322− 172 รหส 1 0 1 1 0 หนา 1 / 9

ตอนท 1 (24 คะแนน) ในการตอบคำถามแตละขอ จงเลอกคำตอบทถกตองเพยงตวเลอกเดยว

สำหรบขอ 1− 5 ใหวงกลมคำตอบทถกตอง (ขอละ 2 คะแนน)

ขอ 1. ถาอนกรมบวก∞∑n=1

an มคาเทากบ 2 แลว∞∑n=1

1

anมคาเทาใด

(ก) 0 (ข) 1 (ค) 2 (ง)1

2(จ) ∞

ขอ 2. คาของ∞∑n=2

(1

n(n+ 1)− 1

n(n− 1)

)มคาเทากบเทาใด

(ก) 1 (ข)1

2(ค) 0 (ง) −1

2(จ) −1

ขอ 3. ถาชวงของการลเขาของอนกรม∞∑n=0

cnxn เทากบ (−4, 4] แลว ชวงของการลเขาของอนกรม

∞∑n=0

cnx2n+1

เทากบเทาใด

(ก) (−2, 2) (ข) [−2, 2] (ค) (−4, 4] (ง) (−16, 16) (จ) [−16, 16]

ขอ 4. ถารศมการลเขาของอนกรม∞∑n=0

cn(2x− 1)n มคาเทากบ 18 แลว รศมการลเขาของอนกรม

∞∑n=0

cnx2n มคาเทากบเทาใด

(ก) 2 (ข) 3 (ค) 6 (ง) 9 (จ) 18

ขอ 5. เหตผลในขอใดททำใหเราทราบวา lim(x,y)→(0,0)

x2 + y2

x− yหาคาไมได

(ก) การหาลมตของx2 + y2

x− yตามแนวเสนโคง x = y4 + y

(ข) การหาลมตของx2 + y2

x− yตามแนวเสนโคง x = y2 + y

(ค) การหาลมตของx2 + y2

x− yตามแนวเสนโคง x = 2y

(ง) การหาลมตของx2 + y2

x− yตามแนวเสนโคง x = 0

(จ) การหาลมตของx2 + y2

x− yตามแนวเสนโคง x = 2y และ x = 0

322− 172 รหส 1 0 1 1 0 หนา 2 / 9

สำหรบขอ 6− 12 ใหเลอกสมการจากกรอบสเหลยมทางดานขวาทสอดคลองกบรปภาพในแตละขอโดยเขยนเฉพาะหมายเลขของสมการ แตละขอมเพยงคำตอบเดยว (ขอละ 2 คะแนน)(อตราสวนของ แกน X:แกน Y :แกน Z ในรปเทากบ 1 : 1 : 1)

(1) x2 + 4y2 = 4

(2) 6x+ 2y + 3z = 6

(3) x2 + 4y2 − z2 = 4

(4) x2 + 9y2 + 4z2 = 1

(5) −x2 + y2 − z2 = 1

(6) z2 = x2 + y2

(7) z = x2

(8) 4x2 − y2 + 2z2 = −4

(9) x = y2 + z2

(10) y2 + z2 = 1

(11) 36x2 + 4y2 + 9z2 = 36

(12) z = x2 − y2

(13) x+ 2y + 3z = 6

(14) y2 = z + x2

ขอ 6. สมการ

ขอ 7. สมการ

ขอ 8. สมการ

ขอ 9. สมการ

ขอ 10. สมการ

ขอ 11. สมการ

ขอ 12. สมการ

เฉลยขอสอบ math2 ป 2557 โดยพทรตวเตอร

ปล.หากดเฉลยแลวเจอขอผดพลาดโปรแจง

ตอนท 2 (66 คะแนน ) ใหแสดงวธท ำทกขอ ยกเวนขอทใหเตมเฉพำะค ำตอบ

ขอ 1.(10 คะแนน ) จงทดสอบวำอนกรมตอไปนลเขำหรอลออก

ขอ 1.1) (5 คะแนน)

เนองจำก

จะไดวำ

=

ส ำหรบทก n ≥ 1

เนองจำก ลออกเพรำะเปนอนกรมพ ท p=1 ซง p 1

ดงนน โดยกำรทดสอบแบบเปรยบเทยบ สรปไดวำ ลออก

ขอ 1.2) (5 คะแนน)

ในทน ( )

( ) ,

(( ) )

( ( ))

(( ) )

( ))

พจำรณำ

(( )( ) )

( )( )

( )

( )

(( ))

( )

> 1

ดงนน โดยกำรทดสอบแบบอตรำสวน (Ratio Test) จงสรปไดวำ ลออก

𝑛 𝑛 𝑛

𝑛 𝑛 𝑛

𝑛=

𝑛

𝑛=

𝑛 𝑛 𝑛

𝑛 𝑛 𝑛

𝑛=

3(𝑛 )

(3𝑛)

𝑛=

𝑙𝑖𝑚𝑛

𝑎𝑛+1

𝑎𝑛 𝑙𝑖𝑚

𝑛

((𝑛 ) )

(( 𝑛 ))

( 𝑛)

(𝑛 )

3(𝑛 )

(3𝑛)

𝑛=

เฉลยขอสอบ math2 ป 2557 โดยพทรตวเตอร

ปล.หากดเฉลยแลวเจอขอผดพลาดโปรแจง

ขอ 2. (10 คะแนน) จงพจำรณำวำอนกรมตอไปนลเขำอยำงสมบรณ ลเขำอยำงมเงอนไข หรอลออก

ขอ 2.1) (5 คะแนน)

ในทน ( )

,

( ) ( )

พจำรณำ

( )

โดยทฤษฎบททดสอบการลเขาอยางสมบรณจะไดวา ลเขาอยางสมบรณ

ขอ 2.2) (5 คะแนน)

พจำรณำ จะไดวำ

| ( )

( )|

( )

=

เปนอนกรมบวก

=

( )𝑛𝑛

𝑛

𝑛=

𝑙𝑖𝑚𝑛

𝑎𝑛+1

𝑎𝑛 𝑙𝑖𝑚

𝑛 |( )𝑛 (𝑛 )

𝑛 𝑛

( )𝑛𝑛 ⬚|

( )𝑛𝑛

𝑛

𝑛=

(𝑛𝜋)

(𝑛𝜋)

𝑛=

𝑎𝑛

𝑛=

เฉลยขอสอบ math2 ป 2557 โดยพทรตวเตอร

ปล.หากดเฉลยแลวเจอขอผดพลาดโปรแจง

ขอ 3. (8 คะแนน) จงหำชวงของกำรลเขำของอนกรมก ำลง

จำกโจทยเรำสำมำรถเขยนอยในรปของอนกรมก ำลงคอ

( ) (3 )

√ ( 3)

=

( ) (3 )

√ (

3

)

=

ในทน ( )

(3 )

√ ,

( ) (3( ) )

√

พจำรณำ

| ( ) (3 )

√

( ) √

( ) (3 ) |

(3 )

√

√

(3 )

จะไดวำอนกรมก ำลงลเขำเมอ

นนคอ

พจารณาท x =

จะไดอนกรม เปนอนกรมบวก

เนองจำก √ 3√

3 3

√

√

√

√

1

ทกจ ำนวนเตมบวก

เนองจำก เปนอนกรมพทลเขำ เพรำะ p =

< 1 ท ำใหไดวำ เปนอนกรมลเขำ

โดยกำรทดสอบแบบเปรยบเทยบ สรปไดวำ เปนอนกรมลออก

พจารณาท x =

จะไดอนกรม เปนอนกรมสลบ

|( ) 3

√ |

3

√

=

เปนอนกรมบวกลออกจำกดำนบน

=

ในทน

3

√ แลว

( )

3

√

โดยกำรทดสอบส ำหรบกำรลออกจะไดวำ ลออก

ดงนนชวงของกำรลเขำของอนกรมก ำลงคอ (

)

( )𝑛 3𝑛

𝑛√𝑛 ( 𝑥 3)𝑛

𝑛=

𝑟 𝑙𝑖𝑚𝑛

𝑐𝑛

𝑐𝑛+1 𝑙𝑖𝑚

𝑛

( )𝑛(3𝑛 ) 𝑛

𝑛√𝑛

𝑛 √𝑛

( )𝑛 (3(𝑛 ) ) 𝑛

( )𝑛 3𝑛

𝑛√𝑛 ( )𝑛

𝑛=

3𝑛

√𝑛

𝑛=

( )𝑛 3𝑛

√𝑛

𝑛=

𝑛

𝑛=

3𝑛

√𝑛

𝑛=

( )𝑛 3𝑛

√𝑛

𝑛=

เฉลยขอสอบ math2 ป 2557 โดยพทรตวเตอร

ปล.หากดเฉลยแลวเจอขอผดพลาดโปรแจง

ขอ 4. (6 คะแนน)

ขอ 4.1) จงแสดงกำรหำอนกรมแมคลอรนของ f(x) = ln(2 − x) (4 คะแนน)

จำก ( ) ( )

( )

( )( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( ) ( )( )( 3)( ) ( )( )( )( )

…

( )( ) ( )

( )

( )( ) ( )

( ) , n ≥ 1

และเนองจำกอนกรมแมคลอรนส ำหรบ f(x) คอ

จงไดวำ

ขอ 4.2) จำกอนกรมแมคลอรนในขอ 4.1) จงหำคำประมำณของ (2 คะแนน)

(โดยประมำณคำจำกสองพจนแรก ใหถกตองถงทศนยม 1 ต ำแหนง) (ln 2 ≈ 0.69314718)

= 0.69314718 - 0.12500 - …

0.56814718 0.6

𝑓(𝑥) 𝑓(𝑛)( )

𝑛 (𝑥)𝑛

𝑛=

( 𝑥) 𝑓( ) (𝑛 )

( )𝑛𝑛 (𝑥)𝑛

𝑛=

(𝑥)𝑛

𝑛( )𝑛

𝑛=

𝑥

𝑥

8 𝑥

(2 𝑥3)

𝑑𝑥

( 𝑥) 𝑥

𝑥

8 𝑥

(2 𝑥3)

𝑑𝑥 𝑥

(𝑥 )

8

(𝑥 )

𝑑𝑥

(2 𝑥3)

𝑑𝑥 (x )

𝑥

8|

เฉลยขอสอบ math2 ป 2557 โดยพทรตวเตอร

ปล.หากดเฉลยแลวเจอขอผดพลาดโปรแจง

ขอ 5. (3 คะแนน) ก ำหนดให ( )

( ) จงหำ Df พรอมทงวำดรปแสดงบรเวณทเปน Df

ในระนำบ xy

Df = { (x ) และ

ขอ 6. (7 คะแนน) จงหำคำสดขดสมพทธของ f(x, y, z) = x + 2y ภำยใตเงอนไข

จดรปเงอนไข ( ) ( )

ให ( ) ( ) ( )

( )

ให และ จะไดวำ

………………………..(1)

………………………..(2)

………………………..(3)

………………………..(4)

จดวกฤต คอ

เฉลยขอสอบ math2 ป 2557 โดยพทรตวเตอร

ปล.หากดเฉลยแลวเจอขอผดพลาดโปรแจง

ขอ 7. (6 คะแนน) ก ำหนดให

( )

7.1) จงเขยนแผนภำพแสดงควำมสมพนธของ 7.2) โดยกฎลกโซ จงเขยนสตรของ

ตวแปร (1 คะแนน) (2.5 คะแนน)

7.3) จงหำ

โดยใชสตรจำกขอ 7.2) (2.5 คะแนน)

( )( )( ( )) ( )( ) (

( ) )

ขอ 8. (5 คะแนน) ก ำหนดให ( ) ( ) จงแสดงวธท ำเพอหำ

( ( ) )

( ( ))

( )

( )

(

( ) )

( )

( )( )

(

( ) ) (

)

(

( ) ) (

)

( )

(

) [

( ) ]

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

เฉลยขอสอบ math2 ป 2557 โดยพทรตวเตอร

ปล.หากดเฉลยแลวเจอขอผดพลาดโปรแจง

ขอ 9. (4 คะแนน) ก ำหนดให ( ) ( ) จงหำ

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

ขอ 10. (7 คะแนน) ก ำหนดให เปนฟงกชนของ x และ y โดยท

,

( )

( )

( )

( ) ,

( )

( )

จงหำจดทใหคำสงสดสมพทธ (ถำม) หรอคำต ำสดสมพทธ (ถำม) หรอจดอำนมำ (ถำม) ของ f

จำก

…………………. (1)

( )

( ) …………………. (2)

จำก (2) ( )

จะไดวำ และ

และ

น ำ x = 0 แทนใน (1) ;

น ำ y = 1 แทนใน (1) ;

น ำ y = -1 แทนใน (1) ;

จะไดจดวกฤต คอ ( ) ( ) ( )

จำก ( )

(

)

( 3)

( )3

( )

( )

พจำรณำ ( ) 16 > 0

( ) ( )

8

( ) ( )

พจำรณำ ( ) ( ) ( )

ดงนน จด ( ) ( ) ( ) ใหคาตาสดสมพทธ