OPERASI PADA BILANGAN BERPANGKAT ... · Web viewSISTEM BILANGAN REAL MACAM-MACAM BILANGAN REAL Dari segi kegunaannya, bilangan adalah suatu ide yang digunakan untuk menggambarkan

SISTEM BILANGAN REAL

A. MACAM-MACAM BILANGAN REAL

Dari segi kegunaannya, bilangan adalah suatu ide yang digunakan untuk

menggambarkan atau mengabstraksi banyaknya anggota suatu himpunan.

Bilangan adalah suatu ukuran dari besaran dan dapat digolongkan menjadi

beberapa macam, yaitu :

1. Bilangan Asli

Bilangan yang pertama kali dikenal orang adalah bilangan asli. Bilangan

asli adalah bilangan yang anggotanya dimulai dari 1,2,3, … dst,

dilambangkan dengan huruf “A” dan ditulis A= dst.

Bilangan asli menurut konsep terdiri atas :

a. Bilangan genap : 2,4,6, …

b. Bilangan ganjil : 1,3,5, …

c. Bilangan prima : 2,3,5, …

d. Bilangan komposit : 4,6,8,10, …

2. Bilangan Cacah

Bilangan cacah adalah suatu bilangan yang anggotanya terdiri dari semua

bilangan asli dan bilangan nol, dilambangkan dengan huruf “C” dan ditulis

C=

3. Bilangan Bulat

Bilangan bulat anggotanya merupakan gabungan dari bilangan cacah dan

bilangan asli negatif, dilambangkan dengan “B” dan ditulis B=

4. Bilangan Rasional

Bilangan cacah merupakan gabungan dari himpunan bilangan bulat dan

bilangan pecahan. Bilangan rasional adalah bilanagan yang dapat

dinyatakan dalam bentuk , dimana a,b B dan b 0. Bilangan rasional

dilambangkan dengan huruf “Q” dan ditulis Q =

Sistem Bilangan Real

1

Contoh: -5, 3, 7, , , , … dst.

5. Bilangan Irasional

Bilangan rasional adalah bilangan yang tidak dapat di nyatakan dalam

bentuk , dimana a,b B , b 0, dilambangkan dengan huruf “I“.

Contoh: log 2, log 3 dsb .

6. Bilangan Pecahan

Bilangan cacah adalah bilangan yang dinyatakan dalam bentuk , dengan

a,b B dan b bukan faktor dari a. a disebut pembilang dan b disebut

penyebut. Contoh dst

Bilangan pecahan ada dua macam .

a. Bilangan pecahan murni ( a < b ) , Contoh: dst

b. Bilangan pecahan campuran (a>b), contoh: dst

7. Bilangan Real (Nyata)

Bilangan real anggotanya merupakan gabungan dari bilangan rasional dan

bilangan irasional. Bilangan real dilambangkan dengan huruf “R”.

8. Bilangan Imajiner

Didefinisikan sebagai i= atau 12 = -1. Bilangan imajiner

dilambangkan dengan huruf “I”.

Contoh :

9. Bilangan Kompleks

Adalah himpunan semua struktur bilangan, dilambangkan dengan huruf

“Ck”. Ditulis a ± bi.

Contoh: -1 + 4i, 5-4i, 2+5i, … dst.

B. SIFAT-SIFAT BILANGAN REAL

1. Operasi penjumlahan Sistem Bilangan Real

2

a. Tertutup: hasil penjumlahan dari beberapa bilangan real hasilnya

bilangan real

b. Komutatif: a + b = b + a, dimana a,b R

c. Asosiatif: a + ( b + c) = ( a + c ) + c

d. Elemen identitas/ netral terhadap operasi penjumlahan adalah 0

sehingga a + 0 = a, sedangkan elemen inversnya adalah lawan dari

bilangan tersebut sehingga a + (-a) = 0

2. Operasi Perkalian

a. Tertutup

b. Komutatif : a x b = b x a

c. Asosiatif : a x (b x c ) = (a x b) x c

d. Distributif : a ( b + c ) = (a x b) + ( a x c)

a,b,c R

a ( b – c ) = (a x b ) – ( a x c )

Elemen identitas terhadap operasi perkalian adalah 1, sehingga a x 1 =

a, sedangkan elemen inversnya adalah kebalikan dari bilangan tersebut

sehingga a x = 1

C. OPERASI BILANGAN REAL

a. Penjumlahan dan pengurangan

Jika a,b,c dan d P, maka:

1) a – b = a – (-b)

2) a – b = a + (-b)

3) –a + (-b) = - (a + b)

4) –a + b = b – a

5)

6)

7)


3

8)

b. Perkalian dan pembagian

Jika a,b,c dan d R, maka:

1) a x b = b + b + b + … + b

2)

3)

4)

5)

6) a.(+) x b (+) = c (+)

a (+) x b (-) = c (-)

a (-) x b (+) = c (-)

a (-) x b (-) = c (+)

7) a (+) : b (+) = c (+)

a (-) : b (+) = c (+)

a (+) : b (-) = c (-)

a (-) : b (-) = c (+)

catatan :

Operasi (x) dan (:) kedudukannya sama kuat, sehingga dikerjakan suku

yang lebih dahulu.

Contoh: 6 x 5 : 3 = 30 : 3 = 10

30 : 5 x 4 = 6 x 4 = 24

Operasi (x) dan (:) lebih kuat kedudukannya daripada operasi (+) dan

(-)

Contoh: 15 + 3 x 6 = 15 + 18 = 33

13 – 15 : 5 = 13 – 3 = 10

Operasi perkalian dan perpangkatan, yang lebih kuat keududukannya

perpangkatan.


4

Contoh: 2 x 33 = 2 x 27 = 54

D. KONVERSI PECAHAN

Bilangan itu ditulis tergantung dari asal dan fungsinya. Apabila kita ingin

merubah bentuk pecahan ini yang perlu diperhatikan adalah pembilang dan

penyebut suatu pecahan dapat dikalikan atau dibagi oleh bilangan yang sama.

a. Mengubah bentuk pecahan ke persen dan persen ke pecahan desimal

Contoh :

1.

2.

b. Mengubah bentuk pecahan ke desimal dan desimal ke persen

Contoh :

(1)

(2)

E. APLIKASI PERSENTASE

a. Aplikasi Bidang Bisnis

Persentase banyak digunakan dalam bidang bisnis perbankan untuk

menghitung laba, rugi, bunga, bonus, rabat, diskon/ potongan harga, suku

bunga dsb.

Contoh :

Harga 1 kodi baju batik Rp. 1.200.000 mendapat diskon 20% maka harga

setiap baju batik adalah :

Jawab :

1 kodi = 20 potong

Diskon 20 % =

Harga setelah didiskon


5

Rp. 1.200.000 - Rp. 240.000 = Rp. 960.000

Harga 1 potong baju batik = =

Jadi, harga setiap baju batik adalah Rp. 48.000,-

b. Aplikasi Bidang Kesekretarisan

Dalam hal ini banyak membantu diskon perhitungan gaji, kenaikan gaji,

meningkatkan semangat kerja, antara lain dengan menerangkan komisi

bonus dan tip.

1) Komisi

Ada 3 macam komisi

a) Komisi penuh

K = J x R

Dimana K = Komisi

J = Penjualan

R = suku komisi

Contoh :

Pak A menjual barang seharga Rp. 1000.000 atas dasar komisi 5%

banyak komisi yang diterima ?

Jawab : K = Jr

= Rp. 1.000.000 x 5%

= Rp 50.000

b) Upah tetap ditambah komisi

Upah = upah tetap + K

Contoh :

Seorang pegawai menerima upah Rp. 90.000,- perbulan ditambah 6%

dari penjualan. Jika penjualan tiap bulan Rp. 1.500.000,- maka tentukan

upah yang diterima.

Jawab : Upah = upah tetap + K

= Rp. 90.000 + 6% Rp. 1.500.000

= Rp. 90.000 + Rp 90.000Sistem Bilangan Real

6

= Rp. 180.000

Jadi upah yang diterima Rp. 180.000,-

c) Jaminan Komisi

Yaitu presentase komisi yang diterima ditambah dengan pertambahan

penjualan

2) Bonus

Yaitu jumlah tambahan yang diterima pegawai

3) Diskon / potongan

Ada 3 macam potongan Tunai

a) Potongan Tunai

,

dimana R = suku potongan

P = Potongan

D = harga daftar

b) Potongan Pembuatan

Adalah Potongan yang diberikan pada pembeli apabila memesan barang

pada pembuat barang tersebut dan

c) Potongan berantai

c. Aplikasi Bidang Koperasi

Dalam bidang ini sering untuk menghitung bunga dan pembagian SHU.

F. PERBANDINGAN

1. Pengertian perbandingan

Perbandingan dua buah besaran yang sama/ sejenis a dan b dapat ditulis

“a : b” dengan b 0

Dua buah besaran dapat dibandingkan apabila :


7

- Mempunyai besaran yang sejenis 9satuan

ukuran sama)

- Perbandingan a : b, b 0

- Bilangan yang dibandingkan dalam bentuk

sederhana

Contoh :

Umur Ayah (A) 55 tahun sedangkan umur Banu (B) 20 tahun. Berapakah

perbandingan umur Ayah dan Banu?

Jawab :

Ayah= 55 tahun, Banu= 20 tahun

Ayah: Banu = 55 kg : 20 kg

= 55 : 20

= 11 : 4

2. Jenis-jenis perbandingan

a. Perbandingan senilai

X P

Y Q

X : Y = P : Q

QX = PY

Contoh :

Harga 40 buah pensil Rp. 10.000,00. Berapa buah pensil yang didapat

jika jumlah uang Rp 27.500

Jawab :

Jumlah pensil Jumlah uang (Rp)

40 10.000

X 27.000

40 : X = 10.000 : 27.000

10.000X = 40(27.000)

X = 1.080.000 : 10.000

X = 108


8

Jadi uang Rp. 27.000. mendapat 108 pensil

b. Perbandingan berbalik nilai

X P

Y Q

X : Y = P : Q

PX = QY

Contoh :

Dalam menyambut HUT RI diadakan kerja kerja bakti membuat

gapura, jika pekerjaan yang dibutuhkan 12 orang dapat selesai

dalam waktu 5 hari. Berapa hari waktu yang dibutuhkan jika

pekerjaan ditambah sehingga berjumlah 20 orang?

Jawab :

12 5

20 X

12 : 20 = 5 : X

20X =12(5)

X = 60 : 20

X = 3

Jadi waktu yang dibutuhkan 3 hari, jika jumlah pekerjaan 20 orang.


9

OPERASI PADA BILANGAN BERPANGKAT

Dalam dunia perbankan, kita sering dihadapkan pada masalah menghitung suatu

bilangan yang sangat besar seperti 9.000.000.000 dan bilangan yang sangat dan

bilangan yang sangat kecil yaitu 0,0000007. kedua bilangan tersebut dapat

dituliskan menjadi 9.000.000.000 = 9 x 109 dan 0,0000007 = 7 x 107

Bentuk-bentuk tersebut sering disebut dengan notasi ilmiah atau bentuk baku

dengan rumus umum a x 10n, 1 n bilangan bulat.

A. PANGKAT BULAT POSITIF

Contoh:

Secara umum misalnya a suatu bilangan real dan n bilangan bulat

an merupakan hasil perkalian dari a sebanyak n faktor.

an =

Keterangan

an dibaca pangkat n

a adalah bilangan pokok (basis)

n adalah pangkat (eksponen)

B. SIFAT-SIFAT BILANGAN BERPANGKAT

1.

2.

3.

4.

5. , untuk a,b dan n bilangan bulat.

Contoh:


10

C. PANGKAT BULAT NEGATIF DAN NOL

Jadi dari uraian di atas untuk a dan a berlaku :

a0 = 1

a-n =

Perhatikan:

Latihan 1

A. Ubahlah menjadi pangkat positif kemudian hitunglah hasilnya.

1. 5-2

2. 4-2


11

3.

4.

5. (-5)-3

6.

7.

8.

9.

10.

B. Ubahlah bentuk pecahan berikut ke bentuk pangkat negatif atau perkalian

bilangan berpangkat.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.


12

10.

C. Ubahlah menjadi bentuk 2n dengan n bilangan bulat.

1.

2.

3.

4.

5.

6. 0,5-10

7. 0,125-5

8.

9.

10.

Latihan 2

1.

a.

b.

c.

2. a.

a.

b.

c.

3. a.

a.


13

b.

c.

4. a.

a.

b.

c.

5. a.

a.

b.

c.

6. a.

a.

b.

c.

7. Hitunglah

a.

b.

8. a.

b.

c.

9. Hitunglah

a. 5 x 7 x 103

b. 5000 : 20

c. 82.000.000 : 500

10. a.

b.


14

c.

Latihan 3

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

OPERASI PADA BILANGAN IRASIONAL

A. KONSEP BILANGAN IRASIONAL

Bilangan rasional adalah bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk

dengan a,b , b

contoh :

Bilangan rasional dapat dinyatakan dalam bentuk pecahan desimal terbatas

atau desimal tidak terbatas (berulang)


15

Bilangan irasional adalah bilangan yang tidak dapat dinyatakan dalam

bentuk

Bentuk akar

Apakah setiap bilangan dibawah tanda akar merupakan bentuk akar?.

Dari uraian tersebut mempunyai pengganti yang rasional,

sedangkan dan penggantinya bukan merupakan bilangan rasional.

Jadi dan disebut bentuk akar.

Bentuk akar adalah bilangan rasional yang penggantinya bukan bilangan

rasional.

Bentuk umum akar:

a = bilangan pokok / radikan

n = eksponen akar

n bilangan asli .

B. OPERASI PADA BILANGAN BENTUK AKAR

1. Penjumlahan dan pengurangan


16

akar merupakan kebalikan dari pangkat

Dua buah bentuk akar atau lebih dapat di jumlahkan dan di kurangkan jika

bentuk akar tersebut sejenis dan bilangan di dalam tanda akar sama.

(tidak sejenis)

(tidak sejenis)

(sejenis)

2. Hasil kali bentuk akar

3. Sifat-sifat operasi aljabar bentuk akar

a. Komutatif

b. Asosiatif

c. Distributif

C. MENYEDERHANAKAN BENTUK AKAR

Akar senama ialah akar-akar yang mempunyai pangkat akar yang sama.


17

tidak senama dengan

tidak senama dengan

senama dengan

Sifat-sifat bentuk akar:

1.

2.

3.

4.

5.

D. MERASIONALKAN PENYEBUT

Artinya: membuat penyebut menjadi bentuk rasional.

Pahami sifat-sifat berikut :

a. Bentuk

Caranya:

b. Bentuk

Caranya:

c. Bentuk

Caranya:


18

Jika a dan b bilangan rasional positif dan a maka berlaku

E. Hubungan bentuk akar dan pangkat pecahan

F. PERSAMAAN BILANGAN BERPANGKAT

Persamaan bilangan berpangkat adalah suatu sistem persamaan yang

melibatkan bilangan-bilangan berpangkat

Contoh:

Latihan 4

1. Tulislah bentuk-bentuk akar berikut ini menjadi bentuk yang paling sederhana!a.b.c.d.e.f.

2. Nyatakan pemjumlahan dan pengurangan ini dalam bentuk akar yang paling sederhana!a. =


19

b. =c. =d. =e. =f.

3. Hitunglah tiap hasil kali bilangan-bilangan dibawah ini!a.b.c.d.e.f.

4. Diketahui p = 4 dan q = 4- , maka tentukanlah : a. p + q =b. 2p + 2q =c. 4pq =d.e. (p+q) =

5. Rasionalkan penyebut tiap pecahan berikut :

a.

b.

c.

d.

e.

f.

6. Rasionalkan penyebut tiap pecahan berikut :

a.

b.

c.

d.

e.


20

f.

g.

h.

Latihan 5

1. a.

b.

c.

2. a.

b.

c.

3. a. b. c.

4. a. b. c.

5. a. b. c.

6. a. b. c.

7. a.

b.

c.

8. a.

b.


21

c.

9. a.

b.

c.

10. a.

b.

c.


22

LOGARITMA

A. Konsep logaritmaLogaritma merupakan invers dari fungsi eksponen (perpangkatan) yaitu

mencari pangkat dari suatu bilangan pokok jika hasil pengkatnya sudah

diketahui

1. 23 = … (Perpangkatan)

2. ...3 = 8 (Mencari akar)

3. = … (Logaritma)

Secara umum:

Logaritma x dengan bilangan pokok a ditulis alog x = n an = x

a = bilangan pokok , a > 0 dan a ≠ 1

x = numerus

n = hasil logaritma (dapat positif, negatif atau nol )

Catatan :

1. Untuk logaritma persepuluh / Briggs dengan bilangan pokok 10, maka

bilangan 10 boleh tidak ditulis.

2. Untuk bilangan logaritma yang dikuadratkan (alog x)2 = alog2 x

3. Pahami sifat berikut:

B. Sifat-sifat logaritma


23

Apa artinya 2log 16 ?“2log 16“ artinya dua pangkat berapa yang hasilnya 16.

C. Menentukan logaritma dengan menggunakan tabel / daftar logaritma Untuk keperluan berbagai perhitungan telah dibuat suatu daftar atau tabel

logaritma. Daftar atau tabel logaritma memuat hasil-hasil logaritma suatu

bilangan dengan bilangan pokok 10.

Log 1 = 0

Log 2,67 = 0,4265

Log 10 = 1

Log 12 = 1,0792

Log 33,33 = 1,5228

Log 100 = 2

Log 121 = 2,6210

Log 823,4 = 2,9056

Log 1000 = 3

Log 0,1 = -1

Log 0,9 = 0,9542-1

Log 0,205 = 0,3118-1

Log 0,000 = -2

Log 0,025 = 0,3979-2

Log0,001 = -3

Log 0,00128 = 0, 1072-3Bilangan di depan koma disebut karakteristik (bagian bulat), sedangkan

bilangan bagian belakang koma disebut mantise.


24

Mencari kembali (Anti Logaritma)Log a = 0,0186 a = 1,044

Log b = 2,9542 b = 900

Log c = 0,0256-2 c = 0,01061

Log d = 4,7948 d = 62340

Log e = 0,7051-3 e = 0,005071

Hal-hal yang perlu diperhatikan dalam penggunaan daftar logaritma antara

lain :

a. Daftar logaritma biasa menggunakan bilangan pokok 10, serta bilangan

pokok tersebut tidak di tulis dalam daftar.

b. Di dalam daftar memuat bilangan yang di tuliskan (radikan)

dan bagian desimal (Mantisa) dari hasil penarikan logaritma.

c. Untuk bagian bulat (karakteristik) dan hasil penarikan logaritma

ditentukan dengan cara :

1) logaritma bilangan yang lebih dari 1 karakteristiknya

= banyaknya angka-angka didepan koma dikurangi 1

2) logaritma bilangan antara 0 dan 1 karakteristiknya =

banyaknya nol di depan angka tidak nol yang pertama.

Langkah-langkah untuk mencari logaritma dari satu bilangan dengan

menggunakan daftar logaritma adalah sebagai berikut :

a.Nyatakan numeris dalam 3 angka signifikan (tabel logaritma terletak

antara 10-99, maka numeris di nyatakan sampai dua tempat desimal).

b. Cari dua angka siginifikan yang pertama dari numeris pada kolom

pertama pada tabel tersebut.

c.Tarik garis horizontal dari 2 angka signifikan pertama dari garis vertikal

dari angka ketiga numeris. Perpotongannya merupakan mantise dari

logaritma bilangan tersebut.

Ingat: Jika 0 < log x < 1 maka 1 < x < 10

Menggunakan logaritma untuk perhitungan Contoh :

1. Selesaikanlah persamaan berikut


25

Penyelesaiannya adalah

2. , hitunglah hasilnya!

Penyelesaian:

Misal

Latihan 6

1. a.

c.

d.

2. a.

b.

a.


26

3. a.

b.

a.

4. a.

b.

c.

5. Hitunglah dengan daftar logaritma!

a.

b.

c.


27

Documents

OPERASI PADA BILANGAN BERPANGKAT ... · Web viewSISTEM BILANGAN REAL MACAM-MACAM BILANGAN REAL Dari segi kegunaannya, bilangan adalah suatu ide yang digunakan untuk menggambarkan