Persamaan Diferensial [orde-2]

Soenandar Djojosoemarto Arief Goeritno NIDN: 0430016301

PERSAMAAN DIFERENSIAL ORDE-2(A)HOMOGEN dan (B) TAK HOMOGEN

HOMOGEN

A.1 Homogen Bentuk SederhanaUntuk kondisi dimana terdapat persamaan bentuk:

A y '+By+C=0.

Dinamakan homogen, karena sama dengan nol, dengan: A, B, dan C adalah konstanta, maka dapat diambil misal: y=A est, sehingga:

( A s'+Bs+C ) Aest=0≫≫ As '+Bs+C=0≫≫adalah persamaan karakteristik

Berdasarkan persamaan karakteristik, diperoleh akar-akar s1 dan s2.(1) s1≠s2 >>>>> Keduanya bilangan riil, maka: y=a1 e

s1x+a2 es2x

1


(2) s1=s2 >>>>> Keduanya bilangan riil, maka: y=a1 es1x+a2 xe

s2x

(3) s1 dan s2>>>>> Keduanya bilangan kompleks (s1,2=R e+ j I m dan s1 conjugate dari s2), maka:y=eRe [ (a1+a2 )cos I m. t+ j (a1+a2 )sin I m. t ]

CONTOH SOAL #akar-akar riil dan tidak samaCONTOH#1#akar-akar riil dan tidak samaSelesaikan persamaan berikut!

3 y ' '−8 y '−3 y=0

Penyelesaian:

3 y ' '−8 y '−3 y=0≫≫3 s2−8 s−3=0≫≫RUMUS ABC

s1,2=−b±√b2−4ac

2a

s1=8+√64−36

6=86+ 106

=43+ 53=93=3

s2=8−√64−36

6=8−10

6=−26

=−13

2


y=a1 e3 x+a2 e

−13

x

CONTOH#2#akar-akar riil dan tidak samaSelesaikan persamaan berikut!

y ' '−4 y'+3 y=0; dengan : y (0 )=−1dan y ' (0 )=1

Penyelesaian:

y ' '−4 y'+3 y=0≫≫ s2−4 s+3=0≫≫RUMUS ABC

s1,2=−b±√b2−4ac

2a

s1=4+√16−12

2=42+ 22=2+1=3

s2=8−√64−36

6=42−22=2−1=1

y=a1 e3 x+a2 e

x

3


y '=3a1e3x+a2 e

x

Substitusi syarat awal……

y (0 )=−1≫≫−1=a1+a2≫≫a1=−1−a2

y ' (0 )=1≫≫1=3a1+a2≫≫3a1=1−a2

≫≫3 (−1−a2 )=1−a2≫≫−3−3a2=1−a2

≫≫−3−1=3a2−a2≫≫−4=2a2

≫≫a2=−42

=−2

≫≫a1=−1−a2=−1−(−2 )=−1+2=1

y=a1 e3 x+a2 e

x≫≫ y=e3x−2ex

CONTOH SOAL #akar-akar riil dan samaCONTOH#1#akar-akar riil dan samaSelesaikan persamaan berikut!

4


y ' '+8 y '+16 y=0

Penyelesaian:

y ' '+8 y '+16 y=0≫≫ s2+8 s+16=0≫≫ (s+4 ) (s+4 )=0s1=s2=−4

y=a1 e−4x+a2 ∙ x ∙ e

−4 x

CONTOH#2#akar-akar riil dan samaSelesaikan persamaan berikut!

y ' '+4 y '+4 y=0 ;dengan : y (0 )=3 dan y ' (0 )=1

Penyelesaian:

y ' '+4 y '+4 y=0≫≫ s2−4 s+4=0≫≫ (s+2 ) (s+2 )=0s1=s2=−2

y=a1 e−2x+a2 xe

−2 x

y '=−2a1 e−2x+a2e

−2x−2a2 xe−2x

5


Substitusi syarat awal……

y (0 )=3≫≫3=a1+a2≫≫a1=3−a2

y ' (0 )=1≫≫1=−2a1+a2≫≫1=−2 (3−a2 )+a2

≫≫1=−6+2a2+a2=≫≫1+6=3a2

≫≫a2=73

≫≫a1=3−a2=3−73=93−73=9−7

3=23

y=a1 e3 x+a2 xe

x≫≫ y=23e3 x+ 7

3xex

CONTOH SOAL #akar-akar complex conjugateCONTOH#1#akar-akar complex conjugateSelesaikan persamaan berikut!

y ' '−2 y '+10 y=0

6


Penyelesaian:

y ' '−2 y '+10 y=0≫≫ s2−2 s+10=0≫≫RUMUS ABC

s1,2=−b±√b2−4ac

2a

s1=2+√4−40

2=22+ √−36

2=1+ √36 ∙√−1

2=1+ 6 ∙√−1

2≫≫ s1=1+ j3

s2≫≫complex conjugate s1

s2=1− j 3

y=a1 e(1+ j3 ) t+a2 e

(1− j3 )t

y=a1 e1 t+ j3 t+a2 e

1 t− j3 t

y=et [a1 e j3t+a2 e− j3 t ]

Ingat, persamaan Euler!!! >>> e ix=cos x+ isin x dan e−ix=cos x−i sin x

y=et [a1 (cos 3 t+ jsin 3 t )+a2 (cos3 t− j sin 3 t ) ]

7


y=et [ (a1+a2)cos 3t+ j (a1−a2 ) sin 3 t ]

y=et [b1cos 3t+ jb2sin 3 t ]Diketahui:

b1=a1+a2b2=a1−a2

CONTOH#2#akar-akar complex conjugateSelesaikan persamaan berikut!

y ' '−6 y '+25 y=0 ;dengan : y (0 )=4dan y ' (0 )=1

Penyelesaian:

y ' '−6 y '+25 y=0≫≫ s2−6 s+25=0≫≫RUMUS ABC

s1,2=−b±√b2−4ac

2a

s1=6+√36−100

2=62+ √−64

2=3+ √64 ∙√−1

2=3+ 8 ∙√−1

2≫≫ s1=3+ j4

s2≫≫complex conjugate s1

8


s2=3− j 4

y=a1 e(3+ j4) t+a2 e

(3− j4 ) t

y=a1 e3 t+ j4 t+a2e

3 t− j4 t

y=e3 t [a1 e j4 t+a2e− j4 t ]

Ingat, persamaan Euler!!! e ix=cos x+ isin x dan e−ix=cos x−i sin x

y=e3 t [a1 (cos 4 t+ j sin 4 t )+a2 (cos 4 t− jsin 4 t ) ]

y=e3 t [ (a1+a2 )cos 4 t+ j (a1−a2 ) sin 4 t ]

y '=3e3 t [−4 (a1+a2 )sin 4 t+ j 4 (a1−a2)cos 4 t ]

Substitusi syarat awal……y (0 )=4≫≫4=a1+a2≫≫a1=4−a2

y ' (0 )=1≫≫1=3 j 4 (a1−a2 )≫≫1= j12 (a1−a2 )

9


≫≫ 1j 12

=a1−a2=≫≫− 112

j=4−a2−a2

≫≫−2a2=−112

j−4≫≫2a2=112

j+4

≫≫2a2=12 ( 112 j+4)≫≫a2=

124

j+2

a2=2+ j124

≫≫a1=4−a2=4−(2+ j124 )=2− j

124

a1=2− j124

y=e3 t ¿

y=e3 t [(2− j124

+2+ j124 )cos 4 t+ j(2− j

124

−2− j124 )sin 4 t ]

y=e3 t [4cos 4 t+ j(− j224 )sin 4 t ]

10


y=e3 t [4cos 4 t+ j(− j112 )sin 4 t ]

y=e3 t [4cos 4 t+ 112 sin 4 t ]

A.2 Homogen dengan Penggunaan Persamaan Cauchy/EulerUntuk kondisi dimana terdapat persamaan bentuk:

x2 y ' '+ax y'+by=0, maka diambil:

y=c ∙ xm; y '=cm ∙xm−1; dan y ' '=cm (m−1 ) xm−2;

sehingga persamaan menjadi:

c ∙ x2 ∙m (m−1 ) ∙ xm−2+c ∙a ∙ x ∙m∙ xm−1+c ∙b ∙ xm=0

Bentuk lain:c ∙ x2 ∙m (m−1 ) ∙ x

m

x2+c ∙a ∙ x ∙m ∙

xm

x+c ∙b ∙ xm=0

11


[dikalikan 1c], maka:x2 ∙m (m−1 ) ∙ x

m

x2+a ∙ x ∙m∙

xm

x+b ∙ xm=0

m (m−1 ) ∙ xm+am ∙xm+b ∙ xm=0

[dikalikan 1xm], maka:m (m−1 )+am+b=0

Bentuk lain:m2+(a−1 )m+b=0

m2+(a−1 )m+b=0 #yang digunakan; #adalah persamaan karakteristik

Berdasarkan persamaan karakteristik, kemudian dicari akar-akar m1 dan m2. ## m1 dan m2 selalu riil.

(1) m1≠m2 >>>>> y=c1 xm1+c2 x

m2

(2) m1=m2 >>>>> y=c1 xm1+ (c2 ∙ ln x ) xm2

>>>>> y=(c1+c2 ln x ) xm2

12


CONTOH#1Selesaikan persamaan berikut!

( z+1 )2 y ' '+5 (z+1 ) y '+3 y=0

Penyelesaian:

Dimisalkan: ( z+1 )=x

x2 y ' '+5x y '+3 y=0≫≫a=5danb=3

m2+4m+3=0≫≫m1=−1danm2=−3

(#akar-akarnya riil dan tidak sama……), selanjutnya disubstitusikan ke:

y=c1 xm1+c2 x

m2

y=c1 x−1+c2 x

−3

y=c1 ( z+1 )−1+c2 ( z+1 )−3


13


x2 y ' '−3 y '+4=0 ;dengan : y (1 )=1dan y ' (1 )=1

Penyelesaian:

x2 y ' '−3 y '+4=0≫≫a=−3danb=4

Substitusikan ke:m2+(a−1 )m+b=0m2+(−3−1 )m+4=0

m2−4m+4=0≫≫ (m−2 ) (m−2 )=0≫≫m1=m2=2

Jawaban sementara:y=(c1+c2 ln x ) x2

y '=c21xx2+2x (c1+c2 ln x )

Substitusikan syarat awal:

y (1 )=1≫≫1=(c1+c2 ln 1 )12

#diketahui: ln 1=0

14


y (1 )=1≫≫1=(c1+c20 )≫≫1=c1≫≫c1=1

y ' (1 )=1≫≫1=c21112+2 ∙1 (c1+c2 ln1 )

≫≫1=c2+2 (c1+c2 ∙0 )

≫≫1=c2+2c1≫≫1=c2+2 ∙1≫≫c2=−1

Nilai c1=1 dan c2=−1, disubstitusikan ke:y=(c1+c2 ln x ) x2

Diperoleh jawaban akhir:y= (1−ln x ) x2

TAK HOMOGEN15


Untuk kondisi dimana terdapat persamaan bentuk:

y ' '+a y '+by=r ( x )., maka jawabannya:

y= yh+ y p

yh=A esx. y p ditentukan sesuai penjelasan sebelumnya, metode penjumlahan jawaban homogen dan parsial/partikuler.


y ' '+5 y '+6 y=9x4−x

Jawaban homogen:

yh' '+5 yh

' +6 yh=0; yh=A esx

s2+5 s+6=0≫≫ ( s+3 ) ( s+2 )=0≫≫ s1=−3 ; s2=−2

yh=A1e−3 x+A2e

−2 x

16


Penentuan jawaban parsial, y p:

y p' '+5 y p

' +6 y p=9 x4−x

f ( x )=9x 4−x=eax ∙ Pn (x ) ;a=0 ;n=4

y p=B x4+C x3+D x2+Ex+F

y p' =4 B x3+3C x2+2Dx+E

y p' '=12B x2+6Cx+2D

Substitusikan ke persamaan, y p:(12B x2+6Cx+2D )+5 (4B x3+3C x2+2Dx+E )+6 (B x4+C x3+D x2+Ex+F )=9 x4−x

12B x2+6Cx+2D+20B x3+15C x2+10Dx+5E+6B x4+6C x3+6D x2+6 Ex+6 F=9 x4−x

6 B x4+(20B+6C ) x3+ (12 B+15C+6D ) x2+ (6C+10D+6 E ) x+(12D+5E+6F )=9 x4−x

Suku x4: 6 B=9≫≫≫B=32

Suku x3: 20 B+6C=0≫≫20 ∙32=−6C≫≫C=−5

17


Suku x2: 12B+15C+6D=0≫≫12∙32+15 (−5 )+6D=0≫≫18−75+6D=0≫≫D=75−18

6=576

=192

Suku x1: 6C+10D+6 E=−1≫≫6 (−5 )+10∙ 192

+6 E=−1≫≫ E=−1+30−956

=−666

=−11

Suku x0: 12D+5E+6F=0≫≫12∙192

+5 (−11)+6 F=0≫≫F=−114+556

=−596

Nilai-nilai B=32, C=−5, D=19

2 , E=−11, dan F=−596 disubstitusikan ke y p=B x4+C x3+D x2+Ex+F, diperoleh:

y p=32x 4−5 x3+ 19

2x2−11 x−59

6

y= yh+ y p

y=A1e−3 x+A2e

−2 x+ 32x4−5 x3+ 19

2x2−11 x−59

6

18

Documents

Persamaan Diferensial [orde-2]