Über Formen des konvektiven Terms in Finite-Elemente ... · Über Formen des konvektiven Terms in Finite-Elemente-Diskretisierungen der inkompressiblen Navier-Stokes-Gleichungen

Über Formen des konvektiven Terms inFinite-Elemente-Diskretisierungen der

inkompressiblen Navier-Stokes-Gleichungen

Diplomarbeit

zur Erlangung des akademischen GradesDiplom-Mathematikerin

Freie-Universitat zu BerlinFachbereichMathematik und Informatik

Institut furMathematik

eingereicht von: Sylvia Rockelgeboren am: 25.10.1982

Betreuer: Prof. Dr. Volker John

Berlin, den 18. Januar 2013

Eidesstattliche Erklärung

Hiermit versichere ich an Eides statt, die vorliegende Arbeit selbstständig und nur unter Verwendung derim Literaturverzeichnis angegebenen Quellen verfasst zu haben.

Berlin, den 18. Januar 2013

Sylvia Rockel

Inhaltsverzeichnis

1 Einleitung 1

2 Grundlagen 32.1 Die inkompressiblen Navier-Stokes-Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.2 Anfangswerte und Randbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.3 Funktionenräume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.4 Ungleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

3 Die stationären Navier-Stokes-Gleichungen 113.1 Die schwache Form der stationären Navier-Stokes-Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . 113.2 Stabilität der Lösung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

4 Der konvektive Term und seine verschiedenen Darstellungsformen 154.1 Die starke Formulierung des konvektiven Terms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154.2 Die schwache Form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164.3 Zwei Abschätzungen für den konvektiven Term . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204.4 Die Linearisierung des konvektiven Terms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

5 Finite-Elemente-Methoden 255.1 Iteration zur Lösung des nichtlinearen Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255.2 Das Standard-Galerkin-Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255.3 Finite-Elemente-Fehleranalysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285.4 Implementation der FEM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

6 Numerische Beispiele für die stationären Navier-Stokes-Gleichungen 376.1 Ein Beispiel mit analytischer Lösung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

6.1.1 Problembeschreibung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376.1.2 Ergebnisse und Auswertung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

6.2 Ein Benchmark-Problem: Strömung um einen Zylinder mit Re = 20 . . . . . . . . . . . . 456.2.1 Problembeschreibung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 456.2.2 Ergebnisse und Auswertung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

6.3 Zusammenfassung der Ergebnisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

7 Die instationären Navier-Stokes-Gleichungen 577.1 Die schwache Form der instationären Navier-Stokes-Gleichungen . . . . . . . . . . . . . 577.2 Stabilität der schwachen Lösung der Geschwindigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 597.3 Die Diskretisierung der instationären Navier-Stokes-Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . 59

7.3.1 Das Crank-Nicolson-Verfahren und die FEM-Diskretisierung . . . . . . . . . . . . 607.4 Die FE-Formulierung für das zeitkontinuierliche Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . 617.5 FE-Fehleranalysis für die instationären Navier-Stokes-Gleichungen . . . . . . . . . . . . . 61

8 Ein numerisches Beispiel für die instationären Navier-Stokes-Gleichungen 678.1 Ein Benchmark-Problem: Strömung um einen Zylinder mit 0 ≤ Re ≤ 100 . . . . . . . . . 67

Inhaltsverzeichnis

8.1.1 Problembeschreibung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 678.1.2 Ergebnisse und Auswertung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 708.1.3 Zusammenfassung der Ergebnisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

9 Zusammenfassung und Ausblick 79

Abbildungsverzeichnis 81

Tabellenverzeichnis 83

Literaturverzeichnis 85

1 Einleitung

In dieser Arbeit werden die inkompressiblen1 Navier-Stokes-Gleichungen2 behandelt. Mit Hilfe dieserGleichungen ist es möglich, Strömungen in Newtonschen Fluiden zu beschreiben, wie beispielsweise dieUmströmung eines Brückenpfeilers in einem Fluss, oder auch langsame Strömungen in Gasen. Es ist je-doch immer zu beachten, dass die Inkompressibilität des Fluids gewähleistet ist. Ist dies nicht der Fall, wieim Allgemeinen bei Gasen, können diese Strömungen dennoch mit Hilfe der kompressiblen Navier-Stokes-Gleichungen beschrieben werden. Daher stellen die (inkompressiblen) Navier-Stokes-Gleichungen einenzentralen Teil der Strömungsmechanik dar. Im Wesentlichen beschreiben die betrachteten Gleichungen imFalle von Strömungen bei konstanter Temperatur zweierlei physikalische Erhaltungsgesetze, nämlich dasMassenerhaltungsgesetz und die lineare Impulserhaltung. Das mathematische Modell der inkompressiblenNavier-Stokes-Gleichungen ist gegeben durch

ut − Re−1 ∆u + (u · ∇) u + ∇p = f in (0,T ] ×Ω,

∇ · u = 0 in (0,T ] ×Ω,

wobei Ω das Gebiet, (0,T ] ein Zeitintervall, u = u(x, t) das Geschwindigkeitsfeld, p den Druck, undRe > 0 die Reynoldszahl bezeichnet.

Bleiben sowohl Geschwindigkeit, als auch Druck für alle Zeiten gleich, entfällt die Zeitableitung und eshandelt sich um die sogenannte stationäre Form der inkompressiblen Navier-Stokes-Gleichungen.

Bei den Navier-Stokes-Gleichungen handelt es sich um ein System nichtlinearer partieller Differentialglei-chungen erster Ordnung bezüglich der Zeit und zweiter Ordnung bezüglich des Ortes. Da die Lösungendieser Gleichungen im Allgemeinen nicht exakt berechnet werden kann, bedarf es einer Diskretisierungzu ihrer Approximation, sowie, aufgrund der Nichtlinearität, einer Linearisierung. In dieser Arbeit wer-den für die Diskretisierung bezüglich des Ortes Finite-Elemente-Methoden (FEM) verwendet. Im Falleinstationärer Strömungen wird jedoch zusätzlich ein Zeitschrittverfahren, für die zeitliche Diskretisierungbenötigt. Im Laufe der letzten 20 Jahre stellte sich in eingehenden numerischen Tests heraus, dass für einehohe Genauigkeit der Lösung der inkompressiblen Navier-Stokes-Gleichungen mittels Diskretisierungendas Zeitschrittverfahren mindestens zweiter Ordnung und die örtliche Diskretisierung mindestens zwei-ter Ordnung bezüglich der Geschwindigkeit und erster Ordnung bezüglich des Druckes sein sollte, vgl.[ST96] und [Joh04].

Das größte Problem, sowohl bei der theoretischen Betrachtung, als auch in den numerischen Simulationender (stationären) inkompressiblen Navier-Stokes-Gleichungen , stellt der konvektive Term3

(u · ∇) u

dar, welcher für die Nichtlinearität der Gleichungen verantwortlich ist. Dieser nichtlineare Term lässt sichdurch Umformulierungen auf verschiedene Weisen darstellen, welche im Kontinuierlichen unter Ausnut-zung der Divergenzfreiheit und zum Teil unter bestimmten Annahmen übereinstimmen. Im Diskreten

1Eine Strömung heißt inkompressibel, wenn sich die Dichte entlang einer Teilchenbahn nicht ändert.2Benannt nach den französischen und irischen Mathematikern und Physikern Claude Louis Marie Henri Navier und George Gabriel

Stokes.3Auch bezeichnet mit Nichtlinearität, nichtlinearer oder trilinearer Term.

1

1 Einleitung

können diese Annahmen jedoch nur noch näherungsweise erfüllt werden. In dieser Arbeit werden vierverschiedene diskrete Formen des trilinearen Terms betrachtet. Diese sind die

• konvektive Form,

• schiefsymmetrische Form,

• Rotationsform und

• die Divergenzform.

Je nach Darstellungsform verhalten sich die Lösungen der Gleichungen in numerischen Simulationen teil-weise unterschiedlich. Heutzutage wird für numerische Berechnungen oft die konvektive Form des trili-nearen Terms verwendet, aber auch die Rotationsform findet immer mehr Zuspruch, wie beispielsweisebei Olshanskii, vgl. [Ols03], [Ols01].

Ziel dieser Arbeit ist es, die Auswirkung der Darstellung des konvektiven Terms auf die Genauigkeit undEffizienz in numerischen Simulationen zu untersuchen. Hierdurch soll eine Vergleichsmöglichkeit zwi-schen den verschiedenen Formen des trilinearen Terms bezüglich dieser Kriterien gegeben werden. Einederartige vergleichende Betrachtung der unterschiedlichen Formen des konvektiven Terms ist, nach bestenWissen, bis heute in der Literatur noch nicht vorhanden. In den numerischen Test stellt sich heraus, dassdie konvektive, die schiefsymmetrische und die Divergenzform bezüglich der Genauigkeit der approxi-mierten Lösungen kaum Unterschiede aufweisen, die Rotationsform in den hier betrachteten Beispielenjedoch erheblich abfällt. Am effizientesten sind die Verfahren bei Verwendung der konvektiven und derDivergenzform, wohingegen die schiefsymmetrisch aber insbesondere auch die Rotationsform eher alsineffizient zu bezeichnen sind.

Die numerischen Simulationen in dieser Arbeit wurden stets mit dem Programmpaket MooNMD, kurz fürMathematics and object oriented Numerics in Magdeburg, vgl. [JM04], ausgeführt.

Im folgenden zweiten Kapitel werden zunächst die Grundlagen zur Behandlung der inkompressiblenNavier-Stokes-Gleichungen gelegt, welches auch eine kurze funktionalanalytische Einführung beinhal-tet. Im dritten Kapitel werden die stationären Navier-Stokes-Gleichungen genauer bezüglich der Lösbar-keit und Stabilität der Lösung untersucht. Anschließend wird der nichtlineare Term ausführlich behandelt,welches auch die Linearisierung desselbigen umfasst. Es folgt ein Abschnitt zu FEM, in dem insbeson-dere auch eine FE-Fehleranalysis betrieben und auf die Implementation der verschiedenen Formen deskonvektiven Terms eingegangen wird. In Kapitel 6 werden dann zwei numerische Beispiele für die sta-tionären inkompressiblen Navier-Stokes-Gleichungen vorgestellt und ausgewertet. Anschließend werdendie zeitabhängigen Gleichungen betrachtet. Dies schließt sowohl die Diskretisierung als auch eine FE-Fehleranalysis mit ein und wird in Kapitel 8 mit einem numerischen Beispiel vervollständigt. Abschlie-ßend wird im letzten Kapitel ein Ausblick auf mögliche weitere Forschungsthemen gegeben

2

2 Grundlagen

In diesem Kapitel werden die mathematischen Grundlagen für die Behandlung der inkompressiblen Navier-Stokes-Gleichungen gelegt. Zunächst werden die inkompressiblen Navier-Stokes-Gleichungen vorgestelltund deren Herleitung kurz beschrieben. Im zweiten Abschnitt folgen ein paar Worte über die in dieserArbeit verwendeten Anfangs- und Randbedingungen. Anschließend wird im dritten Abschnitt eine kurzeEinführung der benötigten Funktionenräume, sowie der Notation gegeben. Der vierte Abschnitt dient derVorstellung der wichtigsten Ungleichungen.

2.1 Die inkompressiblen Navier-Stokes-Gleichungen

Im Falle isothermer Stömungen beschreiben die inkompressiblen Navier-Stokes-Gleichungen zweierleiphysikalische Erhaltungsgesetze. Diese sind die Massenerhaltung und die (lineare) Impulserhaltung. Än-dert sich weder die Dichte ρ noch die Masse m, so liefert die Massenerhaltung die Inkompressibilitätsbe-dingung

∇ · v = 0 (2.1)

und aus der linearen Impulserhaltung folgt

∂v∂t− 2ν ∇ · D (v) + (v · ∇) v + ∇P =

Fρ. (2.2)

Die obigen Gleichungen werden dimensionsbehaftete inkompressible Navier-Stokes-Gleichungen genannt.Dabei bezeichnet v die Geschwindigkeit, ν die kinematische Viskosität,D (v) den Geschwindigkeitstensor,P den Druck und F eine äußere Kraft. Um diese Gleichungen in eine dimensionslose Form zu überführen,werden die charakteristischen Skalen

• L [m] - Längenskala des Problems,

• U [m/s] - Geschwindigkeitsskala,

• T ∗ [s] - Zeitskala

definiert und die alten Variablen (t′, x′) [s,m] wie folgt transformiert:

x =x′

L, u =

vU, t =

t′

T ∗.

Einsetzen dieser neuen Variablen in das Gleichungssystem (2.1), (2.2) ergibt

LUT ∗

ut −2νUL∇ · D (u) + (u · ∇) u + ∇

PρU2 =

LU2 F,

∇ · u = 0,

3

2 Grundlagen

wobei alle Ableitungen bzgl. der neuen Variablen zu verstehen sind. Es werden nun folgende Definitioneneingeführt

p BPρU2 , Re B

ULν, St B

LUT ∗

und f BL

U2 F.

Hierbei steht Re für die Reynoldszahl und St für die Strouhalzahl, welche unter anderem für die Klassifi-zierung von Strömungen wichtig sind. Damit ergeben sich die dimensionslosen inkompressiblen Navier-Stokes-Gleichungen

St ut − 2 Re−1 ∇ · D (u) + (u · ∇) u + ∇p = f in (0,T ] ×Ω, (2.3)∇ · u = 0 in (0,T ] ×Ω, (2.4)

wobei Ω ⊂ Rd, d = 2, 3, ein Gebiet und (0,T ] ein Zeitintervall ist.

Wie bereits erwähnt, ist es möglich, Strömungen an Hand der Reynolds- und der Strouhalzahl zu klassi-fizieren. Zwei stationäre, d. h. zeitunabhängige, Strömungen heißen ähnlich, wenn ihre Reynoldszahlenidentisch sind. Zwei instationäre Strömungen heißen ähnlich, wenn sowohl ihre Reynoldzahlen, als auchihre Strouhalzahlen übereinstimmen.

Für die numerische Simulation der inkompressiblen Navier-Stokes-Gleichungen werden die charakteriti-schen Skalen

L = 1 m, U = 1ms

und T ∗ =LU

= 1 s,

verwendet. Damit vereinfachen sich die dimensionslosen inkompressiblen Navier-Stokes-Gleichungenzu

ut − 2 Re−1 ∇ · D (u) + (u · ∇) u + ∇p = f in (0,T ] ×Ω, (2.5)∇ · u = 0 in (0,T ] ×Ω. (2.6)

Ist u hinreichend glatt und divergenzfrei in Ω, d. h. es gilt ∇·u = 0, so gelten die folgenden Gleichungen

∇ · (∇u) = ∆u und ∇ ·(∇uT

)=

∂x∇ · u∂y∇ · u∂x∇ · u

= 0.

Einsetzen in den viskosen Term liefert

−2 Re−1 ∇ · D (u) = −2 Re−1 ∇ ·

(∇u + ∇uT

2

)= −Re−1 ∆u. (2.7)

Unter Verwendung obiger Darstellung des viskosen Terms lauten die dimensionslosen inkompressiblenNavier-Stokes-Gleichungen

ut − Re−1 ∆u + (u · ∇) u + ∇p = f in (0,T ] ×Ω, (2.8)∇ · u = 0 in (0,T ] ×Ω. (2.9)

Im Falle stationärer Strömungen bleiben sowohl die Geschwindigkeit, als auch der Druck für alle Zeitengleich, d. h. ut = 0. Dies führt auf das folgende Modell von stationären Navier-Stokes-Gleichungen

−Re−1 ∆u + (u · ∇) u + ∇p = f in Ω, (2.10)∇ · u = 0 in Ω. (2.11)

4

2.2 Anfangswerte und Randbedingungen

2.2 Anfangswerte und Randbedingungen

Die Navier-Stokes-Gleichungen sind partielle Differentialgleichungen erster Ordnung bezüglich der Zeitund zweiter Ordnung bezüglich des Ortes. Daher werden für die Lösung ein Anfangswert für t = 0 undRandbedingungen für Γ = ∂Ω benötigt, falls Ω ein beschränktes Gebiet ist. Dabei sollte die Kompatibilitätder Randbedingungen und des Anfangswertes gewährleistet sein, d. h. die Randbedingungen des Anfangs-wertes sollen der Grenzwert der Randbedingungen für t → 0, t > 0, sein. Für den Anfangswert ist eindivergenzfreies Geschwindigkeitsfeld für t = 0 vonnöten. Dieses ist gegeben durch

u (0, x) = u0 (x) mit ∇ · u0 = 0 in Ω.

Dirichlet-Randbedingungen und Haftbedingungen (no slip)Bei den Dirichlet-Randbedingungen wird die Geschwindigkeit auf einem Teil des Randes Γ vorgegeben

u (t, x) = g (t, x) in (0,T ] × Γdiri ⊂ Γ. (2.12)

Die Dirichlet-Randbedingungen werden bei vorgegebenen Ein- und Ausströmungen verwendet. Im Fallevon g (t, x) = 0 in (0,T ]×Γdiri werden die Randbedingungen auch mit no slip bezeichnet. Diese sogenannteHaftbedingung ist also ein Spezialfall der Dirichlet-Randbedingungen. Sei n die äußere Einheitsnormalein x ∈ Γno slip ⊂ Γdiri und seien t1, t2 zwei Einheitstangentialvektoren, so dass n, t1, t2 eine Orthonor-malbasis bilden, dann kann die Haftbedingung in folgende drei Teile zerlegt werden:

u (t, x) = 0 ⇔ u (t, x) · n = 0, u (t, x) · t1 = 0 und u (t, x) · t2 = 0 für x ∈ Γno slip.

Die Bedingung u (t, x) · n = 0 besagt, dass das Fluid den Rand des Gebietes nicht durchdringt und aus denbeiden anderen Bedingungen folgt, dass das Fluid nicht am Rand entlang gleitet.

Sind auf dem gesamten Rand Γ des Gebietes Ω Dirichlet-Randbedingungen vorgegeben, dann kann derDruck p nur bis auf eine additive Konstante bestimmt werden. Um diese Konstante festzulegen, bedarfes einer zusätzlichen Bedingung, wie beispielsweise das Nullsetzen des Integralmittelwert des Druckes p,d. h. ∫

Ω

p (t, x) dx = 0 ∀t ∈ (0,T ] .

Do-nothing-RandbedingungenEine weitere Art von Randbedingungen sind die sogenannten do-nothing-Randbedingungen:

S · n = 0 auf (0,T ] × Γout ⊂ Γ, (2.13)

wobei

S = −Re−1 ∇u + p I3×3 =

S 11 S 12 S 13S 21 S 22 S 23S 31 S 32 S 33

(2.14)

der Cauchy’sche Spannungstensor ist. Diese werden häufig für die numerische Simulation verwendet,wenn für das zu lösende Problem keine anderen Ausströmungssbedingungen zur Verfügung stehen.

Es existieren noch diverse andere Arten von Randbedingungen, welche jedoch in dieser Arbeit nicht be-nötigt und daher ausgelassen werden.

5

2 Grundlagen

Der Einfachheit halber werden für die theoretischen Betrachtungen, falls nicht anders angegeben, stetsbeschränkte Gebiete Ω mit hinreichend glattem Rand ∂Ω und homogenen Dirichlet-Randbedingungen,d. h. g = 0, verwendet. Bei der Verwendung inhomogener Randbedingungen g ist darauf zu achten, dassdiese die Kompatibilitätsbedingung

0 =

∫Ω

∇ · u dx =

∫∂Ω

u · n ds =

∫∂Ω

g · n ds (2.15)

erfüllen.

2.3 Funktionenräume

Für die schwache Formulierung der Navier-Stokes-Gleichungen werden geeignete Lösungsräume benö-tigt. Die in dieser Arbeit verwendeten Lösungsräume gehören zu der Klasse der sogenannte Sobolev-Räume. Diese beruhen wiederum auf der Klasse der Lebesgue-Räume, oder kurz Lp-Räume genannt.

Definition 2.1 (Lp-Norm, Lp-Raum) Sei Ω eine offene Teilmenge des Rn, n ∈ N, und sei 1 ≤ p ≤ ∞.Falls f : Ω→ R (Lebesgue-) messbar ist, dann wird die Lp-Norm wie folgt definiert

‖f‖Lp(Ω) B

∫Ω

|f (x) |p dx1/p

für 1 ≤ p < ∞,

ess supx∈Ω |f (x) | für p = ∞.

Ein Lp-Raum ist nun der lineare Raum aller messbaren Funktionen f, für welche die oben definierte Lp-Norm endlich ist, d. h.

Lp (Ω) Bf : Ω→ R | f ist Lebesgue-messbar, ‖f‖Lp(Ω) < ∞

.

Bemerkung 2.2Mit der oben definierten Norm sind die Lp-Räume vollständig und damit sogenannte Banachräume.

Bemerkung 2.3Im eigentlichen Sinne sind die Elemente f des Lp-Raumes Äquivalenzklassen von Funktionen, da Funk-tionen miteinander identifiziert werden, welche nur bis auf eine Menge vom Lebesgue-Maß null, also fastüberall, übereinstimmen. In der Regel wird jedoch trotzdem von einer Funktion f ∈ Lp (Ω) gesprochen,bei welcher es allerdings genügt, wenn diese nur fast überall definiert ist.

Ein in dieser Arbeit häufig verwendeter Spezialfall ist der Raum

L20 (Ω) =

f | f ∈ L2 (Ω) , (f, 1) = 0

also der Raum aller Funktionen aus L2 (Ω) mit Integralmittelwert Null. Zusammen mit dem Skalarprodukt(·, ·) : L2 (Ω) × L2 (Ω)→ R, welches definiert ist durch

(f, g) =

∫Ω

f (x) g (x) dx,

ist dieser sogar einen Hilbertraum. Ein weiterer wichtiger Raum ist der (schwach) divergenzfreie Hilbert-raum

Hdiv (Ω) =f ∈ L2 (Ω) | ∇ · f = 0 im schwachen Sinne

,

6

2.3 Funktionenräume

wobei im schwachen Sinne bedeutet, dass diese Eigenschaft für alle Testfunktionen aus einem geeignetenRaum gilt, d. h.

(∇ · f, v) = 0 ∀v ∈ L2 (Ω) .

Des Weiteren sei noch der Raum Lploc (Ω) definiert, welcher eine lokale Einschränkung eines Lp-Raumes

darstellt. Es ist

Lploc (Ω) B f : Ω→ R | f ∈ Lp (V) ∀V ⊂⊂ Ω .

Die Räume der stetig differenzierbaren Funktionen seien wie in der gängigen Literatur, beispielsweise bei[Eva10] oder [Wer07], definiert. Sei hierzu k ∈ N, dann ist

Ck (Ω) Bf : Ω→ R | f ist k-mal differenzierbar und alle k Ableitungen sind stetig

, (2.16)

Ck(Ω)B

f ∈ Ck (Ω) | alle k-ten Ableitungen sind stetig bis zum Rand fortsetzbar

, (2.17)

C∞ (Ω) B∞⋂

k=0

Ck (Ω) . (2.18)

Der Raum C0 (Ω) der stetigen Funktionen, wird in dieser Arbeit mit C (Ω) bezeichnet.

Wird ein Funktionenraum mit einem Index c versehen, bedeutet dies, dass die Funktionen des jeweiligenRaumes einen kompakten Träger besitzen.

Um die Sobolev-Räume definieren zu können, wird noch der Begriff der schwachen Ableitung benötigt.

Definition 2.4 (Schwache Ableitung) Seien f, g ∈ L1loc (Ω) und sei α ∈ Nd ein Multiindex mit Ordnung

|α| = α1 + . . . + αd. Dann heißt g die α-te schwache partielle Ableitung von f, kurz Dαf = g, falls∫Ω

f (x) Dαϕ (x) dx = (−1)|α|∫Ω

g (x)ϕ (x) dx

für alle Testfunktionen ϕ ∈ C∞c (Ω) gilt.

Lemma 2.5 (Eindeutigkeit von schwachen Ableitungen)Seien alle Voraussetzungen der obigen Definition erfüllt. Falls eine schwache α-te Ableitung g von f exis-tiert, dann ist diese, bis auf eine Menge vom Maß null, eindeutig.

Beweis. Siehe [Eva10], Kapitel 5, Seite 257.

Definition 2.6 (Sobolev-Raum) Seien 1 ≤ p ≤ ∞ und k ∈ N. Dann heißt

Wk,p (Ω) Bf ∈ Lp

loc (Ω) | für alle α ∈ Nd mit |α| ≤ k existiert ein Dαf mit Dαf ∈ Lp (Ω)

ein Sobolev-Raum. Die dazugehörige Norm ist definiert durch

‖f‖Wk,p(Ω) B

∫Ω

( ∑|α|≤k|Dαf (x) |p dx

)1/p

für 1 ≤ p < ∞,∑|α|≤k

ess supΩ |Dαf| für p = ∞.

7

2 Grundlagen

Bemerkung 2.7

(a) Der Abschluss von C∞c (Ω) in Wk,p (Ω) wird mit Wk,p0 (Ω) bezeichnet.

(b) Im Falle von p = 2 sind die Sobolev-Räume Wk,2 (Ω) Hilberträume mit dem Skalarprodukt

(f, g)k =∑|α|≤k

(Dαf,Dαg) .

Daher werden diese Räume in der Regel mit dem Buchstaben H bezeichnet, d. h. Hk (Ω) = Wk,2 (Ω)und ‖ · ‖Wk,2(Ω) = ‖ · ‖Hk(Ω).

Zuletzt soll noch geklärt werden, inwiefern es möglich, ist einer Funktion f ∈ W1,p (Ω) Randwerte entlangvon ∂Ω zuzuweisen, falls der Rand ∂Ω Lipschitz-stetig ist. Im Gegensatz zu Funktionen f ∈ C

(Ω), sind

Funktionen f ∈ W1,p (Ω) in der Regel nicht stetig und nur fast überall in Ω definiert. Da der Rand ∂Ω alsTeilmenge des Rd das Lebesgue-Maß null hat, existiert auch keine sinnvolle Definition für die Einschrän-kung von f auf den Rand ∂Ω, kurz f|∂Ω. Dieses Problem kann mittels des Spursatzes behoben werden.

Satz 2.8 (Spursatz)Sei Ω ⊂ Rd offen und beschränkt mit Lipschitz-stetigem Rand und sei 1 ≤ p < ∞. Dann existiert einbeschränkter linearer Operator T : W1,p (Ω)→ Lp (∂Ω), sodass

Tu = u|∂Ω falls u ∈ W1,p (Ω) ∩C(Ω)

und

‖Tu‖Lp(∂Ω) ≤ C‖u‖W1,p(Ω) für alle u ∈ W1,p (Ω) ,

wobei die Konstante C > 0 nur von p und Ω abhängt.

Beweis. Siehe zum Beispiel [Eva10], Kapitel 5, Abschnitt 5, Seiten 272-273.

Der Operator T wird Spuroperator (trace operator) genannt und Tu wird als Spur von u auf ∂Ω, kurztrace u, bezeichnet .

Satz 2.9 (Einbettungssatz in Sobolev-Räume)Sei Ω ⊂ Rn offen und beschränkt mit Lipschitz-Rand. Weiter seien m1 ≥ 0 und m2 ≥ 0 ganze Zahlen, sowie1 ≤ p1 < ∞ und 1 ≤ p2 < ∞. Dann gilt:

(1) Ist

m1 −np1≥ m2 −

np2, sowie m1 ≥ m2, (2.19)

dann existiert die Einbettung

id : Wm1,p1 (Ω)→ Wm2,p2 (Ω) (2.20)

und ist stetig. Dabei ist W0,p = Lp (Ω). Für u ∈ Wm1,p1 (Ω) gilt also mit einer Konstante C, welchevon n, Ω, m1, p1, m2, p2 abhängt, die Abschätzung

‖u‖Wm2 ,p2 (Ω) ≤ C‖u‖Wm1 ,p1 (Ω). (2.21)

8

2.4 Ungleichungen

(2) Ist

m1 −np1

> m2 −np2, sowie m1 > m2, (2.22)

dann existiert die Einbettung

id : Wm1,p1 (Ω)→ Wm2,p2 (Ω) (2.23)

und ist stetig und kompakt.

(3) Für beliebige offene, beschränkte Mengen Ω ⊂ Rn gelten die Aussagen in (1) und (2) für die RäumeWmi,pi

0 (Ω) anstatt Wmi,pi (Ω). Dabei ist W0,p0 (Ω) B Lp (Ω).

Beweis. Der Beweis ist beispielsweise zu finden bei [Alt12], Kapitel 8, Seiten 346-347.

2.4 Ungleichungen

In diesem Abschnitt werden die am häufigsten verwendeten Ungleichungen vorgestellt. Auf die Beweisewird hier verzichtet, da diese in vielen Standardwerken über partielle Differentialgleichungen, wie bei-spielsweise bei Evans [Eva10], zu finden sind.

Satz 2.10 (Ungleichung von Young)Seien 1 < p, q < ∞ mit p−1 + q−1 = 1, sowie a, b > 0 und ε > 0 beliebig. Dann gilt

ab ≤ εap + (εp)−q/p bq

q.

Satz 2.11 (Cauchy-Schwarz-Ungleichung)Sei V ein Vektorraum mit (positiv definitem) Skalarprodukt. Dann gilt für alle x, y ∈ V die Ungleichung

|(x, y)| ≤ ‖x‖ ‖y‖ ,

wobei Gleichheit genau dann gilt, wenn x und y linear abhängig sind.

Satz 2.12 (Poincaré -Ungleichung)Sei Ω ⊂ Rd offen und beschränkt und 1 ≤ p < ∞. Dann existiert eine reelle konstante C > 0, so dass füralle u ∈ W1,p

0 (Ω)

‖u‖Lp(Ω) ≤ C ‖∇u‖Lp(Ω) .

Satz 2.13 (Hölder-Ungleichung für Lp-Räume)Seien 1 ≤ p, q ≤ ∞ mit 1

p + 1q = 1, f ∈ Lp(Ω) und g ∈ Lq(Ω). Dann ist f g ∈ L1(Ω) und es gilt

‖ f g‖1 ≤ ‖ f ‖p ‖g‖q.

Satz 2.14 (verallgemeinerte Hölder-Ungleichung)Sei 2 ≤ p1, . . . , pm ≤ ∞ mit

∑mi=1

1pi

= 1. Weiter sei ui ∈ Lpi (Ω) für i = 1, . . . ,m. Dann gilt∫Ω

|u1 · · · um| dx ≤m∏

i=1

‖ui‖Lpi (Ω) .

9

2 Grundlagen

Lemma 2.15 (Gronwall’sches Lemma)Sei ϕ (·) eine nicht-negative, stetige Funktion auf einem Intervall [0,T ], welche für fast alle t ∈ [0,T ] dieDifferentialgleichung

ϕ′(t) ≤ α(t)ϕ(t) + ψ(t)

erfüllt, wobei α(t) und ψ(t) nicht-negative, messbare Funktionen auf [0,T ] sind. Dann gilt für alle0 ≤ t ≤ T

ϕ(t) ≤ exp

t∫

0

α(s) ds

ϕ(0) +

t∫0

ψ(s) ds

.

10

3 Die stationären Navier-Stokes-Gleichungen

3.1 Die schwache Form der stationären Navier-Stokes-Gleichungen

Für die numerische Lösung der (stationären) Navier-Stokes-Gleichungen mit Finite-Element-Methodenwird zunächst eine sogenannt schwache Form des Problems benötigt, welche aus der starken Formulierunghervorgeht.

Die starke Form der stationären Navier-Stokes-Gleichungen ist gegeben durch

−Re−1∆u + (u · ∇) u + ∇p = f in Ω, (3.1)∇ · u = 0 in Ω, (3.2)

u = 0 on ∂Ω, (3.3)∫Ω

p dx = 0. (3.4)

Um die schwache, oder auch variationell genannte, Form der stationären Navier-Stokes-Gleichungen ausder starken Formulierung zu erhalten, wird wie üblich verfahren, d. h.

• Multiplikation der Gleichung (3.1) mit einer geeigneten Testfunktion (v, q) und

• Integration über Ω unter Verwendung von partieller Integration,

wobei die Randbedingung in der Definition des Geschwindigkeitsraumes V enthalten ist.

Seien nun V =(H1

0 (Ω))d

, d ∈ 2, 3, und Q = L20 (Ω). Dann lautet die schwache Form:

Finde (u, p) ∈ V × Q, so dass(Re−1 ∇u,∇v

)+ ((u · ∇) u, v) − (p,∇ · v) = (f, v) , (3.5)

(∇ · u, q) = 0, (3.6)

für alle (v, q) ∈ V × Q.

In (3.5) wurde die sogenannte konvektive Form des konvektiven Terms verwendet. Im folgenden Kapitel 4werden weitere äquivalente Formen ausführlich behandelt. Zunächst wird jedoch die Lösbarkeit des obigenProblems diskutiert.

Die oben definierten Räume V und Q erfüllen die für die Eindeutigkeit der Lösung des Problems wichtigeInf-sup-Bedingung

∃β > 0: infq∈Q

supv∈V

(q,∇ · v)‖v‖V ‖q‖Q

≥ β. (3.7)

11

3 Die stationären Navier-Stokes-Gleichungen

Satz 3.1 (Existenz und Eindeutigkeit der Lösung)Sei Ω ⊂ Rd, d ∈ 2, 3, ein beschränktes Gebiet mit Lipschitz-stetigem Rand ∂ Ω. Seien g = 0und f ∈

(H−1 (Ω)

)d. Dann existiert wenigstens eine Lösung (u, p) ∈ V × Q des Variationsproblems

(3.5),(3.6). Ist die Reynolds-Zahl Re hinreichend klein, d. h. für Re gilt die Kleinheitsbedingung

Re2 ‖f‖V ′ supu,v,w∈V

((u · ∇) v,w)‖∇u‖L2(Ω)‖∇v‖L2(Ω)‖∇w‖L2(Ω)

< 1, (3.8)

wobei V ′ = H−1 (Ω) der Dualraum von V ist, dann ist die Lösung eindeutig.

Beweisskizze. Der vollständige Beweis ist bei [GR86], Kapitel IV, Satz 2.3 und 2.4 zu finden.Die grundlegende Idee ist Folgende:

• Betrachtung eines äquivalenten Problems in einem divergenzfreien Unterraum.

• Lösen des Problems in einem endlichen Raum (Galerkin-Verfahren).

• Nach dem Brouwer’schem Fixpunkt Satz 2.4 existiert eine Lösung des Problems.

• Betrachtung von d → ∞. Dann existiert eine Teilfolge, die gegen eine Lösung des Problems imdivergenzfreien Unterraum konvergiert.

• Aufgrund der inf-sup-Bedingung (3.7) existiert der Druck p und ist eindeutig.

• Ist die Kleinheitsbedingung erfüllt, dann ist die Abbildung eine Kontraktion. Es folgt mit dem Ba-nach’schen Fixpunktsatz 2.4 die Eindeutigkeit.

In dieser Arbeit werden ausschließlich Fälle betrachtet, bei denen eine eindeutige Lösung existiert.

3.2 Stabilität der Lösung

Lemma 3.2 (Stabilität der Lösung)Sei (u, p) ∈ V × Q eine beliebige Lösung des Problems (3.5),(3.6). Dann gelten die Abschätzungen

‖∇u‖L2(Ω) ≤ Re ‖f‖H−1(Ω), (3.9)

‖p‖L2(Ω) ≤1β

(2‖f‖H−1(Ω) + C Re2 ‖f‖2H−1(Ω)

). (3.10)

Beweis. Zunächst wird als Testfunktion (v, q) = (u, p) gewählt. Dies liefert

Re−1 (∇u,∇u) + b (u,u,u) = (f,u) ,

wobei b (·, ·, ·) eine beliebige Form des konvektiven Term ist. Unter Berücksichtigung dessen, dass dieNichtlinearität für Funktionen u ∈ H1 (Ω) verschwindet, vgl. (4.7), (4.8), ergibt sich

Re−1 ‖∇u‖2L2(Ω) = (f,u) . (3.11)

12

3.2 Stabilität der Lösung

Nun gilt für die duale Paarung auf der rechten Seite die Abschätzung

(f,u) ≤ ‖f‖H−1(Ω)‖∇u‖L2(Ω).

Einsetzen, sowie teilen durch ‖∇u‖L2(Ω) und Multiplikation mit Re liefert dann die erste Behauptung.

Der Beweis der zweiten Ungleichung basiert auf der inf-sup-Bedingung (3.7). Diese liefert

‖p‖L2(Ω) ≤1β

(− (p,∇ · v)‖∇v‖L2(Ω)

).

Einsetzen von (3.5), sowie Anwenden der Cauchy-Schwarz-Ungleichung, der Abschätzung für duale Paa-rungen und Abschätzung (4.9) für b (·, ·, ·) ergibt

‖p‖L2(Ω) =1β

((f, v) − Re−1 (∇u,∇v) − b (u,u, v)

‖∇v‖L2(Ω)

)≤

1β

‖f‖H−1(Ω)‖∇v‖L2(Ω) + Re−1 ‖∇u‖L2(Ω)‖∇v‖L2(Ω) + C‖∇u‖2L2(Ω)‖∇v‖L2(Ω)

‖∇v‖L2(Ω)

.Zuletzt wird nun die zuvor bewiesene Abschätzung (3.11) für die Geschwindigkeit eingesetzt

‖p‖L2(Ω) ≤1β

(2‖f‖H−1(Ω) + C Re2 ‖f‖2H−1(Ω)

).

13

4 Der konvektive Term und seine verschiedenenDarstellungsformen

In diesem Kapitel wird der konvektive Term genauer untersucht und insbesondere die Auswirkung der ver-schiedenen Formen dieses Term auf die numerische Lösung der (stationären) Navier-Stokes-Gleichungendiskutiert. Zunächst werden hierfür die verschiedenen Formen in ihrer starken Formulierung betrachtet.Anschließend folgt die variationelle Form, welche im weiteren Verlauf der Arbeit für die Finite-Elemente-Methoden benötigt wird.

4.1 Die starke Formulierung des konvektiven Terms

Die konvektive, die Divergenz- und die Rotationsform der Nichtliniearität sind jeweils gegeben durch

(u · ∇) u, ∇ ·(uuT

)und (∇ × u) × u +

12∇

(uT u

).

Lemma 4.1Sei u ∈ C1 (Ω). Dann gilt in der starken Formulierung, ohne zusätzliche Annahmen, die Identität

(u · ∇) u = (∇ × u) × u +12∇

(uT u

). (4.1)

Beweis. Der Beweis erfolgt durch explizites Nachrechnen. Es gilt

(∇ × u) × u +12∇

(uT u

)=

∂yu3 − ∂zu2∂zu1 − ∂xu3∂xu2 − ∂yu1

× u +12∇

(u2

1 + u22 + u2

3

)

=

u3∂zu1 − u3∂xu3 − u2∂xu2 + u2∂yu1u1∂xu2 − u1∂yu1 − u3∂yu3 + u3∂zu2u2∂yu3 − u2∂zu2 − u1∂zu1 + u1∂xu3

+12

2u1∂xu1 + 2u2∂xu2 + 2u3∂xu32u1∂yu1 + 2u2∂yu2 + 2u3∂yu32u1∂zu1 + 2u2∂zu2 + 2u3∂zu3

=

u1∂xu1 + u2∂yu1 + u3∂zu1u1∂xu2 + u2∂yu2 + u3∂zu2u1∂xu3 + u2∂yu3 + u3∂zu3

= (u · ∇) u

und dies war zu zeigen.

Es wurde also gezeigt, dass die konvektive und die Rotationsform in der starken Formulierung überein-stimmen. Für die Divergenzform stimmt dies nicht. Um hier eine Übereinstimmung erhalten zu können,muss u zusätzlich divergenzfrei sein.

15

4 Der konvektive Term und seine verschiedenen Darstellungsformen

Lemma 4.2Sei u hinreichend glatt und divergenzfrei ist, d. h. ∇ · u = 0. Dann gilt

∇ ·(uuT

)= (u · ∇) u. (4.2)

Beweis. Auch hier erfolgt der Beweis durch explizites Nachrechnen.

∇ ·(uuT

)= ∇ ·

u1u1 u1u2 u1u3u2u1 u2u2 u2u3u3u1 u3u2 u3u3

=

∂x(u1u1) + ∂y (u1u2) + ∂z (u1u3)∂x(u2u1) + ∂y(u2u2) + ∂z(u2u3)∂x(u3u1) + ∂y(u3u2) + ∂z(u3u3)

.Anwenden der Produktregel liefert

∇ ·(uuT

)=

u1∂xu1 + u2∂yu1 + u3∂zu1 + u1∂xu1 + u1∂yu2 + u1∂zu3u1∂xu2 + u2∂yu2 + u3∂zu2 + u2∂xu1 + u2∂yu2 + u2∂zu3u1∂xu3 + u2∂yu3 + u3∂zu3 + u3∂xu1 + u3∂yu2 + u3∂zu3

=

(u1∂x + u2∂y + u3∂z

)u1(

u1∂x + u2∂y + u3∂z

)u2(

u1∂x + u2∂y + u3∂z

)u3

+

u1

(∂xu1 + ∂yu2 + ∂zu3

)u2

(∂xu1 + ∂yu2 + ∂zu3

)u3

(∂xu1 + ∂yu2 + ∂zu3

)

=

(u · ∇) u1(u · ∇) u2(u · ∇) u3

+

u1 (∇ · u)u2 (∇ · u)u3 (∇ · u)

= (u · ∇) u + (∇ · u) u.

Ausnutzen der Divergenzfreiheit von u liefert nun die Behauptung.

Bemerkung 4.3Offensichtlich gilt für die Divergenzform ∇ ·

(uuT

)∇ ·

(uuT

)= (u · ∇) u + (∇ · u) u ⇔

12∇ ·

(uuT

)=

12

((u · ∇) u + (∇ · u) u)

⇔12

(∇ ·

(uuT

)+ (u · ∇) u

)= (u · ∇) u +

12

(∇ · u) u.

Diese äquivalente Darstellung wird später bei der schwachen Formulierung der Divergenzform Verwen-dung finden.

4.2 Die schwache Form

In diesem Abschnitt werden nun die verschiedenen Formen des konvektiven Terms in ihrer schwachenForm betrachtet. Zunächst sei bemerkt, dass der konvektive Term aufgrund der Linearität von Integrationund Differentiation trilinear, d. h. linear in jedem seiner Argumente, ist. Eine weitere wichtige Eigenschaftdes konvektiven Terms liefert Satz 4.4, für dessen Formulierung der Begriff der schwachen Divergenzfrei-heit

(∇ · u, q) = 0 ∀q ∈ Q

16


benötigt wird. Insbesondere gilt für beliebige Vektoren v,w ∈ V , dass ihr Skalarprodukt in L2(Ω) liegt.Die Begründung hierfür liefert der Sobolev’sche Einbettungssatz 2.9. Daher existiert eine reelle KonstanteC ∈ R, sodass

v · w + C ∈ L20 (Ω) = Q.

Es folgt für u ∈ V

0 = (∇ · u, v · w + C) = (∇ · u, v · w) + (∇ · u,C)

und mit partieller Integration des zweiten Terms der rechten Seite

0 = (∇ · u, v · w) + C∫∂Ω

u · n ds − (u,∇C) .

Das Randintegral verschwindet, da u ≡ 0 auf ∂Ω, und der letzte Term, da ∇C = 0 für C ∈ R. Daher gilt

0 = (∇ · u, v · w) .

Satz 4.4Seien u, v, w ∈ H1 (Ω) und sei

b (u, v,w) = ((u · ∇) v,w) .

Dann gilt für alle, im schwachen Sinne divergenfreien, Funktionen u und alle v,w ∈ H10 (Ω)

b (u, v,w) + b (u,w, v) = 0.

Beweis. Gezeigt wird b (u, v,w) = −b (u,w, v). Es ist

b (u, v,w) = ((u · ∇) v,w) =

∫Ω

(u · ∇) v · w dx =

3∑i, j=1

∫Ω

ui

(∂iv j

)w j dx.

Bei der partiellen Integration tritt kein Randintegral auf, da v,w ∈ H10 (Ω). Es folgt

b (u, v,w) = −

3∑i, j=1

∫Ω

∂i

(uiw j

)v j dx

= −

3∑i, j=1

∫Ω

(∂iui) v jw j + uiv j

(∂iw j

)dx.

Aufteilen der Summe und die Divergenzfreiheit von u liefert dann

b (u, v,w) = −

3∑j=1

∫Ω

(∇ · u) v jw j dx −3∑

i, j=1

∫Ω

uiv j

(∂iw j

)dx

= −b (u,w, v)


17


Die konvektive Form des nichtlinearen Terms in der schwachen Formulierung ist gegeben durch

bconv(u, v,w) = ((u · ∇) v,w) .

In der variationellen Form des konvektiven Terms gibt es zusätzlich zu den drei Formen in der starkenFormulierung noch eine weitere, die sogenannte schiefsymmetrische Form. Diese ist definiert durch

bskew (u, v,w) =12

(bconv (u, v,w) − bconv (u,w, v)) (4.3)

und unter den Voraussetzungen von Satz 4.4 gilt die Identität

bskew (u, v,w) = bconv (u, v,w) .

Mit Hilfe der Produktregel und Ausnutzung der Linearität des Skalarproduktes ergibt sich aus der Diver-genzform in der schwachen Formulierung eine Kombination eines Divergenzterms und der konvektivenForm. Es ist

bdiv(u,u, v) =(∇ ·

(uuT

), v

)= ((∇ · u) u + (u · ∇) u, v)

= ((∇ · u) u, v) + ((u · ∇) u, v) .

Dies ist sinnvoll, da im Diskreten nur noch eine Approximation der Divergenzfreiheit erreicht werdenkann.

Für die numerischen Berechnungen wird in dieser Arbeit die äquivalente Formulierung verwendet

bdiv(u,u, v) B ((u · ∇) u, v) +12

((∇ · u) u, v) . (4.4)

Den Grund hierfür liefert das folgende Lemma.

Lemma 4.5Seien u, v ∈ H1 (Ω) und sei die Divergenzform des konvektiven Terms wie folgt definiert

bdiv(u, v,w) B ((u · ∇) v,w) +12

((∇ · u) v,w) .

Dann gilt für alle u, v ∈ H10 (Ω)

bdiv(u, v, v) = 0.

Beweis. Nach dem Beweis von Satz 4.4 gilt

bconv (u, v,w) = −bconv (u,w, v) − ((∇ · u) v,w) .

Daher ergibt sich mit w = v

2 bconv (u, v, v) = − ((∇ · u) v, v) ⇔ bconv (u, v, v) +12

((∇ · u) v, v) = 0


18


Zuletzt wird nun die Rotationsform des konvektiven Terms in der schwachen Formulierung betrachtet,d. h.

brot(u,u, v) =

((∇ × u) × u +

12∇

(uT u

), v

).

Ausnutzen der Lineariät des Skalarproduktes liefert dann

brot(u,u, v) = ((∇ × u) × u, v) +12

(∇

(uT u

), v

)brot(u,u, v) = ((∇ × u) × u, v) +

12

∫Ω

∇(uT u

)· v dx.

Bei der partiellen Integration des zweiten Terms der rechten Seite verschwindet das Randintegral, dav ∈ H1

0 (Ω) ist. Es folgt

brot(u,u, v) = ((∇ × u) × u, v) −12

∫Ω

uT u ∇ · v dx

= ((∇ × u) × u, v) −12

(uT u,∇ · v

).

Bei Verwendung der obigen Rotationsform ergibt sich für die Gleichung (3.5) der schwachen Form derstationären Navier-Stokes-Gleichungen dann

−Re−1 (∇u,∇v) + brot(u,u, v) − ( p,∇ · v) = (f, v) , (4.5)

wobei p = p + 12 uT u der veränderte Druck ist und

brot (u,u, v) = ((∇ × u) × u, v) (4.6)

die Rotationsform bezeichnet. Der neue Druck p wird auch Bernoulli-Druck genannt.

Lemma 4.6Seien u, v ∈ H1 (Ω), dann gilt

brot (u, v, v) = bskew (u, v, v) = 0. (4.7)

Sei u zusätzlich schwach divergenzfrei und sei u · n = 0 auf ∂Ω, wobei n die äußere Normale ist, dann gilt

bconv (u, v, v) = 0. (4.8)

19


Beweis. Der Beweis erfolgt durch explizites Nachrechnen. Für die Rotationsform gilt

brot (u, v, v) = ((∇ × u) × v, v)

=

∂yu3 − ∂zu2∂zu1 − ∂xu3∂xu2 − ∂yu1

×v1v2v3

,v1v2v3

=

v3∂zu1 − v3∂xu3 − v2∂xu2 + v2∂yu1v3∂zu2 − v3∂yu3 + v1∂xu2 − v1∂yu1v2∂yu3 − v2∂zu2 − v1∂zu1 + v1∂xu3

,v1v2v3

=

∫Ω

[∂xu2 (v1v2 − v1v2) + ∂xu3 (v1v3 − v1v3) + ∂y (v1v2 − v1v2) +

∂yu3 (v2v3 − v2v3) + ∂zu1 (v1v3 − v1v3) + ∂zu2 (v2v3 − v2v3)]

dx

= 0.

Für die schiefsymmetrische Form gilt aufgrund der Definition

bskew (u, v, v) =12

(bconv (u, v, v) − bconv (u, v, v)) = 0.

Da u im schwachen Sinne divergenzfrei ist, gilt nach Satz 4.4 bconv (u, v, v) = −bconv (u, v, v) und damitdie Behauptung.

Bemerkung 4.7Während all diese Formen im Kontinuierlichen für hinreichend glatte Lösungen u, welche im schwa-chen Sinne divergenzfrei sind, nach obigen Rechnungen übereinstimmen, tritt im Diskreten nur nocheine Approximation der Divergenzfreiheit auf. Daher stimmen sie, wie später gezeigt wird, für Finite-Elemente-Funktionen nicht überein. Dennoch sind sie von numerischem Interesse. So erlaubt zum Bei-spiel die schiefsymmetrische Form eine numerische Fehleranalysis und die konvektive Form wird oft fürSimulationen verwendet.

4.3 Zwei Abschätzungen für den konvektiven Term

Um die später notwendige Finite-Elemente-Fehleranalysis zu erleichtern wird insbesondere eine Abschät-zung der Nichtlinearität b (u, v,w) benötigt. Der Übersichtlichkeit halber sei dem eigentlichen Lemma 4.9noch folgendes Hilfslemma vorangestellt.

Hilfslemma 4.8Seien u, v ∈ C1 (Ω). Dann gilt

(∇ × u) × v = (v · ∇) u −(∇uT

)v.

20

4.3 Zwei Abschätzungen für den konvektiven Term

Beweis. Der Beweis hierfür erfolgt wie üblich durch explizites Nachrechnen. Gezeigt wird

(∇ × u) × v +(∇uT

)v = (v · ∇) u.

(∇ × u) × v +(∇uT

)v =


+

∂xu1 ∂xu2 ∂xu3∂yu1 ∂yu2 ∂yu3∂zu1 ∂zu2 ∂zu3

·v1v2v3

=


+

v1∂xu1 + v2∂xu2 + v3∂xu3v1∂yu1 + v2∂yu2 + v3∂yu3v1∂zu1 + v2∂zu2 + v3∂zu3

=

v1∂xu1 + v2∂yu1 + v3∂zu1v1∂xu2 + v2∂yu2 + v3∂zu2v1∂xu3 + v2∂yu3 + v3∂zu3

= (v · ∇) u

Lemma 4.9 (Abschätzung der Nichtlinearität (I))Seien u, v,w ∈ H1(Ω). Dann existiert eine Konstante C ∈ R, so dass

|b(u, v,w)| ≤ C‖u‖H1(Ω) ‖v‖H1(Ω) ‖w‖H1(Ω), (4.9)

wobei b(u, v,w) eine beliebige Form des konvektiven Terms sei.

Beweis. Der Beweis erfolgt hier explizit am Beispiel der konvektiven Form des konvektiven Terms, dasich, wie unten gezeigt wird, alle übrigen Formen auf diesen zurückführen lassen.

Anwenden der verallgemeinerten Hölder-Ungleichung (2.14) liefert

|bconv(u, v,w)| =

∣∣∣∣∣∣∣∣∫Ω

(u · ∇) v · w dx

∣∣∣∣∣∣∣∣ ≤ ‖u‖Lp(Ω)‖∇v‖Lq(Ω)‖w‖Lr(Ω),

wobei gilt

1p

+1q

+1r

= 1, 1 ≤ p, q, r ≤ ∞.

Mit q = 2 und p = r = 4, sowie anwenden der Sobolev-Einbettung H1 (Ω) → L4 (Ω) folgt dann

|bconv(u, v,w)| ≤ ‖u‖H1(Ω)‖∇v‖L2(Ω)‖w‖H1(Ω) ≤ ‖u‖H1(Ω)‖v‖H1(Ω)‖w‖H1(Ω).

Die Behauptung für die schiefsymmertrische Form des konvektiven Terms folgt aufgrund der Definitiondirekt aus obigem Beweis durch Einsetzen der Abschätzung für die konvektive Form. Bei Verwendungder Divergenzform wird zunächst eine Abschätzung der Divergenz durch den Gradienten benötigt. Dieseist durch Lemma 5.8 gegeben und bewiesen. Anschließend kann wie im Falle der konvektiven Form desnichtlinearen Terms verfahren werden. Für die Rotationsform gilt nach Hilfslemma 4.8

(∇ × u) × v = (v · ∇) u −(∇uT

)v ∀u, v ∈ C1 (Ω) .

21


Ausnutzen der Linearität des Skalarproduktes und Anwenden der Dreiecksungleichung ergibt dann

|brot (u, v,w)| = |((∇ × u) × v,w)|

=∣∣∣∣((v · ∇) u,w) −

((∇uT

)v,w

)∣∣∣∣≤ |((v · ∇) u,w)| +

∣∣∣∣((∇uT)

v,w)∣∣∣∣

= |bconv (v,u,w)| +∣∣∣∣((∇uT

)v,w

)∣∣∣∣ .Nun gilt für den zweiten Term der rechten Seite mit der Hölder-Ungleichung∣∣∣∣((∇uT

)v,w

)∣∣∣∣ ≤ ∥∥∥∥(∇uT)

v∥∥∥∥

L2(Ω)‖w‖L2(Ω)

und mit Cauchy-Schwarz ∣∣∣∣((∇uT)

v,w)∣∣∣∣ ≤ ∥∥∥∇uT

∥∥∥L2(Ω) ‖v‖L2(Ω) ‖w‖L2(Ω).

Daher folgt auch hier die Behauptung analog zur konvektiven Form.

Bemerkung 4.10Für u, v,w ∈ V folgt aus (4.9) durch Anwenden der Poincaré -Ungleichung

|b(u, v,w)| ≤ C‖∇u‖L2(Ω) ‖∇v‖L2(Ω) ‖∇w‖L2(Ω). (4.10)

Die nun folgende zweite Abschätzung wird insbesondere in der FE-Fehleranalysis der instationären Navier-Stokes-Gleichungen ihre Anwendung finden.

Lemma 4.11 (Eine Abschätzung für den konvektiven Term (II))Seien u, v,w ∈ V. Dann gilt

b (u, v,w) ≤ C ‖u‖1−sL2(Ω) ‖∇u‖sL2(Ω) ‖∇v‖L2(Ω) ‖∇w‖L2(Ω) , (4.11)

wobei s ∈ (0, 1] beliebig, d = 2 und b (·, ·, ·) entweder die konvektive, oder die schiefsymmetrische Formdes konvektiven Terms ist.

Beweis. Sei b (·, ·, ·) die konvektive Form des trilinearen Terms. Mit der verallgemeinerten Hölder-Unglei-chung für 1

p + 1q = 1

2 gilt

|bconv(u, v,w)| ≤ ‖u‖Lp(Ω)‖∇v‖L2(Ω)‖w‖Lq(Ω). (4.12)

Hieraus folgt mit dem ersten Teil des Sobolev’schen Einbettungssatzes 2.4 mit ε > 0 und der Poincaré-Ungleichung

|bconv(u, v,w)| ≤ C‖u‖L2+ε(Ω)‖∇v‖L2(Ω)‖∇w‖L2(Ω). (4.13)

Für p = 2, q = 2 + ε und m = s = ε2+ε

, ε > 0, ergibt sich durch erneutes Anwenden des Sobolev’schenEinbettungssatzes

|bconv(u, v,w)| ≤ C‖u‖Hs(Ω)‖∇v‖L2(Ω)‖∇w‖L2(Ω). (4.14)

Mit der, aus der Literatur bekannten, Sobolev’schen Interpolationsabschätzung, sowie durch Anwendungder Poincaré-Ungleichung ergibt schließlich

|bconv(u, v,w)| ≤ C‖u‖1−sL2(Ω)‖∇u‖sL2(Ω)‖∇v‖L2(Ω)‖∇w‖L2(Ω). (4.15)

22

4.4 Die Linearisierung des konvektiven Terms

4.4 Die Linearisierung des konvektiven Terms

Für die numerische Lösung der stationären Navier-Stokes-Gleichungen mit FEM wird eine Linearisierungdes konvektiven Terms benötigt. Sei hierfür un−1 eine bekannte Näherung. Es werden folgende Linearisie-rungen des konvetiven Terms betrachtet.

(a) die konvektive Form

bconv

(un−1,un, v

)=

((un−1 · ∇

)un, v

), (4.16)

(b) die schiefsymmetrische

bskew

(un−1,un, v

)=

12

(bconv

(un−1,un, v

)− bconv

(un−1, v,un

)), (4.17)

(c) die Rotationsform

brot

(un,un−1, v

)=

((∇ × un) × un−1, v

)(4.18)

oder

brot

(un−1,un, v

)=

((∇ × un−1

)× un, v

), (4.19)

sowie für

(d) die Divergenzform

bdiv

(un−1,un, v

)=

((un−1 · ∇

)un, v

)+

12

((∇ · un−1

)un, v

). (4.20)

Alle diese Linearisierungen führen zu Fixpunktiterationen, den sogenannten Picard-Iterationen.

Bemerkung 4.12Es wäre auch möglich ein Newton-Verfahren zur Lösung der nichtlinearen Navier-Stokes-Gleichungen zuverwenden. Da allerdings bei einem Newton-Verfahren die nichtlinearen Gleichungen in jedem Schrittexakt gelöst werden müssten, um die gewünschten Konvergenzordnungen zu erzielen und die Matrix Aaus (5.38) stets voll besetzt ist bringt die Verwendung eines Newton-Verfahrens aus numerischer Sichtkeine signifikanten Vorteile gegenüber den Picard-Iterationen. Des Weiteren sind die Eigenschaften derauftretenden Reaktionsterme (Terme 0-ter Ordnung) aus heutiger Sicht noch unklar.

23

5 Finite-Elemente-Methoden

Da die exakte Lösung der stationären Navier-Stokes-Gleichungen in der Regel nicht berechnet werdenkann, wird eine Diskretisierung zu ihrer Approximation verwendet.

Des Weiteren werden die Gleichungen iterativ gelöst, indem die nichtlinearen Navier-Stokes-Gleichungenzunächst linearisiert und dann die linearen Probleme gelöst werden. Für die Diskretisierung der linearenProbleme stehen zahlreiche Verfahren zur Auswahl. Eines dieser Verfahren ist das sogenannte Standard-Galerkin-Verfahren, welches in dieser Arbeit Verwendung findet.

Die verwendete Notation bezieht sich weitestgehend auf [BS08] und [Bra07].

5.1 Iteration zur Lösung des nichtlinearen Problems

Für die iterative Lösung der linearen Probleme wird in dieser Arbeit die Picard-Iteration, das heißt eineFixpunktiteration verwendet. Bei dieser Methode wird der linearisierte konvektive Term zunächst wie folgtapproximiert

b (un,un, v) ≈ b(un−1,un, v

),

wobei un−1 eine bekannte Näherung ist. Daher lautet die Iteration:

Sei(un−1, pn−1

)∈ V × Q, dann wird (un, pn) ∈ V × Q durch Lösen von

Re−1 (∇un,∇v) + b(un−1,un, v

)− (∇ · v, pn) = (f, v) , (5.1)

(∇ · un, q) = 0 (5.2)

für alle (v, q) ∈ V ×Q und alle n ∈ N, berechnet. Dabei ist b ( · , · , · ) eine beliebige Form des konvektivenTerms mit den in Abschnitt 4.4 angegebenen Linearisierungen.

5.2 Das Standard-Galerkin-Verfahren

Definition 5.1 (Finite-Elemente-Gitter) Sei Ω ⊂ Rd, d ∈ 2, 3, ein polygonal berandetes Gebiet. EineZerlegung Th von Ω in Dreiecke oder Vierecke, falls d = 2, bzw. Tetraeder oder Hexaeder, falls d = 3,heißt ein Gitter oder eine Triangulierung von Ω, falls

(i) Ω =⋃

K∈Th

K,

25


(ii) der Schnitt zweier Elemente Ki und K j, i , j, aus Th entweder leer, genau ein gemeinsamer Eck-punkt, genau eine vollständige gemeinsame Kante, oder im Dreidimensionalen genau eine vollstän-dige gemeinsame Fläche ist.

Die einzelnen Elemente K ⊂ Th werden Gitterzellen genannt und als abgeschlossen definiert. Der jeweiligeDurchmesser hK einer Gitterzelle sei der größte Abstand zwischen zwei Punkten aus K. Der maximaleDurchmesser h sei als das Maximum über alle Durchmesser hK definiert, d. h. h B max

K∈Th

hK.

Die so definierten Gitter werden auch zulässige Gitter genannt. Ein Beispiel für eine zulässige und unzu-lässige Triangulierungen mit Dreiecken ist in Abbildung 5.1 zu sehen.

Abbildung 5.1: Beispiel für eine unzulässige Triangulierung mit hängendem Knoten (links) und eine zu-lässige Triangulierung (rechts).

Definition 5.2 ((Quasi-)uniformes Gitter) Eine Familie von Zerlegungen Th heißt quasiuniform, wenneine Zahl κ > 0 existiert, sodass jedes K ∈ Th einen Kreis vom Radius ρK mit

ρK ≥hK

2κ

enthält.

Eine Familie von Zerlegungen Th heißt uniform, falls es eine Zahl κ > 0 gibt, sodass jedes Element Kaus Th einen Kreis mit Radius

ρK ≥h2κ

enthält.

Definition 5.3 (Finites Element) Seien

(i) K ⊆ Rn eine beschränkte, abgeschlossene nichtleere Menge mit stückweise glattem Rand,

(ii) P ein endlich-dimensionaler Funktionenraum auf K und

(iii) N = N1,N2, . . . ,Nk eine Basis von P′.

Dann wird das Tripel (K,P,N) ein Finites Element genannt.

26

5.2 Das Standard-Galerkin-Verfahren

Bemerkung 5.4

• Es wird implizit angenommen, dass die Knotenvariablen Ni in dem Dualraum eines größeren Funk-tionenraumes, z. B. einem Sobolev-Raum, liegt.

• In dieser Arbeit wird stets die Kotenbasis ϕ1, ϕ2, . . . , ϕk von P verwendet, d. h. es gilt Ni

(ϕ j

)= δi j.

Definition 5.5 (Lokale Interpolatierte) Gegeben sei ein Finites Element (K,P,N). Weiter sei die Mengeϕi : 1 ≤ i ≤ k ⊆ P die zu N duale Basis. Falls v eine Funktion ist, für welche alle Ni ∈ N , i = 1, . . . , k,definiert sind, dann ist die lokale Interpolierte definiert durch

IKv Bk∑

i=1

Ni (v)ϕi. (5.3)

Definition 5.6 (Finite-Elemente-Räume) Die Interpolierte heißt stetig bis zum Grad r, kurz ist Cr, fallsfür alle f ∈ Cm

(Ω)

gilt, dass IK f ∈ Cr ist. Der Raum VK = IK f : f ∈ Cm wird ein Cr-Finite-Elemente-Raum genannt.

In Abbildung 5.2 sind die Knoten für verschiedene Lagrange-Elemente der Ordnung k = 1, . . . , 3 darge-stellt. Weitere Beispiele für die Konstruktion solcher FE-Räume sind bei [BS08], Kapitel 3 zu finden.

••

Abbildung 5.2: Knoten der Lagrange-Elemente auf Dreiecksgittern für k = 1, . . . , 3.

In dieser Arbeit werden ausschließlich Finite-Elemente-Methoden (FEM) mit inf-sup stabilen Paaren be-trachtet. Dies bedeutet, dass nur FE-Räume Vh für die Geschwindigkeit und Qh für den diskreten Druckbetrachtet werden, welche die (diskrete) inf-sup Bedingung erfüllen, d. h. es existiert eine von h unabhän-gige Konstante β f e > 0, sodass

infqh∈Qh

supvh∈Vh

(∇ · vh, qh)|vh|1 ‖qh‖0

≥ β f e (5.4)

ist. Dabei bezeichnet ‖·‖0 wie üblich die L2-Norm und |·|1 die Halbnorm des H1 (Ω). Die inf-sup Bedingung(5.4) ist daher so wichtig, weil diese die Eindeutigkeit der Lösung des diskreten Systems garantiert. DesWeiteren werden ausschließlich konforme FEM betrachtet, d. h. es sind Vh ⊂ V und Qh ⊂ Q.

Finite-Elemente-Formulierung der stationären Navier-Stokes-GleichungenSeien Vh ⊂ V und Qh ⊂ Q zwei inf-sup stabile Finite-Elemente-Räume, d. h. Vh und Qh erfüllen (5.4).Dann ist eine FE-Diskretisierung der stationären Navier-Stokes-Gleichungen gegeben durch:

Finde (uh, ph) ∈ Vh × Qh, sodass

Re−1 (∇uh,∇vh) + b (uh,uh, vh) − (ph,∇ · vh) = (f, vh) ∀vh ∈ Vh, (5.5)(qh,∇ · uh) = 0 ∀qh ∈ Qh. (5.6)

27


Das Problem (5.5), (5.6) ist äquivalent zu:

Finde (uh, ph) ∈ Vdivh × Qh, sodass

Re−1 (∇uh,∇vh) + b (uh,uh, vh) − (∇ · vh, ph) + (∇ · uh, qh) = (f, vh) (5.7)

für alle (vh, qh) ∈ Vdivh × Qh. Aufgrund der inf-sup Bedingung (5.4) ist der diskrete divergenzfreie Ge-

schwindigkeitsraum Vdivh nicht leer. Daher kann das Problem auch in der Form:

Re−1 (∇uh,∇vh) + b (uh,uh, vh) = (f, vh) ∀vh ∈ Vdivh (5.8)

geschrieben werden.

Die Existenz und Eindeutigkeit der Lösung wird wie im kontinuierlichen Fall bewiesen.

Satz 5.7 (Stabilität der FE-Lösung der Geschwindigkeit)Seien Vh×Qh zwei inf-sup-stabile FE-Räume. Dann ist die FE-Lösung der Geschwindigkeit der stationärenNavier-Stokes-Gleichungen bzgl. der schiefsymmetrischen Form des konvektiven Terms stanbil und es gilt:

‖∇uh‖L2(Ω) ≤ Re ‖f‖H−1(Ω) . (5.9)

Beweis. Zunächst wird die Lösung uh als Testfunktion gewählt und in die FE-Formulierung (5.5) einge-setzt. Der nichtlineare Term verschwindet, da die letzten beiden Argumente identisch sind, vgl. (4.7). Esergibt sich daher

Re−1 ‖∇uh‖2L2(Ω) = (f,uh) .

Anwendung des Dualitätsargumentes liefert dann

Re−1 ‖∇uh‖2L2(Ω) ≤ ‖f‖H−1(Ω) ‖∇uh‖L2(Ω)

und teilen durch ‖∇uh‖L2(Ω) schließlich die Behauptung.

5.3 Finite-Elemente-Fehleranalysis

Die Fehleranalysis der Navier-Stokes-Gleichungen wird hier mit der schiefsymmetrischen Form des kon-vektiven Terms durchgeführt.

Zunächst liefert das folgende Lemma eine Abschätzung der Divergenz durch den Gradienten.

Lemma 5.8 (Abschätzung der Divergenz durch den Gradienten)Sei Ω ⊂ Rd, dann gilt

‖∇ · v‖L2(Ω) ≤√

d ‖∇v‖L2(Ω) ∀v ∈ H1 (Ω) . (5.10)

Beweis. Sei v = (v1, . . . , vd)T . Dann folgt mit der Cauchy-Schwarz-Ungleichung für Summen

‖∇ · v‖2L2(Ω) =

∫Ω

d∑i=1

∂ivi

2

dx ≤∫Ω

d∑i=1

1

d∑

i=1

(∂ivi)2

dx ≤ d∫ d∑

i, j=1

(∂ jvi

)2dx = d ‖∇v‖2L2(Ω)

und damit die Behauptung.

28


Bemerkung 5.9Die obige Abschätzung ist sogar scharf.

Des Weiteren wird eine Abschätzung der Interpolation für den diskreten, divergenzfreien Geschwindig-keitsraum Vdiv

h benötig. Diese liefert der folgende Satz.

Satz 5.10 (Interpolationsabschätzung für Vdivh )

Sei v ∈ Vdiv und sei die diskrete inf-sup-Bedingung (5.4) erfüllt. Dann gilt

infvh∈Vdiv

h

‖∇ (v − vh) ‖L2(Ω) ≤

1 +

√d

β f e

infwh∈Vh

‖∇ (v − wh) ‖L2(Ω). (5.11)

Beweis. Sei wh ∈ Vh beliebig. Da die diskrete inf-sup-Bedingung erfüllt ist, ist der Raum Vdivh nicht leer

und es existiert ein Isomorphismus

B :(Vdiv

h

)⊥→ (Qh)′ = Qh mit ‖Bv‖Q′ ≥ β f e ‖v‖V ∀v ∈

(Vdiv

h

)⊥,

vgl. [GR86], Seite 58 , Lemma 4.1. Da v im schwachen Sinne divergenzfrei ist, existiert ein eindeutigeszh ∈

(Vdiv

h

)⊥, sodass

− (∇ · zh, qh) = − (−wh, qh) = − (v − wh, qh) ∀qh ∈ Qh,

wobei (∇ · v, qh) = 0. Aus [GR86], Lemma 4.1 folgt ebenfalls, dass

‖∇zh‖L2(Ω) ≤1β f e‖B (v − wh) ‖L2(Ω) ≤

√d

β f e‖∇ (v − wh) ‖L2(Ω). (5.12)

Wird nun vh = zh + wh gesetzt, dann gilt für alle qh ∈ Qh

− (∇ · vh, qh) = − (∇ · zh, qh) − (∇ · wh, qh) = − (∇ · (v − wh) , qh) − (∇ · wh, qh) = − (∇ · v, qh) = 0.

Daher folgt, dass vh ∈ Vdivh ist und mit (5.12) ergibt sich die Abschätzung

‖∇ (v − vh) ‖L2(Ω) ≤ ‖∇ (v − wh) ‖L2(Ω) + ‖∇zh‖L2(Ω) ≤

1 +

√d

β f e

‖∇ (v − wh) ‖L2(Ω).

Da wh ∈ Vh beliebig war, kann für jedes wh ein vh ∈ Vdivh so gewählt werden, dass diese Abschätzung gilt.

Satz 5.11 (FE-Fehlerabschätzung des Gradienten der Geschwindigkeit in der L2 (Ω)-Norm)Sei Ω ⊂ Rd, d ∈ 2, 3, ein beschränktes Gebiet mit polyhedrischem Lipschitz-Rand Γ. Des Weiteren seiRe2 ‖f‖H−1(Ω) hinreichend klein, so dass die Navier-Stokes-Gleichungen (3.5), (3.6) eine eindeutige Lösung(u, p) ∈ V ×Q besitzen. Angenommen dieses Problem sei mit inf-sup-stabilen FE-Räumen Vh ×Qh diskre-tisiert und uh ∈ Vdiv

h bezeichne die Lösung der Geschwindigkeit. Dann gilt die folgende Fehlerabschätzung

‖∇ (u − uh) ‖L2(Ω) ≤ C((

1 + Re2 ‖f‖H−1(Ω)

)inf

vh∈Vh‖∇ (u − vh) ‖L2(Ω) + Re inf

qh∈Qh‖q − qh‖L2(Ω)

). (5.13)

Beweis. Da der Raum Vdivh aufgrund der (diskreten) inf-sup-Bedingung nicht leer ist, können als Testfunk-

tionen in (3.5), (3.6) auch Funktionen vh ∈ Vdivh gewählt werden. Dies führt zu(

Re−1 ∇u,∇vh

)+ bskew (u,u, vh) − (p,∇ · vh) + (∇ · u, q) = (f, vh)

29


für alle (vh, q) ∈ Vdivh × Q. Subtraktion von (5.8) und mit (qh,∇ · vh) = 0 für alle vh ∈ Vdiv

h liefert dann

Re−1 (∇ (u − uh) ,∇vh) + bskew (u,u, vh) − bskew (uh,uh, vh) − (p − qh,∇ · vh) = 0, (5.14)

für alle (vh, qh) ∈ Vdivh × Qh. Dieser Fehler kann nun in den Interpolationsfehler und einen diskreten

Restterm aufgeteilt werden:

u − uh = (u − Ihu) − (uh − Ihu) B η − ϕh, (5.15)

wobei Ihu die Interpolierte von u in Vdivh ist. Daher hängt der Interpolationsfehler η ausschließlich von den

FE-Räumen ab. Einsetzen der Zerlegung (5.15) in die Fehlergleichung (5.14) mit vh = ϕh ∈ Vdivh ergibt

Re−1 (∇

(η − ϕh

),∇ϕh

)+ bskew

(u,u,ϕh

)− bskew

(uh,uh,ϕh

)−

(p − qh,∇ · ϕh

)= 0

⇔ Re−1 (∇η,∇ϕh

)− Re−1 (

∇ϕh,∇ϕh)︸︷︷︸

=‖∇ϕh‖2L2(Ω)

+bskew(u,u,ϕh

)− bskew

(uh,uh,ϕh

)−

(p − qh,∇ · ϕh

)= 0.

Dies ist wiederum äquivalent zu

Re−1 ‖∇ϕh‖2L2(Ω) = Re−1 (

∇η,∇ϕh)

+ bskew(u,u,ϕh

)− bskew

(uh,uh,ϕh

)−

(p − qh,∇ · ϕh

). (5.16)

Im Folgenden werden nun die einzelnen Terme auf der rechten Seite der Gleichung separat abgeschätzt.Für den ersten und den letzten Term erfolgt dies durch anwenden der Cauchy-Schwarz-Ungleichung undder Ungleichung von Young:

Re−1 (∇η,∇ϕh

)≤ Re−1 ‖∇η‖L2(Ω)‖∇ϕh‖L2(Ω)

≤ 2 Re−1 ‖∇η‖2L2(Ω) +18

Re−1 ‖∇ϕh‖2L2(Ω), (5.17)

∣∣∣− (p − qh,∇ · ϕh

)∣∣∣ ≤ ‖p − qh‖L2(Ω)‖∇ · ϕh‖L2(Ω)

≤√

d ‖p − qh‖L2(Ω)‖∇ϕh‖L2(Ω)

≤ 2d Re ‖p − qh‖2L2(Ω) +

18

Re−1 ‖∇ϕh‖2L2(Ω). (5.18)

In der zweiten Rechnung wurde bei der zweiten Ungleichung, die Abschätzung (5.10) der Divergenz durchden Gradienten im Rd verwendet. Einsetzen dieser Ergebnisse in (5.16) ergibt

34

Re−1 ‖∇ϕh‖2L2(Ω) ≤ Re−1 ‖∇η‖2L2(Ω) + bskew

(u,u,ϕh

)− bskew

(uh,uh,ϕh

)+ 2d Re ‖p − qh‖

2L2(Ω). (5.19)

Nun werden die nichtlinearen Terme bskew(u,u,ϕh

)− bskew

(uh,uh,ϕh

)abgeschätzt. Dies geschieht mittels

Nulladdition mit den gemischten Termen ±bskew(uh,u,ϕh

)und Ausnutzen der Trilinearität des konvekti-

ven Terms:

bskew(u,u,ϕh

)− bskew

(uh,uh,ϕh

)= bskew

(u,u,ϕh

)− bskew

(uh,u,ϕh

)+ bskew

(uh,u,ϕh

)− bskew

(uh,uh,ϕh

)= bskew

(u − uh,u,ϕh

)+ bskew

(uh,u − uh,ϕh

). (5.20)

Aus der Definition von u − uh, vgl. (5.15), und der Trilinearität des konvektiven Terms folgt dann, dass

bskew(u − uh,u,ϕh

)+ bskew

(uh,u − uh,ϕh

)= bskew

(η − ϕh,u,ϕh

)+ bskew

(uh, η − ϕh,ϕh

)= bskew

(η,u,ϕh

)− bskew

(ϕh,u,ϕh

)+ bskew

(uh, η,ϕh

),

wobei der Term bskew(uh,ϕh,ϕh

)aufgrund der Definition der schiefsymmetrischen Form des nichtlinearen

Terms für v = w verschwindet. Es ist zu beachten, dass im folgenden C eine generische Konstante darstellt.

30


Anwenden des Satzes über die Abschätzung der Nichtlinearität (4.9) und der Ungleichung von Youngsowie von (3.9) ergibt für den ersten Term

bskew(η,u,ϕh

)≤ C‖∇η‖L2(Ω)‖∇u‖L2(Ω)‖∇ϕh‖L2(Ω)

≤ 2C Re ‖∇η‖2L2(Ω)‖∇u‖2L2(Ω) +18

Re−1 ‖∇ϕh‖2L2(Ω)

≤ C Re3 ‖∇η‖2L2(Ω)‖f‖2H−1(Ω) +

18

Re−1 ‖∇ϕh‖2L2(Ω). (5.21)

Analog hergeleitete lautet die Abschätzung des letzten Termes

bskew(uh, η,ϕh

)≤ C Re3 ‖∇η‖2L2(Ω)‖f‖

2H−1(Ω) +

18

Re−1 ‖∇ϕh‖2L2(Ω). (5.22)

Für den zweiten Term wird benötigt, dass die Daten hinreichend klein sind, sodass∣∣∣−bskew(ϕh,u,ϕh

)∣∣∣ ≤ C‖∇ϕh‖L2(Ω)‖∇u‖L2(Ω)‖∇ϕh‖L2(Ω)

= C‖∇u‖L2(Ω)‖∇ϕh‖2L2(Ω)

≤ C Re2 ‖f‖H−1(Ω)

(18

Re−1 ‖∇ϕh‖2L2(Ω)

). (5.23)

Einsetzen in (5.16), umstellen nach ‖∇ϕh‖2L2(Ω) und Multiplikation mit 2 Re führt zu

‖∇ϕh‖2L2(Ω) ≤ C

(‖∇η‖2L2(Ω) + Re4 ‖∇η‖2L2(Ω)‖f‖

2H−1(Ω) + Re2 ‖p − qh‖

2L2(Ω) + Re2 ‖f‖H−1(Ω) ‖∇ϕh‖

2L2(Ω)

).

Für Re2 ‖f‖H−1(Ω) hinreichend klein, wird der letzte Term von der linken Seite absorbiert. Es folgt daher

‖∇ϕh‖2L2(Ω) ≤ C

(‖∇η‖2L2(Ω)

(1 + Re4 ‖f‖2H−1(Ω)

)+ Re2 ‖p − qh‖

2L2(Ω)

).

Da es sich um Normen handelt und diese stets ≥ 0 sind, gilt

‖∇ϕh‖L2(Ω) ≤ C(‖∇η‖L2(Ω)

(1 + Re2 ‖f‖H−1(Ω)

)+ Re ‖p − qh‖L2(Ω)

).

Unter Verwendung der Dreiecksungleichung ergibt sich die Abschätzung

‖∇ (u − uh) ‖L2(Ω) = ‖∇η − ∇ϕh‖L2(Ω)

≤ ‖∇η‖L2(Ω) + ‖∇ϕh‖L2(Ω)

≤ C(‖∇η‖L2(Ω)

(1 + Re2 ‖f‖H−1(Ω)

)+ Re ‖p − qh‖L2(Ω)

). (5.24)

Aus Satz 5.10 folgt schließlich die Behauptung.

Satz 5.12 (FE-Fehlerabschätzung für den Druck in der L2 (Ω)-Norm)Seien alle Annahmen des Satzes 5.11 erfüllt. Dann gilt für die Diskretisierung des Druckes ph die Fehler-abschätzung

‖p − ph‖L2(Ω) ≤ C Re−1(1 + Re2 ‖f‖H−1(Ω)

)2(

1βfe

+1

(βfe)2

)inf

vh∈Vh‖∇ (u − vh) ‖L2(Ω)+

C(

1βfe

(1 + Re2 ‖f‖H−1(Ω)

)+

(1 +

1βfe

))inf

qh∈Qh‖q − qh‖L2(Ω), (5.25)

wobei die Konstanten von dem jeweiligen Gebiet Ω abhängen.

31


Beweis. Zunächst wird eine Nulladdition mit ±qh ∈ Qh durchgeführt. Dann folgt aus der Dreiecksunglei-chung, dass

‖p − ph‖L2(Ω) = ‖p − qh + qh − ph‖L2(Ω) ≤ ‖p − qh‖L2(Ω) + ‖ph − qh‖L2(Ω). (5.26)

Für die Abschätzung des zweiten Terms der rechten Seite wird wieder von der diskreten inf-sup-Bedingung(5.4) ausgegangen. Dies führt zu

‖ph − qh‖L2(Ω) ≤1βfe

supvh∈Vh

(∇ · vh, ph − qh)‖∇vh‖L2(Ω)

.

Wird für (∇ · vh, ph − qh) die FE-Formulierung (5.5), (5.6) eingesetzt und diese dann von der schwachenFormulierung (3.5), (3.6) subtrahiert, so ergibt sich

‖p − ph‖L2(Ω) =1βfe

supvh∈Vh

Re−1 (∇ (u − uh) ,∇vh) + bskew (u,u, vh) − bskew (uh,uh, vh) − (∇ · vh, p − qh)‖∇vh‖L2(Ω)

.

(5.27)

Nun werden die einzelnen Terme des Zählers separat abgeschätzt. Der erste Term wird mit Hilfe derCauchy-Schwarz-Ungleichung abgeschätzt. Es gilt

Re−1 (∇ (u − uh) ,∇vh) ≤ Re−1 ‖∇ (u − uh) ‖L2(Ω)‖∇vh‖L2(Ω). (5.28)

Die trilinearen Terme lassen sich wie folgt schreiben, vgl. (5.20),

bskew (u,u, vh) − bskew (uh,uh, vh) = bskew (u − uh,u, vh) − bskew (uh,u − uh, vh) . (5.29)

Für diese gilt mit Satz (4.9), der Poincaré-Ungleichung für Lp-Räume (??) und (3.9) bzw. (??)

|bskew (u − uh,u, vh)| ≤ C‖∇ (u − uh) ‖L2(Ω)‖u‖L2(Ω)‖∇vh‖L2(Ω)

≤ C‖∇ (u − uh) ‖L2(Ω)‖∇u‖L2(Ω)‖∇vh‖L2(Ω)

≤ C Re ‖∇ (u − uh) ‖L2(Ω)‖ f ‖H−1(Ω)‖∇vh‖L2(Ω),

|−bskew (uh,u − uh, vh)| ≤ C‖∇ (u − uh) ‖L2(Ω)‖uh‖L2(Ω)‖∇vh‖L2(Ω)

≤ C‖∇ (u − uh) ‖L2(Ω)‖∇uh‖L2(Ω)‖∇vh‖L2(Ω)

≤ C Re ‖∇ (u − uh) ‖L2(Ω)‖ f ‖H−1(Ω)‖∇vh‖L2(Ω).

Mit Hilfe der Cauchy-Schwarz-Ungleichung, sowie der Abschätzung der Norm der Divergenz durch denGradienten (5.10) abgeschätzt ergibt sich für den letzten Term

(∇ · vh, p − qh) ≤ ‖∇ · vh‖L2(Ω)‖p − qh‖L2(Ω) ≤√

d‖∇vh‖L2(Ω)‖p − qh‖L2(Ω).

Einsetzen dieser Abschätzungen in (5.27) liefert dann

‖p − ph‖L2(Ω) ≤1βfe

(Re−1 ‖∇ (u − uh) ‖L2(Ω) + C Re ‖∇ (u − uh) ‖L2(Ω)‖ f ‖H−1(Ω)+

C Re ‖∇ (u − uh) ‖L2(Ω)‖ f ‖H−1(Ω) +√

d‖p − qh‖L2(Ω)

)≤

Cβfe

((Re−1 + Re ‖ f ‖H−1(Ω)

)‖∇ (u − uh) ‖L2(Ω) + ‖p − qh‖L2(Ω)

).

32

5.4 Implementation der FEM

Dies wird wiederum in (5.26) eingesetzt. Es ist also

‖p − ph‖L2(Ω) ≤ ‖p − qh‖L2(Ω) +Cβfe

((Re−1 + Re ‖ f ‖H−1(Ω)

)‖∇ (u − uh) ‖L2(Ω) + ‖p − qh‖L2(Ω)

)=

Cβfe

Re−1((

1 + Re2 ‖ f ‖H−1(Ω)

)‖∇ (u − uh) ‖L2(Ω) +

(1 +

Cβfe

)‖p − qh‖L2(Ω)

).

Durch Einsetzen der Abschätzung für ‖∇ (u − uh) ‖L2(Ω) aus Satz (5.11) folgt die Behauptung.

Für uniforme Gitter lassen sich die Approximationseigenschaften der FE-Räumen konkretisieren.

Korollar 5.13 (Finite Elemente Fehlerabschätzung für konforme FE-Räume)Seien alle Annahmen des Satzes (5.11) erfüllt. Sei das Gebiet Ω mittels einer regulären und quasi- uni-formen Triangulierung Th diskretisiert. Ferner sei (u, p) eine Lösung der stationären, inkompressiblenNavier-Stokes-Gleichungen (3.5), (3.6), mit u ∈ Hk+1 (Ω) ∩ V und p ∈ Hk (Ω) ∩ Q. Dann gelten für dieinf-sup-stabilen Paare von FE-Räumen

Pbubblek /Pk, k = 1 (Mini-Element), Pk/Pk−1, Qk/Qk−1, k ≥ 2, (Taylor-Hood-Element) und

Pbubblek /Pdisc

k−1 , Qk/Pdisck−1 , k ≥ 2,

die folgenden Fehlerabschätzungen

‖∇ (u − uh) ‖L2(Ω) ≤Ck

h

(Re2 ‖u‖Hk+1(Ω) + Re ‖p‖Hk(Ω)

), (5.30)

‖p − ph‖L2(Ω) ≤ Chk(Re3 ‖u‖Hk+1(Ω) + Re2 ‖p‖Hk(Ω)

), (5.31)

wobei die Konstanten von dem jeweiligen Gebiet und der diskreten inf-sup-Konstante βfe abhängen.

Beweis. Die Abschätzungen folgen direkt aus denen der Sätze (5.11) und (5.12), sowie aus den Approxi-mationseigenschaften der FE-Räume.


Betrachtet wird das linearisierte diskrete Navier-Stokes-Problem:

Finde(un

h, pnh

)∈ Vh × Qh, sodass

Re−1(∇un

h,∇vh

)+ b

(un−1

h ,unh, vh

)−

(∇ · vh, pn

h

)= (fh, vh) ∀vh ∈ Vh, (5.32)

−(∇ · un

h, qh

)= 0 ∀qh ∈ Qh. (5.33)

Für die Implementation der Finite-Elemente-Methode werden der diskrete Geschwindigkeitsraum Vh derDimension 2Nv (Freiheitsgrade der Geschwindigkeit) und der diskrete Druckraum Qh mit Dimension Np

(Freiheitsgrade des Druckes) zunächst mit einer Basis versehen:

Vh = spanϕih

2Nvi=1 = span

(ϕi

h0

)Nv

i=1∪

(0ϕi

h

)Nv

i=1

, (5.34)

Qh = spanqih

Np

i=1, (5.35)

33


wobei in (5.34) jede Basisfunktion nur in einer Komponente nicht verschwindet. Die Funktionen ϕih sind

dabei die gewöhnlichen Knotenbasisfunktionen, welche durch ϕih = δi j definiert sind.

Damit ergibt sich für uh und ph die jeweilige eindeutige Darstellung

uh =

2Nv∑j=1

u jh ϕ

jh, (5.36)

ph =

Np∑j=1

p jh q j

h, (5.37)

mit den unbekannten, reellen Koeffizienten u jh und p j

h.

Einsetzen von (5.36), (5.37) in das linearisierte, diskrete Navier-Stokes-Problem (5.32), (5.33) und dieWahl der Testfunktionen vh = ϕi

h ergibt ein lineares Gleichungssystem der Form(A BT

B 0

) (uh

ph

)=

(fh

0

), (5.38)

wobei fh =∑2Nv

j=1 f jh ϕ

jh ist. Die Matrix A ist eine additive Verknüpfung einer Matrix C und einer Matrix

D, wobei C viskose Matrix und D ∈ Dconv, Dskew, Drot, Ddiv konvektive Matrix genannt wird. DieseMatrizen werden im Folgenden nun genauer definiert.

Für den viskosen Term gilt unter Verwendung der obigen Darstellung von uh

Re−1(∇un

h,∇ϕih

)= Re−1

2Nv∑j=1

u jh

(∇ϕ j

h,∇ϕih

).

Die komponentenweisen Matrixeinträge für die Matrix C sind daher gegeben durch

(C)i j = Re−1d∑

k=1

∫Ω

(∇ϕ j

h

)k

(∇ϕi

h

)k

dx. (5.39)

Da das Produkt verschwindet, wenn ϕ jh oder ϕi

h in der k-ten Komponente null ist, und ansonsten von derKomponente unabhängig ist, hat die Matrix C die Gestalt

C =

(C11 00 C11

),

wobei C11 ∈ Rd×d ist. Im Folgenden wird die Matrix D für die verschiedenen Formen des konvektiven

Terms bestimmt. Für die konvektive Form ergibt sich, unter Berücksichtigung der Linearisierung des kon-vektiven Terms, mit obigem Ansatz für un

h und geeigneten Testfunktionen ϕih die Darstellung

bconv

(un−1

h ,unh,ϕ

ih

)=

((un−1

h · ∇)

unh,ϕ

ih

)=

2Nv∑j=1

u jh

((un−1

h · ∇)ϕ j

h,ϕih

).

Daher sind die komponentenweisen Matrix-Einträge gegeben durch

(Dconv)i j =

∫Ω

(un−1

h · ∇)ϕ j

h · ϕih dx =

d∑k=1

∫Ω

((un−1

h · ∇)ϕ j

h

)k

(ϕi

h

)k

dx,

34


wobei der Integrand verschwindet, sobald die k-te Komponente eines Faktors null ist. Falls ϕih und ϕ j

h inderselben Komponente nicht verschwinden, so ist der Matixeintrag, wie bereits bei der viskosen Matrix,unabhängig von der Komponente selbst. Die Matrix Dconv ist daher blockdiagonal, wobei beide Blöckeidentisch sind, d. h.

Dconv =

(D11 00 D11

).

Ebenso ergibt sich für die schiefsymmetrische Form eine Blockdiagonalmatrix mit zwei identischen Blö-cken, denn es ist

bskew

(un−1,un,ϕi

h

)=

12

(bconv

(un−1,un,ϕi

h

)− bconv

(un−1,ϕi

h,un))

=

2Nv∑j=1

u jh

((un−1

h · ∇)ϕ j

h,ϕih

)−

2Nv∑j=1

u jh

((un−1

h · ∇)ϕi

h,ϕjh

) ,woraus folgt, dass die komponentenweisen Matrixeinträge, wie oben, durch

(Dskew)i j =12

d∑k=1

∫Ω

((un−1

h · ∇)ϕ j

h

)k

(ϕi

h

)k

dx −d∑

k=1

∫Ω

((un−1

h · ∇)ϕi

h

)k

(ϕ j

h

)k

dx

gegeben sind. Es ergibt sich somit die Matrix

Dskew =

(D11 00 D11

).

Im Falle der Rotationsform des konvektiven Terms stehen, wie bereits erwähnt, zwei Linearisierungen zurVerfügung, welche zu verschiedenen Matrizen D führen. Zuerst wird die Linearisierung brot

(un−1

h ,unh,ϕ

ih

)betrachtet. Es gilt

brot

(un−1

h ,unh,ϕ

ih

)=

((∇ × un−1

h

)× un

h,ϕih

)=

2Nv∑j=1

u jh

((∇ × un−1

h

)× ϕ j

h,ϕih

)und daher (

Drot

)i j

=

∫Ω

−ϕj2,hϕ

i1,h

(∂xun−1

2,h − ∂yun−11,h

)+ ϕ

j1,hϕ

i2,h

(∂xun−1

2,h − ∂yun−11,h

)dx

=

∫Ω

[(∂xun−1

2,h − ∂yun−11,h

) (−ϕ

j2,hϕ

i1,h + ϕ

j1,hϕ

i2,h

)]dx.

Im Gegenteil zu den beiden oben betrachteten Formen, fallen hier die Einträge auf der Hauptdiagonalenweg und die gemischten Terme auf der Nebendiagonalen bleiben erhalten, d. h.

Drot =

(0 D12−DT

12 0

).

Werden nun jedoch un−1h und un

h vertauscht, ergibt sich Folgendes:

brot

(un

h,un−1h ,ϕi

h

)=

((∇ × un

h

)× un−1

h ,ϕih

)=

2Nv∑j=1

u jh

((∇ × ϕ j

h

)× un−1

h ,ϕih

)

35


und daher

(Drot)i j =

∫Ω

un−12,h ϕ

i1,h

(∂xϕ

j2,h − ∂yϕ

j1,h

)− un−1

1,h ϕi2,h

(∂xϕ

j2,h − ∂yϕ

j1,h

)dx

=

∫Ω

[(∂xϕ

j2,h − ∂yϕ

j1,h

) (un−1

2,h ϕi1,h − un−1

1,h ϕi2,h

)]dx.

Daher ergibt sich für die zweite Linearisierung der Rotationsform die folgende Blockmatrix Drot

Drot =

(D11 D12D21 D22

).

Im Gegensatz zu brot

(un−1

h ,unh,ϕ

ih

), wo nur Terme 0.-Ordnung auftreten, gibt es hier aber wieder Terme 1.

Ordnung .

Bemerkung 5.14Bei Verwendung der Rotationsform brot

(un−1

h ,unh,ϕ

ih

)würde aus mathematischer Sicht das Speichern von

zwei Matrizen für den konvektiven Term genügen, aus programmtechnischen Gründen werden allerdingsalle vier Matrizen gespeichert. Dies bedeutet, dass bei dieser Rotationsform ein erhöhter Speicheraufwandbesteht. Des Weiteren sind die Matrix-Vektorprodukte der Rotationsform aus numerischer Sicht teurer.

Bei der Divergenzform des konvektiven Terms genügt wieder eine Blockdiagonalmatrix mit zwei identi-schen Blöcken. Ähnlich wie bei der konvektiven Form ergeben sich aus

bdiv

(un−1

h ,unh,ϕ

ih

)= bconv

(un−1

h ,unh,ϕ

ih

)+

12

((∇ · un−1

h

)un

h,ϕih

)=

2Nv∑j=1

u jh

((un−1

h · ∇)ϕ j

h,ϕih

)+

12

2Nv∑j=1

u jh

((∇ · un−1

h

)ϕ j

h,ϕih

)die komponentenweisen Matrixeinträge

(Ddiv)i j =

d∑k=1

∫Ω

((∇ · un−1

h

)ϕ j

h

)k

(ϕi

h

)k

dx +

d∑k=1

∫Ω

((un−1

h · ∇)ϕ j

h

)k

(ϕi

h

)k

dx.

Daher besitzt Ddiv die folgende Gestalt

Ddiv =

(D11 00 D11

).

36

6 Numerische Beispiele für die stationärenNavier-Stokes-Gleichungen

In diesem Kapitel sollen die Auswirkungen der verschiedenen Formen des konvektiven Terms auf dieLösung von stationären Navier-Stokes-Problemen genauer untersucht werden. Hierzu wird zunächst einBeispiel mit analytischer Lösung betrachtet, um zu prüfen, ob die Methoden für die verschiedenen Formendes konvektiven Terms richtig implementiert worden sind. Anschließend wird das Benchmark-Problem„Strömung um einen Zylinder mit Re = 20“ vorgestellt.

6.1 Ein Beispiel mit analytischer Lösung

6.1.1 Problembeschreibung

Das hier betrachtete Beispiel behandelt eine stationäre Strömung auf dem zweidimensionalen Einheits-quadrat Ω = (0, 1)2 mit homogenen Dirichletranddaten. Die Lösung u des Problems ist hierbei bekannt.

Gegeben seien Ω = (0, 1)2 und die Stromungfunktion

ψ = 100x2 (1 − x)2 y2 (1 − y)2 .

Dann ist das Geschwindigkeitsfeld definiert durch

u =

(∂yψ−∂xψ

)=

∂y

(100x2 (1 − x)2 y2 (1 − y)2

)−∂x

(100x2 (1 − x)2 y2 (1 − y)2

)=

∂y

(100x2 (1 − x)2 y2 (1 − y)2

)−∂x

(100x2 (1 − x)2 y2 (1 − y)2

)=

2y(1 − 3y + 2y2

) (100x2 (1 − x)2

)−200x

(1 − 3x + 2x2

) (y2 (1 − y)2

)= 200

(x2 (1 − x)2 y (1 − y) (1 − 2y)−x (1 − x) (1 − 2x) y2 (1 − y)2

). (6.1)

Für die Divergenz ∇ · u ergibt sich daher mit dem Satz von Schwarz

∇ · u = ∂xu1 + ∂yu2 = ∂x

(∂yψ

)+ ∂y (−∂xψ) = ∂x∂yψ − ∂x∂yψ = 0.

37

6 Numerische Beispiele für die stationären Navier-Stokes-Gleichungen

Da für das Beispiel auf dem gesamten Rand Haftbedingungen gelten, d. h. u = 0 auf Γ = ∂Ω, ist auchdie Kompatibilitätsbedingung (2.15) erfüllt. Des Weiteren sollte der Druck p bei der Verwendung vonhomogenen Dirichletrandbedingungen im Raum L2

0 (Ω) liegen. Für dieses Beispiel wurde die Funktion

p = 10((

x − 12

)3y2 + (1 − x)3

(y − 1

2

)3)

für den Druck gewählt. Daher liegt die Lösung des Problems in dem Raum Q4/Q3.

Aufgrund der homogenen Dirichletrandbedingungen auf dem gesamten Rand, ist dieses Beispiel für dieUntersuchung vieler Ergebnisse aus der Analysis der Finite-Elemente-Methoden geeignet.

6.1.2 Ergebnisse und Auswertung

Die numerischen Berechnungen wurden für die vier verschiedenen Formen des konvektiven Terms unterVerwendung verschiedener FE-Diskretisierungen ausgeführt. Gelöst wurden die Gleichungen auf sechsGitterleveln mit einem direkten Löser. Die Ausgangsgitter (Level 0) sind in Abbildung 6.1 dargestellt undwurden für die höheren Level jeweils uniform verfeinert. Das erste Lösungslevel war Level 2.

Abbildung 6.1: Die in den Simulationen verwendeten Ausgangsgitter (Level 0). Das Dreiecksgitter (links)geht aus dem Vierecksgitter (rechts) hervor, indem jedes Viereck in zwei Dreiecke unter-teilt wird.

Abbruchkriterium war einerseits, dass die euklidische Norm des Residualvektors kleiner als 10−10 war,oder andererseits das Erreichen der maximalen Anzahl von Iterationen, welche auf 200 gesetzt wurde. DieAbbildungen 6.2 bis 6.4 zeigen die numerischen Ergebnisse für jeweils vier verschiedene FE-Diskreti-sierungen auf Dreicks- und Vierecksgittern für die Reynoldszahl Re = 103.

Für die numerischen Simulationen wurde die Rotationsform rot B brot

(un,un−1, v

)verwendet, da die

Rotationsform brot

(un−1,un, v

)nur für kleine Reynoldszahlen Re ≤ 15 binnen 200 Iterationen konver-

gierte. In diesem Fall wird jedoch der konvektive Term von dem viskosen Term Re−1 ∆u dominiert. Derkonvektive Term könnte daher auch Null gesetzt werden, womit sich das Navier-Stokes-Problem zu einemsogenannten Stokes-Problem vereinfachen ließe, welches keine Nichtlinearität mehr enthält. Ein Vergleichder beiden in dieser Arbeit eingeführten Rotationsformen ist am Beispiel der finiten Elemente Pbubble

2 /Pdisc1

und Q2/Pdisc1 in den Tabellen 6.1 und 6.2 dargestellt.

38


Pbubble2 /Pdisc

1Level Form Re Iterationen Zeit (Löser) Zeit (Level) Speicher

2

rot 1000 84 3.56 5.19 2.48

brot(un−1,un, v

) 1000 200 10.13 14.75 2.4815 47 1.93 2.82 2.4810 25 1.02 1.51 2.48

3

rot 1000 69 16.27 21.62 8.49

brot(un−1,un, v

) 1000 200 54.37 71.41 8.4915 40 9.34 12.42 8.4910 19 4.41 5.92 8.49

4

rot 1000 46 66.38 80.97 27.73

brot(un−1,un, v

) 1000 200 324.11 392.29 27.7315 28 38.23 47.02 27.7310 14 19.01 23.61 27.73

5

rot 1000 23 218.93 249.05 104.75

brot(un−1,un, v

) 1000 200 2249.81 2525.99 104.7515 16 154.39 175.44 104.7510 12 114.92 131.09 104.75

Tabelle 6.1: Leistungsparameter bzgl. verschiedener Reynoldszahlen für das Element Pbubble2 /Pdisc

1 : An-zahl der Iterationen je Level, benötigte Zeit für den Löser und Rechenzeit je Level in Sekun-den sowie benötigter Speicher je Level in MB. Rechnungen mit 200 Iterationen sind nichtkonvergiert.

Q2/Pdisc1

Level Form Re Iterationen Zeit (Löser) Zeit (Level) Speicher

2

rot 1000 175 5.76 8.41 2.63

brot(un−1,un, v

) 1000 200 8.17 11.93 2.6315 45 1.40 2.07 2.6310 28 0.88 1.30 2.63

3

rot 1000 102 19.32 25.57 6.96

brot(un−1,un, v

) 1000 200 42.57 55.95 6.9615 24 4.40 5.87 6.9610 17 3.10 4.16 6.96

4

rot 1000 65 74.26 90.48 21.62

brot(un−1,un, v

) 1000 200 258.69 312.54 21.6215 17 19.38 23.69 21.6210 16 18.10 22.15 21.62

5

rot 1000 33 290.34 323.88 80.39

brot(un−1,un, v

) 1000 200 2135.97 2350.86 80.3915 16 145.58 161.98 80.3910 16 143.93 160.17 80.39

Tabelle 6.2: Leistungsparameter bzgl. verschiedener Reynoldszahlen für das Element Q2/Pdisc1 : Anzahl der

Iterationen je Level, benötigte Zeit für den Löser und Rechenzeit je Level in Sekunden sowiebenötigter Speicher je Level in MB. Rechnungen mit 200 Iterationen sind nicht konvergiert.

39


Die Freiheitsgrade je Level und weitere wichtige Leistungsparameter, wie beispielsweise Anzahl der be-nötigten Iterationen, Rechenzeit und Speicher für die verschiedenen Formen des konvektiven Terms, sindexemplarisch für die Taylor-Hood-Elemente P2/P1 und Q2/Q1 in den Tabellen 6.3 und 6.4, sowie für dieElemente Pbubble

2 /Pdisc1 und Q2/Pdisc

1 in den Tabellen 6.5 und 6.6 zu sehen.

Level Freiheitsgradegesamt Geschw. Druck

2 2467 2178 2893 9539 8450 10894 37507 33282 42255 148739 132098 16641

Tabelle 6.3: Freiheitsgrade je Level für die Taylor-Hood-Elemente P2/P1 und Q2/Q1.

Level Parameter P2/P1 Q2/Q1conv div rot skew conv div rot skew

2

Iterationen 66 200 200 200 44 200 200 200Zeit (Löser) 1.15 4.59 5.02 4.42 1.21 5.11 6.43 5.27Zeit (Level) 2.24 7.38 8.04 6.90 1.65 7.46 9.46 7.50

Speicher 2.21 2.21 2.58 2.21 2.15 2.15 2.60 2.15

3


Speicher 5.11 5.11 6.69 5.11 4.91 4.90 6.86 4.91

4


Speicher 14.24 14.24 20.42 14.23 13.47 13.47 21.16 13.47

5


Speicher 50.69 50.69 75.34 50.69 47.70 47.69 78.51 47.70

Tabelle 6.4: Leistungsparameter für die Taylor-Hood-Elemente P2/P1 und Q2/Q1: Anzahl der Iterationenje Level, benötigte Zeit je Iteration und Rechenzeit je Level in Sekunden sowie benötigterSpeicher je Level in MB. Rechnungen mit 200 Iterationen sind nicht konvergiert.

Mit Ausnahme der Rotationsform ist der Speicheraufwand für alle Formen des konvektiven Terms nahezuidentisch. Dies liegt daran, dass bei Verwendung der Rotationsform vier Matrizen im Geschwindigkeits-Geschwindigkeits-Block gespeichert werden müssen, während für die restlichen Formen das Speicherneiner Matrix genügt.

Die Taylor-Hood-Elemente der Ordnung ≤ 2 weisen auf Grobgittern die höchste Empfindlichkeit bzgl.der Form des konvektiven Terms auf. Während auf Grobgittern die besten Ergebnisse bzgl. der Anzahl derIterationen, sowie der benötigten Zeit für die konvektive Form erzielt werden können, liefern die Diver-genzform und die schiefsymmetrische Form ab Level 4 bessere Ergebnisse. Bei Verwendung des diskretenDruckraumes Pdisc

1 sind bereits ab Level 2 für die konvektive, die Divergenz- und die schiefsymmetrischeForm keine signifikanten Unterschiede bzgl. der betrachteten Leistungsparameter zu verzeichnen.

Es fällt auf, dass die von der Analysis vorhergesagten Konvergenzordnungen weitestgehend mit denen dernumerischen Simulationen übereinstimmen. In einigen Fällen konnte sogar höhere Konvergenzordnung

40


Level Element Freiheitsgradegesamt Geschw. Druck

2 Pbubble2 /Pdisc

1 4738 3202 1536Q2/Pdisc

1 2946 2178 768

3 Pbubble2 /Pdisc

1 18690 12546 6144Q2/Pdisc

1 11522 8450 3072

4 Pbubble2 /Pdisc

1 74242 49666 24576Q2/Pdisc

1 45570 33282 12288

5 Pbubble2 /Pdisc

1 295938 197634 98304Q2/Pdisc

1 181250 132098 49152

Tabelle 6.5: Freiheitsgrade je Level für die Elemente Pbubble2 /Pdisc

1 und Q2/Pdisc1 .

Level Parameter Pbubble2 /Pdisc

1 Q2/Pdisc1

conv div rot skew conv div rot skew

2


Speicher 2.36 2.36 2.48 2.36 2.17 2.17 2.63 2.17

3


Speicher 6.31 6.31 8.49 6.31 5.01 5.01 6.96 5.01

4


Speicher 19.13 19.13 27.73 19.13 13.93 13.93 21.62 13.93

5


Speicher 70.39 70.39 104.75 70.39 49.58 49.58 80.39 49.58

Tabelle 6.6: Leistungsparameter für die Elemente Pbubble2 /Pdisc

1 und Q2/Pdisc1 : Anzahl der Iterationen je

Level, benötigte Zeit für den Löser und Rechenzeit je Level in Sekunden sowie benötigterSpeicher je Level in MB.

41


Abbildung 6.2: Konvergenzen der ‖u−uh‖L2(Ω)-Fehler der Formen des konvektiven Terms für unterschied-lichen Diskretisierungen auf Dreiecksgittern (links) und Viereckgittern (rechts).

42


Abbildung 6.3: Konvergenzen der Fehler ‖p− ph‖L2(Ω) der Formen des konvektiven Terms für unterschied-liche Diskretisierungen auf Dreiecksgittern (links) und Viereckgittern (rechts).

43


Abbildung 6.4: Konvergenzen der Fehler ‖∇ (u − uh) ‖L2(Ω) der Formen des konvektiven Terms für unter-schiedliche Diskretisierungen auf Dreiecksgittern (links) und Viereckgittern (rechts).

44

6.1 Ein Benchmark-Problem

als erwartet erzielt werden. Die konvektive, die Divergenz- und die schiefsymmetrische Form zeigen na-hezu identisches Verhalten. Die größten Abweichungen gibt es bei der Rotationsform auf Viereckgittern.Besonders deutlich ist dies am Beispiel des Raumpaares Q4/Q3 zu sehen, denn obwohl die Lösung desProblems in diesem Raum liegt, konvergiert die Rotationsform sehr viel langsamer als die übrigen For-men des konvektiven Terms. Dies ist der Verwendung des Bernoulli-Druckes zu schulden, da hierdurchein größerer Fehler auftritt, welcher sich auch auf die Approximation der Geschwindigkeit auswirkt, vgl.[Löw11]. Dies könnte mithilfe geeigneter Stabilisierung vermindert werden, siehe [Ols03] und [Ols01],worauf im Rahmen dieser Arbeit aufgrund des beträchtlichen zusätzlichen Aufwandes bei der Implemen-tation jedoch nicht weiter eingegangen werden soll.

6.2 Ein Benchmark-Problem: Strömung um einen Zylinder mit Re = 20


In diesem Abschnitt wird ein zweidimensionales Benchmark-Problem für die stationären inkompressiblenNavier-Stokes-Gleichungen

−Re−1 ∆u + (u · ∇) u + ∇p = 0 in Ω, (6.2)∇ · u = 0 in Ω, (6.3)

u = g auf ∂Ω, (6.4)

behandelt. Das Beispiel beschreibt eine stationäre Strömung in einem zweidimensionalen Gebiet Ω umeinen zweidimensionalen Zylinder (Kreis), vgl. Abbildung 6.5, welches erstmals von M. Schäfer und S.Turek in [ST96] vorgestellt wurde. Wie in der Abbildung 6.5 zu sehen, befindet sich der Zylindermit-telpunkt bzgl. der Ordinate nicht exakt mittig, um eine asymmetrische Situation zu schaffen, welche beigroßen Reynoldszahlen das schnellere Ablösen der Wirbel hinter dem Zylinder begünstigt.

Γcyl0.15 m

0.15 m

2.2 m

0.41 m0.1 mΓin Γout

Abbildung 6.5: Gebiet für das zweidimensionale Benchmark-Problem

Die dynamische Viskosität des Fluides ist µ = 10−3 Pa s und die Dichte ρ beträgt 1 kg/m3, was den Wertenvon Wasser ungefähr entspricht. Das parabolische Einströmungsprofil ist gegeben durch

v (0 m, y) =1

0.412

(1.2y (0.41 − y)

0

)ms, 0 m ≤ y ≤ 0.41 m.

45


Am oberen und unteren Rand des Gebietes, sowie am Rand des Zylinders Γcyl sei die Haftbedingungerfüllt. Als Randbedingungen für die Ausströmung an Γout können entweder parabolische Ausströmungs-bedingungen

v (2.2 m, y) =1

0.412

(1.2y (0.41 − y)

0

)ms, 0 m ≤ y ≤ 0.41 m,

oder die sogenannten do-nothing Randbedingungen

Sn = (−2µD (v) + PI) n = 0Nm2 auf Γout,

genutzt werden, wobei n die äußere Einheitsnormale ist. Die mittlere Einströmungsgeschwindigkeit be-rechnet sich wie folgt:

Umean =1

0.412 ·

0.41∫0

1.2y · (0.41 − y) dy

0.41∫0

dy

ms

=1.2 · 0.413

6 · 0.413

ms

= 0.2ms.

Unter Berücksichtigung der mittleren Einströmung Umean, des Zylinderdurchmessers d = 0.1 m und derkinematischen Viskosität µ/ρ, ergibt sich für die Reynoldszahl der Strömung Re = 20. Das so formulierteProblem besitzt eine stabile stationäre Lösung, wie in den Abbildungen 6.6 und 6.7 zu sehen ist. Da keineäußeren Kräfte auf das Fluid wirken, ist F = 0 N/m.

Abbildung 6.6: Geschwindigkeit (oben) und Druck (unten) im Gebiet Ω.

Werden die charakteristischen Skalen L = 1 m für die Länge und U = 1 m/s für die Geschwindig-keit verwendet, so ergeben sich die dimensionlosen, stationären Navier-Stokes-Gleichungen (2.10) mitRe−1 = µ/ (ρUL) = 10−3, der Einströmungsbedingung

v (0, y) =1

0.412

(1.2y (0.41 − y)

0

), 0 ≤ y ≤ 0.41

und der Ausströmungsbedingung

v (2.2, y) =1

0.412

(1.2y (0.41 − y)

0

), 0 ≤ y ≤ 0.41 (6.5)

46


Abbildung 6.7: Geschwindigkeit (links) und Druck (rechts) am Zylinder.

oder

Sn = (−2µD (v) + pI) n = 0 auf Γout. (6.6)

In der Anwendung sind bei Strömungen um ein Hindernis, die auf das Objekt wirkenden Kräfte vonInteresse. Die Kraft, welche in Richtung der Strömung wirkt, wird Strömungswiderstandskraft (engl. dragforce) genannt und ist gegeben durch

Fdrag =

∫Γcyl

(µ∂vt

∂nny − Pnx

)ds [N] ,

wobei n =(nx, ny

)Tder in Ω zeigende Einheitsnormalenvektor an Γcyl, t =

(ny,−nx

)Tder Tangentialvektor,

ut die Tangentialgeschwindigkeit und Γcyl eine zweidimensionale Fläche ist. Mithilfe der Strömungswider-standskraft wird ein dimensionsloser Koeffizient, der sogenannte Widerstandsbeiwert, definiert

cdrag =2Fdrag

ρAV2 .

Dabei bezeichnet V ein Maß für die Geschwindigkeit des Fluids relativ zum Hindernis und A einen Re-ferenzbereich. Die Einheit ρV2/2 wird dynamischer Druck genannt. In dem hier betrachteten zweidimen-sionalen Problem wird die relative Geschwindigkeit V = Umean verwendet und der Referenzbereich ist derDurchmesser des Zylinders, so dass der Widerstandsbeiwert wie folgt gegeben ist

cdrag =2

ρdU2mean

∫Γcyl

(µ∂vt

∂nny − Pnx

)ds. (6.7)

Die Auftriebskraft ist die Kraft, welche senkrecht zur Strömungsrichtung auf das Hindernis wirkt. DieseAuftriebskraft ist definiert durch

Fli f t = −

∫Γcyl

(µ∂vt

∂nnx − Pny

)ds [N] .

Auch hier wird, ähnlich dem Widerstandsbeiwert, ein dimensionsloser Koeffizient, der sogenannte Auf-triebsbeiwert, definiert

cli f t =2Fli f t

ρAV2 .

47


Unter Verwendung derselben Werte für die relative Geschwindigkeit und den Referenzbereich, wie für denWiderstandsbeiwert, ergibt sich für dieses Beispiel der Auftriebsbeiwert

cli f t =−2

ρdU2mean

∫Γcyl

(µ∂vt

∂nnx + Pny

)ds. (6.8)

Des Weiteren ist die Druckdifferenz

∆P = P (0.15, 0.2) − P (0.25, 0.2)

zwischen der Vorder- und der Rückseite des Zylinders von Interesse.

Bei der numerischen Simulation kann die obige Formulierung des Widerstands- und des Auftriebsbei-wertes zu Schwierigkeiten führen, da beide Koeffizienten über Wegintegrale definiert sind. Muss, wie indiesem Beispiel, der Rand Γcyl aufgrund seiner Krümmung bei der numerischen Berechnung durch einendiskreten Rand approximiert werden, so ist zu erwarten, dass der Quadraturfehler sehr groß ist. Um dieszu verhindern, werden im Folgenden äquivalente Formeln für den Widerstands- und Auftriebsbeiwert de-finiert, in denen die Wegintegrale über Γcyl durch Volumenintegrale über das Gebiet Ω ersetzt werden.

Zunächst werden die Wegintegrale (6.7) und (6.8) vereinfacht. Dies wird explizit am Beispiel des Wider-standsbeiwertes cdrag demonstriert, die Formel für den Auftriebsbeiwert ergibt sich analog. Es gilt

vt = v · t = v1ny − v2nx,

woraus folgt, dass

∂vt

∂n= ∇ (v · t) · n =

(∂xv1ny − ∂xv2nx

∂yv1ny − ∂yv2nx

)·

(nx

ny

)=

(∂xv1ny − ∂xv2nx

)nx +

(∂yv1ny − ∂yv2nx

)ny

= ∂xv1nxny − ∂xv2n2x + ∂yv1n2

y − ∂yv2nxny (6.9)

Da v konstant auf Γcyl ist, verschwinden die Tangentialableitungen, d. h.

∂v1

∂t= 0⇔ ∇v1 · t = 0⇔ ∂xv1ny = ∂yv1nx, (6.10)

∂v2

∂t= 0⇔ ∇v2 · t = 0⇔ ∂xv2ny = ∂yv2nx. (6.11)

Einsetzen von (6.10) und (6.11) in die Gleichung (6.9) liefert dann unter Berücksichtigung von |n| = 1

∂vt

∂n= ∂yv1n2

x − ∂xv2n2x + ∂yv1n2

y − ∂xv2n2y

=(∂yv1 − ∂xv2

) (n2

x + n2y

)=

(∂yv1 − ∂xv2

). (6.12)

Damit reduzieren sich die Formeln für cdrag und cli f t auf

cdrag =2

ρdU2mean

∫Γcyl

(µ(∂yv1 − ∂xv2

)ny − Pnx

)ds,

cli f t =−2

ρdU2mean

∫Γcyl

(µ(∂yv1 − ∂xv2

)nx + Pny

)ds.

48


Unter Verwendung der dimensionslosen Navier-Stokes-Gleichung (2.3) und (2.8) ergeben sich nun dieDarstellungen

cdrag =2U2

dU2mean

∫Γcyl

(µ

ρLU

(∂yu1 − ∂xu2

)ny − pnx

)ds =

2U2

dU2mean

∫Γcyl

(Re−1

(∂yu1 − ∂xu2

)ny − pnx

)ds,

(6.13)

cli f t =−2U2

dU2mean

∫Γcyl

(Re−1

(∂yu1 − ∂xu2

)nx − pny

)ds, (6.14)

wobei der Faktor 1/L aus der Transformation der Ortsableitungen folgt. Die Druckdifferenz ∆P lässt sichschreiben als

∆P = ρU2 (p (0.15, 0.2) − p (0.25, 0.2)) . (6.15)

Nun wird eine beliebige Funktion vd ∈(H1 (Ω)

)2gewählt, welche auf Γcyl die Bedingung (vd)|Γcyl

= (1, 0)T

erfüllt und auf allen anderen Ränder von Ω verschwindet. Mit dieser Funktion wird die Gleichung (6.2)der starken Form der stationären Navier-Stokes-Gleichungen multipliziert. Anwenden von partieller Inte-gration liefert dann

0 =(Re−1 ∇u,∇vd

)+ n (u,u, vd) − (∇ · vd, p) − (f, vd)

−

∫Γcyl

pvd · n ds +

∫Γcyl

Re−1 vTd (∇un) ds, (6.16)

wobei n anders als üblich die ins Innere von Ω zeigende Einheitsnormale ist. Da vd die Bedingung(vd)|Γcyl

= (1, 0)T erfüllt, gilt für das erste Randintegral

−

∫Γcyl

pvd · n ds = −

∫Γcyl

pnx ds (6.17)

und mit ∇ · u = 0, sowie dem dimensionslosen Analogon zu (6.11), für das zweite Randintegral∫Γcyl

Re−1 vTd (∇un) ds =

∫Γcyl

Re−1(∂xu1nx + ∂yu1ny

)ds

=

∫Γcyl

Re−1(−∂yu2nx + ∂yu1ny

)ds

=

∫Γcyl

Re−1(∂yu1 − ∂xu2

)ny ds. (6.18)

Einsetzen von (6.17) und (6.18) in (6.16) liefert

0 =(Re−1 ∇u,∇vd

)+ n (u,u, vd) − (∇ · vd, p) − (f, vd)

+

∫Γcyl

(Re−1

(∂yu1 − ∂xu2

)ny − pnx

)ds (6.19)

und vergleichen von (6.19) und (6.13)

cdrag = −2U2

dU2mean

((Re−1 ∇u,∇vd

)+ n (u,u, vd) − (∇ · vd, p) − (f, vd)

). (6.20)

49


Wird nun statt vd eine Funktion vl ∈(H1 (Ω)

)2so gewählt, dass (vl)|Γcyl

= (0, 1)T auf Γcyl und vl = 0 sonstgilt, dann ergibt sich analog für den Auftriebsbeiwert die Darstellung

cli f t = −2U2

dU2mean

((Re−1 ∇u,∇vl

)+ n (u,u, vl) − (∇ · vl, p) − (f, vl)

). (6.21)

Da die Funktionen vd und vl bis auf den Rand Γcyl beliebig sind, können für die Berechnung auch FE-Funktionen mit geeigneten Randbedingungen verwenden werden. Des Weiteren sollten die Funktionenvd und vl einen kleinen Träger besitzen, um die Anzahl der notwendigen Integralauswertungen auf einMinimum zu beschränken.Im Fall von Dirichlet-Randbedingungen (6.5) am Ausstömungsrand Γout, sind von John und Matthies[JM01] die folgenden und relativ genauen Vergleichswerte

cdrag,re f = 5.57953523384, (6.22)cli f t,re f = 0.010618937712, (6.23)∆pre f = 0.11752016697 (6.24)

für die Koeffizienten bekannt. Bei Verwendung der do-nothing Ausströmungsbedingung (6.6), ändern sichdie Vergleichswerte für den Widerstandsbeiwert cdrag und die Druckdifferenz ∆p nicht. Lediglich der Auf-triebsbeiwert cli f t ist abhängig von der jeweiligen Randbedingung an Γout. Auch hier steht ein adäquaterVergleichswert

cli f t,re f = 0.010618948146 (6.25)

von Nabh [Nab98] zur Verfügung.


Die numerischen Berechnungen wurden für die vier verschiedenen Formen des konvektiven Terms durch-geführt, wobei auch hier aufgrund der besseren Konvergenzeigenschaften ausschließlich die Rotations-form brot

(un,un−1, v

)verwendet wurde. Die Lösung wurde mit der Standard-Galerkin-Methode für die

inf-sup-stabilen FE-Raumpaare P2/P1 auf Dreiecksgittern und Q2/Pdisc1 auf Viereckgittern approximiert.

Die verwendeten Ausgangsgitter (Level 0) sind in Abbildung 6.8 zu sehen und wurden für die höheren Le-vel, wie im vorherigen Beispiel mit analytischer Lösung, jeweils uniform verfeinert. Es kam ein iterativerLöser auf 6 Leveln zum Einsatz, wobei das erste Lösungslevel für die Rotationsform Level 1 war und fürdie übrigen Formen Level 0.

Als Abbruchkriterium für die Rechnungen diente entweder das Erreichen der maximalen Anzahl an Itera-tionen auf einem Level, welches auf 1000 gesetzt wurde, oder dass die euklidische Norm des Residualvek-tors kleiner als 10−10 war. In eingehenden numerischen Tests stellte sich heraus, dass die Fixpunktiterationbei Verwendung der Rotationsform für das Taylor-Hood-Element P2/P1 um den Faktor 0.6 und für dasElement Q2/Pdisc

1 um den Faktor 0.5 gedämpft werden muss, da anderenfalls die gewünschte Genauigkeitnicht erreicht werden konnte. Alle übrigen Formen lieferten auch ohne Dämpfung brauchbare Ergebnis-se.

Für die Ausströmungsbedingungen an Γout wurden die sogenannten do-nothing-Bedingungen (6.2.1) ge-wählt.

50


Abbildung 6.8: Die in den Simulationen verwendeten Anfangsgitter (Level 0).

In Abbildung 6.9 sind die Ergebnisse graphisch dargestellt. Wie bereits im Beispiel mit analytischer Lö-sung gibt es auch bei diesem Problem die größten Fehler bei Verwendung der Rotationsform. Die Auswer-tungen von cdrag (6.7) und cli f t (6.8) wurden stets für die konvektive Form des trilinearen Terms durchge-führt.

Eine genauere Betrachtung der Fehler zeigt, dass bezüglich der Druckdifferenz ∆p bei beiden Diskretisie-rungen kaum Unterschiede zu sehen sind. Während die Fehler auf den niedrigeren Leveln etwas differieren,sind sie ab Level 3 für aller vier Formen nahezu identisch. Beim Widerstandsbeiwert cdrag stimmen dieErgebnisse der konvektiven, der schiefsymmetrischen und der Divergenzform bis Level 3 nahezu überein,weichen jedoch auf den höheren Leveln dann etwas voneinander ab, wobei hier die konvektive Form destrilinearen Terms am ungenausten ist. Die Rotationsform schneidet auf beiden Diskretisierungen erheblichschlechter ab, als die übrigen Formen, wobei die Abweichung bei Verwendung der Dreiecksdiskretisierungsehr viel größer ist als auf dem Viereckgitter. Die signifikantesten Unterschiede in der Genauigkeit der Lö-sung sind bei Betrachtung des Auftriebsbeiwertes cli f t zu sehen. Während die Rotationsform im Falle derFE-Räume P2/P1 wie erwartet am ungenauesten ist, verhält sie sich auf dem Viereckgitter ähnlich denübrigen Formen.

Die Freiheitsgrade je Level sind für oben genannte Lösungsräume in Tabelle 6.7 dargestellt. Die weiterenLeistungsparameter sind in den Tabellen 6.8 und 6.9 zu sehen. Wie zu erwarten war, ist auch für diesesBeispiel der benötigte Speicher bei allen Formen des konvektiven Term, mit Ausnahme der Rotationsform,nahezu identisch. Die Begründung ist wieder das Speichern aller vier Matrizen im Geschwindigkeits-Geschwindigkeits-Block bei Verwendung der Rotationsform im Gegensatz zum Speichern einer Matrixfür die übrigen drei Formen.

Für das Raumpaar P2/P1 werden bzgl. der betrachteten Leistungsparameter die besten Ergebnisse beiVerwendung der konvektiven Form des nichtlinearen Terms erzielt. Auch die Divergenzform schneidetbezüglich der Effizienz sehr gut ab. Im Falle Q2/Pdisc

1 liefern diese beiden Formen sogar fast identischeErgebnisse. Im Gegensatz zum vorherigen Beispiel, in welchem alle Formen des konvektiven Terms, mitAusnahme der Rotationsform und dem gröbsten Gitter für die Taylor-Hood-Diskretisierungen der Ord-nung ≤ 2, bezüglich der Effizienz nahezu gleich gute Ergebnisse lieferten, schneidet die schiefsymme-trische Form in diesem Beispiel unerwartet schlecht ab. Dieses Phänomen könnte eventuell jedoch durchVerwendung eines anderen Lösers behoben werden. Erwartungsgemäß liefert die Rotationsform aufgrundfehlender Stabilisierung, die Effizienz betreffend die schlechtesten Ergebnisse.

51


Abbildung 6.9: Konvergenzen der Kennwerte cdrag, cli f t und der Druckdifferenz ∆p für die verschiedenenFormen des konvektiven Terms für die FE-Räume P2/P1 auf Dreiecksgittern (links) undQ2/Pdisc

1 auf Viereckgittern (rechts).

52

6.3 Zusammenfassung der Ergebnisse


1 P2/P1 1926 1696 230Q2/Pdisc

1 2440 1816 624

2 P2/P1 7344 6496 848Q2/Pdisc

1 9456 6960 2496

3 P2/P1 28656 25408 3248Q2/Pdisc

1 37216 27232 9984

4 P2/P1 113184 100480 12704Q2/Pdisc

1 147648 107712 39936

5 P2/P1 449856 399616 50240Q2/Pdisc

1 588160 428416 159744

6 P2/P1 1793664 1593856 199808Q2/Pdisc

1 2347776 1708800 638976

Tabelle 6.7: Freiheitsgrade je Level für die Elemente P2/P1 und Q2/Pdisc1 .


• Die konvektive, die schiefsymmetrische und die Divergenzform des trilinearen Terms unterscheidensich in den numerischen Simulationen bzgl. der Genauigkeit und des Speicheraufwandes kaum.

• Die konvektive und die Divergenzform liefern bzgl. der Effizienz nahezu identische Ergebnisse.

• Die schiefsymmetrische Form schneidet im Benchmark-Problem bzgl. der Effizienz schlecht ab, wasjedoch eventuell durch Verwendung eines anderen Lösers behoben werden könnte.

• In beiden Beispielen fällt die Rotationsform in allen Kriterien, d. h. Genauigkeit, Effizienz undSpeicher, deutlich ab.

53


P2/P1Level Form Iterationen Zeit (Löser) Zeit (Level) Speicher

0

conv 22 13.18 13.22 3.85div 20 13.35 13.40 3.84rot - - - -

skew 121 80.80 81.01 3.85

1

conv 12 22.77 22.87 7.68div 19 28.61 28.77 7.67rot 73 159.53 160.63 6.66

skew 54 93.39 93.80 7.67

2

conv 8 53.52 53.83 14.67div 14 76.92 77.45 14.67rot 62 387.06 391.01 15.96

skew 32 189.61 190.67 14.67

3

conv 6 101.74 102.75 42.55div 9 128.40 129.87 42.55rot 48 1040.21 1053.00 48.29

skew 25 476.05 479.73 42.55

4

conv 3 126.14 129.07 153.86div 5 185.51 189.66 153.86rot 39 1339.25 1356.05 177.40

skew 22 1208.37 1221.87 153.86

5

conv 2 229.57 239.11 434.99div 3 350.35 362.75 434.98rot 38 13392.54 13560.51 482.81

skew 20 3477.28 3527.33 434.99

Tabelle 6.8: Leistungsparameter für das Elemente P2/P1: Anzahl der Iterationen je Level, benötigte Zeitfür den Löser und Rechenzeit je Level in Sekunden sowie benötigter Speicher je Level in MB.

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Q2/Pdisc1

Level Form Iterationen Zeit (Löser) Zeit (Level) Speicher

0

conv 17 7.56 7.61 4.33div 17 7.22 7.28 4.32rot - - - -

skew 74 29.11 29.33 4.33

1

conv 11 12.50 12.65 7.81div 12 14.94 15.13 7.80rot 83 115.21 117.66 6.98

skew 46 54.32 54.94 7.81

2

conv 9 27.58 28.12 14.44div 9 31.56 32.28 14.44rot 55 282.54 288.50 16.24

skew 41 146.73 149.17 14.44

3

conv 6 56.03 57.57 37.69div 6 70.59 72.78 37.68rot 51 909.38 931.11 44.95

skew 27 424.46 431.03 37.69

4

conv 3 113.87 117.98 133.67div 3 134.41 139.69 133.67rot 54 3521.58 3615.07 162.83

skew 25 1427.49 1422.62 133.67

5

conv 2 273.85 288.06 396.97div 3 326.80 345.35 396.97rot 47 11892.86 12221.65 510.55

skew 30 6943.88 7060.16 396.97

Tabelle 6.9: Leistungsparameter für das Elemente Q2/Pdisc1 : Anzahl der Iterationen je Level, benötigte Zeit

für den Löser und Rechenzeit je Level in Sekunden sowie benötigter Speicher je Level in MB.

55

7 Die instationären Navier-Stokes-Gleichungen

In diesem Kapitel werden die zeitabhängigen Navier-Stokes-Gleichungen behandelt, welche in numeri-schen Simulationen instationärer Strömungen Anwendung finden. Es gibt zwei Arten instationärer Strö-mungen. Diese sind die sogenannten laminaren und die turbulenten Strömungen. Erstere werden in dieserArbeit näher behandelt. Aus numerischer Sicht ist eine Strömung laminar, wenn all ihre Eigenschaftenauf geeigneten Gittern dargestellt werden können. Für die Simulation zeitabhängiger Strömungen wirdzusätzlich zu einer Diskretisierung im Ort noch eine Diskretisierung der Zeitableitung der Geschwindig-keit benötigt. Hierfür stehen zahlreiche sogenannte Zeitschrittverfahren, wie beispielsweise die implizitenθ- Verfahren, zur Verfügung. Ist eine Strömung laminar, so kann die Diskretisierung im Ort mit Standard-Verfahren, wie zum Beispiel der Galerkin-Finite-Elemente-Methode, erfolgen.

7.1 Die schwache Form der instationären Navier-Stokes-Gleichungen

Die starke Form der zeitabhängigen Navier-Stokes-Gleichungen wurden bereits in Kapitel 2.1 hergeleitetund ist gegeben durch

ut − Re−1 ∆u + (u · ∇) u + ∇p = f in (0,T ] ×Ω, (7.1)−∇ · u = 0 in [0,T ] ×Ω, (7.2)u (0, ·) = u0 in Ω, (7.3)

u = g auf [0,T ] × Γ, (7.4)

wobei Ω ⊂ Rd, d ∈ 2, 3, ein beschränktes Gebiet mit hinreichend glattem Rand Γ sei, welches sich inder Zeit nicht verändert, und (0,T ] ein Zeitintervall. Der Übersichtlichkeit halber werden auch hier wiederhomogene Dirichlet-Randbedingungen angenommen, d. h.

u = 0 auf [0,T ] × Γ. (7.5)

Ausgehend von dieser starken Form der instationären Navier-Stokes-Gleichungen ergibt sich die schwacheFormulierung, ähnlich wie bei den stationären Gleichungen, durch Multiplikation der Gleichung (7.1),(7.2)mit einer geeigneten Testfunktion (v, q) und Integration über (0,T ) × Ω , sowie Anwenden von partiellerIntegration, um die Ableitungen der Lösung auf die Testfunktion zu übertragen. Die Randbedingung istauch hier wieder in der Definition des Geschwindigkeitsraumes V enthalten. Die Testfunktion v mussfolgende Eigenschaften erfüllen:

• Für alle Zeiten t ist v ∈ C∞0,div.

• Die Funktion v ist unendlich oft bezüglich der Zeit t differenzierbar und alle Zeitableitungen könnenstetig bis zu den Intervallgrenzen t = 0 und t = T fortgesetzt werden.

• Es gilt v (T, ·) = 0.

57


Daher ist die Testfunktion v ∈ C∞([0,T ] ,C∞0,div (Ω)

)und erfüllt die zusätzliche Bedingung, dass sie zur

Zeit t = T verschwindet. Die schwache Formulierung der instationären Navier-Stokes-Gleichungen mitQ = L2

0 (Ω) lautet folglich:

Finde u : [0,T ]→ V und p : (0,T ]→ Q, sodass

− (u, vt) + Re−1 (∇u,∇v) + b (u,u, v) − (∇ · v, p) = (f, v) ∀v ∈ V, (7.6)− (∇ · u, q) = 0 ∀q ∈ Q (7.7)

und u (0, x) = u0 (x).

Definition 7.1 (Schwache Lösung der instationären Navier-Stokes-Gleichungen) Eine Funktion u heißteine schwache Lösung der Navier-Stokes-Gleichungen, falls gilt:

(a) Die Funktion u erfüllt für alle Testfunktionen v mit obigen Eigenschaften die schwache Formulie-rung (7.6), (7.7) und

(b) u besitzt die folgende Regularität

u ∈ L2(0,T ; H1

0,div (Ω))∩ L∞

(0,T ; L2

div (Ω)).

Satz 7.2 (Existenz für d ≤ 3 und Eindeutigkeit für d = 2)Sei Ω ⊂ Rd, d ∈ 2, 3 ein beschränktes Gebiet mit Lipschitz-stetigem Rand. Seien f ∈ L2

(0,T ; H−1 (Ω)

)und u0 ∈ H1

0 (Ω). Dann existiert wenigstens eine schwache Lösung u ∈ L∞(0,T ; H1

0 (Ω)). Im Falle d = 2

ist die Lösung eindeutig.

Beweis. Der vollständige Beweis ist beispielsweise bei Temam [Tem77] , Ch. III , §3 , Theoreme 3.1 und3.2, zu finden. Die Grundidee für den Beweis der Existenzaussage ist wie folgt:

• Betrachtung einer Folge einfacherer Probleme, welche in geeigneter Weise gegen das ursprünglicheProblem (7.6), (7.7) konvergiert.

• Die Eindeutigkeit der Lösung jedes einzelnen der einfacheren Probleme muss bewiesen werden.

• Es ist zu zeigen, dass die Folge der eindeutigen Lösungen eine Teilfolge besitzt, welche gegen eineschwache Lösung der instationären Navier-Stokes-Gleichungen konvergiert.

Die Eindeutigkeit der schwachen Lösung im Falle d = 2 wird wie üblich durch Annahme der Existenzzweier verschiedener Lösungen u1 und u2 der schwachen Formulierung der Navier-Stokes-Gleichungenbewiesen, indem die Betrachtung der Differenz w B u1 − u2 zu einem Widerspruch geführt wird.

Bemerkung 7.3 (Eindeutigkeit von schwachen Lösungen)Mit obigem Satz kann die Existenz einer schwachen Lösung in zwei und drei Raumdimensionen bewie-sen werden. Die Eindeutigkeit einer schwachen Lösung ist allerdings bis heute nur für zweidimensionaleProbleme beweisbar. Für die dreidimensionalen Navier- Stokes-Gleichungen gehört die Klärung der Ein-deutigkeit von schwachen Lösungen zu den sogenannten Millenium- Problemen. Weitere Informationenbezüglich der Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen der Navier-Stokes-Gleichungen unter bestimmtenVoraussetzung, wie beispielsweise für andere Randbedingungen oder kleine Daten, sind unter Anderembei Galdi [Gal00] und Temam [Tem77] zu finden.

58

7.2 Stabilität der schwachen Lösung der Geschwindigkeit

7.2 Stabilität der schwachen Lösung der Geschwindigkeit

Grundlage für die Stabilitiätsuntersuchung ist die schwache Formulierung der Navier-Stokes-Gleichungen(7.6), (7.7). Mit der Wahl von v ∈ H1

0 (Ω) für alle t als Testfunktionen folgt, dass v(T ) = 0 ist. Es folgt,dass in der schwachen Form der Term (ut, v) anstelle von − (u, vt) auftritt.

Lemma 7.4 (Stabilität der schwachen Lösung der Geschwindigkeit)Sei u0 ∈ L2 (Ω) und f ∈ L2

(0, t; H−1 (Ω)

). Dann gilt für die Lösung der Geschwindigkeit der instationären

Navier-Stokes-Gleichungen (7.6), (7.7) die folgende Abschätzung

‖u(t)‖2L2(Ω) + Re−1 ‖∇u‖2L2(0,t;L2(Ω)) ≤ ‖u(0)‖2L2(Ω) + Re ‖f‖2L2(0,t;H−1(Ω)) ∀t ∈ (0,T ] . (7.8)

Daher ist

u ∈ L∞(0,T ; L2 (Ω)

), ∇u ∈ L2

(0,T ; L2 (Ω)

). (7.9)

Beweis. Sei t ∈ (0,T ] beliebig. Zunächst wird die schwache Lösung (u(t), p(t)) ∈ V × Q als Testfunktiongewählt und diese in die Gleichung (7.6) eingesetzt. Dies ergibt

(∂tu(t),u(t)) + Re−1 (∇u(t),∇u(t)) + b (u(t),u(t),u(t)) − (∇ · u(t), p(t)) = (f(t),u(t)) ,

wobei b (·, ·, ·) eine beliebige Form des konvektiven Terms sei. Nach den Lemmata 4.5 und 4.6 verschwin-det die Trilinearform b (·, ·, ·) für alle Funktionen u ∈ H1 (Ω). Der Term − (∇ · u, p) entfällt ebenfalls,vgl. (7.7). Mit der Ungleichung für duale Paarungen, sowie Anwenden der Ungleichung von Young folgtnun

(∂tu(t),u(t)) + Re−1 ‖∇u(t)‖2L2(Ω) ≤12

Re ‖f(t)‖2H−1(Ω) +12

Re−1 ‖∇u(t)‖2L2(Ω)

⇔ 2 (∂tu(t),u(t)) + Re−1 ‖∇u(t)‖2L2(Ω) ≤ Re ‖f(t)‖2H−1(Ω).

Für den ersten Term der linken Seite gilt mit der Produktregel

12

ddt‖u(t)‖2L2(Ω) =

12

ddt

(u(t),u(t)) = (∂tu(t),u(t)) . (7.10)

Integration über (0, t) , t ≤ T , liefert:

‖u(t)‖2L2(Ω) − ‖u(0)‖2L2(Ω) + Re−1 ‖∇u‖2L2(0,t;L2(Ω)) ≤ Re ‖f‖2L2(0,t;H−1(Ω))

und damit die Behauptung.

7.3 Die Diskretisierung der instationären Navier-Stokes-Gleichungen

Wie bereits erwähnt, wird für die Diskretisierund der instationären Navier-Stokes-Gleichungen zusätzlichzu der Diskretisierung im Ort auch eine Diskretisierung der Zeitableitung der Geschwindigkeit benötigt.Hierfür dient in dieser Arbeit das Crank-Nicolson-Verfahren. Es ist eines der bekanntesten Ein-Schritt-θ-Verfahren.

59


7.3.1 Das Crank-Nicolson-Verfahren und die FEM-Diskretisierung

Die Diskretisierung der instationären Navier-Stokes-Gleichungen mittels des Ein-Schritt-θ-Verfahrens vonCrank und Nicolson in der Zeit und FEM im Ort gliedert sich in drei Teile, welche im Folgenden genauererklärt werden.

Schritt 1 - Semi-Diskretisierung der Gleichungen in der Zeit:Es wird ein implizites Zeitschrittverfahren angewendet, welches dann in jedem diskreten Zeitschritt aufein nichtlineares Gleichungssystem führt. Sei ∆tk = tk − tk−1 der zu berechnende Zeitschritt von tk−1 nachtk. Dann lauten die Zeitschritt-Gleichungen für das instationäre Navier-Stokes-Problem

uk +12

∆tk(−Re−1 ∆uk + (uk · ∇) uk

)+ ∆tk∇pk = uk−1 −

12

∆tk(−Re−1 ∆uk−1 + (uk−1 · ∇) uk−1

)+

12

∆tk fk−1 +12

∆tk fn,

(7.11)

∇ · uk = 0. (7.12)

Der Druck wird hierbei inkonsistent behandelt, da sich dies in numerischen Simulationen bewährt hat.

Schritt 2 - Schwache Formulierung und Linearisierung:Um die Lösung des obigen Problems (7.11), (7.12) durch eine Finite-Elemente-Methode approximierenzu können, wird eine schwache Formulierung benötigt. Der Übersichtlichkeit halber werden homogeneDirichlet-Randbedingungen vorausgesetzt, was zur Folge hat, dass der Ansatz- und der Testraum in derschwachen Formulierung identisch sind. Sei nun V =

(H1

0 (Ω))2

und Q = L20 (Ω). In der üblichen Weise,

vgl. Abschnitt 3.1, ergibt sich die schwache Form:

Finde (uk, pk) ∈ V × Q, so dass für alle (v, q) ∈ V × Q

(uk, v) +12

∆tk(Re−1 (∇uk,∇v) + b (uk,uk, v)

)+ ∆tk (pk,∇ · v)

= (uk−1, v) −12

∆tk(Re−1 (∇uk−1,∇v) + b (uk−1,uk−1, v)

)+

12

∆tk (fk−1, v) +12

∆tk (fk, v) ,

− (∇ · uk, q) = 0,

gilt, wobei (v,w) =∫

Ωv · w dx und b(·, ·, ·) eine beliebige Form des konvektiven Terms ist. Dieses nichtli-

neare System wird, wie bei den stationären Gleichungen, mittels einer Fixpunktiteration, genauer Picard-Iteration, geglöst.

Sei(un−1, pn−1

)∈ V × Q eine bekannte Näherung, dann wird (un, pn) ∈ V × Q durch Lösen von

(un

k , v)

+12

∆tk(Re−1

(∇un

k ,∇v)

+ b(un−1

k ,unk , v

))+ ∆tk

(pn

k ,∇ · v)

= (uk−1, v) −12

∆tk(Re−1 (∇uk−1,∇v) + b (uk−1,uk−1, v)

)+

12

∆tk (fk−1, v) +12

∆tk (fk, v) ,

−(∇ · un

k , q)

= 0

für alle (v, q) ∈ V × Q und n = 1, 2, 3, . . ., berechnet. Dabei ist als Startwert immer die Lösung desvorherigen Zeitschrittes gewählt, d. h.

(u0

k , p0k

)= (uk−1, pk−1).

60

7.4 Die FE-Formulierung für das zeitkontinuierliche Problem

Schritt 3 - Diskretisierung des linearisierten Systems bezüglich des Ortes mit FEM:Seien Vh, Qh zwei inf-sup-stabile FE-Räume. Dann lautet das Finite-Elemente-Problem:

Finde (uh, ph) ∈ Vh × Qh, sodass für alle (vh, qh) ∈ Vh × Qh(un

k,h, v)

+12

∆tk(Re−1

(∇un

k,h,∇v)

+ b(un−1

k,h ,unk,h, v

))+ ∆tk

(pn

k,h,∇ · v)

=(uk−1,h, v

)−

12

∆tk(Re−1 (

∇uk−1,h,∇v)

+ b(uk−1,h,uk−1,h, v

))+

12

∆tk(fk−1,h, v

)+

12

∆tk(fk,h, v

),

−(∇ · un

k,h, qh

)= 0

gilt.

7.4 Die FE-Formulierung für das zeitkontinuierliche Problem

Für die im nächsten Abschnitt folgende FE-Fehleranalysis wird der Übersichtlichkeit halber ausschließ-lich die zeitkontinuierlichen instationären Navier-Stokes-Gleichungen betrachtet. Für diese lautet die FE-Formulierung:

Finde (uh, ph) ∈ Vh × Qh, sodass

(∂tuh, vh) + Re−1 (∇uh,∇vh) + b (uh,uh, vh) − (∇ · vh, ph) + (∇ · uh, qh) = (fh, vh) (7.13)

für alle (vh, qh) ∈ Vh × Qh gilt.

7.5 FE-Fehleranalysis für die instationären Navier-Stokes-Gleichungen

In diesem Abschnitt werden Fehlerabschätzungen für das zeitkontinuierliche Problem der instationärenNavier-Stokes-Gleichungen betrachtet. Wie im stationären Fall, vgl. Abschnitt 5.3, wird die Fehleranalysiswieder mit der schiefsymmetrischen Form des konvektiven Terms durchgeführt.

Satz 7.5 (Stabilität der FE-Lösung bzgl. der Geschwindigkeit)Seien uh(0) ∈ L2 (Ω) und f ∈ L2

(0, t; H−1 (Ω)

). Dann gilt für die Lösung der Geschwindigkeit der FE-

Formulierung (7.6), (7.7):

‖uh(t)‖2L2(Ω) + Re−1 ‖∇uh‖2L2(0,t;L2(Ω)) ≤ ‖uh(0)‖2L2(Ω) + Re ‖f‖2L2(0,t;H−1(Ω)) . (7.14)

Daher gilt:

uh ∈ L∞(0,T ; L2 (Ω)

)und ∇uh ∈ L2

(0,T ; L2 (Ω)

). (7.15)

Beweis. Der Beweis folgt analog zum kontinuierlichen Fall, vgl. Lemma 7.4.

61


Satz 7.6 (FE-Fehlerabschätzung der Geschwindigkeit)Seien alle Bedingungen der Lemmata 7.4 und 7.5 erfüllt und gelten zusätzlich die Regularitäten

p ∈ L4(0,T ; L2 (Ω)

), ∂tu ∈ L2

(0,T ; H−1 (Ω)

)und ∇u ∈ L4

(0,T ; L2 (Ω)

). (7.16)

Dann gilt für alle t ∈ (0,T ] die folgende Fehlerabschätzung

‖(u − uh) (t)‖2L2(Ω) + Re−1 ‖∇ (u − uh)‖L2(0,t;L2(Ω))

≤ C ∥∥∥∥(u − Ih

Stou)

(t)∥∥∥∥2

L2(Ω)+ Re−1

∥∥∥∥∇ (u − Ih

Stou)

(t)∥∥∥∥2

L2(0,t;L2(Ω))

+ exp(C Re3 ‖∇u‖4L4(0,t;L2(Ω))

) [ ∥∥∥∥∇ (uh − Ih

Stou)

(0)∥∥∥∥2

L2(Ω)

+ Re−1∥∥∥∥∇ (

u − IhStou

)∥∥∥∥2

L2(0,t;L2(Ω))+ Re

( ∥∥∥∥∂t

(u − Ih

Stou)∥∥∥∥2

L2(0,t;H−1(Ω))

+∥∥∥∥∇ (

u − IhStou

)∥∥∥∥2

L4(0,t;L2(Ω))‖∇u‖2L4(0,t;L2(Ω)) + inf

qh∈L2(0,t;Qh)

∥∥∥p − qh∥∥∥

L2(0,t;L2(Ω))

+ Re3/2

(∥∥∥uh0

∥∥∥2L2(Ω) + Re ‖f‖L2(0,t;H−1(Ω))

) ∥∥∥∥∇ (u − Ih

Stou)∥∥∥∥2

L4(0,t;L2(Ω))

] , (7.17)

wobei IhStou (t) die Stokes-Projektion zur Zeit t ist, für welche die Regularität

∂tIhStou ∈ L2

(0,T ; H−1 (Ω)

)(7.18)

angenommen wird.

Beweis. Analog zum stationären Fall ergibt sich durch Wahl von (vh, qh) ∈ Vdivh × Qh als Testfunktio-

nen in der schwachen Form der instationären Navier-Stokes-Gleichungen (7.6), (7.7), Subtraktion derzeitkontinuierlichen FE-Formulierung (7.13) von dieser und mit (qh,∇ · vh) = 0 für alle vh ∈ Vdiv

h eineFehlergleichung der Form:

(∂t (u − uh) , vh) + Re−1 (∇ (u − uh) ,∇vh) + bskew (u,u, vh) − bskew (uh,uh, vh) − (p − qh,∇ · vh) = 0(7.19)

für alle (vh, qh) ∈ Vdivh × Qh. Nun wird der Fehler in den Interpolationsfehler und einen diskreten Testterm

aufgeteilt:

u − uh =(u − IhStou

)−

(uh − I

hStou

)B η − ϕh, (7.20)

wobei IhStou die Stokes-Projektion von u zur Zeit t ist. Aufgrund der Interpolationsabschätzung (5.10) undder Regularitätsannahmen (7.16) gilt:

∇IhStou ∈ L4(0,T ; L2 (Ω)

). (7.21)

62


Einsetzen der Zerlegung (7.20) in die Fehlergleichung (7.19) und Ausnutzen der Linearität des Skalarpro-duktes führt zu:(

∂tη, vh)−

(∂tϕh, vh

)+ Re−1 (

∇η,∇vh)− Re−1 (

∇ϕh,∇vh)

+ bskew (u,u, vh) − bskew (uh,uh, vh) − (p − qh,∇ · vh) = 0 (7.22)

für alle (vh, qh) ∈ Vdivh × Qh. Da sowohl die Stokes-Projektion Ih

Stou, als auch uh diskret divergenzfrei sind,ist auch ϕh diskret divergenzfrei. Daher kann vh = ϕh gewählt werden. Dies, Anwenden von (7.10) undumsortieren liefert die Fehlergleichung

12

ddt

∥∥∥ϕh

∥∥∥2L2(Ω) + Re−1

∥∥∥∇ϕh

∥∥∥2L2(Ω) =

(∂tη,ϕh

)+ Re−1 (

∇η,∇ϕh)

+ bskew (u,u, vh)

− bskew (uh,uh, vh) − (p − qh,∇ · vh) . (7.23)

Nun müssen die Terme der rechten Seite der obigen Fehlergleichung separat abgeschätzt werden. Für denersten Term der rechten Seite ergibt sich mit Hilfe der dualen Paarung und der Ungleichung von Young(

∂tη,ϕh)≤

∥∥∥∂tη∥∥∥

H−1(Ω)

∥∥∥∇ϕh

∥∥∥L2(Ω)

≤ 2 Re∥∥∥∂tη

∥∥∥2H−1(Ω) +

18

Re−1∥∥∥∇ϕh

∥∥∥2L2(Ω) . (7.24)

Weiterhin gelten für den zweiten und den letzten Term der rechten Seite, sowie für bskew(η,u,ϕh

)vgl.

(5.17), (5.18) und (5.21), die Abschätzungen:

Re−1 (∇η,∇ϕh

)≤ 2 Re−1 ‖∇η‖2L2(Ω) +

18

Re−1 ‖∇ϕh‖2L2(Ω),

∣∣∣− (p − qh,∇ · ϕh

)∣∣∣ ≤ 2d Re ‖p − qh‖2L2(Ω) +

18

Re−1 ‖∇ϕh‖2L2(Ω),

bskew(η,u,ϕh

)≤ C Re ‖∇η‖2L2(Ω)‖∇u‖2L2(Ω) +

18

Re−1 ‖∇ϕh‖2L2(Ω).

Für die verbliebenen beiden konvektiven Terme ergibt sich unter Verwendung der Abschätzung (4.11) mits = 1

2 und der Ungleichung von Young

bskew(uh, η,ϕh

)≤ C‖uh‖

1/2L2(Ω)‖∇uh‖

1/2L2(Ω)‖∇η‖L2(Ω)‖∇ϕh‖L2(Ω)

≤ C Re ‖uh‖L2(Ω)‖∇uh‖L2(Ω)‖∇η‖2L2(Ω) +

18

Re−1 ‖∇ϕh‖2L2(Ω)

∣∣∣−bskew(ϕh,u,ϕh

)∣∣∣ ≤ C‖ϕh‖1/2L2(Ω)‖∇ϕh‖

1/2L2(Ω)‖∇u‖L2(Ω)‖∇ϕh‖L2(Ω)

= C‖∇ϕh‖1/2L2(Ω)‖∇u‖L2(Ω)‖∇ϕh‖

3/2L2(Ω)

≤ C Re3 ‖ϕh‖2L2(Ω)‖∇u‖4L2(Ω) +

18

Re−1 ‖∇ϕh‖2L2(Ω), (7.25)

(7.26)

Diese Abschätzungen werden nun in die Fehlergleichung (7.19) eingesetzt.

12

ddt

∥∥∥ϕh

∥∥∥2L2(Ω) +

14

Re−1∥∥∥∇ϕh

∥∥∥2L2(Ω) ≤ 2 Re

∥∥∥∂tη∥∥∥2

H−1(Ω) + 2 Re−1∥∥∥∇η∥∥∥2

L2(Ω) + 2d Re ‖p − qh‖2L2(Ω)

+ C Re ‖∇η‖2L2(Ω)‖∇u‖2L2(Ω)

+ C Re ‖uh‖L2(Ω)‖∇uh‖L2(Ω)‖∇η‖2L2(Ω)

+ C Re3 ‖ϕh‖2L2(Ω)‖∇u‖4L2(Ω). (7.27)

63


Im nächsten Schritt soll nun das Gronwall’sche Lemma 2.15 angewendet werden. Dies ist notwendig,da der erste Term der linken Seite eine Ableitung bzgl. der Zeit ist. Zunächst wird überprüft, ob alleVoraussetzungen des Gronwall’schen Lemmas erfüllt sind: Alle Terme der rechten Seite der obigen Un-gleichung sind positiv. Des Weiteren sind die ersten drei Terme aufgrund der Regularitätsannahmen (7.16)und (7.18) bezüglich der Zeit im Intervall [0, t] integrierbar. Für den vierten Terme der rechten Seite giltmit der Cauchy-Schwarz’schen Ungleichung und aufgrund der Regularitätsannahmen (7.16) und (7.18):

C Re

t∫0

‖∇η‖2L2(Ω)‖∇u‖2L2(Ω) dτ ≤ C Re

t∫

0

‖∇η‖4L2(Ω) dτ

1/2

t∫0

‖∇u‖4L2(Ω) dτ

1/2

= C Re

t∫0

‖∇η‖4L2(Ω) dτ

1/4

2

t∫0

‖∇u‖4L2(Ω) dτ

1/4

2

= C Re∥∥∥∇η∥∥∥2

L4(0,t;L2(Ω)) ‖∇u‖2L4(0,t;L2(Ω)) < ∞. (7.28)

Desweiteren gilt für den fünften Term der rechten Seite mit der Stabilität der FE-Lösung bzgl. der Ge-schwindigkeit (7.14), der Regularitätannahmen (7.16) und (7.21), sowie der Cauchy-Schwarz’schen Un-gleichung:

(7.29)t∫

0

‖uh‖L2(Ω)‖∇uh‖L2(Ω)‖∇η‖2L2(Ω) dτ ≤ ‖uh‖L∞(0,T ;L2(Ω))

t∫0

‖∇uh‖L2(Ω)

∥∥∥∇η∥∥∥2L2(Ω) dτ

≤ ‖uh‖L∞(0,T ;L2(Ω))‖∇uh‖L2(0,T ;L2(Ω))‖∇η‖L4(0,T ;L2(Ω))

≤ C√

Re(‖uh(0)‖2L2(Ω) + Re ‖f‖2L2(0,t;H−1(Ω))

) ∥∥∥∇η∥∥∥2L4(0,t;L2(Ω))

< ∞. (7.30)

Aus (7.16) folgt ebenfalls

t∫0

‖∇u‖4L2(Ω) dτ < ∞. (7.31)

Die Voraussetzungen des Gronwall’schen Lemmas sind folglich alle erfüllt, daher lautet die Ungleichungfür alle t ∈ (0,T ] und alle qh ∈ Qh:

∥∥∥ϕh(t)∥∥∥2

L2(Ω) + Re−1∥∥∥∇ϕh

∥∥∥2L2(0,T ;L2(Ω)) ≤ C exp

(C Re3 ‖∇u‖4L2(0,T ;L2(Ω))

)×

[ ∥∥∥ϕh(0)∥∥∥2

L2(Ω) + Re∥∥∥∂tη

∥∥∥2L2(0,T ;H−1(Ω))

+ Re−1∥∥∥∇η∥∥∥2

L2(0,T ;L2(Ω)) + Re ‖p − qh‖2L2(0,T ;L2(Ω))

+ Re∥∥∥∇η∥∥∥2

L4(0,T ;L2(Ω)) ‖∇u‖2L4(0,T ;L2(Ω))

+ Re3/2(‖uh(0)‖2L2(Ω) + Re ‖ f ‖2L2(0,T ;H−1(Ω))

) ∥∥∥∇η∥∥∥2L4(0,T ;L2(Ω))

].

(7.32)

64


Zuletzt wird die Dreicksungleichung angewendet. Damit ergibt sich für den Fehler die Ungleichung∥∥∥η − ϕh

∥∥∥2L2(Ω) + Re−1

∥∥∥∇ (η − ϕh

)∥∥∥2L2(0,T ;L2(Ω))

≤ 2(∥∥∥η∥∥∥2

L2(Ω) + Re−1∥∥∥∇η∥∥∥2

L2(0,T ;L2(Ω)) +∥∥∥ϕh

∥∥∥2L2(Ω) + Re−1

∥∥∥∇ϕh

∥∥∥2L2(0,T ;L2(Ω))

)und durch Einsetzen der obigen Ungleichung (7.32), sowie Resubstitution mit (7.20) folgt schließlich dieBehauptung.

65

8 Ein numerisches Beispiel für die instationärenNavier-Stokes-Gleichungen

8.1 Ein Benchmark-Problem: Strömung um einen Zylinder mit 0 ≤ Re ≤ 100


Wie bereits für die stationären inkompressiblen Navier-Stokes-Gleichungen, wird auch hier wieder einzweidimensionales Benchmark-Problem betrachtet. Im Gegensatz zum stationären Fall ist das Einströ-mungsprofil bei den instationären Gleichungen jedoch zeitabhängig. Aufgrund der hohen Einströmungs-geschwindigkeit kommt es zu sogenannten Wirbelstraßen. Ansonsten sind sich die beiden Problembe-schreibungen sehr ähnlich, weshalb diese eher kurz gehalten wird.

Die zugrundeliegenden instationären inkompressiblen Navier-Stokes-Gleichungen sind in ihrer dimen-sonslosen Form gegeben durch

ut − Re−1 ∆u + (u · ∇) u + ∇p = 0 in (0,T ] ×Ω, (8.1)∇ · u = 0 in [0,T ] ×Ω, (8.2)

u (0; x, y) = 0 in Ω, (8.3)u = g in [0,T ] × ∂Ω, (8.4)∫

Ω

p dx dy = 0 in (0,T ] . (8.5)

Das Gebiet Ω entspricht hierbei dem des stationären Problems, vgl. Abbildung 6.5. Die maximale Zeit istT = 8 s und die zeitabhängige Einströmung ist vorgegeben durch

u(t′; 0 m, y

)=

10.412 sin

(φt′

8

) (6y (0.41 − y)

0

)ms, 0 m ≤ y ≤ 0.41 m, t′ ∈ [0, 8] s (8.6)

und der Frequenz φ = π 1/s. Für die Ausströmung kann entweder ebenfalls das zu (8.6) analoge zeitab-hängige Profil

u(t′; 2.2 m, y

)=

10.412 sin

(φt′

8

) (6y (0.41 − y)

0

)ms, 0 m ≤ y ≤ 0.41 m, t′ ∈ [0, 8] s, (8.7)

oder aber die folgenden do-nothing-Bedingungen

S(t′)

n =(−2µD(u)

(t′)

+ P(t′)I)

n = 0Nm2 , an Γout, t′ ∈ [0, 8] s (8.8)

67

8 Ein numerisches Beispiel für die instationären Navier-Stokes-Gleichungen

gewählt werden. An allen anderen Rändern wird die Erfüllung der Haftbedingung angenommen. Die mitt-lere Einströmungsgeschwindigkeit Umean (t′) ist

Umean(t′)

=sin (φt′)

8·

10.412

0.41∫0

6y (0.41 − y) dy

0.41∫0

dy

ms

= sin(φt′/8

) ms, 0 m ≤ y ≤ 0.41 m, t′ ∈ [0, 8] s,

(8.9)

so dass die maximale Einstömungsgeschwindigkeit Umax = 1 m/s beträgt. Daher ergeben sich für dieReynoldszahl Re abhängig von der Zeit t und unter Berücksichtigung des Zylinderdurchmessers d = 0.1 m,sowie der kinematischen Viskosität µ/ρ = 10−3 m2/s Werte zwischen 0 und 100, 0 ≤ Re (t′) ≤ 100. DieDichte ρ des Fluids beträgt wieder 1 kg/m3. Das so formulierte Problem besitzt eine eindeutige schwacheLösung (u, p), vgl. Abschnitt 6.2.1.

Wie im stationären Falle, werden auch für dieses Beispiel die charakteristischen Skalen L = 1 m für dieLänge, U = 1 m/s für die Geschwindigkeit, sowie T ∗ = 1 s für die Zeit verwendet, um zur dimensionlosenForm überzugehen. Nach Variablentransformation lautet die Einströmungsbedingung

u (t; 0, y) =1

0.412 sin(πt8

) (6y (0.41 − y)0

), 0 ≤ y ≤ 0.41, t ∈ [0, 8]. (8.10)

Die übrigen Bedingungen seien analog in ihre dimensionslose Form überführt.

Die Druckdifferenz ∆p(t) zwischen der Vorder- und Rückseite des Zylinders ist gegeben durch

∆p(t) = p (t; 0.15, 0.2) − p (t; 0.25, 0.2) .

Des Weiteren ist der dimensionslose Widerstandsbeiwert cdrag(t) definiert durch

cdrag(t) =2

ρdU2max

∫Γcyl

ρRe−1∂utΓcyl

(t)

∂nny − p(t)nx

dΓcyl (8.11)

und der Auftriebsbeiwert cli f t(t) durch

cli f t(t) = −2

ρdU2max

∫Γcyl

ρRe−1∂utΓcyl

(t)

∂nnx − p(t)ny

dΓcyl, (8.12)

wobei auch hier n = (nx, ny)T wieder die in das Gebiet zeigende Normale an Γcyl, tΓcyl = (ny,−nx)T derTangentialvektor an Γcyl und utΓcyl

die tangentiale Geschwindigkeit ist. Der Übersichtlichkeit halber wirdim Folgenden das Argument auf der rechten Seite, falls nicht explizit benötigt, nicht mitgeführt. Wie zuvorim stationären Fall, vgl. Abschnitt 6.2.1, ergeben sich aus den obigen Gleichungen für cdrag(t) und cli f t(t)mittels Ersetzen der Wegintegrale durch Volumenintegrale über das Gebiet Ω folgende Darstellungen:

cdrag(t) = −20∫Ω

[(ut, vd) + (∇u,∇vd) + Re−1 (u · ∇) u · vd − p (∇ · vd)

]dx dy, (8.13)

cli f t(t) = −20∫Ω

[(ut, vl) + (∇u,∇vd) + Re−1 (u · ∇) u · vl − p (∇ · vl)

]dx dy, (8.14)

68


für alle vd ∈(H1 (Ω)

)2mit (vd)|Γcyl

= (1, 0)T und alle vl ∈(H1 (Ω)

)2mit (vl)|Γcyl

= (0, 1)T , welche jeweils aufallen anderen Rändern verschwinden. Die Wahl von vd und vl ist hierbei dieselbe wie im stationären Fall.Die Zeitableitung wurde für die Berechnung der Koeffizienten mittels einer Rückwärtsdifferenz-Formel

∂tuh (tn) ≈uh (tn) − uh (tn−1)

∆t

approximiert.

Für dieses Beispiel stehen von John und Rang [JR10] akkurate Referenzkurven für die Kennwerte cdrag(t),cli f t(t) und und die Druckdifferenz ∆p(t) im betrachteten Zeitintervall [0, 8] unter Verwendung der Dirichlet-Randbedingung (8.7) an Γout zur Verfügung. Diese sind in Abbildung 8.1 dargestellt und dienen in dieserArbeit als Referenzwerte. Aufgrund des hohen zusätzlichen Druckaufwandes ist es leider nicht möglich,die vollständigen Daten der Referenzkurven in Form von Referenzwerten darzustellen. Um jedoch eineungefähre Vorstellung zu vermitteln, werden in Tabelle 8.1 relativ genauen Vergleichwerte für die maxi-malen Koeffizienten angegeben. Es ist zu beachten, dass die mit [Joh04] gekennzeichneten Werte bereitssechs Jahre vor denen von John und Rang, vgl. [JR10], erzielt werden konnten.

Koeffizient berechnet von Wert Zeit

cmaxdrag,re f (t)

[Joh04] 2.950921575 3.93625[JR10] 2.950918381 3.93625

cmaxli f t,re f (t)

[Joh04] 0.47795 5.693125[JR10] 0.47787543 5.692500

∆pmaxre f (t) [Joh04] -0.1116 8.000000

[JR10] -0.11161567 8.000000

Tabelle 8.1: Vergleich der maximalen Koeffizienten aus [Joh04] und [JR10].

Die Genauigkeit der Ergebnisse der hier durchgeführten numerischen Simulation wird für den Auftriebs-beiwert cli f t und den Widerstandsbeiwert cdrag anhand des Euklidischen Abstandes zwischen dem jewei-ligen Referenzwert und dem korrespondierenden Wert der numerischen Berechnung gemessen. Für denAuftriebsbeiwert cli f t bedeutet dies: Sei

(cli f t,re f , tli f t,re f

)der Referenzwert zur aktuellen Zeit und

(cli f t, tli f t

)der entsprechende Wert der hier durchgeführten numerischen Berechnung, dann ist der Fehler gegebendurch

errli f t B

√(tli f t,re f − tli f t

)2+

(cli f t,re f − cli f t

)2.

Analoges gilt für den Widerstandsbeiwert cdrag. Bezüglich der Druckdifferenz ∆p(t) wird der Abstand zumReferenzwert ∆pre f (t) betrachtet.

69


Abbildung 8.1: Referenzkurven der Kennwerte cdrag, cli f t und der Druckdifferenz ∆p. Es sei auf die unter-schiedlichen Skalen der Ordinate hingewiesen.


Die numerischen Simulationen wurden, wie im stationären Falle, für die vier verschiedenen Formen deskonvektiven Terms durchgeführt. Aufgrund der besseren Konvergenzeigenschaften wurde auch in diesemBeispiel nur die Rotationsform brot

(un,un−1, v

)betrachtet. Die zeitliche Diskretisierung erfolgte mit Hilfe

des Crank-Nicolson-Verfahrens, vgl. Abschnitt 7.3.1, wobei die Berechnungen für die drei Schrittweiten

∆t = 0.005, ∆t = 0.01 und ∆t = 0.02

durchgeführt wurden. Für die räumlich Diskretisierung wurden wieder die Standard-Galerkin-Methode aufden inf-sup-stabilen FE-Raumpaaren P2/P1 auf Dreiecks- und Q2/Pdisc

1 auf Vierecksgittern gewählt. Dieverwendeten Ausgangsgitter (Level 0) entsprechen denen des stationären Problems und sind in Abbildung6.8 zu sehen. Diese wurden bis zu dem jeweils betrachten Level (3, 4, oder 5) uniform verfeinert. Eskam ein iterativer Löser auf den Leveln 3, 4 und 5 zum Einsatz. Die Freiheitsgrade je Verfeinerungslevelbezüglich des Raumes sind in Tabelle 8.2 zu sehen.

Das Abbruchkriterium der Berechnungen in jedem diskreten Zeitschritt war entweder das Erreichen dermaximalen Iterationen, welches auf 40 gesetzt wurde, oder dass die euklidische Norm des Residualvektorskleiner als 10−8 war.

Das zeitabhängige Einströmungsprofil wurde gemäß der Problembeschreibung gewählt, vgl. (8.10), undals Ausströmbedingung wurden die zu (8.8) analogen dimensionslosen do-nothing-Bedingungen verwen-det.

70



3 P2/P1 28656 25408 3248Q2/Pdisc

1 37216 27232 9984

4 P2/P1 113184 100480 12704Q2/Pdisc

1 147648 107712 39936

5 P2/P1 449856 399616 50240Q2/Pdisc

1 588160 428416 159744

Tabelle 8.2: Freiheitsgrade je Level für die Elemente P2/P1 und Q2/Pdisc1 .

Die Abbildungen 8.2, 8.3 und 8.4 zeigen die Ergebnisse der numerischen Simulation exemplarisch für dieSchrittweite ∆t = 0.01. Für die Betrachtung sind die unterschiedlichen Skalen der Ordinate zu beachten.Auch in diesem Beispiel wurden die Auswertungen von cdrag (8.13) und cli f t (8.14) stets für die konvektiveForm des trilinearen Terms durchgeführt.

Eine erste Bemerkung ist, dass die Abweichungen auf dem Dreiecksgitter im Allgemeinen etwas größer alsauf dem Vierecksgitter sind. Generell liefert die Rotationsform auf Level 3 die ungenauesten Ergebnisse.Dies ist bei Betrachtung des Widerstandsbeiwertes am markantesten. Während es auf der Dreicksdiskre-tisierungen zwischen der konvektiven, der schiefsymmetrischen und der Divergenzform kaum sichtbareUnterschiede gibt, fällt die Rotationsform sehr weit ab. Erst gegen Ende der Simulation, etwa zur Zeitt = 7 s, pendelt sich die Rotationsform hier wieder ein. Ähnliches wiederholt sich, obgleich wenigerausgeprägt, auf den Leveln 4 und 5. Dahingegen ist der Widerstandsbeiwert auf der Vierecksdiskretisie-rung weniger sensitiv gegenüber den verschiedenen Formen des nichtlinearen Terms. In Bezug auf denAuftriebsbeiwert cli f t nähert sich die Kurve der Rotationsform denen der übrigen Formen des trilinearenTerms, welche alle nahezu identisch verlaufen, bereits auf Level 4 an. Auf der Dreiecksdiskretisierungstimmen die Kurven der Rotations- und der Divergenzform auf Level 5 fast überein. Hier ist die Rota-tionsform sogar zeitweise etwas genauer als die Divergenzform. Bei Verwendung des Vierecksgitters istdieser Ausbruch der Divergenzform nicht zu verzeichnen. Bei Betrachtung der Druckdifferenz ist zu be-merken, dass die Abweichungen zwischen den verschiedenen Formen des konvektiven Terms kaum mehrsignifikant sind.

Die Leistungsparameter für die Effizienzauswertung sind in den Tabellen 8.3 und 8.4 dargestellt. Bei derBetrachtung ist zu beachten, dass die gewünschte Genauigkeit für die Schrittweite ∆t = 0.02 im Falle desTaylor-Hood-Elementes P2/P1 nur für die Rotationsform in jedem diskreten Zeitschritt auf allen Levelnerreicht werden konnte. Bei allen anderen Formen kam es im mehreren Schritten vor Erreichen dieser zumAbbruch.

Wie im stationären Fall benötigt auch hier die Rotationsform den meisten Speicherplatz, während dieübrigen Formen diesbezüglich weitestgehend übereinstimmen. Für die Schrittweiten ∆t = 0.005 und∆t = 0.01 ist die konvektive Form für beide Diskretisierungen auf allen Leveln am effizientesten und fürdie Schrittweite ∆t = 0.02 auf dem Viereckgitter ab Level 4. Auf dem Dreickgitter ist die Rotationsform fürdie Schrittweite ∆t = 0.02 auf allen Leveln am effiezientesten. Wie bereits oben erwähnt, liegt dies jedochdaran, dass die Berechnungen für die übrigen Formen, insbesondere im Falle der schiefsymmetrischenForm, oftmals vor Erreichen der gewünschten Norm des Residualvektors abgebrochen wurden. Bezüglichder Laufzeiten für den Löser ist zu bemerken, dass die schiefsymmetrische Form auf der Dreicksdiskreti-sierung oftmals um 25% bis zum Faktor 2 und die Divergenzform zwischen 5 und 25% langsamer ist alsdie konvektive Form des nichtlinearen Terms. Auf dem Vierecksgitter ist die Laufzeit der Divergenzformim Allgemeinen um 5 bis 20% höher als die der konvektiven Form und für die schiefsymmetrische Formim Allgemeinen um den Faktor 2 bis 4.

71


Abbildung 8.2: Fehler zur Referenzkurve des Widerstandsbeiwertes cdrag für P2/P1 (links) und Q2/Pdisc1

(rechts).

72


Abbildung 8.3: Fehler zur Referenzkurve des Auftriebsbeiwertes cli f t für P2/P1 (links) und Q2/Pdisc1

(rechts).

73


Abbildung 8.4: Fehler zur Referenzkurve der Druckdifferenz ∆p zwischen Vorder- und Rückseite des Zy-linders für P2/P1 (links) und Q2/Pdisc

1 (rechts).

74


∆t = 0.005Level Form Iterationen Zeit (Löser) Speicher

3

conv 14307 44156 13174800div 14963 54892 13173184rot 18178 82450 15842704

skew 14937 57727 13173120

4

conv 12521 121828 36195008div 13481 147126 36193392rot 16576 224235 38864608

skew 14828 195585 36193328

5

conv 11083 323318 128878016div 12518 459464 128876400rot 14571 649375 131549408

skew 14717 767251 128876336


3

conv 8693 32705 13174800div 8964 37941 13173184rot 11181 61625 15842704

skew 9891 50853 13173120

4

conv 8007 88101 36195008div 8727 109587 36193392rot 9948 165821 38864608

skew 10283 177397 36193328

5

conv 7211 251079 128878016div 8505 345311 128876400rot 8911 496468 131549408

skew 10718 711119 128876336


3

conv 12508 186632 13174800div 14997 247084 13173184rot 6937 48468 15842704

skew 15903 255892 13173120

4

conv 35079 2557419 36195008div 36480 2664175 36193392rot 6143 107642 38864608

skew 36410 2634130 36193328

5

conv 6491 462202 128878016div 7956 627086 128876400rot 5755 315910 131549408

skew 9759 1021557 128876336

Tabelle 8.3: Leistungsparameter für das Elemente P2/P1 für die verschiedenen Schrittweiten ∆t = 0.005,∆t = 0.01 und ∆t = 0.02: Anzahl der Iterationen je Level, Rechenzeit für den Löser in Sekun-den und benötigter Speicher je Level in MB.

75



3

conv 39246 69117 13804976div 39456 71607 13803328rot 43470 99230 18086128

skew 48831 123927 13803360

4

conv 23674 95724 37934112div 24888 101683 37932464rot 25278 146846 42216944

skew 33044 244806 37932496

5

conv 15484 192389 135399856div 16075 201099 135398208rot 18383 292909 139684448

skew 22088 472646 135398240


3

conv 24337 53693 13804944div 25567 58464 13803328rot 25957 69062 18086128

skew 33973 115605 13803328

4

conv 13023 66443 37934080div 15157 79677 37932464rot 13800 82928 42216944

skew 22702 223848 37932464

5

conv 8880 121050 135399824div 10063 138045 135398208rot 15369 340155 139684448

skew 17083 511417 135398208


3

conv 13696 33536 13804944div 14167 35836 13803328rot 12115 33080 18086128

skew 20538 95014 13803328

4

conv 8195 45918 37934080div 9144 52818 37932464rot 8485 58717 42216944

skew 14594 165199 37932464

5

conv 6787 116486 135399824div 7308 127755 135398208rot 22423 1154747 139684448

skew 13947 549865 135398208

Tabelle 8.4: Leistungsparameter für das Elemente Q2/Pdisc1 für die verschiedenen Schrittweiten

∆t = 0.005, ∆t = 0.01 und ∆t = 0.02: Anzahl der Iterationen je Level, Rechenzeit fürden Löser in Sekunden und benötigter Speicher je Level in MB.

76


8.1.3 Zusammenfassung der Ergebnisse

• Die konvektive, die schiefsymmetrische und die Divergenzform des trilinearen Terms unterscheidensich in den numerischen Simulationen bzgl. der Genauigkeit und des Speicheraufwandes kaum.

• Die Rotationsform liefert insbesondere auf Level 3 die ungenauesten Ergebnisse.

• Die Ergebnisse der konvektiven und der Divergenzform liegen bzgl. der Effizienz dicht beieinander.

• Die schiefsymmetrische Form schneidet im Allgemeinen bzgl. der Effizienz schlecht ab. Eventuellkönnte dies durch Verwendung anderer Parameter behoben werden.

• Die Rotationsform fällt bezüglich der Genauigkeit und des Speicheraufwandes deutlich ab.

77

9 Zusammenfassung und Ausblick

Die numerischen Simulationen haben sowohl im stationären, als auch im instationären Fall ergeben, dassdie konvektive, die schiefsymmetrische und die Divergenzform bezüglich der Genauigkeit und des Spei-cheraufwandes kaum Unterschiede aufweisen. In Bezug auf die Effizienz liefert die schiefsymmetrischeForm allerdings unerwartet schlechte Ergebnisse. Die Rotationsform ist in der hier verwendeten Form nichtzu empfehlen, da sie im stationären Fall in allen Kriterien weit abfällt und im Instationären die Genauigkeitund den Speicheraufwand betreffend schlecht abschneidet.

Weitere numerische Simulationen mit verschiedenen Beispielen sind generell zu empfehlen, um die Aus-wirkungen der unterschiedlichen Formen des nichtlinearen Terms auf die Genauigkeit der Lösung unddie Effizienz noch genauer zu untersuchen. In zukünftigen Studien sollte ferner geklärt werden, ob sichdie Ergebnisse der schiefsymmetrischen Form bezüglich der Effizienz unter Verwendung eines anderenLösers verbessern lassen. Auch ist eine vergleichende Studie zwischen der konvektiven und der schief-symmetrischen Form bei turbulenten Strömungen sinnvoll. Hierfür müsste die vorhandene Implementati-on allerdings auf drei Dimensionen erweitert werden. Des Weiteren könnten aktuellere Arbeiten bezüglichder Rotationsform von Olshanskii, wie beispielsweise jene in Zusammenarbeit mit Rebholz [OR10], inzukünftige Studien mit aufgenommen werden. Dies könnte die Genauigkeit und Effizienz der Ergebnissevon numerischen Simulationen unter Verwendung der Rotationsform sehr zum Positiven beeinflussen. DieAuswirkung der verschiedenen Formen des trilinearen Terms der Navier-Stokes-Gleichungen in numeri-schen Simulationen werden daher auch weiterhin Gegenstand der Forschung sein.

79

Abbildungsverzeichnis

5.1 Beispiel für eine unzulässige Triangulierung mit hängendem Knoten (links) und eine zu-lässige Triangulierung (rechts). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

5.2 Knoten der Lagrange-Elemente auf Dreiecksgittern für k = 1, . . . , 3. . . . . . . . . . . . . 27

6.1 Die in den Simulationen verwendeten Ausgangsgitter (Level 0). Das Dreiecksgitter (links)geht aus dem Vierecksgitter (rechts) hervor, indem jedes Viereck in zwei Dreiecke unter-teilt wird. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

6.2 Konvergenzen der ‖u−uh‖L2(Ω)-Fehler der Formen des konvektiven Terms für unterschied-lichen Diskretisierungen auf Dreiecksgittern (links) und Viereckgittern (rechts). . . . . . . 42

6.3 Konvergenzen der Fehler ‖p− ph‖L2(Ω) der Formen des konvektiven Terms für unterschied-liche Diskretisierungen auf Dreiecksgittern (links) und Viereckgittern (rechts). . . . . . . 43

6.4 Konvergenzen der Fehler ‖∇ (u − uh) ‖L2(Ω) der Formen des konvektiven Terms für unter-schiedliche Diskretisierungen auf Dreiecksgittern (links) und Viereckgittern (rechts). . . . 44

6.5 Gebiet für das zweidimensionale Benchmark-Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 456.6 Geschwindigkeit (oben) und Druck (unten) im Gebiet Ω. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 466.7 Geschwindigkeit (links) und Druck (rechts) am Zylinder. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 476.8 Die in den Simulationen verwendeten Anfangsgitter (Level 0). . . . . . . . . . . . . . . . 516.9 Konvergenzen der Kennwerte cdrag, cli f t und der Druckdifferenz ∆p für die verschiedenen

Formen des konvektiven Terms für die FE-Räume P2/P1 auf Dreiecksgittern (links) undQ2/Pdisc

1 auf Viereckgittern (rechts). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

8.1 Referenzkurven der Kennwerte cdrag, cli f t und der Druckdifferenz ∆p. Es sei auf die unter-schiedlichen Skalen der Ordinate hingewiesen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

8.2 Fehler zur Referenzkurve des Widerstandsbeiwertes cdrag für P2/P1 (links) und Q2/Pdisc1

(rechts). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 728.3 Fehler zur Referenzkurve des Auftriebsbeiwertes cli f t für P2/P1 (links) und Q2/Pdisc

1 (rechts). 738.4 Fehler zur Referenzkurve der Druckdifferenz ∆p zwischen Vorder- und Rückseite des Zy-

linders für P2/P1 (links) und Q2/Pdisc1 (rechts). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

81

Tabellenverzeichnis

6.1 Leistungsparameter bzgl. verschiedener Reynoldszahlen für das Element Pbubble2 /Pdisc

1 : An-zahl der Iterationen je Level, benötigte Zeit für den Löser und Rechenzeit je Level in Se-kunden sowie benötigter Speicher je Level in MB. Rechnungen mit 200 Iterationen sindnicht konvergiert. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

6.2 Leistungsparameter bzgl. verschiedener Reynoldszahlen für das Element Q2/Pdisc1 : Anzahl

der Iterationen je Level, benötigte Zeit für den Löser und Rechenzeit je Level in Sekundensowie benötigter Speicher je Level in MB. Rechnungen mit 200 Iterationen sind nichtkonvergiert. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

6.3 Freiheitsgrade je Level für die Taylor-Hood-Elemente P2/P1 und Q2/Q1. . . . . . . . . . 406.4 Leistungsparameter für die Taylor-Hood-Elemente P2/P1 und Q2/Q1: Anzahl der Itera-

tionen je Level, benötigte Zeit je Iteration und Rechenzeit je Level in Sekunden sowiebenötigter Speicher je Level in MB. Rechnungen mit 200 Iterationen sind nicht konvergiert. 40

6.5 Freiheitsgrade je Level für die Elemente Pbubble2 /Pdisc

1 und Q2/Pdisc1 . . . . . . . . . . . . . 41

6.6 Leistungsparameter für die Elemente Pbubble2 /Pdisc

1 und Q2/Pdisc1 : Anzahl der Iterationen je

Level, benötigte Zeit für den Löser und Rechenzeit je Level in Sekunden sowie benötigterSpeicher je Level in MB. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

6.7 Freiheitsgrade je Level für die Elemente P2/P1 und Q2/Pdisc1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

6.8 Leistungsparameter für das Elemente P2/P1: Anzahl der Iterationen je Level, benötigteZeit für den Löser und Rechenzeit je Level in Sekunden sowie benötigter Speicher je Levelin MB. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

6.9 Leistungsparameter für das Elemente Q2/Pdisc1 : Anzahl der Iterationen je Level, benötigte

Zeit für den Löser und Rechenzeit je Level in Sekunden sowie benötigter Speicher je Levelin MB. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

8.1 Vergleich der maximalen Koeffizienten aus [Joh04] und [JR10]. . . . . . . . . . . . . . . 698.2 Freiheitsgrade je Level für die Elemente P2/P1 und Q2/Pdisc

1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 718.3 Leistungsparameter für das Elemente P2/P1 für die verschiedenen Schrittweiten ∆t =

0.005, ∆t = 0.01 und ∆t = 0.02: Anzahl der Iterationen je Level, Rechenzeit für denLöser in Sekunden und benötigter Speicher je Level in MB. . . . . . . . . . . . . . . . . 75

8.4 Leistungsparameter für das Elemente Q2/Pdisc1 für die verschiedenen Schrittweiten ∆t = 0.005,

∆t = 0.01 und ∆t = 0.02: Anzahl der Iterationen je Level, Rechenzeit für den Löser in Se-kunden und benötigter Speicher je Level in MB. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

83

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Documents

Über Formen des konvektiven Terms in Finite-Elemente ... · Über Formen des konvektiven Terms in Finite-Elemente-Diskretisierungen der inkompressiblen Navier-Stokes-Gleichungen