Pemodelan Data Runtun Waktu:

Data Deere1

Kristia Anggraeni (662016008)

Vera M D Butarbutar (662016012)

Jessica Ordelia (662016018)

Program Studi Matematika, Fakultas Sains dan Matematika

Universitas Kristen Satya Wacana, Jl. Diponegoro 52-60 Salatiga 50711

Dalam kehidupan banyak dijumpai data dalam kurun waktu tertentu sama halnya di

bidang industri. Data yang ada dapat digunakan untuk memprediksi data pada

beberapa langkah kedepan, contohnya data Deree1 yang menampilkan data dalam

bidang industri. Data yang terkumpul pada kurun waktu tertentu dapat diprediksi

dengan menggunakan model ARMA, dan yang berlaku untuk data Deere1 adalah

ARMA(1,1) sebagai model terbaik. Model ARMA(1,1) kemudian didiagnosis untuk

menguji kelayakannya yang kemudian digunakan untuk memprediksi data 15 langkah

kedepan.

Kata Kunci- deere1, pemodelan, diagnosis, prediksi

I. PendahuluanData adalah suatu kumpulan fakta dari sebuah objek. Dalam kehidupan, kita

banyak menjumpai data dalam kurun waktu tertentu. Dalam industri sering dijumpai

banyak data baik dalam kurun waktu tertentu. Industri mesin yang dijalankan oleh

perusahaan bernama Deere memiliki kumpulan data antara lain : Deere1, Deere2, dan

Deere3.Makalah ini akan membahas bagaimana menyusun model dari data Deere 1 yang

merupakan data suatu perusahaan yang bergerak di bidang industri traktor. sampai

diperoleh suatu model yang diharapkan untuk memprediksi nilai yang akan datang. II. Dasar teori

Sekumpulan data yang diperoleh dalam kurun waktu tertentu disebut dengan

data time series. Peramalan terhadap data time series dilakukan dengan

memperhatikan data masa lampau untuk memprediksikan data di masa yang akan

datang. Sebelum melakukan prediksi data di masa yang akan datang, terlebih dahulu

membentuk suatu model matematika dari data yang sudah diperoleh.Dalam membentuk model matematika, Box dan Jenkins (1976)

mengembangkan suatu strategi pembangunan model dimana terdapat 3 langkah utama

dalam strategi ini, antara lain :

1. Identifikasi atau spesifikasi model2. Model fitting3. Model diagnosis

Uji diagnosis dilakukan untuk menguji apakah model yang sudah dibuat sesuai

dengan data yang ada. Model yang sesuai atau yang terbaik dapat diketahui dengan

melihat nilai residual antara model untuk prediksi dan data yang ada. apabila nilai

residual antara model prediksi dan datanya kecil, berdistribusi normal dan

independen.StasionerLangkah pertama yang perlu dilakukan adalah memeriksa apakah data tersebut

stasioner atau tidak. Suatu data dikatakan stasioner apabila tidak terjadi pertumbuhan

dan penurunan data yang tajam. Untuk memeriksa apakah suatu data stasioner, dapat

dilakukan dengan cara melihat grafik. Dimana data terlebih dahulu diplotkan dengan

bantuan R. Suatu data dinyatakan tidak stasioner apabila pada grafik hasil

pengeplotan terlihat data-datanya bergerak naik turun tidak mendekati suatu nilai

(nilai rata-rata). Sehingga perlu distasionerkan terlebih dahulu. Kemudian dilakukan

differencing atau pembedaan terhadap data yang belum stasioner agar menjadi

stasioner. Model ARMAAda beberapa model ARMA, dimana dalam kasus ini data deere 1 akan dibahas

dengan menggunakan ARMA (1,1). Kemudian kita memplot fungsi Autokorelasi

(ACF) dan fungsi Autokorelasi Parsial (PACF). Apabila data belum stasioner, maka

perlu dilakukan penurunan (differensiasi) terhadap data yang disajikan. Namun dalam

praktiknya, penentuan ARMA sering dilakukan apabila data sudah stasioner tanpa

harus dilakukan pembedaan (differencing).Berikut adalah persamaan umum dari model ARMA (p,q) :

Z t=∅1Z t−1+∅2Z t−2+…+∅p Zt−p+at−θ1at−1−θ2at−2−…−θqat−q

Sedangkan persamaan umum dari model ARMA (1,1) sebagai berikut :Z t=∅1Z t−1+at−θ1at−1

Model ARMA sendiri dapat dijabarkan ke dalam model AR(q) dan MA(p)AR(p)Berikut persamaan umum dari AR(p) :

Z t=∅1Z t−p+a t

Sehingga untuk AR(1) persamaannya sebagai berikut :Z t=∅Z t−1+a t

MA(q)Berikut persamaan umum dari MA(q) :

Z t=at+θ1Z t−q

Sehingga untuk MA(1) persamaannya sebagai berikut :Z t=at+θ1Z t−1

ACF (Autocorrelation Function)

Persamaan umum dari ACF adalah sebagai berikut :

ρk=cov (Z t , Z t+k )

√var (Z t)√var (Z t+ k)

PACF (Partial Autocorrelation Function)Persamaan umum dari PACF sebagai berikut :

∅k+1, k+1=

ρk +1−∑j=1

k

∅kj ρk +1− j

1−∑j=1

k

∅kjρ j

Berikut adalah acuan model dari ACF dan PACF:

AR (p) MA(q) ARMA(p,q)

ACF Tails off membentuk

gelombang sinus

Cut off setelah lag

ke-q

Tails off menurun

setelah lag (q-p)

PACF Cut off setelah lag

ke-p

Tails off membentuk

gelombang sinus

Tails off menurun

setelah lag (q-p)

Data deere 1 yang akan dibahas kali ini berisi 82 nilai dari suatu jumlah deviasi

berturut-turut untuk nilai target yang ditentukan dalam proses pemesinan industri di

Deere.

III. Metode penelitian

Penentuan model terbaik untuk data Deere1 dapat dilakukan dengan

melakukan spesifikasi model yang bertujuan untuk memilih model terbaik.

Selanjutnya akan dilakukan diagnosis. Apabila dalam diagnosis ternyata model yang

terpilih bukan merupakan model yang terbaik maka akan dilakukan spesifikasi model

dan diagnosis kembali sampai didapatkan model yang memenuhi asumsi yang

disyaratkan. Akhirnya, dengan menggunakan model tersebut kita dapat melakukan

peramalan untuk waktu yang akan datang.

IV. Hasil dan pembahasanBerdasarkan data industri dari Deere1 di atas dapat diperoleh model plot pada

Gambar 1. Terlihat bahwa data Deere1 stasioner namun masih memiliki nilai ekstr

Time

deer

e1

0 20 40 60 80

010

30

5 10 15

-0.2

0.0

0.2

Series deere1

Lag

AC

F

5 10 15

-0.2

0.0

0.2

Gambar 1. Plot Data Deere1.

Selanjutnya akan ditunjukan nilai ekstrim yang terdapat dalam data Deere1

menggunakan Boxplot dengan bantuan program R:

Gambar 2. Boxplot Deere1

Dari gambar boxplot di atas dapat dilihat bahwa nilai ekstrim yang terdapat

dalam data Deere1 ialah nilai 30 yang berada di data ke-27. Agar data Deere1 tidak

terdapat nilai ekstrim maka data ke-27 tersebut dihapus.

Dengan bantuan program R kita dapat membuat model plot Deere1[-27]

seperti Gambar 3. Dari Gambar 3 kita dapat melihat bahwa data Deere1[-27] sudah

stasioner dan tidak terdapat trend naik ataupun trend turun dalam data tersebut.

Gambar 3. Plot Deere1[-27]

Untuk membuktikan bahwa data Deere1[-27] sudah stasioner maka dilakukan

ADF test. Dengan bantuan program R:

Setelah dilakukan ADF test diperoleh hasil bahwa nilai-p = 0.03179. Karena

nilai-p = 0.03179 lebih kecil dari α=0.05, maka Deere1[-27] benar merupakan data

time series stasioner.

Kita dapat menentukan model terbaik untuk data Deere1[-27] dengan melihat

dari pola fungsi autokorelasi (ACF) dan fungsi autokorelasi parsial (PACF) yang

dinyatakan pada Gambar 4. Gambar 4 bagian atas menyatakan fungsi autokorelasi dan

bagian bawah menyatakan fungsi autokorelasi parsial sampai lag 20.

Gambar 4. Plot ACF dan PACF Deere1[-27]

Garis biru merupakan garis dalam persamaan ny

96,1 karena data yang

dimiliki sebanyak n = 81 maka, 218,0

81

96,1 ydan

218,081

96,1 y. Dapat

dilihat ACF dan PACF signifikan atau bernilai diatas garis biru pada lag 2 kemudian

tidak signifikan untuk data lainnya. Hal ini menandakan bahwa ACF dan PACF dari

data Deere1[-27] memiliki pola tails off dan tidak ada perulangan atau musiman di

dalam data Deere1[-27] . Dengan begitu kita dapat mengidentifikasi bahwa data

Deere1[-27] ini merupakan model ARMA(p,q).

Berdasarkan hasil analisis plot ACF dan PACF diperoleh model yang mungkin

adalah:

1. ARMA(1,1)

2. ARMA(1,2)

3. ARMA(2,1)

4. ARMA(2,2)

Selanjutnya akan dicari estimasi model ARMA yang mungkin dengan bantuan

program R juga diperoleh:

ARMA(1,1)

Diperoleh Coefficients dan s.e. Coefficients (Lampiran), sehingga model untuk

ARMA(1,1) adalah sebagai berikut:

Z t=∅1Z t−1+at−θ1at−1 Z t=−0.6953Z t−1+a t−0.5973a t−1+1.0568

ARMA(1,2)

Diperoleh Coefficients dan s.e. Coefficients (Lampiran), sehingga model untuk

ARMA(1,2) adalah sebagai berikut:

Z t=∅1Z t−1+at−θ1at−1−θ2at−2

Z t=−0.379Z t−1+a t−0.3906at−1−0.2720at−2+1.0723

ARMA(2,1)

Diperoleh Coefficients dan s.e. Coefficients (Lampiran), sehingga model untuk

ARMA(2,1) adalah sebagai berikut:

Z t=∅1Z t−1+∅2Z t−2+a t−θ1at−1

Z t=−0.2260Z t−1+0.2385 Zt−2+at−0.2229at−1+1.0649

ARMA(2,2)

Diperoleh Coefficients dan s.e. Coefficients (Lampiran), sehingga model untuk

ARMA(2,2) adalah sebagai berikut:

Z t=∅1Z t−1+∅2Z t−2+a t−θ1at−1−θ2at−2

Z t=−0.4429Z t−1+−0.0787Z t−2+at−0.4518at−1−0.3397at−2+1.0719

Model terbaik yang dipilih adalah model ARMA (1,1), karena perbandingan

nilai mutlak parameter dengan standard error-nya lebih dari 2 sedangkan ketiga

model lainnya tidak. Untuk membuktikan bahwa model ARMA(1,1) benar merupakan

model yang terbaik, maka kita akan melakukan uji normalitas residual untuk

membuktikan bahwa residual untuk model tersebut berdistribusi normal serta uji

independen untuk membuktikan tidak ada korelasi antar lag atau independen.

Gambar 5. Q-Q Plot

Akan dilakukan uji normalitas residual terhadap model ARMA (1,1) dengan

melihat normalitas data secara visual seperti Q-Q Plot. Pada Gambar 5. kita dapat

melihat titik-titik mendekati garis linear. Namun, jika hanya melihat normalitas secara

visual saja rawan terjadi bias, oleh karena itu kita juga akan melakukan uji normalitas

scara statistik dengan Kolmogorov-Smirnov. Dari uji Kolmogorov-Smirnov dengan

bantuan program R kita mendapatkan output, nilai-p = 0,4288 (p>0,05), yang berarti

residual untuk model ARMA(1,1) berdistribusi normal.

Gambar 6. Hasil Diagnosis Residu

Grafik fungsi autokorelasi residu pada Gambar 6. (tengah) menunjukkan

bahwa semua nilai autokorelasi residunya sampai lag 20 berada di dalam batas garis

yang artinya tidak ada yang signifikan. Pada Gambar 6. (bawah) kita juga dapat

melihat nilai-p statistik Ljung-Box tidak ada yang berada di bawah 0.05 atau lebih

kecil dari tingkat signifikansi 5% yang berarti bahwa tidak ada korelasi antar lag

(independen).

Setelah dilakukan uji normalitas residual dan uji independen pada model

ARMA(1,1) kita dapat melihat bahwa residual untuk model ARMA(1,1) berdistribusi

normal serta independen. Sehingga kita dapat menyimpulkan bahwa model ARMA

(1,1) benar merupakan model terbaik untuk data Deere1 dengan model untuk

ARMA(1,1) adalah:

Z t=−0.6953Z t−1+a t−0.5973a t−1+1.0568

Setelah diperoleh model terbaik, selanjutnya dapat dilakukan Peramalan

(Forecasting). Peramalan untuk 15 langkah ke depan adalah peramalan dengan model

terbaik, yaitu model ARMA(1,1). Hasil peramalan menunjukkan bahwa semakin lama

nilainya cenderung mendekati mean (rata-rata). Hasil peramalannya dinyatakan dalam

Tabel sebagai berikut.

Langkah

Ke-

1 2 3 4 5 6 7

Prediksi 0.742 1.276 0.905 1.163 0.983 1.108 1.021

SE 2.947 2.961 2.968 2.971 2.973 2.974 2.974

Langkah

Ke-

8 9 10 11 12 13 14 15

Prediksi 1.082 1.04 1.069 1.049 1.063 1.053 1.06 1.055

SE 2.974 2.974 2.974 2.974 2.974 2.974 2.974 2.974

0 20 40 60 80

-50

5

1:96

c(z,

ha

s$p

red)

Gambar 7. Grafik data Deere1[-27] beserta prediksinya 15 langkah ke depan.

V. Kesimpulan

Berdasarkan hasil analisis data runtun waktu dari data Deere1, diperoleh

model terbaik yang sesuai dengan data tersebut adalah ARMA(1,1) dan prediksi 15

langkah ke depan adalah mendekati nilai mean (rata-rata).

Daftar Pustaka

[1] Setiawan, Dr. Adi, M.Sc. Pemodelan Data Runtun Waktu: Kasus Data Tingkat

Pengangguran di Amerika Serikat pada Tahun 1948-1975. Fakultas Sains dan

Matematika, Universitas Kristen Satya Wacana. Salatiga

[2] Cryer, J. D. Dan Kung-Sik Chan, 2008, Time Series Analysis with Application in

R, Springer

[3] Vulandari, Retno Tri. & Parwitasari, Tika Andarasni. (2018). Perbandingan model

AR (1), ARMA (1,1), dan ARIMA (1,1,1) pada prediksi tinggi muka air Sungai

Bengawan Solo pada pos pemantauan Jurug. Journal of Mathematics Education,

Science and Technology, Vol. 3, Hal 46 – 56.

[4] Agung. 2017. ARIMA SARIMA: SI KEMBAR DARI TIME SERIES | CATATAN

BUDI. https://agungbudisantoso.com/2017/03/21/arima-sarima-si-kembar-dari-

time-series/

[5] Statistic Center Diponegoro University. 2016. Analisis Runtun Waktu (Time Series

Analysis). http://scundip.org/uncategorized/analisis-runtun-waktu/.

Lampiran

Command R untuk Analisis Data Deree1

a. Memanggil data deree1

> library(TSA)

Attaching package: ‘TSA’

The following objects are masked from ‘package:stats’:

acf, arima

The following object is masked from ‘package:utils’:

tar

> data(deere1)

> deere1

Time Series:

Start = 1

End = 82

Frequency = 1

[1] 3 0 -1 -4 7 3 7 3 3 -1 -1 5 -4 1 -3 2 -3 1 -2 -3 -4 -2 3 3 3

[26] 3 30 2 7 -7 3 2 3 0 3 0 3 -1 3 3 3 2 3 3 -1 3 3 2 3 2

[51] 3 8 0 -1 0 0 1 2 2 0 8 0 1 -2 -3 4 0 4 -1 -1 1 -7 3 1 3

[76] 1 0 -1 -4 -1 -1 3

> plot(deere1,type="l")

> boxplot(deere1)

b. Grafik deere1[-27]

> z=deere1[-27]

> plot(z,type="l")

c. Pembuktian deere1[-27] stasioner

> library(tseries)

‘tseries’ version: 0.10-40

‘tseries’ is a package for time series analysis and computational

finance.

See ‘library(help="tseries")’ for details.

Warning message:

package ‘tseries’ was built under R version 3.2.5

> adf.test(z)

Augmented Dickey-Fuller Test

data: z

Dickey-Fuller = -3.6797, Lag order = 4, p-value = 0.03179

alternative hypothesis: stationary

d. Grafik ACF dan PACF deree1[-27]

> acf(z)

> pacf(z)

e. Pengujian Model ARMA(1,1), ARMA(1,2), ARMA(2,1), ARMA(2,2)

> arma11 = arima(z, c(1, 0, 1))

> arma11

Call:

arima(x = z, order = c(1, 0, 1))

Coefficients:

ar1 ma1 intercept

-0.6953 0.5973 1.0568

s.e. 0.2529 0.2709 0.3087

sigma^2 estimated as 8.685: log likelihood = -202.49, aic = 410.98

> arma12 = arima(z, c(1, 0, 2))

> arma12

Call:

arima(x = z, order = c(1, 0, 2))

Coefficients:

ar1 ma1 ma2 intercept

-0.379 0.3906 0.2720 1.0723

s.e. 0.328 0.3196 0.1089 0.3818

sigma^2 estimated as 8.172: log likelihood = -200.1, aic = 408.21

> arma21 = arima(z, c(2, 0, 1))

> arma21

Call:

arima(x = z, order = c(2, 0, 1))

Coefficients:

ar1 ar2 ma1 intercept

-0.2260 0.2385 0.2229 1.0649

s.e. 0.2862 0.1091 0.2832 0.3938

sigma^2 estimated as 8.278: log likelihood = -200.6, aic = 409.2

> arma22 = arima(z, c(2, 0, 2))

> arma22

Call:

arima(x = z, order = c(2, 0, 2))

Coefficients:

ar1 ar2 ma1 ma2 intercept

-0.4429 -0.0787 0.4518 0.3397 1.0719

s.e. 0.4589 0.3627 0.4370 0.3238 0.3730

sigma^2 estimated as 8.167: log likelihood = -200.08, aic = 410.16

f. Analisis Residu

> r = resid(arma11)

> qqnorm(r)

> qqline(r)

> ks.test(r,"pnorm",mean(r),sd(r))

One-sample Kolmogorov-Smirnov test

data: r

D = 0.095179, p-value = 0.4288

alternative hypothesis: two-sided> tsdiag(arma11)

g. Prediksi 15 langkah kedepan

> BB = has$pred - 1.96*has$se

> BA = has$pred + 1.96*has$se

> bb=min(z,BB)-1

> ba=max(z,BA)+1

> plot(1:96,c(z,has$pred),type="b",ylim=c(bb,ba))

> lines(82:96,has$pred,lty=2)

> lines(82:96,BA,lty=3)

> lines(82:96,BB,lty=4)