「グラフ理論」第 7 章グラフの彩色問題

Zeynep Yucel

岡山大学工学部情報系学科zeynep@okayama-u.ac.jp

https://yucelzeynep.github.io/teaching.html

1 / 15

定理7.12染色多項式

点数 n の任意のグラフ G の染色多項式 P(G , k) は色数 kに関する n 次多項式

点数 n のグラフ G において，辺数 q に関する数学的帰納法で証明

q = 0 のとき, G = Nn となるため, P(G , k) = kn

辺数 q − 1, ( q ≥ 1) で成立すると仮定

P(G − e, k) は, グラフ G − e が点数 n, 辺数 q − 1 のためn 次多項式, P(G 〈e〉, k) は点数 n − 1, 辺数 q − 1 のためn − 1 次多項式

P(G , k) = P(G − e, k)− P(G 〈e〉, k) となるため， P(G , k)はn次多項式

2 / 15

染色多項式と辺数の関係

P(G , k) における kn−1 の係数は, 辺数を -1 倍したもの

点数 n 辺数 m のグラフ G において辺数に関する数学的帰納法で証明

m = 0 のとき, G = Nn となるため, P(G , k) = kn で, kn−1

の係数は0 ( 0 = −m )辺数 m = α+ 1 ( α ≥ 0) で, kn−1 の係数は −α であると仮定

e が G の任意の辺であればグラフ G − e の点数 n, 辺数 α

P(G − e, k) = kn − αkn−1 . . .

グラフ G 〈e〉 の点数 n − 1, 辺数 α

P(G 〈e〉, k) = kn−1 − . . .P(G , k) = P(G − e, k)− P(G 〈e〉, k) となるため

P(G , k) = kn − (α+ 1)kn−1 . . .3 / 15

7.4 彩色アルゴリズム

貪欲法に基づく点彩色問題へのヒューリスティックアルゴリズム

貪欲法では,

各点を何らかの指標に基づいて一列に並べて

その順に彩色可能な最小の色 (番号) を割り当てる

4 / 15

点彩色アルゴリズム-1

(i) グラフの各点の次数を求め, その降順 (大きい順) にソート

2 つ以上の点の次数が同じ場合, それらをラン ダムにソート

(ii) (i) のソート順に, 各点に彩色可能な最小の色 (番号) を割り当て

v1

v2v3

v4v5

G v4, v1, v5, v2, v3

1, 2, 3, 4, 4

5 / 15

点彩色アルゴリズム-2 (DSatur法)

(i) グラフの未彩色の点に対して, その隣接点の異なる色の数を求め, それが最大となる点を選択

2 つ以上の点が最大となる場合, 次数が最大の点を選択

次数も同点の場合は, ランダムに選択(ii) (i) で選ばれた点に彩色可能な最小の色 (番号) を割り当て(iii) (i) & (ii) を全ての点が彩色されるまで繰り返し

v1

v2v5

v3v4

v6

G 可能の並べ方の1つ

v6, v1, v2, v3, v4, v5

1, 2, 3, 2, 3, 4

他の可能の並べ方

v6, v1, v2, v5, v4, v3

1, 2, 3, 2, 3, 4

6 / 15

7.5 彩色問題の応用

(i) 地図の彩色問題

(ii) ナンバープレース問題

(iii) 電車のプラットフォーム選択問題

(iv) 無線メッシュネットワークのリンク動作問題

(v) リンクスケジューリング 問題

(vi) . . .

(i), (ii) と (iii) の説明

7 / 15

地図の彩色問題

外領域を含む, 地図上の各領域を, 隣接領域同士が同じ色とならないように彩色する問題

日本地図では, 各領域は都道府県・海 (外領域)

8 / 15

地図の彩色

3辺連結な平面グラフを地図と呼ぶ

境界の両側は異なる領域になる次数2の点は存在しない

任意の地図に対して,

各領域 (面) を点で表す隣接領域同士に対応する2 点間に辺を付ける幾何学的双対グラフを作る

4色定理より, 任意の地図は4 色で彩色可能

9 / 15

地図の彩色の例

京都

大阪

兵庫

奈良

和歌山

三重

滋賀

外面

10 / 15

定理7.14地図の2彩色可能条件

地図の各領域が2彩色可能であるための必要十分条件はグラフ G がオイラーグラフであることですオイラーグラフはオイラーサーキットをもつグラフオイラーサーキットはグラフのすべての辺を含むサーキットサーキットは始点と終点が同じトレイル

例

v1 v2

v3v4

1

2

1 2

11 / 15

定理7.14地図の2彩色可能条件

地図の各領域が2彩色可能であるための必要十分条件は

グラフ G がオイラーグラフであることです

証明 ⇒グラフ G の各点 v の周りの面からなる G の幾何学的双対グラフは G ∗

G の幾何学的双対 G ∗ において, G の点 v の周りの領域に対応するサイクルの長さ ( dG (v) ) が奇数だと, これらの領域は2彩色不可能

v1 v2

v3v4

G

A

B

C DA B

CD

G ∗1

2

1

2

12 / 15

7.5.2ナンバープレース問題

問題の入力

9行9列のマス目が3行3列のブロックに分けられており(計9ブロック), 一部のマス目には1 ∼ 9 のいずれかの数字が記入済み

問題の出力

空いているマス目に, 縦・横の同じ列, および, 同じブロック内に, 同じ数字が重複しないように, 1 ∼ 9 のいずれかの数字を記入

13 / 15

ナンバープレース問題

彩色問題への変換

各マス目を点で表し, 同じ数字が記入できないマス目同士(同一行, 同一列, 同一ブロック) に辺を与えたグラフ H を考える

ナンバープレース問題は, このグラフ H に対する9 色での彩色問題

4× 4 の例

14 / 15

電車のプラットフォーム選択問題

彩色問題への変換

大きな終着駅では, 複数のプラットフォームを利用して多数の電車が発着

各電車がどのプラットフォームを利用するかの選択が必要

同じ時刻に駅に滞在する電車同士は, 同じプラットフォームを選択不可

グラフに対する彩色問題

電車を点同じ時刻に駅に滞在する電車同士に対応する点間に辺

15 / 15