1

Číslicové zpracování signálů

a Fourierova analýza

www.kme.zcu.cz/kmet/exm

2

Obsah prezentace

1. Úvod a motivace

2. Data v časové a frekvenční oblasti

3. Fourierova analýza – teoreticky

4. Fourierova analýza – prakticky

5. Závěr

3

Cíle přednášky

Uvedení studenta do problematiky číslicového zpracování signálů

Seznámení se základy Fourierovy analýzy signálů

Praktická realizace Fourierovy analýzy …

Některé obrázky v této prezentaci jsou převzaty z jiných zdrojů (Balda M.: Statistická

mechanika, ZČU v Plzni. Tůma J.: Zpracování signálů z mechanických systémů užitím

FFT, Sdělovací technika, 1997. Materiály Bruel & Kjaer …)

4

1 Úvod a motivace

V experimentální mechanice se pracuje s naměřenými daty, které

mají specifickou formu

Děje v reálném světě jsou spojité, ale záznam z měření

zpracovatelný na počítači je ve většině případů diskrétní

Je nutné s diskrétními (tzv. navzorkovanými) daty umět pracovat a

je nutné umět provádět jejich analýzu

Navzorkovaný signál je v počítači reprezentován většinou ve formě

vektoru (případně matice) čísel

Formát čísla (integer, real, mantisa) je rovněž důležitým parametrem

zpracování

Analýza naměřených dat nám umožní …

5

2 Data v časové a ve frekvenční oblasti

6

Při experimentálním měření a zpracování výsledných signálů je

prvním velmi důležitým pojmem tzv. vzorkovací frekvence (počet

vzorků diskrétního signálu za jednu sekundu)

Zejména je nutné, aby diskrétní signál nebyl podvzorkovaný

Dle typu následné analýzy mohou být na signál kladeny další

podmínky

Příklad:

Funkce y(t) = sin(2 ft) s frekvencí f = 1 Hz a různými vzorkovacími

frekvencemi fv = 100, 10, 4, 3 Hz

Data v časové oblasti – vzorkování

7

Data v časové oblasti – vzorkování

8

Data v časové oblasti – vzorkování

9

Data v časové oblasti – vzorkování

10

Data v časové oblasti – vzorkování

11

Data v časové oblasti

Data v časové oblasti má smysl v některých případech zpracovat

pomocí nástrojů matematické statistiky

Průměr, střední hodnota, rozptyl, směrodatná odchylka, momenty

atd.

Existují další specializované algoritmy vhodné pro konkrétní analýzy

z hlediska mechaniky

Například metoda stékání deště apod.

Velmi často pracují s histogramy četnosti

Samostatnou kapitolou jsou různé filtry, které ovšem už pracují také

s daty ve frekvenční oblasti

12

Data v časové oblasti – průměrování

Jedním ze základních nástrojů používaných na data v časové

oblasti je tzv. průměrování

Lze použít matematický nástroj nazvaný klouzavý průměr, který

umožní vyhladit zpracovávaný signál a částečně ho zbavit například

určitého šumu, je možné vylepšit vážením

Je ovšem nutné věnovat pozornost tomu, aby nedošlo ke ztrátě

reálné informace, která z povahy měřeného jevu má být v signálu

obsažena

Příklad: Zašuměná funkce y(t) = sin(2 1t) + 0.3*sin(2 5t) + šum,

použití neváženého pětibodového klouzavého průměru

13

Data v časové oblasti – průměrování

14

Data v časové oblasti – průměrování

15

Data v časové oblasti – průměrování

16

3 Fourierova analýza - teoreticky

Analýza časových signálů pomocí jejich převedení do frekvenční

oblasti

Fourierova řada – aproximace periodických funkcí/signálů pomocí

váženého součtu harmonických funkcí

Definice Fourierovy transformace (X( ) – obraz, x(t) – originál):

17

3 Fourierova analýza

Přímá vs. zpětná Fourierova transformace …

Různé varianty FT:

Spojitá Fourierova transformace

Fourierova transformace signálu s diskrétním časem

Diskrétní Fourierova transformace – přirozená varianta pro

signály zpracovávané pomocí počítače

Rychlá Fourierova transformace – rychlý algoritmus pro

Fourierovu transformaci diskrétních signálů

18

3 Fourierova analýza

Diracův impuls (t) – důležitá funkce pro Fourierovu transformaci

,

Vlastnosti

19

3 Fourierova analýza

Diracův hřeben a vzorkování

Pro spojitou funkci f(t0) platí

20

3 Fourierova analýza

Jestliže je originál periodická funkce x(t) = x(t+T) s periodou T,

potom obraz X( ) nabývá nenulových hodnot jen pro úhlové

frekvence X(2 k/T), kde k = …, -2, -1, 0, 1, 2, …

Fourierova transformace Diracova impulsu

21

3 Fourierova analýza

Fourierova transformace harmonických funkcí

22

3 Fourierova analýza

23

3 Fourierova analýza

Vzorkovací teorém – aby nedocházelo ke zkreslení Fourierova obrazu při

FT originálu, musí být vzorkovací frekvence alespoň dvojnásobkem nejvyšší

frekvence obsažené v signálu originálu

Diskrétní Fourierova transformace (h – originál, H – obraz, N je počet

vzorků, T – je perioda vzorkování)

Souvislost obrazů při DFT a spojité FT, a koeficientů F. řady cn originálu

24

4 Fourierova analýza – prakticky

V experimentální mechanice je důležitá schopnost analyzovat frekvenční

spektrum změřeného signálu

Frekvenční spektrum signálu (intuitivní nerigorózní vysvětlení) – soubor

frekvencí obsažených v původním signálu – množina frekvencí harmonických

funkcí, na které lze změřený signál rozložit

Nejvhodnější nástroj – rychlá varianta diskrétní Fourierovy transformace (FFT)

Praktická realizace

Konkrétní možnosti analyzátoru nebo software používaného při měření

MATLAB – funkce fft

25

4 Fourierova analýza – prakticky

function myfft(h,t)

% Jedna z variant …

L = length(h);

Fs = 1/(t(2)-t(1));

NFFT = 2^nextpow2(h);

H = fft(h,NFFT)/L;

f = Fs/2*linspace(0,1,NFFT/2);

stem(f,2*abs(H(1:NFFT/2)),'r')

title('Jednostranne spektrum funkce h(t)')

xlabel('f [Hz]')

ylabel('|H(f)|')

26

4 Fourierova analýza – prakticky

sinus s frekvencí 1 Hz

27

4 Fourierova analýza – prakticky

sinus s frekvencí 1 Hz, necelistvý počet period

28

4 Fourierova analýza – prakticky

Použití časových oken – eliminace efektu necelistvých period ve zpracovávaném signálu

29

4 Fourierova analýza – prakticky

harmonický signál s frekvencemi 5, 20 a 43 Hz

30

5 Závěr

Vždy je nutné si stanovit, co je cílem při zpracování konkrétního změřeného

signálu

Je velmi důležité mít představu o fyzikálních (mechanických) dějích, které

charakterizují měřený jev

Fourierova analýza je velmi mocný nástroj pro porozumění studovanému signálu a pro vyhodnocení různých důležitých vlastností zkoumaného problému