Pemodelan Data Runtun Waktu : Kasus Data Color

Teknik Peramalan

Oleh:

Veny Miko Ningtyas (662016002)

Yohanes Visher Laja Jaja (662016013)

Anggita Mega Kusumawati (662016022)

Program Studi Matematika, Fakultas Sains dan Matematika

Universitas Kristen Satya Wacana, Salatiga

Abstrak

Dalam kehidupan sehari-hari pasti akan terjadi peristiwa-peristiwa yang

berubah-ubah. Teknik peramalan digunakan untuk mengetahui atau

memprediksi tentang hal tersebut dan untuk mengantisipasi hal-hal atau

kejadian-kejadian yang mungkin terjadi. Makalah ini menjelaskan cara

memodelkan data “Color” dengan model AR. Hal itu dilakukan dengan

mendiagnosis data “Color” dan memprediksi dengan model AR(1) dan

AR(2). Model AR tersebut digunakan untuk memperoleh model terbaik

dengan melihat nilai aic yang terkecil. Setelah mendapatkan model terbaik

maka dapat dilakukan prediksi untuk beberapa langkah ke depan.

Kata Kunci : Teknik Peramalan, Diagnosis, Prediksi

A. Pendahuluan

Dalam kehidupan sehari-hari pasti akan terjadi peristiwa-peristiwa yang berubah-

ubah. Contohnya dalam hal cuaca adalah curah hujan, atau dalam bidang ekonomi adalah

rata-rata penjualan. Untuk mengetahui atau memperdiksi tentang hal tersebut kita bisa

menggunakan teknik peramalan. Dari hasil teknik peramalan tersebut kita bisa

mengantisipasi hal-hal atau kejadian-kejadian yang mungkin terjadi. Pada makalah ini,

akan dibahas mengenai peramalan dengan model data runtun waktu. Dari model data

runtun waktu akan dibahas juga mengenai AR, MA, dan ARIMA untuk mengetahui jenis

data yang dianalisis. Setelah diketahui model datanya maka data tersebut akan dianalisis

diagnosisnya dan selanjutnya data tersebut dapat diramalkan untuk berapa langkah atau

beberapa tahun depan sesuai yang diinginkan.

B. Dasar Teori

Dasar teori yang digunakan dalam makalah ini adalah teori-teori runtun waktu yaitu

Data Stationer dan Non Stationer, Fungsi Autokorelasi Sampel (ACF), Fungsi

Autokorelasi Sampel Parsial (PACF), Model AR, Model MA, Model ARIMA.

n

n 2

k

Data Statinoer dan Non Stationer

Data Stationer merupakan data yang tidak terdapat perubahan yang drastis

atau fluktasi data berada disekitar nilai rata-rata yang konstan atau tidak

bergantung pada waktu dan variansinya. Data time series bisa disebut stationer

jika rata-rata dan variansnya konstan, tidak ada unsur trend dan tidak ada unsur

musiman.

Untuk data yang tidak stationer maka perlu dilakukan modifikasi untuk

menstationerkannya. Cara yang sering dipakai untuk menstationerkan data adalah

dengan differencing (metode pembeda). Selain itu, untuk melihat data stationer

juga bisa dilihat dari plot data atau dari bentuk difference nya. Proses difference

sendiri bisa dilakukan dengan mengurangi suatu data dengan data sebelumnya.

Fungsi Autokorelasi Sampel (ACF)

Autokorelasi sampel merupakan relasi antara data runtun waktu. Jika

diberikan sembarang data runtun waktu Y1, Y2 , , Yn dengan mengasumsikan

bahwa data tersebut telah stasioner, akan dapat diestimasi fungsi autokorelasi

untuk berbagai lag k 1, 2, .

Cara yang sederhana untuk melakukan hal ini dengan menghitung korelasi

sampel untuk pasangan Y1,Y1k ,Y2 ,Y2k ,,Yn ,Ynk . Fungsi autokorelasi sampe

rk didefinisikan sebagai berikut :

Yt Y Yt k

Y r

t k 1

Yt Y t 1

Fungsi Autokorelasi Sampel Parsial (PACF)

Fungsi Autokorelasi Sampe Parsial (PACF) pada lag- k adalah korelasi di

antara X t

dan X t k setelah dependensi linear antara X

t dan X

t k variabel antara

X t 1 , X t 2 ,, X t k 1 dihapus (Dedi Rosadi, 2011: 31). Autokorelasi Sampe

Parsial digunakan untuk mengukur tingkat keeratan (association) antara X t

dan

X t k

, apabila pengaruh dari time lag 1,2,3,, dan seterusnya sampai

k 1 dianggap terpisah (Makridakis, 1995: 345). Diperoleh estimasi dari fungsi

autokorelasi parsial untuk lag

berikut:

k 1,2,3, yang dinotasikan dengan kk sebagai

kk Corr Y

t

1Y

t1

2Y

t2

k1Y

tk ,Y

tk

1Y

tk1

sY

tk2

k1Y

t1

t

t t

Model Autoregressive (AR)

Autoregressive (AR) merupakan bentuk regresi yang tidak menghubungkan

variabel tak bebas, tetapi menghubungkan nilai-nilai sebelumnya pada time lag

(selang waktu) yang berbeda-beda. AR akan menyatakan ramalan sebagai fungsi

nilai sebelumnya dari time series tertentu.

Model AR pada orde ke- p dapat ditulis sebagai AR (p) yang bentuk umumnya

adalah:

dengan :

X t

X t

1 X

t 1

p X

t p

t

: Nilai variabel pada waktu ke- t ,

1

X t 1

, X t p

t

: Yang bersangkutan pada waktu t 1,

: Nilai masa lalu time series,

: Nilai error pada waktu ke- t ,

t 2, , t p ,

p : Order AR.

Model Moving Average (MA)

Moving Average (MA) merupakan metode peramalan yang menghitung rata-

rata suatu nilai runtut waktu yang digunakan untuk memperkirakan nilai pada

periode selanjutnya. Menurut Wei (2006: 47), model Moving Average dengan

order q dinotasikan MA ( q ) didefinisikan sebagai:

dengan,

X t t 1 t 1 2 t 2 q t q ; t ~ N 0, 2

X t

t ,

t 1 ,

t 2 ,

t q

: Nilai variabel pada waktu ke- t ,

: Nilai-nilai dari error pada waktu t ,

t 1,

t 2, ,

t q

dan diasumsikan White Noise dan normal,

i : Koefisien regresi, i : 1, 2, 3, , q ,

t : Nilai error pada waktu ke- t ,

q : Order MA.

Model Autoregressive Moving Average (ARIMA)

Autoregressive Moving Average (ARIMA) sering juga disebut metode runtun

waktu Box-Jenkins, yaitu model yang secara penuh mengabaikan independen

variabel dalam membuat peramalan. Menurut Pankrazt (1998: 99), secara umum

model ARIMA (p,d,q) untuk suatu data time series X t

adalah sebagai berikut :

B1 Bd X B t ; t ~ N 0, 2

1 1 2 t 2 q t

t

Persamaan di atas dapat ditulis menggunakan operator B (backshift), menjadi:

1 B d 1 B

sehingga diperoleh

B p B p X 1 B B 2 B q

1 B d X 1 X X X t

dengan,

1 t 1 2 t 2 p t p t 1 t 1 2 t 2 q t q

X t

: Data observasi ke- t ,

B : Operator back shift,

1 Bd X

t

: Time series yang stasioner pada pembedaan ke- d ,

: Nilai error pada waktu ke-t,

p : Order AR,

d : Order pembedaan,

q : Order MA.

Identifikasi Model

Kestationeran suatu time series juga dapat dilihat dari plot ACF yang

merupakan koefisien autokorelasinya menurun menuju nol dengan cepat, hal itu

biasanya terjadi pada lag ke 2 atau lag ke 3. Bila data tidak stationer maka akan

didiferencekan sampai stationer. Banyaknya diference(d) dapat menentukan nilai

d pada ARIMA(p,d,q).

Model AR dan MA pada time series dapat dilihat dengan melihat grafik ACF

dan PACF. Ketentuannya adalah:

a. Jika terdapat lag autukorelasi sebanyak q yang berbeda dari nol secara

signifikan maka prosesnya adalah MA(q).

b. Jika terdapat lag auokorelasi parsial sebanyak p yang berbeda dari nol secara

signifikan maka prosesnya adalah AR(p).

c. Secara umum jika terdapat lag autokorelasi parial sebanyak p yang berbeda

dari nol secara signifikan, terdapat lag autokorelasi sebanyak q yang berbeda

dari nol secara signifikan dan d diference maka prosesnya adalah

ARIMA(p,d,q).

No Model ACF PACF

1 AR(p) Menurun secara bertahap

menuju ke-0

Menuju 0 setelah lag

ke-p

2 MA(q) Menuju ke-0 setelah lag ke-q Menurun secara

bertahap menuju ke-0

3 ARMA(p,q) Menurun secara bertahap

menuju ke-0

Menurun secara

bertahap menuju ke-0

t l t l

t

t

0

Model Diagnosis

Model diagnosis digunakan untuk menganalisis kelayakan model atau

menganalisis kualitas model yang telah diidentifikasi dan diestimasi. Hal tersebut

dilihat dari seberapa baik model sesuai dengan data. Jika sesuai, maka model

dapat digunakan untuk meramal nilai deret yang akan datang. Sebaliknya, apabila

model tidak sesuai maka dilakukan kembali identifikasi model sampai model yang

diperoleh sesuai dengan data.

Peramalan

Peramalan (forecasting) merupakan prediksi atau perkiraan di masa depan

yang tujuannya untuk mengarahkan aktivitas di masa depan untuk mecapai

tujuan. Peramalan juga merupakan nilai nilai sebuah peubah kepada nilai yang

diketahui peubahnya yang berhubungan. Dimisalkan ada data Y1 ,Y2 ,,Yt 1 dan

akan diprediksi untuk data ke Yt l dengan t adalah forecast origin dan l adalah

lead time sedangkan ramalannya biasa ditulis dengan Y (l) E(Yt l Y1 ,Y2 ,,Yt ) .t

Dengan mempertimbangkan trend determistic maka modelnya Yt t X t

dengan komponen stokastik (Xt) mempunyai rata-rata nol. Hal terebut dapat

diasumsikan bahwa (Xt) white noise. Sehingga Y (l) E ( X ) ataut

Yt (l) t l untuk l 1 . Sedangkan untuk linear trend t 0 1 t dapat ditulis

Y (l) 1

(t l) .

Untuk forecast error et (l) dapat ditulis dengan et (l) X t l sedangkan untuk

forecast error variance dapat ditulis Var(et (l)) Var( X t l ) 0 .

Untuk model AR(1) peramalannya dapat ditulis dengan Y (l) t (Y )t t

sedangkan untuk forecast errornya dapat adalah

variansinya Var(e (1)) 2

et (1) Yt 1 Y (1) et 1

dan

t e

C. Metode Penelitian

Dari data yang diperoleh akan dilakukan spesifikasi model sehingga data tersebut

dapat digunakan. Model yang ditentukan harus dianalisis dan didiagnosis agar bisa

mendapatkan model yang terbaik dan sesuai dengan asumsi awal yang digunakan.

Apabila belum mendapatkan yang terbaik maka akan terus dilakukan diagnosis sampai

mendapatkan model yang terbaik. Setelah mendapatkan model terbaik maka akan

diramalkan untuk beberapa langkah kedepan sesuai keinginan.

D. Hasil dan Pembahasan

a. Model Data

Dari program R dengan menggunakan package “TSA” data “Color” dapat

dipanggil dan dihasilkan output bahwa data “Color” memiliki 35 data yaitu 67 63 76

66 69 71 72 71 72 72 83 87 76 79 74 81 76 77 68 68 74 68 69 75 80 81 86 86 79 78

77 77 80 76 67. Untuk mengetahui kestationeran dari data “Color”, dapat dilihat dari

plot data tersebut dengan batuan R yang telah dinyatakan pada Gambar 1.

Gambar 1. Plot Data Color

Dari Gambar 1 dapat dilihat bahwa tidak terdapat trend naik maupun turun dan

grafiknya naik turun disekitar rata-rata sehingga data tersebut dapat dikatakan

stationer.

Karena data sudah stationer maka dapat dicari ACF dan PACF-nya dengan

program R sehingga dapat diketahui jenis modelnya.

Untuk mendapatkan grafik ACF dan PACF dapat menggunakan R dan hasilnya

ditunjukkan pada Gambar 2 dan Gambar 3.

Gambar 2. Grafik ACF Data Color

Gambar 3. Grafik PACF Data Color

Dari Gambar 2 dan Gambar 3 dapat disimpulkan bahwa model dari data “Color”

adalah model AR (p) karena pada grafik ACF menurun secara bertahap menuju ke-0

dan grafiknya mengikuti alur grafik sinus sedangkan grafik PACF-nya menuju ke-0

setelah lag ke-p dan setelah lag ke-1 grafiknya menuju ke nol atau PACF terputus

setelah lag ke-1. Untuk itu model yang cocok menurut grafik di atas adalah model

AR(1).

Tetapi untuk menentukan model terbaik dengan membandingkan beberapa model.

Misalnya kita bandingkan model AR(1) dengan model AR(2), untuk model AR(1)

dari R dihasilkan

74.3293, 0.5705 ,

aic 216.15

serta hasil dari koefisien

s.e

dari model AR(1) adalah 0.5705

3.9646 1.96 . Sedangkan untuk model AR(2) 0.1439

dapat

74.1551 ,

1 0.5173

2 0.1005 ,

aic 217.84

serta hasil dari koefisien

s.e

dari model AR(2) adalah 0.1005

0.5537 1.96 . 0.1815

Dari kedua model yang dicoba dapat dilihat bahwa aic pada ARIMA(1,0,0) atau

AR (1) lebih kecil daripada aic pada ARIMA(2,0,0) atau AR(2). Serta hasil bagi dari

koefiesien AR(1) = 3.9646 1.96 . Sehingga dapat disimpulkan bahwa model yang

cocok untuk data “Color” adalah model AR(1). Jadi model untuk data “Color” dapat

ditulis dengan:

X t 0.5705 X t 1 t

b. Diagnosis Data

Setelah didapatkan model yang cocok maka selanjutnya model tersebut dapat

didiagnosis. Dengan menggunakan “tsdiag” didapatkan hasilnya yang ditunjukkan

pada Gambar 4.

Gambar 4. Plot Diagnosis

Dari Gambar 4 dapat dilihat bahwa dalam grafik ACF of Residual setelah lag ke-1

semua garis berada di bawah atau di dalam garis merah yang berarti bahwa tidak ada

korelasi residual diantara semua lag data tersebut.

Dari Gambar 4 dapat dilihat juga bahwa dalam grafik Standardized residual

berkisar antara -2 sampai 2 dan dari grafik p-value nilai p-valuenya berada di bawah

0,05 sehingga dapat menjadi alasan yang cukup bahwa data tersebut berdistribusi

Normal dan saling bebas. Selanjutnya untuk uji residual data dengan Kolmogorov-

Smirnov di R didapatkan hasil D = 0.078, p-value = 0.9835. Karena p-value >

5% maka dapat disimpulkan bahwa data tersebut berdistribusi normal. Selain itu,

dengan menggunakan tes QQnorm dari R didapatkan grafik yang ditunjukkan pada

Gambar 5.

Gambar 5. Plot QQ-Norm Data Color

Dari Gambar 5 dapat dilihat bahwa plot data tersebut berbentuk hampir linear

atau mendekati garis linear maka data tersebut dapat dikatakan data dengan distribusi

normal.

c. Permalan Data

Dari data color yang dibahas dengan model AR(1) disini akan diramalkan

tentang data Color untuk 10 langkah ke depan. Dengan menggunakan program R

diperoleh prediksi berserta nilai standart error-nya yang dinyatakan dalam Tabel 1.

Hasil prediksi tersebut juga dapat dinyatakan dalam plot beserta batas prediksinya

dengan koefisien kepercayaan 95% pada Gambar 6.

Tabel 1. Tabel hasil prediksi berdasarkan model AR(1)

67 63 76 66 69 71 72 71 72 72

Prediksi 70.14757 71.94342 72.96803 73.55262 73.88616 74.07646 74.18503 74.24698 74.28232 74.30249

S.E 4.983379 5.737436 5.962361 6.033771 6.056835 6.064324 6.066760 6.067553 6.067811 6.067895

Gambar 6. Grafik Peramalan

E. Kesimpulan

Makalah ini telah menjelaskan mengenai peramalan model runtun waktu untuk data

musiman. Model yang sesuai dengan data runtun waktu tersebut yaitu model AR(1).

Pemodelan yang digambarkan pada makalah ini terbatas pada model AR sehingga

diperlukan penelitian lagi untuk membahas AR model lain.

F. Daftar Pustaka

Atin. 17 Desember 2011. ARIMA (Autoregrresive Average) Integrated Moving. Web:

http://atinmbems.blogspot.com/2011/12/arima-autoregressive-integrated-

moving.html?m=1 .

Cryer, J. D. dan Kung-Sik Chan, 2008, Time Series Analysis with Application in R, Springer,

New York.

Setiawan, Adi. Pemodelan Data Runtun Waktu : Kasus Data Tingkat Pengangguran

di Amerika Serikat pada Tahun 1948 – 1978.. UKSW, Salatiga

Setiawan, Adi. Pemodelan Data Runtuk Waktu Pada Data Produksi Susu Sapi Di Amerika

Sejak Tahun 1962 – 1975. Uksw, Salatiga

Syahrir. Metode Autoregresssive Integrated Moving Average (ARIMA).Yogyakarta. Web:

http://www.acedemia.edu/34593458/METODE_AUTOREGRESSIVE_INTEGR

ATED_MOVING_AVEERAGE_ARIMA .

Lampiran Program R

1. Memunculkan Data Color

> library(TSA)

> data(color)

> color

Time Series:

Start = 1

End = 35

Frequency = 1

[1] 67 63 76 66 69 71 72 71 72 72 83 87 76 79 74 81 76 77 68 68 74 68 69 75 80 81 86 86 79 78 77

[32] 77 80 76 67

2. Plot Data Color

> plot(color, type="b")

3. Plot ACF Data Color

> acf(color)

4. Plot PACF Data Color

> pacf(color)

5. Menentukan Model

a. Model AR(1)

> model1=arima(x= color, orde=c(1,0,0)); > model1

Call:

arima(x = color, order = c(1, 0, 0))

Coefficients:

ar1 intercept

0.5705 74.3293

s.e. 0.1435 1.9151

sigma^2 estimated as 24.83: log likelihood = -106.07, aic = 216.15

b. Model AR(2)

> model2=arima(x= color, orde=c(1,2,0)); > model2

Call:

arima(x = color, order = c(2, 0, 0))

Coefficients:

ar1 ar2 intercept

0.5173 0.1005 74.1551

s.e. 0.1717 0.1815 2.1463

sigma^2 estimated as 24.6: log likelihood = -105.92, aic = 217.84

6. Tes Diagnosis

> tsdiag(model1)

> r = resid(model1)

> r

Time Series:

Start = 1

End = 35

Frequency = 1

[1] -6.0192758 -7.1475749 8.1346164 -9.2825052 -0.5770271 -0.2886705 -0.4297661

[8] -2.0003140 -0.4297661 -1.0003140 9.9996860 7.7236601 -5.5585311 3.7174948

[15] -2.9941486 6.8585904 -2.1352443 1.7174948 -7.8530530 -2.7181227 3.2818773

[22] -6.1414096 -1.7181227 3.7113295 5.2880426 3.4353036 7.8647557 5.0120167

[29] -1.9879833 1.0058514 0.5763992 1.1469470 4.1469470 -1.5646964 -8.2825052

> qqnorm(r)

> ks.test(r,"pnorm",mean(r),sd(r))

One-sample Kolmogorov-Smirnov test

data: r

D = 0.078, p-value = 0.9835

alternative hypothesis: two-sided

Warning message:

In ks.test(r, "pnorm", mean(r), sd(r)) :

ties should not be present for the Kolmogorov-Smirnov test

7. Peramalan

> has=predict(model1,n.ahead=10)

> has

$pred

Time Series:

Start = 36

End = 45

Frequency = 1

[1] 70.14757 71.94342 72.96803 73.55262 73.88616 74.07646 74.18503 74.24698

[9] 74.28232 74.30249

$se

Time Series:

Start = 36

End = 45

Frequency = 1

[1] 4.983379 5.737436 5.962361 6.033771 6.056835 6.064324 6.066760 6.067553

[9] 6.067811 6.067895

> BA=has$pred+1.96*has$se

> BB=has$pred-1.96*has$se

> p1=has$pred

> p2=has$se

> plot(color,type="b",xlim=c(0,45),ylim=c(0,100))

> u=seq(36,45,length=10)

> lines(u,p1)

> lines(u,BB,lty=3)

> lines(u,BA,lty=3)