Permutations de Baxter & Orientations bipolaires planes

ALEA 2008

Nicolas Bonichon, Mireille Bousquet-Mélou & Eric Fusy

Permutations

• Une permutation = (1)(2)…(n), est une bijection de [n] sur [n]

• Le diagramme d’une permutation , est l’ensemble des points (i, (i)).

• On note Sn l’ensemble des permutations de [n].

• Montée, descente, saillants …

= 5 3 4 9 7 8 10 6 1 2

Permutation de Baxter [Glen Baxter 64]

est de Baxter ssi : Bn = Sn(25314, 41352)

Motifs interdits :

Orientation bipolaire plane

Une orientation bipolaire plane est une carte planaire orientée :

• Acyclique • 1 seule source et• 1 seul puits tous 2 sur la face

externe.Prop 1 :

Prop 2 : Une carte M admet une orientation bipolaire ssi M+(s,t) est 2-connexe.

V: F:

Orientation bipolaire plane : applications

Dessin de visibilitéDessins orthogonauxStructures transverses…

Enumération

• [Chung et al 79] [Mallows’79]

• Permutation

• Bijections • [Cori, Dulucq, Viennot,

Guibert, Gire] – Arbres jumeaux– Triplets de chemins de

grand Dyck

• [Rodney Baxter’01]• Bipolaires planes

• Bijections– [Fusy, Poulalhon,

Schaeffer’07] Triplets de chemins de grand Dyck

– [Fusy’07] Structures Transverses

– [Felsner, Fusy, Noy, Ordner’07] permutations.

[MBM’03]

m

jn

mn

in

m

jn

mm

in

m

n

nn

ij 1

1

1

1

1

2

1

1

1

)1(

Résultat principal

taille n k descentes

l montées i saillants sup gauche

i’ saillants inf droite j saillants sup droite

j’ saillants inf gauche

n arêtesk faces internesl+2 sommetsChemin gauche de longueur iChemin droit de longueur i’Puits de degré jSource de degré j’

Thm : Une bijection qui envoie les permutations de Baxter sur les bipolaires :

: Etape 1

: Etape 2

Propriétés

Prop 1 : est une application des permutations de Baxter vers les orientations bipolaires

Lemme 1 : les sommets noirs sont de degré 2.

Lemme 2 : Le dessin est planaire.

Arbre de génération des Baxter

• Bn+1 -> Bn : suppression de l’élément n+1.

• Bn -> Bn+1 : ajout du n+1 – (a) avant le k-ème saillant sup.

gauche – (b) après le k-ème saillant sup droit.

• Lemme : l’arbre de génération des Baxter est isomorphe à l’arbre :– (1,1)– (i,j) -> {(k, j+1) : 1 <= k <= i} U {(i+1,

k) : 1 <= k <= j}

• Rq : Ces paramètres correspondent aux nombres de saillants supérieurs gauches et droits.

Arbre de génération des Baxter

• Bn+1 -> Bn : suppression de l’élément n+1.

• Bn -> Bn+1 : ajout du n+1 – (a) avant le k-ème saillant sup.

gauche – (b) après le k-ème saillant sup droit.

• Lemme : l’arbre de génération des Baxter est isomorphe à l’arbre :– (1,1)– (i,j) -> {(k, j+1) : 1 <= k <= i} U {(i+1,

k) : 1 <= k <= j}

• Rq : Ces paramètres correspondent aux nombres de saillants supérieurs gauches et droits.

Arbre de génération des Bipolaires

On+1 -> On Soit e=(t,v) l’arête la plus à droite du puits.

• (a) deg-(v) > 1

– Supprimer e

• (b) deg-(v) = 1

– Contracter e

Arbre de génération des Bipolaires

On -> On+1 :

• (a) Ajouter une arête vers le k-ème sommet du bord gauche.

• (b) « déléguer les k premières arêtes »

Lemme : l’arbre de génération des bipolaires est isomorphe à l’arbre :

(1,1)(i,j) -> {(t, j+1) : 1 <= t <= i} U {(i+1, t) : 1 <= t <= j}

est bien une bijection.

Arbres isomorphes une bijection .Par récurrence sur n on montre que

() =()

Symétrie selon la 1ère diagonale

Rotation de 90° et Dualité

-1

Tx Ty

Remarque

On retrouve l’algorithme de dessin de [di Battista et al. 92]

Treillis des orientations bipolaires

• Thm [Ossona de Mendez 94] : l’ensembles des orientations bipolaires d’une carte a une structure de treillis distributif. La relation de couverture est la suivante :

• Corollaire : les cartes 2-connexes sont en bijection avec les bipolaires sans LOP

• Lemme : les cartes séries-parallèles sont en bijection avec les bipolaires sans LOP ni ROP.

LOP ROP

Spécialisations de

• Lemme : () contient un LOP contient 41352 () contient un ROP contient 25314

• Rq : – Sn(25314,3142) = Sn(25314, 41352 , 41352)

– Sn(2413,3142) = Sn(25314, 25314, 41352 , 41352)

• Corollaire : est une bijection de

– Sn(25314,3142) vers les cartes 2-connexes à n+1 arêtes

– Sn(2413,3142) vers les cartes séries-parallèles à n arêtes

Orientationsbipolaires

Sn(25314, 41352)

Orientations Min

Sn(25314,3142)

Cartes 2-connexes

Orientation Min&Max

Sn(2413,3142)

Cartes séries-parallèles

Spécialisations de

Baxter Sn(2413,3142)Baxter Sn(2413)= = =

[Dulucq Gire West 96] [Gire 93]

• Permutations de Baxter alternantes 2n (2n+1)– Enumérées par Cn.Cn

(Cn.Cn+1 )[Cori Dulucq Viennot’86] [Dulucq Guibert’98]

• Permutations de Baxter doublement alternantes 2n (2n+1)– Enumérées par Cn

[Guibert Linusson’00]

Perspectives

Travaux en cours

• Orientations mono-source– Involutions de Baxter– Liens avec les cartes

Eulériennes

Motif exclu contient le motif si le diagramme de est obtenu à partir de celui de en supprimant des lignes et des colonnes.

On note Sn() l’ensemble des permutations qui excluent .

Ex : Sn()=213

Arbre de génération

Un arbre de génération d’un ensemble E est un arbre tel que :– Chaque objet de En apparaît une fois au niveau n.– Les arêtes reliant les sommets de niveau n à ceux du niveau n+1

correspondent aux règles de génération permettant de construire les objets de En+1 à partir de ceux de En.

• Ex : Chemins de Dyck : – En+1 -> En : suppression du dernier pic– En -> En+1 : ajout d’un pic dans la dernière descente.

• L’arbre de génération des chemins de Dyck est isomorphe à l’arbre :– (0)– (p) -> (1), (2), …,(p), (p+1)

• Rq : Ce paramètre correspond à la longueur de la dernière descente.

Motif barré. Ex : 25314Une permutation barrée est une permutation avec un élément distingué. On note ’ la permutation sans l’élément barré.Ex : = 25314 ’ = 2413

On dit qu’une permutation contient le motif barré , s’il existe une occurrence de ’ qui ne soit pas une sous-occurrence de .

Rq : Sn(25314) ssi toute sous-suite 2413 de est aussi une sous-suite de 25314.

Permutation de Baxter = Sn(25314, 41352)

Définition par factorisation :

[Glen Baxter]