*P201C10111M*

2/24 *P201C10111M02*NAVODILA KANDIDATU

Pazljivo preberite ta navodila. Ne odpirajte izpitne pole in ne začenjajte reševati nalog, dokler vam nadzorni učitelj tega ne dovoli.

Prilepite oziroma vpišite svojo šifro v okvirček desno zgoraj na prvi strani in na ocenjevalni obrazec ter na konceptna lista.

Izpitna pola je sestavljena iz dveh delov. Prvi del vsebuje 11 nalog. Drugi del vsebuje 3 naloge, izmed katerih izberite in rešite dve. Število točk, ki jih lahko dosežete, je 70, od tega 50 v prvem delu in 20 v drugem delu. Za posamezno nalogo je število točk navedeno v izpitni poli. Pri reševanju si lahko pomagate s formulami na 3. in 4. strani.

V preglednici z "x" zaznamujte, kateri dve nalogi v drugem delu naj ocenjevalec oceni. Če tega ne boste storili, bo ocenil prvi dve nalogi, ki ste ju reševali.

Rešitve pišite z nalivnim peresom ali s kemičnim svinčnikom in jih vpisujte v izpitno polo v za to predvideni prostor; grafe funkcij, geometrijske skice in risbe pa lahko rišete s svinčnikom. Če se zmotite, napisano prečrtajte in rešitev zapišite na novo. Nečitljivi zapisi in nejasni popravki bodo ocenjeni z 0 točkami. Osnutki rešitev, ki jih lahko naredite na konceptna lista, se pri ocenjevanju ne upoštevajo.

Pri reševanju nalog mora biti jasno in korektno predstavljena pot do rezultata z vsemi vmesnimi računi in sklepi. Če ste nalogo reševali na več načinov, jasno označite, katero rešitev naj ocenjevalec oceni.

Zaupajte vase in v svoje zmožnosti. Želimo vam veliko uspeha.

ÚTMUTATÓ A JELÖLTNEK

Figyelmesen olvassa el ezt az útmutatót! Ne lapozzon, és ne kezdjen a feladatok megoldásába, amíg azt a felügyelő tanár nem engedélyezi!

Ragassza, illetve írja be kódszámát a feladatlap első oldalának jobb felső sarkában levő keretbe, az értékelő lapokra és a vázlathoz kapott pótlapokra!

A feladatlap két részből áll. Az első rész 11 feladatot tartalmaz. A második részben 3 feladat van, ebből kettőt oldjon meg! Összesen 70 pont érhető el: 50 pont az első, 20 pont a második részben. A feladatlapban a feladatok mellett feltüntettük az elérhető pontszámot is. A feladatok megoldásakor használhatja az 5. és 6. oldalon található képletgyűjteményt.

A táblázatban jelölje meg x-szel, a második rész melyik két feladatát értékelje az értékelő! Ha ezt nem teszi meg, az értékelő tanár az első két megoldott feladatot értékeli.

Válaszait töltőtollal vagy golyóstollal írja a feladatlap erre kijelölt helyére; a függvénygrafikonokat, a mértani ábrákat és a rajzokat ceruzával rajzolja be! Ha tévedett, a leírtat húzza át, majd válaszát írja le újra! Az olvashatatlan megoldásokat és a nem egyértelmű javításokat 0 ponttal értékeljük. Vázlatát írja a pótlapokra, de azt az értékelés során nem vesszük figyelembe.

A válasznak tartalmaznia kell a megoldásig vezető műveletsort, az összes köztes számítással és következtetéssel együtt. Ha a feladatot többféleképpen oldotta meg, egyértelműen jelölje, melyik megoldást értékeljék!

Bízzon önmagában és képességeiben! Eredményes munkát kívánunk!

*P201C10111M03* 3/24

FORMULE

1. Pravokotni koordinatni sistem v ravnini, linearna funkcija

● Razdalja dveh točk v ravnini: ( , )d A B 2 22 1 2 1( ) ( )x x y y

● Linearna funkcija: ( )f x kx n ● Smerni koeficient premice: 2 1

2 1

y yk

x x

● Naklonski kot premice: tank ● Kot med premicama: 2 1

1 2

tan1k k

k k

2. Ravninska geometrija (ploščine likov so označene s S)

● Trikotnik: 1 sin2 2

ccvS ab ( )( )( )s s a s b s c ,

2a b cs

● Polmera trikotniku očrtanega R( ) in včrtanega r( ) kroga: 4abcR

S , Sr

s , 2

a b cs

● Enakostranični trikotnik: 2 3 3 3 3, , , 4 2 6 3

a a a aS v r R

● Deltoid, romb: 2ef

S ● Romb: 2 sinS a

● Paralelogram: sinS ab ● Trapez: 2

a c vS

● Dolžina krožnega loka: 180

rl

● Ploščina krožnega izseka: 2

360rS

● Sinusni izrek: 2sin sin sin

a b c R ● Kosinusni izrek: 2 2 2 2 cosa b c bc

3. Površine in prostornine geometrijskih teles (S je ploščina osnovne ploskve)

● Prizma: 2 plP S S , V Sv

● Piramida: plP S S , 13

V Sv

● Krogla: 24P r , 34

3rV

● Valj: 22 2P r rv , 2V r v

● Stožec: 2P r rs , 213

V r v

4. Kotne funkcije

● 2 2sin cos 1

● sintancos

● cos( ) cos cos sin sin

● sin( ) sin cos cos sin

● 2

211 tan

cos

● sin2 2sin cos

● 2 2cos2 cos sin

5. Kvadratna enačba in kvadratna funkcija

● 2 0ax bx c

● 2( )f x ax bx c

● 2( ) ( )f x a x p q

● 1 2( ) ( )( )f x a x x x x

● Rešitvi: 1,2 2b Dx

a , 2 4D b ac

● Teme: ( , )T p q , 2

bpa ,

4Dqa

P perforiran list

4/24 *P201C10111M04*6. Logaritmi

● log xa y x a y ● log logn

a ax n x

● log ( ) log loga a axy x y ● log

loglog

ab

a

xx

b

● log log loga a ax x yy

7. Zaporedja

● Aritmetično zaporedje: 1 ( 1)na a n d , 1(2 ( 1) )2nns a n d

● Geometrijsko zaporedje: 11

nna a q , 1

11

n

nq

s aq

● Navadno obrestovanje: 0nG G o , 0

100G np

o

● Obrestno obrestovanje: 0n

nG G r , 1100

pr

8. Obdelava podatkov (statistika)

● Aritmetična sredina: 1 2 ... nx x xx

n

1 1 2 2

1 2

......

k k

k

f x f x f xx

f f f

9. Odvod

● Odvodi nekaterih elementarnih funkcij: 1

2

( ) , ( )

( ) sin , ( ) cos

( ) cos , ( ) sin

1( ) tan , ( )cos

1( ) ln , ( )

( ) , ( )

n n

x x

f x x f x nx

f x x f x x

f x x f x x

f x x f xx

f x x f xx

f x e f x e

● Pravila za odvajanje:

2

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( )

f x g x f x g x

f x g x f x g x f x g x

kf x kf x

f x f x g x f x g xg x g x

f g x f g x g x

10. Kombinatorika in verjetnostni račun

● Permutacije brez ponavljanja: !nP n

● Variacije brez ponavljanja: !( )!

rn

nVn r

● Variacije s ponavljanjem: ( )p r rnV n

● Kombinacije brez ponavljanja: !! !( )!

rr nn

V n nC rr r n r

● Verjetnost slučajnega dogodka A : število ugodnih izidovštevilo vseh izidov

mP An

*P201C10111M05* 5/24

KÉPLETEK

1. A derékszögű koordináta-rendszer a síkban, a lineáris függvény

● Két pont távolsága a síkban: ( , )d A B 2 22 1 2 1( ) ( )x x y y

● Lineáris függvény: ( )f x kx n ● Az egyenes iránytényezője: 2 1

2 1

y yk

x x

● Az egyenes hajlásszöge: tank ● Két egyenes hajlásszöge: 2 1

1 2

tan1k k

k k

2. Síkmértan (a síkidomok területét S -sel jelöltük)

● Háromszög: 1 sin2 2

ccvS ab ( )( )( )s s a s b s c ,

2a b cs

● A háromszög köré írható kör sugara ( )R és a háromszögbe írható kör sugara ( )r :

4abcR

S , Sr

s , 2

a b cs

● Egyenlő oldalú háromszög: 2 3 3 3 3, , , 4 2 6 3

a a a aS v r R

● Deltoid, rombusz: 2ef

S ● Rombusz: 2 sinS a

● Paralelogramma: sinS ab ● Trapéz: 2

a cS v

● A körív hossza: 180

rl

● A körcikk területe: 2

360rS

● Szinusztétel: 2sin sin sin

a b c R ● Koszinusztétel: 2 2 2 2 cosa b c bc

3. A mértani testek felszíne és térfogata (az S az alaplap területe)

● Hasáb: 2 plP S S , V Sv

● Gúla: plP S S , 13

V Sv

● Gömb: 24P r , 34

3rV

● Henger: 22 2P r rv , 2V r v

● Kúp: 2P r rs , 213

V r v

4. Szögfüggvények

● 2 2sin cos 1

● sintancos

● cos( ) cos cos sin sin

● sin( ) sin cos cos sin

● 2

211 tan

cos

● sin2 2sin cos

● 2 2cos2 cos sin

5. Másodfokú egyenlet és másodfokú függvény

● 2 0ax bx c

● 2( )f x ax bx c

● 2( ) ( )f x a x p q

● 1 2( ) ( )( )f x a x x x x

● Megoldások: 1,2 2b Dx

a , 2 4D b ac

● Tengelypont: ( , )T p q , 2

bpa ,

4Dqa

P perforiran list

6/24 *P201C10111M06* 6. Logaritmusok

● log xa y x a y ● log logn

a ax n x

● log ( ) log loga a axy x y ● loglog

loga

ba

xx

b

● log log loga a ax x yy

7. Sorozatok

● Számtani sorozat: 1 ( 1)na a n d , 1(2 ( 1) )2nns a n d

● Mértani sorozat: 11

nna a q , 1

11

n

nq

s aq

● Kamatszámítás: 0nG G o , 0

100G np

o

● Kamatoskamat-számítás: 0n

nG G r , 1100

pr

8. Adatfeldolgozás (statisztika)

● Számtani közép: 1 2 ... nx x xx

n

1 1 2 2

1 2

......

k k

k

f x f x f xx

f f f

9. Derivált

● Néhány elemi függvény deriváltja

1

2

( ) , ( )

( ) sin , ( ) cos

( ) cos , ( ) sin

1( ) tan , ( )cos

1( ) ln , ( )

( ) , ( )

n n

x x

f x x f x nx

f x x f x x

f x x f x x

f x x f xx

f x x f xx

f x e f x e

● Deriválási szabályok

2

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( )

f x g x f x g x

f x g x f x g x f x g x

kf x kf x

f x f x g x f x g xg x g x

f g x f g x g x

10. Kombinatorika. Valószínűségszámítás

● Ismétlés nélküli permutációk: !nP n

● Ismétlés nélküli variációk: !( )!

rn

nVn r

● Ismétlés variációk: ( )p r rnV n

● Ismétlés nélküli kombinációk: !! !( )!

rr nn

V n nC rr r n r

● Az A véletlen esemény (eset) valószínűsége: kedvező események (esetek) számaaz összes események (esetek) száma

mP An

*P201C10111M07* 7/24

1. DEL / 1. RÉSZ

Rešite vse naloge. / Minden feladatot oldjon meg!

1. Brez računala izračunajte vrednost izraza 543 16 9 16 : 32 .

Számológép használata nélkül számítsa ki a 543 16 9 16 : 32 számkifejezés értékét!

(4 točke/pont)

8/24 *P201C10111M08*2. Poenostavite izraz 32 6 4 33 5 : .x x y y

Egyszerűsítse a x x y y 32 6 4 33 5 : kifejezést!

(4 točke/pont)

*P201C10111M09* 9/24

3. Rešite neenačbo 3 1 2 2 6x x .

Oldja meg a 3 1 2 2 6x x egyenlőtlenséget!

(4 točke/pont)

10/24 *P201C10111M10*4. Rešite enačbo 12 2 48.x x

Oldja meg a x x 12 2 48 egyenletet!

(4 točke/pont)

*P201C10111M11* 11/24

5. Ana je v trgovini kupila hlače za 29,99 EUR in plašč. Cena plašča je bila znižana za 25 %. Za hlače in plašč je plačala 104,24 EUR. Koliko je plačala za plašč in kolikšna je bila cena plašča pred znižanjem?

Anna a boltban vett egy nadrágot 29,99 €-ért és egy kabátot. A kabát ára le volt szállítva 25% -kal. A nadrágért és a kabátért összesen 104,24 €-t fizetett. Mennyit fizetett a kabátért, és

mennyi volt a kabát ára az árleszállítás előtt?

(4 točke/pont)

12/24 *P201C10111M12*

6. Dana je funkcija f s predpisom tan 3.f x x Izračunajte odvod funkcije f ter .3f

Adott az f x x tan 3 hozzárendelési szabállyal megadott f függvény. Számítsa ki az f

függvény deriváltját és az f 3

értékét!

(4 točke/pont)

*P201C10111M13* 13/24

7. Družina dveh staršev in dveh otrok se bo peljala s taksijem. Na koliko različnih načinov lahko sedijo v taksiju, če sedi eden od staršev na sopotnikovem sedežu spredaj, drugi od staršev in otroka pa na treh sedežih zadaj?

Egy család, amelyet két gyerek és két szülő alkot, taxival fog utazni. Hányféle különböző módon ülhetnek a taxiban, ha a szülők közül az egyik elöl ül az anyósülésen, a másik szülő és a gyerekek pedig a hátsó három ülésen?

(4 točke/pont)

14/24 *P201C10111M14*8. Dana je kvadratna funkcija 2 1,3 7,14.f x x x Rešite kvadratno enačbo 0.f x

Funkcijo f zapišite v razcepni obliki.

Adott az f x x x 2 1,3 7,14 négyzetes függvény. Oldja meg az f x 0 másodfokú

egyenletet! Az f függvényt írja fel gyöktényezős alakban!

(5 točk/pont)

*P201C10111M15* 15/24

9. Tine je za praznovanje rojstnega dne napolnil 14 balonov rdeče in bele barve. Razmerje med številom rdečih in številom belih balonov je bilo 3 : 4. Izračunajte, koliko rdečih in koliko belih balonov je napolnil Tine.

Tine a születésnapi zsúrjához 14 piros és fehér léggömböt töltött meg. A piros és fehér léggömbök számának aránya 3 : 4. Számítsa ki, hány piros és hány fehér léggömböt töltött meg Tine!

(5 točk/pont)

16/24 *P201C10111M16*

10. Dana je enačba premice 12 3

yx

v odsekovni obliki.

Adott az 12 3

yx

egyenes egyenlete tengelymetszetes alakban.

10.1. Enačbo premice zapišite v eksplicitni obliki. Írja fel az egyenes egyenletét iránytényezős alakban!

(2)

10.2. Premico narišite v dani koordinatni sistem in računsko preverite, ali točka 12, 22A leži na

tej premici. Az egyenest ábrázolja a megadott koordináta-rendszerben, és ellenőrizze számítással,

hogy az 12, 22A pont illetszkedik-e erre az egyenesre!

(4) (6 točk/pont)

x

y

10

1

*P201C10111M17* 17/24

11. Na sliki je narisan graf funkcije ,f dane s predpisom 12

log .f x x Točke ,A B in C ležijo na

grafu funkcije ,f v točki B graf funkcije f seka abscisno os.

A képen az f x x 12

log hozzárendelési szabállyal megadott f függvény grafikonja látható. Az

,A B és C pontok illeszkednek az f függvény grafikonjára, az f függvény grafikonja a B

pontban metszi az abszcisszatengelyt.

y

3, 3C x

y2 2, B x

y12, A

0

Zapišite neznani koordinati točke B ter izračunajte neznani koordinati točk A in .C

Írja fel a B pont ismeretlen koordinátáit, és számítsa ki az A és a C pontok ismeretlen koordinátáját!

(6 točk/pont)

18/24 *P201C10111M18*2. DEL / 2. RÉSZ

Izberite dve nalogi, na naslovnici izpitne pole zaznamujte njuni zaporedni številki in ju rešite. Válasszon ki két feladatot, jelölje meg a sorszámukat a címlapon, és oldja meg őket! 1. Na sliki je narisan krog z označenimi središčnimi koti , , in . Velikosti kotov so podane v

kotnih stopinjah.

A képen egy kör látható, amelyen bejelöltük az , , és középponti szögeket. A szögek

nagyságát fokokban adtuk meg.

1.1. Izračunajte velikosti središčnih kotov , , in .

Számítsa ki az , , és középponti szögek nagyságát!

(6 točk/pont)

22 20x

4 3x

8 2x

2 5x

1.2. Ploščina enega izmed krožnih izsekov je 210 cm . Izračunajte velikost središčnega kota, ki

pripada temu krožnemu izseku, če je polmer kroga 12 cm.

Az egyik körcikk területe 210 cm . Számítsa ki ebben a körcikkben a középponti szög

nagyságát, ha a kör sugara 12 cm !

(4 točke/pont)

*P201C10111M19* 19/24

20/24 *P201C10111M20*2. Ula je izdelala model vhoda v muzej Louvre v Parizu, ki je enak pravilni 4-strani piramidi. Za

izdelavo je uporabila ploščice v obliki rombov in enakokrakih trikotnikov (glejte sliko). Dolžina osnovnega roba njene piramide je 18 cm, višina piramide pa 12 cm.

Ula elkészítette a párizsi Louvre múzeum bejáratának modelljét, amely négyoldalú gúla alakú. A modellezésnél rombusz és egyenlő szárú háromszög alakú csempéket alkalmazott (nézze meg a képet). A gúlája alapéle 18 cm, a gúla magassága 12 cm.

2.1. Izračunajte prostornino in ploščino plašča modela Uline piramide. Számítsa ki Ula gúlamodelljének térfogatát és a palástja területét!

(6 točk/pont)

2.2. Ulina piramida ima na vsakem osnovnem robu devet skladnih enakokrakih trikotnikov, skladni rombi pa so postavljeni v osem vrst, števila rombov v zaporednih vrstah tvorijo aritmetično zaporedje (glejte sliko).

Koliko rombov bi imel plašč modela podobne piramide, ki bi imela na vsakem osnovnem robu 12 skladnih enakokrakih trikotnikov? Ula gúlájának minden alapélén kilenc egybevágó egyenlő szárú háromszöge van, az egybevágó rombuszok pedig nyolc sorba vannak, az egyes sorokban levő rombuszok száma számtani sorozatot alkot (tanulmányozza a képet). Hány rombusza lenne egy hasonló módon felépített gúlamodell palástjának, amelynek minden alapélén 12 egybevágó egyenlő szárú háromszög lenne?

(4 točke/pont)

*P201C10111M21* 21/24

22/24 *P201C10111M22*3. Podjetji, ki prodajata mobilne telefone, sta število prodanih mobilnih telefonov v lanskem letu

prikazali vsaka na svoj način.

Két mobiltelefont áruló vállalat a tavalyi évben eladott mobiltelefonok számát különböző módon mutatta be.

Podjetje A / A vállalat

Podjetje B / B vállalat

3.1. V podjetju B so v 4. trimesečju v povprečju prodali vsak mesec 467 mobilnih telefonov, kot prikazuje krožni diagram. Izračunajte, koliko mobilnih telefonov je bilo prodanih decembra, in izpolnite preglednico. A B vállalatban a 4. negyedévben átlagosan 467 mobiltelefont adtak el, ahogy azt a kördiagram is mutatja. Számítsa ki, hány mobiltelefont adtak el decemberben, és egészítse ki a táblázatot!

(4 točke/pont)

Oktober Október

November November 

December December 

Število prodanih telefonov Az eladott telefonok száma

451 440

3.2. Katero podjetje je bilo uspešnejše pri prodaji mobilnih telefonov v 2. trimesečju? Katero podjetje je v lanskem letu prodalo več mobilnih telefonov? Melyik vállalat volt a sikeresebb a mobiltelefonok eladásában a 2. negyedévben? Melyik vállalat adott el a tavalyi éveben több mobiltelefont?

(6 točk/pont)

351298 305 320 333

472 480 470 465419

452512

0

100

200

300

400

500

600

Število prodanih mobilnih telefonovAz eladott mobiltelefonok száma

*P201C10111M23* 23/24

24/24 *P201C10111M24*

Prazna stran Üres oldal