PATRULATERE

Basm matematicSunt mii de ani de când pe pământul însorit al Eladei, nu departe de oraşul Metros, exista prin graţia zeiţei matematicii, o colonie, pe numele ei Poligonia.

Şi era alcătuită această comunitate din triunghiuri, patrulatere şi tot felul de poligoane care trăiau în bună înţelegere, pace şi armonie reciprocă.

Cel mai numeros era aici neamul Trigon, alcătuit numai din figuri geometrice cu 3 laturi şi 3 unghiuri: triunghiurile.

Deşi păreau cele mai modeste, dacă reuşeai să te împrieteneşti cu ele –si nu era greu– aflai că pe lângă cele 3 laturi şi 3 unghiuri, fiecare triunghi avea mai multe segmente şi unghiuri care le dădea armonie, distincţie şi mister. 3 mediane, 3 bisectoare, 3 înălţimi, un centru de greutate, un perimetru, o arie, erau nelipsite fiecărui triunghi.

Mai aveau triunghiurile şi alte proprietăţi ascunse, pe care le dezvăluiau numai prietenilor apropiaţi, care şi-au petrecut o buna parte din viata printre ele.

Patrulaterele, cu 4 vârfuri şi 4 laturi, păreau mai complicate şi aveau un aer mai sofisticat.Mândria fiecărui patrulater erau în primul rând cele 2 segmente pe care triunghiurile nu le puteau avea: diagonalele.

Se spune că în Poligonia existau unele legi foarte stricte, dar drepte: “Suma unghiurilor unui triunghi este exact 180 grade“ sau “Suma unghiurilor oricărui patrulater este de 360 grade“.De respectarea acestor legi se preocupa un înţelept, pe numele sau Geo, căruia îi spuneau Geo din Metros sau mai simplu Geometros .

Geometros Era un mare prieten al Triunghiurilor şi

patrulaterelor şi se întreţinea cu ele ore în şir, cunoscându-le toate calităţile şi toate defectele. La el veneau toate figurile geometrice ori de câte ori aveau un necaz.

Si , în înţelepciunea lui Geometros avea cate un răspuns pentru fiecare problemă de-a lor.

De la Geometros am primit şi noi însărcinare să studiem îndeaproape “neamul“ Patrulaterelor. Sfatul sau a fost să realizam câteva însemnări ale descoperirilor noastre, pe care să le împărtăşim şi colegilor noştri când ne vom fi sfârşit călătoria .

Jurnal de călătorie …

Xxxx zile înainte de Marele Examen ….Studiu făcut asupra patrulaterelor, din colonia Poligonia, oraşul Metros.

Ziua I : Privite de la distanta …

Patrulaterul

• Este poligonul cu patru laturi• Un patrulater poate fi convex sau

neconvex (concav )• Un patrulater este convex dacă

oricare ar fi o latură a sa, celelalte două vârfuri nesituate pe acea latură se află de aceeaşi parte a dreptei ce conţine latura respectivă.

PATRULATERUL CONVEX

Segmentul care uneşte două puncte interioare ale unui patrulater convex nu intersectează laturile patrulaterului (este situat în întregime în interiorul patrulaterului convex).

PATRULATER CONCAV

Segmentul care uneşte două puncte interioare ale patrulaterului neconvex intersectează laturile acestuia.

Ziua a II a :

Interviu cu membrii unor prestigioase familii:

paralelogramele, dreptunghiurile, pătratele, romburile, trapezele.

PARALELOGRAMULEste patrulaterul convex cu laturile

opuse paralele : AB || CD, BC || AD

Proprietăţile paralelogramului• Laturile opuse într-un paralelogram

sunt congruente;• Unghiurile opuse într-un paralelogram

sunt congruente;• Unghiurile alăturate oricărei laturi într-

un paralelogram sunt suplementare;• Diagonalele paralelogramului au

acelaşi mijloc (punctul lor de intersecţie).

Un patrulater convex este paralelogram, dacă este îndeplinită una din condiţiile:

• Are laturile opuse paralele două câte două;

• Are laturile opuse congruente două câte două;

• Are două laturi opuse paralele şi congruente;

• Are unghiurile opuse congruente două câte două;

• Unghiurile alăturate oricărei laturi sunt suplementare;

• Diagonalele au acelaşi mijloc (se înjumătăţesc).

Aria paralelogramului

• A=AB·DD’• A=AB·AD·sin DAB

A BD’

CD

Paralelograme particulare

• Dreptunghiul - este paralelogramul care are un unghi drept.

• Rombul - este paralelogramul cu două laturi consecutive congruente.

• Pătratul - este rombul cu un unghi drept/ este dreptunghiul cu două laturi consecutive congruente

DREPTUNGHIUL

• Diagonalele dreptunghiului sunt congruente

• A=AB·BC• A = L · l• L - lungimea• l - lăţimea

D

A B

C

O

L

l

ROMBUL

• Diagonalele rombului sunt perpendiculare

• Diagonalele rombului sunt şi bisectoarele unghiurilor rombului

• A =AC · BD ·½• A = AB · DD’

A

B

C

D

O

D’

PĂTRATUL

• Pătratul are toate proprietăţile rombului şi dreptunghiului

• A = AB²• A = l²• l - latura pătratului

D

A B

C

O

l

TRAPEZUL

• Trapezul este patrulaterul convex cu două laturi paralele şi două laturi neparalele.

• Trapezul cu laturile neparalele congruente se numeşte trapez isoscel şi are diagonalele congruente.

• Trapezul cu un unghi drept se numeşte trapez dreptunghic.

• Trapezul cu diagonalele perpendiculare se numeşte trapez ortodiagonal.

TRAPEZUL

A B

CD

M N

D’

AB- baza mareDC- baza micăMN- linie mijlocieDD’- înălţime

O

P Q

MN = ½ ( AB + DC )PQ = ½ ( AB - DC )

A = ½ ( AB + DC ) · DD’

TRAPEZUL ISOSCEL

A B

CD

O

TRAPEZUL DREPTUNGHIC

A B

CD

O

ZIUA A TREIA ….Cele mai de seama reprezentante

din neamul poligoanelor sunt denumite: “Poligoanele regulate”-cele cunoscute pentru deosebita frumuseţe şi distincţie de a avea toate laturile şi toate unghiurile congruente. Nu am putut vorbi cu ele mai în detaliu, dar am reuşit să realizam o poză de grup.

Poligoane regulate

Am invatat si sa demonstram…Intre descoperirile uimitoare facute in colonia Poligonia,

orasul Metros, au fost si cateva papirusuri vechi din care cu greu am reusit sa descifram cateva demonstratii….

Redecoperiti textul lipsa

Pe un papirus vechi am gasit demonstratiaurmatoare despre care Geometros ne-a asigurat ca este corecta impreuna cu figura la care se refera.Ar fi un mare ajutor pentru noi daca ati reusi sa descoperiti si sa redactati cerinta acestei mici probleme.

ED

EC

BE

AECE

DE

BE

AE

S

R T

U

I

“U este simetricul lui S in raport cu I, deci I este mijlocul lui [SU];Pe de alta parte, I este mijlocul lui [RT].Deci [SU] si [RT] se injumatatesc.

Ori, un patrulater in care diagonalele se taie in parti con-gruente este un paralelogram.Deci RSTU este un paralelogram”

Deci, , care este enuntul? Care este ipoteza?care este concluzia?

O noua provocare

Demonstratie puzzle

Fie ABC un triunghi oarecare.Inaltimea coborata din A taie pe [BC] in H.Notam cu E simetricul lui H in raport

cu mijlocul I al lui [AC].Aratati ca AHCE este un dreptunghi.

Figura …

A

BH C

E

I

Mai jos sunt date 10 fraze:

1. Deci AHCE este un dreptunghi.2. Pe de alta parte I este mijlocul lui [AC].3. Deci unghiul AHC este drept.4. Pe de alta parte E este simetricul lui H in raport cu I5. Ori un paralelogram cu un unghi drept este dreptunghi.6. Deci [HE] si [AC] au acelasi mijloc.7. Ori un patrulater ale carui diagonale se injumatatesc este paralelogram.8. Deci I este mijlocul lui [HE].9. In plus se stie ca [AH] este inaltimea triunghiului ABC10. Deci AHCE este un paralelogram

Ordonati cele 10 fraze pentru a obtine implicatiile logice ale unei demonstratii corecte.