Geometrija: pradžia

Paulius Drungilas

Vilniaus universitetasMatematikos ir informatikos fakultetas

Paulius Drungilas Geometrija: pradžia

Dekarto koordinačių sistema tiesėje

Koordinačių sistema tiesėje:

Atkarpos AB ilgis:|AB| = |y − x |.

Paulius Drungilas Geometrija: pradžia

Dekarto koordinačių sistema plokštumoje

Atkarpos AB ilgis:

|AB| =√

(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2.

Paulius Drungilas Geometrija: pradžia

Dekarto koordinačių sistema erdvėje

Atkarpos AB ilgis:

|AB| =√

(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2 + (z2 − z1)2.

Paulius Drungilas Geometrija: pradžia

Vektoriai

Vektorius – atkarpa, turinti kryp-tį. Žymėsime ~AB arba ~a. At-karpos AB ilgis vadinamas vekto-riaus ~AB ilgiu ir žymimas | ~AB|.

Vienakrypčiai vektoriai yra ly-giagrečiose tiesėse ir vienodųkrypčių.

Paulius Drungilas Geometrija: pradžia

Vektoriai

Priešingos krypties vektoriai yralygiagrečiose tiesėse ir priešingųkrypčių.

Lygūs vektoriai yra vienodo ilgioir vienakrypčiai.

Nulinis vektorius: pradžios taškas sutampa su pabaigos tašku.Žymimas O arba ~0. Kryptis neapibrėžta.

Paulius Drungilas Geometrija: pradžia

Vektorių suma

Tarkime, kad vektoriaus ~a pabaiga sutampa su vektoriaus ~bpradžia.

Vektorių ~a ir ~b suma, žymima ~a +~b,vadinamas vektorius, jungiantis pir-mojo pradžią su antrojo galu.

Paulius Drungilas Geometrija: pradžia

Vektorių sumos savybės

Vektorių sudėtis – komutatyvi(lygiagretainio taisyklė):

~a + ~b = ~b +~a.

Vektorių sudėtis – asociatyvi:

(~a + ~b) + ~c = ~a + (~b + ~c).

Paulius Drungilas Geometrija: pradžia

Vektorių sumos savybės

Nulinis vektorius O tenkina lygybę

~a +O = ~a.

Kiekvienam vektoriui ~a egzistuoja vienintelis vektorius ~b,tenkinantis sąlygą:

~a + ~b = O.

Vektorius ~b vadinamas priešingu vektoriui ~a ir žymimas −~a.(Vektorius ~AB yra priešingas vektoriui ~BA.)

Paulius Drungilas Geometrija: pradžia

Vektoriaus daugyba iš skaičiaus

Skaičiaus α ir vektoriaus ~a sandauga vadiname vektorių, žymimąα ·~a, kurio:1) ilgis lygus skaičiaus α modulio ir vektoriaus ~a ilgio sandaugai|α| · |~a|;

2) kryptis sutampa su vektoriaus ~a kryptimi, kai α > 0; priešingavektoriaus ~a krypčiai, kai α < 0.

Paulius Drungilas Geometrija: pradžia

Vektoriaus daugybos iš skaičiaus savybės

Tegul α, β ∈ R.

Asociatyvumas: (α · β) ·~a = α(β~a)

Distributyvumas: (α+ β) ·~a = α~a + β~a

Distributyvumas: α · (~a + ~b) = α~a + α~b

Teiginys 1 (Vektorių kolinearumo kriterijus)

Du vektoriai ~a ir ~b yra kolinearūs tada ir tik tada, kai vieną jųgalima tiesiškai išreikšti kitu, t. y. kai egzistuoja toks skaičiusα ∈ R, kad ~a = α~b arba ~b = α~a.

Paulius Drungilas Geometrija: pradžia

Vektoriaus koordinatės

~a(x0, y0, z0) – vektorius, kurio pradžia yra koordinačių pradžiostaškas O, o pabaiga – taškas (x0, y0, z0).

~a(x0, y0, z0) = ~b(x1, y1, z1) ⇐⇒ x0 = x1, y0 = y1 ir z0 = z1.

Paulius Drungilas Geometrija: pradžia

Vektorių suma ir daugyba iš skaičiaus

Tegul ~a(x0, y0), ~b(x1, y1) – bet kokie vektoriai, α ∈ R. Tada

~a + ~b = (x0 + x1, y0 + y1),α ·~a = (αx0, αy0).

Kolinearumas:

~a(x0, y0) ||~b(x1, y1) ⇐⇒ x0x1

= y0y1⇐⇒ x0y1 − x1y0 = 0.

Paulius Drungilas Geometrija: pradžia

Vektorių suma ir daugyba iš skaičiaus

Tegul ~a(x0, y0, z0), ~b(x1, y1, z1) – bet kokie vektoriai, α ∈ R. Tada

~a + ~b = (x0 + x1, y0 + y1, z0 + z1),α ·~a = (αx0, αy0, αz0).

Kolinearumas:

~a(x0, y0, z0) ||~b(x1, y1, z1) ⇐⇒ x0x1

= y0y1

= z0z1.

Paulius Drungilas Geometrija: pradžia

Atkarpos dalinimas duotu santykiu

Teiginys 2Tegul A(x1, y1, z1) ir B(x2, y2, z2) – atkarpos galai, taškasC(x3, y3, z3) priklauso šiai atkarpai ir dalija ją santykiu λ : 1(λ > 0), t. y. AC

CB = λ. Tada

x3 = x1 + λx21 + λ

, y3 = y1 + λy21 + λ

, z3 = z1 + λz21 + λ

.

Įrodymas~AC(x3 − x1, y3 − y1, z3 − z1) || ~CB(x2 − x3, y2 − y3, z2 − z3)

Be to, šie vektoriai yra vienakrypčiai, nes taškas C priklausoatkarpai AB. Todėl

Paulius Drungilas Geometrija: pradžia

~AC = t · ~CB, t > 0.

Tada| ~AC | = |t · ~CB| = t| ~CB|.

Vadinasi, t = | ~AC || ~CB|

= λ. Taigi

~AC = λ · ~CB.

Šioje vektorių lygybėje sulyginę atitinkamas koordinates, gaunamex3, y3 ir z3 išraiškas:

x3 − x1 = λ(x2 − x3) ⇒ x3 = x1 + λx21 + λ

.

Panašiai gauname y3 ir z3 išraiškas.

Paulius Drungilas Geometrija: pradžia

Atkarpos vidurio taško koordinatės

Išvada 3Atkarpos AB, A(x1, y1, z1), B(x2, y2, z2), vidurio taško Ckoordinatės yra

C(x1 + x2

2 ,y1 + y2

2 ,z1 + z2

2

).

Paulius Drungilas Geometrija: pradžia