Oranların örnekleme dağılımı • Uygun hal sayısının mümkün hal sayısına oranı olarak ifade

edilen oranlar kütle için (p), örnek için ile gösterilir. İki şıklı bir kütleden mümkün olan bütün örnekler seçilip oranlar bir seriye dönüştürüldüğünde dağılımının normal olduğu görülür. Oranların örnekleme dağılımı olarak adlandırılan bu dağılımın ortalama ve standart sapması (oranların standart sapması ya da standart hata) şöyle olur.

• Örnek hacmi büyükse (n≥30 ve n/N<0,05 ise oranların dağılımı normale yaklaşır. Eğer seçim iadesiz yapılır ve n/N >0,05 olursa standart hata formülüne düzeltme faktörü tatbik edilir.

)~( p

)~( p

n

pq

n

ppp

)1(~( ) veE p p

olur.1

~

N

nN

n

pqp

• Oranlar standart değere şöyle çevrilir:

• Örnek• Belli bir parçayı üreten bir tezgâhın üretiminin %3 ünün kusurlu

olduğu bilinmektedir. Bu tezgâh tarafından üretilen 200 parça rasgele alınıp muayene edildiğinde

a) En fazla %2 sinin kusurlu olma olasılığını bulunuz.b) Kusurlu oranının %4 - %6 arasında olma olasılığını bulunuz • Çözüm

Oranların örnekleme dağılımının ortalaması: Standart hatası:

npq

ppZ

~

03,0)~( ppE

012,0200

97,003,0

n

pqp�

Oranların örnekleme dağılımı

• a) olasılığı için standart değer;• olup olasılığı:

• b) olasılığı için:

)02,0~( pP

83,0012,0

03,002,0~

~

Z

ppZ

p

2967,05,0)()()()83,0(83,0 0 0

83,0

dzzfdzzfdzzfZP

2033,0)83,0( ZP

)06,0~04,0( pP

83,0012,0

03,004,011

ZZ 5,2

012,0

03,006,022

ZZ

5,2

83,0

5,2

0

83,0

0

2967,04938,0)()()()5,283,0( dzzfdzzfdzzfZP

1971,0)5,283,0( ZP

Oranların örnekleme dağılımı

Farkların Örnekleme Dağılımı• Bazı durumlarda bir kütle ortalaması ya da oranı yerine iki

kütlenin ortalaması ya da oranı narasındaki farkın dağılımı ile ilgilenilir. Bu farkın dağılımına bakılarak iki kütle ortalaması ya da oranı arasındaki farkın anlamlı olup olmadığına ya da güven aralığının ne olacağına karar verilebilir. Örnek olarak aynı parçayı üreten iki işçinin verimliliklerinin farklı olup olmadığı veya üretimlerinin kusurlu oranlarının farklı olup olmadığı araştırılabilir. İki aracın belli bir yolu almada tükettikleri ortalama yakıt miktarının farklı olup olmadığı farkların dağılımını bilmeyi gerektirir. Bu tür problemlerin çözümünde ortalamaların ya da oranların dağılımı ile ilgili özelliklerin bilinmesi gerekir.

• İki Ortalamanın Farkının Örnekleme Dağılımı • Eğer n1 ve n2 büyüklüğündeki iki rassal örneğin ortalamaları

sırası ile ise nin örnekleme dağılımı normal dağılıma yaklaşır ve bu dağılımın ortalama ve standart sapması (standart hata) şöyle ifade edilir.

21 XveX21 XX

• İki ortalamanın farkının ortalaması:

• İki ortalamanın farkının standart sapması (standart hata):

• ye iki ortalama arasındaki farkın standart hatası adı verilir. Burada çekilen örneklerin birbirinden bağımsız ve kütlenin sınırsız olduğu kabul edilmektedir. Eğer kütle sınırlı seçim iadeli yapılıyorsa yine yukarıdaki formüller kullanılır. Kütle sınırlı seçim iadesiz yapılıyorsa standart hata formülüne düzeltme faktörü ilave edilir.

2121 )(21

XXExx

2

22

1

21

21 nnxx

21 xx

Farkların Örnekleme Dağılımı

• Eğer kütle sınırlı, seçim iadesiz yapılıyor ve örnekleme oranı (n/N)>0,05 oluyorsa yukarıdaki standart hata formülüne sınırlı kütle düzeltme faktörü tatbik edilir. Bu durumda standart hata:

• Örnek ortalamalarının farkı standart değere şöyle dönüştürülür.

olur.seklinde12

22

1

21

21

N

nN

nnxx

2

22

1

21

2121 )()(

nn

XXZ

Farkların Örnekleme Dağılımı

• Örnek: A ve B marka elektrik ampulünün ortalama ömürlerinin sırasıyla saat olduğu bildirilmiştir. Geçmiş verilerden ampullerin ömürlerinin standart sapmalarının sırası ile saat olduğu görülmüştür. Her iki marka ampulden 40 ar birimlik örnekler seçilip ömür testine tabi tutulduğunda;

• a) A nın ortalamasının B den en az 30 saat daha fazla olma olasılığını bulunuz.

• b) B nin ortalama ömrünün A dan fazla olma olasılığını bulunuz.

• Çözüm: • a) İstenen olayıdır. Bunun için örnekler

büyük olduğu için normal dağılımdan yararlanmak mümkündür. Örnek ortalamaları arasındaki farkı standart değere şöyle dönüştürülür.

580μ,600μ BA

200σ,150σ BA

30))XXP(( BA

25,05,39

10

40200

40150

2030)()(2222

Z

nn

XXZ

B

B

A

A

BABA

• b) İstenen durumudur. Bunun için yine normal dağılım kullanılarak çözüme gidilir.

25,0 0

25,0

0401,0099,05,0)()()()25,0( dzzfdzzfdzzfZP

)0)(( BA XXP

51,05,39

20

40

200

40

150

200)()(222

Z

nn

XXZ

B

B

A

A

BABA

51,0 0 0

51,0)()()()51,0( dzzfdzzfdzzfZP

.olur305,0195,05,0)51,0( ZP

İki Oranın Farkının Örnekleme Dağılımı • n1 ve n2 büyüklüğündeki iki rassal örneğin oranları sırasıyla

olmak üzere oranların farkının ( ) örnekleme dağılımı normal dağılıma yaklaşır ve bu dağılımın ortalama ve standart sapması şöyle olur. (Burada olup, x1: 1.örnekteki uygun hal sayısı, x2: 2. örnekteki uygun hal sayısını göstermektedir.)

• Örnek oranlarının farkı standart değere şöyle dönüştürülür.

21 p~vep~ 21 p~p~

2

22

1

11

~~n

xpve

n

xp

2121~~ )~~(21

ppppEpp

2

22

1

11~~

21 n

qp

n

qppp

2

22

1

11

2121 )()~~(

n

qp

n

qp

ppppZ

• Örnek: Aynı parçayı yapan iki makinenin kusurlu oranlarının sırasıyla p1 = 0,03 ve p2 = 0,02 olduğu bilinmektedir. Bu makinelerden birincisinin ürettiği 200 parça, 2. makinenin ürettiği 150 parça test edildiğinde 1. makinenin kusurlu oranının 2. den %2 daha fazla olma olasılığı ne olur?

• Çözüm: Problemde durumu sorulmaktadır. Bunun için (p1 – p2) nin örnekleme dağılımı dikkate alınarak Z dönüşümü yapılır.

0,02)p~p~P( 21

6,00167,0

01,0

000276,0

01,002,0

15098,002,0

20097,003,0

)02,003,0(02,0)()~~(

2

22

1

11

2121

ZZZ

nqp

nqp

ppppZ

2257,05,0)()()()6,0(6,0

006,0

dzzfdzzfdzzfZP

olur.2743,0)6,0( ZP

Varyansların Örnekleme DağılımıTanım: varyanslı normal dağılımlı bağımsız rasgele değişkenler ve

İstatistiğinin dağılımına v = n–1 serbestlik dereceli ki-kare dağılımı adı verilir. v nin çeşitli değerleri için olasılık yoğunluk fonksiyonun grafikleri aşağıdaki gibidir.

221 degiskeni,....... XXX n

ise1

)(1

21

2

n

XXS

N

i 2

22

1

)1(

Sn

n

• Gamma dağılımında =n/2, β=2 için Ki-kare (2) dağılımı elde edilir. Ki- kare dağılımının olasılık yoğunluk fonksiyonu şöyle yazılır.

• Normal bir kütleden n büyüklüğünde mümkün olan bütün örnekler çekilerek her birinin varyansı hesaplanırsa varyansların örnekleme dağılımı elde edilir. v= n-1 serbestlik derecesine dayanan ve Ki-kare (2) dağılımına uyan bu dağılım şöyle yazılır.

• Ki kare dağılımının değerleri belli olasılık ve serbestlik derecelerine bağlı olarak oluşturulmuş tablolardan bulunur.

0)

2(2

)(2

22)2(

xn

exxf

n

xn

2

22

1

)1(

sn

n

S.d. (v) 0,99 0,98 0,95 0,90 0,75 0,50 0,10 0,05 0,03 0,01

1 0,00 0,00 0,00 0,02 0,10 0,45 2,71 3,84 5,02 6,63

2 0,02 0,05 0,10 0,21 0,58 1,39 4,61 5,99 7,38 9,21

3 0,11 0,22 0,35 0,58 1,21 2,37 6,25 7,81 9,35 11,34

4 0,30 0,48 0,71 1,06 1,92 3,36 7,78 9,49 11,14 13,28

5 0,55 0,83 1,15 1,61 2,67 4,35 9,24 11,07 12,83 15,09

6 0,87 1,24 1,64 2,20 3,45 5,35 10,64 12,59 14,45 16,81

7 1,24 1,69 2,17 2,83 4,25 6,35 12,02 14,07 16,01 18,48

8 1,65 2,18 2,73 3,49 5,07 7,34 13,36 15,51 17,53 20,09

9 2,09 2,70 3,33 4,17 5,90 8,34 14,68 16,92 19,02 21,67

10 2,56 3,25 3,94 4,87 6,74 9,34 15,99 18,31 20,48 23,21

11 3,05 3,82 4,57 5,58 7,58 10,34 17,28 19,68 21,92 24,72

12 3,57 4,40 5,23 6,30 8,44 11,34 18,55 21,03 23,34 26,22

13 4,11 5,01 5,89 7,04 9,30 12,34 19,81 22,36 24,74 27,69

14 4,66 5,63 6,57 7,79 10,17 13,34 21,06 23,68 26,12 29,14

15 5,23 6,26 7,26 8,55 11,04 14,34 22,31 25,00 27,49 30,58

2

Ki-kare kritik değerleri tablosu

S.d. (v) 0,99 0,98 0,95 0,90 0,75 0,50 0,10 0,05 0,03 0,01

16 5,81 6,91 7,96 9,31 11,91 15,34 23,54 26,30 28,85 32,00

17 6,41 7,56 8,67 10,09 12,79 16,34 24,77 27,59 30,19 33,41

18 7,01 8,23 9,39 10,86 13,68 17,34 25,99 28,87 31,53 34,81

19 7,63 8,91 10,12 11,65 14,56 18,34 27,20 30,14 32,85 36,19

20 8,26 9,59 10,85 12,44 15,45 19,34 28,41 31,41 34,17 37,57

21 8,90 10,28 11,59 13,24 16,34 20,34 29,62 32,67 35,48 38,93

22 9,54 10,98 12,34 14,04 17,24 21,34 30,81 33,92 36,78 40,29

23 10,20 11,69 13,09 14,85 18,14 22,34 32,01 35,17 38,08 41,64

24 10,86 12,40 13,85 15,66 19,04 23,34 33,20 36,42 39,36 42,98

25 11,52 13,12 14,61 16,47 19,94 24,34 34,38 37,65 40,65 44,31

26 12,20 13,84 15,38 17,29 20,84 25,34 35,56 38,89 41,92 45,64

27 12,88 14,57 16,15 18,11 21,75 26,34 36,74 40,11 43,19 46,96

28 13,56 15,31 16,93 18,94 22,66 27,34 37,92 41,34 44,46 48,28

29 14,26 16,05 17,71 19,77 23,57 28,34 39,09 42,56 45,72 49,59

30 14,95 16,79 18,49 20,60 24,48 29,34 40,26 43,77 46,98 50,89

40 22,16 24,43 26,51 29,05 33,66 39,34 51,81 55,76 59,34 63,69

50 29,71 32,36 34,76 37,69 42,94 49,33 63,17 67,50 71,42 76,15

60 37,48 40,48 43,19 46,46 52,29 59,33 74,40 79,08 83,30 88,38

TABLO: Olasılıklara Karşılık Gelen Ki-kare ( ) Değerleri Tablosu2

Serb. Derecesi

Olasılıklar (1-α)

0,01 0,025 0,05 0,1 0,2 0,9 0,95 0,975 0,99

1 0,00 0,00 0,00 0,02 0,06 2,71 3,84 5,02 6,63

2 0,02 0,05 0,10 0,21 0,45 4,61 5,99 7,38 9,21

3 0,11 0,22 0,35 0,58 1,01 6,25 7,81 9,35 11,34

4 0,30 0,48 0,71 1,06 1,65 7,78 9,49 11,14 13,28

5 0,55 0,83 1,15 1,61 2,34 9,24 11,07 12,83 15,09

6 0,87 1,24 1,64 2,20 3,07 10,64 12,59 14,45 16,81

7 1,24 1,69 2,17 2,83 3,82 12,02 14,07 16,01 18,48

8 1,65 2,18 2,73 3,49 4,59 13,36 15,51 17,53 20,09

9 2,09 2,70 3,33 4,17 5,38 14,68 16,92 19,02 21,67

10 2,56 3,25 3,94 4,87 6,18 15,99 18,31 20,48 23,21

11 3,05 3,82 4,57 5,58 6,99 17,28 19,68 21,92 24,72

12 3,57 4,40 5,23 6,30 7,81 18,55 21,03 23,34 26,22

13 4,11 5,01 5,89 7,04 8,63 19,81 22,36 24,74 27,69

Serb. Derecesi

Olasılıklar (1-α)

0,01 0,025 0,05 0,1 0,2 0,9 0,95 0,975 0,99

14 4,66 5,63 6,57 7,79 9,47 21,06 23,68 26,12 29,14

15 5,23 6,26 7,26 8,55 10,31 22,31 25,00 27,49 30,58

16 5,81 6,91 7,96 9,31 11,15 23,54 26,30 28,85 32,00

17 6,41 7,56 8,67 10,09 12,00 24,77 27,59 30,19 33,41

18 7,01 8,23 9,39 10,86 12,86 25,99 28,87 31,53 34,81

19 7,63 8,91 10,12 11,65 13,72 27,20 30,14 32,85 36,19

20 8,26 9,59 10,85 12,44 14,58 28,41 31,41 34,17 37,57

21 8,90 10,28 11,59 13,24 15,44 29,62 32,67 35,48 38,93

22 9,54 10,98 12,34 14,04 16,31 30,81 33,92 36,78 40,29

23 10,20 11,69 13,09 14,85 17,19 32,01 35,17 38,08 41,64

24 10,86 12,40 13,85 15,66 18,06 33,20 36,42 39,36 42,98

25 11,52 13,12 14,61 16,47 18,94 34,38 37,65 40,65 44,31

26 12,20 13,84 15,38 17,29 19,82 35,56 38,89 41,92 45,64

27 12,88 14,57 16,15 18,11 20,70 36,74 40,11 43,19 46,96

28 13,56 15,31 16,93 18,94 21,59 37,92 41,34 44,46 48,28

29 14,26 16,05 17,71 19,77 22,48 39,09 42,56 45,72 49,59

30 14,95 16,79 18,49 20,60 23,36 40,26 43,77 46,98 50,89

• Örnek: Bir mamulün üretim süresinin normal dağıldığı ve varyansının 15 dakika olduğu bilinmektedir. Bu mamulün üretim süresi rasgele seçilen 20 mamul gözlemlendiğinde örneklerin üretim süresinin varyansının en düşük % 10 olasılıkla alabileceği en büyük değer ne olur?

• Çözüm: • Verilenler: 2=15 n=20, 1-=0,1 =0,9

15

1965,11

15

)120(65,11

)1( 22

2

22

1

sssnn

olur.dk.9,197s2

Varyans oranlarının örnekleme dağılımı (F dağılımı)

• Eğer X1 ve X2 m ve n serbestlik derecelerine sahip ki- kare dağılımı gösteren birbirinden bağımsız iki rassal değişken ise

• m ve n serbestlik derecelerinde F dağılımına uyar.

• İki normal kütlenin varyanslarının karşılaştırılmasında F dağılımından faydalanılır. F dağılımının olasılık fonksiyonu şöyle yazılır.

1

2

XmFXn

0)1(

)()!

2

2()!

2

2(

)!2

2(

)(2

)(

2)2(

2

yy

n

my

n

mnm

nm

yfnm

mm

• Bazı durumlarda iki kütle varyanslarının karşılaştırılması gerekebilir. iki farklı kütlenin bilinmeyen varyansları olmak üzere bu kütlelerden çekilen örneklerin varyansları

kütle varyanslarının tahminleri olur. Bu örnek varyanslarından hareketle kütle varyansları karşılaştırılabilir, hipotezler test edilebilir, güven aralıkları oluşturulabilir.

Birbirinden bağımsız iki ki-kare dağılımlı varyansın oranı F dağılımına uygun olarak dağılır.

Burada payın serbestlik derecesi m-1, paydanın serbestlik derecesi n-1 olup F dağılımı bu iki parametreye bağlı olarak dağılır. F dağılımı için belli olasılıkları ve m-1, n-1 serbestlik dereceleri için olasılık tablolarından faydalanılır.

22

21 ve

22

21 sves

21212222

s

Fs

Payın serbestlik derecesi = 0,01Paydanın serbestlk

Derecesi 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

14052,

2 4999,5 5403,4 5403,4 5763,6 5859,0 5928,4 5981,1 6022,5 6055,8

2 98,5 99,0 3,8 99,2 99,3 99,3 99,4 99,4 99,4 99,4

3 34,1 30,8 4,0 29,5 28,2 27,9 27,7 27,5 27,3 27,2

4 21,2 18,0 4,4 16,7 15,5 15,2 15,0 14,8 14,7 14,5

5 16,3 13,3 4,9 12,1 11,0 10,7 10,5 10,3 10,2 10,1

6 13,7 10,9 5,3 9,8 8,7 8,5 8,3 8,1 8,0 7,9

7 12,2 9,5 5,7 8,5 7,5 7,2 7,0 6,8 6,7 6,6

8 11,3 8,6 6,0 7,6 6,6 6,4 6,2 6,0 5,9 5,8

9 10,6 8,0 6,2 7,0 6,1 5,8 5,6 5,5 5,4 5,3

10 10,0 7,6 6,6 6,6 5,6 5,4 5,2 5,1 4,9 4,8

11 9,6 7,2 6,6 6,2 5,3 5,1 4,9 4,7 4,6 4,5

12 9,3 6,9 7,0 6,0 5,1 4,8 4,6 4,5 4,4 4,3

13 9,1 6,7 7,0 5,7 4,9 4,6 4,4 4,3 4,2 4,1

14 8,9 6,5 7,0 5,6 4,7 4,5 4,3 4,1 4,0 3,9

15 8,7 6,4 7,6 5,4 4,6 4,3 4,1 4,0 3,9 3,8

PaydanSerbestdereces

(Devam) Payın serbestlik derecesi = 0,01

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

16 8,5 6,2 7,6 5,3 4,4 4,2 4,0 3,9 3,8 3,7

17 8,4 6,1 7,6 5,2 4,3 4,1 3,9 3,8 3,7 3,6

18 8,3 6,0 7,6 5,1 4,2 4,0 3,8 3,7 3,6 3,5

19 8,2 5,9 7,6 5,0 4,2 3,9 3,8 3,6 3,5 3,4

20 8,1 5,8 7,6 4,9 4,1 3,9 3,7 3,6 3,5 3,4

21 8,0 5,8 7,6 4,9 4,0 3,8 3,6 3,5 3,4 3,3

22 7,9 5,7 7,6 4,8 4,0 3,8 3,6 3,5 3,3 3,3

23 7,9 5,7 8,5 4,8 3,9 3,7 3,5 3,4 3,3 3,2

24 7,8 5,6 8,5 4,7 3,9 3,7 3,5 3,4 3,3 3,2

25 7,8 5,6 8,5 4,7 3,9 3,6 3,5 3,3 3,2 3,1

26 7,7 5,5 8,5 4,6 3,8 3,6 3,4 3,3 3,2 3,1

27 7,7 5,5 8,5 4,6 3,8 3,6 3,4 3,3 3,1 3,1

28 7,6 5,5 8,5 4,6 3,8 3,5 3,4 3,2 3,1 3,0

29 7,6 5,4 8,5 4,5 3,7 3,5 3,3 3,2 3,1 3,0

30 7,6 5,4 8,5 4,5 3,7 3,5 3,3 3,2 3,1 3,0

Paydanın

serbestlk

Derecesi

Payın serbestlik derecesi = 0,05

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1 161,4 199,5 216 224,6 230,2 234 236,8 238,9 240,5 241,9

2 18,51 3,555 19,2 19,25 19,3 19,33 19,35 19,37 19,38 19,4

3 10,13 4,103 9,28 9,117 9,013 8,941 8,887 8,845 8,812 8,786

4 7,709 4,737 6,59 6,388 6,256 6,163 6,094 6,041 5,999 5,964

5 6,608 5,143 5,41 5,192 5,05 4,95 4,876 4,818 4,772 4,735

6 5,987 5,786 4,76 4,534 4,387 4,284 4,207 4,147 4,099 4,06

7 5,591 5,786 4,35 4,12 3,972 3,866 3,787 3,726 3,677 3,637

8 5,318 5,786 4,07 3,838 3,687 3,581 3,5 3,438 3,388 3,347

9 5,117 5,786 3,86 3,633 3,482 3,374 3,293 3,23 3,179 3,137

10 4,965 6,944 3,71 3,478 3,326 3,217 3,135 3,072 3,02 2,978

11 4,844 6,944 3,59 3,357 3,204 3,095 3,012 2,948 2,896 2,854

12 4,747 6,944 3,49 3,259 3,106 2,996 2,913 2,849 2,796 2,753

13 4,667 6,944 3,41 3,179 3,025 2,915 2,832 2,767 2,714 2,671

14 4,6 6,944 3,34 3,112 2,958 2,848 2,764 2,699 2,646 2,602

15 4,543 6,944 3,29 3,056 2,901 2,79 2,707 2,641 2,588 2,544

• Dağılımın sağ ucu () için F dağılımı kritik değerlerini m-1 ve n-1 serbestlik derecelerine bağlı olarak F tablosundan doğrudan okuyabiliriz.

• Dağılımın sol ucu yani (1- ) için kritik değerleri tablodan doğrudan okumak mümkün değildir. Bunun için olasılığına karşılık n-1 ve m-1 serbestlik derecelerine bağlı olarak elde edilen tablo değerinin tersi alınarak kritik değerler elde edilir.

• Aşağıdaki şekilde bu durum gösterilmiştir.

• Örnek: Varyansları aynı olan iki kütleden 1. sinden 9, 2. sinde 7 örnek rasgele seçildiğinde varyans oranlarının

• a) en yüksek %5 olasılıkla alabileceği minimum değeri tahmin ediniz.

• b) en düşük %1 olasılıkla varyans oranlarının alabileceği maksimum değeri bulunuz.

• Çözüm: a)

• b)

0,99 F tablosu olmadığı için

0,01 F tablosuna bakılır ve

aşağıdaki işlem yapılır

olur.147,417,19,05,01,1, FF nm

17,19,99,017,19,01,0

1,1,1,1,1

FF

FF nmnm

156,04,6

11

1

19,17,99,019,17,01,0

FF

Örnek• Bir kavşakta kırmızı ışık ihlali yapan araçların oranının

%8 olduğu bildirilmiştir. Bu kavşakta 100 araç gözlemlendiğinde;

• a) En fazla %4’ünün kırmızı ışık ihlali yapma olasılığı ne olur?

Örnek devam• b) En az %6’sının kırmızı ışık ihlali yapma olasılığı ne

olur?

• c) İkinci bir kavşakta kırmızı ışık ihlalinin oranının %10 olduğu bildirilmiştir. Bu kavşakta 120 araç gözlemleniyor. Birinci kavşaktaki kırmızı ışık ihlalinin 2. kavşaktan fazla olma olasılığı ne olur?