OTRAS B

ASES

MATE

3041

UNIVER

SIDAD D

E PU

ERTO

RIC

O

RECIN

TO D

E BAY

AMÓN

PROF.

JOSÉ

A. TORO C

LARKE

1

OTRAS BASES Aunque loa sistemas de numeración estudiados en las primeras

secciones fueron todos con base 10, se han utilizado otras bases a lo largo de la historia. Ejemplo:

Los antiguos babilónicos usaron el 60 como base. Los indígenas mayas de Centroamérica y México usaron el 20.

En esta sección de darán bases diferentes de 10, pero se usaran símbolos familiares del sistema indo-arábigo.

De manera consistente se indicara con un subíndice las bases diferentes de 10 como el numeral .

Siempre que no aparezca el subíndice, debe suponerse que la base es 10.

El numeral se lee “cuatro tres base cinco”. No lo lea como “cuarenta y tres”, ya que esa terminología implica en base 10 y significa un numero totalmente diferente.

54343 cinco

543

2

POTENCIAS SELECCIONADAS DE ALGUNAS BASES DE SISTEMAS NUMÉRICOS ALTERNOS

Cuarta potencia

Tercera potencia

Segunda potencia

Primera potencia

Cero potencia

Base 2 16 8 4 2 1

Base 5 625 125 25 5 1

Base 7 2,401 343 49 7 1

3

Multiplique cada digito del numeral de izquierda a derecha por el subindice

EJEMPLO: CONVIERTA A BASE 1051342

51342 0123 52545351

4

Multiplique cada digito del numeral de izquierda a derecha por el subindice

EJEMPLO: CONVIERTA A BASE 1051342

51342 0123 52545351

5

Multiplique cada digito del numeral de izquierda a derecha por el subindice

EJEMPLO: CONVIERTA A BASE 1051342

51342 0123 52545351

6

Multiplique cada digito del numeral de dereccha a izquierda en orden acendente o hasta donde termine

EJEMPLO: CONVIERTA A BASE 1051342

51342 0123 52545351

12542531251

22075125

22251342

51342

51342

7

FORMULA RÁPIDA PARA CALCULAR

Para convertir desde cualquier otra base a base 10.Comience por el primer digito del izquierdo y multiplíquelo por la base.

Luego sume el siguiente digito y multiplíquele otra vez por la base, y así sucesivamente.

El ultimo paso consiste en sumar el ultimo digito de la derecha.

8

PRACTICA: CONVIERTA A BASE 102210

2210 012 202122

102142 2210

028 2210

102210

9

Existe una forma mas rapida de calcular

EJEMPLO: CONVIERTA A BASE 1051342

51342 0123 52545351

12545351 123

Vamos a factorizar ya que el 5 se repite en todos pero antes lleve a .150

51342

2545351 2 51342

10

FORMA ALTERNA

2545351 2 51342

51342

51342

51342

51342

51342

2545351

254535

25458

25440 2544

51342 2220 222

11

PRACTICA: CONVIERTA A BASE 10 EN FORMA ALTERNA

2210

2210 012 202122

2210

2210

2210

02122 12

02122

0214

2210 025 2210 10

12

EJEMPLO: CONVERTIR 497 DE FORMA DECIMAL A BASE 5 Los valores posicionales de base 5, comenzando por la derecha son

1, 5, 25,

125, 625 y así sucesivamente.

Como 497 se encuentra entre 125 y 625, no requerirá de grupos de 625, y si, en cambio de algunos posibles de 125, como de 25, 5 y 1.

Así que dividimos a: 497 ÷ 125 = 3; Residuo 122 122 ÷ 25 = 4; Residuo 22 22 ÷ 5 = 4; Residuo 2 2 ÷ 1 = 2; Residuo 0Así que

53442497

13

COMPROBACION DE

53442 0123 52545453

12542541253

220100375

497

53442497

53442

53442

53442

14

PRACTICA: CONVERTIR 497 DE FORMA DECIMAL A BASE 5

497 ÷ 5 = 99; Residuo 2

99 ÷ 5 = 19; Residuo 4

19 ÷ 5 = 3; Residuo 4

3 ÷ 5 = 0; Residuo 3

Así que 53442497

15

PRACTICA: CONVERTIR 7508 DE FORMA DECIMAL A BASE 7

7508 ÷ 7 = 1072; Residuo 4

1072 ÷ 7 = 153; Residuo 1

153 ÷ 7 = 21; Residuo 6

21 ÷ 7 = 3; Residuo 0

3 ÷ 7 = 3; Residuo 3

Así que 730614508,7

16

SISTEMA HEXADECIMAL

Es el que es de base 16, que es mayor que 10, el cual presenta un nuevo problema. Dado que son necesario símbolos distintos después de los números del 0 al 9.

La base 16 requiere mas símbolos que los que normalmente se utilizarían en nuestro sistema decimal. Las computadoras usan las siguientes letras A, B, C, D, E y F como dígitos hexadecimales para los números del 10 al 15, respectivamente.

O sea que : A = 10 B = 11 C = 12 D = 13 E = 14 F = 15

17

Multiplique cada digito del numeral de izquierda a derecha por el subindice , recuerde que A = 10 y F = 15.

EJEMPLO: CONVIERTA A BASE 10165FA

21615

18

165FA

Multiplique cada digito del numeral de izquierda a derecha por el subindice

EJEMPLO: CONVIERTA A BASE 1051342

12 16101615

19

165FA

Multiplique cada digito del numeral de izquierda a derecha por el subindice

EJEMPLO: CONVIERTA A BASE 10

012 16516101615

20

165FA

5160840,3

005,4

165FA

165FA

165FA

15161025615

165FA

PRACTICA: CONVIERTA A BASE 10 EN FORMA ALTERNA

162EC

162EC 012 16121614162

21

162EC 11216142562

162EC 12224512

162EC 748

BASE BINARIO

Matemáticas para la computación, para la aplicación de la computadoras hay tres sistemas alternos que son los mas usados. Estos son el sistema Binario (base 2) Octal (base 8) Hexadecimal (base 16 antes mencionado)

Actualmente las computadoras y calculadoras manuales utilizan el sistema binario para sus cálculos internos debido a que constan solo de símbolos, 0 y el 1.

Por lo tanto, todos los números pueden ser representados por “interruptores” electrónicos, del tipo encendido/apagado donde “encendido” (ON) significa 1 y “apagado” (OFF) significa 0.

El sistema octal es utilizado de forma extensa por programas que trabajan con códigos de computación internos.

22

BASE BINARIO

Base 10 (Decimal) Base 2 (Binario)

0 0

1 1

2 10

3 11

4 100

5 101

6 110

7 111

8 1000

9 1001

23

Base 10 (Decimal)

Base 16 (Hexadecima

l)

Base 8 (Octal)

Base 2 (Binario)

0 0 0 0

1 1 1 1

2 2 2 10

3 3 3 11

4 4 4 100

5 5 5 101

6 6 6 110

7 7 7 111

8 8 10 1000

9 9 11 1001

10 A 12 1010

11 B 13 1011

12 C 14 1100

13 D 15 1101

14 E 16 1110

15 F 17 1111

16 10 20 1000024

Encuentre cada digito octal por su equivalente binario de tres dígitos (los ceros al principio pueden ser omitidos, solo cuando se encuentren en el primer grupo de la izquierda. Luego combine todos los equivalentes binarios en un único numeral binario)

EJEMPLO: CONVIERTA A BASE BINARIA8473

100

25

4 1117 0113

28 011111100473

Encuentre cada digito octal por su equivalente binario de tres digitos (los ceros al principio pueden ser omitidos, solo cuando se encuentren en el primer grupo de la izquierda. Luego combine todos los equivalentes binarios en un unico numeral binario)

PRACTICA: CONVIERTA A BASE BINARIA 8765

111

26

7 1106 1015

28 101110111765

Encuentre cada digito octal por su equivalente binario de tres dígitos (los ceros al principio pueden ser omitidos, solo cuando se encuentren en el primer grupo de la izquierda. Luego combine todos los equivalentes binarios en un único numeral binario)

EJEMPLO: CONVIERTA A BASE OCTAL 211001110

10

27

011 110

82 23611011110

201110 110

010 011 110

2 3 6