Gordana Savic, gordana.savic@fon.bg.ac.rs4/22/2020

1

OPERACIONA ISTRAŽIVANJA

GORDANA SAVIĆ

UNIVERZITET U BEOGRADU, FAKULTET ORGANIZACIONIH NAUKALABORATORIJA ZA OPERACIONA ISTRAŽIVANJA ”JOVAN PETRIĆ”

CENTAR ZA MERENJE EFIKASNOSTI

Sadržaj

Upravljanje projektima Mrežno planiranje

2

Mrežno planiranje3

Mrežno planiranje (MP)

Definicija projekta

Projekat je posao koji ima jasno određen cilj koji treba postići u datom vremenskom periodu uz korišćenje raspoloživih resursa.

4

Mrežno planiranje (MP)

Definicija projekta

Projekat je jedinstven proces koji se sastoji od skupakoordinisanih i kontrolisanih aktivnosti, sa određenimdatumima početaka i završetaka, koje se preduzimaju dabi se isporučio proizvod (ili usluga) u skladu sapostavljenim zahtevima, pri čemu postoje ograničenja navreme, troškove i resurse.

5

Planiranje projekta6

Planiranje projekta

Kreativan posao kojim se utvrđuju sadašnji ibudući pravci akcije da bi se postavljeni ciljeviostvarili i da bi budućnost bila onakva kakva seželi.

7

Plan projekta

dokument kojim se utvrđuju specifične tehnike, resursi i nizovi aktivnosti (poslova), potrebni za postizanje ciljeva projekta.

8

Faze planiranja projekta

Analiza strukture Analiza vremena Analiza troškova Analiza i raspodela resursa

9

Analiza strukture10

Analiza strukture

Razlaganje projekta na aktivnosti (poslove) Utvrđivanje logičkih zavisnosti između

aktivnosti Izrada mrežnog dijagrama

11

Lista aktivnosti12

Primer: preseljenje radioniceR. Br.

Aktivnost Oznaka Prethodna akt. Trajanje (dan)

1. Izabrati novu lokaciju A - 3

2. Izraditi fin. i organizacioni plan B - 5

3. Utvrditi kadrovske potrebe C B 3

4. Projektovati raspored u radionici D A, C 4

5. Urediti unutrašnjost E D 7

6. Odrediti ljude koji će biti premešteni F C 2

7. Zaposliti nove ljude G F 4

8. Preseliti opremu i dokumenta H G 2

9. Napraviti ugovore I B 5

10. Obučtiti osoblje J H, E, G 3

13

Mrežno planiranje

14

Mrežno planiranje

je metoda za planiranje projekta zasnovana na primeni teorije grafova.

15

Tipovi mrežnih dijagrama

Mrežni dijagram sa aktivnostima na granama -MDG

Mrežni dijagram sa aktivnostima u čvorovima –MDČ (PDM -Precedence Diagram Method)

16

Aktivnosti na granama Aktivnost je predstavljena granom. Svaka aktivnost ima jedan početni i jedan završi događaj. Čvorovi predstavljaju događaje.

Ei – trenutak najranijeg dešavanja događaja Li – trenutak najkasnijeg dešavanja događaja

17

tij cij(i,j)Ei Li

Si

iEj Lj

Sj

j

Aktivnosti na granama

Pravila za crtanje mrežnog dijagrama: Svaki projekat ima jedan početni i jedan završni

događaj. Aktivnost može početi teka kada se zavše sve

prethodne. Ne postoje ciklusi. Dve i više aktivnosti ne mogu da počinju i da se

završavaju u istom događaju (u tom slučaju se uvode fiktivne aktivnosti).

18

Analiza strukture – mrežni dijagram

Zadata je sledeća lista aktivnosti:

Nacrtati mrežni dijagram?

19

Aktivnost A B C D E F G H I J

Prethodna - - A A B D C, F D E, H G, I

Analiza strukture – mrežni dijagram20

•Sve aktivnosti su započele.•Aktivnost J nije završena.•ZA sve nezavršene aktivnosti kreira se jedan završni događaj kao završni događaj projekta.

A

B

C

DF

E

G

HI

J

Aktivnost A B C D E F G H I J

Prethodna - - A A B D C, F D E, H G, I

Numeracija mrežnog dijagrama21

•Pravilo Fulkersona•Događaji se numerišu u rastućem redosledu od početka prema kraju projekta (s leva na desno, odozgo na dole)•Pri numeraciji događaja se vodi računa da se događaji mogu numerisati samo ako su sve prethodne aktivnosti završene.

A

B

C

DF

E

G

HI

J

Numeracija mrežnog dijagrama22

•Numeriše se prvi događaj i precrtavaju sve aktivnosti koje počinju u događaju 1.•Prema pravilu odozgo na dole numerišu se završni događaji A i B i precrtavaju aktivnosti C i D koje počinju u događaju 2 i E koja počinje u događaju 3.•Prema pravilu s leva na desno numeriše se završni događaj D precrtavaju aktivnosti F i H.•Numeracija se nastavlja na isti način.

A

B

C

DF

E

G

HI

J1

2

3

4

5

6

7 8

Analiza vremena

Cilj: određivanje trajanja projekta

Definicija: Dužina trajanja projekta je jednaka dužini najdužeg puta.1. Najduži put od početnog do zvaršnog događaja

projekta je kritični put.2. Dužina puta: Zbir trajanja aktivnosti na putu.

23

Analize vremena

Metode analize vremena

U zavisnosti od prirode vremena trajanja aktivnosti koriste se: Metoda kritičnog puta (CPM - Critical Path Method) Deterministička trajanja aktivnosti

Program evaluacije i revizije projekta (PERT - ProgrammeEvaluation and Review Technique) Stohastička trajanja aktivnosti

24

CPM metoda

Vremena trajanja aktivnosti (i,j) su zadati deterministički.

Zadaju se dva vremena trajanja: tn(ij) – normalno vreme realizacije aktivnosti (ij) (pri

normalnim uslovima) tu(ij) – usiljeno vreme realizacije aktivnosti (ij) (najkraće

vreme realizacije aktivnosti pri idelanim uslovima) tn(ij) ≥tu(ij)

25

CPM metoda

Procedura: Izračunati najranije vreme realizacije događaja

projekta Izračunati najkasnija vremena realizacije događaja

projekta Izračunati vremenske rezerve

26

CPM metoda- Primer

Zadata je sledeća lista aktivnosti njihova i trajanja:

27

Aktivnost A B C D E F G H I J

Prethodna - - A A B D C, F D E, H G, I

Trajanje 3 6 6 7 2 1 3 3 1 1

Σ 37

Aktivnosti na granama -nomenklatura Aktivnost je predstavljena granom. Svaka aktivnost ima jedan početni i jedan završi događaj. Čvorovi predstavljaju događaje.

28

tij cij(i,j)Ei Li

Si

iEj Lj

Sj

j

Ei – trenutak najranijeg dešavanja događaja

Li – trenutak najkasnijeg dešavanja događaja

Si – vremenska rezerva događajatij – vreme trajanja aktivnosti (i,j)cij – tošak realizacije aktivnosti (i,j)

Najranije vreme realizacije događaja

29

Ei1 j

EjtijjEi

j

Eii

Ei

tij

i

i

tij

tij

Ej

Ej = Ei+ tijEj = { }ijiji tE +−Γ∈ )(1max

Ukoliko je samo jedan događaj iprethodnik događaja j.

Ukoliko su više događaja iprethodici događaja j.

E1 =0 Najraniji trenutak realizacije prvog događaja je jednak 0.

Najranije vreme realizacije događaja

30

0 1A

B

C

D F

E

H

G

I J

3 2

6 3

4

5

6

7 8

3

6

7

6

5

2

3 1

3

1

Ej = Ei+ tijE1 =0

E2 = E1+ t12 =0+3=3E3 = E1+ t13 =0+6=6

Najranije vreme realizacije događaja

31

0 1A

B

C

D F

E

H

G

I J

3 2

6 3

104

5

6

7 8

12

13

3

6

7

6

5

2

3 1

3

1

E5 =2 25

4 45

3 6 9max 12

10 2 12E t

E t+ = + =

= + = + =

E4= E3+t34 =3+7=10

E6=3 36

4 46

6 5 11max 13

10 3 13E tE t

+ = + = = + = + =

Najranije vreme realizacije događaja

32

0 1A

B

C

D F

E

H

G

I J

3 2

6 3

104

5

6

7 9

12

13

15 16

3

6

7

6

5

2

3 1

3

1

E7 =5 57

6 67

12 3 15max 15

13 1 14E tE t+ = + =

= + = + = E8= E7+t78 =15+1=16

Najranije vreme realizacije događaja

33

0 1A

B

C

D F

E

H

G

I J

3 2

6 3

104

5

6

7 8

12

13

15 16

3

6

7

6

5

2

3 1

3

1

Ei1 j

EjtijjEi

j

Eii

Ei

tij

i

i

tij

tij

Ej

Ej = Ei+ tijEj = { }ijiji tE +−Γ∈ )(1max

Najkasnije vreme realizacijedogađaja

34

Ljj

Lii

Li=Lj - tij

tij tij

Litij

j

i j

j

tij

Lj

Lj

Lj

Li= { }ijjij tL −Γ∈ )(minUkoliko je samo jedan događaj j sledbenik događaja i.

Ukoliko su više događaja jsledbenici događaja i.

Ln=EnNajkasniji trenutak realizacije poslednjeg događaja n je jednak najranijem trenutku realizacije.

Najkasnije vreme realizacijedogađaja

35

0 1A

B

C

D F

E

H

G

I J

3 2

6 3

104

5

6

7 8

12

13

15 16

3

6

7

6

5

2

3 1

3

115 16

Li= Lj – tijL8= E8 =16L7= L8 –t78=16-1=15

Najkasnije vreme realizacijedogađaja

36

0 1A

B

C

D F

E

H

G

I J

3 2

6 3

104

5

6

7 8

12

13

15 16

3

6

7

6

5

2

3 1

3

115 16

14

10

12

L6= L7 –t67=15-1=14L5= L7 –t57=15-3=12

L4=5 45

6 46

12 2 10min 10

14 3 11L tL t− = − =

= − = − =

Najkasnije vreme realizacijedogađaja

37

0 1A

B

C

D F

E

H

G

I J

32

6 3

104

5

6

7 8

12

13

15 16

3

6

7

6

5

2

3 1

3

115 16

14

10

123

9

0

L3= L6 –t36=14-5=9

L2=5 25

4 24

12 6 6min 3

10 7 3L tL t− = − =

= − = − =

L1=2 12

3 13

3 3 0min 0

9 6 3L tL t− = − =

= − = − =

Kritičan put – najduži put u projektuNajranije vreme realizacije događaja na kritičnom putu je isto kao najkasnije vreme.

38

01

A

B

C

D F

E

H

G

I J

32

63

104

5

6

7 8

12

13

15 16

3

6

7

6

5

2

3 1

3

10

3

914

12

10

15 160

0

3

0

1

0

0 0

P = (A, D, E, G, J)

P = ((1, 2), (2, 4), (4, 5), (5, 7), (7, 8))

P = (1, 2, 4, 5, 7, 8).

12 24 45 57 78( , )

3 7 2 3 1 16n n iji j P

T E L t t t t t t∈

= = = = + + + + = + + + + +∑

Vremenske rezerve događaja39

01

A

B

C

D F

E

H

G

I J

32

63

104

5

6

7 8

12

13

15 16

3

6

7

6

5

2

3 1

3

10

3

914

12

10

15 160

0

3

0

1

0

0 0

iii ELS −=

iii ELS −=

Koliko se i kako mogu izvršiti pomeranja dogašaja koji nisu na kritičnom putu.

Događaj (i)

Rezerva (Si) Događaj (i)

Rezerva (Si)

1 5

2 6

3 7

4 8

1 1 1 0 0 0S L E= − = − =

2 2 2 3 3 0S L E= − = − =

3 3 3 9 6 3S L E= − = − =

4 4 4 10 10 0S L E= − = − =

5 5 5 12 12 0S L E= − = − =

6 6 6 14 13 1S L E= − = − =

7 7 7 15 15 0S L E= − = − =

8 8 8 16 16 0S L E= − = − =

Vremenske rezerve aktivnosti

Koliko se i kako mogu izvršiti pomeranja aktivnostikoje nisu kritične.

40

Ukupna vremenska rezerva

koliko najviše može da se promeni trajanje aktivnosti ada se trajanje projekta ne promeni, pod uslovom da setrajanja drugih aktivnosti ne menjaju. Ona je je razlikaizmeđu ukupnog vremena koje može biti dodeljenoaktivnosti i vremena sa kojim je aktivnost ušla u plan.

41

Ft(i,ј) = Lj – Ei – tiј

Ukupna vremenska rezerva42

01

A

B

C

D F

E

H

G

I J

32

63

104

5

6

7 8

12

13

15 16

3

6

7

6

5

2

3 1

3

10

3

914

12

10

15 160

0

3

0

1

0

0 0

Aktivnost (i,j)

Rezerva (Si) Događaj (i)

Rezerva (Si)

A (1,2) F (4,5)B (1,3) G (5,7)C (2,5) H (4,6)D (2,4) I (6,7)E (3,6) J (7,8)

(1,2) 3 0 3 0tF = − − =

Ft(i,ј) = Lj – Ei – tiј

(1,3) 9 0 6 3tF = − − =

(2,5) 12 3 6 3tF = − − =

(2,4) 10 3 7 0tF = − − =

(4,5) 12 10 2 0tF = − − =

(5,7) 15 12 3 0tF = − − =

(4,6) 14 10 3 1tF = − − =

(3,6) 14 6 5 3tF = − − =(6,7) 15 13 1 1tF = − − =

(7,8) 16 15 1 0tF = − − =

Slobodna vremenska rezerva

koliko je maksimalno moguće produžiti aktivnost (i,j) a da to neutiče na početak sledeće aktivnosti.

tj. ako sve aktivnosti treba da počnu u svojim najranijimtrenucima, da li neke od njih mogu biti produžene, ili njihovpočetak može zakasniti, a da to ne utiče na trajanje projektaniti početke drugih aktivnosti.

43

Ff(i,ј) = Eј – Ei - tiј

Slobodna vremenska rezerva44

01

A

B

C

D F

E

H

G

I J

32

63

104

5

6

7 8

12

13

15 16

3

6

7

6

5

2

3 1

3

10

3

914

12

10

15 160

0

3

0

1

0

0 0

Aktivnost (i,j)

Rezerva (Si) Događaj (i)

Rezerva (Si)

A (1,2) F (4,5)B (1,3) G (5,7)C (2,5) H (4,6)D (2,4) I (6,7)E (3,6) J (7,8)

(1,2) 3 0 3 0fF = − − =

(1,3) 6 0 6 0fF = − − =

(2,5) 12 3 6 3fF = − − =

(2,4) 10 3 7 0fF = − − =

(4,5) 12 10 2 0fF = − − =

(5,7) 15 12 3 0fF = − − =

(4,6) 13 10 3 0fF = − − =

(3,6) 13 6 5 2fF = − − =(6,7) 15 13 1 1fF = − − =

(7,8) 16 15 1 0fF = − − =

Ff(i,ј) = Eј – Ei - tiј

Nezavisna vremenska rezervaFt(i,ј)≥ Ff(i,ј) ≥ FI(i,ј)

Ako se svaka prethodna aktivnost završava u najkasnijimtrenucima, a svaka sledeća mora da počne u najranijemtrenutku, tada još uvek može da postoji vremenska rezervaaktivnosti.

Za koliko aktivnost može biti produžena a da to ne utiče natrajae projekta bez obzira da li se na drugim aktivnostimavrše pomeranja u okviru njihovih vremenskih rezervi.

45

FI(i,ј) = mаx { 0; Eј – Li – tiј }

Nezavisna vremenska rezerva46

01

A

B

C

D F

E

H

G

I J

32

63

104

5

6

7 8

12

13

15 16

3

6

7

6

5

2

3 1

3

10

3

914

12

10

15 160

0

3

0

1

0

0 0

Aktivnost (i,j)

Rezerva (Si) Događaj (i)

Rezerva (Si)

A (1,2) F (4,5)B (1,3) G (5,7)C (2,5) H (4,6)D (2,4) I (6,7)E (3,6) J (7,8)

(1,2) 3 0 3 0IF = − − =

(1,3) 6 0 6 0IF = − − =

(2,5) 12 3 6 3IF = − − =

(2,4) 10 3 7 0IF = − − =

(4,5) 12 10 2 0IF = − − =

(5,7) 15 12 3 0IF = − − =

(4,6) 13 10 3 0IF = − − =

(3,6) min{13 9 5,0} 0IF = − − =(6,7) 15 14 1 0IF = − − =

(7,8) 16 15 1 0IF = − − =

FI(i,ј) = mаx { 0; Eј – Li – tiј }

PERT metoda –Procene trajanja aktivnosti

Kada trajanje aktivnosti nije precizno poznato, koriste se sledeće tri procene:

a – optimistička procena trajanja aktivnosti m – procena najverovatnijeg trajanja aktivnosti b – pesimistička procena trajanja aktivnosti

47

Histogram i raspodela vremenatrajanja aktivnosti

Histogram trajanja

48

Funkcija gustine β raspodele

tt

h ϕ(t)

a – optimistička procena trajanja aktivnostim – procena najverovatnijeg trajanja aktivnostib – pesimistička procena trajanja aktivnosti

Aproksimacija

Pod izvesnim pretpostavkama, za koje se može reći da su u praksi najčešće ispunjene, promenljiva koja podleže beta raspodeli čiji su parametri a, m i b ima matematičko očekivanje t i varijansu σ2 koji se računaju po sledećim približnim obrascima

49

64 bmat ++≈

36)( 22 ab −≈σ

Trajanje projekta

Trajanje projekta je slučajna promenljiva približno raspodeljena po zakonu normalne raspodele.

Matematičko očekivanje trajanja projekta TP jednako je zbiru matematičkih očekivanja trajanja aktivnosti na kritičnom putu P

Varijansa trajanja projekta je jednaka zbiru varijansi trajanja aktivnosti na kritičnom putu

50

∑∈

Π =Pji

ijtT),(

∑∈

Π =Pji

ij),(

22 σσ

Određivanje trajanja projekta Izračunaju se očekivana trajanja te i varijanse σ za

svaku aktivnost korišćenjem obrazaca za izračunavanje približnih vrednosti.

Konstruiše se mrežni dijagram i odredi kritičan put iočekivano trajanje projekta računajući najranija inajkasnija vremena realizacije događaja uzimajući u obzir očekivana trajanja aktivnosti.

Izračunaju se matematičko očekivanje i varijansatrajanja projekta.

51

Normalna raspodela

Trajanje projekta Tp podleže normalnoj raspodeli

52

dteTTT

et

oT Tt

oo

Tt

∫∞−

Π−−

Π−−

=≤=Φ

=ϕ

2

2

2

2

21)(obPr)(

21)(

σ

σ

πσ

πσ

z z z

ϕ(z) Φ(z)

1

0,5

1 2 3-1-2-3

Kritičan put i trajanje projekta Kritičan put je ABEH, očekivano trajanje je 17 dana i σ2 je 0,777.

Verovatnoća da će se aktivnosti A,B,E,H završiti za 18 dana je 0,873.

Očekivano trajanje aktivnosti A,D,G,H je 16,33 ali je σ2 =4,1.

Verovatnoća da će se aktivnosti A,D,G,H završiti za 18 dana je 0,796.

53

1

0 0

2

2 2

6

13 13

5

19/3 7

4

4 10

3

9 9

7

17 17

A2

C 2 H4

F 3

B 7 E 4

D 13/3

G 6

Pitanja

Definicija projekta?

Šta je plan projekta? Faze planiranja projekta? Analiza strukture? Šta je mrežni dijagram? Vrste mrežnih dijagrama? Analiza strukture?

54

Pitanja

Naraniji početak događaja? Najkasniji početak događaja? Kritičan put? Šta su vremense rezerve?

Ukupna vremenska rezerva? Slobodna vremenska rezerva? Nezavisna vremenska rezerva? PERT vreme?

55

Pitanja

Očekivano trajanje projekta? Varijansa trajanja projekta? Ukupno vreme trajanja projekta? Faze u određivanju trajanja projekta?

56

57

Hvala na pažnji

Operaciona istraživanja��Gordana Savić�� univerzitet u beogradu, fakultet organizacionih nauka�laboratorija za operaciona istraživanja ”jovan petrić”�centar za merenje efikasnosti�SadržajMrežno planiranjeMrežno planiranje (MP)Mrežno planiranje (MP)Planiranje projektaPlaniranje projektaPlan projektaFaze planiranja projektaAnaliza struktureAnaliza struktureLista aktivnostiPrimer: preseljenje radioniceSlide Number 14Mrežno planiranjeTipovi mrežnih dijagramaAktivnosti na granamaAktivnosti na granamaAnaliza strukture – mrežni dijagramAnaliza strukture – mrežni dijagramNumeracija mrežnog dijagramaNumeracija mrežnog dijagramaAnaliza vremenaAnalize vremenaCPM metodaCPM metodaCPM metoda- PrimerAktivnosti na granama - nomenklaturaNajranije vreme realizacije događajaNajranije vreme realizacije događajaNajranije vreme realizacije događajaNajranije vreme realizacije događajaNajranije vreme realizacije događajaNajkasnije vreme realizacije događajaNajkasnije vreme realizacije događajaNajkasnije vreme realizacije događajaNajkasnije vreme realizacije događajaKritičan put – najduži put u projektu�Najranije vreme realizacije događaja na kritičnom putu je isto kao najkasnije vreme.Vremenske rezerve događajaVremenske rezerve aktivnostiUkupna vremenska rezervaUkupna vremenska rezervaSlobodna vremenska rezervaSlobodna vremenska rezervaNezavisna vremenska rezerva�Ft(i,ј)≥ Ff(i,ј) ≥ FI(i,ј)Nezavisna vremenska rezervaPERT metoda – �Procene trajanja aktivnostiHistogram i raspodela vremena trajanja aktivnostiAproksimacijaTrajanje projektaOdređivanje trajanja projektaNormalna raspodelaKritičan put i trajanje projektaPitanjaPitanjaPitanjaSlide Number 57