, mértani sorozat.

Tematikai egység/

Fejlesztési cél 3. Felszín- és térfogatszámítás Órakeret

28+3 óra

Előzetes tudás Sokszögekkel, körrel kapcsolatos ismeretek. Ponthalmazok, nevezetes

29

ponthalmazok ismerete. Hegyesszögek szögfüggvényei. Vektorok,

vektorműveletek. Hasáb, henger, gúla, kúp, gömb felismerése. Felszín,

térfogat szemléletes fogalma. Poliéder felszíne. Számológép (számító-

gép) használata.

A tematikai egység


céljai

Tájékozódás a térben. Tájékozódás a világ mennyiségi viszonyaiban:

távolságok, szögek, terület, kerület, felszín és térfogat kiszámítása. A

matematika két területének (geometria és algebra) összekapcsolása:

koordináta-geometria. Emlékezés, korábbi ismeretek rendszerezése,

alkalmazása.


Síkidomok kerületének és

területének számítása.

Ismeretek alkalmazása. Földrajz: felszínszámítás.

Mértani testek csoportosítá-

sa. Hengerszerű testek (ha-

sábok és hengerek), kúpsze-

rű testek (gúlák és kúpok),

csonka testek (csonka gúla,

csonka kúp). Gömb.

A problémához illeszkedő váz-

latos ábra alkotása; síkmetszet

elképzelése, ábrázolása. Foga-

lomalkotás közös tulajdonság

szerint (hengerszerű, kúpszerű

testek, poliéderek).

Informatika: tantárgyi szimu-

lációs programok használata

(térgeometriai szimulációs

program).

Kémia: kristályok.

A tanult testek felszínének,

térfogatának kiszámítása.

Gyakorlati feladatok



.( Felszín-és térfogat szá-

mítási feladatok)

A valós problémákhoz modell

alkotása: geometriai modell.

Ismeretek megfelelő csoportosí-

tása.

Informatika: tantárgyi szimu-

lációs programok használata

(térgeometriai szimulációs

program).

Kulcsfogalmak/

fogalmak

Felszín, térfogat.

Tematikai egység/

Fejlesztési cél Rendszerező összefoglalás Órakeret

48+6 óra

Előzetes tudás A középiskolai matematika anyaga.

A tematikai egység


céljai

A matematika épülésének elvei: ismeretek rendszerezése, alkalmazása.

Motiválás. Emlékezés. Önismeret, önértékelés, reflektálás, önszabályo-

zás. Alkotás és kreativitás: alkotás öntevékenyen, saját tervek szerint; al-

kotások adott feltételeknek megfelelően; átstrukturálás.

Hatékony, önálló tanulás kompetenciájának fejlesztése.


4.Gondolkodási és megismerési módszerek ( 4+1 óra)

Halmazok. Ponthalmazok és szám-

halmazok. Valós számok halmaza

és részhalmazai.

A problémának megfelelő

szemléltetés kiválasztása

(Venn-diagram, számegyenes,

koordináta-rendszer).

30

Állítások logikai értéke. Logikai

műveletek.

Szövegértés. A szövegben ta-

lálható információk összegyűj-

tése, rendszerezése.

Filozófia: logika - a kö-

vetkezetes és rendezett

gondolkodás elmélete, a

logika kapcsolódása a

matematikához és a

nyelvészethez.

Informatika: Egy bizo-

nyos, nemrég történt

esemény információinak

begyűjtése több párhu-

zamos forrásból, ezek

összehasonlítása, elem-

zése, az igazságtartalom

keresése, a manipulált

információ felfedése.

Navigációs eszközök

használata: hierarchizált

és legördülő menük

használata.

A halmazelméleti és a logikai isme-

retek kapcsolata.

Halmazok eszközjellegű hasz-

nálata.

Definíció és tétel. A tétel bizonyítá-

sa. A tétel megfordítása.

Emlékezés a tanult definíciók-

ra és tételekre, alkalmazásuk

önálló problémamegoldás so-

rán.

Bizonyítási módszerek. Direkt és indirekt bizonyítás

közötti különbség megértése.

Néhány tipikusan hibás követ-

keztetés bemutatása, elemzése.

Filozófia: szillogizmu-

sok.

Kombinatorika: leszámlálási felada-

tok. Egyszerű feladatok megoldása

gráfokkal.

Sorbarendezési és kiválasztási

problémák felismerése.

Gondolatmenet szemléltetése

gráffal.

Műveletek értelmezése és műveleti

tulajdonságok.

A megtanított ismeretek elmélyítése

és gyakorlása

(Halmazműveletek gyakorlása)

Absztrakt fogalom és annak

konkrét megjelenései: valós

számok halmazán értelmezett

műveletek, halmazműveletek,

logikai műveletek, műveletek

vektorokkal, műveletek vek-

torral és valós számmal, műve-

letek eseményekkel.

5.Számtan, algebra (15+2 óra)

Gyakorlati számítások. Kerekítés, közelítő érték, becslés. Számo-

lógép használata, értelmes kerekítés.

Technika,

életvitel és

gyakorlat:

alapvető

adózási, biz-

tosítási,

31

egészség-,

nyugdíj- és

társadalom-

biztosítási,

pénzügyi is-

meretek.

Egyenletek és egyenlőtlenségek. Megoldások az alaphalmaz, értelmezési

tartomány, megoldáshalmaz megfelelő

kezelésével.

Algebrai azonosságok, hatványozás

azonosságai, logaritmus azonossá-

gai, trigonometrikus azonosságok.

Az azonosságok szerepének ismerete,

használatuk. Matematikai fogalmak fejlő-

désének bemutatása pl. a hatvány, illetve a

szögfüggvények példáján.

Fizika; ké-

mia; bioló-

gia-

egészségtan;

földrajz; tör-

ténelem, tár-

sadalmi és

állampolgári

ismeretek:

képletek

használata

Egyenletek és egyenlőtlenségek

megoldása. Algebrai megoldás,

grafikus megoldás. Ekvivalens

egyenletek, ekvivalens átalakítások.

A megoldások ellenőrzése.

Adott egyenlethez illő megoldási módszer

önálló kiválasztása.

Az önellenőrzésre való képesség. Önfe-

gyelem fejlesztése: sikertelen megoldási

kísérlet után újjal való próbálkozás.

Első- és másodfokú egyenlet és

egyenlőtlenség. Négyzetgyökös

egyenletek. Abszolút értéket tar-

talmazó egyenletek. Egyszerű ex-

ponenciális, logaritmikus és trigo-

nometrikus egyenletek.

Tanult egyenlettípusok és egyenlőtlenség-

típusok önálló megoldása.

Elsőfokú és egyszerű másodfokú

kétismeretlenes egyenletrendszer

megoldása.

A tanult megoldási módszerek biztos al-

kalmazása.

Egyenletekre, egyenlőtlenségekre

vezető gyakorlati életből vett és

szöveges feladatok


és gyakorlása

(Egyenletek és egyenlőtlenségek

megoldása.)

Matematikai modell (egyenlet, egyenlőt-

lenség) megalkotása, vizsgálatok a mo-

dellben, ellenőrzés.

Fizika; ké-

mia; bioló-

gia-

egészségtan;

földrajz; tör-

ténelem, tár-

sadalmi és

állampolgári

ismeretek:

matematikai

modellek.

6.Geometria (9+2 óra)

Geometriai alapfogalmak, pont-

halmazok.

Térelemek kölcsönös helyzete, tá- Valós problémában a megfelelő geometri-

32

volsága, szöge.

Távolságok és szögek kiszámítása.

ai fogalom felismerése, alkalmazása.

Geometriai transzformációk. Tá-

volságok és szögek vizsgálata a

transzformációknál.

Egybevágóság, hasonlóság. Szim-

metriák.

Szerepük felfedezése művészetekben, já-

tékokban, gyakorlati jelenségekben.

Háromszögekre vonatkozó tételek

és alkalmazásuk.

A háromszög nevezetes vonalai,

pontjai és körei. Összefüggések a

háromszög oldalai, oldalai és szö-

gei között.

A derékszögű háromszög oldalai,

oldalai és szögei közötti összefüg-

gések.

Állítások, tételek jelentésére való emléke-

zés.

A problémának megfelelő összefüggések

felismerése, alkalmazása.

Négyszögekre vonatkozó tételek és

alkalmazásuk.

Négyszögek csoportosítása külön-

böző szempontok szerint. Szimmet-

rikus négyszögek tulajdonságai.

Állítások, tételek jelentésére való emléke-

zés.

Körre vonatkozó tételek és alkal-

mazásuk.

Számítási feladatok.

Vektorok, vektorok koordinátái.

Bázisrendszer.

Matematikatörténeti ismeretek: a

vektor fogalmának fejlődése a fizi-

kai vektorfogalomtól a rendezett

szám n-esig.

Vektorok alkalmazásai.

Egyenes egyenlete. Kör egyenlete.

Két alakzat közös pontja.

Matematikatörténet: nevezetes

szerkeszthetőségi problémák


és gyakorlása

(Összetett geometriai feladatok

megoldása)..

Geometria és algebra összekapcsolása.

7.Összefüggések, függvények, sorozatok (9+1 óra)

A függvény megadása. A függvé-

nyek tulajdonságai.

Emlékezés: a fogalmak pontos felidézése,

ismerete.

Értelmezési tartomány, értékkészlet,

zérushely, szélsőérték, monotonitás, peri-

odicitás, paritás fogalmak alkalmazása

konkrét feladatokban.

Az alapfüggvények ábrázolása és tulaj-

donságai.

33

A tanult alapfüggvények ismerete. Képi emlékezés statikus helyzetekben

(grafikonok felidézése).

Függvénytranszformációk: cxf )( ,

)( cxf ; )(xcf ; )(cxf . Eltolás, nyúj-

tás és összenyomás a tengelyre me-

rőlegesen.

Kapcsolat a matematika két területe kö-

zött: függvénytranszformációk és geomet-

riai transzformációk.

Függvényvizsgálat a tanult szem-

pontok szerint

.

Emlékezés, ismeretek mozgósítása.


és gyakorlása.

( Függvénytranszformációk,

függvényelemzés)

Függvények használata valós folyamatok

elemzésében.

Függvény alkalmazása matematikai mo-

dell készítésében.

Fizika, ké-

mia; bioló-

gia-

egészségtan;

földrajz; tör-

ténelem, tár-

sadalmi és

állampolgári

ismeretek:

matematikai

modellek.

8.Valószínűség-számítás, statisztika (4 óra)

Diagramok. Statisztikai mutatók:

módusz, medián, átlag, szórás.

Adathalmazok jellemzése önállóan vá-

lasztott mutatók segítségével. A repre-

zentatív minta jelentőségének megérté-

se.

Magyar nyelv

és irodalom: a

tartalom értéke-

lése hihetőség

szempontjából;

a szöveg hite-

lességével kap-

csolatos tartal-

mi elemek ma-

gyarázata; a

kétértelmű,

többjelentésű

tartalmi elemek

feloldása; egy

következtetés

alapját jelentő

tartalmi elem

felismerése; az

olvasó előisme-

reteire alapozó

figyelemfelhívó

jellegű címadás

felismerése.

Gyakoriság, relatív gyakoriság. Vé-

letlen esemény valószínűsége.

A valószínűség kiszámítása a klasz-

szikus modell alapján.

A véletlen törvényszerűségei.

A valószínűség és a statisztika törvé-

nyei érvényesülésének felfedezése a

termelésben, a pénzügyi folyamatok-

ban, a társadalmi folyamatokban.

A szerencsejátékok igazságtalanságá-

nak és a játékszenvedély veszélyeinek

Technika, élet-

vitel és gyakor-

lat; biológia-

egészségtan:

szenvedélybe-

tegségek és ri-

34

felismerése. zikófaktor.

Kulcsfogalmak/ fo-

galmak

Következtetés. Definíció. Tétel. Bizonyítás. Halmaz, alaphalmaz, iga-

zsághalmaz, megoldáshalmaz. Függvény/transzformáció. Értelmezési

tartomány. Művelet, műveleti tulajdonság. Egyenlet, azonosság, egyen-

letrendszer, egyenlőtlenség. Ekvivalencia. Ellenőrzés. Véletlen, valószí-

nűség. Adat, statisztikai mutató. Térelem, mennyiségi jellemző (távol-

ság, szög, kerület, terület, felszín, térfogat). Matematikai modell.

Továbbhaladás feltételei

Ismeri és alkalmazza a tanult halmazműveleteket.

Képes adott véges halmazok esetén kiszámítani a számosságokat.

Tud egyszerű (matematikai) szövegeket értelmezni.

Megfelelően alkalmazza az ítélet fogalmát.

Egyszerű feladatokban alkalmazza a negáció, konjunkció, diszjunkció műveletét, és ezt

össze tudja kapcsolni a halmazműveletekkel.

Különbséget tud tenni definíció és tétel között.

Használja és alkalmazza feladatokban a szükséges, az elégséges és a szükséges és elég-

séges feltételt.

Tud egyszerű kombinatorikai feladatokat megoldani.

Tud konkrét szituációkat szemléltetni gráfok segítségével.

Tud prímtényezős felbontás és a tanult oszthatósági szabályok alkalmazásával egyszerű

feladatokat megoldani.

Ismeri a való számkör felépítését.

Ismeri és használja a hatványozás azonosságait.

Ismeri és használja feladatok megoldásában a logaritmus fogalmát és azonosságait.

Tud algebrai kifejezésekkel műveleteket végezni.

Felismeri az egyenes és fordított arányosságot, jól alkalmazza a százalékszámítást.

Algebrai és grafikus módon is tud első- és másodfokú egyenleteket, egyenlőtlenségeket,

valamint első- és másodfokú egyenletrendszereket megoldani.

Képes nagyon egyszerű abszolút értékes, exponenciális, logaritmikus és trigonometrikus

egyenleteket megoldani.

Tud értéktáblázat és képlet alapján függvényt ábrázolni és adatokat leolvasni a grafikon-

ról.

Képes jellemezni grafikonnal megadott egyszerű függvényeket.

Ki tudja számítani számtani, illetve mértani sorozat tagjait és részletösszegeit.

Helyesen alkalmazza feladatokban a térelemek távolságára és szögére vonatkozó definí-

ciókat.

Felismeri és használja feladatokban a különböző alakzatok szimmetriáit.

Ismeri a háromszög oldalai és szögei közötti összefüggéseit, a háromszög nevezetes vo-

nalait és pontjait.

Képes alkalmazni a Thalész- és a Pitagorasz-tételt.

Ismeri a négyszögek fajtáit és tulajdonságait.

Helyesen alkalmazza a tanult kerület-, terület-, felszín- és térfogat-számítási képleteket

egyszerű feladatokban.

35

Képes háromszögek hiányzó adatainak kiszámítására szögfüggvények, illetve szinusz- és

koszinusztétel segítségével.

Érti a vektor koordinátáinak fogalmát.

Jól tudja különböző adatokból az egyenes és a kör egyenletét felírni.

Képes egyenesek metszéspontját kiszámolni.

Képes statisztikai adatokat rendezni, grafikonon ábrázolni, adott diagramról információt

kiolvasni.

Meg tudja határozni konkrét adatsokaság móduszát, mediánját, aritmetikai átlagát.

Képes adathalmazokat összehasonlítani statisztikai mutatók segítségével.

Egyszerű feladatokban jól alkalmazza a klasszikus valószínűség-számítási modellt.

A fejlesztés várt eredményei a 11-12. évfolyamos ciklus végén

Gondolkodási és megismerési módszerek

– A kombinatorikai problémához illő módszer önálló megválasztása.

– A gráfok eszközjellegű használata problémamegoldásában.

– Bizonyított és nem bizonyított állítás közötti különbség megértése.

– Feltétel és következmény biztos felismerése a következtetésben.

– A szövegben található információk önálló kiválasztása, értékelése, rendezése probléma-

megoldás céljából.

– A szöveghez illő matematikai modell elkészítése.

– A tanulók a rendszerezett összeszámlálás, a tanult ismeretek segítségével tudjanak kom-

binatorikai problémákat jól megoldani

– A gráfok ne csak matematikai fogalomként szerepeljenek tudásukban, alkalmazzák isme-

reteiket a feladatmegoldásban is.

Számtan, algebra

– A kiterjesztett gyök- és hatványfogalom ismerete.

– A logaritmus fogalmának ismerete.

– A gyök, a hatvány és a logaritmus azonosságainak alkalmazása konkrét esetekben prob-

léma megoldása céljából.

– Egyszerű exponenciális és logaritmusos egyenletek felírása szöveg alapján, az egyenletek

megoldása, önálló ellenőrzése.

– A mindennapok gyakorlatában szereplő feladatok megoldása a valós számkörben tanult

új műveletek felhasználásával.

– Számológép értelmes használata a feladatmegoldásokban.

Összefüggések, függvények, sorozatok

– Trigonometrikus függvények értelmezése, alkalmazása.

– Függvénytranszformációk végrehajtása.

– Exponenciális függvény és logaritmusfüggvény ismerete.

– Exponenciális folyamatok matematikai modelljének megértése.

– A számtani és a mértani sorozat összefüggéseinek ismerete, gyakorlati alkalmazások.

– Az új függvények ismerete és jellemzése kapcsán a tanulóknak legyen átfogó képük a

függvénytulajdonságokról, azok felhasználhatóságáról.

Geometria

– Jártasság a háromszögek segítségével megoldható problémák önálló kezelésében.

– A tanult tételek pontos ismerete, alkalmazásuk feladatmegoldásokban.

– A valós problémákhoz geometriai modell alkotása.

36

– Hosszúság, szög, kerület, terület, felszín és térfogat kiszámítása.

– Két vektor skaláris szorzatának ismerete, alkalmazása.

– Vektorok a koordináta-rendszerben, helyvektor, vektorkoordináták ismerete, alkalmazá-

sa.

– A geometriai és algebrai ismeretek közötti összekapcsolódás elemeinek ismerete: távol-

ság, szög számítása a koordináta-rendszerben, kör és egyenes egyenlete, geometriai feladatok

algebrai megoldása.

Valószínűség, statisztika

– Statisztikai mutatók használata adathalmaz elemzésében.

– A valószínűség matematikai fogalma.

– A valószínűség klasszikus kiszámítási módja.

– Mintavétel és valószínűség.

– A mindennapok gyakorlatában előforduló valószínűségi problémákat tudják értelmezni,

kezelni.

– Megfelelő kritikával fogadják a statisztikai vizsgálatok eredményeit, lássák a vizsgálatok

korlátait, érvényességi körét.

Összességében

– A matematikai tanulmányok végére a matematikai tudás segítségével önállóan tudjanak

megoldani matematikai problémákat.

– Kombinatív gondolkodásuk fejlődésének eredményeként legyenek képesek többféle

módon megoldani matematikai feladatokat.

– Fejlődjön a bizonyítási, diszkussziós igényük olyan szintre, hogy az érettségi után a

döntési helyzetekben tudjanak reálisan dönteni.

– Feladatmegoldásokban rendszeresen használják a számológépet, elektronikus eszközö-

ket.

– Tudjanak a síkban, térben tájékozódni, az ilyen témájú feladatok megoldásához célszerű

ábrákat készíteni.

– A feladatmegoldások során helyesen használják a tanult matematikai szakkifejezéseket,

jelöléseket.

– A tanulók váljanak képessé a pontos, kitartó, fegyelmezett munkára, törekedjenek az

önellenőrzésre, legyenek képesek várható eredmények becslésére.

– A helyes érvelésre szoktatással fejlődjön a tanulók kommunikációs készsége.

Documents

Nyelvi előkészítő évfolyam Matematika Tanterv. MATEMATIKA pénzügy.pdfhát az általános iskolai matematika tananyag újratanítása helyett a képességfejlesztésen van a